1 l iperbole. 2 argomenti trattati 1. lequazione canonica delliperbole 2. questioni basilari 3....
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1
L’ IPERBOLE
1 by
ax
2
2
2
2
2
ARGOMENTI TRATTATI
1. L’equazione canonica dell’iperbole
2. Questioni basilari
3. Questioni relative alle rette tangenti
4. Curve deducibili dall’iperbole
5. La funzione omografica
6. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro
7. Proprietà ottica dell’iperbole
3
L’EQUAZIONE CANONICA DELL’IPERBOLE
Definizione Si dice iperbole I il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la differenza delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi.
Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione canonica dell’iperbole.Siano F1(- c ; 0 ) e F2(c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della I .Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:
:ha si quadrato al Elevando
. ycxa2 ycx
:ossia , a2ycx ycx
: (*) relazione la enteanaliticam oRiscriviam
. ca , 2c2a cioè , FF PFPF
ha si , FPF o triangolil oConsiderat
. (*) Racon 2a PFPF
2222
2222
0
2121
21
21
. acayaxac ; caayaxcxa ; yacxa2caxacxa2axc
; ycx2cxacxa2axc :otteniamo ancora elevando ; ycxa acx
; ycxa4 4a4cx ; ycxa4ycx2cxa4ycx2cx
2222222222422222222222222422
22222422222
222222222222
4
. x assesull' fuochi icon iperboledell' canonica equazione , 1b
y
a
x
: baper dividere possiamo , 0b e 0a poichè , infine , bayaxb
: scivere e Rbcon acb porre possiamo quindi , 0ac esicurament è , ca Poichè
2
2
2
2
22222222
022222
.y assesull' fuochi icon iperboledell' canonica equazione
, 1b
y
a
x
:ottiene si , bc e R ccon , abc e
Rbcon , b2PFPF
ponendo y, delle asseall' noappartengo
fuochi i se che, dimostrare può si teAnalogamen
2
2
2
2
0222
021
5
erso.non trasv asse e o trasversasse menterispettiva
ancora chiamano si BB e AA segmenti i partcolareIn
.ersonon trasv assey assel' e o trasversasse chiama si x assel'
iperbole,dell' vertici chiamano si 0 ; aA e 0 ; aA punti I
sol. nessuna , by
0x
1b
y
a
x :y asse neIntersezio
. a x; a x
0y
1b
y
a
x : x asse neIntersezio
. Rb , Ra che Ricordiamo
xassesull' Fuochi
iperboledell' grafica azioneRappresent
2121
21
222
2
2
2
222
2
2
2
00
. Ry , 0yb ybb
a x;
b
y1a x;
b
y1
a
x
. a x a xcioè , 0ax axa
by ;
a
x1-by ;
a
x1
b
y
:y e x di zaappartenend' insiemi gli Cerchiamo
22222
2
2
2
2
2
22222
2
2
2
2
2
6
erso.non trasv asse e o trasversasse menterispettiva
ancora chiamano si AA e BB segmenti i partcolareIn
.ersonon trasv asse x assel' e o trasversasse chiama siy assel'
iperbole,dell' vertici chiamano si b; 0 B e b ; 0B punti I
b.y , by
0x
1b
y
a
x :y asse neIntersezio
sol. nessuna , a x
0y
1b
y
a
x : x asse neIntersezio
. Rb , Ra che Ricordiamo
y assesull' Fuochi
iperboledell' grafica azioneRappresent
2121
21
222
2
2
2
222
2
2
2
00
. by b y cioè , 0by ybb
a x;
b
y1a x;
b
y1
a
x
. R x , 0ax axa
by ;
a
x1by ;
a
x1
b
y
:y e x di zaappartenend' insiemi gli Cerchiamo
22222
2
2
2
2
2
22222
2
2
2
2
2
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Osservazioni e altre definizioni
a. Gli insiemi d’appartenenza di x e y indicano che l’iperbole è una curva illimitata, cioè le coordinate dei suoi punti possono assumere valori comunque grandi.
b. L’iperbole è una curva che ha due asintoti di equazione y = ± (b/a)x .
c. Per tracciare il grafico è conveniente tracciare il rettangolo come in figura, avente i lati lunghi 2a e 2b, i vertici di coordinate (-a;-b); (a;-b); (a;b); (-a;b) e le diagonali appartenenti agli asintoti.
d. Il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c .
e. Simmetrie nell’iperbole con equazione canonica:F(-x;-y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria centrale, con centro O(0;0);F(-x;y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle y ;F(x;-y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle x .
f. Considerazione sul grafico per ricordare la relazione c2 – a2 = b2 oppure c2 = a2 + b2 :applicare il teorema di Pitagora sul triangolo OA2H.
g. Coordinate dei fuochi di un’iperbole di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F1(-c ; 0), F2(c ; 0), oppure F1(0 ;-c ), F2(0 ; c).
h. Se a = b l’iperbole si dice equilatera; il rettangolo del punto ‘c’ diventa un quadrato e gli asintoti hanno equazione y = ± x .
i. Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la distanza fra i vertici di un’iperbole èdetto eccentricità:
22 bac
. o trasversassedell' lunghezza
za focaletandise
8
iperbole.dell' rami
dei apertural' aumenta e verticidai oallontanan si fuochi i
: b anche quindi , c se e
vertici.i originecon semirette due
nelle degenera iperbolel' e verticiicon coincidono fuochi i
:0bper cioè , a bac se 1e
:limite casi due i moconsideria e a'' di valoreil fissiamo
tà,eccentricidell' geometrico osignificat il ecomprenderPer
. a)(c 1econ , a
c
a2
c2 e
xassesull' Fuochi
22
limite. casi due i econsiderar e b'' fissare :precedente caso al analoghe egeometrich ioniconsideraz Seguono
. b)(c 1econ , b
c
b2
c2 e
y assesull' Fuochi
9
QUESTIONI BASILARI
1. Date le seguenti equazioni canoniche di iperboli, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’asse trasverso, l’eccentricità, gli asintoti.
. rettangolo il e tracciargrafico ilPer . x y ; x a
b y asintoti
; 224
a
ce tàeccentrici ; 8 AA o trasversasse
; 0 ; 242F ; 0 ; 241F fuochi ; 0 ; 4A ; 0 ; 4A i vertic
. 24bac ; x assesull' trovanosi fuochi i
; equilatera iperbole , ba ; 4ba ;
4
a.
21
21
22
116
y
16
x 22
.rettangolo il tracciare grafico ilPer . 2y asintoti
; 1,122b
ce tàeccentrici ; 2 BB trasverso asse
; 5 ; 0F ; 5 F ; 1 B ; ; B vertici
. 5ac
; b ; 1a ; y assesull' sono fuochi i
; 4x ; 4xy b.
21
2121
2
222
x
5
22;0fuochi;010
2b
12
1y01
2
2
10
2. Dato il fascio di curve di equazione: kx2 + (2 - 3k )y2 = 1 , con k R - {0 ; 2/3}, determinare per quali valori di k l’equazione rappresenta:
a) un’ellisse ; b) una circonferenza ; c) un’iperbole con i fuochi sull’asse x ; d) un’iperbole con i fuochi sull’asse y ; e) un’iperbole equilatera.
.1k ;3k 2 k ; k321k1 : equilatera iperboleun' avereper e)
; 0k 2/3k
0k ;
0k321
0k1 :y assesull' fuochi icon iperboleun' avereper d)
; 2/3k 2/3k
0k ;
0k321
0k1 : x assesull' fuochi icon iperboleun' avereper c)
; 1/2k ;3k -2 k ; k321k1 : nzacirconfere una avereper b)
; 2/3k0 2/3k
0k ;
0k321
0k1 : ellisseun' avereper a)
: 1b
y
a
x equazioni lecon confrontoun esegui quindi
, 1k321
y
k1
x : canonica forma seguente nella fascio del equazionel' Riscrivi
2
2
2
2
22
11
3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di un’iperbole.
Facendo riferimento all’equazione canonica, determinare l’equazione di un’iperbole significa determinare i due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare due equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio:
• conosco a o b o b/a (coordinate dei vertici o lunghezza del semiasse trasverso o equazione asintoti) • conosco c (coordinate dei fuochi) • passaggio per un dato punto P(xp ; yp) (xp)2 /a2 - (yp)2 / b2 = ± 1 • conosco l’eccentricità e = c/a o e = c/b • tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q vedi Iperbole tangente ad una retta .
. canonica equazione 1y16
x ;
1b
4a ... ;
asintoti equaz. , xa
by
a
b
4
1
P)per (passaggio 1b16
9
a
25
. x4
1 y rette le asintoti come
avente e P(5;3/4)per passante , x assel' focale asse come avente iperboledell' equazionel' Determina 3.b
. canonica equazione 14
y x;
2b
1a ; 010a9a ... ;
)bac( ba5
P)per (passaggio 1b
12
a
2
. 32 ; 2P punto ilper
passante e 50;F fuococon , simmetria di assi suoi ai riferita iperboledell' equazionel' Determina a.3
2222
2224
22222
22
2
12
13
QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI
Analizziamo questi due problemi:
1. determinare le equazioni delle rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto di note coordinate;2. determinare l’equazione dell’iperbole tangente ad una retta di nota equazione.
1. Rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto P
Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento.
Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene all’iperbole.
Esempi
a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x2 - 9y2 = 9 e parallele alla bisettrice del 2° e 4° quadrante.
. 22xy : Pin tangentiRette
22q ; 072q72q814
Δ ; 09q9xq18x8 ...
qxy
9y9x
nullo ntediscrimina del Metodo
1,22222
22
14
b. Determina l’equazione della retta tangente all’iperbole di equaz. 16x2 - 3y2 = 1 nel suo punto A, del secondo quadrante, di ascissa -1/2 .
. 013y x8 : tangentee polare ettar ; 13y -2
1-16x : tosdoppiamen di formule le applico
1y36x1
1 ; 2
1A
; 1y ; 1y ; 1y34
16 :A di ordinatal' Determino
to"sdoppiamen di formule" delle Metodo
22A
22
c. Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x2 - 4y2 = 9 , condotte dal punto P(9/5;0).
Verifico se P appartiene all’iperbole: 81/ 25 9 P non appartiene all’iperbole, quindi posso avere due soluzioni.
. 8
9x
8
5y ;
8
5
9/5-5
2m ;
5
9-xmy : PT e PT tangentidelle equaz. le Determino
2 ; 5T ; 2- ; 5T ; 2y ; 9y4x
5x : T e T tangenzadi punti dei coordinate le eterminoD
. 5 x: polare ettar ; 9 5
9 x: tosdoppiamen di formule le applico
9y4 x
0 ; 5
9P
to"sdoppiamen di formule" delle Metodo
1,21,221
212221
22
15
Grafici relativi agli esempi 1a, 1b, 1c
16
2. Iperbole tangente ad una retta di nota equazione
Esempio
0ba
2
0;2ba
aminDeter
22
22
0 2-y 3-2x
1yx
a
. 0 2-y 3-2x equazione di retta alla
tangente è ed V coordinate di
vertice un ha che 1,yx
tipo del
iperboledell' equazionel'
22
2
22
. 1y4
3
4
x : iperboledell' equazione ;
3
32b
2a
:eConclusion
. 3
4b
4
3B ... 016B-91236
4 ; 012-y12y16B-9 ... ; 1By
16
4y129y
; 1By4
1
2
2y3
1y2
3 x
b
1Bcon , 1By
4
x
2a
22
2222
22
22
2
17
CURVE DEDUCIBILI DALL’ IPERBOLE
Esplicitando l’equazione di secondo grado x2/a2 - y2/b2 = ± 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono otto equazioni, quattro per i fuochi sull’asse x e quattro per i fuochi sull’asse y, con coppie di equazioni del tipo 1, 2, 3, 4, scritte sotto.
Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiiperboli.
. Ry , ybb
ax e , ax -acon x , ax
a
by equazioni delle Grafici
xassesull' Fuochi )a
(2)
22
(1)
22
18
(4)
22
(3)
22
. by b ycon , byb
ax ; R x , ax
a
by equazioni delle Grafici
y assesull' Fuochi b)
19
Esempi.
Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.
. 0y ordionata di punti i compresi
, x assel' sopra"" trovasi che semipiano il è 0y
; 1 ; 0V , 1- ; 0V verticidi
iperboleun' di equazionel' è 1y4
x dove
; Rx ; 0y
1b , 2a 1y4
x
; Rx ; 0y
4
x1y
sistema al equivale equazione questa ; 4
x1y .1
43
22
22
22
2
2
. 0 xascissa di punti i compresi
,y assedell' sinistra" a" trovasi che semipiano il è 0 x
; 2 ; 0V , 2- ; 0V verticidi
equilat. iperboleun' di equazionel' è 144
dove
2;y -2y ; 0x
2a 144
sistema al equivale equazione questa ; 4y x.2
43
22
22
2
yx
byx
4yx 2
20
. 027y2x16yxy2y2x16x2y x...
027yy2xx16yyxx yyy
xxx
:one traslazimediante , y;x C simmetria di centro del Ricerca
. )xy''in rerettangola termineil manca (
oriferiment di sistema al rispetto ruotatinon simm. di assi glicon iperboleun' è , 04)1(140
degenere;non conica , 09264282718110801
:(*) conica la iamoClassifich
0)(Radicando 41 x 2 x; 1y
(*) 027y2x16yx sistema al equivale equazione questa ; 17x4
4
x2y .3
0020
20T0T0
2T
2T
0T0T2
0T2
0T0T
0T
00
222
. 1 ; 8V , 1 ; 2V : sono verticii , quindi
14 xe 2x
1y
027y2x16yx
1y
: verticidei Ricerca
. 8;1C cioè , 1y e 8 xquindi
, nulli essere devono y'' e x''in grado primo di
terminii , oriferiment del originenell'
centrata e ruotatanon iperbolel'Per
21
22
00
21
LA FUNZIONE OMOGRAFICA
1. Iperbole equilatera riferita agli asintoti
L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria è x2 - y2 = a2 .
Mediante una rotazione del sistema di riferimento di un angolo = ± 45° , gli asintoti diventano i
nuovi assi cartesiani e l’equazione dell’iperbole diventa xy = k (*) , con k R0 , x0 e y0 .
(Vedi i grafici in coda al capitolo)
. 2
ayx ; ayxa
a
;ay- xabbiamo oriferiment vecchioNel . * la Ricaviamo
o.riferiment del originel'con ecoincident simmetria di centrocon
omografica funzione eparticolar la è questa ; x
ky : scritta anche essere puo , * equazione'L
2
nn2
nn22222
222
22V
2V
42
1 ; nynx2nynxnynx2nynx
2
1
, nynxnynx2
1
yx2
2y
yx2
2x
: 45 rotazione una oeffettuiam 1.
nnv
nnv
22
quadrante. 4 e 2 nel trovasi grafico il , 02
ak se
quadrante; 3 e 1 nel trovasi grafico il , 02
ak se
e,particolarin e kyx ha si , Rkcon , 2
ak ponendo :eConclusion
. 2
ayx ; ayxa
a
2
2
nn0
2
2
nn2
nn22222
222
42
1 ; nynx2nynxnynx2nynx
2
1
, nynxnynx2
1
yx2
2y
yx2
2x
: 45 rotazione una oeffettuiam 2.
nnv
nnv
Osservazioni
1. L’equazione xy = k , ovvero y = k/x , indica che fra le variabili x e y c’è proporzionalità inversa e k è la costante di proporzionalità.
2. Gli assi di simmetria dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti sono le bisettrici dei quadranti e quindi i fuochi e i vertici appartengono a tali rette. Le coordinate dei vertici reali sono le soluzioni del sistema:
k ; kA ; k ; kA ; ky x xy
kxy 0 k se
k ; kA ; k ; kA ; kyx xy
kxy 0 k se
21
21
23
Le coordinate dei fuochi sono:
. 2
ak k2a , a 2c OF , a OA
che ricordare basta , coordinate queste ottenerePer
k2 ; k2A ; k2 ; k2F , 0 k se
k2 ; 2kF ; k2 ; 2kF , 0 k se
2
1,21,2
21
21
.8y xè canonica
equazionel' e , 22k2 a , 8 ; 8F
, 8 ; 8F , 2 ; 2A , 2 ; 2A quindi , 4 k
inoltre , x y retta la o trasversasseper ha
origine;nell' centrata omografica funzione una cioè
asintoti, agli riferita equilatera iperboleun' E'
. 4 xyequazione di conica della canonica
equazionel' ricava e disegna , Descrivi Esempio
22
2
121
24
25
2. Iperbole equilatera traslata – funzione omografica traslata
Mediante una traslazione del sistema di riferimento dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti si ottiene l’equazione della funzione omografica che ha per grafico una curva non centrata nell’origine:
. dcx
baxy : cercata equazionel' ottiene si
, (*)
c
ac
d
c d
kcb
ca
niassegnazio
le fatte quindi , ccx
kcxcy ottiene si
Rcper redenominato e numeratore ndomoltiplica
, x
kxy , kxyx
, kyxy x, kyx
ottiene si kyx equazionenell' oSostituend
. yy
xx one traslazila oeffettuiam
oneDimostrazi
dcx
baxy kyx
n
nn
n
n
0
n
nnnn
nnnnnn
vv
nv
nv
n
nnvv
26
;
1-2/3y ha si 2/3kper ; 2/3k ; dc
ba
. 1/2-x/4y retta la ha si 0kper ; 0k 0c a.
simmetria. di centri dei geometrico luogo il c.
; curve) le tutte a comuni (punti base punti dei coordinate le b.
; equilatere iperboli arappresent equazionel' k di valori qualiper a.
: determina , 1-k
y equazione di funzioni di fascio il Dato Esempio
. ) ; P(-d/c punto del privata ,x asseall' parallela retta una cioè , -d/cx con , y
, dcx
dcxy diventa equazionel' e , dcxbax e db , a che
anche ha si allora , con , b/da/c 0,bc-ad se Infatti . 0bc-addcba b.
retta. una è che , d
ay :diventa equazionel' 0d e 0c se Infatti . 0 c a.
se iperboleun' arappresent equazione L' 2.
. y , c
d-x asintoti degli equazioni le e
c
d-C ) ; C(
, oriferiment nuovo nel C simmetria di centro del coordinate le fornisce (*) sistema precedente Il 1.
. )n'' pedici i otrascuriam punto questo da ( dcx
baxy equazionedell'
4x)3/2(
2x0k24k44k
21k
4kx
2x
c
R
d
bx
c
a
c
a;
Analisi
0
27
. seguente pagina nella grafico Vedi
. 1) 0; P( punto del privata
, 14
xy retta la è centri dei luogo il quindi ; 0con x 1
4
xy
x
4x
x-4
y
;
x
4
1x
4
y
k
1ky
x
4k
k
4x
k
1k;
k
4C a/c) ; C(-d/c simmetria di Centri c.
. 1) ; B(6 , 1/2)- ; A(0 base punti 02xy4
1y ; 0x
02xy4
0x-xy
:sistema il risolviamo , base punti dei coordinate le ottenerePer
. 02xy4x-xyk 2x1ky4-kx :k doraccoglien e
implicita forma nella equazione sua la scrivendo , fascio del base punti i Cerchiamo .b
. 2/3 ; 0-Rk equilatere iperboli arappresent data equazionel' :Conclusine
. 1/2)- ; P(6 punto del privata 2
1-y retta
6-x2
6-x-y
28
29
DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO
CASO IPERBOLE – RETTA
y e/oper x ilimitazion eventuali
retta una di equazione
iperboli di fascioun di equazione
(2) oppure
y e/oper x ilimitazion eventuali
rette di fascioun di equazione
iperboleun' di equazione
(1)
: casi seguenti i presentare possono Si
Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze.
Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano l’iperbole nel caso (1), o la retta interseca le iperboli nel caso (2).
In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1).
Esempi
:grafico) (metodo grafico dal ediscussion la effettuare comodo molto E'
(1) tipodel sistema
0y
0kyx2
4yx
:sistema seguente il Discuti 1.
22
30
. limite soluzione una , 4 kper
i,coincident soluzioni due ammette sistema il 32kper
, ordinaria una e limite soluzione una ha si 4 kper eparticolarin
4;k 4 kper soluzione una
, 32k4per soluzioni due ammette sistema il : eConclusion
. 32k ; 012k3k44
04kkx43x k x2y
4yx : tangenzadi condizione
; 4k : 0 ; 2Vper passaggio ; 4k : 0 ; 2Vper passaggio
; utili archi gli individua grafico Sul
. 2m ang. coeff. improprio, fascio ;k x2y 0kyx2
; (2;0)V , (-2;0)V vertici,equilatera ip. , 2ba ; 4yx
22
2222
21
2122
quindi , 0y
0x
2x
xy
0x
2x
xy
0x : a equivale
2x
xy equazione l'
1x
kyx2x
xy
:sistema seguente il Discuti 2.
31
. O(0;0) ordinaria sol. una e
A(-1;1) limite sol. una 0kper
i;coincident sol. due 223kper
: eparticolarIn
. 0kper sol. una e
0k223per sol. due :iConclusion
. 0k : O(0;0)per Pasaggio
. 0k : A(-1;1)per Pasaggio
. 223kper è interessa che tangentela
; 223k ; 01k6k
0k2xk1 x kyx2x
xy
: 2x
xy curva sulla posta essere deve
tangenzadi condizione la che Osserva
utile. arcol' individua grafico Dal
0x
kyx2x
xy
0x1
kyx2x
xy
: a equivale partenza di sistema il
O
A
1,22
2
32
PROPRIETA’ OTTICA DELL’IPERBOLE
L'iperbole, come l'ellisse, possiede proprietà ottiche. Supponiamo di avere un riflettore di forma iperbolica e poniamo una sorgente luminosa in uno dei due fuochi (F): i raggi vengono riflessi lungo una traiettoria ottenuta congiungendo l'altro fuoco (F’) con il punto di riflessione, si comportano cioè come se provenissero dall'altro fuoco.
Specchio iperbolico