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1. Introduzione alla fisica
Prerequisiti
Saper eseguire le comuni operazioni in R, saper riconoscere le figure geometriche più comuni e le
loro caratteristiche (aree e volumi)
Sapere Conoscere il metodo scientifico, il significato di grandezza, dell’uso degli strumenti di misura, gli
errori e loro tipi, caratteristiche degli strumenti, errori assoluto e relativo, conoscere i criteri di arro-
tondamento, il significato di cifre significative, della notazione scientifica, sapere come si rappre-
sentano i dati.
Saper fare
Saper distinguere tra grandezze fondamentali e derivate, saper utilizzare i più comuni strumenti di
misura, saper ridurre gli errori nella misura sia scegliendo adeguatamente gli strumenti che utiliz-
zandoli per evitare i comuni errori accidentali. Saper scegliere i giusti strumenti in base alle gran-
dezze da misurare, con particolare riguardo alla loro portata e sensibilità. Saper trattare con i dati,
sapere eseguire arrotondamenti e portare i dati in notazione scientifica laddove richiesto. Sapere ri-
conoscere un qualunque tipo di proporzionalità. Saper redigere una relazione di laboratorio. Saper
affrontare, in linee generali, un problema.
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1.1 Introduzione alla Fisica
La fisica è la scienza della natura nel senso più ampio. Scopo della fisica è lo studio dei fenomeni
naturali, ossia di tutti gli eventi che possano essere descritti ovvero quantificati attraverso grandezze
fisiche opportune, al fine di stabilire principi e leggi che regolano le interazioni tra le grandezze
stesse e rendano conto delle loro reciproche variazioni. Quest'obiettivo è talvolta raggiunto attraver-
so la fornitura di uno schema semplificato, o modello, del fenomeno descritto. L'insieme di principi
e leggi fisiche relative ad una certa classe di fenomeni osservati definiscono una teoria fisica dedut-
tiva, coerente e relativamente auto consistente, costruita tipicamente a partire dall'induzione speri-
mentale.
1.2 Metodo scientifico sperimentale
Il metodo scientifico è la modalità tipica con cui la scienza procede per raggiungere una conoscen-
za della realtà oggettiva, affidabile, verificabile e condivisibile. Esso consiste, da una parte, nella
raccolta di evidenza empirica e misurabile attraverso l'osservazione e l'esperimento; dall'altra, nella
formulazione di ipotesi e teorie da sottoporre nuovamente al vaglio dell'esperimento.
Esso è stato applicato e codificato da Galileo Galilei nella prima metà del XVII secolo. Preceden-
temente l'indagine della natura consisteva nell'adozione di teorie che spiegassero i fenomeni naturali
senza che fosse necessaria una verifica sperimentale delle teorie stesse che venivano considerate ve-
re in base al principio di autorità.
Il metodo sperimentale moderno richiede, invece, che le teorie fisiche debbano fondarsi sull'osser-
vazione dei fenomeni naturali, debbano essere formulate come relazioni matematiche e che debbano
essere messe alla prova tramite esperimenti: « [...] sempre se ne sta su conclusioni naturali, attenenti a i moti celesti, trattate
con astronomiche e geometriche dimostrazioni, fondate prima sopra sensate e-
sperienze ed accuratissime osservazioni. [...]. Stante, dunque, ciò, mi par che nel-
le dispute di problemi naturali non si dovrebbe cominciare dalle autorità di luo-
ghi delle Scritture, ma dalle sensate esperienze e dalle dimostrazioni necessarie »
(Galileo Galilei, Lettera a madama Cristina di Lorena granduchessa di Toscana)
Il percorso seguito per arrivare alla stesura di una legge scientifica (e in particolare di una legge fi-
sica) a partire dall'osservazione di un fenomeno si articola nei seguenti passi, ripetuti ciclicamente:
1. Osservazione di un fenomeno fisico. Un fenomeno fisico è un qualsiasi evento in cui siano
coinvolte delle grandezze fisiche, ossia delle proprietà di un corpo che siano misurabili.
2. Elaborazione di un'ipotesi esplicativa e formulazione di una previsione da verificare che
segua l'ipotesi elaborata. L'ipotesi viene solitamente formulata semplificando la situazione
reale in modo tale da individuare delle relazioni tra le grandezze semplici da verificare, que-
ste sono di solito indicate con l'espressione condizioni ideali (un esempio, nel caso dell'espe-
rimento del piano inclinato è l'assunzione che la forza di attrito sia trascurabile).
3. Esecuzione di un esperimento. L'esperimento consiste nella ripetizione in condizioni con-
trollate di osservazioni di un fenomeno fisico e nell'esecuzione di misure delle grandezze
coinvolte nel fenomeno stesso.
4. Analisi e interpretazione dei risultati (conferma o smentita dell'ipotesi iniziale).
Nel caso in cui l'ipotesi venga confermata la relazione che essa descrive diviene una legge fisica.
Considerazione importante: una legge fisica rimane valida finché non venga dimostrato il contra-
rio, ovvero venga confutata con esperimenti che ne dimostrino la inesattezza circa il caso generale
da esso descritta. Questo è uno dei dogmi fondamentali delle scienze in generale che apre la possi-
bilità ad ulteriori aggiustamenti alle teorie fisiche al momento accreditate, ponendo l’attenzione
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sulla ripetibilità degli esperimenti. Non potrà, infatti, essere accettata una teoria fisica qualora gli
esperimenti condotti da chi ha ipotizzato quelle leggi non possano esseri ripetibili anche in altri luo-
ghi, diversi da quelli in cui i fisici hanno condotto i loro esperimenti. Per avere un’idea di questo,
basti pensare al fatto che le leggi di relatività dei moti, descritti da Galilei, sono rimasti indiscussi
per circa quattrocento anni, fino a quando, un noto scienziato del XX secolo, Albert Einstein, li met-
te in discussione. Piuttosto che dimostrarne la falsità avviene un vero e proprio ampliamento delle
leggi relativistiche, dimostrando che le leggi di Galilei di invarianza delle masse e dei tempi riman-
gono valide a patto che i moti avvengano con velocità molto inferiori della velocità della luce, che è
di circa s
km000.300 .
1.3 Grandezze fisiche fondamentali
Nella seconda edizione del Vocabolario Internazionale di Metrologia ( anche noto come VIM3 del
1993) una grandezza era definita come "la proprietà misurabile di un fenomeno, corpo o sostan-
za, che può essere distinta qualitativamente e determinata quantitativamente"; nell'edizione
del VIM 3, pertanto, la misurazione non può essere applicata alle proprietà nominali, le quali non
possono pertanto essere definite "grandezze". Nella definizione di "grandezza" del VIM 3 il termine
"riferimento" può essere una unità di misura, una procedura di misura, o un materiale di riferimento,
o una loro combinazione. Sebbene in base a questa definizione, il concetto di "grandezza" coincida
con quello di "grandezza fisica scalare", può essere considerato "grandezza" anche un vettore le cui
componenti siano grandezze. Il concetto di grandezza, inoltre, può essere specificato progressiva-
mente in vari livelli di concetti specifici.
Nel Sistema internazionale di unità di misura (detto anche SI), adottato per legge in Italia dal 1976
ed obbligatorio negli atti pubblici, le grandezze si dividono in 7 grandezze base e numerose gran-
dezze derivate dalle precedenti.
In questo caso, è possibile scegliere la proprietà di un particolare sistema ed eleggerla a unità di mi-
sura per quella grandezza fisica. Fissata l'unità di misura, la quantità di tale grandezza per un qual-
siasi altro sistema potrà dunque essere univocamente specificata da un valore numerico ottenuto dal
rapporto con la proprietà scelta come campione di riferimento. Le grandezze fisiche fondamentali
sono sette, e sono misurate nel Sistema internazionale in:
Grandezza fisica Simbolo della grandez-
za fisica
Simbolo di-
mensionale Nome dell'unità SI Simbolo dell'unità SI
lunghezza l, x, r, .. L metro m
massa m M chilogrammo kg
tempo t T secondo s
corrente elettrica I, i I ampere A
temperatura ter-
modinamica T Θ kelvin K
quantità di sostan-
za n N mole mol
intensità luminosa Iv J candela cd
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Da considerare che a volte grandezze omogenee, cioè grandezze dello stesso tipo, possono essere
espresse con unità di misura diverse tra di loro. Possono essere adoperati multipli o sottomultipli
della stessa grandezza in base alle dimensioni trattate.
Potrebbe quindi essere necessario utilizzare multipli o sottomultipli di grandezze fondamentali, così
come riportati nella seguente tabella:
Multipli e sottomultipli nel Sistema Internazionale
fattore di moltiplicazione
prefisso simbolo valore
10 24 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 000
10 21 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 000
10 18 exa E 1 000 000 000 000 000 000
10 15 peta P 1 000 000 000 000 000
10 12 tera T 1 000 000 000 000
10 9 giga G 1 000 000 000
10 6 mega M 1 000 000
10 3 chilo k 1 000
10 2 etto h 100
10 1 deca da 10
10 -1 deci d 0.1
10 -2 centi c 0.01
10 -3 milli m 0.001
10 -6 micro µ 0.000 001
10 -9 nano n 0.000 000 001
10 -12 pico p 0.000 000 000 001
10 -15 femto f 0.000 000 000 000 001
10 -18 atto a 0.000 000 000 000 000 001
10 -21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 001
10 -24 yocto y 0.000 000 000 000 000 000 000 001
1.4 Grandezze fisiche derivate
Per grandezza fisica derivata intendiamo qualunque grandezza che non è direttamente indicata nel
sistema internazionale delle misure. Ad esempio tratteremo di grandezze quali le velocità, le accele-
razioni, le forze,… che sono grandezze direttamente esprimibili rispetto a grandezze fondamentali
quali le masse, le lunghezze, i tempi.
1.5 Aree e Volumi di figure geometriche note
Il concetto di grandezza derivata è parimenti esprimibile in matematica, dove ad esempio l’area di
una figura regolare è esprimibile attraverso il prodotto di grandezze fondamentali e misurabili quali
gli spigoli (i lati) della stessa figura - ll per il quadrato, hb per i rettangolo, 2
hb per il triango-
lo- e cosi via per le altre figure geometriche piane regolari) analogamente per il calcolo dei volumi
di figure solide:
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3dV hd
V4
2
3 3
4rV (1)
cbaV hr
V3
2 (2)
1.6 Densità di massa
La densità (chiamata più correttamente massa volumica o massa specifica) di un corpo (spesso indi-
cata dal simbolo ρ o anche ) è definita come il rapporto tra la massa di un corpo ed il suo volume.
Se m è la massa e V il volume si ha dunque:
V
m (3)
Nel Sistema Internazionale la densità si misura in kg/m³; nel siste-
ma CGS in g/cm³.
Nella figura affianco è evidente che se sui due piatti di una bilancia mettiamo da
una parte del ferro e dall’altro la stesso volume di materiale fatto in plastica, il
piatto contenente il ferro tenderà a scendere, indicando una maggiore massa,
anche a parità di volume occupato.
La densità quindi tiene conto della quantità di materia che un corpo ha quando è fatto di una certa
sostanza.
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Densità di alcuni solidi
(a 0°C di temperatura e alla pressione di 1 atm)
Nome Densità (g/cm³)
Alluminio 2.70
Argento 10.49
Cemento 2.7-3.0
Ferro 7.96
Ghiaccio 0.92
Legno (densità media) 0.75
Legno di cedro 0.31-0.49
Legno d'ebano 0.98
Legno d'olmo 0.54-0.60
Legno di pino bianco 0.35-0.50
Legno di quercia 0.6-0.9
Nichel 8.8
Oro 19.3
Ottone 8.44-9.70
Mercurio 17.6
Piombo 11.3
Platino 21.37
Rame 8.96
Sughero 0.22-0.26
Terra (valor medio*) 5.52
Tungsteno 19.3
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1.7 Misure
Abbiamo prima definito le grandezze fisiche necessarie a descrivere i fenomeni e le loro unità di
misura. Ora diventa necessario procedere alla misurazione delle stesse per riuscire ad ottenere una
analisi quantitativa e non solo qualitativa dei fenomeni osservati. Possiamo così definire la misura
come quel processo che permette di conoscere una caratteristica di un determinato oggetto (ad e-
sempio la lunghezza o la massa o un tempo trascorso) dal punto di vista quantitativo, tramite un'u-
nità di misura, cioè una grandezza standard che, presa N volte, associ un valore univoco alla caratte-
ristica da misurare.
Quindi alla fine di una misurazione dovremo sempre aver quantificato quella grandezza. Non può
esserci misurazione valida se non viene restituito un valore misurato della grandezza osservata.
1.8 Strumenti di misura
I classici strumenti utilizzati per misurare le grandezze fisiche fondamentali sono costituiti dai mi-
suratori di lunghezza (un righello è un misuratore di lunghezza), i misuratori di masse (le bilance) i
misuratori di tempo (cronometri), i misuratori di velocità (il tachimetro dell’automobile), i misura-
tori di forza (il dinamometro a molla), i misuratori di temperatura (termometro) e così via. Per ogni
grandezza che misurare vengono ideati strumenti atti allo scopo.
1.9 Errori di misura
In ogni procedimento di misura di una grandezza fisica, si ottiene una misura inevitabilmente ac-
compagnata da un'incertezza o errore sul valore misurato. Una caratteristica fondamentale degli er-
rori che influenzano le misure di grandezze fisiche è la sua ineliminabilità, ossia una misura può
essere ripetuta molte volte o eseguita con procedimenti o strumenti migliori, ma in ogni caso l'erro-
re sarà sempre presente. L'incertezza fa parte della natura stessa dei procedimenti di misura. In un
esperimento, infatti, non è mai possibile eliminare un gran numero di fenomeni fisici che possono
causare dei disturbi alla misurazione. Una misura può quindi fornire solamente una stima del valore
vero di una grandezza coinvolta in un fenomeno fisico.
Le incertezze o errori che influenzano una misura sono solitamente suddivise a seconda delle loro
caratteristiche in:
errori casuali. Quando la loro influenza sulla misura è completamente imprevedibile e indi-
pendente dalle condizioni in cui si svolge la misura stessa. Questi errori influenzano la misura
in modo casuale, ossia conducono alcune volte ad una sovrastima del valore della grandezza
misurata, altre volte ad una sottostima.
errori sistematici. Gli errori sistematici influenzano una misura sempre in uno stesso senso,
ossia conducono sempre a una sovrastima o ad una sottostima del valore vero. Sorgenti comuni
di errori sistematici sono gli errori di taratura di uno strumento e gli errori nel procedimento di
misura.
Contrariamente agli errori casuali, gli errori siste-
matici possono essere eliminati anche se la loro in-
dividuazione è difficile, infatti è possibile osservare
l'effetto di incertezze sistematiche solo conoscendo
a priori il valore vero della grandezza che si intende
misurare o confrontando i risultati di misure svolte
con strumenti e procedimenti diversi.
Un altro esempio relativo alla lettura di strumenti
analogici è l'errore di parallasse, dovuto ad un cat-
tivo posizionamento dell’operatore rispetto allo strumento, solitamente riscontrabile con strumenti
a lancetta o comunque dovuto ad un errore di posizionamento dell’osservatore.
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1.10 C.L.I.L. PROJECT
Measures
We first defined the physical quantities needed to describe the phenomena and their units of mea-
surement. Now it becomes necessary to measure them to be able to obtain a qualitative and quantit-
ative analysis not only of the observed phenomena. We can thus define the measurement process
that allows us to know the quality of a given object (eg the length or mass or an elapsed time) from
the quantitative point of view, using a unit of measurement (see page 3). , which is a standard size
which, taken N times, associating a unique value to the quality to be measured.
So at the end of a measurement we always have quantified that magnitude. There can be no valid
measurement if it does not return a value measured by the observed.
Measuring tools
The classic instruments used to measure the fundamental physical quantities are formed by the me-
ters in length (a ruler is a meter in length), the meters of the masses (the scales) measuring the time
(chronometers), the measuring speed (the speedometer of 'automobile), the force meters (the spring
dynamometer), the temperature gauges (thermometer) and so on for many other variables which we
want to proceed to measuring instruments are designed for the purpose.
Measurement errors
In each measurement procedure of a physical quantity, the measure is inevitably accompanied by an
uncertainty or error in the measured value. A fundamental characteristic of the errors that affect
the measurements of physical quantities is its non-eliminabled, ie a measurement can be repeated
many times or performed with processes or tools best, but in any case the error will always be
present. The uncertainty is part of the nature of the measurement procedures. In an experiment, in
fact, it is never possible to eliminate a large number of physical phenomena that can cause distur-
bances to the measurement, by changing the conditions in which the experiment takes place. A
measure can therefore provide only an estimate of the true value of a magnitude involved in a phys-
ical phenomenon.
Uncertainties or errors that affect a measure are usually divided according to their characteristics
in:
• Random errors. When their influence on the measurement is completely unpredictable and
independent of the conditions in which it performs the same extent. These errors affect the ex-
tent randomly, ie some times lead to an overestimation of the value of the measured quantity,
other times to an underestimation.
• Systematic errors. The systematic errors affect a measure always in the same sense, that al-
ways lead to an overestimate or an underestimate of the true value. Common sources of syste-
matic errors can be: errors of calibration of an instrument or errors in the measurement proce-
dure.
In contrast to random errors, systematic errors can be eliminated even if their detection is difficult,
in fact it is possible to observe the effect of systematic uncertainties only cone-go down a priori the
true value of the quantity being measured or comparing the results of measurements carried out
with different tools and processes. Another example of how to read analog instruments is given by
the error of parallax, due to poor positioning of the operator with respect to the instrument, usually
found with tools in hand or in any case due to a positioning error of the observer
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Esempio 1
Una navetta spaziale orbita intorno alla Terra a un’altitudine di 300km. Quanto vale questa distan-
za (a) in miglia e (b) in millimetri?
Caso (a): Si utilizza il fattore di conversione metro-miglio, 1miglio = 1,609km, per cui si ha
migliaKm
KmKm 45,186
609,1
300300
Caso (b): Attraverso la ben nota equivalenza, mmKm 6101 , si ottiene, nella notazione scientifica
mmmmmmKm 8626 1031010310300300
Esempio 2
Il micrometro ( mm 110 6 ) è spesso chiamato micron. (a) Quanti micron fanno 1.0 km? (b)
Quale frazione di un centimetro è uguale a 1μm? (c) Quanti micron ci sono in 1.0 yd (yard)?
Caso (a): Essendo mm 6101 e mKm 3101 , si avrà che mmkm 963 100,110101
Caso (b): Essendo mm 6101 e mcm 2101 , si avrà cmm 4101
Caso (c): Essendo 1yd = 0.9144m e mm 6101 , si avrà myd 6109144.01 .
Esempio 3
Una unità di misura usata per i terreni agricoli è l’ettaro, definito come 242 10000.10 mm . Una
miniera di carbone a cielo aperto consuma ogni anno 75 ettari di terra, per una profondità di 26m.
Qual è il volume di terra corrispondente in kilometri cubi ?
Soluzione: Il volume di un solido retto con due basi parallele è sempre dato dal prodotto dell’area
della base per la sua altezza. Ciò consente di pensare ad una superficie di base di forma qualunque.
L’area di base è pari a 241075 mettari . Segue che hAV b (area di base per altezza), quindi
3724 1095,1261075 mmmV ; ma 393 101 mKm , pertanto
321095,1 kmV .
Esempio 4
Un’unità astronomica (UA) è la distanza media della Terra dal Sole, pari a circa km81050,1 . La
velocità della luce, indicata con c, è di circa sm8103 . Esprimere la velocità della luce in unità
astronomiche al minuto.
Soluzione: Il valore cercato è ottenibile con le opportune operazioni. Tenuto conto che
mUA 83 10105,11 ricavando 3
8
105,1
110
UAm e che min
60
11 s sostituendo avremo che la velo-
cità della luce espressa in UA/min sarà:
min12,0min10120min
60
5,110
13103 3
3
8 UAUAUA
s
mc
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1.11 Sensibilità di uno strumento
La sensibilità di uno strumento è il minimo valore di una grandezza fisica che può essere apprezzato
dallo strumento. Quindi una variazione del valore della grandezza di una quantità inferiore ad s non
comporta alcuna variazione del valore misurato dallo strumento.
1.12 Precisione di uno strumento
Possiamo definire la precisione dello strumento l’accuratezza con cui è noto il valore misurato dallo
strumento; esso dipende in generale dalle caratteristiche costruttive dello strumento ( per es., dalla
precisione con cui sono noti i valori dei suoi componenti) e ci consente di stabilirne l’affidabilità di
una misura.
1.13 Portata o fondo scala
La portata di uno strumento è il valore massimo che lo strumento è in grado di
misurare; oltre questo valore non può essere effettuata alcuna misura valida.
Nella figura affianco, la portata della bilancia è di 5kg. Se mettessimo su di
essa una massa maggiore della sua portata lo strumento darebbe una misura
errata o rischierebbe di rompersi.
1.14 Errore assoluto
Possiamo definire come errore assoluto la differenza tra il valore misurato ed
il valore esatto, ovvero
esmisa EEE (4)
dove aE è l’errore assoluto, misE il valore misurato e esE il valore esatto della grandezza con-
siderata.
Possiamo quindi dire che il valore assoluto quantifica di quanto ci stiamo discostando rispetto al va-
lore esatto.
1.15 Valore medio
Quando vogliamo misurare una grandezza è necessario ripetere più volte la misura, semmai cam-
biando osservatore o lo strumento utilizzato per accertarci della bontà delle misure effettuate. In tal
caso è utile considerare il valor medio tra le misure effettuate perché verosimilmente sarà il valore
che maggiormente si avvicinerà al valore esatto della grandezza.
Dette nxxx ,...,, 21 le n misurazioni effettuate, diremo valor medio, il valore ottenuto dalla media a-
ritmetica dei singoli valori, ovvero:
n
xxxx n
m
...21 (5)
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1.16 Errore relativo
L'errore relativo di una misura è definito come il rapporto tra l'errore assoluto e il valore esatto
della grandezza. Generalmente assumiamo come valore esatto della grandezza quello ottenuto dal
valor medio della serie di misure effettuate ( mes xE ), ovvero:
m
ar
x
EE (6)
dove rE = errore relativo, aE = errore assoluto, mx = valore medio
Spesso è utile esprimere l’errore relativo in forma percentuale in modo da avere idea di quanto pos-
sa aver inciso l’errore rispetto alla grandezza reale. Avremo quindi:
%100% m
ar
x
EE ovvero %100% rr EE (7)
Esempio 5
Misurando una sbarra, di lunghezza esatta pari a 36cm, con un righello otteniamo una misura pari
a 35,8cm. Trovare l’errore assoluto, l’errore relativo e l’errore relativo percentuale.
In questo esempio cmEes 36 mentre cmEmis 8,35 . Ne possiamo facilmente ricavare usando la
formula (4) l’errore assoluto: cmcmEEE esmisa 2,0)368,35( .
L’errore relativo, usando la formula (6), è 00556,036
2.0
cm
cm
E
EE
es
ar
L’errore percentuale dalla formula (7) è %55,0%10000556,0%100% rr EE
Come possiamo notare in questo esempio è stato commesso un errore di circa mezzo punto percen-
tuale, che è un errore accettabile rispetto ad un eventuale errore che superi il punto percentuale.
Possiamo così dedurre che l’errore relativo ci dà un’idea di come possa aver influito l’errore com-
messo (errore assoluto) rispetto alla misura esatta.
1.17 Misura diretta ed indiretta
La misura diretta è il metodo nel quale il valore della grandezza è ottenuta confrontando la gran-
dezza di interesse, con un'altra della stessa specie, scelta come campione e rappresentante l'unità di
misura (o un multiplo di essa). Un semplice esempio di questa metodologia, è quella usata per la
misura di una lunghezza con un righello graduato: il righello (che rappresenta la grandezza di rife-
rimento) viene accostato all'oggetto da misurare, confrontando la lunghezza di quest'ultimo (il misu-
rando) con la scala graduata del righello, si ricava la misura.
La misura indiretta è il metodo nel quale la misura è ottenuta leggendo una o più grandezze legate
funzionalmente al valore del misurando, ma non omogenee alla grandezza d’interesse. Per poter uti-
lizzare questo metodo è necessario conoscere preventivamente le relazioni che legano tra loro que-
ste grandezze.
Alcuni esempi di misura con il metodo indiretto:
misura della superficie di un tavolo o del volume di un corpo di forma regolare;
misura della pressione tramite la misura dell’altezza di una colonna di liquido (es. barometro a
mercurio);
misura della temperatura tramite l’altezza del liquido in un termometro a mercurio.
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1.18 Criteri di arrotondamento
Quando effettuiamo misure ed andiamo a calcolare, ad esempio, l’errore relativo essendoci una di-
visione da fare, potrebbe accadere che vi siano molte cifre dopo la virgola, quindi siamo costretti a
procedere ad un arrotondamento.
Dovendo procedere, ad esempio, ad un arrotondamento alla quarta cifra decimale decideremo di
approssimare per difetto se essa è 0, 1, 2, 3, 4. Mentre andremo ad approssimare per eccesso se
essa è 5, 6, 7, 8, 9. Se avessimo quindi il valore 0,006324532 come risultato di una operazione, sa-
rebbe opportuno approssimare per difetto, scrivendo 0,006 poichè la quarta cifra è 3. Nel caso in cui
il numero dovesse essere 0,006678, avremmo potuto approssimare per eccesso scrivendolo come
0,007.
1.19 Cifre significative
Possiamo definire le cifre significative di un numero come il minimo numero di cifre necessarie ad
esprimere un dato valore senza comprometterne la precisione. Il conteggio delle cifre significative
si fa con queste regole:
tutti i valori non nulli rappresentano cifre significative.
gli zeri compresi tra cifre non nulle sono cifre significative.
(es. gli zeri in questo numero sono significativi 4506002 )
gli zeri che precedono la prima cifra significativa non sono cifre significative. (es. 0,003 ha una
sola cifra significativa)
gli zeri finali sono significativi solo se presente la virgola (es. in 13900 gli zeri non sono signi-
ficativi, ma in 13900,0 tutti gli zeri sono significativi
1.20 Notazione scientifica
Quando scriviamo i risultati di un problema, spesso capita che i numeri che stiamo trattando sono o
molto piccoli, con molti zeri prima di una cifra significativa oppure molto grandi, rendendo anche
difficile indicarli quando superano le unità solitamente adoperate (miliardi,…). Si è reso quindi op-
portuno scrivere i numeri con una notazione che fosse condivisa da tutti. Si è giunti così alla deci-
sione di adoperare la notazione scientifica per indicare i numeri molto grandi o molto piccoli.
Qualunque sia il numero da portare in notazione scientifica è necessario tenere in mente che una
volta trasformato avrà la seguente forma:
kba 10, (8)
(ad esempio: 5103,2 ) dove a è la parte intera, b la parte decimale e k l’esponente cui dobbiamo e-
levare la base 10.
Le regole da seguire per portare il numero in notazione scientifica sono le seguenti:
la parte intera a deve essere sempre un numero compreso tra 1 e 9 (mai 0)
k è l’esponente che troviamo in base a quante cifre dobbiamo spostarci verso destra (k negati-
vo) o verso sinistra (k positivo) per arrivare alla forma (8) prima indicata.
Vediamo qualche esempio.
Supponiamo di voler scrivere in notazione scientifica il numero 0,0023 .
La parte a,b sarà sicuramente formata dal numero 2,3 . Per portare la virgola da dove si trova fino a
destra del 2, dobbiamo muoverci verso destra di tre posizioni, quindi otterremo:
3103,20023,0 essendo per l’appunto 3k
Fisica per la scuola superiore
27
Vediamo un altro esempio. Portiamo in notazione scientifica il numero 1246.
Possiamo vederlo come fosse 1246,0 dovendo portare la virgola da dopo il 6 a dopo l’1, quindi di 3
posizioni verso sinistra, k sarà +3. Avremo così:
310246,11246
È ormai evidente che con questo metodo ogni numero può essere portato in notazione scientifica.
Quindi anche se abbiamo un numero già espresso come potenza di 10, ma non in notazione scienti-
fica, può essere facilmente portato in questa forma.
Ad esempio il numero 5103,0 può essere portato in notazione scientifica, spostandoci di una posi-
zione verso destra (quindi k=-1),
615 100,310100,3 (*)
1.21 Richiamo di matematica sulle potenze
Definizioni
aaaan ... n volte
10 a
a
a11
Proprietà (9)
nmmn aa )( potenza di potenza
mn
m
n
aa
a rapporto tra potenze
Definizione
m nm
n
aa esponente frazionario
Fisica per la scuola superiore
28
1.22 Rappresentazione dei dati
L’indagine quantitativa di un fenomeno naturale si realizza sempre attraverso la misura delle gran-
dezze fisiche che lo caratterizzano; la comprensione del fenomeno richiede spesso di individuare
una correlazione, un legame o una dipendenza funzionale fra di esse. Questa indagine può essere u-
tilmente condotta dapprima esplicitando i valori ottenuti, raccolti in una tabella e successivamente
utilizzando metodologie grafiche finalizzate alla rappresentazione delle relazioni fra due o più gran-
dezze fisiche.
La rappresentazione tabulare rappresenta quindi un primo metodo per rappresentare dei dati. Ad
esempio se volessimo rappresentazione la velocità istantanea di un corpo in movimento al passare
del tempo, potremmo trovarci con una tabella del tipo:
tempovelocità 1t 2t 3t 4t 5t 6t Mv
velocità me-
dia
1v 3,6 3,7 3,9 3,5 3,4 3,2 3,55
2v 2,8 2,9 2,7 2,9 3,1 3,0 2,9
3v 7,5 7,9 7,5 7,7 7,6 7,4 7,6
4v 8,9 9,2 9,0 9,1 8,9 8,8 8,98333
Un altro modo per rappresentare gli stessi dati, è quello grafico; esso mette in evidenza l’andamento
dei valori piuttosto che il loro valore esatto.
1.23 Leggi di proporzionalità
In natura, può esistere una relazione tra due grandezze fisiche qualsiasi.
Esempi sono la massa e il peso, la temperatura e la pressione o il volume di un gas, oppure il campo
elettrico in un punto e la carica elettrica nei punti circostanti.
Le relazioni in natura possono essere qualsiasi, ovvero avere carattere funzionale.
Le relazioni di proporzionalità più semplici sono quella diretta, quadratica o inversa.
Se una grandezza la cui misura y varia linearmente al variare di un'altra grandezza di misura x (os-
sia in modo che se x raddoppia, triplica, etc.. anche y raddoppia, triplica, etc.) diciamo che y è e-
spressa in funzione di x da una legge di proporzionalità diretta.
La relazione matematica che lega grandezze così espresse è del
tipo:
baxy (10)
quello di fianco ne è una rappresentazione grafica
Se il rapporto tra queste due misure è costante, l'equazione con
cui la si esprime è
0
2
4
6
8
10
t1 t2 t3 t4 t5 t6
v1
v2
v3
v4
Fisica per la scuola superiore
29
xky (11)
che graficamente rappresenta una retta passante per l'origine, di
pendenza k.
Se una grandezza la cui misura y varia al variare di un'altra
grandezza di misura x in modo che x = 2, 3, 4..., implica y = 4k,
9k, 16k...,con k costante, diciamo che la y è espressa in fun-
zione di x da una legge di proporzionalità diretta alla seconda
potenza. Tale legge è espressa dall'equazione:
2xky (12)
che graficamente rappresenta una parabola con vertice nell'o-
rigine e concavità verso l'alto, se 0k ,
verso il basso se 0k .
Se una grandezza la cui misura y varia al variare di un'altra
grandezza di misura x in modo che il prodotto tra esse assuma
sempre lo stesso valore k, diciamo che la y è espressa in funzione di x da una legge di proporziona-
lità inversa. L'equazione che descrive tale legge è:
kyx ovvero x
ky (13)
che graficamente corrisponde ad un'iperbole equilatera avente
per asintoti gli assi x e y.
Fisica per la scuola superiore
30
Riassumendo le diverse situazioni che possiamo avere:
Proporzionalità Curva Relazione Grafico
Lineare
Retta
baxy
Quadratica
Parabola
2xky
Inversa
Iperbole
x
ky
Fisica per la scuola superiore
31
1.24 Relazione di laboratorio di fisica
Uno dei momenti strettamente legati allo svolgimento di esperienze di laboratorio, è quello in cui va
redatta la relazione di laboratorio. Il metodo scientifico utilizzato per osservare e documentare un
fenomeno fisico è alla base delle esercitazioni di laboratorio che ci si accinge a documentare.
Il metodo scientifico richiama:
la scelta delle grandezze da osservare e la loro comprensione;
la realizzazione dell’esperimento con la scelta delle grandezze da osservare;
l’individuazione degli strumenti di misura e le modalità di misura;
la raccolta dei dati e la loro elaborazione necessaria a gestire le informazioni;
la formulazione di un modello matematico e di una legge fisica
la verifica della legge fisica e l’individuazione dei limiti di validità della stessa;
la rappresentazione dei processi e dei fenomeni attraverso modelli.
Il carattere scientifico di una relazione di laboratorio costituirà quindi la base per eseguire
l’esercitazione e documentarla in modo efficace.
GUIDA ALLA REDAZIONE
I contenuti delle relazioni tecniche devono seguire la regola delle quattro C:
CHIARI, COMPRENSIBILI, CONCISI E CORRETTI
La relazione deve essere presentata in forma schematica, prevedendo la suddivisione del testo in se-
zioni o paragrafi.
Evitare affermazioni del tipo “...grande ...”, “ ... troppo piccolo...” in quanto manca il termine di
confronto.
La forma dovrebbe essere impersonale ad eccezione delle conclusioni (si deve preferire la forma
“si è utilizzato un voltmetro per misurare la tensione tra i punti A e B” piuttosto che “ abbiamo uti-
lizzato un voltmetro per misurare la tensione tra i punti A e B”).
La descrizione dovrebbe essere il più possibile oggettiva (i pareri personali sono da evitare e devo-
no comparire solo nella conclusione dei risultati ottenuti).
prima di iniziare a redigere la relazione di laboratorio è necessario:
studiare l’esperienza avendo chiaro lo scopo;
preparare una scaletta dettagliata delle azioni che si vogliono svolgere;
preparare un foglio con tabelle predisposte a prendere nota dei dati rilevati durante l’esperienza
di laboratorio;
eseguire l’esperienza di laboratorio;
scrivere una bozza della relazione e correggerla;
scrivere la relazione e correggerla;
completare la relazione con elaborati grafici e tabelle elaborati eventualmente con l’ausilio di
software.
Fisica per la scuola superiore
32
Laboratorio di FISICA - ESPERIENZA Nº ……….
Cognome e Nome _______________________________________ Classe _____
Gruppo (se si lavora in gruppo indicare il nome degli altri componenti)
________________________________________________________
Attività svolta il: _____/_____/_______ Relazione consegnata il: ___/____/____
RELAZIONE DI LABORATORIO
Titolo: ______________________________________________
1) TITOLO
Il titolo di una relazione deve indicare in modo molto sintetico, ma esauriente, (in non più di una
decina di parole) l’argomento trattato.
Molto spesso la ricerca bibliografica si effettua attraverso la lettura del titolo ed è quindi importante
renderlo il più significativo possibile affinché l’argomento risulti di interesse anche per i motori di
ricerca.
2) ELENCO STRUMENTI, APPARECCHIATURE E DISPOSITIVI
Deve riportare il nome delle apparecchiature, dei componenti e degli strumenti utilizzati (specifica-
re in tal caso la sensibilità, ossia la minima variazione di grandezza da esso misurabile e la portata
dello strumento), anche sotto forma di tabella. Tutti i materiali richiamati dovranno essere menzio-
nati nella descrizione della prova.
3) SCHEMI
Devono essere riportati gli schemi di montaggio, elettrici o topografici atti a rappresentare le prove
con evidenziati i collegamenti e le indicazioni necessarie ad ottenere una perfetta corrispondenza tra
i due schemi.
4) RICHIAMI TEORICI (Matematici e Fisici)
La descrizione del modello matematico e fisico di riferimento per la prova va esposto sinteticamen-
te con le formule (indicate con numeri consecutivi indicati fra parentesi tonde in corrispondenza del
margine destro del foglio) ed i riferimenti alle unità di misura del sistema SI. Si possono presentare
anche i dati in forma grafica e/o tabellare anche per rendere possibile il confronto con
un’esposizione analoga dedotta dai risultati sperimentali.
5) DESCRIZIONE DELLA PROVA (Procedura Sperimentale)
Viene presentata la ragione della prova o della ricerca e viene descritta l’esperienza svolta in labora-
torio, relazionando ogni singolo passo ed analizzando e commentando i risultati ottenuti, in modo
che le singole fasi siano logicamente interconnesse tra di loro.
Vengono riportati di seguito i punti da documentare:
a) Obiettivi. Rappresentano il motivo per cui viene effettuata la prova; per ciascun obiettivo devo-
no essere evidenziati i passi che si vogliono effettuare o ciò che si vuole determinare.
b) Descrizione delle apparecchiature. Tale paragrafo riporta le modalità con le quali le apparec-
chiature vengono utilizzate e sono collegate tra di loro (fare riferimento ai manuali d’uso delle ap-
parecchiature). Tale descrizione può essere riportata nel paragrafo “Descrizione delle procedure”
qualora si ritenga che le apparecchiature non debbano essere descritte separatamente dallo svolgi-
mento della prova.
c) Descrizione delle procedure. Tale paragrafo illustra passo-passo le modalità di svolgimento del-
la prova. Si farà riferimento agli schemi, alle tabelle, ai diagrammi e alle figure.
Fisica per la scuola superiore
33
d) Analisi e sintesi dei risultati. I risultati si riportano possibilmente in forma grafica e/o tabellare
unitamente, quando possibile, ai dati teorici per poterne effettuare il confronto. Oltre alle tabelle e ai
diagrammi si valuti se presentare anche delle figure. Nell’analizzare e sintetizzare i risultati atten-
zione va posta alle cifre significative, alle unità di misura e quando necessario utilizzare la notazio-
ne scientifica.
e) Verifica - La verifica è richiesta qualora si renda necessario confrontare i risultati sperimentali
con i valori di specifica iniziali. In tal caso vengono riportati sia i valori di specifica iniziali sia la
procedura necessaria a verificarli.
5.1) TABELLE
Riportano i dati, riportati possibilmente in una tabella, oggetto delle misure effettuate evidenziando
in chiaro le grandezze e relative unità di misura.
5.1) DIAGRAMMI
Riportano la rappresentazione grafica quando i dati rilevati si riferiscono ad una coppia di grandez-
ze variabili legate tra di loro. Devono essere incluse l’intestazione del diagramma, le grandezze rap-
presentate sugli assi e le loro unità di misura. Se necessario si possono importare fogli elettronici od
immagini.
5.3) FIGURE
Eventuali figure possono chiarire l’esecuzione delle prove.
6. CONCLUSIONI
Le conclusioni sono importantissime per il docente, supervisore o manager che voglia comprendere
l’argomento trattato ed i risultati.
Le conclusioni rispondono alle domande:
- Che cosa si conosce dopo l’esperienza o ricerca?
- Perché è stato fatto il lavoro?
- Come è stato fatto?
Devono anche fornire le conclusioni del lavoro, con eventuali risultati quantitativi.
Le conclusioni si redigono, quindi, sulla base:
- dei commenti ed osservazioni dedotti dai risultati ottenuti;
- della compatibilità dei risultati rispetto al modello teorico;
- della valutazione dello scostamento dei dati ottenuti (valori, grafici, relazioni tra grandezze, …)
rispetto alle specifiche (formule, ipotesi, grafici, …) iniziali;
- degli aspetti innovativi emersi dalle prove.
Fisica per la scuola superiore
34
1.25 Il metodo per impostare e risolvere i problemi di fisica
(non è il metodo scientifico delle sperimentazioni)
In matematica, come in fisica, è il modo di ragionare a fare la differenza. Non serve quasi a nulla
imparare a memoria molte formule, è necessario conoscerne pochissime. Queste però vanno analiz-
zate con attenzione, vanno capite. Col tempo e l’impegno si diventa in grado di ottenere tutte le al-
tre formule senza doverle imparare a memoria. Questa capacità si acquisisce lentamente e con fatica,
in compenso offre soddisfazioni e possibilità che vanno ben oltre il campo della matematica e della
fisica.
Prima di affrontare un problema dobbiamo sempre chiederci che cosa stiamo facendo, quali sono i
nostri strumenti. Per affrontare un problema di fisica dobbiamo quindi chiederci prima di tutto "che
cosa è la fisica?"
E' la scienza che studia le relazioni quantitative tra le grandezze naturali misurabili.
Come si affronta quindi un problema di fisica?
Bisogna identificare prima di tutto le grandezze misurabili (quali e quante sono) e le relazioni
quantitative fra queste grandezze.
Fatto questo si rappresenta il problema, magari suddiviso in sottoproblemi più semplici.
Come si rappresenta un problema?
Di solito si sceglie di fare un grafico bidimensionale (si utilizza il piano cartesiano). A tale scopo
bisogna identificare due variabili (una sarà rappresentata sull'asse delle ascisse, una su quella delle
ordinate). Vanno scelti origine, direzione, verso e unità di misura.
Scelto il sistema di riferimento si riscrive il sistema di equazioni opportunamente semplificato,
a patto che il sistema di riferimento sia stato scelto con criterio.
Come si risolve il problema?
Risolvendo il sistema di equazioni.
Quando vanno inseriti i valori numerici nelle equazioni?
Dopo la risoluzione algebrica. In caso contrario si rischiano approssimazioni e la mancata possibi-
lità di molte semplificazioni algebriche.
“Tutto qui?”
NO, ottenuti i risultati bisogna valutare la loro ragionevolezza, magari confrontandoli coi ri-
sultati attesi. Il confronto va fatto su tre livelli: piano grafico, piano algebrico, piano fisico. Il
confronto deve essere almeno qualitativo e valutare segno e ordine di grandezza!
Come si sceglie il sistema di riferimento?
Non esiste una regola, esiste il buon senso, esistono delle convenzioni piuttosto furbe. Se ad esem-
pio decidiamo di iniziare a misurare il tempo dall'inizio dell'esperimento (e non dal giorno del no-
stro ultimo compleanno), la variabile it diventa uguale a 0 e la variabile ft può essere più sempli-
cemente chiamata t; decidiamo di fissare l'origine delle posizioni nel luogo in cui si trova inizial-
mente l'oggetto di cui studiamo il moto, la variabile is diventa uguale a 0 e la variabile fs può esse-
re più semplicemente chiamata s.
Tra queste formule qualcuna va imparata a memoria?
Sì e no. Facendo esercizio vi accorgerete che alcuni problemi sono più frequenti di altri e quindi
tenderete a ricordarne le formule risolutive per non perdervi ogni volta in una montagna di conti.
A questo punto, e soltanto a questo punto, dopo la risoluzione algebrica, noti i dati e individuate le
variabili richieste, è possibile sostituire i valori (alle variabili note) e goderci i risultati.
Analisi dimensionale
Un aspetto cruciale durante lo svolgimento di un problema è quello legato a svolgere correttamente
l’analisi dimensionale. Di cosa si tratta?
Fisica per la scuola superiore
35
Quando abbiamo una formula, una qualsiasi, essa esprime sicuramente delle grandezze derivate da
grandezze fondamentali, quindi in qualche modo risultando la combinazione algebrica di alcune di
esse. Bisogna fare attenzione nei calcoli che le dimensioni delle grandezze che stiamo calcolando
siano quelle giuste.
Facciamo un esempio:
Se in un problema ci chiede di trovare la forza cui è soggetto un corpo e sappiamo che il corpo ha
massa gm 300 e subisce una accelerazione di 23 sma , ricordandoci che la forza si esprime in
Newton ed un Newton è pari a 2
11
s
mKgN
(1Kg per un metro fratto secondo quadro). Se lasciamo la massa del corpo in grammi senza portarla
in Kg il risultato che verrà fuori sarà sicuramente errato.
Altra situazione
Nel calcolare lo spazio percorso da un corpo, facciamo finta di ricordare la formula in modo errato
(questo può accadere soprattutto durante le verifiche scritte!) e ci ricordiamo che lo spazio percorso
nel moto rettilineo uniforme vale tvs 2 (velocità al quadrato per il tempo). Supponiamo che la
velocità sia smv 3 ed il tempo st 27 .
Se eseguiamo e calcoli e l’analisi dimensionale otterremmo:
s
ms
s
mssmtvs
2
2
222 24327
9273 che dimensionalmente non rappresenta certo uno spa-
zio.
Eseguendo quindi l’analisi dimensionale, in questo caso, possiamo renderci conto del fatto che la
formula sicuramente era errata.
Attenzione però!!!
Se la formula che crediamo di ricordare è dimensionalmente corretta ma differisce solo per una co-
stante siamo nei guai. Se ad esempio avessimo ricordato anziché la formula di prima quest’altra
tvs 2
1. L’analisi dimensionale avrebbe restituito una coerenza dimensionale seppur con una
formula e quindi un risultato errati!
Quindi è vero che le formule non serve impararle a memoria (facendo i problemi a casa si evitano
talune disattenzioni) ma bisogna in ogni caso stare attenti durante i calcoli senza dare per scontato
che le dimensioni del risultato siano quelle che ci aspettiamo.
Ricordate in particolar modo alcuni punti essenziali:
non dovete ricordare a memoria molte equazioni risolventi,
ricordate invece e comprendete a fondo il sistema di equazioni che modellizza la situazione ge-
nerica,
scegliete con intelligenza il sistema di riferimento in modo da semplificare il sistema di equa-
zioni,
fate un bel disegno e desumete da lì quanto più possibile (dovrete comunque giustificare tutto,
ma almeno saprete cosa aspettarvi come risultato),
scrivete o pronunciate una breve conclusione sulla ragionevolezza (o non ragionevolezza) dei
risultati ottenuti; molto meglio affermare che il proprio risultato non è quanto ci si aspettava
che fare finta di niente e dare l'idea di non aver capito nulla
Fisica per la scuola superiore
36
1.26 Riassumendo e glossario dei termini incontrati
Abbiamo introdotto lo studio della
Fisica, chiarendo che la stessa si occu-
pa dei fenomeni naturali sotto l’aspetto
della quiete, dei moti, delle forze, degli
aspetti termici ed elettromagnetici.
Si può parlare della Fisica come una
scienza, da Galileo che introdusse il
metodo scientifico, che consiste nello
studiare i fenomeni fisici seguendo un
ordine ben preciso: Osservazione, Ipo-
tesi, Esperimento di verifica, analisi dei
risultati che se confermati portano alla
legge.
Per studiare quindi un qualunque fe-
nomeno abbiamo bisogno di capire
quali sono le grandezze in gioco, tra
quelle fondamentali e quelle derivate.
Abbiamo introdotto il concetto di den-
sità di massa, che quantifica in qual-
che modo la quantità di materia che è
presente in un corpo.
Per studiare il fenomeno non solo sotto
l’aspetto qualitativo ma anche sotto
quello quantitativo è necessario esegui-
re delle misure, attraverso degli stru-
menti di misura. Ma è necessario fare
attenzione perché ogni misurazione na-
sconde un errore, piccolo o grande che
sia. Tocca a noi decidere gli strumenti
giusti, ma anche evitare errori casuali
o sistematici, che in qualche modo in-
ficerebbero sui risultati attesi. La ne-
cessità quindi di utilizzare strumenti
più sensibili, laddove è richiesta una
maggiore precisione, con un adeguata
portata.
L’errore può essere assoluto, cioè e-
sattamente quant’è l’errore commesso,
oppure relativo, che in qualche modo
contestualizza l’errore dicendoci se es-
so è accettabile o meno.
Avendo a che fare con numeri, si rende
necessario stabilire dei criteri di arro-
tondamento laddove il numero abbia
diverse cifre decimali ed anche intro-
durre una unica rappresentazione degli
stessi, in modo da uniformare i risultati,
ovvero con l’uso della notazione
scientifica.
Quegli stessi dati è opportuno, dopo
averli raccolti, rappresentarli in modo
opportuno ad esempio utilizzando la
forma tabulare o quella grafica, a se-
conda se si voglia osservare l’aspetto
quantitativo o quello qualitativo.
Proprio con i grafici, è stato opportuno
richiamare alcuni concetti riguardo i
grafici più noti, tra cui le rette, le pa-
rabole e le iperboli, corrispondenti
ciascuno ad un tipo di proporzionalità.
Infine, in questo capitolo, abbiamo vo-
luto chiarire alcuni aspetti importanti
su come si debba redigere una relazio-
ne riguardante una esperienza di labo-
ratorio e su come vadano affrontati i
problemi di fisica, onde evitare che
seppur a conoscenza della parte teorica
si trovi difficoltà a gestire il problema
in tutti i suoi aspetti.
Fisica per la scuola superiore
37
1.27 Problemi proposti
La rappresentazione dei dati
1) Rappresenta sul piano cartesiano il grafico delle seguenti funzioni lineari: 2x – y = 0; 02
3 yx
e 02 yx
2) La seguente tabella fornisce alcuni punti del piano: come è possibile dire se stanno o non stanno su
una retta? La dipendenza tra x ed y è lineare?
x y
-2 5
-1 7
0 9
1 11
2 13
3 15
4 17
3) Determina la formula della funzione lineare il cui grafico passi per coppia di punti: A(3; -1/3), B(2; -3)
4) Determina la formula della funzione lineare che rappresenta i seguenti grafici
5) Disegna le rette y = 3; y = 0; ed x = 5
6) Spiega il significato di proporzionalità diretta alla prima potenza (o dipendenza lineare o corre-
lazione lineare) tra due grandezze. Fai due esempi facendo riferimento a grandezze fisiche di
uso corrente.
7) Osservando questo grafico completa la seguente tabella
Quantità (Kg)
Spesa (euro)
Fisica per la scuola superiore
38
Indicando con s la spesa e con q la quantità, scrivi la relazione (formula) matematica considerando la spesa
come variabile dipendente Indica il tipo di proporzionalità, spiegando il ragionamento che hai fatto per ri-
spondere.
Indica il tipo di proporzionalità ,spiegando il ragionamento che hai fatto per rispondere.
8) Rappresenta sul piano cartesiano il grafico delle seguente funzione lineare: 3x2 – y = 0
9) La seguente tabella fornisce alcuni punti del piano: disegna la curva che li unisce? La dipendenza tra x
ed y è lineare di primo grado? La proporzionalità tra x ed y è diretta alla seconda potenza (proporzionali-
tà quadratica)? Qual è la relazione matematica tra x ed y?
x y
-2 5
-1 2
0 1
1 2
2 5
3 10
4 ……
10) La relazione 2xky è come quella che c’è tra l’area del cerchio ed il suo raggio? Sul piano cartesiano
l’area in funzione del raggio risulterà una funzione quadratica?
11) In riferimento ai grafici riportati in figura, quali sono le tue considerazioni?
Se per il grafico della curva 1, la relazione matematica è 23 xy , quale po-
trebbe essere la relazione matematica dei grafici 2 e 3?
12) Dati i valori riportati in tabella disegna la curva che esprime la velocità in
funzione del tempo. Puoi fare qualche ulteriore considerazione?
Tempo (s) Accelerazione (2sm ) Velocità( sm )
1 2 1
2 2 4
3 2 9
4 2 16
Fisica per la scuola superiore
39
Notazioni – Multipli - Sottomultipli
13) La frase “30 minuti equivale a 0,30 ore” è una frase errata? Perché?
14) Conta 1 euro al giorno. Quanti giorni occorrono per contare 1 milione di euro?
15) Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri: 0,000024; 86400; 1; 0,00000000001; 134.545,33
16) Stima la tua età in secondi ed esprimi il risultato in notazione scientifica.
17) Stima il tuo peso in grammi ed esprimi il risultato in notazione scientifica.
18) Un cm2 di un circuito integrato contiene 1 milione di transistor. Qual è la superficie occupata da ogni
singolo transistor?
19) Quali delle seguenti relazioni è corretta?
1 3cmg 1000
3mkg 3310 mkg
103mkg
1 3mkg 10
3cmg 3310 cmg
10003cmg
20) Nei tessuti dei pesci del mare Adriatico sono state trovate tracce di Hg nelle proporzioni di 4 par-
ti/milione. Quindi in 1 kg di carne sono presenti:
4mg 4 g 4 ng 4 g
21) La velocità della luce è circa sm8103 . Nel Sistema Internazionale si può esprimere, usando multipli e
sottomultipli delle unità fondamentali come:
30 cm/ns 0,3 cm/ns 30 m/s 3 m/s
22) Un virus è lungo circa m810. Tale lunghezza può esprimersi come:
1 mm 1 m 10 nm 10 m
ricordando che il simbolo n, sta per nano.
23) Vi sono circa 12105,7 cellule nell’organismo umano ed il diametro medio di ciascuna cellula è circa 10
m. Quanto sarebbe lunga la catena formata dalle cellule disposte in linea l’una accanto all’altra?
61075 km
61075 m 6105,7 m
61075,0 km
24) Lo spessore di un foglio di carta misura 80 m. Quanti fogli bisogna appoggiare l’uno sopra l’altro per
ottenere uno spessore complessivo di 2,20 cm.?
25) Fai uso delle notazioni esponenziali per completare le equivalenze (es.: 1 mm = 310m)
1 m = ………. mm 1 m = ………. mm2
1 m = ………. mm3
1 cm = ………. m 1 cm2 = ………. m
2 1 cm
3 = ………. m
3
1 mm = ………. m 1 mm2 = ………. m2 1 mm
3 = ………. m
3
1 m = ………. cm 1 m2
= ………. cm2 1 m3 = ………. cm
3
Fisica per la scuola superiore
40
Grandezze omogenee – Arrotondamenti - Cifre significative
26) Indica quali sono le operazioni permesse e calcola il risultato.
0,2 dL + 1,4 dL = ………………. 0,4 kg + 700 g = …………….……….
21,2 m3 : 7,2 m2 = ………………. 23 m : 0,45 s = ………………..…….
12,4 kg + 76,1 m3 = ……………. 500 kg : 0,5 m3 = …………….……….
27) Arrotonda alla seconda cifra decimale i seguenti numeri
1,899 …………………. 120,034 ………………….
8,765 …………………. 0,999 ………………….
29) Stabilisci il numero di cifre significative dei seguenti numeri
580,12 …...… 0,037 …….…. 10,0220 ……….……
5,76 ……… 1,040 ……..… 1,04 ……….……
30) Associa al valore di ogni grandezza lo strumento con cui è stata misurata e di cui è riportata la sensibilità
valore grandezza sensibilità strumento di misura
3,44 m 1 μm
0,34 mm 1 cm
5,977 mm 0,01mm
31) La misurazione del volume e della massa di un oggetto ha fornito rispettivamente i valori V =2,40 c m3 e
m = 7,5 g. L’oggetto ha una densità pari a:
3,125 g/cm3 3,13 g/cm
3 3,1 g/cm
3 3,2 g/cm
3
32) Fra le seguenti misure, quali sono state scritte correttamente?
l = 32 g ± 1 g t = 80 s ± 0,1 s c = 80 ° C ± 1 ° C
33) Adottando per la somma e la differenza il criterio di arrotondare in modo che il risultato abbia un numero
di cifre decimali pari al numero (addendo, minuendo, sottraendo) che ne ha di meno, calcola:
0.1435 + 1.27 + 3.3 + 2.7122 = …………..
34) Sommare le seguenti lunghezze: 1l = 2,844 cm e 2l = 1,12 cm
35) In un'operazione di moltiplicazione, divisione, o elevazione a potenza ed estrazione di radice si deve
mantenere lo stesso numero di cifre significative di quante sono contenute nella quantità che ha la minor
precisione di quelle tra cui si opera. Calcola:
3531,002,2348,1 ………….
36) Calcolare la velocità di un carrello che percorre 0,75 m in 2,42 secondi
37) Calcolare l'area di un rettangolo di lati 1l = 7,58 cm e 2l = 12,65 cm
38) Dire a quanti chilogrammi corrispondono 540 grammi
Fisica per la scuola superiore
41
b
a
Valore Medio – Errori – Propagazione degli errori
39) Calcolare l’errore % delle seguenti misure: (3.1 0.2) m (6 0.4) s
40) Prendiamo in considerazione le seguenti due misure:
lunghezza di una strada: Ls = (35,42 ± 0,01) Km
spessore di una moneta: Sm = (0,2 ± 0,1) cm
Quale risulta la più accurata?
41) Metti in ordine le seguenti misure di lunghezze dalla più precisa alla meno precisa.
a. (1,345 ± 0,120) m b. (984 ± 2) km
c. (0,027 ± 0,003) cm d. (8900 ± 10)mm
42) La resistenza di un conduttore (l’unità di misura è l’ e si legge ohm) misurata da tre studenti ha dato i
seguenti risultati: 17,10 , 16,99 e 17,08 . Calcola la migliore stima per l’esito della misura (valore
medio) e l’errore assoluto della misura effettuata dagli studenti.
43) Data la serie di misure 6,20; 6,22; 5,98; 6,20; 6,20 , in metri, il risultato corretto della misura è:
(6,16 ± 0,02) m (6,16 ± 0,01) m (6,16 ± 0,12) m
44) Nove misure diverse della larghezza della cattedra forniscono la seguente serie di risultati: 1.21m, 1.23m,
1.20m, 1.20m, 1.19m, 1.24m, 1.22m, 1.21m, 1.21m. Si determinino il valore medio, l'errore assoluto,
l'errore relativo e si riporti il risultato della misura con il corretto numero di cifre
significative.
45) Si supponga che una misura, dei lati, di un banco fornisca i seguenti valori: lato a = ( 75,0 ± 0,1 )cm e
lato b = ( 50,6 ± 0,1 )cm. Calcola il perimetro e l’area del banco.
46) Supponiamo di aver effettuato le misure di due pesi e di aver ottenuto come risultato p1 = (21.3 ±0.4) g e
p2 = (19.61 ± 0.06) g. Usando le regole di propagazione degli errori si calcolino p1 + p2, p1- p2, p1 · p2, p1 :
p2, con il corretto numero di cifre significative.
47) Siano dati i lati di un parallelepipedo, a = ( 28,9 ± 0,1 ) cm, b = ( 14,5 ± 0,1 ) cm, c = ( 9,0 ± 0,1 )cm. Va-
lutare il volume ed il suo errore assoluto. c
1.28 In laboratorio
Misure dirette ed indirette
1) Misurare l’altezza della nostra scuola senza poter effettuare misure dirette della stessa.
Proporzionalità diretta
2) Verifica della proporzionalità diretta tra il volume e l’altezza di una colonna d’acqua, uti-
lizzando acqua ed un cilindro graduato;
Densità e massa
3) Individuare la densità di un corpo, noti massa e volume;
Fisica per la scuola superiore
42
1.29 Approfondimento: Galileo Galilei
« La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli oc-
chi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e cono-
scer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cer-
chi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola;
senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. »
(Galileo Galilei, Il Saggiatore, Cap. VI)
Galileo Galilei, ritratto di Justus Sustermans
Galileo Galilei (Pisa, 15 febbraio 1564) è stato un fisico, fi-
losofo, astronomo e matematico italiano, considerato il padre
della scienza moderna.
Il suo nome è associato ad importanti contributi in dinamica
e in astronomia - fra cui il perfezionamento del telescopio,
che gli permise importanti osservazioni astronomiche - e
all'introduzione del metodo scientifico (detto spesso metodo
galileiano o metodo scientifico sperimentale). Di primaria
importanza furono il suo ruolo nella rivoluzione astronomica
e il suo sostegno al sistema eliocentrico e alla teoria coperni-
cana.
Sospettato di eresia e accusato di voler sovvertire la filosofia
naturale aristotelica e le Sacre Scritture, Galileo fu processa-
to e condannato dal Sant'Uffizio, nonché costretto, il 22 giu-
gno 1633, all'abiura delle sue concezioni astronomiche e al confino nella propria villa di Arcetri.
Questo processo è stato annullato 359 anni dopo, il 31 ottobre 1992, dal cardinale Poupard che scri-
ve che la condanna del 1633 fu ingiusta e arretrata, per un'indebita commistione di teologia e co-
smologia pseudo-scientifica e da Papa Giovanni Paolo II, nel suo discorso ai partecipanti alla ses-
sione plenaria della Pontificia Accademia delle scienze.
La fondamentale importanza che la figura di Galileo riveste riguarda il suo ruolo nel recupero del
metodo scientifico sviluppato in epoca ellenistica e successivamente quasi dimenticato, grazie al
suo attento studio di alcune opere scientifiche, in particolare quelle di Archimede.
La sua importanza per la rinascita della scienza in generale e della fisica in particolare è riferibile
alle scoperte che fece per mezzo di esperimenti, quali, ad esempio, il principio di relatività, la sco-
perta delle quattro lune principali di Giove, dette appunto satelliti galileiani (Io, Europa, Ganimede
e Callisto), il principio di inerzia e che la velocità di caduta dei gravi è la stessa per tutti i corpi, in-
dipendentemente dalla massa o dal materiale.
Galileo si interessò inoltre del problema della misura della velocità della luce: egli intuì infatti che
questa non poteva essere infinita, ma i suoi tentativi per misurarla furono infruttuosi.