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Analyse des distributions de revenus en terme de bien être social

Classement des distributions de revenus à l’aide de courbes de Lorenz

Basé sur : Module EASYPol 002

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À propos de EASYPol

L’adresse Web de EASYPol est la suivante: www.fao.org/tc/easypol Les ressources d'EASYPol sont créées et mises à jour par le Service de soutien aux politiques agricoles de la FAO.

Par

Lorenzo Giovanni Bellù, Service de soutien aux politiques agricoles, Division de l’assistance aux politiques, FAO, Rome, Italie

et

Paolo Liberati, Université d’Urbino, « Carlo Bo », Institut d’économie, Urbino, Italie

Pour

Organisation des Nations-Unies pour l’alimentation et l’agriculture

Basé sur : Module EASYPol 002

Analyse des distributions de revenus en terme de bien être social


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À l’issue de ce module, vous :

connaîtrez certaines des limites des courbes de Lorenz standard en matière d’identification des distributions optimales de revenus en termes de bien-être ;

saurez utiliser les courbes de Lorenz généralisé pour classer les distributions de revenus en termes de bien-être social lorsque les courbes de Lorenz standard ne le permettent pas ;

connaîtrez les limites de la dominance de Lorenz généralisé quand les courbes de Lorenz se recoupent une fois.

Les connaissances préalables requises et les informations sur le public ciblé figurent dans les notes

Objectifs


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Lorsque l’on élabore des politiques, pour fournir au processus de décision les informations pertinentes, il est important de pouvoir :

• bâtir des scénarios ;• simuler l’impact de différentes options sur la distribution des revenus ;• classer les options des politiques en fonction du bien-être.

Nous allons maintenant voir comment, dans certains cas, les courbes de Lorenz généralisé (LG) peuvent servir à identifier la distribution optimale des revenus en termes de bien-être social parmi plusieurs distributions des revenus générées par différentes options de la politique.

Introduction


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Il faut retenir la méthode de classement des distributions de revenus la plus adéquate :

a) soit en choisissant une fonction de bien-être social (SWF),b) soit en recherchant la dominance de Lorenz.

Les avantages du choix d’une fonction de bien-être social sont les suivants :

possibilité de calculer les niveaux de bien-être pour une distribution de revenus donnée ;

possibilité de réduire n’importe quelle distribution de revenus à un seul chiffre de manière à générer un « classement complet » (cependant, cela nécessite de préciser la relation mathématique entre les revenus individuels et le bien-être social).

Informations sur les autres modules dans les notes

Classement des distributions à l’aide de fonctions de bien-être social


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Les difficultés que pose le choix d’une fonction de bien-être social sont les suivantes :

méthode de choix parmi les nombreuses formes fonctionnelles ;

absence de garantie que le même classement vaille pour d’autres formes fonctionnelles de SWF, même si toutes satisfont aux deux exigences générales, à savoir que la SWF augmente le revenu et soit concave (W’>0 et W”<0).

Très souvent cependant, pour connaître la distribution en termes de bien-être, il suffit d’identifier la distribution de Lorenz dominante et d’appliquer le théorème d’Atkinson.

Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de préciser la forme fonctionnelle de la SWF.

Informations sur d'autres modules dans les notes

Classement des distributions à l’aide de fonctions de bien-être social


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Heureusement, dans de nombreux cas, les courbes de Lorenz généralisé (LG) permettent de conclure dans ces deux situations.

La dominance de Lorenz permet de classer les distributions de revenus en termes de bien-être en adoptant le point de vue d’un décisionnaire présentant une aversion pour l’inégalité et en utilisant certaines propriétés des courbes de Lorenz. Cependant, le recours à ces courbes entraîne l’un des cas suivants :

1. La distribution dominante a une moyenne égale ou supérieure.1. La distribution dominante a une moyenne égale ou supérieure.

2. La distribution dominante a une moyenne inférieure. 2. La distribution dominante a une moyenne inférieure.

3. Aucune distribution ne domine (les courbes de Lorenz se recoupent).

3. Aucune distribution ne domine (les courbes de Lorenz se recoupent).

Le théorème d’Atkinson ne permet pas de conclure quant à la supériorité en termes de bien-être de l’une des distribution (mais on peut bien sûr utiliser les courbes de Lorenz pour mesurer l’inégalité).

la distribution dominante est supérieure en termes de bien-être.

la distribution dominante est supérieure en termes de bien-être.

Le théorème d’Atkinson nous permet alors que conclure que

Classement des distributions à l’aide de la dominance de Lorenz


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Pour générer une courbe de Lorenz généralisé, on procède comme suit :

l’axe des x enregistre la proportion cumulée de la population, comme dans les courbes de Lorenz standard. Sa plage est donc de (0,1).

l’axe des y enregistre le revenu moyen cumulé, c’est-à-dire le revenu moyen calculé en divisant le revenu cumulé d’une part donnée de la population par la population totale, comme suit :

(Rappelez-vous que les courbes de Lorenz standard rapportent la proportion cumulée du revenu.)

où : i=1….n est la position de chaque individu dans la distribution des revenus ; P est le nombre total d’individus de la distribution ; iy est le revenu du ième individu de la distribution ;

n

iiy

1

est le revenu cumulé jusqu’au ième individu.

Création de courbes de Lorenz généralisé


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où Y est le revenu total, comme suit :

La plage des ordonnées LG est donc . Autrement dit, le dernier point de la courbe LG est le revenu moyen de la distribution de revenu totale. Cela implique que :

– une distribution de revenus présentant un revenu moyen inférieur à celui d’une autre distribution ne pourra jamais présenter de dominance LG ;

– au moins au niveau du dernier point, la distribution de revenus présentant un revenu moyen supérieur dominera celle dont le revenu moyen est inférieur.

Notez la relation entre les courbes LG et L. Les courbes LG peuvent également être le produit des courbes de Lorenz :

Création de courbes de Lorenz généralisé


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Comment établir le lien entre les courbes de Lorenz généralisé et le bien-être social ? Grâce au théorème de Shorrock (1983) :

Informations complémentaires dans les notes

Si les deux conditions suivantes sont satisfaites :a) la courbe LG d’une distribution Y domine la courbe LG d’une distribution X ;b) le décisionnaire cherche le revenu et présente une aversion pour l’inégalité (c’est-à-dire si SWF a W’>0 et W”<0), le bien-être social est supérieur en Y qu’en X.

Théorème de Shorrock

À noter :– chaque fois que le résultat d’Atkinson tient, les courbes LG et les

courbes de Lorenz standard fournissent les mêmes informations ; – mais dans les distributions à moyenne égale, quand les courbes de

Lorenz se recoupent, il en va de même pour les courbes LG (ceci tient au fait que les ordonnées des deux LG sont le produit de la multiplication des ordonnées des courbes de Lorenz par une constante, à savoir le revenu moyen, qui est identique pour les deux distributions).

Théorème de Shorrock


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Voici les étapes du classement des distributions de revenus avec vérification de la dominance de LG :

ÉTAPE 1ÉTAPE 1

ÉTAPE 2ÉTAPE 2

ÉTAPE 3ÉTAPE 3

ÉTAPE 4ÉTAPE 4

ÉTAPE 5ÉTAPE 5

ÉTAPE 6ÉTAPE 6

ÉTAPE 7ÉTAPE 7

Trier la distribution de revenus par niveau de revenuTrier la distribution de revenus par niveau de revenu

Vérifier si les revenus moyens des distributions de revenus diffèrentVérifier si les revenus moyens des distributions de revenus diffèrent

Créer des courbes de Lorenz pour chaque distributionCréer des courbes de Lorenz pour chaque distribution

Vérifier si elles se recoupent ou si la distribution dominante présente une moyenne inférieure.Vérifier si elles se recoupent ou si la distribution dominante présente une moyenne inférieure.

Créer des courbes LGCréer des courbes LG

Vérifier la présence d’une dominance LGVérifier la présence d’une dominance LG

Conclure : s’il existe une dominance GL, la distribution dominante est supérieure en termes de bien-êtreConclure : s’il existe une dominance GL, la distribution dominante est supérieure en termes de bien-être

(Les étapes 1 à 4 sont préliminaires.)

Informations complémentaires dans les notes

Procédure détaillée de vérification de la dominance de LG


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Un groupe social donné composé de cinq individus bénéficie de la distribution de revenus A (tableau 1, colonne c).Une politique (par ex., amélioration des services de vulgarisation agricole) entraîne un changement dans la distribution des revenus de ces cinq individus.Grâce à la nouvelle politique, l’individu 2 bénéficie maintenant de deux unités de revenu supplémentaires, alors que rien ne change pour les quatre autres. La nouvelle distribution des revenus qui en découle est la distribution F (colonne f).

Pour vérifier si cette politique améliore le bien-être, appliquons la procédure.

Méthode de classement des distributions de revenus à l’aide de la dominance LG – Exemple 1

Distribution A Distribution F

Part cum. de p Revenu (Y) Part cum. % Y moy. cum. Y Revenu (Y) part cum. % Y moy. cum.Y Diff. moy.

Individus (axe hor. L/LG) (axe vert. de L) (axe vert. LG) (axe vert. de L) (axe vert. LG) cum.Y F-A

(a) (b) ( c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

1 20.0% 3 6.7% 0.6 3 6.4% 0.6 0.0

2 40.0% 6 20.0% 1.8 6 19.1% 1.8 0.0

3 60.0% 9 40.0% 3.6 11 42.6% 4.0 0.4

4 80.0% 12 66.7% 6.0 12 68.1% 6.4 0.4

5 100.0% 15 100.0% 9.0 15 100.0% 9.4 0.4

Revenu total 45 47

Revenu moyen 9.0 9.4

Remarque : dans F, les revenus moyens cumulés inférieurs au niveau du revenu accru ne changent pas par rapport à A. Ceux qui sont égaux ou supérieurs sont plus élevés. Par conséquent, la courbe de Lorenz généralisé de F domine.

Remarque : il est également possible de calculer le revenu moyen cumulé, par ex., l'ordonnée de la courbe LG, en multipliant la part cumulée de revenu (ordonnée L) par le revenu moyen de la distribution.

Revenu supplémentaire d’un individu et dominance LG

Tableau 1


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Étape 1. Triez les deux distributions A et F (colonnes c et f) par ordre croissant. Étape 2. Calculez le revenu moyen des distributions A et F (colonnes c et f, dernière ligne). Le revenu moyen de F est supérieur à celui de A (9.0 et 9.4).Étape 3. Calculez les courbes de Lorenz des deux distributions. La colonne c contient les valeurs des parts de population cumulées (axe horizontal des courbes L) et les colonnes d et g, les parts cumulées de revenus des distributions A et F respectivement (axe verticale des courbes L).





(a) (b) ( c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

1 20.0% 3 6.7% 0.6 3 6.4% 0.6 0.0

2 40.0% 6 20.0% 1.8 6 19.1% 1.8 0.0

3 60.0% 9 40.0% 3.6 11 42.6% 4.0 0.4

4 80.0% 12 66.7% 6.0 12 68.1% 6.4 0.4

5 100.0% 15 100.0% 9.0 15 100.0% 9.4 0.4

Revenu total 45 47




Tableau 1


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Étape 4. Notez que les deux courbes de Lorenz se recoupent.

- Par rapport à A, la distribution F n’appauvrit personne en termes absolus parce que tous les autres revenus demeurent inchangés.

- En outre, le revenu moyen a augmenté de 9 à 9,4 unités monétaires. Pourtant, le théorème d’Atkinson n’autorise pas à comparer le bien-être des distributions A et F parce qu’il n’y a pas de dominance de Lorenz (les courbes de Lorenz se recoupent).Par conséquent, nous classerons A et F en termes de bien-être en fonction de la dominance LG.

Info. sur module apparenté


0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

70.0%

80.0%

90.0%

100.0%

0.0% 20.0% 40.0% 60.0% 80.0% 100.0%

% de la population cumulé

% r

even

us

cum

ulé


A domine F

F domine A

Tableau 1Figure 1.A




(a) (b) ( c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

1 20.0% 3 6.7% 0.6 3 6.4% 0.6 0.0

2 40.0% 6 20.0% 1.8 6 19.1% 1.8 0.0

3 60.0% 9 40.0% 3.6 11 42.6% 4.0 0.4

4 80.0% 12 66.7% 6.0 12 68.1% 6.4 0.4

5 100.0% 15 100.0% 9.0 15 100.0% 9.4 0.4

Revenu total 45 47



Remarque :il est également possible de calculer le revenu moyen cumulé, par ex., l'ordonnée de la courbe LG, en multipliant la part cumulée de revenu (ordonnée L) par le revenu moyen de la distribution.


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Étape 5. Calculez les ordonnées de la courbe de Lorenz généralisé pour les distributions A et F (colonnes e et h respectivement) et tracez les deux courbes LG.

Étape 6. Notez, dans la figure 1B, la dominance LG de F sur A. Elle apparaît également dans la colonne i, où est reportée la différence des ordonnées des courbes LG.

Infos sur module apparenté


Tableau 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0% 20.0% 40.0% 60.0% 80.0% 100.0%% de la population cumulé

Reven

u m

oyen

cu

mu

lé (

LG

)


Dominance LG de F sur A

Le dernier point est le revenu moyen de la distribution

Figure 1.B




(a) (b) ( c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

1 20.0% 3 6.7% 0.6 3 6.4% 0.6 0.0

2 40.0% 6 20.0% 1.8 6 19.1% 1.8 0.0

3 60.0% 9 40.0% 3.6 11 42.6% 4.0 0.4

4 80.0% 12 66.7% 6.0 12 68.1% 6.4 0.4

5 100.0% 15 100.0% 9.0 15 100.0% 9.4 0.4

Revenu total 45 47





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Étape 7. Compte tenu de la dominance LG de F sur A, si le décisionnaire cherche le revenu et présente une aversion pour l’inégalité, selon le théorème de Shorrock,

Complément d’explications dans les notes

F est supérieur à A en termes de bien-être.


0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

70.0%

80.0%

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100.0%

0.0% 20.0% 40.0% 60.0% 80.0% 100.0%


% r

ev

en

us

cum

ulé


A domine F

F domine A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Reve

nu

moyen

cu

mu

lé (

LG)


Dominance LG de F sur A

Le dernier point est le revenu moyen de la distribution

Figure 1.BFigure 1.A


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Voici un autre exemple : le revenu du cinquième individu diminue de deux unités ; la distribution H est dérivée de la distribution A (la flèche indique le changement de revenu de la distribution par rapport à A).

Infériorité LG produite par la

dominance de Lorenz


Tableau 2

Distribution A Distribution H


Individus (axe hor. L/LG) (axe vert. de L) (axe vert. LG) (axe vert. de L) (axe vert. LG) cum.Y H-A

(a) (b) ( c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

1 20.0% 3 6.7% 0.6 3 7.0% 0.6 0.0

2 40.0% 6 20.0% 1.8 6 20.9% 1.8 0.0

3 60.0% 9 40.0% 3.6 9 41.9% 3.6 0.0

4 80.0% 12 66.7% 6.0 12 69.8% 6.0 0.0

5 100.0% 15 100.0% 9.0 13 100.0% 8.6 -0.4

Revenu total 45 43


Dominance L de H sur A bien que les revenus de la partie inférieure de la distribution soient identiques. Cela est dû à la baisse des revenus de la partie la plus élevée de la distribution, qui entraîne une augmentation des parts dans sa partie inférieure.

A noter que les CLG ne se recoupent pas parce que la différence entre les ordonnées de H et de A est toujours égale à 0 ou négative.


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Dominance L de H sur A. Les revenus sont distribués de manière plus égale. D’un autre côté, le revenu moyen tombe de 9 à 8,6 unités. Par conséquent : Dominance LG de A sur H.

De ce fait, selon le théorème de Shorrock :

Explication complémentaire dans les notes

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

80,0%

90,0%

100,0%

0,0% 20,0% 40,0% 60,0% 80,0% 100,0%


% r

even

us

cum

ulé


Dominance L de H sur A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0% 20,0% 40,0% 60,0% 80,0% 100,0%


Re

ve

nu

mo

ye

n c

um

ulé

(L

G)


Dominance LG de A sur H

Le dernier point est le revenu moyen de la distribution.

Infériorité LG avec la dominance de Lorenz



F est inférieur à A en termes de bien-être.


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Voici un troisième exemple :

La distribution I est le résultat d’une politique qui entraîne des changements de revenus mixtes de : a) riche à pauvre : une unité de revenu passe de l’individu 3 à l’individu 1 et deb) pauvre à riche : une unité de revenu passe de l’individu 4 à l’individu 5.

On se sert des courbes de Lorenz pour vérifier si A est supérieur à I en termes de bien-être.


Distribution A Distribution I


Individus (axe hor. L/LG) (axe vert. de L) (axe vert. LG) (axe vert. de L) (axe vert. LG) cum.Y I -A

(a) (b) ( c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

1 20.0% 3 6.7% 0.6 4 9.3% 0.8 0.2

2 40.0% 6 20.0% 1.8 6 23.3% 2.0 0.2

3 60.0% 9 40.0% 3.6 8 41.9% 3.6 0.0

4 80.0% 12 66.7% 6.0 12 69.8% 6.0 0.0

5 100.0% 15 100.0% 9.0 13 100.0% 8.6 -0.4

Total income 45.0 43.0

Mean income 9.0 8.6

Dominance L de I sur A pour les premier 60 % de la population, mais dominance L de A sur I pour les parts cumulées supérieures de la population, autrement dit : I présente des parts cumulées de revenus inférieures dans la partie inférieure de la distribution et des parts culmulées supérieures dans la partie supérieure de la distribution. Par conséquent les courbes L se recoupent.

Notez que les CLG se recoupent parce que la différence entre les ordonnées de I et de A est positive dans la partie inférieure des courbes et négative dans la partie supérieure.

Transferts mixtes de riche à pauvre et de pauvre à riche

Tableau 2


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Les courbes L se recoupent, comme le montre la figure 3 A (et les colonnes d et g du tableau 3).Malheureusement, les courbes LG se recoupent également. Ceci n’est pas surprenant parce que les distributions A et I ont le même revenu moyen.

Dans ce cas, les LG sont simplement des courbes de Lorenz « améliorées ». Par conséquent,


0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

70.0%

80.0%

90.0%

100.0%


% r

ev

en

us

cum

ulé

(L)


Dominance L de A sur I

Dominance L de I sur A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0% 20.0% 40.0% 60.0% 80.0% 100.0%


Re

ve

nu

mo

ye

n c

um

ulé

(LG

)


Dominance LG de A sur I

A et I ont le même revenu moyen (dernier point identique)

Dominance LG de I sur A

Transferts mixtes de riche à pauvre et de pauvre à riche.


Il est impossible de conclure


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À noter : Il faut recourir aux courbes LG quand les courbes de Lorenz se recoupent ou quand la moyenne de la distribution dominante est inférieure (cas 3 et 4). Le cas 8 est impossible parce que le dernier point de LG est le revenu moyen. Quand les courbes LG se recoupent, il faut appliquer des restrictions supplémentaires à W dans tous les cas (cas 9).

Synthèse des résultats

Synthèse des résultats

N° Type de dominance Revenu moyen Class. bien-être Restrictions sur la FBS Remarques

1 L(Y)>L(X) Y=X W(Y) > W(X) Wi' > 0; Wi'' < 0

2 L(Y)>L(X) Y>X W(Y) > W(X) Wi' > 0; Wi'' < 0

3 L(Y)>L(X) Y<X Impossible à dire Besoin LG

4 L(Y) et L(X) se coupent Indifférent Impossible à dire Besoin LG

5 GL(Y) < GL(X) Y<X W(Y) < W(X) Wi' > 0; Wi'' < 0 Peut résoudre n° 3

6 GL(Y) > GL(X) Y=X W(Y) > W(X) Wi' > 0; Wi'' < 0 Peut résoudre n° 4

7 GL(Y) > GL(X) Y>X W(Y) > W(X) Wi' > 0; Wi'' < 0 Peut résoudre n° 4

8 GL(Y) > GL(X) Y<X Impossible

9 GL(Y) et GL(X) se coupent Indifférent Impossible à dire Besoin restrictions supp.

Légende

L(Y) : Courbe de Lorenz de la distribution Y

L(X) : Courbe de Lorenz de la distribution X

W(X) : Bien-être social en X

W(Y) : Bien-être social en Y

Wi' et Wi'' : première et seconde dérivée respectivement de W par rapport au revenu du ième individu

GL(Y) : Courbe de Lorenz généralisé de la distribution Y

GL(X) : Courbe de Lorenz généralisé de la distribution X


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Les courbes de Lorenz, les courbes de Lorenz généralisé et les théorèmes d’Atkinson et de Shorrocks constituent des outils puissants de classement des distributions de revenus en termes de bien-être.

Très souvent, les courbes de Lorenz généralisé permettent de tirer une conclusion probante quand les courbes de Lorenz n’y parviennent pas.

Mais, contrairement à la spécification complète d’une SWF, ces outils risquent de donner un « classement partiel » d’un ensemble de distributions de revenus, par exemple quand les courbes L et LG ne permettent pas d’émettre un jugement concluant en matière de bien-être.

Questions fréquemment posées dans les notes

Conclusions


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Anand S. (1983), Inequality and poverty in Malaysia, Oxford University Press, London.

Lambert P.J., Aronson J.R. (1993), «Inequality decomposition analysis and the Gini coefficient revisited», Economic Journal, 103, 1221-1227.

Lambert p. (1993), The distribution and redistribution of income – A mathematical analysis, Manchester University Press, 1993, 2nd edition.

Lerman , Yitzhaki S. (1995), Sen A. (1997), On economic inequality, Oxford University Press, Oxford, 2nd edition.

Autres ressources


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Les points abordés dans ce module sont approfondis dans les modules suivants :

« Classement des distributions de revenus en cas d’intersection des courbes de Lorenz généralisé »

« Indicateurs d’inégalité basés sur le bien-être »

Le module EASYPOL « Impacts sur l’inégalité et la pauvreté de certaines mesures de politique agricole : le cas de l’Arménie » contient une étude de cas présentant le classement de distributions de revenus à l’aide de courbes de Lorenz dans le contexte d’un exercice de simulation d’impact de politique agricole faisant appel à des données réelles.

Liens vers d’autres modules EASYPol


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