1. La sexta parte del triple de 2– 1 m es:

1 1 1

3 m m 0,25m6 2 4

ALTERNATIVA D

2. Si R = 0,3 0,5 y S = 1

12

3 , entonces 2RS es:

3 1

R9 2

1

S 21

3

1 1 1

R3 2 6

S = 2 – 3

R = 1

6 S = - 1

Luego 2RS =

11

2 2 6 126

ALTERNATIVA C

3. Si 0,00002 = 100m0,2 ; entonces 2m es igual a :

5 2m 12 10 10 2 10

5 2m 12 10 2 10

5 2m 1

4 2m

2 m

Luego m 2 12 2 0,25

4

ALTERNATIVA B

4. Si x = 10, y = -10, entonces cual(es) de las expresiones siguientes es (son) igual(es) a cero?

I) x y

x y

10 10 00

2010 10

VERDADERA

II) yx

yx

10 10 20

010 10

NO DEFINIDO FALSA

III) yx

yx

10 10 0

010 10

NO DEFENIDO FALSA

ALTERNATIVA A

5. Con respecto al número 1,25555 …. , es verdadero que:

I) Es un número Irracional.

Se puede expresar como 1,25 , es un número decimal semiperiódico , es racional.

FALSO

II) Aproximado por defecto a la milésima resulta 1,255

Aproximar por defecto 1,25555… queda 1,255

VERDADERO

III) Transformado a fracción es igual a 113

90

125 12 113

1,2590 90

VERDADERO

ALTERNATIVA D

6. En una bodega hay 1200 cajas de arroz, si se saca el 20% del total y posteriormente se repone el

20% de lo que queda, ¿Cuántas cajas faltarían para completar las 1200 que había inicialmente?

Total 1200 cajas

a) Se saca el 20% del total 20

1200 240100

cajas, quedando 960 cajas.

b) Posteriormente se repone un 20% de lo que queda, entonces 20

960 192100

cajas, luego se

sacaron 240 al inicio y posteriormente se repusieron 192, faltando aun 48 cajas.

ALTERNATIVA B

7. Sea p un número racional tal que 0 < p < 1 y n un número entero mayor que uno. De las siguientes

opciones, ¿cuál representa el mayor número?

Si “p” es un racional que esta entre 0 y 1, entre más grande sea el exponente entero positivo la

fracción se hace menor, es decir: p3< p2< p.

Luego en las alternativa A, B, D y E la expresión disminuye; en el caso de la alternativa C este crece

porque ( p + 1)n = es una expresión mayor que uno.

ALTERNATIVA C

8. Sean “a” y “b” dos números Reales, si a b es un número Racional, entonces ¿cuál(es) de las

siguientes expresiones NO pueden ser verdadera(s)?

I) “a” y “b” son Números Irracionales.

VERDADERO, porque podría ocurrir que a y b fueran 2 2 4 2 (Racional)

II) “a” es un entero y “b” es un Racional.

VERDADERO, siempre Entero por Racional da como resultado un Racional, Ej.: 2 6

35 5

III) “a” es un número Racional y “b” es un número Irracional

FALSO, “a” es un Racional y “b” Irracional; el resultado será siempre Irracional

Ej.:3

24 = Irracional.

ALTERNATIVA C

9. 2

5 59 3

25

2 5

210 5

215 30

3 3

3 3

3 3

ALTERNATIVA C

10. Se puede determinar que “m” es un número irracional, si se sabe que:

(1) 5 < m < 6

FALSO, con solo (1) imposible determinar que “m” es irracional porque entre 5 y 6 hay un

conjunto infinito de números Reales de los cuales hay Racionales e Irracionales.

(2) m2 es irracional

VERDADERO, ya que si el cuadrado de un número da como resultado un Irracional el original era

Irracional.

2

m = Irracional

ALTERNATIVA B

11. ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta(s) cuando X toma el valor – 3?

I) x

2 12

64 =

32 6

6

1 12 2

642

VERDADERO

II) 6 x2 4 1 = 3

6 3 6 2 6 6 02 4 2 2 2 2 2 1

VERDADERO

III) 3 x 18

8 =

33 3 13

18 8 8

8

VERDADERO

ALTERNATIVA E

12. Las edades de un padre y su hijo suman 47 años y dentro de 1 año la edad del Padre será 6 veces

la edad de su hijo. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones representa la situación descrita,

siendo “x” la edad del Padre?

Primera parte: Padre Hijo

X + y = 47

Segunda Parte : x + 1 = 6(y + 1)

ALTERNATIVA D

13. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es o son siempre verdadera(s), con a, b, m, n números

enteros positivos?

I) n

n m ma a FALSO

II) n m nma b ab = nm nm mnm n m nn ma b a b a b FALSO

III) nmn m 1ma a a =

n m nmm m 1a a a VERDADERO

ALTERNATIVA C

14. Sea X un número Real distinto de cero; ¿entonces a qué expresión corresponde 1

xx

?

2 x 1 x 11 x 1

xx x x

ALTERNATIVA B

15. Se deposita en una Financiera la suma de $25.430.000 a una tasa de interés compuesto del 1,5%

capitalizable a cada 2 meses. ¿Cuál será el capital a retirar dentro de 1,5 años?

Capital Final = Capital inicial (1 + i%) tiempo

25.430.000 (1 + 1,5%)9

25.430.000 (1,015)9

ALTERNATIVA A

16. ¿Cuál(es) es el conjunto de todos los números que están a una distancia menor que 5 del real 5?

distancia 5 del real 5

Entonces ahora distancia menor de 5 queda:

0,10

ALTERNATIVA C

17. Si p = 3

1log

27 , q = 1

4

log 2 , entonces p q es :

p = 3

1log

27, entonces,

x

x 3

13

27

3 3

x 3

q = 1

4

log 2 , entonces

x

2x 1

12

4

2 2

1x

2

p = - 3 ; q = 1

2 , luego p q =

3

2

ALTERNATIVA A

18. Si log a = 0,2 y log b = 0,4 , ¿cuál(es) de la siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) log2

a0,6

b

VERDADERA : log a – log b2 = log a – 2log b = 0,2 – 2(0,4) = 0,2 – 0,8 = – 0,6

II) log a2b = 0,8

VERDADERA: 2 log a + log b = 2(0,2) + 0,4 = 0,8

III) log ab 0,2

FALSA :1 1

loga logb2 2

1 1

0,2 0,4 0,32 2

ALTERNATIVA D

0 5 10

0 10

19. Si m = 3 1 ; p = 3 1 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) m p es Racional.

VERDADERA, 2 2

3 1 3 1 3 1 3 1 2 Racional.

II) m2 – p2 = 4 3

VERDADERA,

3 2 3 1 3 2 3 1

4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3

III) p2 – 4 es Irracional.

VERDADERA, 2

3 1 4 3 2 3 1 4 2 3 Irracional

ALTERNATIVA E

20. Si el área de una figura plana está representada por la expresión:

I) x2 + 4x + 4, entonces la figura puede ser un cuadrado de lado (x + 2).

VERDADERO

= (X + 2)2

II) x2 + 9, entonces la figura puede ser un cuadrado de lado (x + 3).

FALSO

≠ (X +3)2

III) x2 + 7x + 12, entonces la figura puede ser un rectángulo donde uno de sus lados es (x + 4).

VERDADERO

= (X + 4)(X + 3)

ALTERNATIVA C

21. Si “p” es un número Real positivo mayor que 1, entonces 346 3p p p es igual a :

346 3p p p = 1 13 2 9 4 15

6 34 12 12p p p p p

I) VERDADERA 54 p = 5

4p

II) VERDADERA 4 p p = 1 5

14 4p p p

III) FALSO

4

51

p

= 4

5p

ALTERNATIVA A

X+2

X+2

X+3

X2+4X + 4

X+3

X+3

X+3

X2+9

X+4

(X+3)

X+3

X2+7X +12

22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto a la ecuación cuadrática ax2 + bx = 0,

con a y b números reales distintos de cero?

ax2 + bx = 0

x(ax + b)= 0

Entonces x’ = 0

ax + b = 0

ax = – b

x’’ = b

a

ALTERNATIVA E

23. En la inecuación x2 + x – 6 ≥ 0 . ¿Cuál es su conjunto solución en los números Reales?

x2 + x – 6 ≥ 0

(x + 3)(x – 2) ≥ 0

Puntos críticos x’ = - 3 x’’ = 2

- -3 2 +

(x + 3) - + +

(x -2) - - +

-

, 3 2,

ALTERNATIVA C

24. ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones x 1 2

x 1 2

?

Se resuelve primero x – 1 < 2

Luego x < 3

Posteriormente x + 1 > 2

X > 1

Finalmente se grafican ambas soluciones

Se intersectan en el intervalo ] 1 , 3 [

ALTERNATIVA A

1 3

25. Dado el sistema de ecuaciones : x 2y 0

x 2y 4

, se afirma que:

I) La solución gráfica del sistema se encuentra en el primer cuadrante.

II) En el gráfico una de la rectas pasa por el origen del sistema cartesiano

III) En el gráfico una de las rectas pasa por el (4, 0)

Es (son) verdadera(s):

x 2y 0

x 2y 4

luego x – 2y = 0

2 – 2y = 0

–2y = – 2

Y = 1

Segundo 2x = 4

X = 2

I) VERDADERA (2,1) se encuentra en el primer cuadrante.

II) VERDADERA Todas las ecuaciones de la recta que tengan la forma ax + by = 0 pasan por

el origen, en este caso x – 2y = 0

III) VERDADERA Recta x + 2y = 4 pasa por el punto (4, 0)

Al comprobar x = 4 e y = 0 queda 4 + 2(0) = 4 , entonces 4 = 4

ALTERNATIVA E

26. Sean z1 z2 dos números complejos tal que z1 = (3 – 4i) z2 = (x + 2i). ¿Cuánto debe valer

x para z1z2 , dé como resultado un número imaginario puro?

z1 z2 = (3 – 4i)(x + 2i)

3x + 6i + 4xi – 8i2 + 8 i2 = - 1

3x + 8 + 6i + 4xi

Para transformarse en imaginario Puro debe eliminarse parte Real.

Es decir 3x + 8 = 0

3x = - 8

X= 8

3

ALTERNATIVA A

27. Si m , n y p son números reales mayores que 1, tal que m > n > p. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

o son Falsas?

I) n + p > m + n = p > m FALSO

II) n m p n m n Recordar que (n – m) es negativo entonces – p > - n VERDADERO

III) m4 n > m4p = n > p VERDADERO

ALTERNATIVA A

28. En la ecuación cuadrática ax2 – bx + 6 = 0, una de las soluciones de la ecuación es x’ = 3 + 2i,

entonces la suma de las soluciones x’ + x’’ es:

En la ecuación cuadrática ax2 – bx + 6 = 0, si una solución es x’ = 3 + 2i, entonces la x’’ solución

es x’’ = 3 – 2i, luego x’ + x’’ = 3 + 2i + 3 – 2i = 6

ALTERNATIVA A

29. Sea la función f y g definida por f(x) =1

1 x y g(x) =

x

x 1. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es o son verdadera(s)?

f(x) =1

1 x y g(x) =

x

x 1

Dom f: - {1} Dom g: - {1}

Rec f :1

y1 x

Rec f : x

yx 1

y (1 – x) 1 (x – 1)y = x

y – xy = 1 xy – y = x

y – 1 = xy xy – x = y

y 1

xy

x ( y – 1) = y

X = y

y 1

Rec f : - {0} Rec g : - {1}

I) Dominio de f es igual al Recorrido de g. VERDADERO

II) El Recorrido de g es igual al recorrido de f. FALSO

III) El dominio y Recorrido de la función g son iguales. VERDADERO

ALTERNATIVA E

30. Sea f(x) = 3 y g(x) = x + 3 dos funciones de . ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones

es o son verdaderas?

De acuerdo a la figura entonces:

I) Se intersectan en el punto (0, 3) VERDADERO

II) El perímetro del triángulo formado por la función g(x) y los ejes cartesianos es 6 + 3 2

VERDADERO

III) f(– 1) = f(1) VERDADERO

ALTERNATIVA E

31. Sea f una función definida por 3 2x

f(x)2

y 1f (x) su función inversa, entonces ¿cuál es

el valor de 1f 3 ?

f(x) = 3 2x

2

1f (3) ?

3 2x

32

3 – 2x = 6

-3 = 2x

3

x2

ALTERNATIVA B

g(x)

f(x) 3

3

3

3 2

32. Para que la función f: 1, A , definida por 2

f(x) 2 x 1 2 , sea sobreyectiva, ¿cuál debe

ser el conjunto A?

f: 1, A 2

f(x) 2 x 1 2

sobreyectiva

Para que la función sea sobreyectiva, entonces el eje y de la figura debe estar ocupado, en este

caso 2,

ALTERNATIVA D

33. Si f : , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones relativas a la función f(x) = x1 2 es (son)

verdadera(s)?

I) La función es creciente FALSO

Si se le asigna valores a x en la función esta disminuye su valor por lo tanto es decreciente.

II) El punto (0, 0) pertenece al grafico de f. VERDADERA

(0,0) se reemplaza en la función

F(x) = 1 – 2X

0 = 1 - 20

0 = 1 – 1

0 = 0

III) El gráfico de f corta al eje X VERDADERA

Corta al eje en el punto (0,0)

ALTERNATIVA E

34. Respecto a la función mh(x) 3x , definida en , con “m” un número entero positivo. ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) Si m es impar mayor que 1, entonces la función es inyectiva. VERDADERO

h(x) = 3x impar > 1 , entonces las funciones son 3x3 , 3x5 , 3x7 (todas estas son inyectiva)

II) Si m es par, entonces la función es biyectiva. FALSO

h(x) = 3xpar biyectiva., porque no es inyectiva.

III) Si m = 5, entonces h(–1) < 0 VERDADERA

h(x) = 3x5

h(-1) = 3(-1)5 = 3(-1)= -3

ALTERNATIVA E

2

1

35. El gráfico de la función f(x) = p(x + 4)2 + 3 se muestra en la siguiente figura, entonces p =

f(x) = p(x+4)2 + 3 corta al eje y en (0,11)

Luego p(x + 4)2 + 3 corta en el punto (0,11)

1

2 16 + 3

8 + 3 = 11

P = 1

2

ALTERNATIVA C

36. Si a ≠ 0, se puede determinar la suma de las raíces de ax2 + bx + c = 0, si :

(1) a = b

ax2 + bx + xc = 0

x’ + x’’ = b

a

como a = b quedan ax2 + ax + c = 0

entoncesa

1a

Luego la información es valida

(2) b = 2

ax2 + bx + c = 0

ax2 + 2x + c = 0

x’ + x’’ = b 2

a a

No se conoce el valor de a. No sirve la información (2)

A) (1) por sí sola

ALTERNATIVA A

-4

11

3

x

y

37. Si la pendiente de una recta es m = 3 y pasa por el punto (2 , 3), ¿cuál es el valor de la ordenada

del punto que pertenece a la recta cuya abscisa es 5?

Se conoce la pendiente y punto m = 3 y (2,3)

m = 2 1

2 1

y y

x x

3 = y 3

x 2

3(x – 2) = y – 3

3x – 6 = y – 3

3x – 3 = y

Luego se reemplaza por el punto de abscisas 5 y ordenada y (incógnita) (5,y)

3(5) – 3 = y

15 – 3 = y

12 = y

ALTERNATIVA B

38. ¿Cuál (es) de las siguientes rectas es o son perpendiculares a la recta L : y – 3x + 9 = 0 ?

La pendiente de la recta se encuentra despejando y entonces y = 3x – 9

m = 3 pendiente

Para ser perpendicular con esta recta, las demás deben tener pendiente m = 1

3

I) y = 1

x 23

VERDADERA

II) 3y + x – 1 = 0 VERDADERA

3y = - x + 1

y = 1

3

x +

1

3

III) y = 3x – 4 FALSO

La pendiente es 3

ALTERNATIVA D

39. En la recta de la figura, el valor de p es:

x y1 /40

10 8

4x 5y 40

4x 5y 40 0

Ahora se remplaza el punto (p, 5) 4p 5 (5) 40 0

4p 15 0

4p 15

15p

4

ALTERNATIVA B

40. Dados los puntos P = (-3, 5) y Q = (3 , 2) calcula las coordenadas del punto que pertenece a

PQ , cuya distancia al punto P es el doble de su distancia al punto Q.

3X=6

X=2

ALTERNATIVA B

41. Si la ecuación continua de una recta es

x 2 7 y

5 3 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El vector dirección es (5, 3).

Pues 1 1

1 2

x x y y

v v

(v1 , v2) = vector director

(x1 , y1) = vector posición

I es FALSA

II) El vector posición es (2, 7).

v posición (2,7) por la ecuación anterior, luego II es VERDADERA

III) La ecuación principal es y = 41 3

x5 5

X 2 7 y

5 3

3x – 6 = 35 – 5y

5y = 41 – 3x

Y = 41 3x

5 5

VERDADERA

ALTERNATIVA E

42. En la figura CD // AB . Se puede determinar que el triángulo ABC es congruente con el triángulo

DCB si:

(1) VERDADERO

(2) AB CD VERDADERO

ALTERNATIVA D

ppp

1 1 1 -1 1 -3 1 3

1 3 3y33y

3y33x

D P

D Q

1 5

1 2

43. En la figura adjunta, al aplicar al triángulo ABC una rotación en 180º con respecto al origen, se

obtiene el triángulo A’B’C’. ¿Cuál(es) de las siguientes transformaciones isométricas aplicada(s) al

triángulo A’B’C’, permite(n) obtener el triángulo ABC como imagen?

I) Una simetría axial con respecto al eje x, seguida de una reflexión con respecto al eje y.

P(x , y) reflejado con respecto a x P’(x, y) y luego con respecto a y queda p’’ (-x , -4)

Por lo tanto triángulo A’B’C’ queda ubicado en el triángulo original.

VERDADERO

II) Una simetría central con respecto al origen.

Una simetría central con respecto al origen es equivalente a una rotación en 180º, por lo

tanto es VERDADERA.

III) Una reflexión con respecto a la recta y = -x y luego una simetría axial con respecto y = x

Una reflexión con respecto ay = -x y luego una con respecto y = x queda una rotación en

180º, por lo tanto es VERDADERA.

A(1,2) A’(-1,-2)

B(3,1) B’(-3,-1)

C(5,3) C’(-5,-3)

ALTERNATIVA E

44. Los vértices de una figura son. P(3, 0); Q(0, 3); R(−3, 0) y S(0, −3). ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El perímetro de la figura es 6 2 FALSA

El perímetro es 3 2 4

II) Cada diagonal mide 6. VERDADERA

PR es diagonal y mide 6 , QS también es diagonal mide 6

III) El área de la figura es 18 VERDADERA

Área del cuadrado 2 2d 6

182 2

ALTERNATIVA D

Q

R P

S

1 2 3 -3 -2 -1

45. En la figura AB // CD . Si CD mide el doble de AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) siempre verdadera(s)?

I) Los triángulos OAB y OCD son rectángulos

No necesariamente son rectángulos, es FALSA

II) Los triángulos OAB y OCD son semejantes

Como AB // CD , entonces ángulo OAB = ángulo OCD y ángulo OBA = ángulo ODC, por

criterio AA son semejantes, por lo tanto es VERDADERA

III) AC 2 0A

AC 1

1OA , por lo tanto es FALSA

ALTERNATIVA B

46. En la figura AB // CD , ∢ ODE = 37º y O es centro de la circunferencia, entonces ∢ =

Luego ángulo ABC ángulo DOB, pues AB / /OD

ALTERNATIVA C

47. En la figura hay tres circunferencias tangentes exteriormente entre si, y a su vez tangentes a la recta

L en los puntos P, Q y S, de centro O1, O2 y O3 cada una de radio 9 cm , 16 cm y 4 cm

respectivamente. Determine la medida del segmento PS .

Luego PQ 24 QS 16

PQ 24 16 40

ALTERNATIVA D

B B

B B

B ∝

B ∝ B x

B 2x

1 1

1 1

1 2

7 74 7 37

7 37

9 9

9 9 9 16

9 25 9 20

9 16

9 4

9 24

9 12 9 7

48. Si en la figura el ΔEAD ≅ ΔCAB en ese orden y D es punto medio del segmentoCB , ¿Cuál es la medida

del ángulo CAE?

Como el ΔEAD ≅ ΔCAB

⟹ ∡ BAC ≅ DAE

Luego BA DA entonces ΔDAB es isósceles de baseDB , por lo tanto ∡ BAD =30° implica lo que implica

que ∡ CAE =30°

ALTERNATIVA C

49. El triángulo ABC de la figura es rectángulo en C y D pertenece al trazo AB , ¿cuál es la medida del

trazoBC ? 2

2 2

(X 2) X(X 6)

X 4X 4 X 6X

4 2X

2 X

X 2

BC (X 2)cm

2 2 cm

=4 cm

ALTERNATIVA B

50. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos son congruentes VERDADERA

Por criterio LLL. Los triángulos son congruencia

II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes FALSA

Pues para probar la congruencia se necesita como mínimo un lado, sí solo se tienen ángulos

correspondientes iguales solo se asume la semejanza.

III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son congruentes VERDADERA

Por criterio LAL

ALTERNATIVA C

75

30

4

2

51. En la figura, PT es tangente a la circunferencia. Se puede determinar el valor de PT si :

(1) AB= 10 cm y PB = 8 cm VERDADERA 2

PT 8.18

PT 144

PT 12

(2) PB : BA = 4 : 9 FALSA

2

2

PT 4X 13X

PT 32X

no se puede determinar

ALTERNATIVA A

52. En la figura, el triángulo ABC, rectángulo en C, genera la figura homotética A’B’C’ con centro 0 y razón

de homotecia r.

De acuerdo a la figura, es verdadero que:

I) ABC A'B'C' VERDADERA

La homotecia es un tipo de semejanza por lo tanto es semejanza

II) BC // B'C' VERDADERA

Eso es una condición de la homotecia por los lados correspondientes son paralelos

III) r> 0 VERDADERA

Pues la homotecia es directa, es decir me queda el mismo lado del centro

ALTERNATIVA E

10

8

9X

4X

53. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es Falsa?

A) Si a un cuadrilátero se le aplica una homotecia de razón k = 1 : 3 entonces el área de la figura

homotética se reduce a un tercio de la figura original. FALSA

Pues si k=1/3 el área se reduce a la novena parte pues la razón del área es el cuadrado de la

razón de semejanza.

B) Si a un pentágono se le aplica una homotecia de razón k = 4, entonces el perímetro del

pentágono homotético se amplifica cuatro veces respecto de la figura original.

C) Si a un pentágono de área 108 cm2 se le aplica una homotecia de razón k = 0,5; entonces se

obtiene un pentágono homotético de área 27 cm2

D) Las figuras homotéticas son semejantes.

E) Si a un triángulo se le aplica una homotecia k= -2 el triángulo homotético resultante es más

grande y además rota en 180º con respecto al centro de homotecia.

ALTERNATIVA A

54. Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC equilátero de la figura son: (2, 0 ,0), (0, 2, 0) y

(0, 0, 2).

Si CD es altura del triángulo ABC, entonces ¿cuáles son las coordenadas del punto D?

D es el centro del cuadrado AEBO en el plano XY y por lo tanto D tiene coordenadas (1, 1, 0)

ALTERNATIVA C

55. El rectángulo de la figura tiene por vértices los puntos A(2, 0, 0),

B(0, 1, 0), C(0, 1, 1) y D(2, 0, 1). ¿Cuál es su perímetro?

Como ABCD es rectángulo ∧ AB 5 por teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABO

Entonces AB DC 5

AD BC 1

Por lo tanto, perímetro 2 2 5

ALTERNATIVA A

56. Si el polígono de la figura se hace girar indefinidamente en torno al eje de las ordenadas, entonces

el volumen del cuerpo generado, en unidades cúbicas, es:

Al guiar indefinidamente se forman dos cilindros

ALTERNATIVA D

2

2

2

1 1

1

O

E (2, 2, 0)

B

A

D

C

X

Y

Z

0 1

2

5

57. Un tubo de alcantarillado de forma cilíndrica y de base circular, como el que se muestra en la figura,

tiene 3 cm de grosor y un radio interno de x cm. ¿cuál de las siguientes expresiones representa el

volumen del material usado en la construcción de este tubo?

El volumen usado es el volumen del cilindro mayor menos el volumen de cilindro menor.

Volumen cilindro mayor

Π (X+3)2 100

100 Π (X2+ 6x + 9)

Volumen cilindro menor

Π X2 100

100 Π X2

Vmayor Vmenor = 100 Π (X2+ 6x + 9) 100 Π X2

= 100 Π (X2+6x+9 X2)

= 100 Π (6x+9)

ALTERNATIVA C

58. En la circunferencia de centro O de la figura, se tiene que = =1

2 ; AC : diámetro. Si OBA =

50°, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) = + VERDADERA

II) AB = 80° VERDADERA

III) BC = 100° VERDADERA

ALTERNATIVA E

59. El promedio de 6 números naturales es “P”. Si tres de estos números son 15, 18 y 30, entonces

los otros tres números suman:

15 18 30 X

P6

63 X

P6

63 + X = 6P

X = 6P - 63

ALTERNATIVA C

40

40

100

50

80

50

80

100

40

60. Si “x” es una variable aleatoria discreta, se puede calcular el valor de P(X = 1) si:

(1) P(X = 3) = P(X = 2)

No sirve la información porque no se sabe el total de los valores de la variable X

(2) El recorrido de X es {1, 2, 3}

Se conoce el valor de X pero no se sabe la probabilidad de cada valor de X. No sirve la información.

Por (1) y (2)

X = {1 , 2, 3}

Pero falta saber P(x = 1) , por lo tanto re requiere información adicional.

ALTERNATIVA E

61. Si se realizaron 20 ensayos de PSU de Matemáticas en un curso de Cuarto Medio de un colegio, si

su tiempo promedio fue de 2 horas con 20 minutos y con una desviación estándar de 10 minutos,

si se considera un intervalo de Confianza para µ, con un nivel de confianza del 95%. ¿Cuál es el

margen de error para µ?

IC = X Zn

Margen de error

E = Zn

E =10

1,9620

97,5% 0,975

Se busca en tabla 0,975 z = 1,96

ALTERNATIVA A

95%

2,5%

97,5%

62. En una tómbola hay 9 bolitas azules y 16 bolitas rojas, todas de igual peso y tamaño. Un

experimento consiste en extraer una bolita al azar, registrar su color obtenido y devolverla a la

tómbola. Si el experimento se realiza 900 veces y se define la variable aleatoria X como el número

de bolitas rojas obtenidas y “f” como función de probabilidad, ¿cuál es la desviación estándar de “f”

cuando se aproxima a una distribución normal?

9 AZ

16 R

P ( Roja )= 16

25

P ( Azul ) = 9

25

BIONOMIAL

B( n, p) q = 9

25

(900 ,16

25)

Transformación de Binomial a Normal.

Binomial Normal (x) n p q

16 9

(x) 90025 25

4 3

(x) 305 5

72

(x)5

(x) 14,4

ALTERNATIVA C

63. En la tabla se muestran las edades de un grupo de niños. De acuerdo con esta información ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) La moda se ubica en el intervalo [8 , 12[ FALSO

La moda está en el intervalo [0, 4]

II) La frecuencia relativa del intervalo [12 , 16 ] es 0,16 FALSO

La frecuencia relativa es 5

24

III) La mediana de los datos se encuentran en el intervalo [4 , 8[ VERDADERO

La mediana se encuentran en el intervalo [4 , 8[

ALTERNATIVA C

Edad de un grupo de niños

Intervalo Mc fi Fi

[0 , 4[ 2 7 7

[4 , 8[ 6 6 13

[8 , 12[ 10 6 19

[12 , 16] 14 5 24

64. Se lanza un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar la moneda, primero

salga sello y luego al lanzar el dado, salga un número Primo?

Dado Moneda

1ERO Sello Primo

1

2

1

2 =

1

4 = 0,25

ALTERNATIVA C

65. Se lanzan dos dados comunes no cargados de seis caras cada uno y se define la variable aleatoria

X como la suma de los valores obtenidos que aparecen. ¿Cuál(es) de las siguiente(s) afirmación(es)

es o son verdadera(s)?

Dado Dado = 36 casos

X = { la suma de los puntos obtenidos}

X = { 2, 3, 4, …………., 12}

I) P(X = 3) = P(x = 10) FALSO

(1,2) (4,6)

(2,1) ≠ (6,4)

(5,5)

2 casos

3 casos

II) P(X = 2) + P(X = 5) = P(X = 7) FALSO

(1,) +(1,4), (2,3) = (1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(4,3),(3,4)

(4,1), (3,2) =

5 casos ≠6 casos

III) P(X = 11) = 1

18 VERDADERO

(5,6),(6,5) 2

36=

1

18

ALTERNATIVA C

66. Si se lanzan 640.000 veces 5 monedas al aire, de acuerdo a la Ley de los Grandes Números, se

puede afirmar que:

(a + b)5 = 1a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 1b5

3 caras y 2 sellos = 10

32 probabilidad.

Como se lanzaron 640.000 entonces el número de posibles casos es 10

640.00032

= 200.000

ALTERNATIVA B

67. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila 3 chilenos, 2 argentinos y 4 brasileños si los de

una misma nacionalidad deben quedar juntos?

CH CH CH A A B B B B

3! 3! 2! 4!

ALTERNATIVA D

2

68. En una bolsa se tienen fichas del mismo tipo, de colores blanco, verde y rojo. Se sabe que la

probabilidad de sacar, al azar, una ficha verde es 5

1 y de sacar al azar una ficha roja o verde es

2

1

Si se saca una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea blanca o roja?

Se sabe :

P(V) = 1

5

Además que P(R ó V) = 1

2

P(R) + P(V) = 1

2

X + 1 1

5 2

X = 1 1 3

2 5 10

P(U) = 1 2

5 10

P(R) = 3

10 P ( Bó R) =

3 5 8 4

10 10 10 5

P (B) = 5

10

ALTERNATIVA B

69. Una moneda está trucada (fallada) de tal manera que la probabilidad de obtener cara es 3

7 . Se

lanza la moneda 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener cinco caras?

P (éxito) = 3

7 P (fracaso) =

4

7

5 510 3 4

7 75

ALTERNATIVA A

70. En la tabla adjunta se muestran en valores de la función de distribución de Probabilidad acumulada

de una variable aleatoria discreta X cuyo recorrido es {0 , 1 , 2 , 3}. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones (es) es o son FALSA(S)?

I) P(X = 0) + P(X = 2) = 0,6 FALSA

II) El valor esperado de X es 1,9 VERDADERA

III) P(X =2) + P (X = 3) = 0,7 VERDADERA

E(x)=0 0,1 + 1 0,2 + 2 0,4 + 3 0,3 = 0 + 0,2 + 0,8 + 0,9 = 1,9

ALTERNATIVA A

k P(x k) P(x=x)

0 0,1 0,1

1 0,3 0,2

2 0,7 0,4

3 1 0,3

P Primero se encuentra la función de

probabilidad no acumulada

71. Dada una población con los siguientes elementos {a , b , c} con una media x = 3,6 y con una

desviación estándar (x) = 0,2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) {a + 2 , b + 2 , c + 2} tienen una media de 5,6

Si la x 3,6 y cada elemento aumenta en 2 unidades la media, la media también aumenta en

x 5,6 VERDADERA

II) {a + 1 , b + 1 , c + 1} tiene una desviación estándar (x) = 1,2

Si la desviación es (x) = 0,2 y cada elemento de la población se le agrega una unidad la desviación

se mantiene (x) = 0,2 FALSA

III) {a, b , c} tienen una varianza 2(x) = 0,4

Si la varianza es la población es 2(x) = 0,4 la desviación no será (x) = 0,2 FALSA

0,4 0,2

ALTERNATIVA A

72. Se ha realizado un estudio sobre el tiempo de atención en un servicio de urgencia, el cual tiene una

distribución Normal X N(45 ; 25) medidos en minutos. ¿Cuál es la Probabilidad de elegir una

persona al azar que esta sea atendida entre 45 y 86 minutos?

XP Z

86 45P Z

25

41P Z

25

P Z 1,64

Tasa 0,95

ALTERNATIVA D

73. En la siguiente tabla se muestran las estaturas de un grupo de estudiantes de un colegio. ¿En cuál

intervalo se encuentra el percentil 68?

68

68P 170 115,6

100

Se encuentra en el intervalo

[160,170]

n=170

ALTERNATIVA D

74. En una bolsa hay solo bolitas Rojas y Negras, todas numeradas con números enteros positivos. Si

las Negras son el 70% del total y de ellas el 30% son Pares; mientras que de las Rojas el 40% son

Pares, entonces, ¿cuál es la probabilidad de elegir al azar una bolita que ésta sea par?

Negras (70%) Pares (30%)

Impares (70%)

Rojas (30%) Pares (40%)

Impares (60%)

Negras Pares + Rojas Pares

Luego par será entonces

70 30 30 40

100 100 100 100

3337%

100

ALTERNATIVA C

Estaturas de un grupo de estudiantes de un

colegio

Estatura (cm)) f Fi

[130 , 140[ 7 7

[140 , 150[ 22 29

[150 , 160[ 57 86

[160 , 170[ 61 146

[170 , 180] 23

0,45

45 86

0,95

75. De una población de 6 elementos cuyo promedio es x = 4. Entonces ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) La suma de todos los promedios de las muestras de tamaño 4 que se pueden obtener de la

población sin orden y sin reposición es 60. VERDADERA

{a,b,c,d,e,f} ⇒ x 4

Se busca el número de muestras de tamaño 4 que hay en la población

6 6! 6.5.4!15

2!4! 2!4!4

Son 15 muestras y cada una de ellas estadísticamente tiene promedio igual a la población es decir

x 4 entonces 15 4 = 60

Grupos Promedio = Total

II) La media de todos los promedios de muestras de Tamaño 3 que se pueden obtener con

orden y sin reposición es 3.

La regla dice “que el promedio de todas los números de las muestras tienen el mismo promedio que

la población entonces la afirmaciones es FALSA debería ser promedio x 4

III) La media de todos los promedios de tamaño 2 sin orden y sin reposición es menor que la

media de todos los promedios de las muestras de tamaño 3 con orden y con reposición.

Por lo anterior también es FALSA, la media de todos los promedios de las muestras de cualquier

tamaño coinciden con la media de la población y de esta última es x 4

ALTERNATIVA A

76. Se tiene una moneda cargada (maltratada) de tal manera que las probabilidades que salga cara es

el cuádruplo que salga sello. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzarla dos veces en

una salga cara y en otra salga sello?

C C C C S

4P(C)

5

1P(S)

5

C S

4 12 (C,S) y (S,C)

5 5

4 82

25 25

ALTERNATIVA A

4 VECES

77. En la tabla se muestran las edades, en años, de los integrantes de un taller de teatro. ¿Cuál es la

edad promedio de las personas que asisten al taller?

ALTERNATIVA C

78. Si en el conjunto de los Números Enteros positivos se eligen los primeros 5 múltiplos de 4, entonces

la varianza de esta población numérica es:

P= {4, 8, 12, 16, 20}

x 12

2 2 2 2 2

2

2

(4 12) (8 12) 12 12 (16 12) (20 12)x

5

64 16 0 16 64 160x 32

5 5

ALTERNATIVA A

79. En la figura adjunta se muestra la función densidad de la variable aleatoria X, la cual tiene una

distribución normal con media µ y desviación estándar . ¿Cuál de los siguientes números es la

mejor aproximación de la probabilidad que representa la zona achurada?

ALTERNATIVA B

80. Una moneda fallada (trucada) se lanza “p” veces. Se puede determinar la probabilidad de que salga

en 30 oportunidades cara, si:

(1) La probabilidad de sello es 0,7.

FALSA, se necesita conocer el total de lanzamientos

(2) p corresponde a 50 lanzamientos.

FALSA, se necesita conocer la posibilidad de acierto

(1) y (2) VERDADERAS, porque (1) se conoce la probabilidad y (2) se conoce el total de

lanzamientos.

ALTERNATIVA C

Edad de los integrantes de un taller de teatro

Edad (años) f

[10 , 14[ 8

[14 , 18[ 10

[18 , 22[ 15

[22 , 26] 7

Edad de los integrantes de un taller de teatro

Edad (años) f

[10 , 14[ 8

[14 , 18[ 10

[18 , 22[ 15

[22 , 26] 7

Edad de los integrantes de un taller de teatro

Edad (años) f

[10 , 14[ 8

[14 , 18[ 10

[18 , 22[ 15

[22 , 26] 7

Edad de los integrantes de un taller de teatro

Edad (años) f

[10 , 14[ 8

[14 , 18[ 10

[18 , 22[ 15

[22 , 26] 7

Edad de los integrantes de un taller de teatro

Edad (años) F M.C MC fi

[10 , 14[ 8 12 96

[14 , 18[ 10 16 160

[18 , 22[ 15 20 300

[22 , 26[ 7 24 168

N=40 724 : 40 = 18,1

Edad de los integrantes de un taller de teatro

Edad (años) f

[10 , 14[ 8

[14 , 18[ 10

[18 , 22[ 15

[22 , 26] 7

Edad de los integrantes de un taller de teatro

Edad (años) f

[10 , 14[ 8

[14 , 18[ 10

[18 , 22[ 15

[22 , 26] 7

Edad de los integrantes de un taller de teatro

Edad (años) f

[10 , 14[ 8

[14 , 18[ 10

[18 , 22[ 15

[22 , 26] 7

Edad de los integrantes de un taller de teatro

Edad (años) f

[10 , 14[ 8

[14 , 18[ 10

[18 , 22[ 15

[22 , 26] 7

Edad de los integrantes de un taller de teatro

Edad (años) f

[10 , 14[ 8

[14 , 18[ 10

[18 , 22[ 15

[22 , 26] 7

µ-2 µ- µ µ+ µ+2

13,6% 68,3%

81,6%= 0,819