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Mechanic
7.4 평면
Moh
1
1 1
x
x y
양변을 제
1x
여기에
1x
좌표는
주의: 회
(그
cs of Materials
면응력에 대
hr 원의 방정식
2
s2
x y
x y
제곱하여 합산2
2x y
2x
aver
21aver x y
1x , 1 1x y ; 중
전각의 방향
그림 (a), (b)
s, 7th ed., Jame
대한 모어 원
식
cos 22
in 2 c
x y
xy
산
2
1 1x y
, y R
2 21y R
중심 ,aver
에 따라 두가
참조) (a)를
es M. Gere &
원
sin 2
cos 2
xy
2
2x y
2
2x y
0 ; 반경 R
가지 좌표축
를 선택함.
Barry J. Goo
2
xy
2
xy 로
R
중에 선택함
dno
정의하면,
함.
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-25
Mechanic
cs of Materials
s, 7th ed., Jame
es M. Gere &
Barry J. Goo
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-26
Mechanic
Moh
1. 1x -수
2. 1x
3. 1x
이
4. 1x
이
5. A B
이
6. 중심이
CA
경사
x 축에
D 점
cs of Materials
hr 원의 작도
수평축, 1 1x y
aver , 1 1x y
x , 1 1x y
이 점은
y , 1 1x y
이 점은
B 를 연결하는
이 선은 지름
이 C 이고 점
CB R
진 요소의 응
에서 만큼
점의 좌표
s, 7th ed., Jame
1 -수직축 (아
0 을 원의
xy 를 A점
0o에 해당하
xy 를 B
90o에 해당
는 직선을 작
름이 되며 원의
점 A , B 를 지
2x y
응력
큼 회전된 평
1 1 1( , )x x y
es M. Gere &
아래쪽이 양)
의 중심 C 로
점으로 함
하는 x면임
B 점으로 함
하는 y 면
작도함.
의 중심 C 를
지나는 원을 작
2
2
xy
면 요소의 응
Barry J. Goo
로 함.
임
임
를 통과
작도
응력 그림
dno
에서 A로부
제 7 장
부터 2 회전
장 응력과 변형
Pa
된 위치의 점
형률의 해석
age 07-27
점 D
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-28
확인:
그림에서 1 1 1cos , sin2
x yx x yR R
(7.33a,b)
한편 cos(2 )2
x y
R
, sin(2 ) xy
R
즉
cos 2 cos sin 2 sin ( )2
sin 2 cos cos 2 sin ( )
x y
xy
aR
bR
( ) cos 2 ( ) sin 2a b
1cos cos 2 sin 2
2x y
xyR
( ) sin 2 ( ) cos 2a b
1sin sin 2 cos 2
2x y
xyR
이 값들을 식 (7.33)에 대입하면
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-29
1
1 1
cos 2 sin 22 2
sin 2 cos 22
x y x yx xy
x yx y xy
평면 응력의 변환공식
지름 방향으로 D 와 반대인 점 D 서로 180o의 위치 응력요소에서 90o
의 차이
D 점의 좌표 1 1 1( , )y x y
Mechanic
주응
축응
1P 의
1 OC
(이 점에
기준점 A
주평면의
또 다른
22 p 는
즉 2p
2 OC
cs of Materials
력
력이 최대인
x 좌표 1 이
1xC CP
서 전단력 =
A 에서부터의
의 각도
주응력 (최소
12 p 보다 1
1 90op
2C CP
s, 7th ed., Jame
점 1P
이 최대주응력
2x y
aver
R
= 0)
의 각도 12 p
소 축응력)의
80o차이가
2x y
aver
R
es M. Gere &
력의 크기
의 절반이
위치 2P
남
Barry J. Goo
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-30
Mechanic
최대
최대
1P 과
최대전
cs of Materials
전단응력
전단응력/음
2P 로부터
전단응력의
s, 7th ed., Jame
의 최대전단
2 90o 만큼
면은 주평면과
es M. Gere &
응력의 평면
큼 떨어진 곳
과 45o회전
Barry J. Goo
1S , 2S 는 원
곳에 위치
된 면임.
dno
원의 맨 밑/맨
제 7 장
맨 윗부분
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-31
Mechanic
전
Moh
- 평면
공식을
cs of Materials
전단응력에 대
Mohr 원의 회
Mohr 원의 회
hr 원에 대한
응력의 경우
을 암기할 필
s, 7th ed., Jame
대한 또 다른
회전방향과 응
회전방향과 응
일반적 유의
우만 적용 가능
필요 없음.
es M. Gere &
기준의 부호
응력요소의
응력요소의
의사항
능
Barry J. Goo
호규약
회전방향 일
회전방향 반
dno
치 원의
대 원의
제 7 장
전단축이 아
전단축이 아
장 응력과 변형
Pa
아래방향이 양
아래방향이 음
형률의 해석
age 07-32
양
음
Mechanic
예제
문제
그림 (a)에
30o
cs of Materials
7-4
에 도시한 2
만큼 경사진
s, 7th ed., Jame
축 응력요소
평면에 작용
es M. Gere &
소에 대한 Mo
용하는 응력을
Barry J. Goo
ohr 원을 작도
을 결정하고
dno
도하고, 이를
Mohr 원에
제 7 장
이용하여
표시하기.
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-33
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-34
풀이
90 MPax , 20 MPay , 0 MPaxy
90 20 55 MPa2 2
x yaver
, 원의 중심 ( ,0)averC 를 위치함.
요소의 x면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 0 )oA 의 좌표는 ( ,0) (90,0)x
요소의 y 면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 90 )oB 의 좌표는 ( ,0) (20,0)y
2 2
2 290 20 0 35 MPa2 2
x yxyR
30o 인 경사진 평면의 응력은 Mohr 원에서 2 60o 인 점 D 점의 좌표를 구하면
1
1 1
cos 60 55 (35cos 60 ) 72.5 MPa
sin 60 (35)(sin 60 ) 30.3 MPa
o ox aver
o ox y
R
R
Mechanic
같은 방법
120o
1
1 1
x a
x y R
cs of Materials
법으로 o인 경사진
cos 6
sin 60 (3aver
o
R
R
s, 7th ed., Jame
평면의 응력
60 55 (3
35)(sin 60 )
o
o
es M. Gere &
은 Mohr 원에
35cos 60 )
) 30.3 MP
o
Barry J. Goo
에서 2 2
37.5 MPa
Pa
dno
240o인 점 D
제 7 장
D점의 좌표
장 응력과 변형
Pa
표를 구하면
형률의 해석
age 07-35
Mechanic
예제
문제
15,x
(a) 4
을 각각
cs of Materials
7-5
,000 psi ,
40o회전된 요
구하고, 적당
s, 7th ed., Jame
5,000 py
요소 (b) 주
당히 회전시킨
es M. Gere &
psi , 4,xy
응력 (c)
킨 요소의 그
Barry J. Goo
,000 psi
최대전단응력
그림에 결과 표
dno
력
표시하기
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-36
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-37
풀이
15,000 5,000 10,000 psi2 2
x yaver
, 원의 중심 ( ,0)averC 를 위치함.
요소의 x면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 0 )oA 의 좌표는 (15,000, 4,000)
요소의 y 면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 90 )oB 의 좌표는 (5,000, 4,000)
2 2
2 215,000 5,000 4,000 6,403 psi2 2
x yxyR
(a) 40o 인 경사진 평면의 응력은 Mohr 원에서 2 80o 인 점 D 점을 구하여야함.
14,000tan 0.85,000
ACP 1 38.66oACP
1 180 80 38.66 41.34o o oDCP ACP
1
1 1
cos 41.34 10,000 (6, 403cos 41.34 ) 14,810 psi
sin 41.34 (6, 403)(sin 41.34 ) 4, 230 psi
o ox aver
o ox y
R
R
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-38
같은 방법으로
130o 인 경사진 평면의 응력은 Mohr 원에서 2 260o 인 점 D점의 좌표를 구하면
1
1 1
cos 41.34 10,000 (6, 403cos 41.34 ) 5,190 psi
sin 41.34 (6, 403)(sin 41.34 ) 4, 230 psi
o ox aver
o ox y
R
R
참고: Constantx y 를 이용하면 더 쉽게 구할수 있다.
(b) 주응력은 원 위의 점 1P 과 2P 로 나타내어진다.
1 10,000 6, 400 16, 400 psiaver R
1 12 38.66opACP 1 19.3o
p
2 10,000 6, 400 3,600 psiaver R
2 12 2 180 218.66o op p 2 109.3o
p
(c) 최대전단응력은 원 위의 점 1S 과 2S 로 나타내어진다.
max 6, 400 psiR
1 90 38.66 51.34o o oACS 12 51.34os 1 25.7o
s 주응력과 45o차이
이때의 축응력은 1 1 10,000 psix y aver
Mechanic
cs of Materials
s, 7th ed., Jame
es M. Gere &
Barry J. Goo
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-39
Mechanic
예
문제
5x
(a) 4
을 각각
cs of Materials
예제 7-6
50 MPa , y
45o회전된 요
구하고, 적당
s, 7th ed., Jame
10 MPay
요소 (b) 주
당히 회전시킨
es M. Gere &
, 40 xy
응력 (c)
킨 요소의 그
Barry J. Goo
MPa
최대전단응력
그림에 결과 표
dno
력
표시하기
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-40
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-41
풀이
50 10 20 MPa2 2
x yaver
, 원의 중심 ( ,0)averC 를 위치함.
요소의 x면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 0 )oA 의 좌표는 ( 50, 40)
요소의 y 면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 90 )oB 의 좌표는 (10, 40)
2 2
2 250 10 40 50 MPa2 2
x yxyR
(a) 45o 인 경사진 평면의 응력은 Mohr 원에서 2 90o 인 점 D 점을 구하여야함.
240 4tan30 3
ACP 2 53.13oACP
2 290 90 53.13 36.87o o oDCP ACP
1
1 1
cos36.87 20 (50)(cos36.87 ) 60 MPa
sin 36.87 (50)(sin 36.87 ) 30 MPa
o ox aver
o ox y
R
R
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-42
같은 방법으로
135o 인 경사진 평면의 응력은 Mohr 원에서 2 270o 인 점 D점의 좌표를 구하면
1
1 1
cos36.87 20 (50)(cos36.87 ) 20 MPa
sin 36.87 ( 50)(sin 36.87 ) 30 MPa
o ox aver
o ox y
R
R
참고: Constantx y 를 이용하면 더 쉽게 구할 수 있다.
(b) 주응력은 원 위의 점 1P 과 2P 로 나타내어진다.
1 20 50 30 MPaaver R
1 12 53.13 180 233.13o o opACP 1 116.6o
p
2 20 50 70 MPaaver R
22 53.13op 2 26.6o
p
(c) 최대전단응력은 원 위의 점 1S 과 2S 로 나타내어진다.
max 50 MPaR
1 90 53.13 143.13o o oACS 12 143.13os 1 71.6o
s 주응력과 45o차이
이때의 축응력은 1 1 20 MPax y aver
Mechanic
cs of Materials
s, 7th ed., Jame
es M. Gere &
Barry J. Goo
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-43
Mechanic
7.5 평면
균질
x 에
y 에
x
같은
cs of Materials
면응력에 대
등방성 재료
에 의한 x 방
에 의한 x 방
x 방향의 합
방법으로
s, 7th ed., Jame
대한 훅의 법
료에 대한 평
방향의 변형률
방향의 변형률
변형률은 x
1 (y yE
es M. Gere &
법칙
평면 응력의 고
률 x 는 /x
률 x 는
1 (x xE
)x z
Barry J. Goo
고찰 (Homog
E
/y E
)y
( xE
dno
geneous Isot
(7
)y
제 7 장
tropic Plane
7-34a)
(7-34b
장 응력과 변형
Pa
Stress)
,c)
형률의 해석
age 07-44
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-45
전단응력과 전단변형률과의 관계는,
xy
xy G
(7-35)
이 식들을 종합하면,
2 ( )1x x y
E
2 ( )
1y y xE
(7-36a,b)
xy xyG (7-37)
(7-34) ~ (7-37)를 평면응력에 대한 Hooke 의 법칙이라고 한다.
여기서 2(1 )EG
3.6 절의 식 (7-38)
세가지 재료상수 ( , , )E G 중에서 두 개만 독립적임.
1 10
1 10
0 0
1
1 01 0
0 012
Mechanic
Hoo
2 축 응력
0xy 인
1 (x E
1xE
전단응력
단축 응력
y xy
xx E
cs of Materials
ke 의 법칙의
력
인 경우
( )x y
2 ( x yE
력과 수직응력
력 (uniaxial s
0y 인 경우
y z
s, 7th ed., Jame
의 특별한 경
1 (y E
)y 1y
력은 서로 독
stress)
우
x
E
es M. Gere &
우
)y x
2 (1 y
E
립 앞 식
x xE
Barry J. Goo
(z E
)x
(7-34), (7-3
dno
)x y (7
(7
36)과 동일
제 7 장
7-39a,b,c)
7-40a,b)
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-46
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-47
순수전단
0x y 인 경우
0x y z xy
xy G
- 2 축응력, 1 축응력, 순수전단의 경우 모두 0z
Mechanic
체적
최초체적
최종체적
1
0
0
(
V a
V
V
(2
체적변화
단위체적
0
VeV
Note
cs of Materials
변화량
적 0V abc
적
)(
(1
(1
x
x y
x y
a a b b
차항 이상은
화 1V V
적변화 e (혹
( x y
e: 전단변형률
s, 7th ed., Jame
)(
)
y z
z x y
z
b c c
은 무시함)
0 0 ( xV V
은 팽창률(d
)z
률의 영향은
es M. Gere &
)
y z z x
)y z
ilatation))은
없음.
Barry J. Goo
)x x y z
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-48
Mechanic
Hooke 의
0
VeV
1 축 응력
0
VeV
인장을 받
cs of Materials
의 법칙을 따
1 2 ( xE
력상태인 경우
(1 2x
E
받는 경우 (
s, 7th ed., Jame
르는 평면응
)x y
우는
)
0)x
es M. Gere &
력 상태의 경
0e (
Barry J. Goo
경우는,
1 2 ) 0
dno
0.5
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-49
Mechanic
평면
단위체적
요소의 x
요소의 x
힘이
같은 방법
따라서 수
11 (2
u
전단변형
cs of Materials
응력에서의
적 내에 저장된
x면에 작용
x면이 움직
한 일의 양:
법으로 y 면
수직응력 및
x x y y
형률에 대한 변
s, 7th ed., Jame
변형 에너지
된 변형에너지
용하는 힘:
직인 거리: a
: 1 ( )(2 xbc a
면의 힘 ya
수직 변형률
)
변형에너지밀
es M. Gere &
지 밀도
지, u ;
x bcArea
xa
)xa
ac 의 일은 12
률에 의한 변형
밀도는 2u
Barry J. Goo
1 ( )(2 yac b
형에너지 밀
2xy xy
dno
)y
도는
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-50
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-51
평면응력에서의 변형에너지 밀도
1 21 ( )2 x x y y xy xyu u u (7-49)
평면응력에 대한 식 (7-34)(7-35)를 대입하면 응력의 항만으로 된 식이 구해짐 2
2 21 ( 2 )2 2
xyx y x yu
E G
(7-50)
평면응력에 대한 식 (7-36)(7-37)을 대입하면 변형률만의 항으로 된 식이 구해짐 2
2 22 ( 2 )
2(1 ) 2xy
x y x y
GEu
(7-51)
- 단축응력의 경우; 0y xy , y x , 0xy
2 2
2 2x xEuE
식 (2-38a,b)와 일치
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-52
- 순수전단의 경우; 0x y , 0x y
2 2
2 2xy xyG
uG
(3-55a,b)와 일치
Mechanic
7.6 3
cs of Materials
축응력
s, 7th ed., Jame
es M. Gere &
Barry J. Goo
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-53
Mechanic
, ,x y
z 축을
(평면 응
x축
최대 전단
z 축에
max( )z
x축,
max( )x
일반적인
큰원과
3 축
평면응력
cs of Materials
z 를 받는
회전한 요소
력의 변환 공
축, y 축에
단응력
대해 45o회
2x y
y 에 대해
2y z
인 좌표계에서
과 작은원 2
응력에서의
력의 경우와 같
s, 7th ed., Jame
요소 3 축
소의 전단 응
공식은 z 에
대해 회전한
회전된 요소:
45o회전된
, max( ) y
서의 응력
개 사이에 위
Hooke 의 법
같은 방법으로
es M. Gere &
축응력 이
응력 (그림 b)
에 대해 독립적
한 요소도 같
요소:
2z x
위치함.
법칙
로,
Barry J. Goo
이 응력이 주응
평면 응
적이기 때문)
은 방법으로
dno
응력 (전단응
력 변환 공식
)
구함.
제 7 장
응력이 없음)
식으로 구함
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-54
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-55
( )xx y zE E
(7-53a)
( )yy z xE E
(7-53b)
( )zz x yE E
(7-53c)
이 식을 응력에 대하여 풀면,
(1 ) ( )(1 )(1 2 )x x y z
E
(7-54a)
(1 ) ( )(1 )(1 2 )y y z x
E
(7-54b)
(1 ) ( )(1 )(1 2 )z z x y
E
(7-54c)
Note: 이 식에 0z 을 대입하면 앞의 평면응력에 대한 Hooke 의 법칙으로 축소됨.
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-56
단위체적 변화
평면응력의 경우와 같은 방법으로,
0
( )x y zVe
V
1 2 ( )x y zeE
변형에너지 밀도 (축 응력만 고려)
평면응력의 경우와 같은 방법으로,
1 ( )2 x x y y z zu
이 식에 3 차원 Hooke 의 법칙을 대입하여 응력 만의 표현 혹은 변형률 만의 표현이 가능함.
2 2 21 ( ) ( )2 x y y x y y z z xu
E E 혹은
2 2 2(1 )( ) 2 ( )2(1 )(1 2 ) x y z x y y z z x
Eu
Mechanic
구응
x y
재료내의
0 을 받
모든
00 E
cs of Materials
력 (spherica
0z 인
의 어떠한 방향
받음
면이 주면,
(1 2 )
s, 7th ed., Jame
al stress)
인 경우 (전단
향에서도 같은
Mohr 원에서
es M. Gere &
단은 없음)
은 크기의 응
서 한 점으로
Barry J. Goo
응력
표시
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-57
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-58
체적변화에 대한 식은
00
3 (1 2 )3eE
체적탄성계수 K 를 정의하자; 3(1 2 )EK
(7-61)
따라서 0e
K
, 그리고 0K
e
(1 축응력에서 탄성계수 E 의 정의와 유사함)
(7-61) 식에서
1/ 3 이면 K E
0 이면 / 3K E
0.5 이면 K 체적변화가 없는 강체 (비압축성) max 0.5
균일압축을 받는 경우도 동일한 식 정수압 응력 (Hydrostatic Stress)
Mechanic
7.7 평면
평면응력
평면변형
cs of Materials
면변형률
력: z xz
형률: z xz
s, 7th ed., Jame
0yz 나
0z yz
es M. Gere &
머지는 0 이
나머지는 0
Barry J. Goo
아님.
이 아님.
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-59
Mechanic
cs of Materials
s, 7th ed., Jame
es M. Gere &
Barry J. Goo
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-60
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-61
일반적으로 평면응력과 평면변형률은 동시에 발생하지 않음.
예외-1) 평면응력 상태 중에서 x y 인 경우; z 방향 변형률이 서로 상쇄됨
예외-2) 평면응력 상태 중에서 0 인 경우; 0z 이 됨
변환공식의 적용
- 평면응력의 변환 공식은 z 방향 응력이 발생하여도 계속 사용 가능
평형방정식의 유도 과정이 z 에 영향을 받지 않기 때문
- 평면변형률의 변환 공식도 z 방향 변형률이 발생하여도 계속 사용 가능
평면변형률의 변환공식은 기하학적 고려만을 하여 구해짐
즉 z 혹은 재료의 물성치에 영향을 받지 않음
Mechanic
평면변형
원래 좌표
cs of Materials
형률에서의 변
표에 대해
s, 7th ed., Jame
변환방정식
회전된 좌표
es M. Gere &
표계를 고려함
Barry J. Goo
함
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-62
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-63
수직변형률
x방향 수직 변형률 x 에 의한 x방향 길이 변화: x dx 대각선의 변화 cosx dx
y 방향 수직 변형률 y 에 의한 y 방향 길이 변화: y dy 대각선의 변화 siny dy
xy 방향 전단 변형률 xy 에 의한 윗면의 우측 이동량: xy dy 대각선의 변화 cosxy dy
대각선 길이의 전체 증가량은
cos sin cosx y xyd dx dy dy
1 cos sin cosx x y xyd dx dy dy
ds ds ds ds
여기서 cos , sindx dyds ds
이므로
2 2
1 cos sin sin cosx x y xy (7-66)
1y 는 위 식에 90o 를 대입하여 얻어진다.
Mechanic
전단변형
1 1x y
x 에 의
y 에 의
xy 에 의
1
(
x
x
dd
여기서
기하학적
(
(x
x
cs of Materials
형률
한 x방향
한 y 방향
의한 윗면의
1 2 3
sin
)sin
y
x y
dxds
서 cosdxds
적 고찰에 의해
)sin(
)siny
x y
s, 7th ed., Jame
길이 변화:
길이 변화:
우측 이동량
cos
cos sxy
dyds
, sindyds
해 는 윗
90 )cos(
cos c
o
xy
es M. Gere &
x dx 대
y dy 대
량: xy dy 대
2
sin
sin
xydyds
를 이용했
윗 식에
2
90 )
cos
oxy
Barry J. Goo
대각선의 회전
대각선의 회전
대각선의 회전
음.
90o 를 대
2sin ( 90y
dno
전: 1ds
전: 2ds
전: 3ds
대입하여 구함
0 )o
제 7 장
sinx dx
cosy dy
sinxy dy
함. 즉,
장 응력과 변형
Pa
1 xdxds
2 ydyds
3 xydyd
형률의 해석
age 07-64
sin
cosys
sindyds
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-65
2 21 1 2( )sin cos (cos sin )x y x y xy
1 1 2 2( )sin cos (cos sin )2 2x y xy
x y
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-66
다음의 삼각함수의 관계식을 이용한다.
2 21 1 1cos (1 cos 2 ) sin (1 cos 2 ) sin cos sin 22 2 2
1
1 1
cos 2 sin 22 2 2
sin 2 cos 22 2 2
x y x y xyx
x y x y xy
평면 변형률에 대한 변환공식
Note: x x , y y , xy 2xy
의 관계가 있음
Note: 1 1x y x y ;( 에 무관)(응력의 경우와 유사)
Note: 1y 면에 작용하는 수직 변형률 1y 은 1x 의 식에 90o 을 대입하여 구한다.
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-67
주변형률
응력의 경우와 같은 방법으로 해석하여
주각의 위치: tan 2 xyp
x y
주변형률의 크기:
2 2
1,2 2 2 2x y x y xy
최대전단변형률
위치: 주변형률 방향에서 45o 회전된 축
크기
2 2
max
2 2 2x y xy
, 이때의 수직변형률은 1 2 2x y
x x aver
Mechanic
평면변형
x x
y y
xy 2xy
1x x
1 1x y
평면응력
완전히 동
변형률의
스트레인
gage)를
cs of Materials
형률에 대한 M
2xy
1x
1 1
2x y
력의 경우와
동일함
의 측정
인게이지 (
이용하여 측
s, 7th ed., Jame
Mohr 원
(strain
측정
es M. Gere &
Barry J. Goo
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-68
Mechanic
- 1/8 ~ 1
- 표면에
- 연속된
- 1 10
- 3 방향의
- 특별한
변형률로
스트레인
cs of Materials
1.2 in 의 크기
에 부착하여 변
와이어로 구6정도의 작은
의 변형률을
한 형태로 배열
로부터의 응력
인게이지로 변
s, 7th ed., Jame
기
변형률에 비례
구성된 금속격
은 변형량도
측정하여 임
열된 3 개의
력의 계산
변형률 측정
es M. Gere &
례하여 길이
격자 길이
측정 가능
임의의 방향의
게이지 조합
Hooke 의
Barry J. Goo
변화
이의 변화에
의 변형률을
합 스트레인
법칙에 대입
dno
따라 전기 저
계산할 수 있
인 로제트 (S
입하여 응력을
제 7 장
저항 변화
있슴
Strsin rosset
을 계산함
장 응력과 변형
Pa
t)
형률의 해석
age 07-69
Mechanic
예제
cs of Materials
7-7
s, 7th ed., Jame
es M. Gere &
Barry J. Goo
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-70
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-71
문제
6340 10x ,
6110 10y ,
6180 10xy
(a) 30o 회전된 요소 (b) 주변형률 (c) 최대전단변형률
을 각각 구하고, 적당히 회전시킨 요소의 그림에 결과 표시하기
풀이 (두가지 해법이 있음. 변환공식 이용, Mohr 원 이용)
(a) 30o 회전된 요소는 변환공식을 이용하여 구할 수 있다.
66(340 110) 10 225 10
2 2x y
,
66(340 110) 10 115 10
2 2x y
690 102xy
평면변형률 변환공식에 대입하면,
1
6 6 6 6
cos 2 sin 22 2 2
(225 10 ) (125 10 )(cos 60 ) (90 10 )(sin 60 ) 360 10
x y x y xyx
o o
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-72
1 1
6 6 6
sin 2 cos 22 2 2
(125 10 )(sin 60 ) (90 10 )(cos 60 ) 55 10
x y x y xy
o o
61 1 110 10x y
6 61 1 (340 110 360) 10 90 10y x y x
(b) 주변형률도 공식을 이용하여 구할 수 있다.
2 2
1,2
2 26 6 6 6 6
2 2 2
225 10 125 10 90 10 225 10 146 10
x y x y xy
6 61 2370 10 80 10
위치는 180tan 2 0.7826
340 110xy
px y
2 38.0 , 218.0o op 19.0 , 109.0o o
p 대입하여 최대/최소각을 결정함.
Mechanic
(c) 최대전
max
2
s
이
이 때
cs of Materials
전단변형률도
2x y
19.0 45o o
이 각을 대입하
때의 수직변형
s, 7th ed., Jame
도 공식에 의
2
2y xy
64.0o
하여, 음/양
형률은 aver
es M. Gere &
하여 구해짐
2
146 10
최대 전단변
22
x y
Barry J. Goo
.
60 max
형률의 각을
6225 10
dno
6290 10
을 결정함.
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-73
Mechanic
예제
x y 축에
3 개의 변
회전된
변형률 구
풀이
,x a
ab
이 식을
이제
임의
cs of Materials
7-8
에대해 45o간
변형률 측정
된 1 1x y 축에
구하기.
y c 이므
2 2c a
풀면 xy
, x a y
의의 각 회전
s, 7th ed., Jame
간격으로
후,
에서의
므로 45o방향
(cos90 )oc
2 b a
y c , xy
전된 1 1x y
es M. Gere &
향의 변형률은
(sin 902xy
c
2 b a
축에서의 변
Barry J. Goo
은
0 )o
c 를 알고 있
변형률을 구할
dno
있으므로,
할 수 있다.
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-74
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-75
탄성상수들 간의 관계식
순수전단 를 받는 응력 요소의 전단 변형률: / G
이 요소를 45 도 회전시키면, 1 2
따라서 변형률은
1 21
2 12
12
(1 )
(1 )
0
E E E
E E E
변형률을 -45 도 회전하면
(1 )2 E 이 값은 원래의 전단 변형률과 같아야 하므로
(1 )2 2E G 2( 1)
EG