Introduccion a la probabilidadUniversidad de Puerto Rico

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Prof. Hector D. Torres Aponte

1. Teorıa de conjuntos

Definicion 1.1. La coleccion de todos los posibles resultados de un experimento se le conocecomo espacio muestral y este lo denotamos con la letra S. Un evento es un resultado o unconjunto de resultados de un fenomero aleatorio. Es decir, un evento es un subconjunto deun espacio muestral S. Un modelo probabilıstico es una descripcion matematica de algunfenomeno aleatorio el cual consiste en 2 partes: el espacio muestral y la forma de asignarleprobabilidades a los eventos.

Ejemplo 1.1. Suponga que lanzamos una moneda. Solamente tenemos dos posibles eventos:Cara (H) o Cruz (T) por tanto el espacio muestral esta definido por S = {H,T}.

1.1. Relacion con terıa de conjuntos

Sea S el espacio muestral para algun experimento. Entonces cada posible resultado sse dice que es parte del espacio muestral S, denotado por s ∈ S. Cuando decimos que unevento acurrio queremos decir que el resultado de nuestro experimento cumple con algunasrestriccionoes o caracteristicas ya determinadas.

Ejemplo 1.2. Suponga que lanzaron un dado de 6 numeros. El espacio muestral de nuestroexperimento es:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

. Suponga que el evento A es obtener numeros pares, A = {2, 4, 6} y B es el evento deconseguir numeros mayores a 2, B = {3, 4, 5, 6}.

Decimos que el evento A esta contenido en el evento B si todos los elementos del conjuntoA estan en el conjunto B (denotamos como A ⊂ B) en este caso A 6⊂ B. Ahora, supongaque C es el evento de obtener un numero mayor que 1, C = {2, 3, 4, 5, 6}. Entonces decimosque A ⊂ C.

Note que para cualquier evento A, A ⊂ S. Si dos eventos A y B estan relacionadas talqueA ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B.

Conjunto vacıo Algunos eventos son imposibles. Por ejemplo en el ejemplo de los dadosnunca vamos a ontener un numero negativo. Por tal razon el evento que obtenga unnumero negativo es definido por el subconjunto S que no contenga ningun resultado.Este conjunto se le conoce como el conjunto vacıo y es denotado por ∅. Note que paracada evento A es cierto que ∅ ⊂ A ⊂ S.

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1.2. Operaciones con conjuntos

Union: Si A y B son eventos, la union de A y B es definida por el evento que contiene a A ocontiene a B o contiene a ambos. Lo denotamos como A∪B. En el siguiente diagramade Venn el area roja es el area que representa A ∪B.

S

A B

La union de dos conjuntos tiene varias propiedades:

A ∪B = B ∪ A A ∪ A = AA ∪ ∅ = A A ∪ S = S

Ademas, si A ⊂ B entonces A ∪B = B

A

B

S

La union de n eventos A1, A2, ..., An es definida por el evento de que al menos uno deestos n eventos ocurra. La notacion para esta union es: A1∪A2∪· · ·∪An =

⋃ni=1 Ai. Para

una coleccion infinita de eventos lo denotamos como A1 ∪ A2 · · · =⋃∞

i=1Ai. La uniontambien cumple con la propiedad asociativa: A∪B ∪C = (A ∪B)∪C = A∪ (B ∪ C).

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Interseccion: Si A y B son dos eventos, la interseccion de A y B es definida por el eventoque contenga a todos los resultados en A y en B. La notacion para la interseccion esA∩B. El area roja en el siguiente diagrama de Venn denota el area para la interseccionde los conjuntos A y B.

S

A B

La interseccion de dos conjuntos tiene varias propiedades:

A ∩B = B ∩ A A ∩ A = AA ∩ ∅ = ∅ A ∩ S = A

Ademas, si A ⊂ B entonces A ∩B = A.

A

B

S

Al igual que la union, si tenemos n eventos, la interseccion se denota como A1 ∩ A2 ∩· · · ∩ An = ∩ni=1Ai. La interseccion tambıen tiene una propiedad asociativa:

A ∩B ∩ C = (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) .

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Complementos: El complemento del evento A es definifo por el evento que contiene todoslos elementos del espacio muestral que no estan contenidos en A, se denota como Ac.

A

SAc

El complemento de un conjunto A cumple las siguientes propiedades:

(Ac)c = A ∅c = SA ∪ Ac = S A ∩ Ac = ∅

Sc = ∅

Eventos disjuntos: Decimos que dos eventos A y B son disjuntos o mutuamente ex-cluyentes si A ∩ B = ∅. Para n eventos A1, A2, ..., An los eventos son disjuntos sipara cualquier i 6= j tenemos que Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j.

A

SB

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2. Probabilidad

En ciertos experimentos es necesario asignar a cada evento A en el espacio muestral S unnumero P (A) el cual denota la probabilidad que el evento A ocurra. Para esto, el numeroP (A) debe cumplir los siguientes axiomas:

Axioma 2.1. Para todo evento A, P (A) ≥ 0.

Axioma 2.2. P (S) = 1

Axioma 2.3. Si A1, A2 son eventos dijuntos entonces P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2). Sitenemos una coleccion infinita de eventos A1, A2, ... entonces P (∪∞i=1Ai) =

∑∞i=1 P (Ai).

Estos tres axiomas nos describe lo que se llama una distribucion de probabilidad. Acontinuacion trabajaremos sobre los teoremas fundamentales para la probabilidad.

Teorema 2.4. P (∅) = 0

Demostracion. Considere que existe una sucesion infinita de eventos A1, A2, ... talque Ai = ∅para i = 1, 2, ... (En otras palabras, todos los eventos son el conjunto vacıo). Esta es unasucesion de conjuntos disjuntos ya que ∅ ∩ ∅ = ∅. Ademas, ∪∞i=1Ai = ∅, por el Axioma2.3tenemos que

P (∅) = P

(∞⋃i=1

Ai

)=

∞∑i=1

P (Ai) =∑

P (∅) = 0.

Teorema 2.5. Para todo evento A, P (Ac) = 1− P (A).

Demostracion. Como A y Ac son eventos disjuntos (esto es, A ∩Ac = ∅) y A ∪Ac = S, porel Axioma 2.3 tenemos que P (S) = P (A) + P (Ac) pero por el Axioma 2.2 tenemos queP (S) = 1 entonces P (Ac) = 1− P (A).

Teorema 2.6. Para todo evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Demostracion. Por el Axioma 2.1, P (A) ≥ 0. Como A ⊂ S, para cualquier evento A tenemosque P (A) ≤ P (S) = 1 por lo tanto concluimos que 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Ejemplo 2.7. La ley de Benford nos indica que los numeros en la vida real, la primeracifra es 1 con mucha mas frecuencia que el resto de los demas obteniento ası los siguientesresultados. Para un dıgito d tenemos,

d 1 2 3 4 5 6 7 8 9P (d) 0.301 0.176 0.125 0.0997 0.079 0.067 0.058 0.051 0.046

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Si queremos calcular la probabilidad de que el primer dıgito sea cualquiera distinto a 1 en-tonces:

P (primer dıgito no 1) = 1− P (primer dıgito 1)

= 1− 0.301

= 0.699

Utilizando una notacion mas corta, sea A el evento de que 1 no es el primer dıgito, entonces,

P (A) = 1− P (Ac)

= 1− 0.301

= 0.699

Ahora, si queremos calcular la probabilidad de que el promer dıgito sea 1 o 2, entonces como‘‘dıgito 1’’ y ‘‘dıgito 2’’ son eventos disjuntos entonces

P (‘‘dıgito 1’’o‘‘dıgito 2’’) = P (‘‘dıgito 1’’) + P (‘‘dıgito 2’’)

= 0.301 + 0.176

= 0.477

Si A1 = primer dıgito 1 y A2 = ‘‘primer dıgito 2’’ entonces todo se resume a:

P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2)

= 0.301 + 0.176

= 0.477

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