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加法原理與乘法原理重點一

10-1 排列

1. 加法原理：

完成某件事，有 k 種不同的方式，又方式 1 有 m1 種方法，方式 2 有 m2 種方法，…，

方式 k 有 mk 種方法，且這 k 類中任兩類不同時發生，則完成此事有(m1 + m2 + … +

mk)種方法。

2. 乘法原理：

完成某件事，有 k 種不同的步驟，又步驟 1 有 m1 種方法，步驟 2 有 m2 種方法，…，

步驟 k 有 mk 種方法，則完成此事有(m1 × m2 × … × mk)種方法。

3. 樹狀圖：用來列舉事件所有可能發生的情形。

4. 塗色問題：

(1) 鄰居最多者優先塗色，次多者第二塗色，依此類推。若有兩個區域的鄰居一樣

多，則任選其中一個先塗，再塗另一個。 (2)

這一類的題目，因無法確定 A、C 兩區是同色或異色，故需分別討論。

員生社架上的飲料有果汁類 4 種，茶類 5 種，

汽水類 3 種， (1)若只買一瓶，有幾種選法？ (2)若三類飲料各買一瓶，有幾種選法？

(1) 4 + 5 + 3 = 12，共 12 種選法

(2) 4 × 5 × 3 = 60，共 60 種選法

鞋架上有 5 款 NIKE，3 款 Adidas 及 2 款

Reebok 球鞋， (1)若只買一雙，有幾種選法？ (2)若三種品牌各買一雙，有幾種選法？

(1) 5 + 3 + 2 = 10，共 10 種選法

(2) 5 × 3 × 2 = 30，共 30 種選法

1 1加法原理、乘法原理 100

排列與組合

176

數學 B 總複習 EZ GO

小鋒從宜蘭到台北，搭客運有 3 種選擇，搭

火車有 5 種選擇；從台北到澎湖則有 4 種航

空公司可以選擇，試問：小鋒搭大眾交通工

具由宜蘭經過台北，再到澎湖，有幾種搭乘

方法？

(3 + 5) × 4 = 32(種)

仁愛醫院有牙醫師 3 人，內科醫生 8 人，外

科醫生 4 人。若牙科派 1 人，內、外科加總

只需派 1 人到山區義診，則有幾種安排方

法？

3 × (8 + 4) = 36(種)

試求(a + b)(x + y + z)展開式共有多少不同的

項？

樹狀圖：

共有 2 × 3 = 6 項

試求(2a + b + 3c)(x + 5)(y + 1)展開式共有多

少不同的項？

共有 3 × 2 × 2 = 12 項

(1) 252 的正因數有多少個？

(2)承(1)，其中 14 的倍數有幾個？

252 = 22 × 32 × 71

(1)∵252 的正因數可寫成 2a × 3b × 7c

其中 a = 0、1、2

b = 0、1、2

c = 0、1

故 252 的正因數有 3 × 3 × 2 = 18(個)

(2)設 2a × 3b × 7c 為 252 的正因數，

又所求為 14 = 2 × 7 的倍數，則

a = 1、2；b = 0、1、2；c = 1

故共有 2 × 3 × 1 = 6(個)

(1) 360 的正因數有多少個？

(2)承(1)，其中 15 的倍數有幾個？

360 = 23 × 32 × 51

(1)∵360 的正因數可寫成 2a × 3b × 5c

其中 a = 0、1、2、3

b = 0、1、2

c = 0、1

故 360 的正因數有 4 × 3 × 2 = 24(個)

(2)設 2a × 3b × 5c 為 360 的正因數，

又所求為 15 = 3 × 5 的倍數，則

a = 0、1、2、3；b = 1、2；c = 1

故共有 4 × 2 × 1 = 8(個)

4 4因數個數乘法原理 103

3 3項數乘法原理

2 2加法原理搭配乘法原理 105

10

Chapter 10 排列與組合 177

直線排列重點二

以 5 種不同顏色塗下圖 4 個區域，顏色可重

複，但相鄰區域不得同色，則塗法有多少種？

A 與 C 的鄰居最多，任選一個先塗

A→C→B→D

5 × 4 × 3 × 3 = 180(種)

以 4 種不同顏色塗下圖 5 個區域，顏色可重

複，但相鄰區域不得同色，則塗法有多少種？

A 的鄰居最多，故由 A 區先塗

A→C→D→E→B

4 × 3 × 2 × 2 × 2 = 96(種)

1. 階乘：

(1) 若 n 為正整數，規定 n! = n × (n − 1) × (n – 2) × … × 1，稱為 n 階乘。

(2) 規定 0! = 1

2. 相異物的排列：

(1) 從 n 個相異物中，任取 m 個(m ≤ n)排成一列的方法數，以符號 nmP 表示。

! ( 1) ( 2) ( 1)( )!

nm

m

nP n n n n mn m

= = × − × − × × − +−

共個

例如：(1) 52

5! 5!(5 2)! 3!

P = =−

= 5 × 4 (2) 83

8! 8!(8 3)! 5!

P = =−

= 8 × 7 × 6

(2) nnP = n!(全取排列)

(3) 1nP = n； 0

nP = 1

3. 限制位置的排列原則：

(1) 有限制位置者，優先排列。

(2) 相鄰必綁

說明：先將必相鄰物綁在一起，視為一體與其他物排列，最後再考慮相鄰物之

間的排列。

(3) 不相鄰插空法

說明：先忽略「不相鄰」物，排其他物，再將「不相鄰」物插空排列。

(4) 倒扣法：若直接計算較複雜時，可用此法。例如：不排尾 = 全部 − 排尾

5 5相鄰同色乘法原理

178


設 2nP = 72，則 n =？

2nP = n × (n − 1) = 72

n = 9

設 3 28n nP P= × ，則 n =？

n × (n – 1) × (n − 2) = 8 × n × (n − 1)

n – 2 = 8

n = 10

將甲、乙、丙、丁四人排成一列，試求下列

的排列數：

(1)四人任意排列

(2)甲排首位

(3)乙不排末位

(1) 44P = 4! = 24(種)

(2)甲□□□

先排甲，再排其他三人 1 × 3! = 6(種)

(3)乙不排末位 = 全部排列 − 乙排末

= 4! – 1 × 3! = 18(種)

將甲、乙、…等六人排成一列，試求下列的

排列數：

(1)甲排首位且乙排末位

(2)甲排首位且乙不排末位

(1)甲□□□□乙

先排甲、乙，再排其他四人

1 × 1 × 4! = 24(種)

(2)甲排首且乙不排末

= 甲排首 − 甲排首且乙排末

= 5! − 4! = 96(種)

三男兩女排成一列：

(1)若男生之間不排女生，共有多少種排法？

(2)男生互不相鄰，排法有幾種？

(1)

三個男生視為一體與兩個女生排列：3!

三個男生可互換位置：3!

∴排法有 3! × 3! = 36(種)

(2) □ 女 □ 女 □

先排兩個女生 2! 三個男生再插入間隔 3

3P

∴排法有 2! × 33P = 12(種)

甲、乙、丙、…等六人排成一列

(1)若甲、乙兩人必相鄰，則排法有幾種？

(2)若甲、乙不相鄰，則排法有幾種？

(1)

甲、乙視為一體與其他四人排列：5!

甲、乙互換位置 2!

∴5! × 2! = 240(種)

(2) □ 丙 □ 丁 □ 戊 □ 己 □

先排甲、乙以外的四人 4! 甲、乙兩人再插入間隔 5

2P

∴4! × 52P = 480(種)

8 8相鄰必綁；不相鄰插空法

7 7有限制先排

6 6( ) ( )1 1= × − × × − +nmP n n n m

10


自 1、2、3、4、5 中任選三個數字，排成三

位數，數字不可重複，則：

(1)可得幾個不同的數字？

(2)可得幾個不同的奇數？

(1) 53P = 5 × 4 × 3 = 60(個)

(2)個位數必為奇數

3 × 4

2P = 36(個)

自 3、4、5、6、7、8 中任選四個數字，排成

四位數，數字不可重複，則：

(1)可得幾個不同的數字？

(2)可得幾個不同的偶數？

(1) 64P = 6 × 5 × 4 × 3 = 360(個)

(2)個位數必為偶數

3 × 53P = 180(個)

自 0、1、2、3、4、5 中任選三個數字，排

成三位數，數字不可重複，則：

(1)可得幾個不同的三位數？

(2)可得幾個不同的奇數？


(1) 0 不可排首 5 × 5 × 4 = 100(個)

(2)個位數必為奇數，且首位不為 0

(3)【解法一】個位數必為偶數或 0 個位數為 0

□□0 5 × 4 × 1 = 20 個位數為 2 或 4

□□□ 4 × 4 × 2 = 32 ∴有 20 + 32 = 52(個)

【解法二】全部 − 奇數 = 偶數 100 – 48 = 52(個)

自 0、1、2、3、4、5、6 中任選四個數字，

排成四位數，數字不可重覆，則：

(1)可得幾個不同的四位數？


(1) 0 不可排首 6 × 6 × 5 × 4 = 720(個)

(2)個位數必為偶數或 0

個位數為 0

□□□0 6 × 5 × 4 × 1 = 120

個位數為 2 或 4 或 6

□□□□ 5 × 5 × 4 × 3 = 300

∴有 120 + 300 = 420(個)

10 10數字題型：含 0，0 不可排首

9 9數字題型：不含 0 105

180


不盡相異物的排列重點三

設 n 個物品，可分為 k 類。第 1 類有 m1 個相同物，第 2 類有 m2 個相同物，…，第

k 類有 mk 個相同物，且 m1 + m2 + … + mk = n，則此 n 個物品全取的排列數為

1 2

!! ! !× × × k

nm m m

。

將"mhchcm"這些英文字母任意排列，問共有

幾種不同的排列方法？

(A)90 (B)60 (C)45 (D)30。【101 統測 B】

6!2!2!2!

= 90(種)

由 2、2、3、3、4、4、4 這七個數字排成一

列，則共可排成多少個不同的七位數？

(A)140 (B)210 (C)350 (D)420。

【106 統測 A】

7! 2102!2!3!

個

將「yamaha」六個字，作直線排列，試求下

列排列數：

(1)三個「a」必相鄰 (2)三個「a」全不相鄰

(1)

將三個「a」視為一體與 y、m、h 排列，

排法有 4! = 24(種)

(2) □ y □ m □ h □

將排「y、m、h」：3!

再將三個「a」插入間隔：4

3

3!P

∴共有 3! ×4

3

3!P

= 24(種)

將「來童玩玩童玩」六個字，作直線排列，

試求下列排列數：

(1)兩個「童」字必相鄰 (2)兩個「童」字必

分開

(1)

將兩個「童」視為一體再與其他字排，其

中有三個相同的字「玩」，故排法有 5!3!

= 20(種)

(2) □來□玩□玩□玩□

先排「來、玩、玩、玩」：4!3!

再將兩個「童」插入間隔：5

2

2!P

∴共有5

24!3! 2!

P× = 40(種)

12 12有限制的不盡相異物排列

11 11不盡相異物的排列 101、107

10


可重複的直線排列重點四

如圖所示，試求下列的方法數：

(1)由 A 點走捷徑到 B 點

(2)由 A 點走捷徑到 B 點，且必經過 C 點

(1)每一種走法，對應到一種

→ → →↑↑↑↑的排列，

故走法有：(3 4)!

3!4!+ = 35(種)

(2)經過 C 點的走法 (1 2)! (2 2)!

2! 2!2!+ +× = 18(種)

如圖所示，試求下列的方法數：

(1)由 A 點走捷徑到 B 點

(2)由 A 點走捷徑到 B 點，但不經過 C 點

(1)每一種走法，對應到一種

→ → → → →↑↑↑的排列，

故走法有：(5 3)!

5!3!+ = 56(種)

(2)經過 C 點的走法 (2 2)! (3 1)!

2!2! 3!1!+ +× = 24(種)

不經過 C = 全部 − 經過 C

= 56 − 24 = 32 (種)

1. 定義：從 n 類不同物中(每類至少含 m 個)，任取 m 個排成一列，且每類物件可重

複選取，稱為由 n 中取 m 的重複排列，其排列數為 nm。

2. 解法：

nm = (可重複者)不可重複者 = (重)不重

將 6 件不同玩具，任意分給甲、乙、丙三人，

試求下列方法數：

(1)任意分(玩具要分完)

(2)甲至少得一件

(1)每件玩具任意分給甲、乙、丙三人，

分法有 3 種，故 6 件玩具的分法有

3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729(種)

(2)甲至少得一件

= (任意分) – (甲都沒分到)

= 36 – 26 = 665(種)

將 5 封信不同的分別投入 A、B 兩個郵筒，


(1)任意投

(2)A 郵筒至少得一封信

(1)每封信任意投入 A、B 兩郵筒，

投法有 2 種，故 5 封信的投法有

2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32(種)

(2)A 郵筒至少得一封信

= 任意投 − A 郵筒沒得信

= 25 − 15 = 32 – 1 = 31(種)

14 14重複排列(1) 104

13 13走捷徑不盡相異物的排列

182


環狀排列與項圈排列重點五

有渡船兩艘，每艘最多可載 5 人，試依下列

條件求出安全搭船的方法數：

(1)5 人同時搭船 (2)6 人同時搭船

(1) 25 = 32(種)

(2)安全搭船

= (任意搭船) − (6 人同船)

= 26 − 2

= 62(種)

有湯屋 3 間，每間最多可容納 4 人。今有 5

人要泡溫泉，試問有幾種安排方式？

每間人數不超過 4 人的安排法

= (任意安排) − (五人同在一間)

= 35 – 3

= 240(種)

1. 環狀排列：不同物品沿一圓周排列，只考慮相對位置，不考慮實際位置，稱為「環

狀排列」。

2. 環狀排列解法：

(1) n 個不同物品，全取作環狀排列，方法數為!=

nnP nn n

= (n − 1)!。

(2) 從 n 個不同物品，任取 m 個作環狀排列，方法數為n

mPm

。

環狀排列數=直線排列數

參與環排的個數

(3) 環狀排列中，先入座者為環排，其餘的視為直線排列排入。

3. 項圈排列：

將一環狀排列翻轉，可得另一方向的環狀排列，此兩種環排即是同一種項圈排列。

4. 項圈排列解法：

項圈排列數=2

環狀排列數

15 15重複排列(2)

10


自 6 人中選 4 人圍圓桌而坐，方法有幾種？

6

4 6 5 4 34 4

P = 90(種)

自 5 人中選 3 人圍成一圈玩遊戲，方法有幾

種？

5

3 5 4 33 3

P = 20(種)

三男三女圍一圓桌而坐，試求：

(1)任意圍坐有幾種坐法？

(2)同性必相鄰有幾種坐法？

(3)同性不相鄰有幾種坐法？

(1) 6!6

= 120(種)

(2)三男視為一體，三女視為一體，

視為二個單位的環排：2!2

又三男與三女均可互換

座位：3! × 3!

∴共有2!2

× 3! × 3! = 36(種)

(3)三女先作環排，男生再排入間隔

33

3!3

P× = 12(種)

主人夫婦與三對客人夫婦圍一圓桌而坐，試求：

(1)每對夫婦均相鄰有幾種坐法？

(2)主人夫婦相對而坐有幾種坐法？

設 A、B、C、D 為四位先生，

a、b、c、d 分別為其太太

(1)夫婦相鄰而坐

44! 24

×夫婦互換位置

= 96(種)

(2)主人夫婦 A、a 先入坐兩端，

其他六人再入坐

66

2!2

P× = 720(種)

將七顆不同顏色的珠子，任選五顆串成項

鍊，有幾種串法？

項圈排列=環狀排列× 12

=7

5 15 2

P× = 252(種)

將六顆不同顏色的珍珠串成項鍊，有幾種串

法？

項圈排列=環狀排列× 12

=6

6 16 2

P× = 60(種)

18 18項圈排列

17 17有限制的環狀排列

16 16環狀排列

184


1. DVD 架上有恐怖類、愛情類、科幻類，搞笑類四類影片，其中恐怖類有 5 片，愛

情類有 3 片、科幻類有 2 片，搞笑類有 4 片。

(1)只選一部影片，有 14 種選法。

(2)從四類影片中各選一部，有 120 種選法。

2. 阿信有襯衫 3 件、POLO 衫 4 件，褲子 5 條，若穿法為襯衫搭配褲子或 POLO 衫搭

配褲子則有 35 種搭配方式。

3. 25 × 32 × 71 的正因數有 36 個。

4. 若 10 × 2 3n nP P= ，則 n = 12 。

5. 甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一列，試根據以下條件計算排法：

(1)甲、乙、丙完全相鄰，有 36 種排法。

(2)甲、乙、丙不完全相鄰，有 84 種排法。

(3)甲、乙、丙完全不相鄰，有 12 種排法。

(4)乙最高，一定要當排頭，有 24 種排法。

(5)甲最內向，所以不排排頭，有 96 種排法。

6. 由 0，1，2，5 四個數字中，數字不可重複，任選三個數字，排成三位數，則：

(1)共有 18 個不同的數字。

(2)共有 8 個不同的奇數。

7. 若手機 PIN 卡的號碼有 4 碼，為 0，1，2，…，9 的任意數，則有 104 組不

同的號碼。

8. 將 3 枝相同的藍筆，4 枝相同的紅筆，全部分給 7 個學生，每人至多得 1 樣，有

35 種分法。

9. 盒內有大小相同的積木 5 個，其中紅色占 3 個，白色與藍色各占 1 個，現在將 5 個

積木堆疊起來，試依下列方式，計算堆疊的方法數：

(1)任意堆疊，有 20 種方式。

(2)三個紅色積木完全相鄰，有 6 種方式。

(3)三個紅色積木完全不相鄰，有 2 種方式。

(4)三個紅色積木不完全相鄰，有 14 種方式。

10


10. 有一街道圖如圖，試求下列的方法數：

(1)由 A 走捷徑至 B，走法有 35 種。

(2)由 A 走捷徑至 B，不經 C，走法有 23 種。

11. A、B、C、D、E、F、G 共 7 人圍一圓桌而坐，試問下列方法數：

(1)任意坐有 720 種。

(2)A、B、C、D 要相鄰有 144 種。

(3)A、B、C 三人要分開坐有 144 種。

(4)G 不要坐在 A 的旁邊，有 480 種。

12. 有八顆不同顏色的寶石，若取出六顆串成項鍊，有 1680 種串法。

( A )1. 某人想在自家後院牆邊的長條空地種植一列菜苗，共有高麗菜 5 株，萵苣 4 株，

菠菜 4 株。若他決定在每兩株高麗菜之間任意種植萵苣或菠菜共兩株，則種植的

排列方法有幾種？ (A) 8!4!4!

(B) 82 (C) 13!4!4!5!

(D) 5!4!4!。【107 統測 B】

( B )2. 將繞口令「四十個十四十四個四十」中的文字全取排成一列，且其中四個「十」

須相鄰排在一起，其排法有幾種？ (A)70 (B)105 (C)135 (D)210。

【106 統測 C】

( D )3. 有一樂團計畫至甲、乙兩國巡迴表演。甲國有三個城市要去表演，乙國有四個城

市要去表演。若先完成甲國的演出之後，再到乙國完成演出，則巡迴路線的規劃

有多少種可能？ (A)7 (B)12 (C)36 (D)144。【105 統測 B】

( B )4. 從 1,3,5,7,9 中選出三個相異數字以形成一個三位數，則所有可能形成的三位數的

個數為何？ (A)20 (B)60 (C)90 (D)120。【105 統測 B】

( D )5. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列。若甲、乙、丙三人相鄰，且丙介於甲、

乙之間，則此六人共有多少種排法？ (A)42 (B)44 (C)46 (D)48。

【104 統測 A】

( D )6. 甲、乙、丙三人至速食店用餐。若該速食店僅提供三種套餐，且甲、乙、丙每人

皆點一套餐，則此三人會有多少種點餐方式？ (A)6 (B)9 (C)18 (D)27。

【104 統測 B】

( C )7. 若數字不可重複，則以 1、2、3、4 所組成的 4 位數中大於 2000 者共有幾個？

(A)6 (B)12 (C)18 (D)24。【103 統測 A】

186


不可重複的組合重點一

( B )8. 求正整數 a = 25．37．511 的所有正因數中，8 的倍數有幾個？ (A)576 (B)288

(C)144 (D)96。【103 統測 B】

( B )9. 設 nmP 表示從 n 個不同的事物中，任選 m 個排成一列的排列方法，若 2

3nP = 20 × 2

nP ，

求自然數 n =？ (A)2 (B)3 (C)4 (D)5。【102 統測 A】

( B )10. 求 102 到 2013 之間，個位數字為 7 的正整數共有幾個？ (A)190 (B)191 (C)192

(D)193。【102 統測 C】

( A )11. 從 0、1、3、7、8、9 六個數字中取三個數字(數字不可重複)排成三位數的奇數，

則方法有幾種？ (A)64 (B)80 (C)100 (D)120。【101 統測 A】

( C )12. 將 0、0、2、2、9、9、9、9 八個數字全取，排成一列，可得幾個不同的八位數？

(A)155 (B)210 (C)315 (D)420。【101 統測 C】

( C )13. 設書架上分別有不同的中文書 2 本、日文書 1 本、英文書 1 本，現將 4 本書排成

一列，但 2 本中文書必須相鄰，共有多少種不同排法？ (A)4 (B)8 (C)12

(D)24。【100 統測 A】

( C )14. 甲、乙兩人到速食店購買漢堡。若有四種漢堡可供選擇，且兩人各購買一種，則

兩人購買不同漢堡的可能情形有多少種？ (A)4 (B)8 (C)12 (D)16。

【100 統測 B】

10-2 組合

1. 自 n 件相異物中，每次取 m 件(不重複)，其方法數記作 nmC ，稱為 n 中取 m 的組合

數，其中 0 ≤ m ≤ n。

2. !! ( )! !

= =−

nn mm

P nCm n m m

(0 ≤ m ≤ n)

3. 性質：

(1) −=n nm n mC C (例： 6 6

2 4C C= ， 10 107 3C C= )

(2) nnC = 1 (全取視為一種組合)

(3) 0nC = 1 (不取亦視為一種組合)

10


試求下列各式之值： (1) 9

2C (2) 130C (3) 50

49C

(1) 92

9 82 1

C

= 36

(2) 130C = 1

(3) 50 5049 1C C = 50

試求下列各試之值： (1) 12

3C (2) 1010C (3) 20

18C

(1) 123

12 11 103 2 1

C

= 220

(2) 1010C = 1

(3) 20 2018 2

20 192 1

C C

= 190

若 n 為自然數，且 19 191 2n nC C+ = ，試求 n 之值。

n + 1 = 2n 或(n + 1) + 2n = 19

n = 1 或 n = 6

若 n 為正整數，且 4 412 8

n nC C= ，試求 1nnC + 之值。

∵ 4 412 8

n nC C 12 + 8 = 4n n = 5

∴ 1 6 65 1

nnC C C = 6

設 nmP 及 n

mC 分別表示從 n 個相異物任取 m 個

的排列數與組合數，若 2 25 4120n nP C+ += ，則

n =？【94 統測】

2 25 4120n nP C

(n + 2)(n + 1)(n)(n – 1)(n – 2)

= 120 × ( 2)( 1)( )( 1)4 3 2 1

n n n n

n – 2 = 5 n = 7

若 13 230n nP C+ = ，則 n =？

原式 (n + 1)(n)(n – 1) = 30 × ( 1)2 1

n n

n = 14

3 3

2 2

1 1 nmC 的計算

−=n nm n mC C

nmP 與 n

mC 的計算

188


試求下列的方法數：【94 統測】

(1)某排球隊共有 10 位選手，任選 6 人上場

比賽，共有幾種不同選法？

(2)設從甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人中選 3

人當委員，若規定甲必須入選，則有多少

種不同的選法？

(1) 10 106 4

10 9 8 74 3 2 1

C C

= 210(種)

(2)甲入選，故從剩下 5 人選 2 人 5

2C = 10(種)

某測驗有選擇題 10 題，填充題 2 題，任選 4

題作答，試問下列各有多少種選法：

(1)任意選取

(2)規定填充題必須全答

(1)共 12 題，任選 4 題 124C = 495(種)

(2)填充題必答，故從選擇題再任選 2 題 10

2C = 45(種)

某自助餐店提供 80 元的便當，便當中除了

白米飯之外，還包含一種主菜以及三種不同

的配菜。若今日提供的主菜有雞腿、排骨、

魚排 3 種，另有 8 種不同的配菜，則共可搭

配出多少種不同組合的 80 元便當？

(A)59 (B)112 (C)168 (D)210。

【106 統測 B】

共有 3 81 3

8 7 63 1683 2 1

C C

(種)

有一籃球隊共有 12 位選手，其前鋒、中鋒、

後衛的人數分別為 4 人、3 人、5 人，現在要

選 5 位選手上場比賽，一般籃球比賽中，每

隊的前鋒、中鋒、後衛人數分別為 2 人、1 人、

2 人，問共有幾種不同選法？【99 統測 C】

3 542 1 2

4 3 5 432 1 2 1

C C C =180(種)

某大賣場一天共有早班、中班、晚班三個

值班時段，而每一值班時段皆需二人值

班。若某天要安排六名員工值班且每人恰值

班一次，則共有多少種排班方式？ (A)45

(B)60 (C)75 (D)90。【104 統測 B】

共 6 4 22 2 2 15 6 1 90C C C (種)

將 6 本不同的書分別放在 3 個不同架子上，

若每個架子放 2 本，則共有幾種放法？

【97 統測】

6 4 22 2 2

6 5 4 32 1 2 1

C C C × 1 = 90(種)

6 6

5 5

4 4只選不排組合 107

nmC 搭配乘法原理 106

平均分配 104、106

10


幾何圖形的個數重點二

由 5 對夫妻中選出 4 人，試求下列的方法數：

(1)恰含一對夫妻

(2)至少含一男性

(1)先選一對夫妻 51C = 5

再從剩餘四對中，任選兩對，各取 1 人 4 2 2

2 1 1C C C = 24

共 5 × 24 = 120(種)

(2)至少含 1 男性 = (任意選) − (不含男性) = 10 5

4 4C C = 205(種)

從 6 男 7 女中，選出 5 人組成一個委員會，


(1)恰 3 男 2 女

(2)為了性別平等，各性別至少 2 人

(1) 6 73 2C C = 420(種)

(2)各性別至少 2 人，則可能是 3 男 2 女或 2

男 3 女 6 7 6 7

3 2 2 3C C C C = 945(種)

1. 點構成的圖形：

(1) 若有 n 個相異點，其中任三點不共線，則可決定 2nC 條直線， 3

nC 個三角形。

(2) 若有 n 個相異點，其中有 m 個點共線(m ≥ 3)，其餘任三點均不共線，則可決定

2 2 1n mC C− + 條直線， 3 3−n mC C 個三角形。

2. 線構成的圖形：

(1) 兩組平行線，其中一組有 n 條，另一組有 m 條，則可構成 2 2n mC C× 個平行四邊形。

(2) 兩組互相垂直的直線，其中一組有 n 條，另一組有 m 條，則可構成 2 2n mC C× 個

矩形。

3. 凸 n 邊形的對角線：

凸 n 邊形可決定( 2nC n− )條對角線。

試計算圖中有多少個平行四邊形？

5 32 2C C = 30(個)

試計算圖中有多少個矩形？

5 72 2C C = 210(個)

8 8幾何圖形的個數(1)

7 7恰直接取；至少反扣法

190


重複組合重點三

試依下列條件，求平面上相異十點可決定的

直線與三角形個數：

(1)其中任三點均不共線，可決定幾條直線？

幾個三角形？

(2)其中有四點共線，其餘任三點均不共線，

可決定幾條直線？幾個三角形？

相異兩點決定一條直線，

相異三點可作成一個三角形

(1) 102

10 92 1

C

= 45(條)

103

10 9 83 2 1

C

= 120(個)

(2) 10 42 2C C + 1 = 40(條)

10 43 3C C = 116(個)

平面上相異十二點，若其中有五點共線，其

餘任三點均不共線，則此十二點可決定幾條

直線？幾個三角形？

12 52 2C C + 1 = 57(條) 12 53 3C C = 210(個)

凸十二邊形的對角線有幾條？

122C − 12 = 54(條)

已知一凸 n 邊形有 27 條對角線，試求 n 值。

2nC − n = 27 2

nC = 27 + n

( 1)2 1

n n

= 27 + n

n2 – 3n – 54 = 0

n = 9 或 n = −6(不合)

∴n = 9

1. 定義：從 n 類不同物中(每類至少含 m 個)，任取 m 個，且每類物件可重複選取，

稱為由 n 中取 m 的重複組合，其組合數為 1+ −=n n mm mH C 。

2. nmH 的使用時機：

(1) 方程式 x1 + x2 + … + xn = m 的非負整數解，見老師講解 11。

(2) n 個人分 m 個相同物品的分法，見老師講解 12。

(3) n 類不同的事物，任取 m 個的方法，見老師講解 13。

10 10凸多邊形的對角線 102

9 9幾何圖形的個數(2)

10


方程式 a + b + c = 15，試求： (1)非負整數解有幾組？ (2)正整數解有幾組？

要訣：(1)非負整數解可以為 0

(2)正整數解每個先給 1

(1) 3 17 1715 15 2H C C = 136(組)

(2) 因 a，b，c 須為正整數

令 a' = a – 1，b' = b – 1，c' = c −1

則(a – 1) + (b – 1) + (c – 1)

= 15 – 1 – 1 − 1

a' + b' + c' = 12

其中 a'，b'，c'為非負整數，

即為求非負整數解之題型 3 14 14

12 12 2H C C = 91(組)

方程式 w + x + y + z = 12，試求： (1)非負整數解有幾組？

(2)滿足 w ≥ 0，x ≥ 1，y ≥ 2，z ≥ 3 的整數解

有幾組？

(1) 4 15 1512 12 3H C C = 455(組)

(2) w ≥ 0，x ≥ 1，y ≥ 2，z ≥ 3

令 w' = w，x' = x − 1，y' = y – 2，

z' = z − 3

則 w + (x – 1) + (y – 2) + (z − 3)

= 12 – 1 – 2 – 3

w' + x' + y' + z' = 6

其中 w'，x'，y'，z'為非負整數，

即為求非負整數解之題型 4 9 9

6 6 3H C C = 84(組)

把相同的優待券 8 張，全部分給甲、乙、丙

三人，試求下列方法數：

(1)任意分

(2)每人至少分得 2 張

x + y + z = 8 (1) 共有 3 10 10

8 8 2 45H C C (種)

(2) 每人先給 2 張，剩餘 2 張再任意分給 3 人3 3 48 6 2 2 6H H C (種)

將 10 枚相同硬幣分給 4 個小朋友，試求下列

方法數：

(1)任意分

(2)每人至少分得 1 枚

x + y + z + w = 10 (1) 共有 4 13 13

10 10 3H C C = 286(種)

(2) 每人先給一枚，剩餘 6 枚再任意分給 4 人4 4 9 910 4 6 6 3H H C C 84(種)

12 12重複組合題型(2) 102

11 11重複組合題型(1)

192


重要定理重點四

有香草、巧克力、藍莓三桶全滿的冰淇淋，

今自這三桶冰淇淋中任挖 5 球，則選法有

幾種？

即計算自 3 類相異物中，

任取 5 個的重複組合數

x1 + x2 + x3 = 5 3 7 7

5 5 2H C C = 21(種)

將 5 種不同的果汁，倒入 3 個相同的杯子中，

每杯限倒 1 種，且每種果汁不限倒 1 個杯子，

共有幾種不同倒法？【97 統測】

即計算自 5 類相異物中，

任取 3 個的重複組合數

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 3 5 7

3 3H C = 35(種)

1. 二項式定理：

設 n ∈ N，則

(x + y)n = 1 2 20 1 2

− − −+ + + + + +n n n n n n n n k k n nk nC x C x y C x y C x y C y =

0

−

=

nn n k kk

kC x y

例如：(x + y)4 = 4 4 4 3 1 4 2 2 4 1 3 4 40 1 2 3 4C x C x y C x y C x y C y+ + + + = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

【補充】

(1) (x + y)n 展開後共有 n + 1 項 (2) −n n k k

kC x y 稱為(x + y)n 展開式的一般項，且為第 k + 1 項

(3) (1 + x)n = 20 1 2n n n n k n n

k nC C x C x C x C x+ + + + + + ……

(i)將 x = 1 代入式 0 1 2 3+ + + + +n n n n nnC C C C C = 2n…

(ii)將 x = −1 代入式 0 1 2 3 ( 1)n n n n n nnC C C C C− + − + + − = 0…

(iii)將( + )÷2 0 2 4+ +n n nC C C + … = 2n − 1

(iv)將( − )÷2 1 3 5+ +n n nC C C + … = 2n − 1

2. 巴斯卡定理： (1) −=n n

k n kC C

例： 5 52 3C C=

(2) 1 11

− −−= +n n n

k k kC C C (巴斯卡定理)【口訣：上加 1，下取大】

例：從 A、B、C、D、E 五本書中取三本，則

任意選的方法 53C = 10

必含 A 的選法 42C = 6

不含 A 的選法 43C = 4

由上列結果知 5 4 43 2 3C C C= +

13 13重複組合題型(3)

10


求(2x + y)6 的展開式中，x2y4 項之係數為何？

【99 統測 B】

展開式中 x2y4 項為：6 2 44 (2 )C x y = 60x2y4

∴x2y4 項之係數為 60

求(x − 3)5 的展開式中，x4 項的係數為何？

(x − 3)5 = [x + (−3)]5 x4 項 5 4 1

1 ( 3)C x − = −15x4

∴x4 項的係數為−15

若展開 2 62

1( )xx

+ 時將同類項合併，則常數項

為何？【97 統測】

2 62

1( )xx

+ 展開後的第 k + 1 項為

6 2 6 6 12 2 2 6 12 42

1( ) ( )k k k k kk k kC x C x x C x

x− − − −= =

令 12 – 4k = 0 k = 3

∴常數項為 63

6 5 43 2 1

C × ×=× ×

= 20

在 3 101( )xx

− 的展開式中，x2 項的係數為何？

【94 統測】

3 10 3 101 1( ) [ ( )]x xx x

−− = + 展開後的第 k + 1 項

為 10 3 10 10 30 41( ) ( ) ( 1)k k k kk kC x C x

x− −− = −

令 30 – 4k = 2 k = 7 則 x2 項的係數為 10 7 10 7

7 3( 1) ( 1)C C− = − = – 120

試計算下列各式的值： (1) 10 10 10 10

0 1 2 10C C C C+ + + +

(2) 10 10 10 100 2 4 10C C C C+ + + + 【95 統測】

(1)原式 = 210 = 1024

(2)原式 = 210 − 1 = 512

試計算下列各式的值： (1) 7 7 7 7

0 1 2 7C C C C+ + + +

(2) 7 7 7 71 3 5 7C C C C+ + +

(1)原式= 27 = 128

(2)原式 = 27 − 1 = 26 = 64

16 16組合級數

15 15二項式定理(2)

14 14二項式定理(1) 101

194


試計算下列各式的值： (1) 6 6 7 8 9

2 3 4 5 6C C C C C+ + + +

(2) 17 18 19 200 1 2 3C C C C+ + +

(1) 6 6 7 8 92 3 4 5 6C C C C C+ + + +

= 7 7 8 93 4 5 6C C C C+ + +

= 8 8 94 5 6C C C+ + = 9 9

5 6C C+

= 106C = 10

4C = 210

(2)因 17 180 0C C=

原式= 18 18 19 200 1 2 3C C C C+ + +

= 19 19 201 2 3C C C+ +

= 20 202 3C C+ = 21

3C

= 1330

試計算下列各式的值： (1) 7 8 9 10

0 1 2 3C C C C+ + +

(2) 3 4 5 6 73 3 3 3 3C C C C C+ + + +

(1)因 7 80 0C C=

原式= 8 8 9 100 1 2 3C C C C+ + +

= 9 9 101 2 3C C C+ +

= 10 102 3C C+ = 11

3C

= 165 (2)因 3 4

3 4C C=

原式= 4 4 5 6 74 3 3 3 3C C C C C+ + + +

= 5 5 6 74 3 3 3C C C C+ + +

= 6 6 74 3 3C C C+ +

= 7 74 3C C+ = 8

4C

= 70

1. (1) 150C = 1 (2) 15

1C = 15 (3) 1513C = 105 。

2. 13 131 19 2m mC C− −= ，則 m = 5 。

3. n ≥ m，若 nmP = 42，且 n

mC = 21，試求(n, m) = (7,2) 。

4. 數學測驗有選擇題 15 題，填充題 7 題，任選 20 題作答，則

(1)任選 20 題有 231 種選法。

(2)若規定選擇題選 13 題，填充題全寫，有 105 種選法。

5. 一列火車有 10 節車廂，指定其中 4 節車廂設有輪椅放置區，試求下列方法數：

(1)任意指定，有 210 種方法。

(2)規定設有輪椅放置區的車廂兩兩不相鄰，有 35 種方法。

6. 平面上有相異十五點，若其中有六點共線，其餘任三點均不共線，則此十五點可決

定 91 條直線， 435 個三角形。

7. 已知一正 n 邊形有 14 條對角線，則 n = 7 。

8. 方程式 x + y + z = 8，若 x ≥ 2，y ≥ 1，z ≥ 0，則有 21 組整數解。

17 17巴斯卡定理

10


9. 將 5 本相同的筆記本全部分給 A、B、C 三位學生，則

(1)任意分，有 21 種分法。

(2)每人至少分得 1 本，有 6 種分法。

10. 將3張相同的貼紙，4個不同造型的磁鐵全部分給甲、乙兩位小朋友，分法有 64 種。

11. (x − 3y)6 展開式中，x2y4 項的係數為 1215 。

12. 2 41(3 )xx

− 展開式中，x5 項的係數為 −108 。

13. (1) 8 8 80 2 8C C C+ + + = 128 。 (2) 8 8 8

1 3 7C C C+ + + = 128 。

14. 11 10 9 8 7 6 65 5 4 3 2 1 0( )C C C C C C C− + + + + + = 0 。

( B )1. 某青年創業開餐廳，擬設計一份有 5 種菜色的菜單。若在原始構思的 7 種菜色中

有 2 種為必選，則有幾種不同菜單？ (A) 6 (B) 10 (C) 21 (D) 35。

【107 統測 B】

( B )2. 某飲料店有 5 位假日工讀生，工作時間有週六的早班與晚班、週日的早班與晚班

等 4 個不同時段。一個時段排兩位工讀生上班，如果規定同一人不可以連續排班，

至少要隔一個時段上班，則共有幾種排班方式？ (A)81 (B)270 (C)900

(D)1000。【106 統測 B】

( C )3. 從 7 位男生，3 位女生中，任選 4 人到醫院實習。若此 4 人中至少有 1 位女生，

則共有多少種選取的方式？ (A)95 (B)135 (C)175 (D)215。【104 統測 A】

( B )4. 將 6 顆相同的紅球分給三個人且全部分完，若每人至少分到一顆紅球，則共有多

少種分法？ (A)6 (B)10 (C)20 (D)27。【104 統測 C】

( A )5. 設 x ≥ −1 且 y ≥ −2，求共有幾組整數解(x, y)滿足方程式 x + y = 2014？

(A)2018 (B)2019 (C)2020 (D)2021。【103 統測 B】

( C )6. 求正二十九邊形的對角線共有幾條？ (A)337 (B)357 (C)377 (D)397。

【102 統測 B】

( B )7. 新生盃歌唱比賽，決賽有三位，其名次由獲得「明日之星」獎章數多寡決定。而

「明日之星」獎章則由 10 位評審依其評定頒予，每位評審只有一枚獎章，且規定

獎章一定要頒出。請問三位參賽者獲得「明日之星」獎章的數目，有多少種不同

的分配情形？ (A)30 (B)66 (C)120 (D)310。【102 統測 B】

( C )8. (x + 2y)8 的展開式中，x5y3 的係數為何？ (A)56 (B)120 (C)448 (D)600。

【101 統測 A】

196


注意：標示有者，表示為進階題型

( A )1. 有一本書 200 元，若使用 100 元鈔票或 50 元、10 元的硬幣付款，則有幾種付款

方式？ (A)9 (B)8 (C)7 (D)6。

( C )2. 4 個男生 2 個女生坐一排，若女生們不想坐最旁邊，也不想坐在一起，坐法有幾

種？ (A)120 種 (B)136 種 (C)144 種 (D)150 種。

( C )3. 兩人猜拳，有幾種不同出拳方式？ (A)12 (B)10 (C)9 (D)8。

( B )4. 已知 x = 6!，y = 55P ，z = 6

3C ，則 x – 4y – 11z =？ (A)25 (B)20 (C)15 (D)10。

( D )5. 有 10 個座位，甲、乙、丙三人選相連的三座位入坐，有幾種坐法？

(A)36 (B)40 (C)45 (D)48。

( A )6. A、B、C、D、E 五本不同的書排列於書架上，其中 A、B 兩本不相鄰的排法有幾

種？ (A)72 (B)70 (C)66 (D)60。

( B )7. 從「0，1，2，3，4，5，6」七個數中，任取三數，組成數字相異之三位數，共有

幾個？ (A)200 個 (B)180 個 (C)160 個 (D)150 個。

( D )8. 從「1，2，3，4，5，6」六個數中，任取三數，組成三位數(數字可重複)，共有

幾個？ (A)100 個 (B) 63P 個 (C)36 個 (D)63 個。

( B )9. 用「0，2，2，5，5，5」排成六位數，共有幾個？

(A)40 個 (B)50 個 (C)60 個 (D)70 個。

( C )10. 將「grass」重新排列，規定 s、s 必須分開，則排法有幾種？

(A)18 種 (B)20 種 (C)36 種 (D)40 種。

( A )11. 社團幹部 12 人投票決定暑訓地點，1 人 1 票，採記名且無廢票方式對三地點甲、

乙、丙進行投票，共有幾種投法？ (A)312 種 (B) 312H 種 (C)412 種 (D) 4

12H 種。

( C )12. 承上題，但改採無記名且無廢票方式對三地點甲、乙、丙進行投票，共有幾種投

法？ (A)80 種 (B)84 種 (C)91 種 (D)100 種。

( D )13. 某一多重選擇題，有 A、B、C、D、E 五個選項，其中至少一個選項是對的，則

有幾種作答方法？ (A)36 種 (B)35 種 (C)32 種 (D)31 種。

( A )14. 六人出遊，訂了四人房及雙人房各一間，試問入住時有幾種分配方式？

(A)15 種 (B)16 種 (C)18 種 (D)20 種。

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( D )15. 平面上有相異 10 點，其中 4 點共線，其餘任意三點均不共線，則可決定幾個三角

形？ (A)130 個 (B)124 個 (C)120 個 (D)116 個。

( A )16. 20 件產品中，有 3 件不良品。若由產品中隨機抽取 2 件，則抽到不良品的情形有

幾種？ (A)54 種 (B)45 種 (C)40 種 (D)36 種。

( A )17. 某玩具店賣五款火車模型，若 Mike 要購買 8 組火車模型，有幾種買法？

(A)495 種 (B)480 種 (C)450 種 (D)400 種。

( B )18. 將 4 枝相同的藍筆與 3 本相同的筆記本，全部分給甲、乙兩人，每人至少得一件

物品，則有幾種分法？ (A)20 種 (B)18 種 (C)16 種 (D)15 種。

( C )19. 試問 x + y + z ≤ 8 的非負整數解有幾組？ (A)180 種 (B)170 種 (C)165 種

(D)135 種。

( D )20. 試求 15 15 16 17 18 1913 14 15 16 17 18C C C C C C+ + + + + =？ (A)220 (B)210 (C)200 (D)190。

( B )21. (x + y)n 展開式中，依 x 的降冪排列，第 4 項與第 13 項的係數相同，則 n =？

(A)14 (B)15 (C)16 (D)17。

( D )22. 77 7

7 71 20 2 77 7 7

CC CC + + + + 的值為？ (A) 71( )7

(B) 81( )7

(C) 88( )7

(D) 78( )7

。

( A )23. 求(x − 2)8 展開時，x6 項之係數為何？ (A)112 (B)− 448 (C)28 (D)− 16。

( C )24. 班上外掃區可分成 A、B、C 三區域，A、B 兩區域各需 3 人打掃，C 區域需 2 人

打掃，現有同學 8 人，則有幾種分法？ (A)450 種 (B)500 種 (C)560 種 (D)600

種。

( D )25. 如圖，一隻甲蟲依照下面圖形的路線走，從 A 點爬行到 E 點，不走回頭路，共有幾

種不同的路線？ (A)8 種 (B)6 種 (C)5 種 (D)4 種。

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