11.4 그 밖의 지지조건을 갖는 기둥 -...

제 11 장 기둥

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno 1-16

11.4 그 밖의 지지조건을 갖는 기둥

지지점의 조건이 다른 경우도 pin-pin 기둥의 해석 절차와 동일함

1) 좌굴상태를 가정한 기둥에 대해 굽힘모멘트에 대한 식을 구함

2) 굽힘모멘트 방정식 ( )EIv M 을 이용하여 처짐곡선의 미분방정식 수립

3) 미분방정식을 풀어 일반해를 구함

4) 처짐 v 와 기울기 v에 관련된 경계조건 적용

5) 임계하중과 좌굴된 기둥의 처짐모양 구함

* 유효좌굴길이

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Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 11-17

하단은 고정되고 상단이 자유로운 기둥 (Fix-Free Column)

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( )EIv M P v

2 2v k v k 여기서 2 Pk

EI

1 2sin cosHv C kx C kx

Pv

1 2sin cosPH

v C kx C kxvv

경계조건 (0) 0v 2C

경계조건 (0) 0v 1 0C

따라서 (1 cos )v kx ;

처짐 곡선의 형상만 나타냄( 은 임의의 미소 크기)

경계조건 ( )v L cos 0kL

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해-1) 0 자명해 (trivial solution); 기둥은 곧은 상태 유지, 좌굴은 일어나지 않음

해-2) cos 0kL 1, 3, 5,2

nkL n

임계하중

2 2

2 1, 3, 5,4cr

n EIP nL

좌굴 모드형상 1 cos 1, 3, 5,2

n xv nL

최저 임계하중은 1n 일 때

2

24crEIPL

이 때 모드형상은 1 cos2

xvL

제 11 장 기둥


기둥의 유효 길이

길이가 L 인 fix-free column 은

길이가 2L 인 pin-pin column 과 동일함. (그림 참조)

이 경우의 2L 은 유효길이 (effective length) eL

처짐곡선 내의 변곡점 (모멘트가 0) 사이의 거리 eL

Fix-free column 의 경우 2eL L

유효길이를 이용하여 임계하중을 표현하면,

2

2cre

EIPL

유효길이는 보통 eL KL 로 표현됨. (fix-free 의 경우 2K )

이 경우는

2

2( )crEIP

KL

제 11 장 기둥


양단고정 기둥 (fix-fix column)

12eL L (그림참조)

12K

2 2

2 2

4( )cr

EI EIPKL L

제 11 장 기둥


하단 고정, 상단 핀인 기둥 (Fix-pin column)

이 경우는 기하학적 대칭 조건을 이용할 수 없으므로 관찰에 의해 eL (혹은 K )를 구할 수 없음

처짐곡선의 미분방정식을 풀어서 구함.

제 11 장 기둥


A 점에서의 반력은 수직반력 P , 수평반력 R , 모멘트 반력 0M RL

하단으로부터 x 떨어진 곳의 좌굴된 기둥에서의 굽힘모멘트는

0 ( )M M Pv Rx Pv R L x

따라서, 미분방정식은

( )EIv M Pv R L x , 2 Pk

EI 로 하고 정리하면,

2 ( )Rv k v L xEI

1 2sin cos ( )H

P

Rv C kx C kx L xPv v

경계조건: (0) 0 (0) 0 ( ) 0v v v L

2 1 1 20 0 tan 0RL RC C k C kL CP P

해-1) 1 2 0C C R ; 자명해 (trivial solution); 기둥은 곧은 상태 유지, No Buckling

해-2) 처음 두 식에서 2 1C C kL , 이 식을 마지막 식에 대입 tankL kL

제 11 장 기둥


좌굴방정식 : tankL kL

이 식을 수치해법으로 풀면 (해석적인 해는 없음) 4.4934kL

따라서

2

2 2

20.19 2.046cr

EI EIPL L

- Fix-pin column 은 예상대로 Pin-pin column 과 Fix-fix column 사이의 임계하중.

- 식을 비교하여, 0.699 0.7eL L L

- 모드형상은 2 1C C kL 과 1 0RC k P 을 일반해에 대입하여,

- 1[sin cos ( )]v C kx kL kx k L x

제한: 처짐이 작아야 함, Hooke 의 법칙을 따르는 경우만 유효

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요약

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Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno -26

예제 11-2

문제

3.25 mL , 100 mmd , 100 kNP

안전계수 3n ,을 고려하여 두께 t 구하기.

pl( 72 GPa, 480 MPa)E

풀이

기둥은 fix-pin 으로 모델링함.

이 경우

2

2

2.046cr

EIPL

4 4( 2 )64

I d d t

100 mm 0.1 md 이므로

4 4(0.1 m) (0.1 m 2 )64

I t

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기둥은 다음의 하중에 의해 설계되어야 함. 3(100 kN) 300 kNcrP nP

2 94 4

2

2.046 (72 10 Pa)300,000 N (0.1 m) (0.1 m 2 )(3.25 m) 64

t

0.006825 m 6.83 mmt

보조계산

4 4 6 4( 2 ) 2.18 10 mm64

I d d t

2 2 4( 2 ) 1,999 mm4

A d d t , 33.0 mmIrA

98Lr (가느다란 기둥), 15d

t (국부 좌굴 방지 범위에 들어감)

cr 2

300 kN 150 MPa1999 mm

crPA

, 이 값은 비례한도 pl 480 MPa 보다 작으므로

Euler 좌굴이론을 이용한 임계하중에 대한 계산은 유효함.

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11.5 편심 축하중을 받는 기둥

- 지금까지는 이상기둥으로 가정

1) 임계하중 도달시까지는 곧은 상태

2) 임계하중 도달 후 급격한 굽힘 (불확정한 크기)

하지만,

- 편심기둥

1) 하중이 작용하면 즉시 굽힘 발생 (확정된 크기)

2) 하중이 커지면 처짐량도 증가

0 ( )EIv M M P v Pe Pv

2 2v k v k e

여기서 2 Pk EI

1 2sin cosPH

v C kx C kx evv

경계조건 (0) 0 ( ) 0v v L

2 1(1 cos ) tan

sin 2e kL kLC e C e

kL

제 11 장 기둥


처짐곡선 방정식은

tan sin cos 12

kLv e kx kx

기둥 중앙에서의 처짐은

tan sin cos 1 sec 12 2 2 2 2L kL kL kL kLv e e

한편

2

2cr cr

P P PkEI P L L P

cr

PkLP

sec 12 cr

PeP

( P 에 대한 비선형식)

1) 0 when 0e

2) 0 when 0P

3) when crP P

제 11 장 기둥


최대 굽힘모멘트

max ( )M P e

max sec sec2 2 cr

kL PM Pe PeP

(정역학적으로 발생하는 모멘트가 증폭됨)

다른 단부 조건

- Fix-Free 의 경우는 2eL L 로 하면 앞의 식을

그대로 사용가능

- Fix-Pin 의 경우는 0.699eL L 로 하여도 앞의 식을 사용할 수 없음

이 경우는 미분방정식을 다시 수립하여 해석하여야 함

- Fixed End 에 편심이 있으면 그 영향이 없음.

제 11 장 기둥


예제 11-3

문제

B 단에 편심 0.45 in, 1500 lbe P ,

1.2 in, 0.6 inh b

0.12 inallow 일 때 최대 허용길이 maxL =?

6( 16 10 psi)E

풀이

3 34(1.2 in)(0.6 in) 0.02160 in

12 12hbI

2 2 4 2

2 2 2

(16,000,000 psi)(0.02160 in ) 852,700 lb-in4 4 4cr

EIPL L L

이 값을 sec 12 cr

PeP

에 대입하면,

2

1500 lb0.12 in (0.45 in) sec 12 852,700 / L

0.2667 sec(0.06588 ) 1L max 10.0 inL

제 11 장 기둥


11.6 기둥의 시컨트 공식

편심축하중을 받는 기둥에서 최대응력은

기둥의 중앙점에 발생

(압축력에 의한 응력과 굽힘응력의 합성응력)

maxmax

M cPA I

여기서 max sec2 cr

PM PeP

,

2 22 , cr

EIP I ArL ( r 은 회전반지름)

따라서 발생되는 최대응력은

max 2sec 1 sec2 2

P Pec L P P ec L PA I r EA A r r EA

시컨트 공식 (secant formula)

편심거리 e 를 가진 축력 P 가 작용하는 기둥(E, A, L, r, c)에서 좌굴을 고려할 때 발생하는 최대응력

산정

제 11 장 기둥


여기서 편심비 (eccentricity ratio)는 2

ecr (0~3 사이의 값, 보통 1 보다 작은 값)

제 11 장 기둥


0e 인 경우 Euler’s Curve 에 의한 임계응력과 동일

2 2

2 2( / )cr

crP EI EA AL L r

(11-61)

시컨트 공식에 대한 논의

- 세장비 Lr 가 증가함에 따라, 특히 L

r 값의 중간 구간에서 하중-지지능력이 급격히 감소

길고 가느다란 기둥은 짧고 뭉툭한 기둥보다 덜 안정적임

- 하중-지지능력은 편심 e 가 증가함에 따라 감소함.

이러한 영향은 긴 기둥보다 짧은 기둥에 대하여 상대적으로 더 큼.

- 시컨트 공식은 2eL L 로 하면 Fix-Free Column 에서도 적용 가능

(그러나 다른 단부 조건에서는 사용할 수 없음)

- 기둥은 항상 결함이 있으므로 편심비 2

ecr 를 적절히 가정하여 사용함.

(구조용 강재의 경우 0.25)

제 11 장 기둥


예제 11-4

문제

W14 82 WF 기둥, 25 ftL , 중앙하중 1 320 kP , 편심하중 2 40 kP , 편심위치 13.5 in

(a) 30,000 ksiE 인 경우 시컨트공식을 이용한 최대압축응력 구하기

(b) 항복응력 42 ksiY 일 때 항복에 대한 안전계수는?

제 11 장 기둥


풀이

(a) 최대압축응력:

두개의 조합 하중은 그림 (c)와 같이 편심 1.5 ine , 크기 360 kP 인 하중과 등가.

부록 표 E-1 으로부터

2 14.31 in24.1 in 6.05 in 7.155 in2A r c

시컨트공식에 필요한 상수 계산

2 2 2

360 k (1.5 in)(7.155 in)14.94 ksi 0.293224.1 in (6.05 in)

P ecA r

62

(25 ft)(12 in/ft) 360 k49.59 497.9 106.05 in (30,000 ksi)(24.1 in )

L Pr EA

시컨트 공식에 대입하면,

max 21 sec (14.94 ksi)(1 0.345) 20.1 ksi2

P ec L PA r r EA

오목한 쪽의 기둥 중간 높이에서 발생함.

제 11 장 기둥


(b) 항복에 대한 안전계수

42 ksiY 을 최대응력으로 하는 하중 YP 를 구하여야 한다.

Note: 처음의 하중 P 에 (a)에서 구한 max/Y 의 곱으로는 구해지지 않음

시컨트 공식은 하중에 대해서 비선형 식이기 때문.

즉 21 sec2

Y YY

P Pec LA r r EA

을 YP 에 대해 풀어야 함

2 2

49.5942 ksi 1 0.2932sec24.1 in 2 (30,000 ksi)(24.1 in )

Y YP P

1012 k 1 0.2932sec 0.02916Y YP P 이 식을 수치적으로 풀면 716 kYP

716 k 1.99360 k

YPnP

제 11 장 기둥


제 11 장 기둥


11.7 탄성 및 비탄성 기둥의 거동

Euler 곡선이 유효한 세장비의 하한값은

임계응력이 비례한도와 같은 경우이다

2 2

2 2( / )cr

crP EI EA AL L r

에서

2

c pl

L Er

(C 점에 해당)

: 임계세장비

- CD 구간: 긴 기둥 오일러 법칙을 따름.

- BC 구간: 중간기둥

비탄성 좌굴에 의한 파괴

임계하중은 오일러 하중보다 작음

- AB 구간: 짧은 기둥

재료의 항복과 파쇄에 의한 파괴

- 편심축하중을 받을 경우 Secant formula line

제 11 장 기둥


11.8 비탄성 좌굴

중간길이의 기둥

오일러 하중에 도달하기 이전에 응력은 비례한도에 도달함

비탄성 좌굴 이론이 필요함

접선계수 이론

비례한도를 초과하는 응력작용시 (예를 들어 A 점)

탄성계수 = 접선계수 (tangent modulus), 즉

tdEd

(비례한도 이내에서는 탄성계수 E 와 동일)

비탄성 임계하중에 도달할 때까지 기둥은 곧은 상태를 유지

이상태에서 좌굴이 시작되면 그 때의 모멘트는

2

2

1

t

d v Mdx E I

굽힘 모멘트 M Pv 이므로

0tE Iv Pv (앞 식에서 E 를 tE 로 바꾼 식과 동일)

제 11 장 기둥


이 식을 풀면

2

2 (11 67)tt

EPL

또한

2

2( / )t t

tP EA L r

접선계수 tE 는 작용하는 응력 (P/A)에 따라 변하므로

비탄성 임계하중의 산정을 위해서는 다음과 같은 과정이 필요

1) tP 를 추정값 1P 을 정함 (이 하중은 pl A 보다 큰 값임)

2) 11

PA

3) 응력 변형률 선도에서 tE 를 구함

4)

2

2 (11 67)tt

EPL

에서 새로운 tP 의 추정값을 구함.

위의 과정을 반복함.

제 11 장 기둥


감소계수 이론

- 좌굴이 시작될 때 단면에는 압축응력 PA 에 새로 생기는 굽힘응력이 더해짐

- 단면의 안 쪽 ; 압축 굽힘응력이 더해지므로 응력이 증가 탄성계수= tE

- 단면의 바깥쪽; 인장 굽힘응력이 더해지므로 응력이 감소 탄성계수= E .

두가지 재료로 구성된 보와 같은 거동 tE 와 E 의 중간값을 가진 rE 의 기둥처럼 거동함

rE : 감소계수 (reduced modulus); 응력의 크기 및 단면 모양에 좌우됨. (2 중 계수로도 불리움)

예-1) 직사각형 단면 기둥 2

4 tr

t

EEEE E

예-2) WF 보에서 강한 축에 대한 굽힘에서는 2 t

rt

EEEE E

2

2r

rEP

L

그리고

2

2( / )t r

rP EA L r

접선계수 이론과 마찬가지로 반복 시행을 통하여 구해짐.

11.4 그 밖의 지지조건을 갖는 기둥 -...

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