1. olasilik teorİsİ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/kemal.sehirli/bolum_1.pdf · olasilik...
TRANSCRIPT
1. OLASILIK TEORİSİ
İstatistiksel araştırmaların temel konularından biri sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen
bazı şansa bağlı olayların (denemelerin) olası tüm mümkün sonuçlarının hangi sıklıkla ortaya
çıktığını belirleyebilmektir. Bu sorun istatistikte olasılık problemi olarak adlandırılır ve
denemelerin benzer koşullarda tekrarlanabildiği durumlarda çözüm bulmak mümkündür.
Çözümün ilk aşaması rassal deneyin tüm mümkün çıktılarının belirlenmesidir. Örneğin bir
paranın iki kez atılması sonucunda üst yüze gelen sembollerin tüm mümkün durumları bir
kümenin elemanları olarak;
YYTYYTTTeS ,,,,,,,:
tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.
1.1 KÜME TEORİSİ
Bu kısımda kümeler A, B gibi büyük harfler ile gösterileceklerdir.
Tanım (Örnek Uzayı): Bir rassal deneyin tüm mümkün çıktılarının kümesi S, bu deneyin
örnek uzayı olarak adlandırılır.
Örnek uzayı içerdiği eleman sayısı açısından iki sınıfa ayrılır:
a) Sayılabilir (sonlu/sonsuz) elemanlı
b) Sayılamaz (sonsuz) elemanlı
Eğer bir örnek uzayının elemanları, tam sayıların bir alt kümesi ile birebir ilişkili ise örnek
uzayı sayılabilir elemanlıdır. Ayrıca bir örnek uzayı sonlu sayıda elemana sahip ise
sayılabilirdir. Bir kümenin elemanları pozitif tam sayılar kümesi ile bire bir eşleşebiliyor ise
sayılabilir sonsuz elemanlı kümedir. Bir diğer örnek de pozitif rasyonel sayılar kümesidir. Bu
yapıdaki kümeler eleman sayısı sonlu ya da sonsuz olsa da genellikle sayılabilir kümeler
olarak adlandırılırlar. Sayılamayacak kadar çok (sonsuz) elemana sahip kümeler için
verilebilecek örnek, tüm gerçel sayıların tanımlandığı kümedir. Reel sayıları saymak mümkün
değildir. Bu tip kümeler daha sonra incelenecektir.
Sayılabilir ve sayılamaz elemanlı örnek uzayları arasındaki fark sadece atanacak olasılıkların
belirlenmesi açısından önemlidir.
Bazı rassal denemelerin sonuçlarında ölçülen özellik sayısı iki ya da daha fazla olabilir.
Örneğin bir lamba üzerinde hem ürettiği ısı enerjisi miktarı X hem de yaydığı ısı enerjisi
miktarı Y ölçülebilir. Bu durumda örnek uzayı her iki özelliğe ait kümelerin kartezyen
çarpımından XY elde edilir:
yvexyxS 0 0:,
Tanım (Basit olay): S örnek uzayını oluşturan her bir e elemanına basit olay denir.
Tanım (Bileşik olay): Bir örnek uzayının herhangi bir alt kümesi (S ’nin kendiside dahil) bir
olay olarak adlandırılır.
Bir örnek uzayı için tanımlanan iki uç durum vardır. Birincisi S kümesinin tanımladığı en
büyük alt küme kendisidir. İkinci uç durum ise boş kümedir.
Tanım (Boş Küme): Elemanı olmayan küme boş Ø kümedir. A= Ø.
Bir A kümesindeki eleman sayısı kümenin hacmi (size) olarak adlandırılır ve A ile
gösterilir. Burada A negatif olmayan bir tam sayıdır ve Ø=0 olarak tanımlanır.
Olasılıkla ilgili ifadelerde genellikle bir kümenin olasılığı yerine bir olayın olasılığından
bahsedilir.
İlk olarak kümelerin (olayların) sıralama ve denkliğini tanımlayan iki ilişki aşağıda
verilmiştir:
Tanım (Kapsama): Eğer A kümesinin her elemanı B kümesi tarafından içeriliyor ise B
kümesi A kümesini kapsar ve A kümesi B kümesinin bir alt kümesidir.
BxAxBA
Diğer bir gösterim ise BA şeklindedir.
Tanım (Eşitlik): Eğer iki küme tamamen aynı elemanlara sahip ise eşittir.
ABBABA ve
1.2 ELEMANTER KÜME İŞLEMLERİ
Herhangi iki olay (veya küme) A ve B verilmiş olsun.
Birleşme: A ve B kümelerinin birleşimi, A ya da B kümelerine ait elemanların kümesidir:
BxveyaAxxBA :
Kesişim: A ve B kümelerinin kesişimi, hem A hem de B kümelerine ait elemanların
kümesidir:
BxveAxxBA :
Tümleyen: A kümesinin tümleyeni, A kümesinde olmayan tüm elemanların kümesidir:
AxxAc :
Ayrıca Sc=Ø ve Ø
c=S olup (A
c)c =A özdeşlikleri geçerlidir.
Kesişim ve tümleyen işlemlerinin bir kombinasyonu olan Fark işlemi ise ileride açıklanmıştır.
Bazı önemli küme işlemleri aşağıdaki teorem ile tanımlanmıştır.
Teorem: Örnek uzayı S üzerinde üç olay (küme) A, B, C tanımlanmış olsun. Burada
parantezler işlem sırasını tanımlar ve oldukça önemlidir. Örneğin (AB)C kümesi
A(BC) kümesinden farklıdır.
Değişme (Commutativity): AB= BA
AB= BA
Birleşme (Associativity) : A(BC)=(AB)C
A(BC)=(AB)C
Dağılma (Distributive) : A(BC)=(AB)(AC)
A(BC)=(AB)(AC)
De Morgan : (AB)c=A
cB
c
(AB)c=A
cB
c
İspat. Sadece De Morgan Kuralların ilki ispatlanacaktır. İspat iki aşamalıdır. İlk adımda
cccBABA olduğu gösterilsin:
cBAx olsun. Bu durumda BAx olmalıdır. Sonuç olarak; Ax ve
Bx . Bu nedenle cAx ve cBx , diğer bir deyişle; cc BAx bulunur. İlk adımın
sonucu:
cccBABA
İkinci adımda ccc BABA olduğu gösterilsin:
cc BAx olsun. Bu durumda cAx ve cBx olmalıdır. Sonuç olarak; Ax ve
Bx . Bu nedenle BAx , diğer bir deyişle; cBAx bulunur. İkinci adımın
sonucu:
ccc BABA
Her iki adımın sonucu birlikte değerlendirildiğinde:
ccc BABA .
Küme teorisi üzerine tanımlanan olaylar genel olarak üç gruba ayrılırlar: Ayrık olaylar, eşanlı
olaylar, tümleyen olaylar.
Eşanlı olaylar ise kendi içinde bağımsız ve bağımlı olaylar olarak ikiye ayrılırlar.
Tanım (Eşanlı olaylar): Herhangi iki olay A ve B eğer AB ise eşanlı olaylardır.
Tanım (Tümleyen olaylar): Herhangi iki olay A ve B eğer AB=S ise tümleyen olaylardır.
Tanım (Ayrık olaylar): İki olay A ve B eğer AB= ise ayrık olaylardır. Verilen A1, A2,…
olayları eğer tüm i≠j için AiAj= ise ikişerli olarak ayrık olaylardır.
İkiden fazla kümenin, örneğin A, B, C çifterli olarak ayrık olmaları,
AB= AC= BC=
durumunda onların hepsinin de ayrık olduğu
ABC=
söylenebilir. Bunun tersi geçerli değildir.
Tanım (Kümenin bölümlenmesi): Eğer A1, A2,… çifterli olarak ayrık ise ve SAi
1 1 ise
A1, A2,… kümeleri S kümesinin bir bölümlenmesini tanımlar.
Bir örnek uzayının birbirinden ayrık kümelere ayrıştırılması bölümleme olarak adlandırılır.
Her hangi bir A kümesi için,
S=A+Ac
Her hangi ayrık A ve B kümeleri için,
S=(AAc)(BB
c)
=(AB)(ABc)(A
cB)(A
cB
c)
ve her hangi bir iki yönlü sınıflama, iki ayrık olayın tanımlanması, üzerine üçüncü bir C
olayının tanımlanması ile,
S=(AAc)(BB
c)(CC
c)
=(ABC)(ABCc)(AB
cC)(A
cBC)(A
cB
cC)(A
cBC
c)
(ABcC
c)(A
cB
cC
c)
olarak elde edilir. Böyle bir ayrışımın bileşenleri atom olarak adlandırılır. Yukarıdaki
örneklerde sırası ile 2, 4, 8 adet atom vardır. Genel olarak n adet küme için 2n adet atom
vardır. Bu örnek uzayı üzerine tanımlanan her hangi bir küme bazı atomların birleşimi olarak
yazılabilir.
Fark (Difference): A\B kümesi A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanların
kümesidir.
A\B=ABc=x: xA ve xB
Bu işlem değişme ve birleşme özelliklerine sahip değildir. Örneğin birleşme özelliğinin
geçerli olmadığı,
(A\B)\CA\(B\C)
ifadesinden görülebilir.
Tanım (Sigma Cebri): S ’nin alt kümelerinin bir koleksiyonu eğer aşağıdaki üç özelliği
sağlıyorsa sigma cebri olarak adlandırılır ve β ile gösterilir.
a) (boş küme β’nin elemanıdır)
b) Eğer A ise Ac (tümleyen işlemine göre kapalılık)
c) Eğer ,...A,A 21 ise
1i iA olur (sayılabilir sayıda birleşim işlemine göre
kapalılık).
Boş küme Ø, herhangi bir kümenin alt kümesidir. Bu nedenle ØS. Özellik (a) bu alt setin
daima sigma cebrine dahil olduğunu belirtir. S=Øc olduğundan özellik (a) ve (b) S kümesinin
de daima β’ye dahil olduğunu belirtir. Ayrıca De Morgan kanunları kullanılarak β’nin
sayılabilir kesişimler altında kapalı olduğu görülebilir. Eğer ,...A,A 21 ise bu durumda
,...A,A C
2
C
1 ’dir, (özellik b ile) ve
1i
C
iA olur. Bununla birlikte De Morgan kanunu
kullanılarak,
1i i
C
1i
C
i AA
bulunur ve özellik (b) ile
1i iA bulunur.
Örnek uzayı S’ye ait birçok farklı sigma cebri tanımlanabilir. Örneğin {Ø, S} şeklindeki iki
adet kümenin koleksiyonu bir sigma cebridir ve trivial sigma cebri olarak adlandırılır.
Eğer S sonlu ya da sayılabilir ise bu örnek uzayı üzerinde bir sigma cebri oldukça kolay bir
şekilde tanımlanır:
=S’nin tüm alt kümeleri, S’nin kendisi
Eğer S kümesi n adet elemana sahip ise β’deki küme sayısı 2n adettir. Örneğin eğer S={1,2,3}
ise β, 23=8 kümenin koleksiyonundan,
={1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}, Ø
oluşur.
Eğer S kümesinin elemanları sayılamıyor ise bu durumda β’yi tanımlamak zor olabilir.
Bununla birlikte β, ilgilenilen her hangi bir kümeyi içerecek şekilde seçilebilir. Örneğin
S=(-,) gerçel sayılar kümesi olarak tanımlanmış ise β cebri,
[a,b], (a,b], [a,b), (a,b)
şeklindeki tüm kümeleri içerecek şekilde seçilebilir. Burada a ve b tüm gerçel sayıları
tanımlar. Bu durumda β, yukarıda tanımlanan kümelerin, mümkün sayılabilir sonsuz, birleşim
ve kesişim işlemleri ile elde edilebilecek tüm kümeleri içerir.
1.3 OLASILIK TEORİSİNİN TEMELLERİ
Bir rassal deneyin çıktısı örnek uzayındaki bir elemandır. Rassal deneyin tekrarlı olarak
uygulanması durumunda bir çıktının “oluşum sıklığı” örnek uzayındaki elemanın (alt
kümenin) olasılığı olarak düşünülebilir. Örnek uzayındaki her bir A olayı için, bu olayla sıfır
ile bir arasındaki bir sayının eşleştirilmesi amaçlanır. Sıfır ile bir arasındaki bu sayı A olayının
olasılığı olarak adlandırılır ve P(A) ile gösterilir.
Basit anlamda olasılık, bir kümeyi ölçümlemek amacıyla bu kümeye atanan (ya da ait olan)
bir sayıdır. Bununla birlikte, aynı anda çalışılacak küme sayısı birden fazla olabileceği ve her
birine ait olasılıkların belirlenmesi istendiği için olasılık “kümelerin bir fonksiyonudur”.
Olasılık belirli bir fonksiyona göre tanımlandığı için ilk olarak fonksiyon kavramı ele
alınmalıdır.
Bir fonksiyon, f(.), bir noktalar kümesindeki her bir noktayı bir diğer noktalar kümesindeki
bir ve yalnız bir nokta ile ilişkilendiren bir kuraldır (kanun, formül,vs). İlk küme tanım
kümesi A, ikinci küme B ise görüntü kümesidir.
Bir fonksiyon:
ƒ: xƒ(x)
ve olasılık kümelerin bir fonksiyonu olduğundan:
P: S P(S)
Örnek uzayının tüm alt kümelerinin tanımlandığı kümeler ailesi P fonksiyonunun tanım
kümesi olarak kullanılabilir.
Bu aşamada, eğer S sayılamayacak kadar çok eleman içeriyorsa problem oluşabilir. Ortaya
çıkan problem, S kümesinin sayılamayacak kadar çok alt küme içermesi ve bu nedenle her
bir alt kümeye bir olasılık atanmasında sıkıntı oluşmasıdır. Bu sorunun nasıl aşıldığı ileride
açıklanacaktır. Bununla birlikte, S sonlu ya da sayılabilir sonsuz elemana sahip ise her bir alt
kümesine bir olasılık atanmasında problem ortaya çıkmaz.
Olasılığın en basit yapıdaki tanımını verebilmek için, ilk aşamada örnek uzayının sayılabilir
olduğu varsayılacaktır.
Tanım (Klasik Olasılık): Eğer bir rassal deneyin örnek uzayı sonlu sayıda n adet ayrık
neeeS ,,, 21
ve eşit olasılıklı elemana sahip ise
n
eP i
1 ni ,1
ve nA, örnek uzayı üzerinde tanımlanan A olayındaki basit olayların (ei) sayısı ise A olayının
gerçekleşme olasılığı P(A);
n
nAP A
olarak belirlenir. Klasik olasılığın yetersiz kaldığı iki durum:
a) Olayların eşit olasılıkla oluşmadığı durumlar
b) Örnek uzayının sonsuz elemanlı olduğu durumlar.
Bir örnek uzayındaki elemanların eşit olabilirliğe sahip olması bazı ideal koşulların
oluşmasına bağlıdır. Ayrıca şans oyunlarının aksine doğadaki örnek uzayındaki elemanlar
genellikle eşit olasılığa sahip değildir. İnsanların kan grupları bir örnek olarak verilebilir.
Böyle bir durumda bir her hangi bir A olayının oluşum sıklığı nasıl belirlenir? Cevap açıktır;
anakütle üzerinde benzer koşullarda denemeler yapılmalıdır.
Tanım (Göreli frekans): Bir rassal deneyin örnek uzayı üzerine tanımlanmış olay A olsun.
Deney benzer koşullarda N adet tekrarlansın ve ortaya çıkan A olaylarının sayısı n olsun. A
olayının göreli frekansı:
f(A)=n/N
Örneğin hilesiz olduğu düşünülen bir para atıldığında üst yüze yazı gelmesi A olayı olarak
tanımlansın. Değişik deneme sayılarında gerçekleşen A olayı sayıları ve göreli frekansları:
N=10 n=4 f(A)=0.4
N=100 n=47 f(A)=0.47
N=1000 n=488 f(A)=0.488
Şüphesiz f(A) değeri gerçekleştirilen deney sayısı N ile bağımlıdır ve küçük N değerleri için
çok büyük dalgalanmalara sahiptir. Burada cevaplanması gereken soru, “N değeri sonsuza
gittiğinde f(A) oranlarının dizisi kararlı bir değere yakınsıyor mu?” olacaktır. Böyle bir
soruya deneysel olarak asla cevap verilemez. Çünkü limitin doğası gereği deneylere son
verilemez. Böyle bir limitin var olduğunu kabul etmek matematiksel bir yaklaşımdır:
istenildiği kadar küçük olabilen pozitif bir sayı olmak üzere, N>m() koşulunu altında,
)A(PN
n
Eşitsizliğini sağlayan bir m() sayısı bulunabiliyorsa,
)A(lim PN
n
N
Elde edilen bu sonuç A olayının deneysel limit frekansıdır ve P(A) değeri A olayının
gerçekleşme olasılığıdır.
Fakat P(A) limit değeri hala gerçekleştirilen deney dizisi sonuçlarına bağımlıdır. Deneyler
aynı koşullarda geçekleştirilse dahi bir sonraki deney dizisinin aynı sonuçları vereceğinin
garantisi yoktur. Bu frekanslar üzerine oluşturulan geçerli bir teori, yukarıda tanımlanan P(A)
değerinin tüm benzer deney dizileri için aynı olduğunu varsaymak zorundadır. Bu teorem ile
modern olasılığın temeli olan aksiyom olasılığını ele almak da mümkün olmuştur.
Tanım (Olasılık Küme Fonksiyonu): Rassal bir deneyin örnek uzayı S ve bu kümenin üzerine
tanımlı çifterli ayrık AiAj=, ij olaylar A1, A2,… olsun. Eğer P(.) fonksiyonu;
1) P(A)0
2) P(S)=1
3) P(A1A2…)=P(A1)+P(A2)+…
11
)(
i
ii i APAP
koşullarını sağlıyor ise bu rassal deneyin çıktılarının olasılık küme fonksiyonu olarak
adlandırılır. S örnek uzayının her bir A alt kümesi için P(A) sayısına da A olayının olasılığı
denir.
Yukarıdaki tanımda verilen üç özellik “olasılık aksiyomları” olarak ya da Kolmogorov
aksiyomları olarak bilinir.
Aksiyom tanımı belirli bir P fonksiyonunun nasıl seçileceğini belirtmez. Herhangi bir örnek
uzayı için pek çok farklı olasılık fonksiyonu tanımlanabilir.
Olasılığın bu tanımı matematiksel bir tanım olup, hangi küme fonksiyonunun olasılık
fonksiyonu olarak adlandırılabileceğini açıklamaktadır.
Olasılığın bu tanımı, verilen bir A olayı için olasılık fonksiyonunun P(.) alacağı değer ile ilgili
bilgi vermez.
Olaylara ait olasılık değerlerinin elde edilmesi için rassal deneyin modelinin tanımlanması
gereklidir.
Olasılık aksiyomları kullanılarak, daha karmaşık olasılıkların hesaplanmasında
kullanılabilecek olan, olasılık fonksiyonunun pek çok özelliği tanımlanabilir.
Teorem: Eğer P(.) bir olasılık fonksiyonu ve A kümesi S’deki herhangi bir küme ise,
a. P(Ø) = 0 (Burada Ø boş kümedir)
b. P(Ac)=1-P(A)
c. P(A) ≤ 1
İspat: a) S=SØ ve S ile Ø ayrık, SØ= Ø, olduğundan
P(S)=P(SØ)=P(S)+P(Ø)
1=1+ P(Ø).
b) S=AAc ve A ile A
c ayrık, A A
c = Ø, olduğundan
P(S)=P(AAc)=P(A)+P(A
c)
1= P(A)+P(Ac).
Teorem: Eğer P(.) bir olasılık fonksiyonu ve A ile B kümeleri S ’deki herhangi iki küme ise ,
a. )BA(P)B(PBAP C
b. )BA(P)B(P)A(P)BA(P
c. Eğer BA ise )B(P)A(P ’dir.
d. P(A-B)=P(A)-P(AB)
İspat: a. Her hangi iki A ve B kümesi için,
B=(AB)(AcB)
ve olasılık ifadesi olarak,
P(B)=P(AB)P(AcB)
ve eşitliğin sağındaki iki olay ayrık olduğundan,
P(B)=P(AB)+P(AcB)
b. Her hangi iki A ve B kümesi için A ve BAc kümeleri birbirinden ayrık olduğundan,
AB=A(AcB)
özdeşliği kullanılarak,
P(AB)=P(A)+P(AcB)
Ayrıca AB=A (AcB)
ve eşitliğin sağındaki iki olay ayrık olduğundan,
P(AB)=P(A)+P (AcB)
Elde edilen sonuçlar yerine konarak ispat tamamlanır.
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
c. B=A(AcB) ve eşitliğin sağındaki iki olay ayrık olduğundan Aksiyom 3 kullanılarak
P(B)=P(A)+P(AcB)
Aksiyom 1 kullanılarak P(AcB)0 ve sonuç olarak P(B) P(A) bulunur.
d. A=(A-B)(AB) olup eşitliğin sağındaki kümeler ayrık olduğu için
P(A)=P(A-B)+P(AB) ispat tamamlanır.
Teoremin (b) formülü bir kesişim olasılığı için kullanılabilecek faydalı bir eşitsizliği
(Bonferroni eşitsizliği) tanımlar.
Tanım (Bole eşitsizliği): Herhangi iki A ve B olayı için A, BS olmak üzere AB için,
P(AB)P(A)+P(B)
ve eğer AB= ise
P(AB)=P(A)+P(B)
olarak tanımlanır. Bu sonuç aynı zamanda ayrık olayların olasılıklarının (ve eleman
sayılarının) toplama kuralına uyduğunu belirtir.
Bonferroni Eşitsizliği: Teoremin (b) formülünde 1)BA(P olduğundan,
)BA(P)B(P)A(P1
ve
1)B(P)A(P)BA(P
elde edilen sonuç Bonferroni eşitsizliğinin özel halidir.
Bonferroni eşitsizliği özellikle, kesişim olasılığının belirlenmek istendiği fakat
hesaplanmasının zor ya da imkansız olduğu durumlarda oldukça faydalıdır. Örneğin her biri
0.95 olasılığa sahip A ve B olayları için her ikisinin de birlikte oluşma olasılığının sınırı,
P(AB)=P(A)+P(B)-1=0.90
olarak bulunabilir.
Bireysel olayların olasılıkları yeterince büyük olmadıkça Bonferroni sınırı negatif değer
verdiği için (fakat hala doğrudur) kullanışsızdır.
Teorem: Eğer P(.) bir olasılık fonksiyonu ise,
a.
1)()(
i iCAPAP , herhangi bir C1, C2,… bölümlenmesi (ayrık olayları) için.
b.
1i i1i i ),A(PAP herhangi A1, A2,… kümeleri için, (Boole’un eşitsizliği)
Boole’un eşitsizliği ile Bonferroni ’nin eşitsizliği arasında bir benzerlik vardır. Temelde
aynıdırlar. Eğer Boole’un eşitsizliğinde Ac kullanılsaydı,
c
i
n
1i
n
1i
c
i APAP
burada ci
c
i AA ve )A(P1)A(P i
c
i eşitlikleri kullanılarak
n
1i i
n
1i i )A(PnAP1
n
1i i
n
1i i 1nAPAP
elde edilir ki bu sonucun Bonferroni eşitsizliğinin genel ifadesidir.
Tanım (Olasılık Uzayı): Bir olasılık uzayı üç elemanlıdır, [S, β, P(.)]. Burada S örnek uzayı, β
sigma cebri diğer bir deyişle bir olaylar koleksiyonu ve P(.) ise tanım kümesi β olan bir
olasılık fonksiyonudur.
1.4 SAYMA YÖNTEMLERİ
İstatistik problemlerinde belirli bir durumda
1) olanaklı bütün seçenekleri ortaya koymak
ya da en azından
2) kaç farklı olanak bulunduğunu belirlemek
gereklidir
Sayma yöntemlerinin en sık kullanıldığı problemler, sonlu örnek uzayları üzerine tanımlanan
olaylara bir olasılık atanması durumudur. Genelde sayma problemleri karmaşıktır bu nedenle
saymayı basitleştirmek üzere problem basit parçalara ayrılır. Eleman sayısı N olan bir kesikli
S örnek uzayının klasik olasılık aksiyomlarını (eşit olasılıklı ayrık olaylar) sağladığı
varsayılsın. Bir A olayının olasılığını belirlemek için her biri eşit olasılık ile ortaya çıkan ve
birbirinden ayrık olan mümkün durumların sayısına ve A özelliğini taşıyan elemanların
sayısına gereksinim vardır. Bu sayıların elde edilebilmesi için bazı kombinasyon
formüllerinin kullanılması gereklidir. Bu formüller iki temel prensip üzerine kurulmuştur:
Tanım (Toplama): A ve B ayrık olaylar olmak üzere, bir A olayı toplam m farklı şekilde ve B
olayı ise n farklı şekilde oluşuyor ise A ya da B (AB) olayı m+n farklı şekilde oluşabilir.
Tanım (Çarpma): A olayı toplam m farklı şekilde ve B olayı ise toplam n farklı şekilde eşanlı
olarak oluşabiliyor ise, A ve B (AB) olayı mn farklı şekilde oluşabilir.
Tanım (Faktöriyel): Bir pozitif tam sayı n için, n (n faktöriyel) n değerine eşit ve küçük tüm
tam sayıların çarpımıdır.
n=n(n-1)…321
Burada,
n
nn
!!1
olduğundan, n=1 için 0!=1 olduğu görülebilir.
Sayılar büyüdükçe faktöriyel değerini hesaplamak zorlaşır. Bu nedenle yaklaşık bir hesaplama
değeri Stirling tarafından verilmiştir:
2
1
2!
n
nnen
Daha güvenilir bir yaklaşım için e-n
yerine
e-[n-(1/12n)]
kullanılabilir.
Kullanılacak sayma yöntemleri gerçekleştirilen örnekleme yöntemine
a. İadeli örnekleme
b. İadesiz örnekleme
ve örneğe çıkış sırasına
c. Örneğe çıkış sırası önemsiz
d. Örneğe çıkış sırası önemli
bağımlıdır.
Tanım (İadeli Örnekleme): Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir
sonraki seçimde tekrar populasyona dahil ediliyorsa yani örneğe girme şansı yine varsa bu tip
örneklemeye iadeli örnekleme denir.
Tanım (İadesiz Örnekleme): Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer
bir sonraki seçimde tekrar populasyona dahil edilmiyorsa yani bir sonraki örnekte gözlenme
şansı yoksa bu tip örneklemeye iadesiz örnekleme denir.
Tanım (Permütasyon): Bir S kümesindeki elemanların iadesiz örneklemedeki tüm farklı
seçimleri için ortaya çıkan her bir farklı düzenlemelerine verilen isimdir.
Örneğin 3,2,1S kümesi için permütasyonlarının oluşturduğu küme:
2,1,3,1,2,3,1,3,2,3,1,2,2,3,1,3,2,1pS
Kümenin her bir elemanı bir permütasyona karşılık gelmektedir. Kümenin elemanları
incelendiğinde örneğe çıkış sırasının önemli olduğu görülebilir.
Tanım (Kümenin permütasyon sayısı): Bir S kümesinde n adet eleman var ise farklı
düzenlemelerin (permütasyonların) sayısı:
!1.2)...1( nnnPnn
Kümeden örneğe çekilen eleman sayısı r<n koşulu ile sadece r adet ise farklı düzenlemelerin
(permütasyonların) sayısı:
!
!1)...1(
rn
nrnnnPrn
Nesneler bir dairenin etrafında sıralanınca ortaya çıkan permütasyonlara daire
permütasyonları denir.
Teorem: Bir daire çevresinde sıralanan n farklı nesnenin permütasyon sayısı (n-1)!=n!/n dir
Tanım (Kombinasyon): Bir S kümesindeki elemanların iadesiz örneklemedeki tüm farklı
seçimlerine verilen isimdir.
Örneğin 3,2,1S kümesi için üç elemanlı farklı seçimlerin (kombinasyonların) oluşturduğu
küme:
3,2,1kS
iki elemanlı farklı seçimlerin (kombinasyonların) oluşturduğu küme:
3,2,3,1,2,1kS
Gerçekte kombinasyon, altküme ile aynı anlamı taşır.
Tanım (Kombinasyon sayısı): Bir S kümesinde n adet eleman var ise nr olmak üzere r adet
elemanın faklı seçimlerinin sayısı,
r
n sembolü ile tanımlanır ve n içinden r adet seçim olarak
okunur:
!!
!
! rrn
n
rn
P
r
nC nn
rn
Bu sayılar aynı zamanda binom katsayıları olarak da adlandırılır.
Permütasyon tüm mümkün seçimlerin (kombinasyonların) kendi içindeki tüm mümkün farklı
düzenlemelerini de bir eleman olarak sayar. Örneğin abc ve acb aynı kombinasyon farklı bir
permütasyondur. Bununla birlikte abc ve abd farklı kombimasyonlardır.
1.4.1 İki terimli (Binom) ve Çok terimli (Multinomial) Teoremleri
İki terimli (a+b)n ifadesinin açılımı basit kombinasyon metodu kullanılara gerçekleştirilip
daha sonra çok terimli durum için genelleştirilecektir. İki terimli ifade n adet terimin çarpımı
şeklinde yazılabilir:
(a+b) (a+b)… (a+b)
Burada problem çarpım sonucunda oluşacak olan an-r
br teriminin önündeki katsayıları
bulabilmektir. Gerçekte bu problem iki gruba bölünmüş (a ve b) n adet çarpanın ortaya çıkış
sayısını bulmak olarak da tanımlanabilir.
n
nn
a
baba
1
Burada x=b/a alınarak
nnnxaba 1
mx1 çarpanı m=1, 2, …,n için açılarak,
(1+x)=1+x x
1
1
0
1
(1+x)2=1+2x+x
2 2
2
2
1
2
0
2xx
(1+x)3=1+3x+3x
2+
x
3 32
3
3
2
3
1
3
0
3xxx
(1+x)n= 1+nx+…+
x
n nxn
nxx
nn
2
2
3
10
Sonuç olarak:
rn
r
nx
r
nx
01
rn
r
nnn xr
naxa
01
rn
r
n
n
n
a
b
r
na
a
ba
0
1
n
nn
n
n
a
b
n
n
a
bn
a
bnna
a
ba
2
2
2101
rrnn
r
nba
r
nba
0
elde edilir.
Yukarıda kullanılan yaklaşım n adet elemanın iki gruba ayrıldığı ve gruplardan birinin r adet
diğerinin n-r adet elemana sahip olduğu varsayımına uymaktadır. Bu n adet elemanın iki
kategori için r değiştikçe ortaya çıkabilecek farklı sıralamalarının sayısı kombinasyon
yaklaşımı ile;
rn
n
r
n
elde edildi. İki terim (kategori) için bulunan sonuçlar n eleman k adet kategori için
genellenebilir. Her bir kategorideki eleman sayısı ni, i=1,2,…,k ve nnn k 1 olsun.
Farklı seçimlerin (kombinasyonların) sayısı:!!!
!
,,,2121 kk nnn
n
nnn
n
İspat: !!!
!
,,,2121 kk nnn
n
nnn
n
k
k
n
nnnn
n
nnn
n
nn
n
n 121
3
21
2
1
1
!!
!
!!
!
!!
!
!!
!
121
121
32!13
21
212
1
11 kkk
k
nnnnnn
nnnn
nnnnn
nnn
nnnn
nn
nnn
n
!!!
!
21 knnn
n
Bu sonuç kullanılarak çok terimli açılım;
nkxxx 21
için elde edilen k adet çarpandan oluşan terimlerin,
kn
k
nnxxcx 21
21
önündeki c katsayısı bulunur. Çok terimli açılım:
k
k
nnn
n
k
nn
k
n
k xxxnnn
nxxx
,,
21
21
21
21
21
!!!
!
1.4.2 Örnekleme ve Örnek Uzayındaki Eleman Sayısı Üzerine Etkisi
Önemli kombinasyon problemlerinde temel yapıyı oluşturan birkaç standart sapma metodu
vardır. Bu metotlar genellikle örnekleme ya da atama yöntemleri olarak incelenirler.
Bir torbada 1’den n’e kadar işaretlenmiş n adet top olduğu ve bunlardan m adedinin farklı
koşullar altında çekildiği varsayılsın. Her bir farklı koşul için tüm mümkün çıktıların sayısının
belirlenmesi aşağıda incelenmiştir:
Durum I. Yerine Konarak Örnekleme ve Sıralama Önemli
Torbadan m adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya
iade edilir. Topların üzerindeki sayılar çıkış sırasına göre kayıt edilir. Sonuç olarak her m
adetlik çekiliş için m adet sayıdan oluşan bir (a1,…,am) sıralaması elde edilir. Burada her bir
aj, 1 ile m arasındaki herhangi bir sayı olabilir. Sıralama içinde aynı sayı tekrar edebileceği
için bu sıralama bir permütasyon değildir. Tüm mümkün durumların sayısının elde edilmesi
için “Saymanın Temel Kuralı” uygulanarak nm bulunur. Torbadan topun çekilmesi ile altı
zarın atılması ya da tek bir zarın arka arkaya altı defa atılması arasında herhangi bir fark
yoktur.
Durum II. Yerine Koymadan Örnekleme ve Sıralama Önemli
Uygulanan örnekleme Durum I ile benzer olup tek fark çekilen topun torbaya iade
edilmemesidir. Bu durumda oluşan sıralı m adet (a1,…,am) sayıda her bir aj farklı sayıdan
oluşacaktır gibi kısıt konulmuştur. Sıralama içinde aynı sayı tekrar edemeyeceği için bu
sıralama bir permütasyondur. Diğer bir kısıt ise mn olmalıdır. Bu tip problemlere “Saymanın
Temel Kuralı” doğrudan uygulanmamakla birlikte çözüm,
mnmnnn 11
benzerdir. Bu eşitliğin sol tarafında m adet çarpan vardır. Eşitliğin sağındaki mn sembolü n
sayısından birer küçülerek giden m adet sürekli çarpımı belirtmektedir.
Durum II permütasyon problemi olarak adlandırılan problemin özel halinin tanımlamaktadır.
Durum III. Yerine Koymadan ve Sıralama Önemsiz
Bu örnekleme yapısında çekilen toplar torbaya iade edilmez ve çekiliş sırası önemsiz olup
kayıt edilmez. Sonuç olarak m adet top bir defada çekilmiş olarak düşünülebilir. Böyle bir
örnekleme yapısında n elemanlı bir kümeden elde edilen m elemanlı alt kümeler ile ilgilenilir.
Alt kümelerin sayısını bulabilmek amacıyla ilk olarak Durum II ile bir karşılaştırma yapılması
faydalı olacaktır. Eğer m adet top iade edilmeksizin birer birer çekilip sıralanır ise mümkün
sıralama sayısı m! olacaktır. Örneğin n=5, m=3 için 3,2,5 alt kümesi;
2,3,5,3,2,5,2,5,3,5,2,3,3,5,2,5,3,2pS
3!=6 farklı şekilde çekilebilir. Sırlama önemsiz olduğundan n adet eleman içinden m eleman;
!!
!
mnm
n
m
n
farklı şekilde çekilebilir.
Durum IIIa Gruplara Ayrılabilen n Elemanın Permütasyonu
Torbadaki toplardan n1 adedinin Renk 1, n2 adedinin Renk 2,…, nr adedinin Renk r ile
boyandığı varsayılsın. Renklerin ayırt edilebidiği fakat aynı renkli topların ayırt edilemediği
bilinmektedir. Renk gruplarındaki eleman sayılarının toplamı n1+n2+…+nr=n torbadaki top
sayısına eşittir. Bu n adet topun ayrıştırılabilir kaç düzenlemesi vardır?
Örnek olarak n1=2, n2=2, n=4 ve renkler de sarı ve lacivert olsun. Elde edilebilecek farklı
düzenlemelerin sayısı 6 olarak belirlenir:
Yukarıdaki soruyu analitik olarak cevaplamak için tüm topların ayrıştırılabildiği Durum II ile
bir karşılaştırma yapılabilir. Renklendirilen toplar aynı zamanda numaralandırılır ise hepsi
birbirinden ayrıştırılabilir hale gelir. Bu durumda tüm mümkün düzenlemelerin toplam sayısı,
Durum II kullanılarak, n! olarak belirlenir. Renk 1 ile boyanan n1 adet top numaralar yardımı
ile n1! adet farklı düzenlemeye, Renk 2 ile boyananlar ise n2 adet farklı düzenlemeye sahip
olacaktır. Bir renk için elde edilen her bir düzenleme bir diğer rengin herhangi bir
düzenlemesi için serbestçe birleştirilebileceği için “Saymanın Temel Kuralı” kullanılarak
birlikte oluşturabilecekleri düzenleme sayısı (işaretler dikkate alındığında) n!n2!... nr!
bulunabilir. Araştırılan konu işaretlerin olmadığı sadece renklerin olduğu bir durumdaki
düzenleme sayısı olduğundan bu sayı,
!!!
!
21 knnn
n
çok terimli katsayısı ile elde edilebilir. Eğer r=2 ise,
21 n
n
n
n
iki terimli (binom) katsayısı ile elde edilebilir.
Durum IV. Yerine Konarak ve Sıralama Önemsiz
Torbadan m adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya
iade edilir. Topların üzerindeki sayılar çıkış sırası dikkate alınmadan kayıt edilir. Bu
problemin çözümü için farklı bir yaklaşın gereklidir. Aşağıda bu yaklaşım bir örnek üzerinde
açıklanacaktır. Örnek için n=m=3 alınsın. Tüm mümkün durumlar aşağıdaki tabloda
listelenmiştir.
1 2 3
111 ||
112 ||
113 ||
122 ||
123 ||
133 ||
222 ||
223 ||
233 ||
333 ||
Her çekim işleminden sonra çekilen numara sütununa bir kontrol işareti () konur. İşaret
sayısı deneme sayısına (m) eşit olup bu değer top sayısından (n) fazla olabilir. Numaralara ait
kontrol işaretleri arasındaki boşlukları belirtmek amacıyla çubuklar (|) kullanılmıştır. Ortadaki
üç sütun son sütunda özetlenmiştir. Bu sütun incelendiğinde üç kontrol ve iki çubuk için tüm
mümkün durumların dikkate alındığı görülmektedir. Toplam sayı, Durum III n=5, m=3, ya da
Durum IIIa n=5, n1=3, n2=2 ile çözülebilir. Sonuç olarak 5!/3!2!=10.
Durum IV deki problem m adet kontrol ve n-1 adet çubuğun tüm mümkün düzenlemeleri
problemine dönüştürülerek çözülmüştür. Eğer n adet mümkün durum var ise ve bu mümkün
durumların her biri tabloda olduğu gibi bir kutu ile tanımlanmışlar ise kutular arasında n-1
adet çubuk vardır. Durum IIIa için tanımlanan formüller uygulandığında çıktıların mümkün
sayısı:
1
11
n
mn
m
mn
ile elde edilebilir.
Yukarıda açıklandığı üzere kullanılacak sayma yöntemleri gerçekleştirilen örnekleme
yöntemine faklılık gösterebilir. Farklı örnekleme durumları için örnek uzayındaki eleman
sayıları aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.
İadesiz Örnekleme İadeli Örnekleme
Sıra Önemli )!(
!
mn
n
n
m
Sıra Önemsiz
m
n
m
mn 1
Tabloda verilen durumları açıklamak amacıyla aşağıda 44 adet sayı içinden çekilebilecek 6
adet sayı için karşılaşılabilecek farklı örnek uzaylarının eleman sayıları hesaplanmıştır:
a. İadesiz sıralama önemli: Temel sayma teoremine göre ilk sayı 44 farklı şekilde, iadesiz
olduğundan ikincisi 43 farklı şekilde seçilebileceğine göre altı adet sayı;
444342414039=(44!/38!)=5.082.517.440
farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,
)!(
!
xn
n
bulunur.
b. İadeli sıralama önemli: Seçilen sayı tekrar iade edildiği için her bir çekiliş 44 farklı şekilde
yapılabileceğinden altı adet sayı,
444444444444=446=7.256.313.856
farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,
nx
bulunur.
c. İadesiz sıralama önemsiz: Sıralamanın önemsiz olduğu durumlarda, örnek uzayındaki
eleman sayısı azalır. Altı adet sayı 654321 farlı şekilde ortaya çıkabilir. Eğer sıralama
önemsiz ise bu durumların tümü örnek uzayındaki tek bir elemana karşılık geldiğinden, bu
sayı sıralamanın önemli olduğu durumda karşılaşılan örnek uzayından bölünerek düşülür ve
sonuç olarak sıralama önemsiz ise altı adet sayı,
052.059.7!6!38
!44
123456
394041424344
farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,
!!
!
rrn
n
r
n
bulunur.
d. İadeli sıralama önemsiz: Örnek uzayı belirlemenin en zor olduğu durumdur. Cevap olarak
hemen 446/654321 olduğu söylenebilir, fakat bu sonuç yanlıştır. Bu durumu saymak
için 44 adet sayı yan yana yerleştirilmiş her biri bir diğerinden bir karton ile ayrılmış kutular
olarak düşünülebilir ve altı adet sayı kağıtlara yazılıp kutuların içine konulur. Mümkün
durumların sayısı, 44 kutu içine konacak 6 adet kağıdın farklı mümkün durumlarının sayısına
eşit olacaktır. Kutuları ayıran kartonlardan ilki ve sonuncusunun oynadığı bir rol yoktur. 44
adet kutu 45 adet kartona sahiptir fakat 43 adet karton dikkate alınır. Bunlara ilave olarak 6
adet kağıt mevcuttur. Sonuç olarak 43+6=49 adet nesne vardır ve bunlar 49! Kadar farklı
yerleşime sahiptir. Bununla birlikte sıralama önemli olmadığından kağıtlar için 6! ve kartonlar
için 43! kadar durum elenmelidir. Sonuç olarak sıralama önemsiz ise altı adet sayı,
816.983.13!43!6
!49
farklı şekilde belirlenebilir.
1.5 MARJİNAL ve ŞARTLI OLASILIK
Eleman sayısı n olan S örnek uzayı üzerinde, r adet ayrık Ai olayı ve c adet ayrık Bj olayı
tanımlanmış olsun. S örnek uzayındaki her elemanın eşit olasılığa sahip olduğu (klasik
olasılık) varsayımı ile A ve B olayları için aşağıdaki iki yönlü tablo oluşturulabilir:
B1 B2 Bc
A1 n11 n12 n1c
A2 n21 n22 n2c
Ar nr1 nr2 nrc
İlk satır ve ilk sütun hariç ablodaki hücrelere ait genel toplam:
r
i
c
j
ij nn1 1
olup bu hücrelerin her biri AiBj olayına karşılık olaylar eşit olasılıklı olduğundan:
n
n
ji
ijBAP
Her hangi bir Ai olayının gerçekleşme olasılığı:
c
j
ijicii
in
n
n
nnnAP
1
21
ya da her hangi bir Bj olayının gerçekleşme olasılığı:
r
i
ijrjjj
jn
n
n
nnnBP
1
21
ile elde edilebilir. Bu olasılıklar sırası ile Ai ve Bj olaylarının marjinal olasılıkları olarak
adlandırılır.
Bir S örnek uzayı üzerine tanımlanan A ve B olayları için, B olayının oluşması durumunda A
olayının ortaya çıkma olasılığı şartlı olasılıktır ve P(A/B) ile gösterilir.
Tanım (Şartlı Olasılık): Verilen olasılık uzayında iki olay A ve B olsun. Verilen B olayı için
A olayının şartlı olasılığı P(B) > 0 için,
)B(P
)BA(P)B/A(P
olup P(B)=0 için tanımsızdır. Benzer şekilde verilen A olayı için B olayının şartlı olasılığı
P(A) > 0 için,
)(
)()/(
AP
BAPABP
Yukarıdaki iki eşitlik kullanılarak;
)()/()(/ APABPBPBAPBAP
ifadesi olasılığın çarpım kuralı olarak adlandırılır.
Teorem (Çarpım Kuralı): Tanımlanan bir olasılık uzayı için, eğer A1,A2,…,An olayları
0]...[ 11 nAAP koşulunu sağlayan S üzerinde tanımlanmış olaylar ise,
]A...A/A[P]...AA/A[P].A/A[P].A[P]A...AA[P 1n1n213121n21
Çarpım kuralı aşamalı deneyler için oldukça faydalıdır. Deneyin n aşamalı olduğu ve Aj
olayının deneyin j-inci aşamasına göre tanımlanan bir olay olduğu varsayılsın. Bu durumda
]A...A/A[P 1j1j , deneyin ilk j-1 aşamasında oluşan durumlara göre j-inci aşamada ne
olabileceğini tanımlayan bir olayın şartlı olasılığıdır.
P[./B] bir olasılık fonksiyonu mudur? Olasılık fonksiyonu olabilmesi için üç aksiyomu
sağlaması gereklidir.
a. 0)B(P)BA(P]B/A[P her SA için
b. 1)B(P/)B(P)B(P)BS(P]B/S[P
c. Eğer SAA ,..., 21 ’deki çifterli ayrık olayların dizisi ise
]B[P
BAP
]B[P
B)A(PB/AP i1ii1i
i1i
)B(P
BAP1i i
1i i ]B/A[P
Sonuç olarak verilen bir B, P(B)>0, olayı için P[./B] bir olasılık fonksiyonudur.
Teorem (Olasılıklar Toplamı Teoremi): Tanımlanan bir olasılık uzayı için, eğer B1,B2,…,Bn
olayları n
1j jBS
ve P[Bj]>0, j=1,…,n için, koşullarını sağlayan S üzerinde tanımlanmış
ayrık olaylar ise, her A için,
n
1j jj ]B[P].B/A[P]A[P
İspat: A olayı ayrık Bj olaylarının her biri ile olan kesişimlerinin birleşimi
n
1j jBAA
olarak tanımlanabilir çünkü jBA ’ler de ayrıktır. Bu durumda
n
1j j
n
1j j ]BA[PBAP]A[P
]B[P].B/A[P j
n
1j j
bulunur. Bu teorem n için de geçerlidir.
Not: Yukarıda tanımlı B olayları ayrık değilse,
]B[P].B/A[P]B[P].B/A[P]A[P cc
Olasılıklar toplamı teoremi özellikle aşamalı olarak uygulanan deneylerde faydalıdır. Örneğin
her birinin içinde toplar bulunan torbalardan bir top çekilmek istendiği durum ele alındığında
ilk önce topun çekileceği torba seçilir daha sonra seçilen torbadan bir top çekilir. Bu tür
deneyler için Bj ilk aşamadaki olayı ve A ’da ikinci aşamadaki olayı tanımlar ise, P[Bj] ve
P[A/Bj] olasılıklarını bulmak oldukça kolaydır. Aşamalar halinde uygulanan deneylerde
birinci adımda sonuca göre koşul tanımlamak oldukça uygundur.
P[./B] fonksiyonunun özellikleri aşağıdaki teoremler ile tanımlanmıştır.
Teorem: 0]B/[P
Teorem: AB= ise P(A/B)=P(B/A)=0
Teorem: Eğer A ve B, S ’de tanımlı bir olaylar ise
]B/A[P1]B/A[P c
Teorem: Eğer SAA 21, ise
]B/AA[P]B/AA[P]B/A[P c
21211
Teorem: Eğer SAA 21, ise,
]B/AA[P]B/A[P]B/A[P]B/AA[P 212121
Teorem: Eğer SBA , ve BA ise P(AB)= P(A)
1/
AP
BAPABP
Teorem: Eğer SBA , ve AB ise P(AB)= P(B)
AP
BP
AP
BAPABP
/
Teorem: Eğer SAA 21, ve 21 AA
]B/A[P]B/A[P 21
Şartlı olasılığın kullanıldığı önemli durumlardan biri aşağıdaki teorem ile açıklanmıştır.
Teorem (Bayes Formülü): Tanımlanan bir olasılık uzayı için, eğer B1,…,Bn olayları
n
1j jBS
ve 0]B[P j , j=1,…,n için, koşullarını sağlayan S üzerinde tanımlanmış ayrık
olaylar ise her A , 0]A[P , için
]B[P.]B/A[P
]B[P].B/A[P]A/B[P
j
n
1j j
kkk
bulunur. Bu teorem n için de geçerlidir. Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi
olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir. Olasılıklar toplamı teoreminde olduğu
gibi Bayes formülü de aşamalı olarak uygulanan deneyler için oldukça faydalıdır. Aradaki
fark koşul olarak ikinci aşamanın kullanılmasıdır. Diğer bir ifade ile A olayı gerçekleşmiştir
ve sebep olan Bk olayı için olasılık araştırılmaktadır.
1.6 BAĞIMSIZ OLAYLAR
Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesi olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp
çıkmama olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. Eğer P[A/B] olasılığı B
olayına bağımlı değilse, diğer bir deyişle P[A/B]=P[A] ise A olayı B olayından bağımsızdır.
Tanım (Bağımsız Olaylar): Verilen bir (S, β, P[.]) olasılık uzayı için, A ve B olayları β
üzerinde tanımlı olsunlar. A ve B olayları, ancak ve ancak,
a. )B(P).A(P]BA[P
b. ),A(P]B/A[P P[B]>0 ise
c. ),B(P]A/B[P P[A]>0 ise
koşulları sağlanıyor ise bağımsız olaylardır.
Teorem: Eğer A ve B olayları verilen bir (S, β, P[.]) olasılık uzayında tanımlı birbirinden
bağımsız olaylar iseler,
a. A ve Bc
b. Ac ve B
c. Ac ve B
c
olayları da birbirinden bağımsızdır.
İspat: Sadece a şıkkının ispatı yapılacaktır. Bu amaçla )B(P).A(P]BA[P cc olduğu
gösterilmelidir.
)BA(P)A(P]BA[P c
)B(P).A(P)A(P
))B(P1).(A(P
)B(P).A(P c
bulunur.
A ve B olaylarının bağımsızlık özelliği ile A ve B olaylarının ayrık olaylar olma özelliği
temelde ilişkili olmakla birlikte farklı özelliklerdir. Örneğin iki ayrık olay ancak ve ancak
0)B(P).A(P]BA[P ise bağımsızdırlar. Bu durum sadece A ya da B olaylarının
olasılıklarının sıfır olması durumunda gerçekleşir. Eğer P[A]≠0 ve P[B]≠0 ise A ve B
olaylarının bağımsız olmaları onların ayrık olaylar olmadıklarını belirtir. Bunun tersi de
söylenebilir A ve B ayrık olaylar ise bağımsız olaylar değildirler.
Önemli bir olasılık uzayı modeli tekrarlı bağımsız denemelerdir. Bu model bir zar atışı, para
atışı yada desteden kart çekme gibi olaylarda kullanılmaktadır. Aşağıdaki örnek bu konu ile
ilgilidir.
Örnek: İlk olarak bir zar daha sonra bir para atılmakta ve son olarak da desteden bir kart
çekilmektedir. Her bir deneme aşağıda verilen
A = Paranın tura gelmesi
B = Zarın 5 yada 6 gelmesi
C= Çekilen kartın sinek gelmesi
olayları oluşturmaktadır. Gerçekleştirilen her üç denemenin birbirinden bağımsız olduğu
varsayılsın. Diğer bir deyişle uygulanan bir deneyin sonucu bir diğer deneyin sonucunu
etkilememektedir. Bu durumda tüm mümkün durumların eşit olabilirliğe sahip olduğu kabul
edilebilir. Her bir deneme için mümkün durumların sayısı sırası ile 2, 6 ve 52’dir. Tüm
denemeler kümesi için mümkün durumların sayısı bu sayıların çarpılması ile bulunabilir. Bu
sonuç ileriki kısımda açıklanacak olan saymanın temel kuralı ile elde edilmiştir. Aynı kural A,
B, C, AB, AC, BC, ABC olaylarına ait durumların sayısını elde etmek için de
kullanılabilir:
52*6*1A , 52*2*2B , 13*6*2C
52*2*1BA , 13*6*1CA , 13*2*2CB
13*2*1 CBA
Elde edilen sayıların 52*6*2S ile bölünmesi ile
P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(C)=1/4
P(AB)=1/6, P(AC)=1/8, P(BC)=1/12
P(ABC)=1/24
Sonuçları bulunur. Sonuçlar incelendiğinde aşağıdaki eşitliklerin geçerli olduğu kolayca
doğrulanabilir:
P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C)
P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
Burada dikkat edilmesi gereken durum olaylar olduğu kadar deneylerin de bağımsız
olduğudur. Eğer P(AB)=P(A)P(B) özelliği sağlanıyor ise A ve B olayları birbirinden
bağımsızdır. Sonuç olarak bağımsızlık ifadesinin göreli olarak verilen olasılık ölçümüne
bağlı olduğu görülebilir. Daha genel olarak, A1, …,An gibi n adet olay eğer onların herhangi
bir altkümesinin kesişimi olasılığı, onların bireysel olasılıklarının çarpımına eşitse bağımsız
olaydırlar.
nn APAPAPAAAP 2121