Lezione 3) Cenni di teoria dell’elasticità, sforzi e deformazioni, l’equazione delle onde elastiche

212

1

1 1)'('''

dxdxdx

dxdx

PQ

PQQPnormalenormale

2

1

3

2

1

2

2

1

1

1

12

22

2

11

3

2

11

2

2

11

12

1

21)(

)'(21

1)'(

),(),('

x

u

x

u

x

u

x

u

dx

dx

dxx

udx

x

udx

x

udx

txtxdxdx

normalenormale

PQ

uu

V

V

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

ii

normale

u3

3

2

2

1

1,

3

33,3

2

22,2

1

11,1

1

1 ,,

:ottienesiordinesecondoditerminiioTrascurand

Il tensore dello sforzo

Condizione di equilibrio per le forze

La condizione è verificata se si ha:

Condizione di equilibrio per i momenti

La condizione è verificata se si ha:

3

3,1

2

2,1

1

1,112

12

xxxf

t

u

In assenza di equilibrio ed in presenza di forze di volume alle condizioni di equilibrioricavate in precedenza si dovrà aggiungere un termine inerziale ed un termine legatoalle forze di volume, per la componente in direzione 1 si ottiene quindi:

In assenza di forze di volume l’equazione per la componente sopra descrittasi trasforma come segue:

3

3,1

2

2,1

1

1,1

21

2

xxxt

u

Tale equazione rappresenta l’equazione omogenea del moro e per risolverla è necessario esprimere le componenti dello stress in funzione del vettore spostamento u

La legge che lega sforzo e deformazione è la legge di Hooke che stabilisce una proporzionalità diretta tra le due grandezze in campo elastico. In particolare ogni componente dello sforzo può essere legata linearmente ad ogni componente della

deformazione secondo la legge seguente:

3,33,3,1,12,32,3,1,11,31,3,1,1

3,23,2,1,12,22,2,1,11,21,2,1,13,13,1,1,12,12,1,1,11,11,1,1,11,1

,,,,,

CCC

CCCCCC

C lklkjiji

Le 81 costanti possono essere ridotte a 36 utilizzando la simmetria del tensore delle deformazioni, ed ancora, a 27. Per materiali isotropi la legge si semplifica ulteriormente

riducendosi alla seguente forma:

jijiiiii ,,,, 22

e sono dette costanti di Lame’, è chiamato modulo di taglio ed è nullo nei fluidi

1

3

3

13,13,1

1

2

2

12,12,1

1

1

3

3

2

2

1

11,11,1

2

2

22

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

Sostituendo agli sforzi la loro espressione in termini di deformazione ed alle deformazioni la loro espressione in termini di spostamento si

ottiene:

Sostituendo nella equazione del moto si ottiene:

1

3

3

1

31

2

2

1

21

1

12

12

2x

u

x

u

xx

u

x

u

xx

u

xt

u

23

12

23

12

21

12

3

3

2

2

1

1

112

12

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

xxt

u

12

12

12

)( uxt

u

32

32

32

22

22

22

)(

)(

:componentialtreleperteAnalogamen

uxt

u

uxt

u

Le tre equazioni possono essere scritte in forma vettoriale nel seguente modo:

uuuuu 22 2..

21

2

221

12

1

11

1

111

..

1111

11111

..

11

..

1

2

1

t

u

cx

u

xxu

AAxx

uxAumFx

u x t f x ct g x ct1 1 1 1,

Supponiamo di avere una barra elastica lunga e sottile che oscilli in direzione della sua lunghezza sotto l’azione di forze esterne. L’equazione del moto si otterrà uguagliando i termini di inerzia al gradiente di sforzo attraverso la barra che non si troverà in condizioni di equilibrio :

La soluzione generale di questa equazione è data dalla seguente funzione :

u x t X x T t1 1 1,

0)()(

0)()(

)(

)(

1,0

)(

)(

1)(

)(

1

22

2

12

2

21

2

22

2

2

2

21

2

1

2

1

1

tTdt

tTd

xXcdx

xXd

dt

tTd

tTponendo

dt

tTd

tTdx

xXd

xXc

u x t Aei t x c1 1, /

Cerchiamo una soluzione dell’equazione precedente nella forma :

da cui si ottiene sostituendo nell’equazione di partenza :

Le equazioni precedenti ammettono soluzioni di tipo armonico per cui la soluzione finale sarà data da :

33

22

11

ˆˆˆ xx

xx

xx

Si definisce gradiente di un campo scalare il vettore:

Il gradiente punta nella direzione di massima pendenza del campo

Si definisce divergenza di un campo vettoriale

3

3

2

2

1

1

xxx

La divergenza è un campo scalare che misura il flusso di un vettore attraverso

un volume unitario, vale la relazione:

SV

dSndV)(

Il Laplaciano di un campo scalare è dato dalla divergenza del gradiente

23

2

22

2

21

22

xxx

2

Il Laplaciano di un campo vettoriale è un vettore che ha come componenti i Laplaciani delle componenti originali, e si può scrivere come:

Il teorema di Helmotz dice che qualsiasi campo vettoriale u può essere rappresentato in termini di un potenziale scalare e di un potenziale vettoriale secondo la seguente relazione:

0,0:

con

u

02 22

Utilizzando il teorema di Helmotz possiamo riscrivere l’equazione delle onde in termini di potenziali nella seguente forma:

L’equazione scritta sopra è soddisfatta se si pongono uguali a zero simultaneamente i due termini, si ottiene quindi una equazione scalare ed una equazione vettoriale che danno come soluzioni onde viaggianti con velocità (onde P) e con velocità (onde S) espresse dalle seguenti relazioni:

2

2

3

2

2

2

2

2

1

22

2

2

3

3

2

2

1

1

xxxt

xx

xx

xx

UP

)()()(,, 321321 tTxZxYxXxxx

In tre dimensioni andiamo a considerare lo spostamento delle onde P utilizzando la relazione tra i potenziali espressi dal teorema di Helmoltz e gli spostamenti:

Cerchiamo una soluzione del tipo:

Che porta a quattro equazioni accoppiate, analogamente a quanto vistonel caso monodimensionale.

Sostituendo nell’equazione per il potenziale si ottiene:

21

12

322

2

2

321

)()()()((

)()()()(

dx

xXdtTxZxY

dt

tTdxZxYxX

))(

)()()()(

)()()( 22

32

2122

22

31dx

xZdtTxYxX

dx

xYdtTxZxX

2

3

32

32

2

22

22

1

12

1

22

2 )(

)(

1)(

)(

1)(

)(

1)(

)(

1

dx

xZd

xZdx

xYd

xYdx

xXd

xXdt

tTd

tT

Che diventa:

Ponendo: 22

2 )(

)(

1 dt

tTd

tT

Si ottiene: 02..

TT

2

2

23

32

32

2

22

22

1

12

1

)(

)(

1)(

)(

1)(

)(

1

dx

xZd

xZdx

xYd

xYdx

xXd

xX

Nell’ipotesi che: 2

223

22

21

kkk

Si ottengono le equazioni: 0,0,0 23

..2

2

..2

1

..

ZkZYkYXkX

La soluzione dei singoli termini è data da funzioni oscillanti, per cui la soluzione generale si ottiene nella forma seguente:

332211exp, xkxkxktiAtx

Che rappresenta un insieme di onde piane nello spazio. Il fatto che la soluzione sia legata ad onde piane deriva dalla dipendenza lineare del termine di fase dalle coordinate spaziali e che quindi la fase assuma valori costanti su un piano. Un discorso del tutto analogo si può ripetere per il potenziale vettore legato alle onde S per cui si otterranno soluzioni equivalenti a quelle ottenute per le onde P ma con velocità di propagazione .

332211exp, xkxkxktiAtx

ottienesixxponendoxkxkxk ,1,10 21332211

0/

.'

),,(/

321321

3213213

kkkkkk

ondadellpianonelgiacecheedescritto

menteprecedentevettoreilconscalareprodottoilnecalcoliamo

ekkkvettoreilmoconsideriakkkx

Da cui si deriva che il vettore k è ortogonale al piano dell’onda e che quindi è orientato lungo la direzione di propagazione dell’onda stessa.

Il vettore k sarà ortogonale al fronte d’onda ed il suo modulo sarà proporzionale alla velocità dell’onda stessa. Infatti prendendo ad esempio la soluzione

Il termine di fase rappresenta l’equazione di un piano, ad esempio per t=0 e fase nulla diventa si ottiene:

Valutiamo ora lo spostamento delle onde P a partire dal potenziale prima calcolato:

xktiAx

xx

xx

xUP

exp3

3

2

2

1

1

Che nel caso x2=0 diventa:

333113

133111

3311

exp

exp

exp

xxkxktiAAik

xxkxktiAAikU

xkxktiA

P

ik

sinik

cos3

1

Facciamo ora l’ipotesi di far propagare la nostra onda piana con k nel piano x1,x3, questo è

sempre possibile facendo opportune scelte di coordinate.In questo caso la seconda componente del vettore k si annulla. Imponiamo che la fase dell’onda sia costante:

Che rappresenta il fronte d’onda piana nel piano x1,x3, il vettore k è perpendicolare alla retta e le sue componenti sono date da:

31

31

3311 00

xk

kx

otteniamo

CassumiamosetperCxkxkt

Valutiamo ora lo spostamento delle onde P a partire dal potenziale prima calcolato:

xktiAx

xx

xx

xU P

exp3

3

2

2

1

1

Che nel caso x2=0 diventa:

333113

133111

3311

exp

exp

exp

xxkxktiAAik

xxkxktiAAikU

xkxktiA

P

Da cui si vede che lo spostamento delle onde P è nel piano di propagazione dell’onda stessa. Calcoliamo ora le componenti dello spostamento delle onde P nelle due direzioni x1 e x3:

AkU

AkU

P

P

3

1

3

1

Da cui si vede che lo spostamento P è lungo la direzione di propagazione.

Consideriamo ora lo spostamento legato alle onde S ed espresso anche stavolta in termini del potenziale vettore del teorema di Helmoltz:

3

2

1

1

22

1

3

3

11

3

2

2

3

xxx

xxx

xxx

U S

Come nel caso delle onde P imponiamo che il vettore k sia nel piano x1,x3, per cui si ottiene:

3

1

22

1

3

3

11

3

2

x

xx

xxx

xU S

Se associamo il piano x1,x2 con la superficie della terra e l’asse x3 con la verticale notiamo che la prima e la terza componente del moto associato alle onde S giace nel piano x1,x3 ed è chiamato moto SV, mentre la seconda componente giace nel piano ortogonale ed è chiamata SH. Il campo totale di spostamento risulta quindi dalla somma dei moti P,SV ed SH:

3

1

2

3

2

1

3

3

11

3

2

1

xxx

xxx

xxx

UUU SP

I moti P, SV sono completamente disaccoppiati dal moto SH.

1

3

3

1

xxU SH

Dove le due componenti del potenziale vettore soddisfano l’equazione delle onde:

Per il moto SH si ha:

331'

322

23

2

122

21

2

1exp: xkxktiAUottienesicuida

t

t

SH

Anche in questo caso i fronti d’onda si comportano come descritto per le onde P ed il moto è ortogonale alla direzione di propagazione.

Per lo spostamento SV si ha:

331'

2 1exp xkxktiB

3

1

21

3

2 xx

xx

U SV

3331'

1331'

3 11expexp

xxkxktiiBxxkxktiiBk

Nel caso particolare

331'

2 1exp xkxktiB

Il fronte d’onda è dato da:

Cxkxkt 3311

Che rappresenta una retta con pendenza –k1/k3 nel piano x1x3. Se calcoliamo il rapporto tra le componenti del moto SV otteniamo:

3

1

1

3

k

k

U

U

S

S

Che ci fa vedere come anche per le onde SV il moto è ortogonale alla direzione di propagazione.