1１. ノンパラメトリック検定

11.1 位置の違いの検定方法

母集団分布 F(x)と G(x)

(分布の形は等しく，位置に関して違いがあるとする)

X == (Xlぃ ・け Xn). . . F(x)からの標本

y == (y 1， • . • ， Ym) . . . G ( x )からの標本

検定したい仮説は

帰無仮説 HO:母集団分布の中央値は等しい

対立仮説 Hl:母集団分布の中央値は等しくない

11.1 位置の違いの検定方法

大きさ N =n+mの標本を大きさの順に並べる

り(1)< V(2) < ・・・ < V(n+m)

4番目に小さい標本 V(i)により viを決定する

1， り(i)ε{X1ぅX2，・・・ ，Xn}

。? り(i)ε {Y1，ν2γ ・.，Ym}

11.1.1 ウィルコクソン検定

このとき，ウィルコクソン統計量 W は

N

TW=芝川

で与えられる

G ワイルコクソン統計量とはXl，x2ぃ ・・ ，Xnの順位の和

のことである (Wilcoxon，1945)

11.1.1 ウィルコクソン検定

j(x)， g(x). ..分布関数 F(x)，G(x)の密度関数

このとき，j(x) == g(x +ム)で、あったとする

ム の値が大きい・・・

X の値の順位は比較的小さく位置づけられる

統計量 TWが小さな値をとるとき， 帰無仮説を棄却する

ノ

Xlγ.. ，xn

/ 『¥

¥

¥

¥

¥

¥

¥ 、・、

』司晶E唱』

Yl，... ，Ym

11.1.1 ウィルコクソン検定

また，f(x) == g(x-ム)のよ うな状況を考える

ム の値が大きい…

X の値の順位は比較的大きい側に位置づけられる

ー ノ ~ Yl，... ，Ym Xl， . •• ，xn

11.1.1 ウィルコクソン検定

統計量 Twが著しく大きな値や小さい値をとるとき

帰無仮説を棄却する

2つの母集団分布の中央値は等しいという帰無仮説が

真であるとする.このとき

E(巧)==予n(n -1)

V(巧)==万2 E(ViVj) ==

統計量 TWの平均と分散は

n(N + 1) T r/rn '¥ nm(N + 1) E(TW) == ， v '~' ，..' -/ V(TW) == 12

11.1.1 ウィルコクソン検定

ここで

巾 TW -E(TW) .L1一一一 I

ゾV(TW)

とおくと ，n， m が10より大きい場合に統計量 T1は

標準正規分布に近い分布をすることが知られている.

標本サイズが小さい場合には ワイルコクソン統計量の

正確な棄却点が計算されている.

11.1.1 ウィルコクソン検定

検定統計量 Tlの有意水準 5%の検定は

IT11三1.96

であるならば，帰無仮説を棄却する.

正規分布を仮定 t検定が一様最強力検定

t検定に対するウィルコクソン検定の漸近効率は

U竺==0.955

ロジスティック分布を仮定したもとで ウィルコクソン

検定は一様最強力検定となる.

11.1.1 ウィルコクソン検定

20匹のマウスをランダムに 2群に分け，一方は

対称群 X，他方の実験群 Y には，薬品を一定量

投与した後， リンパ球を数えた.

2群の母集団分布の型は，ほぼ同等であり ，

薬品によりリンパ球数は影響を受けるのか調べる

|帰無仮説HO:母集団分布の中央値は等しい |

を検定する

11.1.1 ウィルコクソン検定

実験結果

表 11. 1マウスのリンパ球数

X159 91 64 53 75 69 36 43 53 99 Yl67 93 72 55 109 86 50 80 95 103

11.1.1 ウィルコクソン検定

表 11.2順位づけられたデータ

りill 36 43 50 53 53 55 59 64 67 69

順位 1 2 3 4.5 4.5 6 7 8 9 10

vi 1 1 O 1 1 O 1 1 O l

υω 72 75 80 86 91 93 95 99 103 109

順位 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

vi O 1 O O 1 O O 1 O O

TW = 1 + 2 + 4.5 + . . . + 18 = 82

E(TW) = 105， V(TW) = 175 となる

11.1.1 ウィルコクソン検定

統計量 Tlに適用すると

182 -1051 一一 = 1.73

1 - V175

となり，標準正規分布 5%点の 1.96より小さい

有意水準 5%で帰無仮説を棄却することはできない

リンパ球数は，薬品により影響を受けると結論できない

位置については不明でも母集団分布の型が等しいとき

ウィルコクソン統計量を用いる検定法は有効だと考えら

れる

11.1.1 ウィルコクソン検定

また，ウイノレコクソン統計量は

Ti = ITw -E(TW)I

として用いられることが多くある. その理由のひとつとして，ウィルコクソン統計量は平均に対して対称とな

るからである.

(演習問題)

マン・ウィットニー検定

ウィノレコクソン検定と 同様に，2つの母集団分布の

形は等しいとわかっているときに，分布の位置に

差があるかどうかを調べるのに有効な検定法.

検定した仮説は ウィルコクソン検定と同じく

帰無仮説 HO 母集団分布の中央値は等しい

対立仮説 Hl 母集団分布の中央値は等しくない

である

マン・ウィットニー検定

母集団分布F(x)からの標本X== (Xlγ ・.，Xn)

母集団分布G(x)からの標本y== (Ylγ ・.，Ym)

2つを小さい順に並べ，Ye未満のX の個数を Ueとし，それらの和をとった統計量

/マン ・ウイットニーの U 統計量、

¥ U == Ul + U2 + . . . + Um

ノ

(Mann and Whitney， 1947)

マン・ウィットニー検定

ウィルコクソン検定 TWとマン・ウイットニー検定 U

には

7n(m + 1) Tw=U +2

のような関係が成り立つので、マン ・ウイットニー検定と

ウィルコクソン検定は本質的には同じものである

(演習問題)

マン・ウィットニー検定

表 11.3マウスのリンパ球数

X 53 61 63 81 Y 65 80 88 90 93

ν1未満の X は 3個あるので，Ul = 3となる.

同様にして，U2ニ 3，U3二 U4ニ Usニ 4 となる.

したがって，U = 3 + 3 + 4 + 4 + 4 = 18となる.

以上のことより，仮説は棄却されないことが分かる.

11.2 尺度の違いの検定方法

標本順位を用いる

ワイルコクソン検定と考え方が似ている

2つの母集団分布の位置は等しいとわかっているときに，

分布の散らばりに差があるかどうかを調べるのに有効

s ウィルコクソン検定とは，適用の場面が全く異なる

11.2 尺度の違いの検定方法

検定したい仮説は

帰無仮説 Ho:母集団分布の中央値は等しい対立仮説 Hl 母集団分布の中央値は等しくない

F(x)と G(り からの標本を，x = (Xl， • • • ， Xn)と y= (Ylγ. . ，Ym)とする.大きさ N=n+mの標本 X と Y を大きさの順に並べる

11.2.1 アンサリー・ブラッドレー検定

このとき，アンサリー.ブラッドレー検定は

立 N+1 TA ==ず(N+1)-Li|4-i |巧

である.

(Ansari and Bradley， 1960)

11.2.1 アンサリー・ブラッドレー検定

j(x)，g(x)を分布関数F(x)，G(x)の密度関数とする.

j(x) = g(σx)のような場合 :

順位づけをするとき，σの値が大きいと Xの順位は

中央に位置づけられ，結果として TAは小さい値になる.

--、‘、/ ¥

/ ¥

/ ¥ / ¥

〆〆 、、

Yl， Y2，・・・ ，Yj，Xl，X2，... ，Xn，Yj+l，・・・ ，Ym

11.2.1 アンサリー・ブラッドレー検定

f(x) == g(σx)のような状況において， 0 <σ 三1の

値のとき， X の値の順位は両側に位置づけられる.

つまり，統計量 TAは大きな値をとる.

シ(¥し

¥

¥

、、、J/

/

/ p〆「

Xl，X2，'" ，Xj，Yl，Y2γ ・・ ， Ym， Xj+b . . . ，xn

11.2.1 アンサリー・ブラッドレー検定

TAが著しく大きな値，もしくは，小さい値をとるとき，

帰無仮説を棄却する • (標本の大きさ nとm に関係する)

帰無仮説のもとで，統計量 TAの平均と分散はF

N=η十 m が偶数のとき，

n(N + 2) E(TA)二

N 二 η十 m が奇数のとき，

m(N2 - 4)

(TA)二

48(N -1)

η(N + 1)2 T rfrn ¥ nm(N + 1)(N2 + 3) E(TA)二 ， V(TA)二4N ' . \~ rJ.} 48N2

11.2.1 アンサリー・ブラッドレー検定

nとm が大きいときは

Z0 = TA -E(TA) -

2 - ♂雨

の分布は，帰無仮説のもとでは標準E規分布となる.

m， nが小さい時には，正確な棄却点が導出されている.

正規分布を仮定したもとで，アンサリー ・ブラッドレー検定のF 検定に対する漸近効率は 6/ぷ =0.608となる

11.2.1 アンサリー・ブラッドレー検定

2種類の睡眠薬 Pl，P2の効能の比較のため， 24匹のマウスをランダムに 2群に分けて実験を行なった.

それぞれの効能の強さは，ほぼ同じであることは

わかっている.

i睡眠薬 Plに対する反応は個体差が大きく関係し，:睡眠薬P2は個体差の影響は少ないことが予想されている :

11.2.1 アンサリー・ブラッドレー検定

睡眠薬を同じ濃度に希釈し， マウスが眠るまでの時間を

観測したところ，表 11.4のような結果を得た.

表 11.4マウスが眠るまでの時間

睡眠薬 Pl45 59 68 48 66 40 41 56 30 58 52 31

睡眠薬 P251 57 50 57 53 54 61 42 46 39 50 52

表 11.4について，アンサリ ー・ブラッドレー検定を

適用し，

rーーーーー

帰無仮説 HO 睡眠薬 Plと P2では個体差による

ぱらつきの聞に差はない

を検定する.

11.2.1 アンサリー・ブラッドレー検定

データを大きさの順に並べる.

表 11.5順位づけられたデータ

日寺間 υ(z) 30 31 39 40 41 42 45 46 48 50 50 51

順位 2 3 4 5 6 7 8 9 10.5 10.5 12

vi 1 1 。1 。1 。1 。。。時間 υ(i) 52 52 53 54 56 57 57 58 59 61 66 68

順位 13.5 13.5 15 16 17 18.5 18.5 20 21 22 23 24

vi 。。。 。。1 。 l

11.2.1 アンサリー・ブラッドレー検定

表 11.5から統計量 TA は

TA = 150 -{(11.5 + 10.5 + 8.5 + 7.5 + 5.5)

+(3.5 + 1 + 4.5 + 7.5 + 8.5 + 10.5 + 11.5)}

= 150 -90.5 = 59.5

アンサリー・ブラッドレ一統計量の平均と分散は，

E(TA)二 78， V(TA)二 74.61

11.2.1 アンサリー・ブラッドレー検定

よって

である.

2 = 159三二Z8l= 2山、/74.61

!?戸百三百石眠不着予庄三弘一石 1351lより大きくなるので 帰無仮説は有意水準 5%で !

|棄却される J

11.2.1 ムード検定

この検定法は，アンサリー .ブラッ ドレー検定と同様に，分布の散らばりに差があるかどうかを調べるのに有効な

検定法である.

母集団分布 F(x)とG(x)からの標本を 3 それぞれ

X = (Xlぃ .， Xη)とy= (Ylぃ .，Ym)とする.

大λノょの節をY

L」X

本標のm

'L

一了ペ訂

U3

N聞

大」の

キC

寸々

大き

11.2.1 ムード検定

ムー ド検定は

日二三(iγ)¥によって与えられる.(Mood， 1954)

帰無仮説のもとで，統計量 TM の平均と分散は?

n(N2 - 1) TTlrn ¥ nm(N + 1)(N2

- 4) E(TM)二川 ? V(TM)=

180

で与えられることが知られている.

11.2.1 ムード検定

η とm が大きいときには，

T? = TM - E(TM) 一-u ¥jV(TM)

の分布は，帰無仮説のもとでは標準正規分布となる.

サンプルサイズが小さいときは， Lau bscher et al. (1968) によって正確な棄却点が導出されている.

11.2.1 ムード検定

アンサリー.ブラッドレー検定で用いた例でムード検定

を行う .

表 11.4のデータについてムード検定を適用し，

r 帰無仮説 Ho :睡眠薬 Plとぬでは個体差によ る

ぱらつきの聞に差はない

を検定する.

この表のデータを大きさの順に並べたものが，先ほどの

表 2.2である.統計量 TMは

TM = 805.75， E(TM) = 575， V(TM) = 11440

11.2.1 ムード検定

よって，

805.75 -575 == 2.157

3 、/11440となることから，T3の値は標準正規分布における有意

水準 5%点より大きいので，帰無仮説は棄却される

11.3 位置と尺度の違いの検定方法

これまでは，

分布の形が等しいということがわかっていて，に違いがあるかどうカ

その位置

もしくは，

分布の位置が等しいということがわかっていて，らばりに違いがあるかどうか

を調べるために有効な方法を述べてきた.

その散

ところで，母集団分布についての前提の知識がない場ムには，どのような検定が適切だろうか?

11.3 位置と尺度の違いの検定方法

この章では，

帰無仮説 Ho:母集団分布は等しい

対立仮説 Hl:母集団分布は等しくない

のような仮説を検定するときに用いることができるいく

つかの検定法を紹介する.

。，1で表すと以下のようになる.

パl

IV¥

11.3.1 ラページ検定

それぞれの母集団分布 F(x)とG(x)からの標本を?x = (Xl， . • • ，Xπ)とy= (Ylγ . ，Ym)とする.

大きさ N=n+mの標本 X とY を前と同様に大きさの順に並べる.

標本 V(i)が標本 X から得られたならば yi= 1とし，標本 Yから得られたならば yiニ Oとする.

1 vt=

O

V(i) ε{ Xl，・・・ ぅXn}

り(i)ξ {Yl， • ・・ ， Ym}

11.3.1 ラページ検定

この検定法は，位置の違いを検定するウィルコクソン

検定と尺度の違いを検定するアンサリー -ブラッドレー

検定を用いた検定統計量で，ラページ (1971)によって

TT.二(1iw-E(Tw) U 園、/V(Tw)

が提案された.

2

十(7:A-E(TA)

¥JV両

2

この検定統計量の極限分布は?自由度 2のが分布に従うことが知られている (Lepage，1971).

11.3.1 ラページ検定

昆虫の生息地域によって成長に違いがあるか調査した.

北の方に生息する昆虫 7匹 (グループ。X)と南の方に

生息する昆虫 7匹 (グ、ループ Y)を抽出して，昆虫の

成長の違いを調査 した.知りたいことは，

帰無仮説HO 北方に生息する昆虫と南方に生息する

昆虫の成長の分布は等しい

である.

11.3.1 ラページ検定

表 11.6のようなデータを得た.

表 11.6 昆虫の大きさ

グループ X 191 173 188 163 184 200 174

グループ Y 211 185 201 195 189 199 180

2つの母集団からの標本を一緒にして，それらを大きさ

の順に並べると ，表 11.7が得られる.

11.3.1 ラページ検定

表 11.7順位づけられたデータ

V(i) 163 173 174 180 184 185 188

順位 1 2 3 4 5 6 7

vi 1 1 1 O 1 O 1

りω 189 191 195 199 200 201 211

順位 8 9 10 11 12 13 14

vi O 1 O O l O O

ラページ統計量 TLは

TL == 2.9755 + 0.0663 == 3.0418

となり ，5.991より小さいので帰無仮説を棄却しない.

11.3.2 コルモゴロフ・スミルノフ検定

それぞれの母集団分布 F(x)とG(めからの標本を?

X = (Xl，'" ，Xn)とy= (Yl， ' " ，Ym)とする.

大きさ N=n十 m の標本 X とYを前と同様に大きさの順に並べる.

標本 V(i)が標本 X から得られたならば只 =1とし，

標本 Yから得られたならば只 =0とする.

V(i)ε{ Xl， • .， ，Xη}

り(i)ε {Yl，... ，Ym}

11.3.2 コルモゴロフ・スミルノフ検定このとき， コルモゴロブ ・スミノレノフ検定 TK は

む=竺子部|kf五-SMと定義される.ただしdは標本数nとmの最大公約数である.(Kolmogorov， 1933; Smirnov， 1939)

伝統的な形としては，経験分布関数を用いた

TK = 石t -225|凡(X)-Gm(x)1

のような統計量が有名である.

凡(X)とGm(X)は標本 X とY からの経験分布関数

11.3.2 コルモゴロフ・スミルノフ検定

ラページ検定で用いた例でコノレモゴロフ ・スミルノフ

検定を行う .

表 11.6のデータについてコルモゴロフ ・スミノレノフ

検定を適用し，

帰無仮説HO 北方に生息する見虫と南方に生息する

昆虫の成長の分布は等しい

を検定する.

2つの母集団からの標本を一緒にして，大きさの順に

並べると ，表 11.9が得られる.

11.3.2 コルモゴロフ・スミルノフ検定

表 11.9順位づけられたデータ

りω 163 173 174 180 184 185 188

vi 1 1 1 O 1 O 1

EVi 1 2 3 3 4 4 5

り臼} 189 191 195 199 200 201 211

vi O 1 O O 1 O O

乞vi 5 6 6 6 7 7 7

表 11.9より

Tv = 12+1277 v X 一 (

日 12 2

である.よって，コルモゴロフ・スミルノフ検定の棄却

J'~'"の表より， 帰無仮説を有意水準 5% で棄却する

11.3.3 クラーメル・フォン

ミーゼス検定

標本り(i)が標本 X から得られたならば院二 1とし，

標本 Yから得られたならば vi= 0とする.これを，

1 V(i)ε{ Xl) . . . ) Xη} vi = <

o V(i)モ{Yl). . . ) Ym}

と表す.このとき，クラーメル・フォンミーゼス検定は

ゐ=ネ芝 kd石-p2

で与えられている.

11.3.3 クラーメル・フォン

ミーゼス検定

より伝統的な表記の仕方として，

f∞ (n凡(x)+ mGn(x)¥ T c = __' v，' . ~__ I (凡(x)_ Gm(x))2d ( I~ J. n\ .v_~ " 1_ ~: \J n\.v J )

十 m-'_∞ ¥ η十 m ノ

として与えられている.

11.3.3 クラーメル・フォン

ミーゼス検定

標本 X とYのそれぞれの順位を九と Hjで表すとき，

Anderson (1962)により ，クラーメノレ・フォンミーゼス

検定は

長三 (nJmぷ工(R;一平i)

十三い-弓竺j)で与えられている.

11.3.3 クラーメル・フォン

ミーゼス検定

標本数が小さい場合は， Anderson (1962)によって棄却点が与えられている.

標本数が大きい場合には， Anderson and Darling (1952) によって極限分布が与えられている.

表 11.6のデータを用いて クラーメル・フォンミーゼ、ス検定を行ってみる.

表 11.6のデータを大きさの順に並べたものが表 11.10となる.

11.3.3 クラーメル・フォン

ミーゼス検定表 11.10順位づけ られたデータ

データ 163 173 174 180 184 185

順位 1 2 3 4 5 6

データ 189 191 195 199 200 201

順位 8 9 10 11 12 13

表 11.1より， Andersonによって提案されたクラーメル

・フォンミーゼス検定は

188

7

211

14

有意水準 5%の値 0.46136より小さいので棄却でき

ない

11.3.4 バウムガートナー型検定

-コルモゴ、ロフ ・スミノレノフ検定やクラーメル・フォンミーゼス検定よりも検出力が高い

-位置の違いに対しては， ウィルコクソン検定と同程度の検出力が得られることが， Murakami (2006)によって示されている.

11.3.4 バウムガートナー型検定

クラーメル ・フォンミーゼス検定検定の場合と同様に

標本 X とYのそれぞれの順位を九と Hjで表すとき，

1 ~ (九-雫戸)2

2n白布(1一品)m(叩刊TB

+土ず (同 一号~ilj)2 2m台古(1-古)η(Z71)

が提案されている.

11.3.4 バウムガートナー型検定この統計量の極限分布は，

一岳会 Cj~) (4j

である.ただ、し，

(サ=同r(jj ) r (位ωiD)jρ !

標本の大きさが小さいときには 正確な棄却点が

M urakami (2007)によって与えられている.

11.3.4 バウムガートナー型検定

表 11.6のデータを用いて，修正型パウムガートナー検定を行ってみる.

データを大きさの順に並べた表 11.10

表 11.10順位づけられたデータ

データ 163 173 174 180 184 185 188

順位 1 2 3 4 5 6 7

データ 189 191 195 199 200 201 211

順位 8 9 10 11 12 13 14

11.3.4 バウムガートナー型検定

表 11.10より，修正型バウムガートナ一統計量 TB は

TR土x{19.5298 + 8.862041 } = 2.0107

-'J 14 '-----. ---- .J

となり，有意水準 5%の値 2.493より小さいので棄却することはできない.

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