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時間序列分析

–總體經濟與財務金融之應用–

ARCH-GARCH 模型

陳旭昇

2013.12

陳旭昇 (國立台灣大學經濟學系) 時間序列分析–總體經濟與財務金融之應用– 2013.12 1 / 36

1 時間序列的波動性

2 ARCH 模型

3 GARCH 模型

4 檢定 ARCH 效果

5 GARCH 模型的擴充

6 GARCH 模型的最大概似估計

7 GARCH 模型的實例應用: 央行在外匯市場的干預


時間序列的波動性


所謂時間序列的波動性就是資產報酬的條件變異數 (conditional

variance)。之前各章的討論中, 都假設時間序列的條件變異數不會因時

點 t 改變而改變。舉例來說, 考慮簡單的 AR(1) 模型:

yt+1 = β1yt + εt+1 ,εt ∼i.i.d . (0, σ2).

因此, yt+1 條件期望值

Et(yt+1) = Et(β1yt + εt+1) = β1yt會隨著時點 t 改變而改變。




yt+1 條件變異數

Vart(yt+1) = Vart(β1yt + εt+1)= Vart(β1yt) + Vart(εt+1)= β2

1Vart(yt) + Var(εt+1)= 0 + σ2 = σ2

卻不會因時點 t 改變而改變。其中 Vart(yt) = 0 係因為 yt 在給定 t 期的

資訊集合下為常數。而 Vart(εt+1) = Var(εt+1)係因為 εt 為 i.i.d. 序列。




一般而言, 資產報酬序列有以下重大特徵:

1 條件變異數似乎是因時點 t 改變而改變。

2 波動具有很強的持續性, 亦即大波動伴隨著大波動, 小波動緊跟著小

波動, 是謂「波動的群聚現象」(volatility clustering)。

3 資產報酬序列的實證分配 (empirical distribution) 具有厚尾

(heavy tail) 現象 (極端值較多)。



例子: 道瓊指數月報酬率

圖 : 道瓊指數月報酬率, 1990:1–1999:12




上圖畫出了道瓊指數月報酬率 (monthly returns of the Dow-Jones

index), 1990:1–1999:12。我們不難看出之前提到的特徵:

波動因時點改變而改變以及群聚現象。

資產報酬序列的實證分配比常態分配更為高狹, 尾部的機率密度較

高。




圖 : 道瓊指數月報酬率實證分配 (實線)與標準常態分配 (虛線)




將道瓊指數月報酬率的實證分配 (實線) 與標準常態分配 (虛線) 畫在上

圖。顯然地, 常態分配並不適用於股票報酬, 股票報酬的分配較高 (taller)

也較瘦 (skinner), 且存在較厚的尾部 (fatter tails)。




資產報酬序列之三大特點: 因時而變, 群聚現象與厚尾現象, 都可以利用

ARCH-GARCH 模型捕捉。然而, 必須強調的是,

模型是一個完全單純的統計模型, 它只是「捕捉」到資產報酬序列的

特徵, 卻不是用來「解釋」為何資產報酬序列有這些特徵。

它只是提供了一個「機械式」的方法 (mechanical way) 來描繪資產

報酬序列的條件變異數。


ARCH 模型

ARCH 模型

ARCH 模型全名為「自我迴歸條件異質變異」模型 (AutoRegressive

Conditional Heteroskedasticity Model), 係由 Robert Engle 所提出。考

慮以下資產報酬模型,

yt = µ + εt , (1)

其中E(εt) = 0, E(ε2t ) = σ 2 > 0, 且 E(εtεt− j) = 0, ∀ j ≠ 0.


ARCH 模型

ARCH 模型

ARCH 模型的主要概念就是,既然波動具有群聚現象,何不就令 εt 的條件變異數 σ2

t 與前期報酬率平方有正相關:

σ 2t = c +

q∑i=1

αi ε2t−i + ut , (2)

其中

ut ∼i .i .d . WN(0, 1).如果 εt 的條件變異數如上所示, 則我們稱 εt 服從一 ARCH(q) 過程

(ARCH(q) process), 以

εt ∼ ARCH(q)示之。


ARCH 模型

ARCH 模型

為了保證 εt > 0, 我們必須限制 c ≥ 0, αi ≥ 0, ∀i, 且1 − α1z − α2z

2 −⋯− αqzq = 0,

的所有根都要落在單位圓之外。把這些條件彙整在一起, 也就是要求

q∑i=1

αi < 1.總結來說, 最簡單的 ARCH 模型中包含兩個方程式。

1 均數方程式: 資產報酬率的均數為常數, 如式 (1) 所示。對於均數方

程式, 我們可以設定成更為複雜的 ARMA 模型。

2 變異數方程式: 它的變異數與前期的報酬率平方有正相關, 如式 (2)

所示。


ARCH 模型

ARCH 模型

我們可以用另一種方式表示 ARCH(q) 過程。

定義 (ARCH(q) 過程)

εt = √htvt ,

其中 vt ∼i .i .d . (0, 1),ht = c + q∑

i=1

αi ε2t−i ,

且對於所有 i > 0, vt 與 εt−i 為獨立。


ARCH 模型

ARCH 模型

因此, 我們可以得到以下結果。

1 ht 就是 εt 二階動差的條件期望值,

Et−1(ε2t) = E(ε2t ∣It−1),= E(ε2t ∣εt−1 , εt−2 , . . .),= c + q∑

i=1

αiε2t−i ,

= ht .

2 εt 的條件期望值為零,

Et−1(εt) = E(εt ∣It−1) = 0.陳旭昇 (國立台灣大學經濟學系) 時間序列分析–總體經濟與財務金融之應用– 2013.12 15 / 36

ARCH 模型

ARCH 模型

3 εt 的期望值為零,

E(εt) = 0.4 εt 無序列相關,

E(εtεt− j) = 0, for j ≠ 0.5 εt 的變異數為

σ2 = E(ε2t) = c

1 −∑qi=1 αi

.


GARCH 模型

GARCH 模型

Bollerslev(1986)將 ARCH 過程擴充為一般化 ARCH 過程 (Generalized

AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity), 簡稱 GARCH 過程。

定義 (GARCH(p,q) 過程)

εt = vt√ht ,

其中 vt ∼i .i .d . (0, 1)且

ht = c + q∑i=1

αi ε2t−i +

p∑j=1

β jht− j .

且對於所有 i > 0, vt 與 εt−i 為獨立。我們稱之 GARCH(p,q) 過程 (GARCH(p,q)

process)。


GARCH 模型

GARCH 模型

顯然地,

σ2t = Et−1(ε2t) = ht .

此外, 為了保證 σ2t > 0, 我們必須限制 αi ≥ 0 for all i, β j ≥ 0 for all j 且

q∑i=1

αi + p∑j=1

β j < 1.最後值得注意的是, εt 的非條件變異數為

σ2 = c

1 −∑qi=1 αi −∑p

j=1 β j

.


檢定 ARCH 效果

檢定 ARCH 效果

Engle(1982)建議以殘差來檢定 ARCH 效果。

步驟一: 對於均數建構一個適當的 ARMA 模型, 並得到殘差 εt與

殘差的平方 ε2t。步驟二: 估計以下迴歸式

ε2t = a0 + a1ε2t−1 .


檢定 ARCH 效果

檢定 ARCH 效果

如果不存在 ARCH 效果, 則隱含 a1 = 0, 你可以據此檢定 ARCH 效果

存在與否。

如果不存在 ARCH 效果, 則此迴歸式的解釋能力非常小, 判定係數

R2 也會很小。在「沒有 ARCH 效果」的虛無假設成立下,

T × R2 dÐ→ χ2(1).


GARCH 模型的擴充

GARCH-M 模型

財務市場上, 持有具風險之資產往往會要求風險貼水, 亦即部分之資產報酬會由風險 (波動) 所決定。這樣的模型係由 Engle et al. (1987) 所提出,稱之為 GARCH in Mean 模型, 簡稱 GARCH-mean。

yt = µt + εt ,µt = β + δht ,

εt = vt√ht ,

ht = c + q∑i=1

αi ε2t−i +

p∑j=1

β jht− j ,

vt ∼i .i .d . (0, 1).亦即, 在均數方程式中, 我們設定 µt 為 ht 的函數。



自積 GARCH 模型

在 GARCH(p, q) 模型中, 如果我們要求

q∑i=1

αi + p∑j=1

β j = 1,則 Engle and Bollerslev(1986)稱之為自積 GARCH 模型 (integrated

GARCHmodel), 簡稱 IGARCH。



指數 GARCH 模型

注意到

εt = √htvt ,

vt ∼i.i.d . (0, 1).為了捕捉資產報酬為正或是為負對於財務波動產生非對稱效果, 亦即壞

消息 (負的資產報酬) 對於資產報酬未來的波動較好消息 (正的資產報酬)

的影響來得大。這種現象又稱「槓桿效應」(leverage eect)。



指數 GARCH 模型

Nelson(1991)提出一個新的設定: 指數 GARCH 模型以捕捉當期資產報

酬與資產報酬未來的波動之間的不對稱關係。

log ht = c + q∑i=1

αi g(vt−i) + p∑j=1

γ j log ht− j ,

g(vt) = θvt + ∣vt ∣ − E∣vt∣,vt = εt√

ht

,

vt ∼i.i.d . N(0, 1).注意到給定 vt 為標準常態, 則

E∣vt∣ = ( 2π)0.5



指數 GARCH 模型

我們將 EGARCH 模型的性質彙整如下。

1 如果 vt 為正向的衝擊 (vt > 0), 則 g(vt)為 vt 的線性函數且斜率為

θ + 1。如果 vt 為負向的衝擊 (vt < 0), 則 g(vt)為 vt 的線性函數且斜

率為 θ − 1。這就是「槓桿效應」。

2 在變異數方程式放的是 εt−i 的標準數: vt−i = (εt−i/√ht−i), 而非 εt−i本身。

3 由於變異數方程式設定為條件變異數的對數,則 EGARCH 在估計時,

不須限制係數必須為正。


GARCH 模型的最大概似估計


我們以一個簡單的迴歸模型為例子, 說明如何利用最大概似法估計

GARCH 模型。yt = b0 + b1xt + εt ,

εt = vt√ht ,

ht = c + α1ε2t−1 ,

vt ∼i .i .d . N(0, 1).則最大概似函數可以寫成

L = T∏t=1

( 1√2πht

) exp(−ε2t2ht

) .




因此, 對數最大概似函數為

lnL = −T2ln(2π) − 1

2

T∑i=1

ln ht − 1

2

T∑i=1

( ε2tht) ,

= −T − 12

ln(2π) − 1

2

T∑i=2

ln(c + α1ε2t−1)

− 1

2

T∑i=2

[(yt − b0 − b1xt)2c + α1ε2t−1

] .由於一階條件為非線性函數,我們必須以數值方法來找出 c, α1 , b0 以及 b1 的極大值。


GARCH 模型的實例應用: 央行在外匯市場的干預

實例應用: 央行在外匯市場的干預

在國際金融理論中, 匯率的波動主要來自以下三種因素:

1 市場基本面的波動 (volatility in market fundamentals),

2 預期的變動 (changes in expectations)

3 投機活動 (speculative activities)。




我們可以由一個簡單的理性預期匯率資產定價模型 (asset-pricing

model) 來討論這些因素:

et = (1 − δ) ∞∑j=0

δ jE( ft+ j ∣Ωt), (3)

其中, et 為名目匯率, Ωt 為第 t 期的資訊集合, δ 為折現因子 (discount

factor), 而 ft 就是第 t 期的基本面總體經濟變數。




首先, 市場基本面 ft 包含實質產出, 利率水準以及貨幣政策等總體

經濟變數, ft 的變動將直接影響匯率的波動。相對而言, 預期的變動

則是透過 Ωt 的改變影響匯率的波動。預期的變動可能來自於 (a) 對

未來市場基本面預期的改變, 以及 (b) 市場參與者對自己的預期的

信心程度 (亦即對於自己預期的正確性有多大把握)。

舉例來說, 如果投資人對於自己的預期充滿不確定感, 則任何新的資

訊進入市場, 都會使投資人不斷更新他的預期, 進而不斷改變其交易

決策, 最終造成匯率的波動。




最後, 匯率的波動可能來自與市場基本面 (現今的基本面或是預期

的未來基本面) 完全無關的投機活動。譬如, 自我預言實現的匯價變

動 (self-fullling exchange rate movements) 或是雜訊交易行為

(noise trading) 的存在等。




探討央行的外匯市場干預如何影響匯率的波動, 事實上就是探討央行干

預如何影響上述三種因素。如果央行所執行的是沖銷性干預, 則干預政

策並不會造成第一項基本面因素的變動。然而, 無論是沖銷性干預或是

非沖銷性干預, 央行的干預 (以下以 It 表示) 會將 (3) 式改變成:

et = (1 − δ) ∞∑j=0

δ jE( ft+ j∣Ωt + It). (4)

此時, 央行的干預行為或是央行的干預宣告, 就如同是一個進入資訊集合

的「訊號」 (signal), Ωt + It > Ωt。而央行的干預可能增加或是降低匯率

的波動, 端賴 It 的性質而定。




考慮以下簡單的 GARCH(2,1) 模型:

yt = µ + ρyt−1 + εt ,εt = vt√ht ,

vt ∼i.i.d . (0, 1),ht = c + α1ε

2t−1 + α2ε

2t−2 + βht−1 + θ∣∆xt ∣.

其中, yt 為外匯報酬, xt 為外匯存底。由於台灣的央行並未公布其外匯買

賣之細節, 故我們無法得知央行之干預金額, 只能以外匯存底變動的絕對

值 ∣∆xt ∣作為央行干預金額, It , 的替代變數。




圖 : ARCH/GARCH 效果檢定




圖 : 外匯報酬的 GARCH(2,1) 模型估計結果




顯然地, 由於 θ = 0.030696 > 0, 亦即

θ = ∂σ2t

∂∣ xt ∣ > 0,代表央行的干預並無法有效降低匯率的的波動程度, 反而會加劇其

不穩定性!

簡而言之, 若外匯市場具有效率性, 而且央行的宣示或行動是可信且

明確, 則干預政策可以降低匯率的波動。

循此角度解釋, 對於外匯市場的交易者而言, 台灣央行的宣示或行動

可能是模糊或不盡可信的, 匯率干預行動因而提高了匯市的不確定

性, 導致匯率波動擴大。


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