1 Matematicka logika

1.1 Iskazni racun

Iskaz je suvisla recenica za koju se moe utvrditi da li je tacna ili netacna.

Iskaze obeleavamo slovima p, q, . . .Vrednost iskaza v(p) {>,}, redom tacno i netacno.Sloeni iskazi nastaju primenom operacija iskaznog racuna i ,,,Y, redomnegacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija, iskljuciva disjunkcija (xor), cijesu tablice istinitosti redom

> > ,

> > > ,

> > > > > ,

> > > > > ,

> > > > ,

Y > > > > .

1

1.1.1 Iskazne formule

1. Iskazno slovo je iskazna formula.

2. Ako su P i Q iskazne formule, onda je to iP, (P Q), (P Q), (P Q), (P Q), (P Y Q).

3. Iskazne formule nastaju samo konacnom primenom pravila 1 i 2.

Prioritet operacija Y

Brisanje nepotrebnih zagrada.

ZADATAK 1 Napraviti istinitosnu tablicu iskazne formule ((p r) q) q. Prvo obrisatinepotrebne zagrade.

2

1.1.2 Tautologije

Tautologija je iskazna formula koja je tacna za sve vrednosti iskaznih slova.

Pravilo iskljucenja treceg p p De Morganovi zakoni (p q)p q, (p q)p q Kontrapozicija (p q) (qp) Definicija implikacije (p q)p q Distributivnost p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r) Tranzitivnost implikacije (p q) (q r) (p r) Modus ponens p (p q) q

Dodajemo na pravilo 1 iskaznih formula da su > i iskazne formule.Formula P je tautologija ako i samo ako (akko) je formula P> tautologija.Isto za P >, P , > PPrincip zamene za jednakost.

3

1.1.3 Nacini dokazivanja tautologija

Istinitosna tablica

Svodenje na poznatu tautologiju

Diskusija po slovu

ZADATAK 2 Ispitati da li je tautologija (p q)(p q).

ZADATAK 3 Ispitati da li je tautologija diskusijom po slovu (p r) q q.

4

1.2 Predikatski racun

Predikat je iskaz cija istinitost zavisi od promenljive koja uzima vrednosti nad nekim mode-lom (skupom).

Na primer P(x) = "x je paran broj" nad N.Kvantifikatori , daju istinitosnu vrednost predikatu nad nekim modelom.(x)P(x) uzima vrednost > ako je P(x) tacan za sve vrednosti x u posmatranom modelu,inace uzima vrednosti .(x)P(x) uzima vrednost > ako je P(x) tacan za neku vrednost x u posmatranom modelu,inace uzima vrednosti .Valjane formule su formule predikatskog racuna koje su tacne na svakom modelu.Na primer

((x)P(x)) (x)P(x)((x)P(x)) (x)P(x)

5

1.3 Skupovi

Osnovni pojam.

Poznajemo skup ako za proizvoljni element moemo utvrditi da li mu pripada.

Obeleavamo ih velikim slovima engleske abecede.

Oznake , , =, # odnosno | | i znacenjeNe postoji skup svih skupova. Postoji prazan skup.

Partitivni skup je skup svih podskupova nekog skupa.

Zadavanje skupova {x|P(x)}Operacije sa skupovima , , \, A u univerzalnom skupu XSkupovne formule, uvodimo ih slicno kao iskazne formule

Dokazivanje skupovnih formula

Uredeni par (a,b) = {a,{a,b}}Dekartov proizvod A B = {(a,b)|a A b B}.

6

2 Algebra

2.1 Relacije

Za neprazan skup A, za A A kaemo da je relacija (skupa A).Ako (x,y) kaemo da su x i y u relaciji, piemo xy.Na primer u skupu {1,2,3} relacije:= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)} = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,1)}

Refleksivnost (x A) (x, x) Simetricnost (x,y A) (x,y) (y, x) Tranzitivnost (x,y,z A) (x,y) (y,z) (x,z)

Antisimetricnost (x,y A) (x,y) (y, x) x = yRST relacije nazivamo relacije ekvivalencije.

RAT relacije nazivamo relacije poretka.

Za skup A dijagonala je A = {(x, x)|x A}.Ispitati osobine relacije: (a) A u skupu A, (b) u skupu R,(c) "daje isti ostatak pri deljenju sa 4 kao" u skupu N.

7

Za RST relaciju skupa A klasa elementa x A jeCx = {y|(x,y) } ,

a kolicnicki skup jeA/ = {Cx|x A} .

Za skup A i relaciju sa prethodne strane naci A/.Za RAT relaciju skupa A elemenat x A je

najmanji ako (y A)(x,y) ,najveci ako (y A)(y, x) ,

minimalni ako (y A)((y, x) y 6= x),maksimalni ako (y A)((x,y) y 6= x).

Za skup A = {1,2,3} i relaciju naci najmanji, najveci, minimalni, maksimalni element.Haseov dijagram za relacije RAT.

Za x,y N kaemo da x deli y akko (z N)xz = y. Piemo x|y.Dokazati da je | RAT. Napraviti Haseov dijagram i naci najmanji, najveci, minimalni, maksi-malni element za | u skupu (a) {1,2,3,4,5,6}, (b) {2,3,4,5,6}, (c) {2,3,6}, (d) {1,2,4}, (e)N, (f) N\{1}.Za n N definiemo relaciju nad Z: x n y (z Z)(x y) = zn. Dokazati da je RST.

8

2.2 Funkcije

Skup uredenih parova f je funkcija ako(x D( f ))(y,z R( f )) (x,y) f (x,z) f y = z ,

gde je D( f ) skup prvih komponenti i R( f ) skup drugih komponenti uredenih parova iz f .D( f ) nazivamo domen, R( f ) nazivamo skup slika funkcije f .Kaemo da funkcija f preslikava A u B i piemo f : A B ako je D( f ) = A i R( f ) B.(x,y) f piemo f (x) = y ili f : x 7 y.

Ako f : A B i R( f ) = B, kaemo da je f sirjektivna, odnosno "na" i piemo f : A na B.

Ako f : A B i (x,y A) f (x) = f (y) x = y, kaemo da je f injektivna, odnosno "1-1"i piemo f : A 1-1 B.Ako je funkcija f : A B sirjektivna i injektivna, kaemo da je bijektivna, odnosno bijek-cija, odnosno obostrano jednoznacno preslikavanje. Piemo f : A 1-1

na B.

Ako je f : A B bijekcija, onda je f1 = {(y, x)|(x,y) f } funkcija. Funkciju f1 : B Azovemo inverzna funkcija od f i ona je takode bijekcija.Ispitati da li su "1-1" i "na" funkcije x2 : [1,2] [1,4], cos x : [3 , 6 ] [ 12 ,1]

9

Kompozicija funkcija g : A B i f : B C u oznaci f g je funkcija definisana

f g(x) = f (g(x)) .

Identicna funkcija IA : A A je definisana IA = A, odnosno (x A) f (x) = x.Ako f : A B, onda je f1 f = IA i f f1 = IB.Primer. Popuniti tabelu

f1 =(

1 2 3 41 2 3 4

), f2 =

(1 2 3 44 3 2 1

), f2 =

(1 2 3 42 1 4 3

), f4 =

(1 2 3 43 4 1 2

).

f1 f2 f3 f4f1f2f3f4

Nacif11 =f12 =f13 =f14 =

Naci f g i g f za f (x) =x i g(x) = x2.Naci f g i g f za f (x) = ex i g(x) =x.Naci D( f ), R( f ) i f1(x) za f (x) = x+1x2 .

Neka je A = {1,2,3} i B = {4,5}. Koliko imafunkcija f : A B? "na"? "1-1"? "rastucih"?"neopadajucih"?

10

2.3 Grupoidi

Za neprazan skup A funkciju : A2 A zovemo binarna operacija.Umesto (x,y) = z piemo x y = z.Kaemo da je (A,) grupoid.Ako (x,y A) x y = y x, kaemo da je komutativna.Ako (x,y,z A) x (y z) = (x y) z, kaemo da je asocijativna, odnosno da je (A,)asocijativni grupoid, ili polugrupa.

Ako (e A)(x A) x e = e x = x, kaemo da je e neutralni element grupoida (A,).Ako je e neutralni element grupoida (A,) i (x A)(x A) x x = x x = e, kaemoda grupoid (A,) ima osobinu inverznog elementa i kaemo da je x inverzni za x.Za polugrupu sa neutralnim elementom i inverznim elementom za svaki element kaemoda je grupa.

Primeri

Ako je B A i (A,) grupa i (B,) grupa, gde je poslednja operacija restrikcija operacije izA, kaemo da je grupa B podgrupa grupe A.Primeri

11

Napraviti Kejlijevu tablicu, pokazati da je (F ,) grupa, gde je

A = {1,2,3}, F = { f | f : A 1-1na A}, kompozicija funkcija

i naci sve podgrupe.

2.4 Osobine grupa i grupoida

Ako u grupoidu postoji neutralni element onda je on jedinstven.

Za proizvoljan element u grupi inverzni element je jedinstven.

U grupi (A,) za sve a,b A vai (a b) = b a ijednacine a x = b i x a = b su jednoznacno reive po x.Neka je (A,) grupa i 6= B A. (B,) je podgrupa grupe A u odnosu na restikciju akko:

(x,y B) x y B i (x B) x B .

Ako su A i B konacni skupovi i (B,) podgrupa (A,), onda #B|#A.

12

2.5 Prsteni i polja

(R,+, ) kaemo da je prsten ako su + i operacije na nepraznom skupu R iR1 (R,+) je komutativna grupa,

R2 (R, ) je polugrupa,R3 (x,y,z R) x(y + z) = xy + xz i (x + y)z = xz + yz.

Neutralni element operacije + obeleavamo 0 i zovemo nula prstena. Inverzni element zax u odnosu na operaciju + obeleavamo x i zovemo suprotni element.Definiemo x y = x + (y). Naravno: (x R)x x = 0.Neutralni element operacije zovemo jedinica prstena i obeleavamo 1. U prstenu (R,+, )

(x R)x0 = 0x = 0 ,(x,y R)x(y) = (x)y = (xy) .

Kaemo da je prsten (R,+, ) polje ako jeF2 (R\{0}, ) komutativna grupa.

Inverzni element za x u polju (F,+, ) obeleavamo x1.Primeri

13

2.6 Kongruencija po modulu

Za n N u skupu Z definiemo relaciju n:x n y (z Z)x y = nz .

Relacija n u skupu Z je RST. x n y akko x i y daju isti ostatak pri deljenju sa n.Kolicnicki skup Z/n = {C0,C1, . . . Cn1}, gde su klase ekvivalencije Cx = {y|x n y}.Primeri

U skupu Z/n definiemo operacije +n i n:Cx +n Cy = Cx+y i Cx n Cy = Cxy .

Operacije +n i n su dobro definisane.(Z/n ,+n, n) je prsten sa neutralnim elementom i drugom operacijom komutativnom, a zan prost broj je polje.Ubuduce obeleavamo Z/n = Zn = {0,1, . . . ,n 1} i umesto Cx za x Zn piemo x, ope-racije piemo bez n.Primer

Napraviti Kejlijeve tablice grupoida + i prstena (Z3,+, ) i (Z4,+, ).

14

2.7 Kompleksni brojevi

Uredena trojka (R2,+, ) je polje, gde su + i definisane

(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d), (a,b)(c,d) = (ac bd, ad + bc) .

Obeleavamo C = R2

(x,y) = x + yi, (0,1) = i, i2 = 1.Za z = x + yi C, Re(z) = x, Im(z) = y, z = x yizz = x2 + y2.Za R, z = (x,y).Definiemo |z| =

x2 + y2. Vai zz = |z|2.

Za z,w C i R vai|zw| = |z||w|, |z| = |||z|,|z + w| |z|+ |w|, |z w| ||z| |w||.

15

2.7.1 Kompleksna ravan, polarne koordinate, eksponencijalni zapis

Re

Im

z = x + yi

x

y

x = cos y = sin

= |z| =

x2 + y2 = argz

argz =

arctan yx , x > 0arctan yx + , x < 0,y 0arctan yx , x < 0,y < 02 , x = 0,y > 02 , x = 0,y < 0

Uvodimo oznaku: ei = cos + i sin . z = x + iy = cos + isin = ei

Prevesti iz algebarskog u eksponencijalni zapis (i obrnuto) kompleksne brojeve

2 2i =1 + i =

5 =i =

2e4 i =

e2 i =

2

3e56 i =

2e34 i =

16

2.7.2 Operacije u eksponencijalnom zapisu

Neka z1 = 1ei1 i z2 = 2ei2 , za 1,2 [0,) i 1, 2 (,].z1z2 = 12ei(1+2)

z1z2

=12

ei(12)

Za z = ei, [0,) i (,]zn = nein

n

z = n

ei+2k

n ,k = 0,1, . . . n 1.Izracunati u algebarskom obliku i koristeci eksponencijalni zapis

(1 i)3 =(1 i)(

3 + i) =

i/(3

3i) =38i =

Rotacija z = ei oko koordinatnog pocetka za ugao daje w = zei = e(+)i.Rotacija z oko z0 za ugao daje w = z0 + (z z0)ei.

17

2.8 Polinomi

Izrazi oblika p = anxn + + a1x + a0, gde su an, . . . , a1, a0 F, n N {0} i an 6= 0, supolinomi nad poljem (F,+, ). Nula polja 0 je takode polinom, nazivamo ga nula polinom.dg(p) = n je stepen polinoma p, a stepen nula polinoma se ne definie.U skupu svih polinoma nad F, u oznaci F[x], posmatramo operacije sabiranja i mnoenjapolinoma koje se definiu na uobicajen nacin.

(F[x],+, ) je komutativni prsten sa jedinicom.Ako su p i q nenula polinomi onda je pq 6= 0 i dg(pq) = dg(p) + dg(q).Za svaka dva polinoma p i q 6= 0 postoje jedinstveni polinomi s i r takvi da je

p = qs + r i (r = 0 dg(r) < dg(q)) .Kaemo da je s rezultat deljenja p sa q, r je ostatak. p je deljiv sa q ako je r = 0.Hornerova ema: Ako za n > 0, polinom p = anxn + + a1x + a0 delimo polinomomq = x rezultat deljenja je polinom s = bn1xn1 + b1x + b0, a ostatak r = b0 + a0 i:

bn1 = an, bn2 = bn1 + an1, . . . ,b0 = b1 + a1.

Polinomu p pridruujemo njegovu polinomsku funkciju (p) : F F, koja vrednosti x Fpridruuje vrednost anxn + + a1x + a0. Umesto (p)(x) krace piemo p(x).

18

Bezuova teorema: Ostatak pri deljenju polinoma p = anxn + + a1x + a0 sa x je p().an an1 a1 a0

an an + an1 b1 + a1 b0 + a0= bn1 = bn2 = b0 = p()

Polinom stepena veceg od 0 je svodljiv ako se moe napisati kao proizvod dva polinoma cijistepeni su manji od njegovog. Polinom stepena 1 je nesvodljiv.Ako polinom stepena n > 1 ima koren , onda je svodljiv, jer je deljiv sa x .Polinom stepena n ima najvie n korena.Faktorisati polinom znaci napisati ga u obliku proizvoda nesvodljivih polinoma.

Svaki polinom stepena veceg od 0 nad poljem kompleksnih brojeva C ima koren.

U polju C polinom p stepena n > 0 se moe faktorisati p = an(x x1)(x x2) (x xn).Ako je polinom p deljiv polinomom (x )k i nije deljiv polinomom (x )k+1, kaemo daje k viestrukost korena za polinom p.U polju C polinom p stepena n > 0 ima n korena uracunavajuci viestrukost.Ako je polinom p R[x] i p() = 0, onda je p() = 0.

(x z)(x z) = x2 2 Re(z)x + |z|2Polinom nad poljem R se moe faktorisati tako da cinioci nemaju stepen veci od 2.

19

3 Linearna algebra

3.1 Sistemi linearnih jednacina

Ako su ai,j R, za i = 1,2, . . . ,m, j = 1,2, . . . ,n, i bi R, za i = 1,2, . . . ,m, ondaa1,1x1 + a1,2x2 + + a1,nxn = b1a2,1x1 + a2,2x2 + + a2,nxn = b2

. . .am,1x1 + am,2x2 + + am,nxn = bm

zovemo sistem m linearnih jednacina sa n nepoznatih x1, x2, . . . , xn R.ai,j zovemo koeficijenti sistema, bi zovemo slobodni koeficijenti, xi su promenljive, od-nosno nepoznate.

Uredena n-torka brojeva (x1, x2, . . . , xn) koji uvrteni umesto promenljivih zadovoljavaju svejednacine sistema zove se reenje sistema.

Ako sistem ima barem dva reenja, onda ima beskonacno mnogo reenja. Takav sistemzovemo neodreden.

Sistem koji nema reenja zovemo nemoguc, (kontradiktoran, nesaglasan).

Sistem koji ima tacno jedno reenje zovemo odreden.

20

Kaemo da su dva sistema ekvivalentna ako imaju iste skupove reenja.

Ako je b1 = b2 = = bm = 0, kaemo da je sistem homogen.Homogen sistem ima reenje x1 = x2 = = xn = 0, koje zovemo trivijalno reenje.

3.1.1 Ekvivalentne transformacije sistema

Zamena mesta dve jednacine.

Mnoenje jednacine brojem razlicitim od nule.

Mnoenje jednacine brojem i dodavanje nekoj drugoj jednacini.

Primena ekvivalentnih transformacija daje sistem ekvivalentan polaznom. Na primer:x + y z = 2x + y + z = 4

3x y + z = 6

3x y + z = 6x + y + z = 4x + y z = 2

3x y + z = 6

2x + 2y + 2z = 8x + y z = 2

3x y + z = 6

2x + 2y + 2z = 83x + 3y + z = 10

Relacija ekvivalencije sistema linearnih jednacina je relacija ekvivalencije (RST).

21

3.1.2 Gausov postupak eliminacije

Kaemo da je sistem gornje trougaoni ako pocevi od prve, u svakoj sledecoj jednacini imabarem jedna nepoznata manje.

Gausov postupak eliminacije se sastoji u dovodenju sistema na gornje trougaoni prime-nom ekvivaletnih transformacija.

Ako se dobije jednacina 0 = 0, ona se izbacuje.Ako se dobije jednacina 0 = b, gde je b 6= 0, prekida se dalji rad, sistem je nemoguc.Kada je sistem u gornje trougaonom obliku, oznacimo sa r (rm) broj preostalih jednacina.Ako je r = n, sistem je odreden i reenje se moe dobiti polazeci od poslednje jednacineprema prvoj, uvrtavanjem dobijenog reenja i reavanjem dobijene jednacine sa jednomnepoznatom.

Ako je r < n, sistem je neodreden ((n r)-struko) i moe se prvih r nepoznatih (sa leva)izraziti preko preostalih (n r), istim postupkom kao kod odredenog sistema sa r jednacinai r nepoznatih.Primeri

22

3.2 Determinante

Determinanta je operacija nad n2 elemenata polja F:

D =

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n

. . .an,1 an,2 . . . an,n

= po svim perm.(i1,i2,...,in)(1)(i1,i2,...,in) a1,i1 a2,i2 an,in

gde je (i1, i2, . . . , in) broj inverzija permutacije (i1, i2, . . . , in), cija parnost odlucuje znak.Ako je D dobijena zamenom dve vrste (ili kolone) determinante D, onda je D = D.Ako je determinanta D dobijena mnoenjem svih elemenata jedne vrste (ili kolone) deter-minante D istim brojem , onda je D = D.Ako je determinanta D dobijena mnoenjem elemenata jedne vrste (ili kolone) determi-nante D i dodavanjem odgovarajucim elementima neke druge vrste (kolone) determinanteD, onda je D = D.Minor elementa ai,j je Mi,j = determinanta D bez i-te vrste i j-te kolone. Algebarski kom-plement elementa ai,j je Ai,j = (1)i+j Mi,j.

D =n

j=1

ai,j Ai,j =n

i=1

ai,j Ai,j.

23

Kaemo da je determinanta gornje trougaona ako su elementi ispod glavne dijagonalejednaki nuli. (i > j ai,j = 0)Vrednost gornje trougaone determinante jednaka je proizvodu elemenata sa glavne dijago-nale (D = a1,1a2,2 an,n)

Determinante i sistemi linearnih jednacina

Sistem lin. jedn. je kvadratni ako je m = n:a1,1x1 + a1,2x2 + + a1,nxn = b1a2,1x1 + a2,2x2 + + a2,nxn = b2

. . .an,1x1 + an,2x2 + + an,nxn = bn

Determinanta kvadratnog sistema je

D =

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n

. . .an,1 an,2 . . . an,n

Kvadratni sistem je odreden ako i samo akoje D 6= 0.Kramerovo pravilo: Ako je kvadratni sistemodreden, onda je xi =

DxiD , i = 1,2, . . . ,n, gde

je Dxi determinanta sistema u kojoj su koefi-cijent uz xi zamenjeni slobodnim koeficijen-tima.

24

Matrice

Skup matrica m n nad poljem R definiemo

Rmn =

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n

. . .am,1 am,2 . . . am,n

, ai,j R, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n .

Za matrice A = [ai,j] i B = [bi,j] definiemo A + B = [ai,j + bi,j] i za R, A = [ai,j].(Rmn,+) je komutativna grupa.Za matrice Amp i Bpn definiemo A B = [pk=1 ai,kbk,j].(Rnn, ) je nekomutativna polugrupa sa neutralnim elementom. Neutralni element je jedi-nicna matrica I koja ima jedinice na glavnoj dijagonali, a nule na ostalim mestima.(Rnn,+, ) je nekomutativan prsten sa neutralnim elementom.Za matricu A =

[ai,j]

definiemo determinantu |A| = |ai,j| .Ako za kvadratnu matricu A postoji A1 takva da AA1 = A1A = I, kaemo da je A1

inverzna matrica matrice A.

25

Primena matrica

Reavanje matricnih jednacina

Reiti matricnu jednacinu AX = B, gde je A =

2 3 13 2 2

1 2 2

, B =1 18 34 1

.

Reiti matricnu jednacinu XA = B, gde je A =

[2 3

2 4

], B =

10 66 52 10

.Primenom matrica reiti sistem jednacina

x + y z = 22x + y + z = 53x y + z = 2

Primenom matrica reiti sistem jednacinax + y z = 3

2x + y + z = 73x y + z = 5

26

Sistemi linearnih jednacina i matrice, vebe

Primenom matrica reiti sistem jednacina3x + 2y = 142x 3y = 5

Primenom matrica reiti sistem jednacinax + y z = 6

2x + y + z = 63x y + z = 2

Primenom inverzne matrice reiti matricnu jednacinu AX + 2X = B, gde je

A =

2 3 2

3 2 21 1 1

, B =1 1410 7

9 0

.Primenom sistema jednacina reiti matricnu jednacinu AX = B, gde je

A =

2 33 2

2 2

, B =5 812 1

2 6

.

27

Razni zadaci iz sistema i matrica

Za koju vrednost parametra p je sistem odreden?

1.3x + py = 142x 3y = 5

2.x + y z = 6

2x + y + z = 6px y + z = 2

3.x + y = 4

2x y = 2px + y = 8

4.x + y z = 6

px + y + z = 6

Za koju vrednost parametra p je matrica

2 p 13 2 2

1 2 2

singularna?

28

Analiticka geometrija (u ravni)

Jednacina prave

Opti oblik Ax + By + C = 0

Eksplicitni oblik y = kx + n

Segmentni oblik xa+

yb= 1

Data je prava svojom jednacinom u optem obliku. Napisati datu jednacinu u eksplicitnomi segmentnom obliku, nacrtati u ravni i oznaciti na crteu parametre k,n, a,b. (ako moe)(a) 2x + 3y 4 = 0 (b) 3x 4y = 0 (c) 3y 6 = 0 (d) x 3 = 0 (e) x = 0

Jednacina prave kroz A(x0,y0) paralelna pravi y = kx + n: y y0 = k(x x0)

Jednacina prave kroz A(x0,y0) i B(x1,y1): y y0 =y1 y0x1 x0

(x x0)

Postaviti u sva tri oblika jednacinu prave kroz A(1,2) i B(3,2).

29

Ugao izmedu pravih y = k1x + n1 i y = k2x + n2: tan =k1 k2

1 + k1k2

Postaviti jednacinu normale n na pravu p : y = 23 x 1 u tacki prave p cija apscisa je x = 3.Dati skicu.

Na pravi y = x+ 6 naci tacku koja je jednako udaljena od tacaka A(2,1) i B(5,2). Dati skicu.Nacrtati u ravni prave 3x + 5y 9 = 0 i 4x 2y + 1 = 0, naci njihov presek i tangens otrogugla pod kojim se seku. Dati skicu.

Postaviti jednacinu prave p koja sadri tacku A(2,2) i normalna je na pravu y = 2x + 1 iodrediti preseke prave p sa koordinatnim osama. Dati skicu.Na pravi kroz tacke A(2,1) i B(5,2) naci tacku koja je najblia tacki C(7,6). Dati skicu.Kroz tacku T(1,1) postaviti pravu p koja pravu q : 3x + 2y = 6 sece pod uglom za kojije tan = 12 . Dati skicu.Na pravi p : x 2y + 2 = 0 odrediti tacke cije rastojanje od koordinatnog pocetka iznosi 1.Dati skicu.

30

Slobodni vektori

Vektori su orijentisane dui. Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, smer i intenzitet.

x

y

O

A

B

C

C1

~a

~a~b

~a +~b~b ~a

x0x1 x0 + x1

y0

y1

y0 + y1~a = ~OA,~b = ~OB,~a +~b = ~OC~b~a = ~AB = ~OB ~OA~OC1 = 12 ( ~OA + ~OB) =

12 (~a +~b)

~a = (x0,y0),~b = (x1,y1)~a +~b = (x0 + x1,y0 + y1)~a = (x0,y0)

|~a| =

x20 + y20, |~a| = |||~a|

Za skalare i i vektore~a i~b, linearna kombinacija je vektor ~a + ~b

Vae sledece osobine: 0~a =~0, (~a+~b) = ~a+ ~b, (+ )~a = ~a+ ~a, (~a) = ()~a, 1~a =~a.

Vektori na koordinatnim osama x i y intenziteta 1 su ortovi, redom~i i~j. Svaki vektor moeda se izrazi kao njihova linearna kombinacija: ~a = (x0,y0) = x0~i + y0~jNula vektor~0 je vektor za koji su pocetna i krajnja tacka iste, nema pravac i smer.

31

Osobine mnoenja vektora skalarom: za proizvoljne skalare i i vektore~a i~b vai:

(~a +~b) = ~a + ~b, ( + )~a = ~a + ~a, (~a) = ()~a, 1~a =~a,

0~a =~0 = ~0, |~a +~b| |~a|+ |~b|, |~a| = || |~a|, |~a| = 0 ~a =~0.Slobodni vektori u prostoru se predstavljaju kao linearna kombinacija ortonormiranih vek-tora~i,~j i~k: ~a = x0~i + y0~j + z0~k, to zapisujemo~a = (x0,y0,z0).

Skalarni proizvod vektora

~a~b = |~a| |~b|cos](~a,~b), gde je ](~a,~b) neorijentisani konveksni ugao izmedu vektora~a i~b.Osobine: za proizvoljni skalar i vektore~a,~b i~c vai~a~b =~b~a, (~a)~b =~a(~b) = (~a~b), ~a(~b +~c) =~a~b +~a~c, ~a~b = 0 ~a~b(x0,y0,z0)(x1,y1,z1) = x0x1 + y0y1 + z0z1

Primer

Data su temena trougla ABC: A(2,1,3), B(3,3,5), C(4,3,4).Izracunati stranice i uglove trougla i naci koordinate teita T.

32

Vektorski proizvod vektora

Vektorski proizvod vektora ~a i ~b koji oznacavamo ~a ~b je vektor koji je ortogonalan napravac vektora~a i~b; redom~a,~b i~a~b cine desni triedar i |~a~b| = |~a| |~b| sin](~a,~b).Osobine: za proizvoljni skalar i vektore~a,~b i~c vai~a~b =~b~a, (~a)~b =~a (~b) = (~a~b), ~a (~b +~c) =~a~b +~a~c, ~0~a =~0

Primer

Data su tri temena paralelograma ABCD: A(2,1,3), B(3,3,5), C(4,3,4).Naci cetvrto teme D, izracunati povrinu pralelograma i ugao izmedu dijagonala.

Meoviti proizvod vektora

Za vektore~a,~b,~c, meoviti proizvod je~a(~b~c).Ako vektori~a,~b i~c cine desni triedar meoviti proizvod je pozitivan.Zapremina paralelopipeda nad vektorima~a,~b i~c je |~a(~b~c)|.

33

Primer 1

Data su tri temena paralelograma ABCD: A(2,1,3), B(3,3,5), C(4,3,4).Naci cetvrto teme D, izracunati povrinu pralelograma.Naci presek dijagonala paralelograma.

Naci vrh prave piramide ABCDE cija je zapremina V =

153.

Primer 2

Naci jedinicni vektor normalan na ravan trougla ABC, ako je A(2,1,3), B(2,3,5), C(4,3,4).

Primer 3

Naci visinu paralelopipeda odredenog vektorima~a,~b i~c na ravan odredenu vektorima~a i~b.

Primer 4

Naci udaljenost koordinatnog pocetka od ravni trougla ABC, A(2,1,3), B(2,3,5), C(4,3,4).

34