REGUL BTS1 TD transformation de LAPLACE 11/12

EX 1 :

1. Donner les transformées de Laplace des fonctions du temps suivantes (supposées nulles pour t < 0) :

a. 52

………. b. 1,5 t ……… c. 5t

e1−−−−

−−−− ……….

d. Calculer la valeur en régime permanent (c'est à dire pour t→∞) de )t(εεεε , tel que )p501()p201(p

8)p(

++++++++====εεεε .

Justifier. 2. Déterminer les transformées de Laplace inverses (pour t > 0) des fonctions suivantes :

6p21++++

…………….. p62

1++++

…………….

EX 2 : Décomposer en éléments simples les fonctions X (p) suivantes, puis en déduire leurs transformées de Laplace inverses x (t) :

1. )p41(²p2

1)p(X 2 ++++

==== 2. )p81()p1(

4,1)p(X1 ++++++++

====

EX 3 :

La mesure de la pression dans une cuve est donnée par l'équation différentielle )t(w4,1)t(x2tdxd

50 ====++++

pour t > 0 ; x (t) et w (t) représentent, respectivement, les petites variations de la mesure X (t) de pression et du signal de consigne W (t), autour du point de fonctionnement ; le système est bouclé. 1. De quel ordre est ce système ? Ce système est-il stable? Justifier.

2. À l’instant t = 0, on applique un échelon d'amplitude 10 % sur la consigne W (t) . Que vaut w (t) pour t > 0 ? Résoudre alors l'équation différentielle. Tracer la courbe de x (t) ; donner les valeurs numériques particulières. 3. a. Déduire de l'équation différentielle, la fonction de transfert HB (p) du système ; justifier.

Donner les valeurs (avec les unités) du gain statique et de la constante de temps du procédé. b. Rappeler la relation entre W (p), HB (p) et X (p). Donner alors l’expression de X (p), lorsque W (t) est un échelon de 10 % à partir de t = 0 ? c. En déduire x (t) et vérifier que l’on retrouve le résultat obtenu en 2.

4. a. Déterminer la fonction de transfert complexe H (jω). Justifier. b. Déduire l'allure et les valeurs particulières du diagramme de Black de H (jω). Ne pas oublier de définir les axes.

EX 4 : Un système en Boucle Ouverte, de signaux de commande Y (t) et de mesure X (t) , est modélisé par

identification ; sa fonction de transfert est alors : p)p31(

2)p(H

++++==== .

1. Quel est l'ordre de ce système? Ce système est-il stable? Justifier. 2. On applique à ce système un échelon d’amplitude 5 % à t = 0. Pour t > 0 :

a. Déterminer sur un graphe, l'allure générale de x (t), d'après la question 1.(sans faire de calculs). Justifier. b. Donner l’expression de X (p). En utilisant le théorème de la valeur finale, retrouver la conclusion formulée à la question 1 concernant la stabilité du système en boucle ouverte. c. En déduire l'expression de x (t), puis sa valeur en régime permanent. d. Le point de fonctionnement initial du système est donné par les coordonnées (54 % ; 45 %). Déterminer l’expression de X (t) . En déduire XRP (t) et XRT (t).

Donner alors l'allure de X (t) : placer précisément le point à t = 0 et l'asymptote pour t →∞ ; esquisser alors X (t) .

ℒ----1111 ℒ----1111