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Tema 6. El riesgo de variación de los tipos de interés

Matemática Financiera IIParte 2ª: Riesgo de interés

Curso 2006-2007

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Índice

1. Valoración de una operación financiera: riesgo de mercado y riesgo de reinversión.

2. Duración de una operación financiera. Duración de una cartera.

3. Limitaciones de la Duración como medida del riesgo de mercado: el concepto de convexidad.

4. Inmunización simple.5. Inmunización múltiple.

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1) Valoración de una operación financiera: riesgo de precio y riesgo de reinversión. Supóngase un agente que desea realizar hoy una

operación de inversión de forma que le permita tener disponible cierta cantidad de dinero P dentro de cierto tiempo n ¿qué activos financieros deberá adquirir dicho inversor?

Supondremos además que la ETTI es plana, es decir, que los tipos de interés al contado son todos iguales: R1=R2=…=Rn=R

Y, además, que las variaciones de los tipos de interés son paralelas, es decir que tras una variación los tipos de interés pasarían a tomar un valor: R1*=R2*=…=Rn*=R*

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1) Valoración de una operación financiera: riesgo de precio y riesgo de reinversión. En un escenario de total estabilidad de los tipos de interés, el

valor de la inversión necesaria para hacer frente al pago de cuantía P vendrá dado por la expresión:

nR

PV

)1(0

Por otra parte, el valor V de la cartera en un instante t será, con independencia de su composición:

tRVtV )1()( 0 PRVVnt nn )1(0

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1) Valoración de una operación financiera: riesgo de precio y riesgo de reinversión. Pero ¿qué ocurriría, en esta misma situación, si se eliminara la hipótesis de total estabilidad de los tipos de

interés? Para analizar esta posibilidad se supondrá que inmediatamente después de realizada la inversión, los tipos de

interés pasan de un valor inicial R a otro R*, manteniéndose a este nivel durante el resto del período [0; n]. Si esta variación consistiese en una subida de los tipos de interés (R*>R), se produciría inmediatamente una caída

en el valor financiero de la cartera, que pasaría a tomar un valor V*. Ahora bien, al haber aumentado los tipos de interés los flujos de caja que produzca la cartera podrán ser invertidos a tipos más altos, lo que produciría posteriormente un incremento del valor de la cartera.

La subida de los tipos de interés produce pues un doble efecto: Una disminución inicial del valor de la cartera; Un mayor crecimiento del valor de la cartera por efecto de la reinversiones.

Cabe, pues, preguntarse cuál de los dos efectos es superior. O, en otras palabras, si el inversor va a verse beneficiado o perjudicado por la subida de tipos (de igual forma podría plantearse la situación contraria ante una bajada).

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1) Valoración de una operación financiera: riesgo de precio y riesgo de reinversión. Por tanto, las preguntas a las que se intentará dar respuesta son de dos tipos:

1) ¿De qué depende la magnitud del incremento o disminución inicial en el valor de la cartera?

2) Dada una variación de los tipos de interés, ¿será el valor final de la cartera superior o inferior al previsto? ¿De qué depende dicho valor final? O más aún ¿podría construirse una cartera que tuviese asegurado su valor final fuese cuál fuese la variación experimentada por los tipos de interés?

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1) Valoración de una operación financiera: riesgo de precio y riesgo de reinversión. Estas dos preguntas dan la clave para plantear dos tipos

de riesgos derivados de la variación de los tipos de interés y cuya apreciación dependerá fundamentalmente de los objetivos del inversor. Riesgo de precio: riesgo derivado de la variación del valor

financiero de un activo financiero de renta fija causado por las variaciones de los tipos de interés; este riesgo puede identificarse con la elasticidad del precio del activo fija respecto a los tipos de interés.

Problema 34 Riesgo de reinversión: riesgo derivado de la posibilidad de no

obtener, para un determinado período de tiempo, mediante la inversión en activos de renta fija, la rentabilidad que en el momento de la contratación ofrece la ETTI para dicho período.

Problema 35

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2) Duración de una operación financiera.

La duración de un título de renta fija que genera la siguiente corriente de pagos:

),)...(,)(,( 2211 nn tCtCtC

Viene dada por la siguiente expresión:

n

jj

n

jjj

n

j

tj

j

w

oseverificánd

wtPR

C

tDj

1

11

1

:

)1(siendo:tj = vencimiento del pago j-ésimo.Cj= Cuantía de pago j-ésimoR = TIR del títulowj= ponderación correspondiente al pago j-ésimo.P = precio del títuloD = duración del título

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2) Duración de una operación financiera.

Una primera interpretación de la duración es la de media ponderada de los vencimientos de los flujos de caja que genera el título, siendo el factor de ponderación la proporción que supone el valor actual de cada flujo sobre el precio del título.

Por tratarse de una media ponderada, el valor de la duración vendrá expresado en la misma unidad de tiempo que la utilizada para medir los vencimientos.

Tiene gran importancia conocer las relaciones que existen entre la duración y las tres variables de las que depende: El periodo de amortización del título (n). El tanto del cupón (C). El tanto interno de rentabilidad del título (R).

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2) Duración de una operación financiera. La duración y el período de amortización:

1. La duración de un bono es igual a su período de amortización si y sólo si se trata de un bono que derecho a un único pago.

2. La duración de un bono con pago periódico de cupones y período hasta la amortización finito y superior a la unidad, es menor que su período de amortización.

3. La duración de un bono consolidado o perpetuo (n = ), que paga un cupón periódico de importe C, es igual a (1+1/R) siendo independiente de su tanto de cupón y viniendo expresada en la unidad de tiempo igual al período de pago de cupones, siendo R el TIR correspondiente a dicho período.

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2) Duración de una operación financiera. La duración y el tanto de interés del cupón:

La duración de un bono está inversamente relacionada con su tanto de cupón (excepto en el caso de los bonos consolidados).

Este resultado tiene también una interpretación intuitiva. Al interpretarse la duración como una media ponderada de los vencimientos, cuanto mayor sea el cupón mayor será la ponderación relativa que corresponde a los primeros vencimientos, por lo que lógicamente el valor de la media descenderá.

La duración y el tanto interno de rentabilidad: La duración de un bono con pago periódico de cupones está

inversamente relacionada con su tanto interno de rentabilidad. Problema 36

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2) Duración de una operación financiera. Evolución de la duración:

Títulos cupón cero o al descuento. Para este tipo de títulos, el transcurso del tiempo produce una disminución continua y suave en el valor de su duración, ya que ésta es, en todo momento, igual al período hasta la amortización. Es importante también tener en cuenta que dicha evolución temporal es independiente de las posibles variaciones de los tipos de interés.

Títulos con pago periódico de cupones. La evolución temporal de la duración presenta un perfil mucho más irregular, observándose discontinuidades o saltos que se producen coincidiendo con los instantes de tiempo en los que tiene lugar el pago de cupones.

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2) Duración de una operación financiera. Para entender este comportamiento de la duración conviene recordar que se trata de

una media ponderada de los vencimientos de la corriente de pagos que el título genera.

Así, en un instante anterior al pago de un cupón, el primer capital de la corriente de pagos tiene un vencimiento igual a cero.

Luego su duración será: D0- = 0.w0+ 1. w1+ 2. w2 + ... + n.wn

Inmediatamente después de producirse el pago del cupón, el primer capital de la corriente de pagos generada por el título tiene vencimiento dentro de un período, por lo que la duración pasará a ser:

D0+ = 1. w*1+ 2. w*2 + ... + n. w*n

Y como w*i > wi para todo i : D+ > D-

Es decir, el pago del cupón incrementa el valor de la duración.

C C C … C+F

0 1 2 … n

D-

D+

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2) Duración de una operación financiera. La evolución de la duración durante el período del cupón, será similar a la de un bono del

tipo cupón cero. El transcurso del período de tiempo que media entre el vencimiento de dos cupones sucesivos se traduce en una disminución de la duración igual a dicho período.

Por el contrario, si consideramos un período de tiempo en el que existe vencimiento de un cupón, la duración disminuirá en una cuantía inferior al periodo transcurrido.

Evolución de la duración

0

1

2

3

0123

Plazo a vencimiento

Du

raci

ón Bono cupón

cero

Bono concupones

Problema 37

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2.1. El riesgo de precio y la duración Uno de los principios fundamentales en la valoración de

activos de renta fija es el que determina que el precio de los bonos varía en sentido contrario a los tipos de interés.

Ahora bien, aunque esta propiedad es común a todos los activos de renta fija, la variación porcentual en el precio de un título como consecuencia de una determinada variación de los tipos de interés no es la misma para todos ellos.

Comportamiento del valor de diferentes bonos ante una variación inmediata de los tipos de interés Titulo 1 Título 2 Título 3 Título 4 Título 5 Título 6

cupón 5% 5 años cupón 5% 10 años cupón 10% 5 años cupón 10% 10 años cupón 0% 5 años cupón 0% 8 años

R Valor variación % Valor variación % Valor variación % Valor variación % Valor variación % Valor variación %

5,00% 100,00 100,00 121,65 138,61 100 100

3,00% 109,16 9,16 117,06 17,06 132,06 8,56 159,71 15,22 110,09 10,09 116,63 16,63

4,50% 102,19 2,19 103,96 3,96 124,14 2,05 143,52 3,54 102,42 2,42 103,89 3,89

6,00% 95,79 -4,21 92,64 -7,36 116,85 -3,94 129,44 -6,61 95,37 -4,63 92,70 -7,30

7,00% 91,80 -8,20 85,95 -14,05 112,30 -7,68 121,07 -12,65 91,00 -9,00 85,99 -14,01

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2.1. El riesgo de precio y la duración Esta cuestión fue analizada en los años treinta y cuarenta por

diversos autores (Macaulay, Hicks, Samuelson, ..), pero la relación formal entre las variaciones de los tipos de interés y el precio de los activos fue establecida en 1973 por Hopewell y Kaufman, que procedieron a calcular la semielasticidad del valor de un activo de renta fija frente a los tipos de interés, llegando al siguiente resultado:

Con: D = duraciónR = TIRV = valor título

n

j

tj

j

n

jt

jj

VR

C

tRV

R

Ct

VdR

dV jj

1

1)1(

)1()1(

1)1(1D

R)1(

1

Duración

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2.1. El riesgo de precio y la duración De la expresión anterior se deduce que la sensibilidad del precio

de un activo de renta fija ante las variaciones de los tipos de interés depende se su duración.

Hopewel y Kaufman (1973) enuncian el siguiente teorema: Para un cambio porcentual dado en el rendimiento de mercado, el cambio porcentual en los precios de los bonos varía proporcionalmente con la duración, y es mayor cuanto mayor sea la duración del bono.

Este teorema, junto a las propiedades de la duración vistas anteriormente, permiten establecer que los factores que determinan la mayor o menor sensibilidad del precio de un activo financiero frente a las variaciones de los tipos de interés son tres: El período de amortización (n); El tanto interno de rentabilidad del título (R); El tanto de cupón del título (C).

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2.1. El riesgo de precio y la duración Asimismo, también pueden deducirse los siguientes

resultados: El riesgo de mercado de un bono cupón cero es siempre

mayor que el de un título con pago periódico de cupones con igual período hasta la amortización.

Si se trata de un bono consolidado (n = ), el riesgo de mercado depende tan sólo del tanto interno de rentabilidad del título.

Cuanto mayor es el tanto del cupón, menor es el riesgo de mercado del título.

Cuanto mayor es el TIR de un título, menor es su riesgo de mercado.

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2.1. El riesgo de precio y la duración Si volvemos a la tabla anterior y calculamos la duración de los

distintos títulos podemos comprender mejor las aparentes paradojas:

Comportamiento del valor de diferentes bonos ante una variación inmediata de los tipos de interés Titulo 1 Título 2 Título 3 Título 4 Título 5 Título 6

cupón 5% 5 años cupón 5% 10 años cupón 10% 5 años cupón 10% 10 años cupón 0% 5 años cupón 0% 8 años

R Valor variación % Valor variación % Valor variación % Valor variación % Valor variación % Valor variación %

5,00% 100,00 100,00 121,65 138,61 100 100

3,00% 109,16 9,16 117,06 17,06 132,06 8,56 159,71 15,22 110,09 10,09 116,63 16,63

4,50% 102,19 2,19 103,96 3,96 124,14 2,05 143,52 3,54 102,42 2,42 103,89 3,89

6,00% 95,79 -4,21 92,64 -7,36 116,85 -3,94 129,44 -6,61 95,37 -4,63 92,70 -7,30

7,00% 91,80 -8,20 85,95 -14,05 112,30 -7,68 121,07 -12,65 91,00 -9,00 85,99 -14,01

D años 4,546 8,108 4,253 7,270 5 8

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2.1. El riesgo de precio y la duración La expresión anterior puede utilizarse también para calcular de forma

aproximada cual va a ser la variación en el valor de un título causada por una variación del tipo de interés.

Así, para variaciones suficientemente pequeñas de los tipos de interés , se verifica:

Otro concepto derivado de la misma expresión y que suele utilizarse como una variable alternativa a la duración para valorar el riesgo de precio, es el denominado “valor del punto básico” (BPV).

El BPV se define como el cambio en el precio de un activo financiero de renta fija, expresado en unidades monetarias, derivado de una variación del 0,01% (un punto básico) en su TIR.

RR

DVV

)1(Duración modificada DM

iDVV M

Problema 38

21

2.1. El riesgo de precio y la duración De los resultados expuestos pueden extraerse las siguientes

conclusiones: Los títulos que generan flujos de caja ciertos tienen una duración

positiva, existiendo una relación inversa entre las variaciones relativas del valor de los mismos (V / V) y las variaciones de los tipos de interés ((i).

La magnitud de la variación relativa del valor de un título de renta fija frente a una determinada variación de los tipos de interés es proporcional a su duración.

Por tanto, el riesgo de precio de un título de renta fija, esto es, su sensibilidad frente a las variaciones de los tipos de interés, depende de su duración y, por tanto, es mayor cuanto mayor sea ésta.

22

2.2 Duración de una cartera

Sea una cartera compuesta por m títulos de renta fija cada uno delos cuales genera la siguiente corriente de pagos:

mitCtCtC in

in

iiii ,...,2,1),();...;,();,( 2211

siendo t1 y tn los vencimientos del primer y último pago generado por la cartera.

Se supone, además, que la ETTI es plana de tal forma que: R1 = R2 =....= Rn = R.

A partir de estas premisas, la Duración de la cartera viene dada por la expresión:

n

j

m

i

tij

jn

j

m

i

tij

m

i

tijn

jjC V

RCt

RC

RCtD

j

j

j

1

1

1 1

1

1

)1/(.

)1/(

)1/(

donde V es el valor de la cartera.

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2.2 Duración de una cartera Multiplicando y dividiendo cada uno de los sumandos de la

expresión anterior por Pi, es decir, el valor actual de los títulos tipo i que componen la cartera, se puede reescribir dicha expresión como:

V

PD

V

PD

V

PD

P

RCtP

P

RCtP

P

RCtP

VD

mm

n

J m

tmj

jm

n

J

tj

j

n

J

tj

jC

jjj

.....

)1/(........

)1/(..

)1/(..

1

22

11

11 2

2

21 1

1

1

Bajo la hipótesis de una ETTI plana con variaciones paralelas, la Duración de una cartera de títulos de renta fija es una media ponderada de la Duración de cada uno de ellos, donde el factor de ponderación coincide con la proporción que el valor de cada título representa sobre el valor total de la cartera. Problema 39

donde Di es la Duración del título i-ésimo.

w1 w2 wm

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3. Limitaciones de la duración como medida del riesgo de mercado: el concepto de convexidad El uso de la duración, de un título, o de

una cartera de títulos, de renta fija como medida indicativa del riesgo de mercado, presenta varias limitaciones. Entre ellas pueden destacarse:

1. La duración tan sólo es una medida correcta del riesgo de precio para cambios suficientemente pequeños de los tipos de interés.

La primera de estas limitaciones tiene su origen en el hecho de que el valor actual de un activo financiero de renta fija es una función estrictamente convexa respecto de su TIR.

Tipo de valoraciónV

alo

r fi

nan

cier

o

Valor financiero

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3. Limitaciones de la duración como medida del riesgo de mercado: el concepto de convexidad Al aproximar la variación

sufrida por el valor financiero de un título mediante la duración se comete un error que será tanto mayor cuanto mayor sea la variación del tipo ya que la duración es una aproximación de primer orden, es decir lineal, al verdadero comportamiento del valor del título.

i

V

i+

V+

i-

V-

V+d

V-d

Precios estimados a través de la duración

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3. Limitaciones de la duración como medida del riesgo de mercado: el concepto de convexidad Para obtener una expresión que permita medir la convexidad se

considerará el precio de un título de renta fija como una función del tipo de interés R y aplicando la formula de Taylor, se obtendrá:

y dividiendo ambos miembros por V:

se observa que el primer término del segundo miembro de la ecuación es precisamente la duración modificada multiplicada por R, es decir, la variación porcentual en el precio del título calculada a través de la duración.

stoRdR

VdR

dR

dVV Re)(

2

1. 2

2

2

stoRVdR

VdR

VdR

dV

V

VRe)(

1

2

1.1 2

2

2

DM

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3. Limitaciones de la duración como medida del riesgo de mercado: el concepto de convexidad Así pues, el error que se comete al utilizar esta viene

dado de forma aproximada por el segundo término, es decir:

Por tanto la expresión:

recibe la denominación de convexidad.

22

2

)(1

2

1.1

RVdR

VdR

VdR

dV

V

V

VRd

VdCv

1

2

12

2

Variación estimada utilizando la duración

Variación relativa del precio

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3. Limitaciones de la duración como medida del riesgo de mercado: el concepto de convexidad En el caso de un título de renta fija que genere la corriente de

pagos:

será:

La convexidad de un título puede ser utilizada para estimar con mayor precisión la variación en el precio debida a las variaciones de los tipos de interés:

),();....;,();,( 2211 nn tCtCtC

n

i

ti

n

i

tiii

i

i

RC

RCtt

VdR

VdConvexidad

1

1

2

2

2

)1/(

)1/()1(

2

11

2

1

2)( RConvexidadRDV

VM

Problema 40

29

3. Limitaciones de la duración como medida del riesgo de mercado: el concepto de convexidad2. La duración es una medida precisa del riesgo

de mercado solamente para el caso de títulos al descuento o cupón cero; en caso contrario, tan sólo serán una medida de dicho riesgo si la ETTI es plana y las variaciones de los tipos de interés son movimientos paralelos.

Si la variación que se produce es de diferente intensidad según los plazos, el efecto sobre el valor del título no tiene por qué coincidir con el estimado a través de la duración.

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3. Limitaciones de la duración como medida del riesgo de mercado: el concepto de convexidad La duración obtenida para el caso de una ETTI plana, coincidía

con la primera derivada del precio del bono respecto del tipo de interés que, al ser la ETTI plana coincidía con su TIR. Sin embargo, la ETTI no es plana no existe un único tipo de interés, sino todo un conjunto de tipos correspondientes a los distintos plazos.

Hasta ahora habíamos interpretado la duración como la sensibilidad del precio de un título o una cartera frente a la variación del tipo de interés. Ante un cambio o variación no paralela ¿de qué tipo estamos hablando?

La búsqueda de medidas alternativas del riesgo de precio que no estén basadas en la hipótesis de variaciones paralelas de la ETTI ha dado lugar a una abundante literatura conduciendo a definiciones alternativas de la duración bastante más complejas y que, sin embargo no mejoran sustancialmente a la duración tradicional como medida del riesgo de precio.

Problema 41

31

4. Inmunización simple

Como se ha comentado anteriormente, ante una variación permanente de los tipos de interés nos encontramos con dos efectos de sentido contrario.

En primer lugar el valor de los activos se modificaría en sentido contrario al movimiento experimentado por los tipos de interés, pero, a medio y largo plazo, el valor de la inversión se vería afectado, en el mismo sentido de la variación de tipos de interés, por el efecto derivado de la reinversión de los flujos de caja que genera el activo.

32


Evolución valor final de la cartera

130000

135000

140000

145000

150000

155000

0 0,5 1 1,5

Tiempo (años)

Va

lor

fin

al c

art

era

(u

.m)

Carteras A y B sinvariación tipos

Cartera A con bajadade tipos

Cartera B con bajadade tipos

33


Evolución valor final de la cartera

130000

135000

140000

145000

150000

0 0,5 1 1,5

Tiempo (años)

Va

lor

fin

al c

art

era Cartera A y B sin

variación tipos

Cartera A consubida de tipos

Cartera B con subidade tipos

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Cabe pues preguntarse cómo podrían cuantificarse estos efectos o, lo que es lo mismo, cuál de estos efectos prevalecerá. Más aún, cabría preguntarse si podemos gestionar este riesgo construyendo carteras en las que su valor final fuese independiente de las posibles variaciones sufridas por los tipos de interés.

Dados los efectos que una variación de los tipos de interés produce sobre los títulos de renta fija, el objetivo que se trataría de alcanzar es el de que, fuese cual fuese la variación sufrida por los tipos de interés, el efecto precio se viese compensado por el efecto derivado de la reinversión de los flujos de caja de forma que se asegurase que, al final del horizonte de planificación del inversor, el resultado obtenido fuese el mismo que se habría alcanzado de no haberse modificado los tipos de interés. En otras palabras, se trataría de construir carteras exentas de riesgo de reinversión.

35


Evolución del valor de una cartera protegida frente al riesgo de reinversión

138000

140000

142000

144000

146000

148000

150000

0 0,5 1 1,5

Tiempo (años)

Val

or

de

la c

arte

ra

Sin variación de tipos

Con subida de tipos

Con bajada de tipos

36


Como respuesta a la cuestión planteada surge el concepto de cartera inmunizada, definido en 1971 por Fisher y Weil, de la siguiente forma:

“Una cartera de valores compuesta por bonos está inmunizada para un determinado período de tiempo, si su valor al final del mismo es, necesaria e independientemente de la evolución de los tipos de interés, como mínimo el que dicha cartera hubiera tenido si la función de los tipos de interés permanece constante a lo largo de dicho período de tiempo”

Una respuesta trivial a dicha cuestión consistiría en construir una cartera compuesta exclusivamente de bonos cupón cero con vencimiento en el final del período de planificación del inversor. En ese caso, evidentemente, sea cual sea el comportamiento de los tipos de interés, el inversor tiene garantizado el valor final o, lo que es lo mismo, está inmunizado frente a las variaciones de los tipos de interés.

37


Sin embargo, y bajo determinadas hipótesis de comportamiento de la ETTI, el conjunto de carteras inmunizadas es mucho más amplio. Este es el principal resultado del Teorema de la Inmunización:

“Supongamos que la ETTI es plana de forma que Rt= R para todo t y que, en caso de que tenga lugar una variación de los tipos de interés, entonces la nueva ETTI, Rt*, es tal que Rt*= R* para todo t, siendo

R*= R+ con R donde puede tomar valores tanto negativos como

positivos. Entonces una cartera de bonos está inmunizada en un instante t0 , para un período de amplitud T-t0, si su duración es igual a la amplitud de dicho período de tiempo.” Es decir:

Dc =T-t0

38


Utilizando este teorema, pueden plantearse tanto estrategias de cobertura como estrategias especulativas, así:

Subida tipos Bajada Tipos

DC >HPI Pérdida Beneficio

DC =HPI = =

DC <HPI Beneficio Pérdida

Problema 42

39

4. Inmunización simple.

Ventajas La posibilidad de construir infinitas carteras inmunizadas si el inversor dispone

de, al menos, tres bonos uno con duración superior y dos con duración inferior a su horizonte de planificación (o viceversa). (problema 40)

Limitacionesa) Dado que el teorema de la inmunización está basado en una hipótesis

determinada sobre el comportamiento de la ETTI, en la medida en que ésta no se comporte de la forma prevista, la estrategia inmunizadora ya no garantiza la obtención de la rentabilidad prevista.

El riesgo de no lograr la rentabilidad que ofrecía el mercado en el momento de realizar la inversión para un período de tiempo dado, como consecuencia del comportamiento de la ETTI diferente del previsto, recibe la denominación de riesgo de inmunización. (Problema 43)

b) Al depender la duración de una cartera del nivel de tipos de interés, una cartera inmunizada deja de estarlo en cuanto tiene lugar una variación de los mismos (salvo que esté compuesta por bonos cupón cero). Además, aun en el caso de no existir ninguna variación de tipos, el mero transcurso del tiempo hace que una cartera inicialmente inmunizada deje de estarlo a consecuencia de que la evolución temporal de la duración es distinta a la evolución del horizonte de planificación de la inversión.

40

4. Inmunización múltiple

El problema de la inmunización, tal y como se ha venido planteando, consiste en proteger la rentabilidad de una cartera de renta fija, de tal forma que en inversor se asegure la rentabilidad ofrecida por el mercado para un período de tiempo dado, en el momento de realizar la inversión.

Sin embargo, el problema de la inmunización se puede generalizar dando lugar a lo que se conoce como inmunización múltiple consistente en proteger el valor de una entidad financiera frente a las variaciones de los tipos de interés.

Ahora no se trata de asegurar el poder hacer frente a un pago futuro al final del horizonte de planificación del inversor, sino de hacer frente a todo un conjunto de pagos : el pasivo de una entidad financiera.

41


Este problema fue planteado inicialmente por Samuelson en 1945, sin embargo, el término “inmunización” fue acuñado por el actuario británico Redington en 1957, al tratar de determinar como deberían invertirse los activos de una compañía de seguros para hacer que la actividad de la empresa fuese inmune a una variación de los tipos de interés.

Para ello Redington partió de una ETTi plana y consideró desplazamientos paralelos. En este contexto define el valor neto de la compañía con la siguiente expresión:

Donde: será el valor actual de los activos; el valor actual de los pasivos; i el tipo de interés en forma de tanto efectivo

)()()( iViViN LA

)(iVA)(iVL

42


Verificándose:

donde At ,son los flujos de caja netos esperados en el año t derivados de los activos de la entidad y Lt, los pagos (indemnizaciones menos primas) esperados también en el año t.

Redington parte del supuesto de que en el momento actual, el valor actual de los activos es igual al de los pasivos, de tal forma que, en caso de producirse una variación de los tipos de interés (de i a i+), el nuevo valor neto de la entidad puede obtenerse desarrollando por Taylor la expresión:

tt

tA i

AiV

)1()(

t

t

tL i

LiV

)1()(

22

2 )(

2

1)()()(

di

iNd

di

idNiNiN

43


De la expresión anterior se deducen las dos condiciones obtenidas por Redington para que el valor neto de la entidad no se vea perjudicado por posibles variaciones de los tipos de interés:

Obsérvese que la primera expresión puede reescribirse como:

que, en el caso de que partamos de la hipótesis de que el valor actual de los activos es igual al valor actual de los pasivos, es equivalente a suponer que la duración de los activos sea igual a la duración de los pasivos.

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44


Respecto a la segunda condición resulta fácil comprobar que es igual a :

equivalente a que la convexidad de los activos ha de ser mayor a la de los pasivos.

Tal como señala Redington esta segunda condición puede interpretarse como la necesidad de que los flujos de caja generados por los activos sean más dispersos que los flujos de caja a los que la entidad deberá hacer frente en el futuro.

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22 )1()1(

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45


La condición enunciada por Redington resulta muy atractiva, tanto por su sencillez como por su interpretación intuitiva. En efecto, dado que la duración puede ser interpretada

como el vencimiento medio de una operación, al exigir que la duración del activo coincida con la del pasivo se está imponiendo que ambos tengan el mismo vencimiento.

Por otro lado, si se interpreta la duración como medida de sensibilidad de las operaciones ante las variaciones de los tipos de interés, la condición anterior equivaldría a exigir que ambas masas patrimoniales fueran igual de sensibles.

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Lo que generalmente se olvida al plantear esta condición para valorar la posición de una entidad de crédito frente al riesgo de interés son las hipótesis utilizadas para llegar a este resultado:

1) Los tipos de interés del activo y del pasivo son iguales : rA= rL

2) Los tipos de interés activos y pasivos varían con la misma intensidad :

drA/ drL = 1

3) El valor presente del activo y del pasivo coinciden :

A(rA) = L(rL)

1 tema 6. el riesgo de variación de los tipos de interés matemática financiera ii parte 2ª:...

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