“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Современные модели экономического ростаЛекция 3. Модель Солоу: “Золотое правило”, динамика,

сходимость

В. Хачатуров

Экономический факультетСанкт-Петербургский Государственный Университет

30 апреля 2009 года

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Outline

1 “Золотое правило” накопления Фелпса

2 Абсолютная и условная сходимость

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Мы уже выяснили, что для заданных уровней A, n и δсуществует единственное стационарное состояние вмодели, где k∗ > 0 постоянно для каждого sОбозначим это соотношение через k∗(s), при этомdk∗(s)/ds > 0В стационарном состоянии:

c∗ = (1− s)f (k∗(s))

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Мы уже выяснили, что для заданных уровней A, n и δсуществует единственное стационарное состояние вмодели, где k∗ > 0 постоянно для каждого sОбозначим это соотношение через k∗(s), при этомdk∗(s)/ds > 0В стационарном состоянии:

c∗ = (1− s)f (k∗(s))

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Мы уже выяснили, что для заданных уровней A, n и δсуществует единственное стационарное состояние вмодели, где k∗ > 0 постоянно для каждого sОбозначим это соотношение через k∗(s), при этомdk∗(s)/ds > 0В стационарном состоянии:

c∗ = (1− s)f (k∗(s))

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Вспоминаем выражение для sf (k∗):

sf (k∗) = (n + δ)k∗

Отсюда легко получается:

c∗(s) = f (k∗(s)) − (n + δ)k∗(s) (1)

Зададимся вопросом: а какой уровень потребления нам быхотелось иметь?Наверное, максимально возможный.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Вспоминаем выражение для sf (k∗):

sf (k∗) = (n + δ)k∗

Отсюда легко получается:

c∗(s) = f (k∗(s)) − (n + δ)k∗(s) (1)

Зададимся вопросом: а какой уровень потребления нам быхотелось иметь?Наверное, максимально возможный.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Вспоминаем выражение для sf (k∗):

sf (k∗) = (n + δ)k∗

Отсюда легко получается:

c∗(s) = f (k∗(s)) − (n + δ)k∗(s) (1)

Зададимся вопросом: а какой уровень потребления нам быхотелось иметь?Наверное, максимально возможный.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Вспоминаем выражение для sf (k∗):

sf (k∗) = (n + δ)k∗

Отсюда легко получается:

c∗(s) = f (k∗(s)) − (n + δ)k∗(s) (1)

Зададимся вопросом: а какой уровень потребления нам быхотелось иметь?Наверное, максимально возможный.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

С учётом выпуклости нашей функции, максимум будетдостигнут в точке, где производная равна нулю:

[f ′(k∗) − (n + δ)]dk∗/ds = 0

Поскольку dk∗/ds > 0, получаем для kgold :

f ′(kgold ) = n + δ

Соответствующую kgold норму сбережения обозначимчерез sgold , а потребление cgold = f (kgold ) − (n + δ)kgold

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

С учётом выпуклости нашей функции, максимум будетдостигнут в точке, где производная равна нулю:

[f ′(k∗) − (n + δ)]dk∗/ds = 0

Поскольку dk∗/ds > 0, получаем для kgold :

f ′(kgold ) = n + δ

Соответствующую kgold норму сбережения обозначимчерез sgold , а потребление cgold = f (kgold ) − (n + δ)kgold

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

С учётом выпуклости нашей функции, максимум будетдостигнут в точке, где производная равна нулю:

[f ′(k∗) − (n + δ)]dk∗/ds = 0

Поскольку dk∗/ds > 0, получаем для kgold :

f ′(kgold ) = n + δ

Соответствующую kgold норму сбережения обозначимчерез sgold , а потребление cgold = f (kgold ) − (n + δ)kgold

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

“Золотое правило” накопления капитала, Phelps (1966)

f ′(kgold ) = n + δ

Если мы обеспечиваем будущим поколениям такой же уровеньпотребления, как и нынешнему, тогда максимальный уровеньпотребления равен cgold .

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Переходная динамика

Рассмотрим случаи, когда исходная норма сбережения большелибо меньше sgold .

1 s2 > sgold : Область динамической неэффективности.Перенакопление, любое уменьшение нормы сбереженияведёт к увеличению потребления на душу населения как вкоротком периоде, так и в steady state.

2 s1 < sgold : Увеличение нормы сбережения приведёт к роступотребления в steady state, однако приведёт к уменьшениютекущего потребления в процессе перехода. Наша модельне позволяет нам оценить, насколько это желательно – вней нет межвременных предпочтений потребителей.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Переходная динамика

Рассмотрим случаи, когда исходная норма сбережения большелибо меньше sgold .

1 s2 > sgold : Область динамической неэффективности.Перенакопление, любое уменьшение нормы сбереженияведёт к увеличению потребления на душу населения как вкоротком периоде, так и в steady state.

2 s1 < sgold : Увеличение нормы сбережения приведёт к роступотребления в steady state, однако приведёт к уменьшениютекущего потребления в процессе перехода. Наша модельне позволяет нам оценить, насколько это желательно – вней нет межвременных предпочтений потребителей.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Переходная динамика

Как мы уже выяснили, в долгосрочном периоде подушевыезначения в нашей модели не растут, а абсолютные – растутс темпом n, вне зависимости от значений технологическогопрогресса или нормы сбережений.Тем не менее, нас интересует, каким образом экономикабудет сходиться к своему долгосрочному состоянию и ксоответствующим значениям других стран (если будет)Разделим обе части фундаментального уравнениядинамики на k :

gk = ·k/k = sf (k)/k − (n + δ)

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Переходная динамика

Как мы уже выяснили, в долгосрочном периоде подушевыезначения в нашей модели не растут, а абсолютные – растутс темпом n, вне зависимости от значений технологическогопрогресса или нормы сбережений.Тем не менее, нас интересует, каким образом экономикабудет сходиться к своему долгосрочному состоянию и ксоответствующим значениям других стран (если будет)Разделим обе части фундаментального уравнениядинамики на k :

gk = ·k/k = sf (k)/k − (n + δ)

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Переходная динамика

Как мы уже выяснили, в долгосрочном периоде подушевыезначения в нашей модели не растут, а абсолютные – растутс темпом n, вне зависимости от значений технологическогопрогресса или нормы сбережений.Тем не менее, нас интересует, каким образом экономикабудет сходиться к своему долгосрочному состоянию и ксоответствующим значениям других стран (если будет)Разделим обе части фундаментального уравнениядинамики на k :

gk = ·k/k = sf (k)/k − (n + δ)

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Итак, темп роста k задаётся разностью двух членов: sf (k)/k(кривой сбережений) и (n + δ (кривой выбытия). Криваясбережений убывающая и ассимптотически приближающася к0 (почему?). Кривая выбытия представляет собой прямую.Вертикальное расстояние между ними – темп роста k , апересечение определяет стационарное состояние.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Итак, темп роста k задаётся разностью двух членов: sf (k)/k(кривой сбережений) и (n + δ (кривой выбытия). Криваясбережений убывающая и ассимптотически приближающася к0 (почему?). Кривая выбытия представляет собой прямую.Вертикальное расстояние между ними – темп роста k , апересечение определяет стационарное состояние.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Итак, темп роста k задаётся разностью двух членов: sf (k)/k(кривой сбережений) и (n + δ (кривой выбытия). Криваясбережений убывающая и ассимптотически приближающася к0 (почему?). Кривая выбытия представляет собой прямую.Вертикальное расстояние между ними – темп роста k , апересечение определяет стационарное состояние.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Итак, темп роста k задаётся разностью двух членов: sf (k)/k(кривой сбережений) и (n + δ (кривой выбытия). Криваясбережений убывающая и ассимптотически приближающася к0 (почему?). Кривая выбытия представляет собой прямую.Вертикальное расстояние между ними – темп роста k , апересечение определяет стационарное состояние.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Слева от стационарного состояния sf (k)/k > (n + δ), и темпроста положителен, следовательно, k увеличивается до техпор, пока не сравняется с k∗. Темп роста ·k/k при этомуменьшается, и в k∗ в точности равен 0. Экономикаассимптотически сходится к стационарному состоянию.Аналогичное рассуждение показывает, что в случаеsf (k)/k < (n + δ), тогда темпы роста отрицательные, и k современем убывает.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Слева от стационарного состояния sf (k)/k > (n + δ), и темпроста положителен, следовательно, k увеличивается до техпор, пока не сравняется с k∗. Темп роста ·k/k при этомуменьшается, и в k∗ в точности равен 0. Экономикаассимптотически сходится к стационарному состоянию.Аналогичное рассуждение показывает, что в случаеsf (k)/k < (n + δ), тогда темпы роста отрицательные, и k современем убывает.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Посмотрим на динамику выпуска:

·y/y = f ′(k) · k/f (k) = [kf ′(k)/f (k)](·k/k)

Выражение в правых скобках представляет собой долю рентына капитал в общем выпуске. Как вы выяснили дома (ДА??),для случая ПФ Кобба-Дугласа, эта доля постоянна и равна α.Следовательно, динамика выпуска в этом случае повторяетдинамику k . В модели Солоу потребление представляет собойпостоянную долю выпуска, c = (1− s)y , а значит, динамикапотребления повторяет динамику выпуска.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Посмотрим на динамику выпуска:

·y/y = f ′(k) · k/f (k) = [kf ′(k)/f (k)](·k/k)

Выражение в правых скобках представляет собой долю рентына капитал в общем выпуске. Как вы выяснили дома (ДА??),для случая ПФ Кобба-Дугласа, эта доля постоянна и равна α.Следовательно, динамика выпуска в этом случае повторяетдинамику k . В модели Солоу потребление представляет собойпостоянную долю выпуска, c = (1− s)y , а значит, динамикапотребления повторяет динамику выпуска.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Посмотрим на динамику выпуска:

·y/y = f ′(k) · k/f (k) = [kf ′(k)/f (k)](·k/k)

Выражение в правых скобках представляет собой долю рентына капитал в общем выпуске. Как вы выяснили дома (ДА??),для случая ПФ Кобба-Дугласа, эта доля постоянна и равна α.Следовательно, динамика выпуска в этом случае повторяетдинамику k . В модели Солоу потребление представляет собойпостоянную долю выпуска, c = (1− s)y , а значит, динамикапотребления повторяет динамику выпуска.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Посмотрим на динамику выпуска:

·y/y = f ′(k) · k/f (k) = [kf ′(k)/f (k)](·k/k)

Выражение в правых скобках представляет собой долю рентына капитал в общем выпуске. Как вы выяснили дома (ДА??),для случая ПФ Кобба-Дугласа, эта доля постоянна и равна α.Следовательно, динамика выпуска в этом случае повторяетдинамику k . В модели Солоу потребление представляет собойпостоянную долю выпуска, c = (1− s)y , а значит, динамикапотребления повторяет динамику выпуска.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Домашнее задание

Для функции Кобба-Дугласа получите:1 k∗

2 y∗

3 ·k/k4 (для маньяков) k(t)

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Фундаментальное уравнение модели Солоу предполагаетотрицательную производную gk по k :

d(·k/k)/dk = s[f ′(k) − f (k)/k]/k < 0

То есть, при прочих равных условиях, меньшим значениям kсоответствуют большие темпы роста. Означает ли это, чтостраны с меньшим K/L растут быстрее? Или, иными словами,существует ли абсолютная сходимость?

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Фундаментальное уравнение модели Солоу предполагаетотрицательную производную gk по k :

d(·k/k)/dk = s[f ′(k) − f (k)/k]/k < 0

То есть, при прочих равных условиях, меньшим значениям kсоответствуют большие темпы роста. Означает ли это, чтостраны с меньшим K/L растут быстрее? Или, иными словами,существует ли абсолютная сходимость?

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Рассмотрим некоторую группу экономик, которые одинаковыпо значениям s, n и δ, а также по своим производственнымфункциям. Единственное различие состоит в k(0) (оно можетбыть связано с некоторыми шоками, такими как войны). Нашамодель говорит о том, что экономика с меньшим начальнымзначением k(0) будет расти (в терминах gk быстрее, чемэкономика с большим значением (см. krich и kpoor накартинке).В свою очередь, для ПФ Кобба-Дугласа это будетозначать и рост gy быстрее для “слабой” экономики.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Рассмотрим некоторую группу экономик, которые одинаковыпо значениям s, n и δ, а также по своим производственнымфункциям. Единственное различие состоит в k(0) (оно можетбыть связано с некоторыми шоками, такими как войны). Нашамодель говорит о том, что экономика с меньшим начальнымзначением k(0) будет расти (в терминах gk быстрее, чемэкономика с большим значением (см. krich и kpoor накартинке).В свою очередь, для ПФ Кобба-Дугласа это будетозначать и рост gy быстрее для “слабой” экономики.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Рассмотрим некоторую группу экономик, которые одинаковыпо значениям s, n и δ, а также по своим производственнымфункциям. Единственное различие состоит в k(0) (оно можетбыть связано с некоторыми шоками, такими как войны). Нашамодель говорит о том, что экономика с меньшим начальнымзначением k(0) будет расти (в терминах gk быстрее, чемэкономика с большим значением (см. krich и kpoor накартинке).В свою очередь, для ПФ Кобба-Дугласа это будетозначать и рост gy быстрее для “слабой” экономики.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Эта гипотеза (absolute convergence (Barro)) имеет довольнослабую эмпирическую поддержку.

Регрессия, 114 стран, 1960-2000 гг. Видна слабаяположительная зависимость между ВВП на душу в 1960года и темпами роста. Таким образом, на этой выборкегипотеза не подтверждается.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Эта гипотеза (absolute convergence (Barro)) имеет довольнослабую эмпирическую поддержку.

Регрессия, 114 стран, 1960-2000 гг. Видна слабаяположительная зависимость между ВВП на душу в 1960года и темпами роста. Таким образом, на этой выборкегипотеза не подтверждается.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Однако, если рассмотреть более похожие экономики (OECD,1961-2000):

Здесь гипотеза явно подтверждается.В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Однако, если рассмотреть более похожие экономики (OECD,1961-2000):

Здесь гипотеза явно подтверждается.В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Условная сходимость

Давайте предположим некоторую гетерогенность в экономиках:экономические системы имеют разные параметры и,соответственно, разные стационарные состояния.Тогда можноговорить об условной сходимости: экономики растут тембыстрее, чем дальше они от собственных стационарныхсостояний.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Условная сходимость

Давайте предположим некоторую гетерогенность в экономиках:экономические системы имеют разные параметры и,соответственно, разные стационарные состояния.Тогда можноговорить об условной сходимости: экономики растут тембыстрее, чем дальше они от собственных стационарныхсостояний.

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

В. Хачатуров Модели роста

“Золотое правило” накопления ФелпсаАбсолютная и условная сходимость

Видно, что неравенство в s может служить причиной того,что темпы роста богатой экономики будут больше, чем темпыроста бедной.

В. Хачатуров Модели роста