10 - o modelo de solow
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O MODELO DE SOLOWProf.: Christian Vonbun
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Bibliografia
• Referências:• Obrigatória:
• Blanchard, Olivier (2011). Macroeconomia – 5ª Edição. Ed. Pearson. São Paulo: 600p. ISBN: 978-85-7605-707-9.
• Vasconcellos, M.A.S. e LOPES, L.M. Manual de Macroeconomia – Básico e Intermediário. 3ª Edição, São Paulo: Atlas, 2008. ISBN: 978-85-2245-057-2.
• Recomendada:• Jones, Charles (2000). Introduçao A Teoria Do Crescimento
Economico. Ed. Campus, 192p. ISBN: 8535205446
• Mankiw, N. Gregory. Princípios de Macroeconomia. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005.
• Dornbusch, R. Stanley Fischer (1991). Macroeconomia – 5ª Edição. Makron Books.
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O crescimento de longo prazo
• Vimos, até agora, um instrumental para lidar com as flutuações macroeconômicas de curto prazo.
• Nosso horizonte era de meses, trimestres, raramente passando de um a dois anos.
• Agora, vamos voltar nossas atenções ao que leva as sociedades a terem economias que crescem ao longo das décadas.
• Vamos analisar algumas causas do crescimento econômico, aquilo que explica porque há países ricos e países menos ricos.
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Evolução do PIB real Brasileiro
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
Produto interno bruto (PIB) a preços constantes de 1980 índice - IBGE
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O Modelo de Solow
• O modelo de Solow é um modelo de crescimento econômico de longo prazo. Logo, ele despreza as flutuações econômicas com as quais estávamos nos preocupando até agora, e foca no desenvolvimento.
• O Modelo de Solow atribui o crescimento econômico à acumulação de capital, ao crescimento da força de trabalho (crescimento da população) e ao desenvolvimento tecnológico.
• O Modelo de Solow é um dos mais importantes modelos de crescimento econômico, e é capaz de da boa intuição sobre o processo de crescimento de longo prazo.
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O Modelo
• Consideremos a função de produção neoclássica com retornos constantes de escala:
� = �(�, �)
• Onde:
• Y = produto
• K = estoque de capital
• N = quantidade de trabalho (homens-hora) disponível
• A função tem retornos constantes de escala quando:� = �(�, �)
• Para λ > 0.
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O Modelo
• Podemos reescrever a função anterior em termos “per capita” se:
=�
�; � =
�
�• Então:
= �(�)
• Onde:
� � = �(�
�, 1)
• Lembrando que a função de produção neoclássica é crescente em K e L, mas apresenta retornos marginais decrescentes, teremos f(k) côncava.
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A Função de Produção Neoclássica
y
k
y=f(k)
y1y0
ko k1
y2
k2
O formato côncavo da função de produção
neoclássica reflete o fato
de que ao se elevar a
quantidade de capital per capita eleva-se a
produção, contudo, isto
ocorre a taxas decrescentes. Isto é o
incremento diminui à
medida em que k se
eleva.
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O Modelo de Solow
• Sejam:
• c = consumo por trabalhador (c = C/N)
• i’ = investimento por trabalhador (i’ = sy, pois S = I)
• s = propensão marginal a poupar
• Teremos que: = � + �′
� = − �� → � = − � → � = 1 − � → � = − �
• Da primeira equação: − � = �′
�� = �
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O Modelo de Solow
• Se:�� = �
• e
= �(�)
• Então:�′ = � ∙ �(�)
• Supondo que δ é a taxa constante de depreciação de capital per capita, teremos que a depreciação total (DT) por período é:
�� = ��
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Produto e investimento
k
y=f(k)
i’=sf(k)
A poupança (que é igual
ao investimento) é uma
fração s do produto.
Mesmo sendo menor, ao variarmos k, o
investimento apresenta
uma curva côncava, tal
qual o produto.
i’, δk
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O Modelo de Solow
• Portanto, a variação do capital per capita é:
∆� = �� − ��
∆� = ��(�) − ��
• No (muito) longo prazo, o modelo vai convergir ao equilíbrio e vamos atingir o chamado “Estado Estacionário”, onde a acumulação de capital per capita será zero.
• Logo, teremos que ∆k = 0.
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O Modelo de Solow: Estado Estacionário
• Se ∆k = 0, podemos substituir na equação:
∆� = 0 = ��(�) − ��
�� � = ��
• Este é o equilíbrio no modelo de Solow, quando o investimento for igual à depreciação, não há crescimento do produto por trabalhador (à uma dada tecnologia) nem do capital por trabalhador.
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O Modelo de Solow: Estado Estacionário
k
i’=sf(k)i’*=δk
k*
δk
Representação do
equilíbrio de longo prazo
no Modelo de Solow. O crescimento do produto
per capita e do capital per
capita é zero quando o
investimento for igual à depreciação, isto é,
teremos investimento de
reposição.
i’, δk
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Escolhendo o Estado Estacionário
• Ainda que a economia convirja ao Estado Estacionário (E.E.), há mais de um E.E. possível.
• Isto se dá porque há um E.E. para cada taxa de poupança. Quão maior a taxa de poupança, maior o E.E. e mais rica a sociedade quando se chegar no E.E.
• Logo, variando a taxa de poupança podemos chegar a diferentes níveis de riqueza de equilíbrio.
• Considere o gráfico na página seguinte. Temos duas taxas de poupança: s1 < s2.
• Note que a economia vai produzir, investir e deter mais capital per capita quando a taxa de poupança for maior.
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Escolhendo o Estado Estacionário
i’=s1f(k)i’*=δk*(s1)
δk
i’=s2f(k)i’*=δk*(s2)
k*(s1) k*(s2)k
A uma maior taxa de
poupança s2 > s1 a
economia é mais rica
em termos per capita, no Estado
Estacionário. Isto
porque uma maior taxa
de poupança eleva os investimentos e
permite que se chegue
a um maior estoque de capital.
i’, δk
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A Regra de Ouro
• A Regra de ouro da acumulação de capital é uma regra de escolha da poupança agregada, de modo que a economia atinja o maior nível de consumo em E.E. possível. Obtém-se maximizando o consumo de E.E.:
• Note que o consumo per capita é: � = − �
• Note também que, em E.E.:�� � = ��
• Substituindo:�∗ � = ∗ − ��∗
�∗ � = �[�∗(�) ] − ��∗(�)
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A Regra de Ouro
• Para obtermos a taxa de poupança da Regra de Ouro, devemos maximizar k, variando s.
• Para isso, devemos derivar a expressão abaixo com relação a s e igualar a zero:
�∗ � = �[�∗(�) ] − ��∗(�)
!�∗ �
!�=
!�[�∗(�) ]
!� −
! ��∗(�)
!�
!�[�∗(�) ]
!�= δ
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A Regra de Ouro
• Graficamente, teremos:
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k
i’=sf(k)
i’*=δk
k* (Gold)
δk
i’, δky=f(k)
y*=f(k*)
c*
f’(k)=δ
O consumo será máximo
quando a inclinação da função de produção for
igual à taxa de
depreciação. O Capital
per capita (e a taxa de poupança necessária para
se chegar a esse capital
per capita) constituem na
regra de ouro.
Crescimento Populacional
• Havendo crescimento da população, a variação do estoque de capital per capita também depende da taxa de crescimento populacional:
∆� = �′ − �� − #�
∆� = �� � − �� − #�
∆� = �� � − �(� + #)
• Note que o aumento do crescimento populacional desloca o E.E. para a esquerda (pois eleva a inclinação da reta):
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Crescimento Populacional
i’, δk
i’=sf(k)i’=δk*(n1)
k* (n1)
(n1+δ)k(n2+δ)k
O aumento da taxa de crescimento populacional de n1
para n2 (onde n1< n2) aumenta
a inclinação da reta (n1+δ), logo, reduz o estoque de
capital per capita (e o produto
per capita) no Estado
Estacionário. i’=δk*(n2)
k* (n2)
k
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Aumento da taxa de depreciação
i’, δk
i’=sf(k)i’=δk*(δ1)
k* (n1)
(n+δ1)k(n+δ2)k
O efeito anterior é o mesmo efeito que o de um aumento da
depreciação.
O aumento da taxa de depreciação de δ1 para δ2
(onde δ1< δ2) aumenta a
inclinação da reta (n+δ1), logo,
reduz o estoque de capital per capita (e o produto per capita)
no Estado Estacionário.
i’=δk*(δ2)
k* (n2)
k
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Contabilidade do Crescimento
• Consideremos a função de produção:
� = �(�, �, �)
• Onde:
• Y = produto
• K = estoque de capital
• N = mão de obra
• T = Tecnologia
• F apresenta retornos constantes de escala
• Consideremos que alterações na tecnologia impactam igualmente o produto marginal de K e N, então:
� = � ∙ �(�, �)
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Contabilidade do Crescimento
� = � ∙ �(�, �)
• F é a função de produção neoclássica.
• Tomando o diferencial total da equação anterior, teremos:
$� =!�
!�$� + � ∙
!�
!�$� + �
!�
!�$�
$� = �(�, �) ∙ $� + � ∙!�
!�$� + �
!�
!�$�
• Definindo:
•%&
%'= �'
•%&
%(= �(
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Contabilidade do Crescimento
• Lembrando que, no modelo néoclássico o salário é igual à produtividade marginal do trabalho:
) = * ∙ *+,�
• Como P = 1 (por hipótese) e PmgN = FN, teremos que:
-( =� ∙ �( ∙ �
�
• Onde SN é a participação da remuneração do trabalho na renda total.
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Contabilidade do Crescimento
• Similarmente:
-' =� ∙ �' ∙ �
�
• Onde SK é a participação da remuneração do capital na renda total.
• Como só há capital e trabalho, SN + SK = 1.
• Obtemos a expressão abaixo:
$� = � �, � ∙ $� + -' ∙�$�
�+ -( ∙
�$�
�
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Contabilidade do Crescimento
• Dividindo a última expressão por Y, obtemos:
$�
�= $� + -(
$�
�+ -'
$�
�
• Obtemos que a variação do produto depende de:
• Incremento na tecnologia: dT
• Taxa de crescimento da mão de obra: dN/N
• Taxa de acumulação de capital (investimento): dK/K
• Conhecidas as taxas de crescimento do capital de da população, o incremento do produto residual é explicado por dT, conhecido como o Resíduo de Solow.
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