105 學年度指定科目考試數學乙試題分析 ·...
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105 學年度指定科目考試數學乙試題分析
臺南女中 數學科教師／黃信淳
壹、試題分析
一、各題出處、中心概念與難易度
題 號 分數 出題範圍 中心概念 難易度
單選鋫 6 第一冊單元二 多項式函數 因式分解 易
單選鋳 6 第二冊單元二 排列、組合 樹形圖、窮舉法 易
單選鋴 6 第三冊單元三 平面向量 向量長度、內積 易
多選鋽 8 第一冊單元二 多項式函數 除法原理 中偏易
多選鍃 8 第二冊單元二 排列、組合 邏輯、窮舉法 中
多選鎄 8 第一冊單元三 指數、對數函數 無理數指數
對數換回指數中偏難
多選鎭 8第三冊單元二 直線與圓
第三冊單元三 平面向量
點到直線的距離公式
直徑與圓周角的關係
向量的垂直與平行
中
多選䥅 8第二冊單元四 數據分析
選修上冊單元一 機率統計Ⅱ
中位數、算術平均數
簡單隨機抽樣難
選填 A 6 第二冊單元三 機率 機率基本概念 易
選填 B 6 第四冊單元三 矩陣 二階反方陣公式 中偏易
選填 C 6第二冊單元一 數列與級數
選修下冊單元一 極限與函數 等差中項、等差級數求和
極限基本概念中
非選一 12 選修上冊單元一 機率統計Ⅱ 隨機變數的期望值、機率基本概念 中偏易
非選二 12 第三冊單元二 直線與圓 線性規劃 易
【說明】
難 度 難 中偏難 中 中偏易 易
預估該題答對率 3 成以下 3 至 4.5 成 4.5 至 5.5 成 5.5 至 7 成 7 成以上
二、各冊、各章占分
下表為指定科目考試數學考科測驗範圍中，數學乙標示為 *** 的章節，僅數列與級數為 **。若涉及兩個章節以上的概念，則占分平均分配。
第一冊 第二冊 第三冊 第四冊 選修上冊 選修下冊
一、數與式
二、多項式函數
函數
三、指數、對數
一、數列與級數
**
二、排列、組合
三、機率
四、數據分析
二、直線與圓
三、平面向量
三、矩陣
一、機率統計Ⅱ
一、極限與函數
0 分 14 分 8 分 3 分 14 分 6 分 4 分 16 分 10 分 6 分 16 分 3 分
2
三、題型分配
第壹部分選擇題有單選 3 題（每題 6 分）、多選 5 題（每題 8 分）及選填 3 題（每題 6 分），總
題數為 11 題，共 76 分；第貳部分非選擇題，有兩大題，第一題分為兩小題，每小題 6 分。第二題占
12 分，兩大題共占 24 分。
四、難易度分析
難易度 易 中偏易 中 中偏難 難
題 號
單選鋫、鋳、鋴 選填 A非選二
多選鋽
選填 B非選一
多選鍃、鎭
選填 C多選鎄 多選䥅
題 數 5 題 4 題 3 題 1 題 1 題
占 分 36 分 26 分 22 分 8 分 8 分
鋫 筆者認為易、中偏易、中各占 36、26、22 分，整張考卷的難度偏向簡單。而且各大題內的題目，
大致上有按照由淺入深的順序排列。
鋳 非選擇題這兩題，多數考生應該都能算出答案，但是非選擇題注重過程與說明，答案正確並不保證
能拿到全部的分數，所以是否能夠有條理地說明清楚，拿到完整的 24 分，是勝負的重點。線性規
劃是常考題型，這題沒拿到 12 分會很吃虧。
鋴選填 C 為跨章節連鎖解題的題型，會在「貳、特殊試題分析」中說明。
◎以下鋽～麿點為這張考卷對認真學習、用功讀課本的考生很友善的主要原因。
鋽排列組合的考題內容為邏輯概念與窮舉法，沒有考困難的可重複選取的組合數。
鍃矩陣的考題內容為二階反方陣公式，沒有結合機率考困難的馬可夫鏈。
鎄沒有信賴區間與信心水準的題型，舉國歡騰。
鎭選修下冊的極限出在選填 C，考得很簡單。
䥅沒有圖表分析的題型，這是判定考生是否適合念商學院的重要指標。
䥑沒有題目敘述很長但是看懂就很簡單的題型，有利有弊，無法鑑別考生的冷靜程度。
麿沒有對新概念下定義的題型，有利有弊，無法鑑別考生的臨場學習力。
貳、特殊試題分析
【多選䥅】 個人月所得 少於 1 萬元 1 萬元至 2 萬元 2 萬元至 4 萬元 4 萬元至 8 萬元
所占比例 30% 10% 30% 30%
以下累積比例 30% 40% 70% 100%
選項䕷： 少於 2 萬元者占 40%，多於 4 萬元者占 30%，所以 50%（中位數）出現在 2萬元至 4 萬元這一組，䕷正確。
選項虲： 依簡單隨機抽樣的原則，1 萬元至 2 萬元這一組所占比例 10% 為最少，所以
機率最低，虲正確。
選項蚒： 以各組的個人月所得上限估計，1 × 0.3 + 2 × 0.1 + 4 × 0.3 + 8 × 0.3 = 4.1（萬）
。也就是說如果各組每個人的個人月所得都接近該組的上限，則該社區的個
人月所得平均會接近 41,000 元，所以有可能高過 40,000 元，蚒錯誤。
3
選項蚲：中位數與算術平均數之間沒有必然的關係。反例如下：
個人月所得 少於 1 萬元 1 萬元至 2 萬元 2 萬元至 4 萬元 4 萬元至 8 萬元
假設個人月所得 皆為 0 元 皆為 1 萬元 皆為 3 萬元 皆為 4 萬元
所占比例 30% 10% 30% 30%
0 × 0.3 + 1 × 0.1 + 3 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.2。中位數為 3 萬元，個人月所得平均
為 2.2 萬元，蚲錯誤。
選項蛯： 假設原本的個人月所得平均為 x 元
則新的個人月所得平均為 ,, ,x
1 0011 000 200 000+ 元
,, ,
,, ,x x x x
1 0011 000 200 000
1 0001 000 200 000 200<+ − + − = ，蛯正確。
【說明】�在學測與指考，多選題的每個選項都可以視為一道單獨的題目，比較不容易得到全部的
分數。而多選題的最後一題，很可能會是整張考卷最難的一題，建議考生行有餘力，再
靜下心來慢慢處理。選項蚒用每組上限估計該社區的個人月所得平均的上限。選項蚲思
考如何舉出容易計算的反例。選項蛯考慮新增住戶所產生的差異。
【選填 C】a a a a3
6242 4 6= + + = ，a a a
2555
3 7= + = ，所以此等差數列的公差為 - 7
an = - 7n + 90，n = 1 代入可得 a1 = 83，( )S n n n n2
83 7 9027
2173
n2
#= + − + = − + ，
( )lim lim limnS
n
n n
n27
2173
27
2173
27 0
27
nn
n n2 2
2
=− +
= − + = − + = −" " "3 3 3
。
【說明】�數列與級數在指定科目考試數學考科測驗範圍中，數學乙標示為 **，不是主要測驗範圍
，但解題時會用到相關的基本概念或技巧。利用高一學過的等差中項解出 a4 與 a5，可
知公差為 - 7。此時如果對級數和有深入了解，可知等差級數和 Sn 為 n 的二次多項式，
其中 n2 項的係數為公差的一半，即 27− ，為本題的答案。
【非選二】假設租 x 單位面積的平地與 y 單位面積的山坡地，
x $ 0 且 y $ 0由土地租金得限制條件 30x + 20y # 80 ⇒ 3x + 2y # 8由種植成本得限制條件 40x + 50y # 130 ⇒ 4x + 5y # 13目標函數為 120x + 90y，單位為萬元
右圖中，可行解區域的四個頂點坐標為 A ( 0 , 0 )， ( , )B38 0 ，
C ( 2 , 1 )， ( , )D 0513
頂點坐標 A ( 0 , 0 ) ( , 0)B38 C ( 2 , 1 ) (0 , )D
513
代入目標函數 120x + 90y 後的值 0 320 330 234
在 C ( 2 , 1 ) 可取得目標函數的最大值 330。所以公司一年應租平地 2 單位面積與山坡
地 1 單位面積，收成後可以獲得最大利潤。此時的最大利潤為 330 萬元。
A
C
B2
1
1
2
0
D
4x + 5y = 13
3x + 2y = 8
x
y
4
【說明】�從 91 年到今年的這 15 年中，91、93、95、97、98、101 ～ 105 年這 10 年的線性規劃
都出在數學乙的非選擇題，而且最近更是連續 5 年皆如此。今年這一題非常簡單，多數
考生都能算出答案，卻不一定能拿到完整的分數，其問題出在解題過程說明的完整度。
筆者建議線性規劃如果出在非選擇題，盡量以頂點法解題，雖然比較慢，但是比較容易
完整說明與得分。以數乙為主的考生，應該多加磨練線性規劃解題過程的書寫方式，務
求能拿到整題的分數。
參、其他分析與應考對策
今年的出題範圍大致符合指定科目考試數學考科的測驗範圍中，數學乙標示為 *** 的部分。數與
式沒有命題，這部分在高中數學屬於引入與基本公式介紹，還可以接受。其餘沒有命題的部分如下：
對數、可重複選取的組合數、二維數據分析、馬可夫鏈、信賴區間與信心水準、二項分布的標準差。
這些部分對考生的殺傷力都很大，一題都沒出，真的很佛心。今年的數學乙命題，把重點放在課本重
點章節的基本概念之熟悉與應用，要讓學生重視基本觀念，紮實打穩根基。筆者認為，去年學測、指
考數甲、數乙三次考試的分數都偏低，也對今年數學乙的出題方向有所影響。
肆、結論
考生應將重心放在數學乙標示為 *** 的部分。另外，已經連續 5 年非選擇題都有線性規劃了，往
後必須做好非選擇題都有線性規劃的心理準備，寧可備而不用。學測與指考數甲或許千變萬化，但是
數乙總是注重基本觀念，學好排列組合與機率、統計，寫好線性規劃就可以拿下一半的分數。社會組
的考生只要掌握以上重點章節，不要專研刁鑽古怪的問題，也不要想用題海戰術取勝，數乙的投資報
酬率是非常高的。
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8 105學年度指定科目考試
100 ～ 87 分 讚啦，你把整個場面都 hold 住了。
86 ～ 78 分 還差一點，你的人生就完整了。
77 ～ 60 分 注意！後面還有人等著超越你呢！
59 ～ 36 分 別再打混摸魚囉！
35 ～ 25 分 你要如何面對江東父老呀？
第壹部分：選擇題（占 76 分）
一、單選題（占 18 分）
說明：第題至第鋴題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇 （填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
下列哪一個選項是方程式 7x5 - 2x4 + 14x3 - 4x2 + 7x - 2 = 0 的根？
䕷 - 1 虲 17 蚒 71− 蚲 7
2 蛯 72−
鋳 考慮有理數 mn ，其中 m、n 為正整數且 1 # mn # 8。則這樣的數值（例如 2
1 與 42 同值，只算一
個）共有幾個？
䕷 14 個 虲 15 個 蚒 16 個 蚲 17 個 蛯 18 個
鋴 坐標平面上有兩向量 ( , )u 5 10= ， ( , )v 4 2= − 。請問下列哪一個向量的長度最大？
䕷 u3− 虲 v6 蚒 u v2 5− − 蚲 u v2 5− 蛯 u v7+
二、多選題（占 40 分）
說明：第鋽題至第䥅題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選
擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分
；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
鋽 設 f ( x ) 為一未知的實係數多項式，但知道 f ( x ) 除以 ( x - 5 ) ( x - 6 ) 2 的餘式為 5x2 + 6x + 7。根
據上述所給條件，請選出正確的選項。
䕷可求出 f ( 0 ) 之值
虲可求出 f ( 11 ) 之值
蚒可求出 f ( x ) 除以 ( x - 5 ) 2 的餘式
蚲可求出 f ( x ) 除以 ( x - 6 ) 2 的餘式
蛯可求出 f ( x ) 除以 ( x - 5 ) ( x - 6 ) 的餘式
36 8
鍃 甲先生、乙先生、丙先生、丁先生四位男士以及 A 小姐、B 小姐、C 小姐、D 小姐四位女士想
要混搭兩部計程車，每車載有四名乘客。已知：
𦯷甲先生與 A 小姐同車
乙先生與 B 小姐同車
𦒄 C 小姐與 D 小姐不同車
請選出正確的選項。
䕷 A 小姐與 D 小姐必不同車
虲甲先生與 B 小姐必不同車
蚒乙先生與丙先生必同車
蚲如果乙先生與丁先生同車，則丙先生與 B 小姐必同車
蛯如果 D 小姐與乙先生同車，則 C 小姐與 A 小姐必同車
鎄 設 10a 22
=−1
，b a 2= 。請選出正確的選項。
䕷 1 < a 虲 a 3<
蚒 a b<2 3 蚲 100.4 < b < 100.5 蛯 ( )ab 10<2
鎭 坐標平面上 O 為原點，P 點坐標為 ( 1 , 0 )，直線 L 的方程式為 x - 2y = - 4。請選出正確的選 項。
䕷在直線 L 上可以找到一點 A，滿足向量 OP 與 OA 平行
虲在直線 L 上可以找到一點 B，滿足向量 OP 與 OB 垂直
蚒在直線 L 上可以找到一點 C，滿足向量 OC 與 PC 垂直
蚲在直線 L 上可以找到一點 D，滿足 PD 2=
蛯在直線 L 上可以找到一點 E，滿足 TEOP 為等腰三角形
䥅 某社區有一千位居民，其個人月所得少於 10,000 元者占 30%，介於 10,000 元及 20,000 元間者
占 10%，介於 20,000 元及 40,000 元間者占 30%，介於 40,000 元及 80,000 元間者占 30%。請
選出正確的選項。
䕷該社區個人月所得的中位數介於 20,000 元及 40,000 元間
虲 使用簡單隨機抽樣自該社區中抽出一位居民，其個人月所得在上述的四個區間中，以介於
10,000 元及 20,000 元間的機率最低
蚒該社區的個人月所得平均，不可能高過 40,000 元
蚲該社區的個人月所得平均，不可能低過該社區的個人月所得中位數
蛯 若該社區新搬入一位居民，其月所得為 200,000 元，則該社區的個人月所得平均將增加，但
增加量不會多過 200 元
105 37
三、選填題（占 18 分）
說明：第 A. 至 C. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（鎸～妔）。
鋳每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 不透明袋中有三顆白球及三顆紅球。從袋中每次取出一球依序置於桌面，每次每顆球被取出的機率相
同。全部取出後，前三顆球中有相鄰兩球同為白球的機率為 鎸𡣖𠼝
。（請化為最簡分數）
B. 設 x , c 為實數，方陣 A x322
=−= G、B
x32
2=
−= G。已知 A 的反方陣恰好是 B 的 c 倍（其中 c ! 0），則
數對 ( x , c ) = ( 葲 , 𦳀𡐓𤋺
)。（請化為最簡分數）
C. 設 an 為一等差數列。已知 a2 + a4 + a6 = 186，a3 + a7 = 110。令 Sn = a1 + a2 +… + an。則極限
limnS
nn2 ="3
𢰦𤏁妔
。（請化為最簡分數）
第貳部分：非選擇題（占 24 分）
說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）與子題號（、 鋳），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆
書寫，且不得使用鉛筆。每一子題配分標於題末。
一、設隨機變數 X 表示投擲一不公正骰子出現的點數，P ( X = k ) 表示隨機變數 X 取值為 k 的機率。已知
X 的機率分布如下表：（x , y 為未知常數）
k 1 2 3 4 5 6
P ( X = k ) x y y x y y
又知 X 的期望值等於 3。試求 x , y 之值。（6 分）
鋳投擲此骰子兩次，試求點數和為 3 的機率。（6 分）
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二、某農業公司計畫向政府承租一筆平地和一筆山坡地，分別種植平地作物 A 和山坡地作物 B。已知平
地每一單位面積的年租金是 30 萬元，山坡地每一單位面積的年租金是 20 萬元；公司一年能夠提供
土地租金的上限是 80 萬元。平地作物 A 的種植成本每單位面積一年是 40 萬元，山坡地作物 B 的種
植成本每單位面積一年是 50 萬元；公司一年能夠提供種植成本的上限是 130 萬元。每年收成後，
作物 A 每單位面積的利潤是 120 萬元，作物 B 每單位面積的利潤是 90 萬元。請問公司一年應租平
地和山坡地各多少單位面積，收成後可以獲得最大利潤？又此時的最大利潤為何？（12 分）
（註：所租土地的面積並不限制一定要是整數單位。）
105 11
當 m = 5， mn 有以下 1 種可能： 5
1
當 m = 6， mn 有以下 1 種可能： 6
1
當 m = 7， mn 有以下 1 種可能： 7
1
當 m = 8， mn 有以下 1 種可能： 8
1
共有 17 個，故選蚲
u v 20 20 0=− + =$ ，所以 u 、v 互相垂直
u 5 10 1252 2 2= + = ， ( )v 4 2 20
2 2 2= − + =
9 9 125 1125u u32 2
#− = = =
6 36 36 20 720v v2 2
#= = =
2 5 4 25 4 125 25 20 1000u v u v2 2 2
# #− − = + = + =
蚲 4 25 4 125 25 20 1000u v u v2 52 2 2
# #− = + = + =
u v u v7 49 125 49 20 11052 2 2
#+ = + = + =
故選
二、多選題
令 ( ) ( ) ( ) ( )f x x x g x x x5 6 5 6 72 2= − − + + +
𨯔； ( ) ( )f g0 180 0 7=− + ，因為 g ( 0 ) 未知，所以 f ( 0 ) 未知
𨯔； ( ) 1 0 ( )f g11 5 11 678= + ，因為 g ( 11 ) 未知，所以 f ( 11 )未知
𨯔； 因為 ( ) ( ) ( )x x g x5 6 2− − 除以 ( x - 5 ) 2 的餘式未知，所
以 f ( x ) 除以 ( x - 5 ) 2 的餘式未知
蚲𨭆； ( ) ( 5)( 6) ( )f x x x g x x x5 6 72 2= − − + + +
( ) ( ) ( ) ( )x x g x x x5 6 5 6 66 1732 2= − − + − + −
所以 f ( x ) 除以 ( x - 6 ) 2 的餘式為 66x - 173𨭆； ( ) ( 5)( 6) ( )f x x x g x x x5 6 72 2= − − + + +
( 5)( 6) ( ) 5( )( 6) 6 1 3x x g x x x x5 1 42= − − + − − + −
所以 f ( x ) 除以 ( x - 5 ) ( x - 6 ) 的餘式為 61x - 143若 A 與 B 同車，則該車的乘客為甲、乙、A、B，另一車的乘
客為丙、丁、C、D，與條件（三）矛盾，所以 A 與 B 必不同
車。所以搭車的情況有以下四種。
情況一
AC甲丙
BD乙丁
情況二
AC甲丁
BD乙丙
情況三
AD甲丙
BC乙丁
情況四
AD甲丁
BC乙丙
𨯔；反例為情況三或四，A 與 D 可能同車
𨭆；四種情況中，甲與 B 皆不同車
𨯔；反例為情況一或三，乙與丙可能同車
蚲𨯔； 如果乙與丁同車，則為情況一或三，此兩種情況中丙
與 B 皆不同車
𨭆； 如果 D 與乙同車，則為情況一或二，此兩種情況中 A與 C 皆同車。
𨭆； 1.4142 ] ， 10 10 10 1a >22
]= =− .1 0 293 0
𨯔； .log log321 3 0 2386]= ⇒ 3 10 .0 2386
]
10 10 10a 3>22
] ]=− . .1 0 293 0 2386
𨭆； ( )b a a a>3 2 3 6 2= =
蚲𨭆； 10 10b a .2 2 1 0 414]= = − ，所以 b10 10< <. .0 4 0 5
水平長度總和 = 2256 + 600 = 2856cm = 28.56m∴可能之最小水平長度為 28.56 公尺
二、設 A、B、C 方案分別為 x、y、( 25 - x - y ) 人即 x + y # 25，x、y ! Z（x、y $ 0）
依題意
,
4500 5500 8000(25 ) 150000400 200 8000
250 0
x y x yx y
x yx y
#
#
#
$ $
+ + − −+
+*
⇒
,
3500 2500 500 0x yx yx yx y
02 40
250 0
$
#
#
$ $
+++* ⇒
,
7 5 100x yx yx yx y
2 4025
0 0
$
#
#
$ $
+++*
目標函數：3x + 4y + 6 ( 25 - x - y ) = - 3x - 2y + 150先畫出可行解區域如下圖：
y
x
x + y = 25
7x + 5y = 100
2x + y = 40( 0 , 40 )
( 0 , 25 )
( 15 , 10 )
( 25 , 0 )
( 20 , 0 )
( 0 , 20 )
( , 0)7100
∴頂點為 ( 0 , 20 )、( 0 , 25 )、( , )7100 0 、( 20 , 0 )、( 15 , 10 )
( x , y ) ( 0 , 20 ) ( 0 , 25 ) ( 20 , 0 ) ( 15 , 10 ) ( , 0)7100
- 3x - 2y + 150 110 100 90 85 x Zy不討論
∴當 x = 15，y = 10 時，最少等待總人天數 = 85
8 105 學年度指定科目考試
蚲 蚲 蚲 蚲
䥅 A. 7 2 0 B. 3 1 1 3C.𢰦 - 𤏁 7 妔 2
第壹部分：選擇題
一、單選題
7 2 14 4 7 2x x x x x5 4 3 2− + − + −
(7 2) 2 (7 2) (7 2)x x x x x4 2= − + − + −
(7 2)( 2 1)x x x4 2= − + + ( ) ( )x x7 2 1 02 2= − + =
72 為根，故選蚲
當 m = 1， mn 有以下 8 種可能：
11， 12， 13， 14， 15， 16， 17， 18
當 m = 2， mn 有以下 2 種可能： 2
1， 23
當 m = 3， mn 有以下 2 種可能： 3
1， 32
當 m = 4， mn 有以下 1 種可能： 4
1
12 8
⇒ x
x223
32
2−=
−= =G G ⇒ x = 3 ⇒ c131=
C. a a a a3
6242 4 6= + + = ，a a a
2555
3 7= + = ，所以此等差數列的公
差為 a5 - a4 = 55 - 62 = - 7 - 7 為 an 的一般項表示法中，n 的係數，再輔以 a4 = 62 可得 an = - 7n + 90，n = 1 代入可得 a1 = 83
( )S n n n n2
83 7 9027
2173
n2
#= + − + = − +
( ) 0lim lim limnS
n
n n
n27
2173
27
2173
27
27
nn
n n2 2
2
=− +
= − + = − + = −" " "3 3 3
第貳部分：非選擇題
一、機率總和為 1
所以 x + y + y + x + y + y = 1 ⇒ x y221+ =
X 的期望值為 3 所以 x + 2y + 3y + 4x + 5y + 6y = 3 ⇒ 5x + 16y = 3
x y
x y
221
5 16 3
+ =
+ =* ⇒ x
31= 且 y 12
1=
投擲骰子，兩次互為獨立事件
第一次點數是 1 且第二次點數是 2 的機率為 13 121
361
# =
第一次點數是 2 且第二次點數是 1 的機率為 121
31
361
# =
所求機率為 361 1
181+ =
二、 假設租 x 單位面積的平地與
y 單位面積的山坡地，
x $ 0 且 y $ 0考慮土地租金可得限制條件
30x + 20y # 80 ⇒ 3x + 2y # 8考慮種植成本可得限制條件
40x + 50y # 130 ⇒ 4x + 5y # 13目標函數為 120x + 90y，單位為萬元
右圖中，可行解區域的四個頂點坐標為 A ( 0 , 0 )， ( , )B38 0 ，
C ( 2 , 1 )， ( , )D 0513
頂點坐標 A ( 0 , 0 ) ( , 0)B38 C ( 2 , 1 ) (0 , )D
513
代入目標函數
120x + 90y 後的值0 320 330 234
在 C ( 2 , 1 ) 可取得目標函數的最大值 330。所以公司一年應
租平地 2 單位面積與山坡地 1 單位面積，收成後可以獲得
最大利潤。此時的最大利潤為 330 萬元
A
C
B2
1
1
2
0
D
4x + 5y = 13
3x + 2y = 8
x
y
𨯔； 10a 22
=−1
，b 10 2 1= −
( ) (10 10 ) ( )ab 10 10 1022
22 22 2 2 2
#= = = =− −− 2 11 1 −
作圖如右， ( , )OP 1 0=𨭆；取 A 點為 ( - 4 , 0 )𨭆；取 B 點為 ( 0 , 2 )𨯔； 若 OC 與 PC 垂直，則 C
點在以 OP 為直徑的圓上
，但是此圓與直線 L 沒有交點
蚲𨯔；根據點到直線的距離公式，P ( 1 , 0 ) 點到直線 L 的距離
為 ( )
11 20 4 5 2>
2 2+ −
− + = ，所以直線 L 上任意一點到 P
點的距離至少為 5
𨭆；E 點為 OP 的中垂線，與直線 L 的交點 ( , )2149
。
䥅個人月所得
少於
1 萬元
1 萬元至
2 萬元
2 萬元至
4 萬元
4 萬元至
8 萬元
所占比例 30% 10% 30% 30%以下累積比例 30% 40% 70% 100%
𨭆； 少於 2 萬元者占 40%，多於 4 萬元者占 30%，所以
50%（中位數）出現在 2 萬元至 4 萬元這一組
𨭆； 依簡單隨機抽樣的原則，1 萬元至 2 萬元這一組所占
比例 10% 為最少，所以機率最低
𨯔； 以各組的個人月所得上限估計，
1 × 0.3 + 2 × 0.1 + 4 × 0.3 + 8 × 0.3 = 4.1（萬元）。
也就是說如果各組每個人的個人月所得都接近該組的
上限，則該社區的個人月所得平均會接近 41,000 元
蚲𨯔；中位數與算術平均數之間沒有必然的關係。反例如下：
假設個人
月所得
皆為
0 元
皆為
1 萬元
皆為
3 萬元
皆為
4 萬元
所占比例 30% 10% 30% 30%
0 × 0.3 + 1 × 0.1 + 3 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.2。中位數為 3 萬
元，個人月所得平均為 2.2 萬元
𨭆；假設原本的個人月所得平均為 x 元
則新的個人月所得平均為 ,, ,x
1 0011 000 200 000+ 元
,, ,
,, ,x x x x
1 0011 000 200 000
1 0001 000 200 000 200<+ − + − =
三、選填題
A. 白 白 白 的機率為 !!
6 5 4 33 2 1 3
201
# # #
# # # =
紅 白 白 的機率為 !!
6 5 4 33 3 2 3
203
# # #
# # # =
白 白 紅 的機率為 !!
6 5 4 33 2 3 3
203
# # #
# # # =
∴所求機率為 201 3 3
207+ + =
B. ( )det A x3 4= + ，Ax
x3 41
223
1 =+
−− = G
因為 A cB1 =−，所以 x
x cx3 4
12
23
32
2+
−=
−= =G G
因為等式兩邊的矩陣中，左下角的數字皆為 2，所以 c x3 41=+
A
B E
OP x
y