1 les systèmes d’équations et d’inéquations

© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 1 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel CST – Vol. 1 1

Réactivation 1

a. 1) 200 lions. 2) 900 zèbres.

b. 1) y1 � 50x � 200, où x est le temps (en années) et y1, la population de lions.2) y2 � –75x � 900, où x est le temps (en années) et y2, la population de zèbres.

c. 1) 350 lions. 2) 675 zèbres.

d. Les populations de lions et de zèbres comptent toutes les deux 480 individus à 5,6 ans.50x � 200 � –75x � 900 ⇔ x � 5,6 et y � 50(5, 6) � 200 � 480.

Réactivation 2

a. –15 °C

b. Non. La température que le processeur peut supporter est inférieure à 150 °C (et non inférieure ou égale à 150 °C).

c. 1) x � –125 2) –125 °C

d. Les températures supérieures ou égales à –15 °C et inférieures à 90 °C.x � –15 et � –35 ⇔ x � 90.

Réactivation 3

a. 1) y � –0,4x � 20 2) y � –0,4x � 203) En remplaçant les coordonnées du point associé à l’école dans l’inéquation y � –0,4x � 20, on obtient :

20 � –0,4(30) � 20 ⇔ 20 � –12 � 20 ⇔ 20 � 8 (faux).

b. 1)

2) Oui. Les coordonnées du point associé à l’école vérifient l’inéquation y � 40 � 0,5x.

403020100

50

40

30

20

10

50

Plan du quartier

Rue Albert

Rue Delorme

Rue Garnier

École

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20 � x2

B

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1RÉVISION

Les systèmes d’équations et d’inéquations1

Vision 1 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel CST – Vol. 1 © 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée2

c. 1) 2) Non. Les coordonnées du point associé à l’école ne vérifient pas l’inéquation x � y � 50.

Mise à jour

1. a) (–4,5, –11,5) b) � , � c) (180, 30)

d) Aucune solution. e) � , – � f ) �– , – �2. a) x � –6 b) x � 2,5 c) x � –4 d) x � e) x � f ) x �

3. a) b) c)

d) e) f )

g) h) y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

1

10

43

73

773

71827

44527

12031

51031

2489

449

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403020100

50

40

30

20

10

50

Plan du quartier

Rue Albert

Rue Delorme

Rue Garnier

École

2


4. La mesure de l’angle A peut être supérieure à 0° et inférieure ou égale à 40°.m ∠ A : xm ∠ B : � 30

x � � 30 � 90 ⇔ x � 40

5. a) 3 � � 15, où x représente un certain nombre.

b) –3x � 13 � , où x représente un certain nombre.

c) 2x � 10 � 0, où x représente la température ambiante (en °C).

Mise à jour (suite)

6. a) 1) x : temps (en s) 2) y � –0,75x � 23 et y � 0,5x � 2.y : hauteur (en m) d’un ascenseur 3) Les ascenseurs se rencontrent à une hauteur de 10,4 m à 16,8 s.

b) 1) x : temps (en s) 2) y � 0,1x � 40 et y � 0,3x � 20.y : température (en °C) d’un liquide 3) Les deux liquides sont à la même température (50 °C) à 100 s.

c) 1) x : temps (en s) 2) y � 8x � 100 et y � 10x.y : distance (en m) parcourue par un mobile 3) Le second mobile rattrapera le premier en 50 s.

d) 1) x : montant des ventes (en $) d’un vendeur 2) y � 0,2x � 200 et y � 0,4x � 120.y : salaire (en $) d’un vendeur 3) Pour un montant des ventes de 400 $, les deux vendeurs

reçoivent un salaire de 280 $.

7. a) 1) x : nombre de garçons b) 1) x : vitesse d’une cycliste c) 1) x : mase d’un solvanty : nombre de filles y : vitesse d’un piéton y : masse d’un soluté

2) x � y � 5 2) x � 2y 2) x � 10y3) 3) 3)

d) 1) x : nombre d’hommes e) 1) x : salaire de Julie f ) 1) x : nombre de tables à 4 chaises y : nombre de femmes y : salaire de Jeanne y : nombre de tables à 6 chaises

2) x � y � 40 2) 2y � 3x � 15 000 2) 4x � 6y � 1003) 3) 3)

24181260

30

24

18

12

6

30

y

x12 00040000

20 000

16 000

12 000

8 000

4 000

20 000

y

x403020100

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50

y

x

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y

x1612840

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20

y

x1612840

20

16

12

8

4

20

y

x

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x2

x2

x2

x2



8. a) y � – x � 8 b) y � 0,5x � 20 c) y � 3x � 3 d) y � – x � 8

9. Plusieurs réponses possibles. Exemple :a) (–2, 1), (3, 6), (–4, 0) b) (4, 1), (2, 2), (0, 0) c) (2, –1), (4, 2), (0, 1) d) (–4, 5), (–10, 8), (–5, –5)e) (1, 1), (–4, –1), (–1, 3) f ) (–4, –1), (0, –3), (–3, –2) g) (0, 0), (100, 100), (50, 30) h) (3, 10), (6, 9), (12, 12)

10. a) 7(x � y) � 90 b)


11. , , , , ,

12. a) y � 3 b) y � –2 c) x � –2 d) x � 3 e) y � 0 f ) x � 0

Les systèmes d’inéquations

Problème

L’ONU peut mobiliser 2571 spécialistes des infrastructures.Soit x, le nombre de membres du personnel médical et 4, le nombre de spécialistes des infrastructures.Nous avons les inéquations suivantes : x � 4� � et x � y � 6000.

On cherche à déterminer l’ordonnée du point d’intersection des deux droites frontières associées aux inéquations :–x � 6000 � ⇔ x � 3428,57 et y � –x � 6000, donc y � –3428,57 � 6000, soit � 2571,43.

Activité 1

a. x représente le nombre de rouleaux compresseurs et y représente le nombre d’excavatrices.

b. Le graphique est associé à l’inéquation x � y et le graphique est associé à l’inéquation x � y � 240.

c.

d. 1) et . 2) et . 3) 4)

e. Non, car 40 rouleaux compresseurs et 120 excavatrices ne satisfont pas à la condition selon laquelle le nombre de rouleaux compresseurs doit être inférieur au tiers du nombre d’excavatrices, représenté par l’inéquation x � y.1

3

BDDCDA

213

1

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3x4

y3

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1.1section

4F2E3D6C1B5A

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129630

15

12

9

6

3

15

y

x

43

23

Page 13

4

x < y x � y ≤ 24013

(30, 120) Oui Oui(100, 180) Non Non(140, 60) Non Oui(60, 220) Oui Non


Technomath

a. 1) Le demi-plan situé au-dessus de la droite frontière doit être hachuré.2) Le demi-plan situé au-dessous de la droite frontière doit être hachuré.

b. 1) y � 1,5x � 15 2) y � –0,3x � 10

c. y � x et y � 30 � x.

d. 1) Le couple (11, –12) n’appartient pas à l’ensemble-solution du système, car il ne vérifie aucune des inéquations :y � x ⇔ –12 > 11 (faux) et y � 30 � x ⇔ –12 � 19 (faux).

2) Le couple (15, 26) appartient à l’ensemble-solution du système, car il vérifie les deux inéquations :y � x ⇔ 26 � 15 (vrai ) et y � 30 � x ⇔ 26 � 15 (vrai ).

e. 1) 2)

Mise au point 1.1

1. a) b)

c) d)

2. a) 1) y � –2x � 2 et y � x � 1. 2) y � –2x � 2 et y � x � 1.3) y � –2x � 2 et y � x � 1. 4) y � –2x � 2 et y � x � 1.

b) 1) y > x � 2 et y � x � 1. 2) y � x � 2 et y � x � 1.

3) y � x � 2 et y � x � 1. 4) y � x � 2 et y � x � 1.23

23

23

23

23

23

23

23

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

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31

–31

–47 47

31

–31

–47 47


3. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (–5, 0), (0, 0), (–2, –4), (–6, 1)b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (–5, 0), (–10, 23), (–20, –4), (–5, 5)c) C’est impossible puisqu’il n’y a aucun point du plan cartésien dont les coordonnées vérifient simultanément les deux

inéquations.d) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (0, 0), (8, 4), (12, 6), (16, 8)e) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (0, 0), (–4, –4), (5, 6), (1, 1)f ) C’est impossible puisqu’il n’y a aucun point du plan cartésien dont les coordonnées vérifient simultanément les deux

inéquations.

Mise au point 1.1 (suite)

4. a) A(0, 0), C(–4, 4), E(–3, 2), F(–5, –6) b) D(3, –2)c) B(2, 3), C(–4, 4), E(–3, 2) d) B(2, 3), D(3,–2)

5. , ,

6. a) , b) c) d)


7.

8. a) y � 3 et y � 5x � 2. b) y � –x et y � x. c) x � 2 et y � – x � 1. d) y � 2x � 2 et y � 2x � 4.

9. et .


10. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (4, 3), (5, 0), (6, –3)b) Aucune solution.

11. a)

y � 2x � 5 y � –0,4x � 7

y � 2x � 5 y � –0,4x � 7

y � 2x � 5 y � –0,4x � 7

y � 2x � 5 y � –0,4x � 7

4321

Page 22

BA

23

Page 21

ECBDA

1C3B6A

Page 20

6

Situation 1a) x � y � 6 et x � y � 18, où

x représente le plus grand nombre et y,le plus petit nombre.

b)

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (8, 4), (12, 8), (16, 16)

y

x

4

40

Situation 2a) x � y � 0 et –2x � 3y, où

x représente le solde du comptebancaire (en $) de Léa et y, le soldedu compte bancaire (en $) de Léo.

b)

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple :(–4, 3), (–6, 5), (–7, 5)

y

x

2

20

Situation 3a) x � y � 3 et x � y � –35, où

x représente la température extérieure(en °C) de Kuujjuaq et y, la températureextérieure (en °C) de Quaqtaq.

b)

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (–30, –20), (–25, –15), (–40, –35)

y

x

5

50


b)

12. a) y � 0 et x � 0. b) y � 0 et x � 0. c) y � 0 et x � 0. d) y � 0 et x � 0.

13. a) x � 0 et y � 2x. b) y � 0 et x � y. c) y � x et y � 4x.


14. a) 2x � 2y � 480 et x � 2y, où x représente la longueur de la table (en cm) et y, sa largeur (en cm).b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : 160 cm sur 60 cm, 200 cm sur 30 cm et 150 cm sur 20 cm.c) 1) 2)

d) Plusieurs réponses possibles. Exemple : 135 cm sur 64 cm.

15. a) Les inéquations x � 0 et y � 0 signifient respectivement que le résultat du test du rythme cardiaque et que le résultatdu test de la respiration sont strictement positifs. Les inéquations x � 2 et y � 2 signifient respectivement quele résultat maximal du test du rythme cardiaque et que le résultat maximal du test de la respiration est 2 ; l’inéquationx � y � 2 signifie que le résultat total doit être d’au moins 2 et l’inéquation x � y � 4 signifie que le résultat totalne peut pas dépasser 4.

b)

c) Quatre couples-solutions, soit (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2).


16. a) y � –x2 et y � –2(0,8)x. b) y � 2x et y � .

17. a) Graphique y � 2x � 6 Graphique y � –4x � 8 Graphique y � –x � 4b) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (0, 0), (2, 2)

2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (6, –4), (5, 6)

18. a) 1) Non. Ces mesures ne respectent pas la condition concernant l’aire.2) Oui. Ces mesures respectent toutes les conditions.3) Ces mesures ne respectent pas la condition concernant l’aire.4) Ces mesurent ne respectent pas la condition concernant le périmètre.

b) b � B � 4 et 3b � 3B � 20.

321

1x

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43210

4

3

2

1

y

x

Résultats du test du rythme cardiaque et du test de la respiration

AB

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13

Le couple (–4, –4) ne faitpas partie de l’ensemble-solution puisque–4 � 2(–4) � 5–4 � –8 � 5–4 � –3 (faux).

Le couple (–4, –4) faitpartie de l’ensemble-solution puisque–4 � 2(–4) � 5–4 � –8 � 5–4 � –3 (vrai )et –4 � –0,4(–4) � 7–4 � 1,6 � 7–4 � –5,4 (vrai ).

Le couple (–4, –4) ne faitpas partie de l’ensemble-solution puisque–4 � –0,4(–4) � 7–4 � 1,6 � 7–4 � –5,4 (faux).

Le couple (–4, –4) ne faitpas partie de l’ensemble-solution puisque–4 � 2(–4) � 5–4 � –8 � 5–4 � –3 (faux)et–4 � –0,4(–4) � 7–4 � 1,6 � 7–4 � –5,4 (faux).


c)

Les polygones de contraintes

Problème

Les coordonnées des points qui correspondent à la position des bateaux de l’équipe de sauvetage sont (3,75, 7,5), (10, 0),(–4, –8,4) et (–4, 4,4).Équations des droites qui délimitent la zone de recherches :y � � 12, y � � 6, y � � 6 et x � –4.Coordonnées des sommets de la zone de recherches :

1) y � � 12 et y � � 6. 2) y � � 12 et y � � 6.

� 12 � � 6 ⇔ x � 3,75 � 12 � � 6 ⇔ x � 10

y � (3,75) � 6 � 7,5 y � (10) � 12 � 0(3,75, 7,5) (10, 0)

3) x � –4 et y � x � 6. 4) x � –4 et y � x � 6.

y � (–4) � 6 � –8,4 y � (–4) � 6 � 4,4(–4, –8,4) (–4, 4,4)

Activité 1

a. 1) Le nombre de petits écrans achetés doit être positif.2) Le nombre de grands écrans achetés doit être positif.

b. L’école doit acheter un minimum de 75 écrans : x � y � 75.L’école ne peut acquérir plus de 150 écrans : x � y � 150.Le nombre de petits écrans achetés doit être au moins 3 fois plus élevé que le nombre de grands écrans : x � 3y.

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25

35

25

35

–65

25

3x5

–6x5

2x5

–6x5

3x5

–6x5

2x5

–6x5

3x5

2x5

–6x5

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1.2section

86420

10

8

6

4

2

10Mesure de

la petite base(cm)

Mesure de la grande base

(cm)

Mesures des basesdu trapèze isocèle

8


c.

d. De la forme d’un quadrilatère, soit un trapèze.

e. 1) Non. La proposition ne respecte pas la contrainte x � y � 75. 2) Oui.3) Non. La proposition ne respecte pas la contrainte x � 3y. 4) Oui.

Activité 2

a. 1) x � 0, y � 0, x � y, � et x � y � 154. 2) x � 0, y � 0, x � y, � et x � y � 154.

b. Les deux polygones sont délimités par les mêmes droites. Dans le cas de l’entreprise B, la droite associée à l’équation x � y est en pointillé. La région délimitée par les contraintes de l’entreprise A est bornée alors que celle de l’entreprise Best non bornée.

c. 1) Graphique A : (0, 0), (66, 88), (110, 44) Graphique B : (66, 88), (110, 44)

y � et y � . y � et y � –x � 154. y � et y � –x � 154.

� ⇔ x � 0 � –x � 154 ⇔ x � 66 � –x � 154 ⇔ x � 110

y � (0) � 0 y � –66 � 154 � 88 y � –110 � 154 � 44

(0, 0)(66, 88) (110, 44)

2) Graphique A : les coordonnées de tous ces points font partie de l’ensemble-solution puisqu’elles vérifient chacunedes inéquations du système.Graphique B : les coordonnées (110, 44) font partie de l’ensemble-solution puisqu’elles vérifient chacunedes inéquations du système.Les coordonnées (66, 88) ne vérifient pas l’inéquation x � y.

Technomath

a. y � –x � 8 et y � 3x � 4.

b. (3, 5)

c. 5 � –3 � 8 ⇔ 5 � 5 (vrai ).5 � 3(3) � 4 ⇔ 5 � 9 � 4 ⇔ 5 � 5 (vrai ).

d. (1,5, 7,5), (4, –5), (–6, 0)

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34

43

2x5

4x3

2x5

4x3

2x5

4x3

2x5

4x3

34

52

xy

34

52

xy

34

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16012080400

200

160

120

80

40

200

Nombre de grands écrans

Nombre de petits écrans

Répartition des écrans achetés


Mise au point 1.2

1. a) b) c)

d) e)

2. a) A(0, 6), B(8, 10), C(20, 0), D(0, 4) b) A(0, 12), B(3, 15), C(7,5 15), D� , �, E(0, 8)

c) A(0, 8), B� , �, C(8, 0) d) A(0, 2), B(6, 1), C(9, 0), D(0, 0)

3. a) b)

c) d)

16012080400

200

160

120

80

40

200

y

x

(0, 135)

(22,5, 67,5)

(150, 0)(75, 15)

16012080400

200

160

120

80

40

200

y

x

(60, 120)

(40, 80)

(75, 45)

(105, 75)

86420

10

8

6

4

2

10

y

x

(1, 6)

(0, 3)

(3, 0)

86420

10

8

6

4

2

10

y

x

(0, 7)

(0, 3)

(3,5, 0)(3, 0)

7213

813

163

83

129630

15

12

9

6

3

15

y

x86420

10

8

6

4

2

10

y

x

86420

10

8

6

4

2

10

y

x129630

15

12

9

6

3

15

y

x86420

10

8

6

4

2

10

y

x

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10



4. a) 1) Polygone borné. b) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (2, 1), (3, 3), (4, 2)2) Polygone non borné. 2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (2, 5), (4, 6), (7, 3)3) Polygone borné. 3) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (10, 50), (20, 60), (25, 55)4) Polygone non borné. 4) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (30, 30), (35, 50), (50, 60)

5. a) 1) (2, 8) et (8, 2).y � –x � 10 et y � 2x � 4. y � –x � 10 et y � 0,5x � 2.–x � 10 � 2x � 4 ⇔ x � 2 –x � 10 � 0,5x � 2 ⇔ x � 8y � 2(2) � 4 � 8 y � –8 � 10 � 2(2, 8) (8, 2)

2) �– , �, �– , – �, (–10, –32,5), � , – �y � x � 45 et y � –2x � 10. y � � 40 et y � x � 45.

x � 45 � –2x � 10 ⇔ x � � 40 � x � 45 ⇔ x �

y � � 45 � y � � 45 �

�– , � �– , – �y � � 40 et y � � 30. y � 0,25x � 30 et y � –2x � 10.

� 40 � � 30 ⇔ x � –10 0,25x � 30 � –2x � 10 ⇔ x �

y � � 30 � –32,5 y � –2� � � 10 �

(–10, –32,5) � , – �b) 1) Aucun de ces sommets ne fait partie de la région-solution.

2) Seul le sommet � , – � fait partie de la région-solution.

6. a) x � –5, y � 6, y � 5x � 20 et 3x � 2y � 18. b) x � –5, y � 6, 3x � 2y � 18, y � – x � et y � 5x � 20.

c) y � 6, y � 5x � 20, 3x � 2y � 18 et y � 0,8x � 8. d) x � –5, y � 6, y � 0,8x � 8 et y � – x � .

7. a) x : nombre de chatsy : nombre de chiensSystème d’inéquations : x � 0, y � 0

x � y � 75

y � (x � y)

b) 1) Non. 2) Non. 3) Oui. 4) Oui.

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Le chenil peut accepter un maximum de 100 animaux et le nombre de chatsdoit être supérieur aux du nombre total d’animaux.2

3

644832160

80

64

48

32

16

80

Nombrede chats

Nombrede chiens

Animaux d’un chenil

23

203

23

203

23

2309

1609

2309

1609

–2309

1609

–104

1609

x4

–3x4

x4

–3x4

257

3407

1003

353

–257

–3407

1003

–353

–3407

–3x4

–353

–3x4

2309

1609

257

3407

1003

353

Page 31



8. a) y � 14, x � 18, 3y � x � 6, 2x � 5y � 20 et y � 3x � 2.b) x � 0, y � 0, 3x � 2y � 18 et 3,75x � 5y � 30.c) x � 0, x � y � 90 et y � 0,5x � 10.d) x � y � 12, y � x, x � y � 24 et y � x � 12.

9. a) b)

c) d)

Page 32

12

1) x : nombre de conifères plantés y : nombre de feuillus plantés

2) x � 0, y � 0, y � 2x, y � 4x,x � y � 800 et x � y � 1200.

3)

4) � , �, (400, 800), (240, 960),

(160, 640)5) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

(180, 680), (200, 700), (240, 800),(300, 800), (360, 750)

16003

8003

9607204802400

1200

960

720

480

240

1200

y

x

Reboisement d’une région

1) x : longueur de l’enclos (en m) y : largeur de l’enclos (en m)

2) x � 0, y � 45, x � 20 � 2y et 2x � 2y � 950.

3)

4) � , �, (110, 45), (430, 45)

5) Plusieurs réponses possibles. Exemple :(180, 50), (270, 90), (315, 135),(360, 90), (400, 50)

4553

9703

4003002001000

500

400

300

200

100

500

y

x

Dimensions d’un enclos rectangulaire

1) x : nombre de poteaux en bois y : nombre de poteaux métalliques

2) x � 0, y � 0, x � y � 1000,y � 0,45(x � y) et y � 0,2(x � y).

3)

4) (550, 450), (800, 200)5) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

(700, 400), (750, 500), (900, 300),(850, 450), (1500, 750)

12009006003000

1500

1200

900

600

300

1500

y

x

1) x : nombre d’instruments à cordes y : nombre d’instruments à vent

2) x � 0, y � 0, 2x � 3y, x � y � 25 et x � y � 40.

3)

4) (15, 10), (24, 16), (25, 0), (40, 0)5) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

(16, 10), (20, 8), (28, 4), (32, 6), (36, 2)

403020100

50

40

30

20

10

50

y

x



10. a) Le graphique , puisqu’il ne contient que les points dont les coordonnées sont entières, et puisqu’il ne peut y avoirqu’un nombre entier de maisons unifamiliales ou de constructions en copropriété.

b) Oui, puisqu’il ne faut tenir compte que des nombres entiers. L’ensemble des nombres entiers supérieurs à 0 estéquivalent à l’ensemble des nombres entiers supérieurs ou égaux à 1.

11. a) d1 : d2 : d3 : d4 : d5 :b) La contrainte .c) 1) Parce qu’elle ne devrait pas compter les solutions associées aux couples (3, 7), (4, 6) et (5, 5), puisque ces solutions

ne satisfont pas à la contrainte .2) 21 solutions.


12. a) Système d’inéquations : x � 0, y � 020x � 22y � 150015x � 12y � 9005x � 10y � 400x � y � 120

b) (0, 120), (120, 0), (0, 75), (80, 0), � , �, (20, 50)

13. a) x : nombre de disques durs du modèle Ay : nombre de disques durs du modèle BSystème d’inéquations : x � 0, y � 0

100x � 200y � 8000200x � 500y � 25 000

b) Non. Les deux régions-solutions associées à chacune des contraintes n’ont aucune intersection.


14. a) La fréquence cardiaque maximale va de 195 à 215 contractions/min, ce qui correspond à 205 10 contractions/min :205 � 220 � âgeÂge � 15 ans.

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1209060300

60

50

40

30

20

10

150

Nombre dedisques dursdu modèle B

Nombre dedisques dursdu modèle A

Répartition des disques durs

509

6209

967248240

120

96

72

48

24

120

y

x

Livraison de boîtes

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1

3

21345

2

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b) 1) Zone : entraînement intensif ; zone : amélioration des capacités cardiovasculaires ; zone : diminution dela masse ; zone : maintien de la condition physique actuelle.

2) x � 195, x � 215, y � 0,6x et y � 0,65x.c) De 120 à 129 contractions/min

Minimum : 0,6 200 � 120 contractions/min (inclus).Maximum : 0,65 200 � 130 contractions/min (exclus).

15. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Claudine aime la lecture et la musique. Elle veut consacrer plus de 4 hpar semaine à chacune de ces activités. Elle ne veut pas lire plus de 12 h par semaine ni jouer de la musique plus de 16 hpar semaine. Le temps qu’elle consacre à la lecture ne représente pas plus du double du temps consacré à la musique.

Objectif visé et solutions avantageuses

Problème

Si l’on utilise 4 blindés et 6 camions, il est possible de transporter 110 soldats en consommant 448 L d’essence.x : nombre de blindésy : nombre de camionsSystème d’inéquations : x � 0, y � 0

x � y � 1059,5x � 35y � 450x � (x � y )

x � (x � y )Après avoir tracé un polygone de contraintes, on cherche un point à coordonnées entières qui engendrent un plan d’actionplus efficace que ceux proposés, par exemple (4, 6).

Activité 1

a. 1) C � 150 000x � 250 000y 2) Non, car l’équation ne traduit pas une contrainte à respecter.

b. x � 0, y � 0, 75x � 100y � 700, 4x � y, x � 3y et x � y � 13.

Activité 1 (suite)

c.

d. 1) Les couples B(4, 4), F(8, 7) et G(9, 2), car ils correspondent aux coordonnées de points qui n’appartiennent pas àla région-solution.

2) Le couple D(5, 8), car de tous les couples proposés qui satisfont aux contraintes, c’est celui qui engendre le coûtle plus élevé.

3) Le couple C(5, 5), car de tous les couples proposés qui satisfont aux contraintes, c’est celui qui engendre le coûtle moins élevé.

Page 38

Page 37

34

13

Page 36

1.3section

DCBA

14

Calcul du coût d’achat

Point Coût ($)A(3, 8) 150 000 3 � 250 000 8 � 2 450 000

B(4, 4) 150 000 � 4 � 250 000 � 4 � 1 600 000C(5, 5) 150 000 � 5 � 250 000 � 5 � 2 000 000D(5, 8) 150 000 � 5 � 250 000 � 8 � 2 750 000E(8, 4) 150 000 � 8 � 250 000 � 4 � 2 200 000F(8, 7) 150 000 � 8 � 250 000 � 7 � 2 950 000G(9, 2) 150 000 � 9 � 250 000 � 2 � 1 850 000


Technomath

a. y � 0,5x, y � 20 � 3x et y � 18 � 0,5x.

b. 5x � 3y

c. 1) (15, 8) 2) (5, 6)

d. 1) 2) i ) Le point (12, 8). ii ) Le point (2, 4).

Mise au point 1.3

1. a) b) c)


2. a) 1) x : temps (en min) consacré aux nouvelles du sporty : temps (en min) consacré aux nouvelles nationalesx � 0, y � 20, 19x � y, 4x � y, y � 35 et x � y � 75.

2) L’objectif visé est de produire un bulletin d’informations au moindre coût.3) z � 25x � 15y, où z est le coût de production d’un bulletin d’informations (en $).

b) 1) x : nombre d’avions de type A produitsy : nombre d’avions de type B produitsx � 0, y � 0, 200x � 125y � 5000, x � 5 � 2y et x � y � 30.

2) L’objectif visé est de minimiser le temps de production des avions.3) z � 3x � 5y, où z est le temps de production des avions (en semaines).

3. a)

403020100

50

40

30

20

10

50

Temps de travailau théâtre

(h)

Temps de travailà la boutique

(h)

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20

00 20

Couple z � 4x � 2y(1, 0) 4(1, 8) –12 (minimum)(3, 1) 10(3, 3) 6(4, 8) 0(5, 2) 16 (maximum)(8, 10) 12

Couple z � 7x � 9y(2, 2) 32 (minimum)(6, 18) 204(10, 4) 106(12, 12) 192(14, 16) 242(18, 6) 180(20, 12) 248 (maximum)

Couple z � –1,2x � 0,4y � 2(0, 50) 22 (maximum)(30, 20) –26(30, 70) –6(50, 40) –42(60, 90) –34(80, 10) –90 (minimum)(90, 40) –90 (minimum)


b) Si x représente le temps de travail à la boutique (en h) et y, le temps de travail au théâtre (en h), le salaire hebdomadaires (en $) est donné par la règle s � 15x � 11y.

c) La suggestion , pour un salaire hebdomadaire maximal de 559 $.


4. a) x représente le nombre d’employés à temps plein et y représente le nombre d’employés à temps partiel.b) Elle permet de calculer la cotisation hebdomadaire de tous les employés de l’usine.c) 1) Le nombre d’employés à temps plein ne peut pas être inférieur à 0.

2) Le nombre d’employés à temps partiel ne peut pas être inférieur à 0.3) L’usine emploie un maximum de 240 personnes.4) Il y a au moins 25 employés à temps plein de plus que le triple du nombre d’employés à temps partiel.5) L’usine emploie un maximum de 200 personnes à temps plein.6) L’usine emploie au moins 30 personnes à temps partiel.

5. a) P � 30 000x � 40 000y, où P représente le profit de l’entrepreneure (en $).b) Le point E(26, 16), avec un profit de 1 420 000 $.


6. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : z � x � 5yb) Plusieurs réponses possibles. Exemple : z � –4x � yc) Plusieurs réponses possibles. Exemple : z � 2x � 5y

7. a) 1) z � 12c � 18s, où z représente les coûts de production (en $).2) r � 20c � 25s, où r représente les revenus (en $).3) p � 8c � 7s, où p représente les profits (en $).

b) 1) Le point D(100, 125), avec des coûts de production de 3450 $.2) Le point A(75, 250), avec des revenus de 7750 $.3) Le point C(150, 175), avec des profits de 2425 $.


8. a) On cherche à minimiser la quantité de plastique utilisée pour la fabrication des bouteilles de jus.b) z � 150p � 250g, où z représente la quantité de plastique utilisée (en cm2).c) Le point E(80, 80) constitue la solution la plus avantageuse, avec 32 000 cm2 de plastique.

9. a) x : quantité (en L) de lait de chèvrey : quantité (en L) de lait de vache

b) p � 0,95x � 0,55y, où p représente les profits (en $).c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Le troupeau de vaches ne peut pas produire plus de 1500 L de lait par jour,

tandis que le troupeau de chèvres ne peut pas produire plus de 1000 L de lait par jour. Un quota oblige la coopérative àne pas produire plus de 2000 L de lait par jour.


10. a) 1) Le point A(40, 60) avec 460. 2) Le point A(40, 60) avec 940.b) Parce qu’il existe au moins un point de même ordonnée et d’abscisse supérieure au point E et au moins un point

de même abscisse et d’ordonnée supérieure au point E.

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Page 45

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Page 43

2

16


11. a)

b) z � 10x � 6y, où x représente le temps consacré à l’entraînement cardiovasculaire (en min), y, le temps consacréà l’entraînement musculaire (en min), et z, le nombre de calories brûlées.

c) 75 min d’entraînement cardiovasculaire et 15 min d’entraînement musculaire. Elle brûlerait alors 840 calories au lieude 780 calories.

d) 1) Un polygone borné.2) t � x � y, où t représente la durée totale de l’entraînement (en min).3) D(60, 20)


12. x : nombre de lampes de 150 Wy : nombre de lampes de 250 WFonction à optimiser : P � 150(x � 60) � 250y, où P représente la puissance totale (en W).La suggestion la plus avantageuse est , pour une puissance totale minimale de 45 000 W.

Optimisation à l’aide de la programmation linéaire

Problème

x : superficie ensemencée d’orge (en hectares)y : superficie ensemencée de soya (en hectares)Système d’inéquations : x � 0, y � 0

x � y � 450238x � 204y � 101 15062x � 124y � 49 600

Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : A(0, 0), B(0, 400), C(100, 350), D(275, 175), E(425, 0)Fonction à optimiser : P � 425x � 615y, où P représente le profit total (en $).L’agriculteur doit ensemencer 100 hectares d’orge et 350 hectares de soya pour faire un profit maximal de 257 750 $.

Activité 1

a. N � 40x � 60y

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1.4section

A

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806040200

100

80

60

40

20

100

Temps consacré à l’entraînement

musculaire (min)

Temps consacré à l’entraînement cardiovasculaire

(min)

Répartition du temps d’entraînement


b. 1) La répartition des structures d’acier et de fer qui permet l’entreposage de 2000 boîtes.2) La répartition des structures d’acier et de fer qui permet l’entreposage de 3500 boîtes.3) La répartition des structures d’acier et de fer qui permet l’entreposage de 5000 boîtes.4) La répartition des structures d’acier et de fer qui permet l’entreposage de 6500 boîtes.

c. Ce sont toutes les répartitions possibles des structures d’acier et de fer qui permettent l’entreposage de 5000 boîtes touten respectant les contraintes.

d. –

e. Le nombre de boîtes augmente.

f. 1) Non, car la droite d1 n’a aucun point en commun avec le polygone de contraintes.2) Non, car la droite d4 n’a aucun point en commun avec le polygone de contraintes.

Activité 1 (suite)

g.

h. 1) B(70, 50) 2) C(40, 10)

i. N � 50x � 100y

j.

k. C(40, 10)

l. Sur le côté AB.

m.1) Ce point correspond à un sommet du polygone de contraintes.2) Ces points sont situés sur un côté du polygone de contraintes.

Activité 2

a. x : nombre de bassins de 3 millions de litres y : nombre de bassins de 5 millions de litres

b. Minimiser les coûts.

c. z � 10 000 000x � 14 000 000y, où z représente les coûts (en $).

d. x � 0, y � 0, x � y � 16, y � x � 4 et 3x � 5y � 60.

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Page 50

23

18

Sommet 40x � 60y NA(30, 70) 40(30) � 60(70) 5400B(70, 50) 40(70) � 60(50) 5800C(40, 10) 40(40) � 60(10) 2200

Nombre total de boîtes N � 50x � 100y y � �

2000 2000 � 50x � 100y d5 : y � 20 �

4000 4000 � 50x � 100y d6 : y � 40 �

6000 6000 � 50x � 100y d7 : y � 60 �

8500 8500 � 50x � 100y d8 : y � 85 � x2

x2

x2

x2

x2

N100


e.

f. 1) Le point (5, 9). 2) 176 000 000 $

g. Cette piscicultrice devrait faire construire 5 bassins de 3 millions de litres d’eau et 9 bassins de 5 millions de litres d’eau.

Technomath

a. (2, 4), (6, 7), (8,2)

b. 1) z � x � 2y 2) –0,5 3) (6, 7) 4) (2, 4)

c. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Il faut que B � 0,4A. Par exemple, on peut saisir A � 5 et B � 2.

d. 1) (6, 7) 2) (2, 4)

Mise au point 1.4

1. a) 1) C(3, 3) 2) A(5, 9)b) 1) B(20, 40) 2) C(28, 12)c) 1) Tous les points situés sur le côté AB. 2) C(18, 10)d) 1) D(40, 30) 2) Tous les points situés sur le côté BC.

2. a) Le sommet B(40, 60). b) Le sommet B(40, 60).


3. a) Le point C ; Le point B(2, 5). b) 39 ; –10

4. a) 1) 16 (point E). 2) –24 (point B). b) 1) 12,5 (point C). 2) 3,5 (point F).c) 1) 87 (point D). 2) 3 (point G). d) 1) –1,4 (point G). 2) –9,6 (point D).

5. a) (17, 3) b) (80, 30) c) (0,9, 0,8) d) � , – �


6. a) (2,5, 2,5) b) (7,5, 20)

7. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : z � x � y b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : z � –0,75x � y

8. a) (3, 6) b) (2, 5)

Page 57

31773

2073

2121

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Page 55

Page 52

1612840

20

16

12

8

4

20Nombre de bassins

de 3 millions de litres

Nombre de bassins de 5 millions

de litres

Répartition des bassins



9. a) x : nombre de pommiers b) z � 500x � 480y, où z représente les revenus (en $).y : nombre de poiriers

c) x � 100, y � 100, 3x � 2y � 900 et 100x � 80y � 32 800.d)

e) (100, 285) f ) L’agricultrice doit planter 100 pommiers et 285 poiriers. g) 186 800 $

10. a) z � 20x � 45y, où x représente le nombre d’autobus de 20 places, y, le nombre d’autobus de 45 places, et z,le nombre d’élèves transportés.

b) On ne peut avoir qu’un nombre entier d’autobus.c) Deux couples-solutions, soit (1, 9) et (10, 5). d) 425 élèves.


11. a) 90 enfants et 60 adultes. b) 13 sauveteurs.Système d’inéquations : x � 0, y � 0

x � y � 150x � 90

�

Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (0, 0), (0, 150), (90, 45), (90, 60)

12. a) x : nombre de superordinateurs du modèle Ay : nombre de superordinateurs du modèle BSystème d’inéquations : x � 0, y � 0

5x � 10y � 24020x � 24y � 800

Fonction à optimiser : V � 40x � 60y, où V est la vitesse de calcul.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (0, 0), (0, 24), (28, 10), (40, 0)Ce département de recherche devrait se procurer 28 ordinateurs du modèle A et 10 ordinateurs du modèle B afinde maximiser la vitesse de calcul, soit 1720 téraflops.

b) Système d’inéquations : x � 0, y � 05x � 10y � 24040x � 60y � 480

Fonction à optimiser : D � 20x � 24y, où D représente les dépenses.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (0, 8), (0, 24), (48, 0) et (12, 0).Ce département devrait se procurer aucun ordinateur du modèle A et 8 ordinateurs du modèle B afin de minimiserses dépenses, soit 192 M$.

12

yx

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360270180900

450

360

270

180

90

450Nombre

de pommiers

Nombre de poiriers

Répartition de pommiers et de poiriers

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20



13. Cette entreprise doit produire 3960 vis et 4080 boulons pour faire un profit maximal de 1528,80 $.x : nombre de vis fabriquées dans chaque ateliery : nombre de boulons fabriqués dans chaque atelierSystème d’inéquations : x � 0, y � 0

2x � 3y � 10 0804x � 2y � 12 000

Fonction à optimiser : R � 0,18x � 0,20y, où R représente les revenus.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (0, 0), (0, 3360), (1980, 2040), (3000, 0)

14. La coopérative doit se procurer 40 véhicules hybrides et 20 véhicules conventionnels pour arriver à des coûtsde fonctionnement et d’entretien minimaux de 2552 $/jour.x : nombre de véhicules hybridesy : nombre de véhicules conventionnelsSystème d’inéquations : x � 10, y � 20

x � y � 6026 000x � 18 000y � 2 000 000

Fonction à optimiser : C � 39,8x � 48y, où C représente les coûts.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (10, 50), �10, �, � , 20�, (40, 20)


15. a) Un polygone non borné.b)

16. a) 1) 14 mg du médicament A et 21 mg du médicament B. 2) i � 0,952Système d’inéquations : x � 5, y � 8

x � 15, y � 25x � y � 35x � 0,4(x � y)

Coordonnées des sommets du polygone de contraintes :(5, 25), (5, 8), (10, 25), (14, 21), � , 8�

b) 1) 5 comprimés du médicament A et 4 comprimés du médicament B. 2) i � 0,881 25

163

c) (5, 1)d) Non. Puisque le polygone est non borné, il n’y a

aucun point qui sera le dernier point touché par la droitebaladeuse.

0

5

5 10

10

15

15

y

x

Droite baladeuse

Page 61

82013

2903

Page 60

Chronique du passé

1. a) 2500 fantassins et 1000 artilleurs.x : nombre de fantassinsy : nombre d’artilleursSystème d’inéquations : x � 2000, y � 1000

y � xx � y � 3500x � y � 5000

Fonction à optimiser : T � x � y, où T est le temps.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (2500, 2500), (4000, 1000), (2500, 1000), (2000, 1500),(2000, 2000).

b) En 9 jours.c) 15 jours.d) 2500 fantassins et 2500 artilleurs.

2. a) x � 0, y � 0 et z � 0. b) 1) (0,750, 375) 2) (0, 0, 750) 3) (375, 0, 375)

Le monde du travail

1. 1re semaine : 625 boîtes de bouteilles d’eau et 125 boîtes de nourriture.2e semaine : 625 boîtes de bouteilles d’eau, 75 boîtes de nourriture et 50 boîtes de médicaments.3e semaine : 350 boîtes de bouteilles d’eau, 470 boîtes de nourriture et 100 boîtes d’équipements.

Vue d’ensemble

1. a) b)

c) d)

2. a) x � y � 4 et x � y � –2. b) y � –0,5x � 1 et y � 3x � 3.c) x � –4, y � 3 et y � 0,75x + 2. d) y � x � 2, y � –0,5x � 3, y � x � 2 et y � –0,5x � 3.

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

Page 66

Page 65

12125

6125

Page 63

1RUBRIQUES PARTICULIÈRES



3. a) b)

c) d)

Vue d’ensemble (suite)

4. a) A(–1, –6) et C(3, 4). b) A(–1, –6) et E(1, –16). c) A(–1, –6)

5. a) 1) x � y � –2, y � –2x � 20, 4y � x � 4 et x � 2y � 10. 2) D� , � 3) C(6, 8) et D� , �.b) 1) 3x � y � 0, y � 18, y � –x � 30, –2x � y � –24 et x � 6y � 38. 2) D(14, 4) 3) D(14, 4)

6. et .

7. a) Une infinité de couples. b) 15 couples.


8. a) 1) Tous les points situés sur le côté BC. 2) 15b) 1) D(8, 1) 2) 13c) 1) B(6, 9) 2) 12,3d) 1) C(8, 7) 2) 12,1

9. a) 1) x : nombre de chaisesy : nombre de tabourets en boisx � 150, y � 100, x � 2y et x � y � 1000.

2) z � 20x � 12y, où z représente le profit (en $).

10. 65 cubes (35 cubes en métal et 30 cubes en bois).x : nombre de cubes en métaly : nombre de cubes en boisSystème d’inéquations : x � 0, y � 0

50x � 30y � 26500,008x � 0,024y � 1

Fonction à optimiser : N � x � y, où N représente le nombre total de cubes.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (0, 0), �10, �, (35, 30), (53, 0)125

3

b) 1) x : nombre d’employés à temps partiely : nombre d’employés à temps pleinx � 0, y � 0, 14x � 30y � 400 et x � y � 14.

2) z � 12x � 14y, où z représente les dépenses.

Page 68

DA

43

283

43

283

Page 67

806040200

100

80

60

40

20

100

y

x

(20, 80)

(72, 28)

� , �40 7

400 7

(20, 28)

86420

10

8

6

4

2

10

y

x

(0, 10)

(1, 6)

� , �2011

8011

43210

5

4

3

2

1

5

y

x

(0,8, 3,6)

(0, 2)

(2, 0)

86420

10

8

6

4

2

10

y

x

(3,5, 1,75)

(2,4, 1,2)(3, 0) (7, 0)



11. a) Si x représente le nombre de pages en couleurs et y, le nombre de pages en noir et blanc, les contraintes sonty � 0, x � y � 45, x � y � 60, x � 25, y � 35, 5x � 3y et 0,07x � 0,04y � 3.

b) Parce qu’il n’existe pas de couple (x, y) qui satisfait simultanément à toutes les contraintes.c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Le nombre de pages en couleurs doit représenter au moins du nombre total

de pages.

12. a) Le graphique .b) Parce que le sommet susceptible d’être associé à la solution optimale est exclu de la région-solution.c) 1) 6 machines A et 5 machines B. 2) 89 pièces/min.


13.

14. a) p � 2L � 2l, où p représente le périmètre du rectangle (en cm).b)

c) (10, 10)d) C’est un carré de 10 cm de côté.

15. a) x : nombre de tables à 4 placesy : nombre de tables à 6 placesSystème d’inéquations : x � 0, y � 0

4x � 6y � 604x � 6y � 90x � yx � 3y

b) Minimiser les coûts associés à l’achat de ces tables.c) z � 350x � 450y, où z représente les coûts.

0

10

20

30

40

50

Longueur(cm)

Largeur(cm)

10 20 30 40 50

Droite baladeuse

Dimensions d’un rectangle dontl’aire est au moins de 100 cm2

Page 70

2

38

Page 69

24

Système y � –x � 15 x � 0 y � –x � 2d’inéquations y � 2x � 6 x � 0 y � x � 4traduisant –x � 3y � –60 y � 15 y � –3x � 8les contraintes x � 14

y � 2x � 4

Règle de la fonction à optimiser z � 0,5x � 2y z � y � 3x z � –10x � 14y

Objectif visé Maximiser Minimiser Maximiser

Couple-solution (7, 8) (14, 0) (5, –7)Valeur optimale 19,5 –42 48


d)

e) 6 tables à 4 places et 6 tables à 6 places.f ) 4800 $


16. a) 29 trains de modèle A et aucun train de modèle B.x : nombre de trains Ay : nombre de trains BSystème d’inéquations : x � 0, y � 0

x � y � 3160x � 68y � 1740

Fonction à optimiser : N � 270x � 300y, où N représente le nombre total de passagers.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (0, 0), (0, � 25,59), (29, 0)

b) 26 trains de modèle A et 5 trains de modèle B.Système d’inéquations : x � 0, y � 0

x � y � 31270x � 300y � 8520

Fonction à optimiser : C � 60x � 68y, où C représente le coût du transport.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (0, 28,4), (0, 31), (26, 5)

17. a) x : distance entre le centre de distribution et le magasin A (en km)y : distance entre le centre de distribution et le magasin B (en km)Système d’inéquations : x � 0, y � 0

x � 8, y � 5x � y � 6x � yx � 2y

Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (3, 3), (5, 5), (8, 5), (8, 4), (4, 2)1) T � � � , où T représente le temps.

Il faut placer le centre de distribution à 4 km du magasin A et à 2 km du magasin B.

2) T � � , où T représente le temps.Il faut placer le centre de distribution à 4 km du magasin A et à 2 km du magasin B.

b) C’est le trajet décrit en a) 2).

y25

x35

16

y50

x70

Page 71

1612840

20

16

12

8

4

20

Nombre de tables à 6 places

Nombre de tables à 4 places

Répartition des tables d’un restaurant



18. a) L’ordinateur doit avoir environ 4,38 Go de mémoire vive et un processeur dont la vitesse de calcul est environde 1,37 GHz.Système d’inéquations : v � 1,2, m � 2

� 3,2100v � 60m � 400

Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (2, 12), (2, 2,8), (� 4,38, � 1,37), (3,84, 1,2)b) L’ordinateur doit avoir environ 3,07 Go de mémoire vive et un processeur dont la vitesse de calcul est environ

de 1,2 GHz, pour un montant de 304 $.Système d’inéquations : v � 1,2, m � 2

� 3,20,15m � 0,2v � 0,7

Fonction à optimiser : C � 60m � 100v, où C représente le coût.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (2, 2), (13,07, 1,2), (3,84, 1,2)

19. a) Le nombre de sacs d’arachides doit être positif.b) Le nombre de bouteilles de jus doit être positif.c) Le nombre d’articles vendus est inférieur ou égal à 90.d) Le nombre de bouteilles de jus vendues dépasse d’au moins 15 le nombre de sacs d’arachides vendus.e) Le double du nombre de sacs d’arachides vendus est au moins égal au triple du nombre de bouteilles de jus vendues.f ) On a vendu au moins 60 articles en tout.

20. a) 1) (2,5, � 2,3) 2) (� –0,8, � –3,3) b) 1) (–3, � 0,5) et (3, � 0,5). 2) (0, –4)


21. 24 dm de longueur sur 13,5 dm de largeur.x : longueur de l’écran (en dm)y : largeur de l’écran (en dm)Système d’inéquations : y � 0, x � 24

x � 35�

�

Fonction à optimiser : P � 2x � 2y � 4, où P représente la quantité de plastique.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (24, 13,5), (24, 18), (35, 19,6875), (35, 26,25)

22. Oui. Il est impossible de former un polygone de contraintes non convexe par la superposition de demi-plans.

23. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : x � 0, y � 0, 4x � y � 8, 3x � 4y � 19 et x � 3y � 8.b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : z � x � 2yc) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Un système de plomberie est formé de tuyaux en plastique et de tuyaux

en cuivre. Alors qu’un tuyau en plastique pèse 4 kg et a une longueur de 3 m, un tuyau en cuivre pèse 1 kg eta une longueur de 4 m. Le débit d’un tuyau en plastique est de 1 L/min et celui d’un tuyau en cuivre est de 3 L/min.Le système complet doit peser au moins 8 kg, avoir une longueur d’au moins 19 m et avoir un débit minimalde 8 L/min. Un tuyau en plastique coûte 1 $, tandis qu’un tuyau en cuivre coûte 2 $. On cherche à minimiser le coûtde ce système de plomberie.

24. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Lorsqu’on installe un camp de réfugiés, on dispose de deux types de tentes,à 2 places et à 4 places, pour accueillir jusqu’à 240 personnes. L’emplacement peut accueillir jusqu’à 70 tentes.L’installation d’une tente à 2 places prend 40 min, tandis que celle d’une tente à 4 places prend 30 min. On a, au total,40 h pour installer toutes les tentes. La superficie occupée par une tente est de 4 m2. Combien de tentes de chaque typedoit-on installer si on veut occuper la plus grande superficie possible sur le terrain ?

43

xy

169

xy

Page 73

mv

mv

Page 72

26


Banque de problèmes

1. • Écrire le système d’inéquations et représenter graphiquement l’ensemble-solution.e � 16c � 2350e � 200c � 7000

� ou c � 0,25e

• Déduire les coordonnées du point associé à la solution optimale.On cherche un point du polygone de contraintes dont les coordonnées sont entières et qui engendrent un temps minimal d’attente.Le couple (18, 3) permet de minimiser le temps d’attente qui est de 8,3 min.

• Formuler la réponse.L’utilisation de 18 caissiers et de 3 caisses électriques engendre un temps minimal d’attente à la caisse.

2. 1. Représenter graphiquement l’ensemble-solution. Sur le graphique ci-contre,l’ensemble-solution correspond au segment tracé en gras.

2. Valider ou réfuter les affirmations.

Minh a raison.

Banque de problèmes (suite)

3.

c � 200x � 350y1. Établir la règle de la fonctionà optimiser qui permet decalculer les coûts c deproduction.

Soit x, le nombre d’armoires en érable produites chaque mois et y, le nombre d’armoires en chêne produites chaque mois.

Page 75

KevinFAUX. La représentation graphique de l’ensemble-solution du système n’est pas un polygone.MélissaPartiellement vrai. Même si l’ensemble-solution est constitué de couples associés à des points compris entre deuxdroites parallèles, ce ne sont pas tous les couples compris entre ces droites qui font partie de l’ensemble-solution.MinhVRAI. Puisque ce système comporte une équation, les points qui vérifient toutes les inéquations et l’équationdu système sont forcément situés sur la droite d’équation 5x – 4y = 15 (dont la pente est de 1,25).FlorenceFAUX. Il existe des points dont les coordonnées satisfont simultanément l’équation et les inéquations données.

161284

16

12

8

4

0

–4

20

y

x

191817160

5

4

3

2

1

20

c

e

Nombre d’employés etde caisses enregistreuses

A(16, 2)

B(16, 4)352C� , �35

8

1327D� , 2�

14

ce

Page 74


Le couple qui engendre le revenu maximal est A(100, 80), tandis que le couple qui engendre le profit maximal est B(140, 40).

4. • Trouver le ou les points dont les coordonnées maximisent le profit.Si x et y représentent respectivement le nombre de sculptures et le nombre de poteries produites, la règle de la fonction à optimiser est P � 75x � 50y. La droite baladeuse permet de déduire que les couples (5, 8), (7, 5) et (9, 2) maximisent le profit. Ce maximum est de 775 $.

• Parmi ces points, trouver le ou les points dont les coordonnées minimisent le temps de production.La règle de la fonction à optimiser est T � 3x � 2,5y.En substituant les couples aux variables x et y, on remarque que le couple (9, 2) minimise le temps de production.

• Conclusion.La répartition la plus avantageuse pour l’artisane est de produire 9 sculptures et 2 poteries.

P � 500

0 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

Nombre de poteries

Nombre de sculptures

Répartition du nombre de sculptures et de poteries

P � 775

6. Chercher, parmi les sommetsdu polygone, celui quioptimise le revenuet le profit.

14410872360

144

108

72

36

180

Nombre d’armoires en chêne

Nombre d’armoires en érable

A(100, 80)

C(100, 40) B(140, 40)

Fabrication d’armoires5. Tracer le polygone decontraintes et déterminerles coordonnées de sessommets.

x � 100, y � 40 et x � y � 180.4. Traduire les contraintes parun système d’inéquations.

p � r – cp � 400x � 525y � (200x � 350y)p � 200x � 175y

3. Établir la règle de la fonctionà optimiser qui permet decalculer les profits p.

r � 400x � 525y2. Établir la règle de la fonctionà optimiser qui permet decalculer les revenus r.

28

Point Revenu Coût de Profit($) production ($) ($)

A(100, 80) 82 000 48 000 34 000

B(140, 40) 77 000 42 000 35 000

C(100, 40) 61 000 34 000 27 000

Couple Temps de production(5, 8) 3 5 � 2,5 8 � 35 h

(7, 5) 3 7 � 2,5 5 � 33,5 h

(9, 2) 3 9 � 2,5 2 � 32 h



5. 1. Établir le système de contraintes et la règle de la fonction à optimiser, et représenter graphiquement l’ensemble-solution.x représente la quantité de métal A (en kg) et y, celle de métal B (en kg).x � 0y � 00,01x � 0,002y � 0,040,2x � 0,4y � 2,720,25x � 0,01y � 0,32x � y � 8Fonction à optimiser : I � 0,12x � 0,23y, où I représente la quantité d’impuretés (en kg).L’ensemble-solution correspond au segment de la droite x � y � 8 situé à l’intérieur du polygone de contraintes.

2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la droite x � y � 8 et des côtés du polygone de contraintes.En résolvant les systèmes d’équations appropriés, on trouve les coordonnées (2,4, 5,6) et (� 0,97, � 7,03).

3. Évaluer la fonction à optimiser pour ces couples.

Il faut utiliser 2,4 kg de métal A et 5,6 kg de métal B pour fabriquer cette pièce.

6.

1560132010808400

600

520

440

360

280

1800

Nombrede fichiers

vidéo

Nombre de fichiers

audio

C(1750, 250)D(750, 250)

27 50017B� , �6500

17

37 50029A� , �12 500

29

Fichiers d’un lecteur multimédia

3. Tracer le polygone decontraintes et déterminerles coordonnées de sessommets.

x � 500, y � 250x � y � 2000x � 3y0,06x � 0,4y � 250

2. Traduire les contraintes parun système d’inéquations.

n � 100 000 � 7,2x � 48y, à maximiser.1. Établir la règle dela fonction à optimiser.

Soit x, le nombre de fichiers audio que peut contenir un lecteur et y, le nombre de fichiers vidéo que peut contenir un lecteur.

4 8 12 16 200

20

16

12

8

4

Quantité de métal B

(kg)

Quantitéde métal A

(kg)

Quantités de métal A et de métal B

Page 76

Couple Quantité d’impuretés(2,4, 5,6) 0,12 2,4 � 0,23 5,6 � 1,58 kg

(� 0,97, � 7,03) 0,12 0,97 � 0,23 7,03 � 1,73 kg



7. Explication de chacune des contraintes :

Explication des fonctions à optimiser et des solutions optimales :On cherche à maximiser les profits de la PME.Si chaque porte engendre un profit de 40 $ et chaque fenêtre, un profit de 75 $, l’objectif est atteint si la PME produitquotidiennement 13 portes et 17 fenêtres.Si chaque porte engendre un profit de 75 $ et chaque fenêtre, un profit de 40 $, l’objectif est atteint si la PME produitquotidiennement 19 portes et 11 fenêtres.

Page 77

Pour maximiser le nombre de lecteurs vendus, ceux-cidoivent avoir une mémoire totale disponible de7250 Mo, et le prix de vente doit être de 145 $.

5. Formuler la réponse.

Le couple (750, 250) maximise la fonction à optimiser,à 82 600.

4. Déterminer le couplequi maximise la fonctionà optimiser.

30

y � 7 La production quotidienne de fenêtres doit être supérieure à 7 unités/jour.

x � 5 La production quotidienne de portes doit être d’au moins 5 unités/jour.

x � y � 18 Le nombre total de portes et de fenêtres produites quotidiennement doit être supérieur à 18.

x � y � 30 Le nombre total de portes et de fenêtres produites quotidiennement ne peut pas dépasser 30.

x � 19 La production quotidienne de portes ne doit pas dépasser 19 unités/jour.

y � 17 La production quotidienne de fenêtres ne doit pas dépasser 17 unités/jour.

1 les systèmes d’équations et d’inéquations

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