1 sistem bilangan real - danisuandi.files.wordpress.com · definisi : t l \ t á ... q = f= q t q x...
TRANSCRIPT
1
1
1. Nilai Mutlak
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
1. |2 +
1
𝑥| > 1
Jawab : 𝐻𝑃 = (−∞,−1) ∪ (−1
3,∞) − {0}
2. 𝑥 + 2 ≤
3
|𝑥|
Definisi : |𝑥| = {𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0
Akibat Definisi :
|𝑥| ≤ 𝑎 ⇌ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ a
|𝑥| ≥ 𝑎 ⇌ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≤ −𝑎
Sifat-sifat nilai mutlak :
1. |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦|
2. |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|
3. |𝑥| < |𝑦| ⇌ 𝑥2 < 𝑦2
Sistem Bilangan Real
2
Jawab : 𝐻𝑃 = (−∞, 0) ∪ (0,1]
3. 3|𝑥| ≤ |𝑥 − 1| + 5 Jawab : 𝐻𝑃 = [−3,3]
4. 2 ≤ |𝑥2 − 𝑥| < 6 Jawab : 𝐻𝑃 = [−2,−1] ∪ [2,3]
3
2
1. Tentukan domain dan range dari :
a. 𝑓(𝑥) = 3 + √𝑥
b. 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 − 1
d. 𝑓(𝑥) =1
𝑥
Definisi : Fungsi dari ℝ ke ℝ adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan)
setiap 𝑥 ∈ ℝ dengan tepat satu 𝑦 ∈ ℝ.
Fungsi Komposisi :
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ada apabila 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 ≠ ∅
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) ada apabila 𝑅𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ≠ ∅
𝐷𝑓 ∘ 𝑔 ∶ {𝑥 ∈ 𝐷𝑔| 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑓}
𝐷𝑔 ∘ 𝑓 ∶ {𝑥 ∈ 𝐷𝑓| 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷𝑔}
𝑅𝑓 ∘ 𝑔 ∶ {𝑦 ∈ 𝑅𝑓| 𝑦 = 𝑓(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑅𝑔}
𝑅𝑔 ∘ 𝑓 ∶ {𝑦 ∈ 𝑅𝑔| 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑅𝑓}
Fungsi
4
2. Diketahui 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥2. a) Periksa apakah (𝑓 ∘ 𝑔) ada ? b) Jika ada, tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), 𝐷𝑓∘𝑔, 𝑅𝑓∘𝑔!
Jawab : 𝐷𝑔∘𝑓 = (−∞,−1] ∪ [1,∞) 𝑅𝑔∘𝑓 = [0,∞)
3. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥−1 dan 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3
a) Periksa apakah (𝑔 ∘ 𝑓) ada ? b) Jika ada, tentukan (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥),𝐷𝑔∘𝑓, 𝑅𝑔∘𝑓!
Jawab : 𝐷𝑔∘𝑓 = (1,3
2 ] 𝑅𝑔∘𝑓 = [0,∞)
5
3
1. Limit
Hitung nilai limit berikut (jika ada) :
a. lim𝑥→2
|𝑥−2|
𝑥2−3𝑥+2
b. lim𝑥→0
𝑥2+sin(𝑥)
𝑥+tan(2𝑥)
c. lim𝑛→∞
𝑛2
√𝑛3+𝑛2+1+7
d. lim𝑥→0
cos4𝑥−cos2𝑥
3𝑥2
e. lim𝑥→7
√𝑥2−1
𝑥−1
3
f. lim𝑥→−3
2|𝑥 + 1| + |𝑥|
Suatu lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) memiliki nilai apabila lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥)
Limit dan Kekontinuan
6
2. Kekontinuan
1. Misalkan 𝑓(𝑥) =|𝑥−3+𝑎2|+3+𝑎2
8
a) Tentukan lim𝑥→0
𝑓(𝑥). Jika tidak ada jelaskan sebabnya!
b) Gunakan hasil diatas untuk menentukan semua nilai 𝑎, jika ada yang membuat 𝑓 kontinu pada 𝑥 = 0
2. Tentukan konstanta 𝑎 dan 𝑏 agar fungsi
𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1 , 𝑥 < 1
𝑎𝑥 + 𝑏 , 1 ≤ 𝑥 < 23𝑥 , 𝑥 ≥ 2
kontinu di ℝ.
Fungsi 𝑓(𝑥) dikatakan kontinu pada suatu titik 𝑥 = 𝑎, jika :
(i) 𝑓(𝑎) ada
(ii) lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ada
(iii) lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
7
3.
Dik : 𝑓(𝑥) =
{
𝑎 − 𝑥2; 𝑥 ≤ −12𝑥 − 𝑏; −1 < 𝑥 ≤ 15𝑐 − 3𝑥; 1 < 𝑥 ≤ 2
⟦|41
2|⟧ , 𝑥 > 2
a. Tentukan nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 agar 𝑓(𝑥) kontinu dimana mana b. Gambarkan grafiknya
8
4. Diberikan fungsi
𝑓(𝑥) = {−𝑥2 + 2𝑥, 𝑥 < −1
𝑥2 , − 1 ≤ 𝑥 < 12𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 1
a. Periksa apakah 𝑓 kontinu di 𝑥 = −1 dan di 𝑥 = 1 b. Gambarkan grafiknya c. Tentukan 𝐷𝑓 dan 𝑅𝑓
9
4 1. Konsep turunan, aturan rantai, dan turunan
implisit
1. Diberikan fungsi
𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 1, 𝑥 ≤ −1
𝑥2 + 𝑥, − 1 < 𝑥 ≤ 01 + sin 𝑥, 𝑥 > 0
Periksa apakah 𝑓(𝑥) diferensiabel (mempunyai turunan) di 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 0 ?
Definisi Turunan :
𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
Fungsi 𝑓 dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di 𝑐 atau 𝑓′(𝑐) ada,
jika 𝑓′−(𝑐) = 𝑓′
+(𝑐) dan 𝑓′(𝑐) = 𝑓′
−(𝑐) = 𝑓′
+(𝑐)
Jika 𝑓 diferensiabel di 𝑐, maka 𝑓 kontinu di 𝑐.
Turunan
10
2. Tentukan 𝑦′(𝜋
3, √2) dari fungsi 𝑦2 cos 𝑥 = 1.
3. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
a. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2 (2−2𝑥
1−3𝑥) + tan√2𝑥
b. cos(2𝑥𝑦) + 3𝑥2𝑦2 − 𝑥𝑦 = 0
4. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥| − 2𝑥, periksa apakah 𝑓(𝑥) mempunyai turunan di 𝑥 = 0?
11
2. Garis Singgung dan Garis Normal
1. Tentukan Persamaan garis singgung dan persamaan garis normal dari 𝑥𝑦 + 2𝑦 cos(𝑥) = 5, di titik (0,1)
2. Jika diberikan persamaan kurva 3𝑦 + cos(𝑥2𝑦3) + 4𝑥3 = 5, tentukan: a. 𝑦′ dari persamaan kurva tersebut b. Persamaan garis singgung kurva di titik (1,0)
Persamaan Garis Singgung :
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Persamaan Garis Normal :
𝑦 − 𝑦1 = −1
𝑚(𝑥 − 𝑥1)
12
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. |5−2𝑥
𝑥| ≥ 7 b. 2(𝑥 − 1)2 − |𝑥 − 1| ≤ 1
2. Diketahui 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1 a. Periksa apakah (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ada ? b. Jika ada, tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), 𝐷𝑓∘𝑔 , dan 𝑅𝑓∘𝑔!
L A T I H A N U T S
13
3. Jika 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 7, 0 < 𝑥 ≤ 𝑘6
𝑥, 𝑥 > 𝑘
Tentukan nilai 𝑘 sehingga 𝑓(𝑥) mempunyai limit!
4. Jika 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 1; 𝑥 ≤ 2
𝑥2 − 2𝑥 + 5; 𝑥 > 2
a. Periksa apakah 𝑓 kontinu di x=2? b. Apakah fungsi 𝑓 diferensiabel di x=2?
5. Jika diberikan persamaan kurva 𝑦 + cos(𝑥𝑦2) + 3𝑥2 = 4 a. Tentukan 𝑦′ dari persamaan kurva tersebut. b. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik (1,0)