12 szczególna teoria wzgle¸dnosci´3517 z zadan jakiego podjeli sie ﬁzycy tamtego okresu bylo...

123511

Szczególna Teoria Wzglȩdności3512

12.1 Stan fizyki przed 19053513

12.1.1 Szczególna zasada wzglȩdnosci3514

Pod koniec XIX w. panowało powszechne przekonanie, ze mechanika jest teoria ostateczna i3515ze wszelkie zjawiska fizyczne moga byc zredukowane do opisu w ramach mechaniki. Jednym3516z zadan jakiego podjeli sie fizycy tamtego okresu bylo uzyskanie maksymalnie ekonomicznego3517opisu zjawisk poprzez odwolanie sie do minimalnego zbioru logicznie niezaleznych postulatow.3518

Powszechnie akceptowalnym postulatem, lezacym u podstaw mechaniki, byla zasada wz-3519glednosci Galileusza. Stwierdza ona, ze jezeli na cialo nie działaja inne ciala to porusza sie3520ono ruchem jednostajnym prostoliniowym. To stwierdzenie nie moze byc sluszne w dowolnym,3521poruszajacym sie ukladzie odniesienia (np nie stosuje sie w ukladach wirujacych). Uklady, w3522ktorych jest ono sluszne nazywamy inercjalnymi. Wszystkie uklady inercjalne poruszja sie3523wzgledem siebie ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Zasada wzglednosci Galileusza moze3524byc przeformulowana jako tzw. szczegolna zasada wzglednosci stwierdzajaca, ze prawa fizyki3525klasycznej sa spelnione we wszystkich ukladach inercjalnych.3526

Transformacja matematyczna miedzy wspolrzednymi w dwoch roznych ukladach inercjal-3527nych nazywa sie transformacja klasyczna lub transformacja Galileusza. Okresla ona pre-3528cyzyjnie zwiazki miedzy polozeniami i predkosciami mierzonymi tych ukladach inercjalnych.3529Oznaczamy przez t, x czas i i wspolrzedne punktu materialnego w ukladzie inercialnym S oraz3530przez t0, x0 czas i wspolrzedne tego punktu w ukladzie inercjalnym S0 poruszjacym sie z pred-3531

267

12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI

koscia V wzgledem S. Transformacja klasyczna ma postac:3532

t0 = t (12.1.1)

x0 = x�Vt (12.1.2)

Pierwsze prawo transformacyjne (12.1.1) okresla postulat dotyczacy rownoczesnosci lezacy u3533podstaw calej fizyki newtonowskiej. Prawo (12.1.2) wynika z intuicyjnego pojecia dodawania3534polozen. Konsekwencja transformacji klasycznej jest prawo dodawania predkosci wiazace3535v0 ⌘ dx0dt0 i v ⌘

dxdt i V majace postac:3536

v0 = v �V. (12.1.3)

12.1.2 Elektromagnetyzm Maxwella3537

Figure 12.1: James Clerk Maxwell (1831-1879)

James Clerk Maxwell (1831-1879) rozpoczal prace nad stworzeniem teorii zjawisk elektro-3538magnetycznych w 1854. W tym samym roku napisal list do przyjaciela Williama Thomsona3539obwieszczajac ze ”zamierza zaatakowac elektromagnetyzm”. Pierwsza z prac O Faradaya lini-3540ach sily (1855) byla nieudana i przedstatwiala jakosciowy hydrodynamiczny obraz osrodka bez3541odwolywania sie do matematyki. W roku 1861 opublikowal rozprawe O fizycznych liniach sily,3542w ktorej podjal probe zbudowania mechanicznego modelu pola elektromagnetycznego. Praca3543ta zawiera elementy teorii pola elektromagnetycznego rozwiniete nastepnie w kolejnej pracy3544Dynamiczna teoria pola (1864-1865). Maxwell wprowadzil pojecie przesuniecia elektrycznego3545

268


w miejsce uzywanego przez Faradaya pojecia polaryzacji osrodka. Zmiane przesuniecia elek-3546trycznego nazwal pradem przesuniecia.3547

(a) (b)

Figure 12.2: On physical lines of force.

Obie prace zawieraja niezwykle istotna informacje. Maxwell zauwazyl mianowicie, ze3548pojawiajacy sie w rownaniach pola stosunek jednostek elektrycznych do magnetycznych ma3549wymiar predkosci i co wiecej wartosc tej predkosci jest bardzo bliska znanej wowczas wartosci3550eksperymentalnej predkosci swiatla. Zakladajac, ze w osrodku, w ktorym istnieje przesuniecie3551moga sie rozchodzic periodyczne fale poprzeczne takiego przesuniecia Maxwell obliczyl pred-3552kosc tych fal uzyskujac wynik zblizony do wartosci predkosci swiatla. Rezultaty prac teorety-3553cznych nad elektrycznoscia doprowadzily go do hipotezy, ze swiatlo jest fala elektromagnety-3554czna.3555

Maxwell pracowal w dalszym ciagu nad udoskonalemiem swojej teorii i w 1873 wydal3556obszerne dzielo Treatise on Electricity and Magnetism, w ktorym mozna odnalezc ostateczna3557postac rownan pola elektromagnetycznego. W odroznieniu od poprzednich prac w traktacie3558nie budowal juz zadnych modeli pola elektromagnetycznego. Swoje rownania pola otrzymal3559przyjmujac hipoteze o pradzie przesuniecia oraz pojecie tzw stanu elektronicznego. W stanie3560elektronicznym zmiana pola magnetycznego wywoluje powstanie wirowego pola elektrycznego.3561

Rownania Maxwella w postaci przedstawionej w traktacie nie maja dokladnie formy powszech-3562nie dzis uzywanej. W szczegolnosci Maxwell nie poslugiwal sie rachunkiem wektorowym a za-3563

269


(a) (b)

Figure 12.3: (a) Predkosc swiatla i stosunek jednostek elektromagnetycznych. (b) Treatiseon Electricity and Magnetism

(a)

Figure 12.4: Rownania Maxwella.

miast tego niektore rownania sa zapisane z uzyciem notacji kwaternionowej. Obecnie uzywana,3564wektorowa postac rownan Maxwella zostala podana przez Olivera Heavisidea (1850-1925),3565

270


(a)

Figure 12.5: Rownania Maxwella.

(a)

Figure 12.6: Oliver Heaviside (1850-1925).

co w znacznej mierze przyczynilo sie do popularyzacji teorii Maxwella. Nalezy podkreslic, ze3566Maxwell nie zdawal sobie sprawy z fundamentalnoci teorii, ktora stworzyl. W szczegolnosci3567byl on do konca przekonany, ze u podstaw elektromagnetyzmu lezy pojecie osrodka materi-3568alnego odpowiedzialnego za przenoszenie fal elektromagnetycznych. Taki osrodek nazwano3569eterem. Stalą o wymiarze predkosci pojawiająca sie w równaniach Maxwella zinterpretowano3570jako predkosc sygnalow elektromagnetycznych w eterze.3571

271


12.1.3 Problemy z elektromagnetyzmem3572Szybko sie okazalo, ze skadinad swietnie zgadzajaca sie z doswiadczeniami teoria zjawisk elek-3573tomagnetycznych Maxwella prowadzi jednak do pewnych fundamentalnych problemow po-3574jeciowych:3575

1. Problemu ze stworzeniem mechanicznego modelu eteru,3576

2. Problemu z brakiem kowariancji rownan Maxwella wzgledem transformacji klasycznej.3577

12.1.3.1 Eter3578

Istnienie substancji przenoszacej drgania elektromagnetyczne wydawalo sie w owych czasach3579czyms zupelnie naturalnym. Zjawiska falowe takie jak rozchodzenie sie dzwieku stanowily pod-3580stawe pod konstrukcje analogii mechanicznej dla fal elektromagnetycznych. Wielu powaznych3581uczonych pisalo prace poswiecone stworzeniu modelu eteru. Zaliczaja sie do nich miedzy in-3582nymi: Augustin Cauchy, George FitzGerald, Goeorge Green, Oliver Heaviside, Herman Helmholtz,3583Gustav Kirchhoff, Joseph Larmor, Hendrik Lorentz, James Mac Cullagh, James Clerk Maxwell,3584Arnold Sommerfeld, George Stokes, William Tomson (Kelvin). Jednym z pytan, na ktore probowano3585odpowiedziec brzmialo: czy poruszjace sie obiekty unosza ze soba eter?3586

• Zakladajc, ze eter jest unoszony mozemy wyobrazic sobie laboratoruim S0 o przeźroczystych3587scianach, w ktorym znajduje sie zrodlo swiatla. Jezeli takie laboratorium porusza sie3588wzgledem zewnetrznego obserwatora S ze stala predkoscia V to predkosc swiatla obser-3589wowana w S bedzie suma wektorowa predkosci swiatla w eterze i predkosci laboratorium3590pod warunkiem, ze obowiazuja prawa mechaniki klasycznej. Oznacza to, ze pred-3591kosc obserwowalna swiatla powinna zalezec od ruchu zrodla. Wniosek ten pozostaje3592w jawnej sprzecznosci z doswiadczeniem. Rozwoj teorii i kolejne wyniki doswiadczalne3593sprawily, ze uczeni doszli do wniosku, iz swiatlo porusza sie w pustej przestrzeni z ta3594sama predkoscia c niezaleznie od barwy swiatla i ruchu jego zrodla („c-zasada”). Nad-3595mieńmy jeszcze, ze gdyby predkosc swiatla zalezala od ruchu zrodla to obrazy ciasnych3596ukladow podwojnych gwiazd powinny byc duzo bardziej zagmatwane niz sie w rzeczy-3597wistosci obserwuje.3598

• Zalozeniem przeciwstawnym jest przyjecie, ze eter nie moze byc unoszony. W takim3599przypadku jego uklad spoczynkowy jest wyrozniony (co pozwala na wprowadzenie po-3600jecia ruchu w eterze) i nie obowiazuje zasada Galileusza. Oznacza to, ze istnieje ruch3601absolutny (a nie wzgledny) i ze istnieje uklad, w ktorym prawa przyrody sa inne niz w po-3602zostalych. Kazdy obserwator moze stwierdzic czy pozostaje on w ruchu czy w spoczynku3603

272


wzgledem ukladu eteru. Predkosc swiatla powinna zatem zalezec od ruchu obserwa-3604tora. Probem zmierzenia predkosci swiatla jako funkcji predkosci obserwatora zostala3605podjeta w 1887 przez Alberta Abrahama Michalesona i Edwarda Morleya. Wyniki3606tej pracy zostaly zaprezentowane w artykule On relative motion of Earth and relative lu-3607miniferus ether w czasopismie American Journal of Science 34 , 333 (1887). Autorzy3608zmierzyli, ze predkosc swiatla nie zalezy od ruchu obserwatora (w tym przypadku3609Ziemi).3610

• Oba skrajne zalozenia prowadza do niezgodnosci z danymi eksperymentalnymi. Fizycy3611probowali uratowac teorie eteru postulujac, ze eter jest unoszony tylko czesciowo. Mod-3612ele te jednakze popadly rowniez w sprzecznosc z doswiadczeniem.3613

W tej sytuacji trzeba odrzucic pojecie eteru i rozpoczac konstrukcje nowej teorii, ktora3614bylaby zgodna z nastepujacymi faktami doswiadczalnymi:3615

1. Predkosc swiatla w prozni ma zawsze normalna wartosc, ktora nie zlezy od ruchu zrodla3616ani odbiornika swiatla.3617

2. W dwoch ukladach inercjalnych wszystkie prawa przyrody sa scisle takie same i nie ma3618sposobu wyroznienia bezwzglednego ruchu jednostajnego.3619

12.1.3.2 Kowariancja rownan Maxwella3620

Zauwazmy, ze prawo dodawania predkosci wynikajace z transformacji klasycznej, pozostaje w3621sprzecznosci z pierwszym faktem dotyczacym stalosci predkosci swiatla. Nie byl to jedyny3622problem dotyczacy transformacji klasycznej. Wszystkie eksperymenty dotyczace elektromag-3623netyzmu potwierdzaja slusznosc stwierdzenia, ze rownania Maxwella maja taka sama postac w3624dwoch roznych ukladach inercjalnych. Innymi slowy w rownaniach nie obserwuje sie nowych3625czlonow zaleznych od ruchu laboratorium, w ktorym wykonywane sa eksperymenty elektro-3626magnetyczne. Jest zatem czyms zupenie naturalnym oczekiwac, ze zastosowanie transforma-3627cji wiazacej wspolrzedne w dwoch roznych ukladach inercjalnych przeprowadzi uklad rownan3628Maxwella w rownowazny mu uklad rownan majacy te sama forme (wartosci pol i wspolrzed-3629nych moga sie oczywiscie roznic). Okazalo sie jednak, ze tak nie jest! Transformacja klasyczna3630nie przeprowadza rownan Maxwella w rownania Maxwella. Wynika stad, ze transformacja3631klasyczna:3632

• pozostaje w sprzecznosci ze stalym charakterem predkosci swiatla,3633

• nie pozwala na zachowanie kowariancji rownan Maxwella.3634

273


Jedynym wyjsciem w tej sytuacji jest odrzucenie formy transformacji klasycznej i poszuki-3635wanie takiej transformacji, ktora pozostanie w zgodzie z wymienionymi faktami.3636

12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci3637Szczegolna teoria wzglednosci zostala zaproponowana przez Einsteina jako proba wyjscia z3638niezadowalajacej sytuacji, do ktorej doprowadzila konfrontacja zjawisk elektromagnetycznych3639z mechanika klasyczna. Praca Einstaeina z 30 czerwca 1905 opublikowana Annalem der Physik3640stanowila przelom w pogladach na przestrzen i czas. Sama praca ma gleboki zwiazek z elektro-3641dynamika o czym swiadczy jej tytul O elektrodynamice cial w ruchu. W swojej pracy Einstein3642przyjal dwa postulaty pozostajace w bezposrednim zwiazku z faktami doswiadczalnymi:3643

1. Predkosc swiatla w prozni jest jednakowa we wszystkich u.w. inercjalnych.3644

2. Wszystkie prawa przyrody sa jednakowe we wszystkich u.w. inercjalnych.3645

Transformacja wiazaca wspolrzedne w dwoch roznych ukladach inercjalnych nie jest trans-3646formacją klasyczną lecz inną transformacją majacą postac gwarantujaca spelnienie postulatu3647stalosci predkosci swiatla. Transformacja ta jest znana jako transformacja Lorentza.3648

Figure 12.7: O elektrodynamice cial w ruchu.

274

12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci

12.2.1 Równoczesność3649Postulat o stalosci predkosci swiatla stanowi rezyngacje z pojecia rownoczesnosci absolutnej3650(12.1.1) gdyz zalozenia c0 = c i t0 = t prowadza do sprzecznosci logicznej. Rezygnacja z3651absolutnego charakteru czasu sprawia, ze nalezy go traktowac nie jako parametr zewnewtrzny3652lecz jako wspolrzedna, ktora podlega transformacji w zaleznosci od ruchu obserwatora. Po-3653jecie rownoczesnosci zalezy zatem od obserwatora. Kazdy z obserwatorow definiuje swoj3654wlasny czas. Zbior zdarzen majacych te sama wartosc wspolrzednej czasowej w danym uk-3655ladzie stanowi powierzchnie rownoczesnosci. Efektami relatywistycznymi majacymi swe zrodlo3656w nieistnieniu rownoczesnosci absolutnej sa:3657

• skrocenie Lorentza-FitzGeralda,3658

• dylatacja czasu.3659

12.2.2 Czasoprzestrzeń3660Jedną z niewatpliwych zalet Szczególnej Teorii Wzglednosci jest mozliwosc jej geometryza-3661cji co daje glebszy wglad w jej strukture i ulatwia zrozumienie. Pojeciem pierwotnym beda-3662cym odpowiednikiem punktu w geometrii Euklidesa jest pojecie zdarzenia. Czasoprzestrzen3663jest zbiorem wszystkich zdarzen niosacych informacje o tym „kiedy’ i „gdzie” niezaleznie od3664tego „co” sie zdarzylo. Czasoprzestrzen jest zatem zbiorem etykiet. Jezeli taki zbior zostanie3665wyposazony w strukture to wowczas bedziemy mogli mowic o modelu matematycznym czaso-3666przestrzeni. Czasoprzestrzen Szczegolnej Teorii Wzglednosci posiada strukture czterowymi-3667arowej przestrzeni afinicznej czyli jednorodnej przestrzeni, w ktorej zdefiniowana jest oper-3668acja translacji tj „dodawania” wektorow i punktow.3669

12.2.2.1 Przestrzen afiniczna3670

Modelem czasoprzestrzeni Minkowskiego jest czterowymiarowa przestrzen afiniczna (A,V)3671z iloczynem sklarnym g(. , .) gdzie A oznacza zbior punktow oraz V jest czterowymiarowa3672rzeczywista przestrzenia wektorowa. W przestrzeni afinicznej okreslone jest odwzorowanie ”+”3673(translacja o wektor) przyporzadkowujace punktom punkty3674

A⇥ V 3 (p,x) ! p+ x 2 A (12.2.4)

o wlasnosciach3675

1. dla kazdych dwoch punktow p, q 2 A istnieje dokladnie jeden wektor x 2 V taki, ze3676p+ x = q,3677

275


2. p + (x + y) = (p + x) + y dla kazdego punktu p 2 A i kazdych dwoch wektorow3678x,y 2 V.3679

Jesli wyroznimy pewien punkt p0

2 A i ustalimy baze e↵ w V, to kazdy punkt p 2 A moze3680byc jednoznacznie przedstawiony jako translacja z p

0

o wektor x 2 V3681

p = p0

+ x = p0

+ x↵(p)e↵ (12.2.5)

gdzie wspolczyniki {x↵(p)}↵=0,1,2,3 sa wspolrzednymi kartezjanskimi punktu p wzgledem bazy3682afinicznej (p

0

, e↵). Zadanie symetrycznej, nieosobliwej macierzy o wyrazach3683

g↵� := g(e↵, e�) (12.2.6)

okresla iloczyn skalarny. Komplet liczb g↵� nosi nazwe skladowych tensora metrycznego. Cza-3684soprzestrzen Szczegolnej Teorii Wzglednosci jest to plaska czasoprzestrzen Minkowskiego.3685Skadowe tensora metrycznago tej czasoprzestrzeni we wspolrzednych kartezjanskich przyjmuja3686postac3687

g↵� ⌘ ⌘↵� =

0BBBB@1 0 0 0

0 �1 0 00 0 �1 00 0 0 �1

1CCCCA . (12.2.7)Nowe wspolrzedne (wspolrzedne krzywoliniowe) mozna wprowadzic jako dyfeomorfizm3688

x̃↵ = x̃↵(x0, . . . , x3), ↵ = 0, . . . , 3 (12.2.8)

tj. odwzorowanie przynajmniej raz rozniczkowalne w sposob ciagly, i majace odwzorowanie3689odwrotne takze przynajmniej raz rozniczkowalne w sposob ciagly.3690

12.2.2.2 Przestrzen styczna3691

Niech x bedzie wektorem wodzacym punktu p. Wektor ten moze byc przedstawiony jako3692funkcja wspolrzednych x̃↵ tj. x = x(x̃0, . . . , x̃3). W danym punkcie p mozna wprowadzic3693przestrzen styczna T(p) zadajac, by kazdemu ustalonemu ukladowi wspolrzednych w O ⇢ A3694odpowiadala pewna baza {e↵(p)}↵=0,...,3 w taki sposob, ze jezeli dwa uklady wspolrzednych3695zwiazane sa wzorami (12.2.8) to pomiedzy odpowiadajacymi im bazami {˜e↵(p)}, {e�(p)} za-3696chodzi zwiazek3697

˜e↵(p) =@x�

@x̃↵(p)e�(p). (12.2.9)

276


Wektory bazy krzywoliniowej {˜e↵(p)} w przestrzeni T(p) moga byc otrzymane w wyniku3698rozniczkowania wektora wodzacego x3699

˜e↵(p) :=@ x

@x̃↵(p). (12.2.10)

Skoro wektor jest obiektem geometrycznym (niezaleznym od ukladu wspolrzednych) to skad-3700owe wektora stycznego v = ṽ↵˜e↵ = v�e� musza sie transformowac w nastepujacy sposob3701

ṽ↵ =@x̃↵

@x�(p)v� . (12.2.11)

Sprawdzmy3702

ṽ↵˜e↵ = v� @x̃

↵

@x�@x�

@x̃↵e� = v

��e� = v�e� .

12.2.3 Diagramy Minkowskiego3703Narzedziem niezwykle uzytecznym sluzacym do badania STW sa tzw diagramy Minkowski-3704ego. Diagramy te stanowia przekroje czasoprzestrzeni (mapy dwu- lub trojwymiarowe). Kazdemu3705zdarzeniu w czasoprzestrzeni odpowiada czworka wspolrzednych (x0, x1, x2, x3) gdzie x0 ⌘3706ct. Historie ruchu obiektow w czsoprzestrzeni maja postac krzywych, wsteg lub hiper-wsteg3707w zleznosci od wymiarowosci poruszajacego sie obiektu. Sa to: linie swiata dla punktow,3708wstegi swiata dla obiektow jednowymiarowych i objetosci swiata dla obiektow dwu i tro-3709jwymiarowych. Standardowe diagramy Minkowskiego zawieraja zazwyczaj line i wstegi swiata.3710Stalosc predkosci swiatla oznacza, ze na dowolnym diagramie jego bieg jest reprezentowany3711przez linie proste tworzace katy ⇡/4 z osiami diagramu. Osie na diagramie dwuwymiarowym:3712

• x0 - jest to z definicji oś świata obserwatora inercjalnego,3713

• x1 - linia zbior zdarzen rownoczesnych ze zdarzeniem (0, 0).3714

Rozwazmy dwoch roznych obserwatorow inercjalnych S i S0. Istotnym zagadnieniem jestkonstrukcja osi obserwatora S0 na diagramie S i vice versa. Rozwazmy pierwszy przypadekw ktorym S0 porusza sie wzdluz osi x1 z predkoscia V . Os x00 jest dana jako linia swiataobserwatora S0 czyli jest to prosta o kacie nachylenia � przy czym

tan� = � ⌘ Vc.

Celem wyznaczenia osi x01 trzeba zidentyfikowac przynajmniej jedno zdarzenie rownoczesne3715z (x0, x1) = (0, 0) = (x00, x01), gdzie druga rownosc jest zalozeniem nie prowadzacym do3716straty ogolnosci. Takie zdarzenie moze byc wyznaczone przeprowadzajac eksperyment mys-3717lowy. Niech w S0 na jego osi w odleglosci x01 = a znajduje sie zwierciadlo. Stalosc predkosci3718

277


Figure 12.8: Linie swiata czastek.

swiatla prowadzi do wniosku, ze sygnal swietlny wyslany z (x00, x01) = (�a, 0) w kierunku3719zwierciadla osiagnie je w (x00, x01) = (0, a) i po odbiciu sie wroci do (x00, x01) = (a, 0).3720Zdarzenie odbicia sie swiatla jest reprezentowane przez przeciecie sie promieni swietlnych. Na3721diagramie S promienie swietlne tworza katy ⇡/4 z osiami (x0, x1). Ich przeciecie sie wyz-3722nacza zdarzenie odbicia rownoczesne z (0, 0). Wspolrzedne w S tego zdarzenia sa takie ze3723x0 6= 0. Oznacza to, ze os x01 tworzy pewien kat z osia x1. Osie te maja interpretacje linii3724rownoczesnosci. Brak pokrycia osi obrazuje nieistnienie pojecia absolutnej rownoczesnosci, u3725ktorego podstaw lezy stalosc predkosci swiatla. Stosujac elementarna geometrie mozna poka-3726zac, ze kat miedzy osiami x1 i x01 ma rowniez wartosc �.

(a) (b)

Figure 12.9: Konstrukcja osi x01.

3727

278


12.2.4 Geometria czasoprzestrzeni3728

12.2.4.1 Interwal3729

Geometria czasoprzestrzeni nie jest geometria Euklidesa. U podstaw geometrii Euklidesa3730lezy pojecie odleglosci miedzy punktami. Jest to wielkosc zdefiniowana jako dlugosc wektora3731laczcego dwa punkty. Oznaczajac taki wektor przez �r otrzymujemy wyrazenie na kwadrat3732dlugosci3733

�l2 ⌘ �r ·�r = (�x1)2 + (�x2)2 + (�x3)2 (12.2.12)

Wielkosc ta nie zalezy od wyboru ukladu wspolrzednych tzn. jest niezmiennikiem wzgledem3734obrotow, translacji i odbic. Niezmienniczosc ta jest konsekwencja symetrii przestrzeni Euk-3735lidesa.3736

W przypadku czasoprzestrzeni rowniez istnieje wyrazenie niezmiennicze utworzone z roznic3737wspolrzednych dwoch zdarzen. Wyrazenie takie ma postac3738

�s2 ⌘ (�x0)2 � (�x1)2 � (�x2)2 � (�x3)2 (12.2.13)

i jest nazywane interwalem czasoprzestrzennym. Niezmienniczosc interwalu ma swoje zrodlo3739w stalosci predkosci swiatla. Mozna to zrozumiec rozwazajac prosty eksperyment myslowy.

(a) (b)

Figure 12.10: Doswiadczenie.3740

Dwa rownolegle zwierciadla znajduja sie w odleglosci �x2 = L wzgledem siebie w ukladzie S.3741Miedzy zwierciadlami odbija sie sygnal swietlny poruszjac sie po prostaj rownoleglej do osi x2.3742Taki sygnal porusza sie po lini lamanej w innym ukladzie inercialnym S0 majacym predkosc �V3743wzgledem S w kierunku osi x1. Niech zdarzenia A, B, C koresponduja z kolejnymi odbiciami3744sygnalu. Roznice wspolrzednych zdarzen A i C maja nastepujeca wartosci:3745

279


• S :

�x0 ⌘ c�t = 2L, �x1 = �x2 = �x3 = 0

• S0 :

�x00 ⌘ c�t0 = 2

sL2 +

✓�x01

2

◆2

, �x01 =V

c�x00, �x02 = �x03 = 0

gdzie 2rL2 +

⇣�x012

⌘2

jest droga przebyta przez promien swietlny w S0 zas �x01 jest wz-glednym przemieszczeniem ukladow w czasie potrzebnym na powrot promienia. Przyjeto tuzgodnie z pierwszym postulatem, ze predkosc swiatla w S0 wynosi c. Z wzorow tych wynikabezposrednio, ze

�s2 = 4L2 = �s02.

Dla zdarzen pozostajacych nieskonczenie blisko siebie wyrazenie okreslajace interwal przyj-3746muje postac infiniteztmalna3747

ds2 ⌘ (dx0)2 � (dx1)2 � (dx2)2 � (dx3)2 (12.2.14)

= (dx0)2 � dx · dx

nazywana elementem liniowym czasoprzestrzeni Minkowskiego. Niezmienniczosc interwalu:3748

1. Uniwersalny charakter predkosci swiatla oznacza ze jesli w S element liniowy ds2 = 03749to w S0 musi byc on rowny ds02 = 0 (rownanie czola fali sferycznej).3750

2. Dwa elementy nieskonczenie male musza byc wielkosciami tego samego rzedu czyli3751powinny byc one proporcjonalne.3752

3. Wspolczynnik proporcjonalnosci powinien zalezec co najwyzej od absolutnej wartosci3753predkosci wzglednej ukladow inercjalnych S i S0 co pociaga zaleznosci3754

ds02 = a(|V|)ds2 ds2 = a(|�V|)ds02 (12.2.15)

4. Skoro | �V| = |V| to podstawiajac jeden wzor do drugiego otrzymuje sie a(|V|)2 = 13755czyli wspolczynnik proporcjonalnosci wynosi a = ±1 i w oczywisty sposob nie zalezy3756on od predkosci wzglednej. Oba wyrazenia powinny byc tozsame w granicy V ! 0,3757dlatego znak minus trzeba odrzucic.3758

280


12.2.4.2 Czterowektory, relacje miedzy zdarzeniami3759

Jezeli roznice wspolrzednych

�xµ ⌘ xµB � xµA µ = {0, 1, 2, 3}

dwoch zdarzen A i B utozsamic ze skladowymi pewnego czterowektora �x = �xµeµ (przestrzen3760afiniczna) to interwal �s2 miedzy tymi zdarzeniami ma interpretacje kwadratu relatywisty-3761cznego tego czterowektora.3762

g(�x,�x) = g(�xµeµ,�x⌫e⌫) = g(eµ, e⌫)�x

µ�x⌫ = ⌘µ⌫�x

µ�x⌫ = �s2.

W przeciwienstwie do wektorow w przestrzeni Euklidesa wektory w czasoprzestrzeni Minkowskiego3763sa trzech rodzajow:3764

• zerowe dla �s2 = 0,3765

• czasowe dla �s2 > 0,3766

• przestrzenne dla �s2 < 0.3767

Oznacza to, ze geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego jest odmienna od geometrii Eukli-3768dasa. Dwa zdarzenia polaczone wktorem zerowym sa rozdzielone swietlnie, polaczone wek-3769torem czasowym sa rozdzielone czasowo polaczone wektorem przestrzennym sa rozdzielone3770przestrzennie. Niezmienniczosc interwalu (wynikajaca z uniwersalnego charakteru predkosci3771swiatla) implikuje, ze relacja miedzy kazdymi dwoma zdarzeniami nie moze zalezec od wyboru3772ukladu inercjalnego. W szczegolnosci dla dwoch zdarzen rozdzielonych przestrzennie istnieje3773uklad inercjalny, w ktorym sa one rownoczesne. Podobnie mozna znalezc taki uklad inerc-3774jalny, w ktorym dwa zdarzenia rozdzielone czasowo maja te sama wartosc wspolrzednych3775przestrzennych.3776

Relacje miedzy zdarzeniami mozna zilustrowac geometrycznie wprowadzajac stozek swi-3777etlny. Przyjmujemy zdarzenie A jako ustalone i utozsamiamy z nim wierzcholek stozka swi-3778etlnego. Powierzchnia stozka jest utworzona przez wszystkie zdarzenia rozdzielone swietlnie3779z A. Wnetrze stozka stanowi zbior zdarzen rozdzielonuch czasowo z A, natomiast obszar na3780zewnatrz stozka („gdzie indziej”) to zbior zdarzen rozdzielonych przestrznnie z A. Dodatkowo,3781dla �x0 > 0 mowimy o stozku przyszlosci i dla �x0 < 0 o stozku przeszlosci. Zdarzenia3782lezace w stozku przyszlosci moga byc osiagniete z A po liniach swiata lub liniach zerowych3783(obszr wplywu A) podczas gdy zdarzenia w stozku przeszlosci moga wywrzec wplyw na A (ob-3784szar zaleznosci A). Zdarzenia pozostajace na zewnatrz stozka ani nie sa osiagalne z A ani nie3785moga wywrzec wplywu na A. Elementarna analiza geometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego3786prowadzi zatem do wniosku, ze czasoprzestrzen ma strukture przyczynowa (kauzalna).3787

281


Figure 12.11: Stozek swietlny.

12.2.5 Skrocenie Lorentza-FitzGeralda3788

Skrocenie Lorentza-FitzGeralda jest efektem kinematycznym a nie dynamicznym! Jest ono3789bezposrednia konsekwencja braku absolutnego charakteru rownoczesnosci. Rozwazmy ekspery-3790ment myslowy w (1+1) wymiarach.3791

Niech w ukladzie inercjalnym S spoczywa sztywny pret o dlugosci L. Drugi uklad inerc-jalny S0 porusza sie w kierunku osi x1 z predkoscia V . Historia preta w czasoprzestrzeni tworzyjego wstege swiata. Obaj obserwatorzy inercjalni dokonuja przekroju wstegi swiata preta przypomocy osi x1, (x01) bedacych liniami rownoczesnosci w ich wlasnym ukladzie inercjalnym S,(S0) i interpretuja roznice wspolrzednych odpowiadajacych skrajnym punktom przekroju jakodlugosc preta L, (L0). Bez straty ogolnosci mozna przyjac (x0, x1) = (0, 0) = (x00, x01). Osiex0 i x00 tworza kat � na diagramie S i podobnie ten sam kat tworza osie x1 i x01. Zachodziprzy tym tan� = �. Niech jeden z koncow preta ma wspolrzedne w S: (x0, x1) = (0, 0)(zdarzenie A) zas drugi (x0, x1) = (0, L) (zdarzenie C). W ukladzie S0 zdarzenie A ma (zzalozenia) wspolrzedne (x00, x01) = (0, 0) natomiast rownoczesne z nim zdarzenie B posiadawspolrzedne (x00, x01) = (0, L0) gdzie dlugosc L0 moze byc wyznaczona z niezmienniczosciinterwalu �s2AB . Wspolrzedne B w S mozna odczytac z geometrii diagramu (tangensa katamiedzy osiami x1 i x01)

tan� = � =�L

L=

�x0AB�x1AB

=

x0Bx1B

282


Figure 12.12: Skrocenie Lorentza.

Z porownania interwalow otrzymuje sie3792

�s02AB = �s2

AB

0

2 � L02 = (�L2)� L2

skad otrzymuje sie

L0 =p

1� �2L ⌘ 1�L

gdzie 0 � < 1. Oznacza to, ze obserwator w S0 mierzy, iz poruszajacy sie pret jest krotszy w3793stosunku do preta spoczywajacego w S.3794

Warto zauwazyc, ze obserwator w S potrafi jakosciowo uzasadnic rezultat otrzymany przez3795S0. Z jego punktu widzenia punkty koncow preta zostaly zmierzine w roznych chwilach. Biorac3796pod uwage, ze obserwator dokonujacy pomiaru porusza sie w S, obserwator w S stowarzyszy3797te rozbieznosc z przemieszczeniem ukladu S0 w trakcie dokonywania pomiaru (zanizeniem3798wartosci pomiarowej o wartosc przemieszczenia ukladu pomiarowego). Z punktu widzenia S3799przemieszczenie obserwatora S0 w trakcie pomiaru ma wartosc �L = �2L, dlatego zanizona3800wartosc pomiarowa wynosi (1� �2)L co ilosciowo jest niezgodne z wartoscia L0.3801

283


12.2.6 Dylatacja czasu3802Rozwazmy dwa uklady inercjalne majace predkosc wzgledna V . Niech S0 porusza sie w dodat-3803nim kierunku osi x1 w S.3804

Figure 12.13: Dylatacja czasu.

Bez straty ogolnosci mozna przyjac (x0, x1) = (0, 0) = (x00, x01). Wartosc wspolrzednaj3805czasowej obserwatora w jego ukladzie inercjalnym to czas pokazywany przez jego zegar. Na3806podstawie przyjetego zalozenia zegary obu obserwatorow sa zsynchronizowane (pokazuja ten3807sam czas w chwili spotkania w O - poczatku obu ukladow).3808

Rozwazmy linie rownoczesnosci w S odpowiadajace wskazaniu zegara x0 = a. Linia ta3809przecina linie swiata obserwatora w S0 w momencie gdy wskazanie jego zegara ma wartosc3810x00 = a0 (zdarzenie A). Wspolrzedne zdarzenia A maja wartosc3811

• w S0: (x00A, x01A) = (a0, 0) - zdarzenie na osi x003812

• w S: (x0A, x1A) = (a,�a).3813

Wartosc x1A = �a wynika z relacji

tan� = � =�a

a=

x1Ax0A

gdzie � jest katem miedzy osiami x0 i x00. Niezmienniczosc interwalu �s2OA prowadzi do3814rownania a02 � 02 = a2 � �2a2, skad wynika zwiazek3815

a0 =p1� �2a. (12.2.16)

284


Figure 12.14: Dylatacja czasu.

Obserwator w S twierdzi, ze zegar w S0 sie spoznia.3816Rozwazmy teraz linie rownoczesnosci w S0 zawierajaca zdarzenie A tj. zbior wszystkich3817

tych zdzrzen, ktorym S0 przypisuje chwile x00 = a0. Linia ta (rownolegla do x01) przecina linie3818swiata obserwatora w S tj. os x0 w chwili x0 = b (zdarzenie B). Wspolrzedne zdarzenia B:3819

• w S: (x0B, x1B) = (b, 0) - zdarzenie na osi x03820

• w S: (x00B, x01B) = (a0,��a0)3821

Znak minus jest zwiazany z faktem,z se S porusza sie wzgledem S0 w kierunku ujemnym osix01 co daje x01B < 0

tan� = � = ��a0

a0= �x

01B

x00B.

Niezmienniczosc interwalu �s2OB prowadzi do rownania b2 � 02 = a02 � (��a0)2 majacego3822

rozwiazanie3823

b =p1� �2a0. (12.2.17)

Obserwator w S0 twierdzi, ze zegar w S sie spóznia. Wynik ten jest symetryczny z poprzed-nim w sensie

b

a0=

p1� �2 = a

0

a

i oznacza, ze zaden z obserwatorow inercjalnych nie jest wyrozniony.3824Na koniec zauwazmy jeszcze, ze zbior zdarzen ktorych wspolrzedna czasowa jest taka sama3825

w dowolnym ukladzie inercjalnym, ktorego zegar jest zsynchronizowany z S0 tworzy hiperbole3826

285


Figure 12.15: Niezmiennicze hiperbole.

o rownaniu3827(x0)2 � (x1)2 = a2. (12.2.18)

Podobnie hiperbola3828(x0)2 � (x1)2 = �b2 (12.2.19)

reprezentuje zbior zdarzen, majacych te sama wartosc odleglosci od poczatku ukladu w dowol-3829nym ukladzie inercjalnym. Lewe strony rownan (12.2.18) i (12.2.19) sa interwalami czaso-3830przestrzennymi obliczonymi miedzy zdarzeniem lezacym w poczatku ukladu wspolrzednych3831(0, 0) i zdarzeniem o wspolrzednych (x0, x1) w ukladzie inercjalnym S. W swietle niezmien-3832niczosci interwalu ta sama kombinacja wspolrzednych przyjmujaca te sama wartosc a2, (�b2)3833pojawi sie w ukladzie S0. Hiperbole sa krzywymi niezmienniczymi przy zmianie ukladu inerc-3834jalnego. Moga byc one wykorzystane do kalibracji osi ukladu S0 narysowanego na diagramie S.3835Hiperbola (12.2.18) jest zbiorem zdarzen o tej wlasnosci, ze zegary obserwatorow inercjalnych,3836ktorych poczatki ukladow wspolrzednych sie pokrywaja, maja te same wskazania.3837

W czasoprzestrzeni (2+1) wymiarowej hiperbole te nalezy zastapic hiperboloidami. Hiper-3838boloidy w czasoprzestrzeni sa odpowiednikami sfer w przestrzeni Euklidesa.3839

12.2.7 Transformacja Lorentza3840

12.2.7.1 Warunek ogolny3841

Poszukiwana transformacja miedzy dwoma ukladami inercjalnymi x0µ = x0µ(x0, x1, x2, x3)3842powinna byc takim przeksztalceniem wspolrzednych, ktore zachowuje interwal miedzy dwoma3843

286


Figure 12.16: Hiperboloity.

zdarzeniami. W niniejszym tekscie ograniczamy sie do takich wlasnie przeksztalcen tj. trans-3844formacji uladu zwanych transformacjami biernymi. W niektorych zagadnieniach fizyki np.3845w literaturze poswieconej fizyce czastek elementarnych rozwaza sie transformace czynne czyli3846takie, ktore w sposob aktywny dzialaja na czterowerory przyporzadkowujac im inne czterowek-3847tory.3848

Transformacją trywialną zachowującą element liniowy jest translacja tj.3849

x0µ = xµ + aµ (12.2.20)

gdzie aµ jest stalym czterowektoerem. Inne transformacje o tej wlasnosci nie bedace translac-3850jami nazywamy transformacjami Lorentza. Ogolna transformacja Lorentza moze byc wprowad-3851zona jako przeksztalcenie wspolrzednych3852

dx0µ = Lµ⌫dx⌫

gdzie Lµ⌫ ⌘@x0µ

@x⌫. (12.2.21)

Transformacja ta powinna zawierac jedynie stale parametry, gdyz jest to transformacja miedzy3853ukladami inercjalnymi. W szczegolnosci, w przypadku transformacji majacej zastapic transfr-3854macje klasyczna oczekujemy zaleznosci od predkosci wzglednej ukladow inercjalnych. Element3855liniowy przyjmuje postac3856

ds2 = g(dx, dx) = gµ⌫dxµdx⌫ (12.2.22)

gdzie gµ⌫ sa skladowymi tensora metrycznego czasoprzestrzeni Minkowskiego. Tensor me-3857tryczny odwrotny spelnia gµ↵g↵⌫ = �µ⌫ i jest tozsamy z gµ⌫ ⌘ ⌘µ⌫ we wspolrzednych kartez-3858janskich. Warunek niezmienniczosci elementu liniowego ds02 = ds2 moze byc zapisany w3859

287


postaci3860

⌘µ⌫Lµ↵L

⌫�dx

↵dx� = ⌘↵�dx↵dx�

Warunek ten powinien byc spelniony dla dowolnych dx↵. Jest to mozliwe o ile zachodzi3861

Lµ↵L⌫�⌘µ⌫ = ⌘↵� . (12.2.23)

Oznacza to, ze uniwersalny charakter wartosci predkosci swiatla w prozni, reprezentowanygeometrycznie przez warunek niezmienniczosci interwalu, przyjmuje obecnie forme warunkualgebraicznego (12.2.23). Dopuszczalne transformacje miedzy ukladami inercjalnymi za-chowuja skladowe tensora metrycznego. Podsumowujac:

c0 = c| {z }postulat

, ds02 = ds2| {z }war. geometryczny

, Lµ↵L⌫�⌘µ⌫ = ⌘↵�| {z }war. algebraiczny

.

12.2.7.2 Boosty3862

Boost (ang.) oznacz pchniecie. Nazwa tej transformmacji lepiej odzwierciedla jej istote w3863przypadku transformacji czynnych. W niniejszym tekscie bedziemy jednakze sie nia poslugiwac3864w kontekscie transformacji biernych, w ktorych bierze udzial wspolrzedna czasowa.3865

Rozwazmy obecnie sytuacje uproszczona. Uklad S0 porusza sie w kierunku dodatnim osi3866x1 ukladu S. Transformacji podlagaja zatem wspolrzedne z µ = 0 i µ = 1 dlatego oczekujemy,3867ze transformacja ma postac3868

Lµ⌫ =

0BBBB@L0

0

L01

0 0

L10

L11

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1CCCCA (12.2.24)Niezmienniczosc tensora Minkowskiego prowadzi do trzech warunkow3869

(L00

)

2 � (L10

)

2

= 1, (12.2.25)

(L11

)

2 � (L01

)

2

= 1, (12.2.26)

L00

L01

� L10

L11

= 0. (12.2.27)

Dwa pierwsze warunki mozna rozwiazac bezposrednio przyjmujac parametryzacje:3870

L00

= cosh L10

= � sinh

L11

= cosh 0 L01

= � sinh 0

288


Trzeci warunek prowadzi do relacji tanh 0 = tanh , skad wnioskujemy, ze 0 = . Interpre-tacje parametru znajdujemy z odwolania sie do rownania linii swiata obserwatora S0. W jegoukladzie ma ono postac dx01 = 0. Otrzymujemy stad

L10

dx0 + L11

dx1 = 0.

Linia swiata obserwatora S0 w ukladzie S jest dana rownaniem dx1 = �dx0 skad po wstawieniudo powyzszego rownania otrzymujemy

L10

L11

+ � = 0 ) tanh = �

Parametr jest nazywany rapidity. Zauwazmy, ze

L00

= L11

=

cosh pcosh

2 � sinh2 =

1p1� tanh2

=

1p1� �2

⌘ �

Pozostale parametry otrzymujemy jako

L10

= L01

= � sinh = � cosh tanh = ��.

Szczegolna transformacja Lorentza ma zatem postac:3871

Lµ⌫ =

0BBBB@� �� 0 0

�� 0 00 0 1 0

0 0 0 1

1CCCCA (12.2.28)Ogolna transformacja typu boost, zalezna od wszystkich skladowych predkosci � = �iei, gdzie3872i = {1, 2, 3}, moze byc uzyskana w oparciu o transformacje szczegolna. Po pierwsze, za-3873uwazmy, ze z postaci transformacji szczegolnej wynika, ze skladowa przestrzenna czterowektora3874prostopadla do wektora predkosci nie ulega transformacji tj.3875

dx00 = �(dx0 � �dxk) (12.2.29)

dx0k = �(dxk � �dx0

) (12.2.30)

dx0? = dx? (12.2.31)

gdzie � ⌘ |�|. Dowolny wektor dx mozna rozlozyc na czesc rownolegla i prostopadla do3876wektora �:3877

dx =�(dx · �)

�2| {z }dxk

+

� ⇥ (dx⇥ �)�2| {z }dx?

. (12.2.32)

289


Skoro �dxk = � · dx to3878

dx00 = �(dx0 � � · dx). (12.2.33)

Czesc przestrzenna wektora dx0 ma postac3879

dx0 = dx0k + dx0? = dx

0k + dx? = �(dxk � �dx

0

) + dx?

= �(dxk � �dx0) + dx� dxk

= dx� ��dx0 + � � 1�2

(� · dx)� (12.2.34)

Z postaci transformacji dx0µ = Lµ⌫dx⌫ wynika, ze3880

dx00 = L00

dx0 + L0jdxj

dx0i = Li0

dx0 + Li jdxj .

Rozpisujac (12.2.33) i (12.2.34) otrzymujemy3881

dx00 = �dx0 � ��jdxj

dx0i = ��idx0 +�ij +

� � 1�2

�i�j�dxj .

Z porownania odczytujemy skladowe ogolnego boostu3882

L00

= � L0i = Li0

= ��i Li j = �ij +� � 1�2

�i�j (12.2.35)

3883

Lµ⌫ =

"L0

0

L0jLi

0

Li j

#.

Transformacje typu boost sa poszukiwanymi przeksztalceniami bedacymi odpowiednikami trans-3884formacji klasycznej.3885

12.2.7.3 Obroty3886

Boosty nie sa jedynymi transformacjami, ktore zachowuja postac tensora metrycznego. Istnieje3887inna podgrupa ciagla transformacji dzialajaca jedynie na czesc przestrzena czterowektorow. Te3888grupe transformacji nazywamy obrotami. Dla przykladu transformacja opisujaca obrot ukladu3889wspolrzednych (transformacj bierna) w plaszczyznie x2x3 ma postac:3890

Lµ⌫ =

0BBBB@1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 cos� sin�

0 0 � sin� cos�

1CCCCA (12.2.36)

290


Analizujac postac macierzy obrotu stwierdzamy, ze obroty w plaszczyznie x2x3 tworza jedno-3891parametrowa grupe. Mnozac dwie macierze odpowiadajace obrotom o kat �

1

i �2

otrzymujemy3892macierz opisujaca obrot o kat �

3

= �1

+ �2

3893

L(�2

)L(�1

) = L(�1

+ �2

) (12.2.37)

gdzie korzystamy z wzorow3894

cos(�1

+ �2

) = cos�1

cos�2

� sin�1

sin�2

sin(�1

+ �2

) = sin�1

cos�2

+ cos�1

sin�2

.

12.2.7.4 Odbicia3895

Odbicia sa dyskretnymi transformacjami zachowujacymi postac tensora metrycznego. Rozroz-3896niamy odbicia czasowe T : (dx0, dx) ! (�dx0, dx), odbicia przestrzenne P : (dx0, dx) !3897(dx0,�dx) i odbicia calkowite TP : (dx0, dx) ! (�dx0,�dx). Macierze tych transformacji3898maja postac3899

LT =

"�1 00 I

#, LP =

"1 0

0 �I

#, LTP =

"�1 00 �I

#.

12.2.7.5 Klasyfikacja transformacji Lorentza3900

Wszystkie transformacje Lorentza mozna sklasyfikowac w zaleznosci od znaku skladowej L00

i3901wartosci wyznacznika macierzy Lorentza detL.3902

Przyjmujemy konwencje, ze pierwszy indeks w wyrazeniach Lµ⌫ , ⌘µ⌫ reprazentuje nu-mer linii macierzy stowarzyszonej zas drugi indeks odpowiada numerowi kolumny. Warunekniezmienniczosci tensora metrycznego wzgledem transformacji Lorentza przyjmuje postac

LT ⌘L = ⌘.

Obliczajac wyznacznik obu stron otrzymuje sie (detL)2 = 1. Stad detL = ±1. Warunek(12.2.23) dla ↵ = 0 i � = 0 przechodzi w

(L00

)

2

= 1 +

3Xi=1

(Li0

)

2

skad L00

� 1 lub L00

�1. Transformacje z L00

� 1 nazywamy ortochronicznymi L"3903(zachowujacymi kierunek czasu) natomiast L0

0

�1 nazywamy antyortochronicznymi L#.3904Transformacje własciwe L

+

sa dane przez detL = 1 a niewłasciwe L� przez detL = �1.3905Klasyfikacja transformacji Lorentaza:3906

291


• detL = +1 & sign L00

= +1: boosty i obroty3907

• detL = �1 & sign L00

= +1: odbicia przetrzenne P3908

• detL = +1 & sign L00

= �1: odbicia TP3909

• detL = �1 & sign L00

= �1: odbicia czasowe T3910

Jedynie transformacje ortochroniczne wlasciwe L"+

tworza podgrupe gdyz zawieraja elementjednostkowy. Element odwrotny (L�1)µ⌫ mozna otrzymac mnozac warunek LT ⌘L = ⌘ zlewej strony przez ⌘�1 i z prawej przez L�1, co prowadzi do wyrazenia

L�1 = ⌘�1LT ⌘.

W postaci ze wskaznikami

(L�1)µ⌫ = ⌘µ↵

(LT ) �↵ ⌘�⌫ = ⌘µ↵L�↵⌘�⌫ ⌘ L µ⌫ .

12.2.8 Dodawanie predkosci3911Rozwazamy tu jedynie przypadek jednowymiarowy ograniczajac sie do podprzestrzeni (x0, x1).Uklad inercjalny S0 porusza sie w dodatnim kierunku osi x1 z predkoscia V . Niech pewnaczastka posiada predkosc v ⌘ dx1dt wzgledem S i v

0 ⌘ dx01dt0 wzgledem S0. Transformacja

odwrotna dana macierza (L�1)µ⌫ ma postac

dx0 = �dx00 + ��dx01 dx1 = ��dx00 + �dx01,

skad znajdujemy3912

dx0 = �

✓1 + �

dx01

dx00

◆dx00 = �

✓1 +

V v0

c2

◆dx00

dx1 = �

✓� +

dx01

dx00

◆dx00 =

�

c

�V + v0

�dx00

Predkosc czastki w S wynosi3913

v = cdx1

dx0=

V + v0

1 +

V v0

c2. (12.2.38)

Jest to szczegolny przypadek wzoru na dodawanie predkosci. Zauwazmy, ze jesli czaską tą jestfoton to v0 = c i wowczas otrzymuje sie, ze jego predkosc w ukladzie S wynosi

v =V + c

1 +

Vc

= c

292


jest to odzwierciedleniem faktu, ze transformacja Lorentza zachowuje uniwersalny charakter3914predkosci swiatla.3915

Z formalnego punktu widzenia prawo dodawania predkosci w ustalonym kierunku moze3916byc otrzymane na podstawie mnozenia macierzy Lorentza odpowiadajacych boostom w tym3917kierunku. Wlasciwym parametrem jest tu nie predkosc lecz rapidity. Jako przyklad rozwazymy3918zlozenie boostow w kierunku osi x1.3919

Lµ⌫( ) =

0BBBB@cosh � sinh 0 0� sinh cosh 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1CCCCA (12.2.39)Zlozenie boostow sprowadza sie do mnozenia macierzy Lorentza, gdyz3920

dx00µ = Lµ↵( 2)dx0↵

= Lµ↵( 2)L↵⌫( 1)dx

⌫= Lµ⌫( 3)dx

⌫ . (12.2.40)

Mnozac dwie macierze odpowiadajace boostom danym przez 1

i 2

otrzymujemy macierz3921opisujaca boost opisany przez

3

= 1

+ 2

3922

L( 2

)L( 1

) = L( 1

+ 2

), (12.2.41)

gdzie korzystamy z wzorow3923

cosh( 1

+ 2

) = cosh 1

cosh 2

+ sinh 1

sinh 2

sinh( 1

+ 2

) = sinh 1

cosh 2

+ cosh 1

sinh 2

.

Stad otrzymujemy3924

�3

= tanh 3

=

sinh 1

cosh 2

+ cosh 1

sinh 2

cosh 1

cosh 2

+ sinh 1

sinh 2

=

tanh 1

+ tanh 2

1 + tanh 1

tanh 2

=

�1

+ �2

1 + �1

�2

(12.2.42)

gdzie �3

=

vc , �1 =

Vc i �2 =

v0

c .3925

12.2.9 Generatory grupy Lorentza3926Wlasciwe ortochroniczne transformacje Lorentza tworza grupe. Mozna sie o tym przekonac3927sprawdzajac kolejno warunki okreslajace grupe. Macierze przeksztalcen Lorentza spelniaja3928nastepujece warunki3929

1. L2

L1

2 L"+

, dla L1

, L2

2 L"+

,3930

293


2. L3

(L2

L1

) = (L3

L2

)L1

,3931

3. Istnieje element jednostkowy e = I,3932

4. Dla kazdego elementu L istnieje dokladnie jeden element L�1, taki ze L�1L = LL�1 =3933I.3934

Grupa przeksztalcen Lorentza jest specjalna grupa ortogonalna i jest oznaczana symbolem SO(1, 3).3935Kazdy element tej grupy mozna przedstawic w formie3936

L = exp(±⌦) ⌘1Xn=0

1

n!(±⌦)n. (12.2.43)

Znak ± ma znaczenie przy rozroznieniu miedzy transformacjami czynna i bierna. W zgodzie3937z dotychczasowymi rozwazaniami skupimy sie tu na transformacjach biernych, dlatego w3938dalszym ciagu bedziemy uzywac L = exp(�⌦). Transformacja odwrotna jest zatem postaci3939L�1 = exp(⌦). Z warunku niezmienniczosci tensora metrycznego ⌘µ⌫ wzgledem transformacji3940Lorentza tj LT ⌘L = ⌘ otrzymujemy rownanie LT ⌘ = ⌘L�1 gdzie LT = exp(�⌦T ). Wstawia-3941jac transformacje w formie szeregu otrzymujemy3942

I� ⌦T + 12

(⌦

T)

2

+ . . .

�⌘ = ⌘

I+ ⌦+ 1

2

⌦

2

+ . . .

�. (12.2.44)

Wyrazenie to narzuca warunek na ⌦ (pierwszy rzad rozwiniecia)3943

⌦

T ⌘ = �⌘⌦ ) (⌘⌦)T = �⌘⌦ (12.2.45)

gdyz ⌘T = ⌘. Definiujemy macierz antysymetryczna !T = �!3944

! := ⌘⌦ , !µ⌫ = ⌘µ↵⌦↵⌫ . (12.2.46)

Macierz ta posiada szesc niezaleznych elementow, ktore moga byc wybrane w nastepujacy3945sposob3946

! =

2666640

1

2

3

� 1

0 �3

��2

� 2

��3

0 �1

� 3

�2

��1

0

377775 , ⌦ = ⌘�1! =266664

0 1

2

3

1

0 ��3

�2

2

�3

0 ��1

3

��2

�1

0

377775Wprowadzamy generatory boostow Kk i obrotow Jk3947

⌦ = �i3X

k=1

Kk k � i3X

k=1

Jk�k (12.2.47)

294


gdzie antyhermitowskie K† = �K generatory boostow maja postac3948

K1

:=

2666640 i 0 0

i 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

377775 K2 :=266664

0 0 i 0

0 0 0 0

i 0 0 0

0 0 0 0

377775 K3 :=266664

0 0 0 i

0 0 0 0

0 0 0 0

i 0 0 0

377775i hermitowskie J† = J generatory obrotow sa dane macierzami3949

J1

:=

2666640 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 �i0 0 i 0

377775 J2 :=266664

0 0 0 0

0 0 0 i

0 0 0 0

0 �i 0 0

377775 J3 :=266664

0 0 0 0

0 0 �i 00 i 0 0

0 0 0 0

377775 .Generatory Jk i Kk spelniaja algebre Liego grupy SO(1, 3)3950

[Ji, Jj ] = i✏ijkJk, (12.2.48)

[Ji,Kj ] = i✏ijkKk, (12.2.49)

[Ki,Kj ] = �i✏ijkJk. (12.2.50)

Element algebry Liego grupy Lorentza ⌦ mozna przedstawic w postaci zwezenia macierzy3951parametrow !µ⌫ o skladowych3952

!0i = i oraz !ij = ✏ijk�k. (12.2.51)

z antysymetrycznym wyrazeniem Mµ⌫ = �M⌫µ o skladowych bedacych generatorami grupy3953Lorentza3954

M0i := Ki Mij:= ✏ijkJk. (12.2.52)

Zwezenie z parametrami transformacji !µ⌫ daje3955

1

2

!µ⌫Mµ⌫

=

1

2

(!0iM

0i+ !i0M

i0) +

1

2

!ijMij

= iKi +1

2

✏ijk✏ijl| {z }2�

kl

�kJl = iKi + �kJk

= i⌦. (12.2.53)

Otrzymujemy stad nastepujaca postac transformacji biernej L = e�⌦3956

L = exp

✓i

2

!µ⌫Mµ⌫

◆. (12.2.54)

295


Generatory Mµ⌫ spelniaja nastepujace relacje komutacji (cwiczenie)3957

[Mµ⌫ ,M⇢�] = i (⌘⌫⇢Mµ� � ⌘µ⇢M⌫� + ⌘µ�M⌫⇢ � ⌘⌫�Mµ⇢) . (12.2.55)

Przyklad 1. Niech jedynym niezerowym parametrem transformacji bedzie 1

⌘ . Wowczas3958transformacja boostu generowna przez K

1

i ma on postac rozwiniecia3959

L = exp(i K1

) = I+1Xn=1

(� )n

n!

2666640 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

377775n

= I+

2666641 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

3777751Xk=1

2k

(2k)!| {z }cosh( )�1

+

2666640 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

3777751Xk=1

(� )2k�1

(2k � 1)!| {z }� sinh( )

Wyrazenie to jest rowne macierzy transformacji boostu w kierunku x13960

L =

266664cosh � sinh 0 0� sinh cosh 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

377775 (12.2.56)Przyklad 2. Rozwazmy obrot generowany przez J

1

. Oznaczajac �1

⌘ � otrzymujemy3961

L = exp(i�J1

) = I+1Xn=1

(��)n

n!

2666640 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 �10 0 1 0

377775n

.

(12.2.57)

Zauwazmy, ze macierz3962

A :=

0 �11 0

!(12.2.58)

ma wlasnosci A2k = (�1)k I oraz A2k�1 = (�1)k�1A, stad otrzymujemy3963

L = I+

2666640 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

3777751Xk=1

(�1)k 2k

(2k)!| {z }cos(�)�1

+

2666640 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 �10 0 1 0

377775P1

l=0(�1)l(��)2l+1(2l+1)!z }| {

1Xk=1

(�1)k�1 (��)2k�1

(2k � 1)!| {z }� sin(�)

296


Ostatecznie otrzymujemy obrot o kat � w plaszczyznie x2x33964

L =

2666641 0 0 0

0 1 0 0

0 0 cos� sin�

0 0 � sin� cos�

377775 . (12.2.59)

12.2.10 Grupa Poincare3965Grupa Lorentza jest szescioparametrowa grupa. Nie zawiera ona jednak translacji. Rozszerzenie3966grupy Lorentza o translacje nosi nazwe grupy Pioncare. Przeksztalcenie wspolrzednych dane3967transformacja Poincare ma postac3968

x0µ = Lµ↵x↵+ aµ. (12.2.60)

Uwaga: jesli przyjac interpretacje transformacji Poincare jako przeksztalcenia wspolrzednych3969(transformacji biernej), to wowczas wyraz +aµ we wzorze (12.2.60) zadaje translacje o wektor3970�aµ a nie o wektor aµ. Dowolny element grupy Poincare P 2 P bedziemy przedstawiac w3971postaci pary3972

P := (L, a) (12.2.61)

gdzie L 2 L"+

jest macierza ortochronichnej wlasciwej gru Lorentza i a 2 T4

jest stalym3973czterowektorem (elementem grupy translacji). Prawo skladania transformacji Poincare wynika3974z dzialania na czterowektoey x00 = P

2

x0 = P2

(P1

x) = (P2

P1

)x co w notacji wskaznikowej3975mozna przedstawic nastepujaco3976

x00µ = (L2

)

µ↵x

0↵+ aµ

2

= (L2

)

µ↵[(L1)

↵⌫x

⌫+ a↵

1

] + aµ2

= (L2

L1

)

µ⌫x

⌫+ (L

2

)

µ↵a

↵1

+ aµ2

(12.2.62)

stad3977

(L2

, a2

)(L1

, a1

) = (L2

L1

, L2

a1

+ a2

). (12.2.63)

Wykazemy, ze jest to grupa. Pierwszy za aksjomatow jest spelniony na podstawie prawa sklada-3978nia transformacji Poncarego. Dla dowolnych dwoch elementow P

1

, P2

2 P ich zlozenie jest3979elementem grupy Poincare P

2

P1

2 P. Wykazemy lacznosc P3

(P2

P1

) = (P3

P2

)P1

:3980

P3

(P2

P1

) = (L3

, a3

)(L2

L1

, L2

a1

+ a2

)

= (L3

L2

L1

, L3

L2

a1

+ L3

a2

+ a3

) (12.2.64)

297


3981

(P3

P2

)P1

= (L3

L2

, L3

a2

+ a3

)(L1

, a1

)

= (L3

L2

L1

, L3

L2

a1

+ L3

a2

+ a3

). (12.2.65)

Element jednostkowy ma postac3982

e := (I, 0) (12.2.66)

i spelnia3983

eP = (I, 0)(L, a) = (IL, a+ 0) = P

Pe = (L, a)(I, 0) = (L I, L 0 + a) = P.

Element odwrotny ma postac3984

P�1 := (L�1,� L�1a) (12.2.67)

Zachodzi3985

P�1P = (L�1,�L�1a)(L, a) = (L�1L,L�1a� L�1a) = (I, 0) = e

PP�1 = (L, a)(L�1,�L�1a) = (LL�1,�LL�1a+ a) = (I, 0) = e.

Kazdy element grupy Poincare moze byc jednoznacznie rozlozony na iloczyn elementow naleza-3986cych do grupy translacji T

4

i wlasciwej ortochronicznej grupy Lorentza L"+

3987

(L, a) = (I, a)(L, 0). (12.2.68)

Zauwazmy, ze zlozenie w odwrotnej kolejnosci (ˆL, 0)(I, a) = (L,La) 6= (L, a). Rozklad3988(12.2.68) oznacza, ze grupa Poincare jest iloczynem polprostym grup T

4

i L"+

. W przypadku3989iloczynu prostego grup oczekiwalibysmy3990

(L2

, a2

)(L1

, a1

) = (L2

L1

, a1

+ a2

) (12.2.69)

co pozostaje w sprzecznosci z prawem mnozenia (12.2.63).3991

Grupa Poincare stanowi niezwykle wazna koncepcje, gdyz jest grupa symetrii kazdej re-3992latywistycznej teorii pola.3993

298


12.2.11 Czterowektory i tensory3994

12.2.11.1 Prawa transformacyjne czterowektorow3995

Skladowe wielkosci Aµ, transformujace sie przy zmianie ukladu inercjalnego tak jak rozniczki3996dxµ tj.3997

A0µ = Lµ⌫A⌫ (12.2.70)

bedziemy utozsamiac ze skladowymi czterowektora. Skladowe czterowektora transformujace3998sie wedlug wzoru (12.2.70) nazywamy kontrawariantnymi. Jesli transformacja realizowana3999jest odwrotnym przeksztalceniem Lorentza to wowczas mowimy o transformacji skladowych4000kowariantnych czterowektora. Skladowe takie transformuja sie tak jak pochodne @µ tj.4001

A0µ = (L�1

)

⌫µA⌫ = L

⌫µ A⌫ (12.2.71)

Zauwazmy, ze wyrazenie A0µB0µ = Lµ↵(L�1)

�µA↵B� = A↵B↵ jest niezmiennikiem (skalarem)

ze wzgledu na transformacje Lorentza. Rozwazmy skalar utworzony z tensora metrycznego iskladowych kontrawariantnych dwoch czterowektorow

⌘µ⌫A0µB0⌫ = ⌘µ⌫L

µ↵L

⌫�A

↵B� = ⌘↵�A↵B�

Zastepujac A↵ = (L�1)↵µA0µ po prawej stronie ostatniego rownania otrzymujemy

A0µ(⌘µ⌫B0⌫) = A0µ(L�1)↵µ(⌘↵�B

�),

skad widac, ze wyrazenie g↵�B� transformuje sie jak skladowe kowariantne czterowektora.Tensor metryczny odwzorowuje skladowe kontrawariantne czterowektora w skladowe kowari-antne i vice versa

Bµ = ⌘µ⌫B⌫ , Bµ = ⌘µ⌫B⌫ ,

gdzie druga z rownosci wynika z ⌘µ↵⌘↵⌫ = �⌫µ. Stad otrzymujemy4002

B0

= ⌘00

B0 + ⌘0jB

j= B0,

Bi = ⌘i0B0

+ ⌘ijBj= ��ijBj = �Bi,

co mozna podsumowac w formie Bµ ! (B0,�Bi). W szczegolnosci mamy4003

dxµ ! (dx0, dxi) dxµ ! (dx0,�dxi) (12.2.72)

@µ ! (@0, @i) @µ ! (@0,�@i). (12.2.73)

Na ogol czterowektory sa funkcjami wektora wodzacego o skladowych xµ (pola wektorowe).4004Wowczas prawo transformacyjne nalezy uzupenic o transformacje argumentow pol wektorowych4005

A0µ(x0) = Lµ⌫A⌫(x), gdzie x0µ = Lµ⌫x

⌫ . (12.2.74)

299


12.2.11.2 Prawo transformacyjne tensorow4006

W sposob analogiczny do wektorowej przestrzeni stycznej mozemy wprowadzic tensorowa4007przestrzen styczna. Obiekt eµ ⌦ e⌫ jest bazowym tensorem drugiego rzedu transformujacym4008sie w nastepujacy sposob4009

e0µ ⌦ e0⌫ =@x↵

@x0µ@x�

@x0⌫e↵ ⌦ e� . (12.2.75)

Tensor drugiego rzedu o walencji�2

0

�moze byc przedstawiaony w bazie (12.2.75) jako kombi-4010

nacja liniowa o wspolczynnikach Tµ⌫4011

T = Tµ⌫eµ ⌦ e⌫ . (12.2.76)

W przypadku gdy wspolczynniki kombinacji sa zmiennymi dynamicznymi zaleznymi w ogolnosci4012od wspolrzednych mowimy, ze T jest polem tensorowym. Tensor, podobnie jak wektor, jest4013obiektem geometrycznym niezaleznym od wyboru ukladu wspolrzednych. Oznacza to, ze wspol-4014czynniki pola tersorowego transformuja sie wedlug przepisu4015

T 0µ⌫(x0) =@x0µ

@x↵@x0⌫

@x�T↵�(x). (12.2.77)

Definiujemy wektory przestrzeni kosycznej jako obiekty posiadajace prawo transformacyjne4016

e0µ =@x0µ

@x↵e↵. (12.2.78)

Tensory bazowe drugiego rzedu moga byc utworzone jako produkty tensorowe eµ ⌦ e⌫ orazeµ ⌦ e⌫ . Rozwazmy ogolna baze tensorowa zawierajazca produkty n wektorow bazowych eµ im wektorow e⌫ . Baza ta posiada nastepujace prawo transformacyjne

e0µ1 ⌦ . . .⌦ e0µn

⌦ e0⌫1 ⌦ . . .⌦ e0⌫n = (12.2.79)

=

@x↵1

@x0µ1. . .

@x↵n

@x0µn@x0⌫1

@x�1. . .

@x0⌫m

@x�me↵1 ⌦ . . .⌦ e↵n ⌦ e�1 ⌦ . . .⌦ e�m .

Pole tensorowe o walencji�nm

�jest dane jako kombinacja liniowa4017

T = T↵1...↵n�1...�m(x)e↵1 ⌦ . . .⌦ e↵n ⌦ e�1 ⌦ . . .⌦ e�m . (12.2.80)

Jesli zmiana ukladu wspolrzednych jest dana transformacja Lorentza Lµ⌫ = @x0µ

@x⌫ to skladowe4018tensora T przeksztalcaja sie w nastepujacy sposob4019

T 0µ1...µn⌫1...⌫m(x0) = Lµ1↵1 . . . L

µn

↵n

L �1⌫1 . . . L�m

⌫m

T↵1...↵n�1...�m(x). (12.2.81)

300


12.2.11.3 Czas wlasny4020

Linia swiata obserwatora inercjalnego jest linia prostą na diagramie Minkowskiego. Dlugoscdowolnego odcinka tej prostej podzielona przez predkosc swiatla ma interpretacje przedzialuczasu miedzy dwoma chwilami mierzonego w ukladzie tego obserwatora. W granicy gdy przedzialten jest nieskonczenie maly to mozemy go przedstawiac za pomoca elementu liniowego dt0 =1

c

pds2 gdyz z definicji dx0i ⌘ 0. Jezeli obserwator porusza sie ruchem niejednostajnym to

w kazdej chwili jego uklad pokrywa sie z jednym z nieskonczenie wielu ukladow inercjalnych.Uklad taki bedziemy nazywac ukladem chwilowo wspolporuszjacym sie CW. Czas w ukladzieCW definujemy nastepujaco

d⌧ :=1

c

pds2.

Infinitezymalna dlugosc lini swiata takiego obserwatora wynosi c d⌧ . Dla lini swiata zadanejrownaniami xi = xi(t) w pewnym ukladzie inercjalnum otrzymujemy

ds2 = (dx0)2 � (dx)2 = (1� 1c2V 2)(dx0)2

a stad d⌧ =q

1� �(t)2dt. Parametr ⌧ moze byc wprowadzony jako calka4021

⌧(t) =

Z t0

dt0q1� �(t0)2 + const. (12.2.82)

Odwracajac te funkcje otrzymujemy t(⌧). Na ogol bedziemy zakladac, ze linia swiata jest danafunkcja ⌧ to znaczy jest dana rownaniami xµ = xµ(⌧). Dla dowolnej lini swiata przechodzacejprzez zdarzenia A i B otrzymujemy

⌧B � ⌧A =Z t

B

tA

dtq1� �(t)2 tB � tA.

Wynik ten oznacza, ze czas w ukladzie CW biegnie wolniej niz w jakimkolwiek innym ukladzie4022inercjalnym. Jezli dwaj obserwatorzy inercjalny i nieinercjalny znajduja sie w A i ich zegary sa4023zsynchronizowane to w momencie spotkania w B okaze sie, ze zegar obserwatora nieinercjal-4024nego bedzie mial spoznienie. Fakt ten jest nazywany w literaturze paradoksem blizniat.4025

Czas wlasny moze byc wprowadzony jedynie dla linii swiata nie bedacych liniami zerowymi4026gdyz dla takich linii mamy ds2 = 0. Linie swiata fotonow nie moga byc sparametryzowane4027czasem wlasnym. W takim przypadku wprowadza sie tak zwany parametr afiniczny.4028

12.2.11.4 Czteropredkosc, czteroped4029

Czteropredkosc definiujemy jako pochodna wzgledem czasu wlasnego

uµ =dxµ

d⌧

301


czyli jest to wektor styczny do lini swiata. Skladowe czteropredkosci wynosza

u0 = cdt

d⌧= c�(t) ui =

dxi

dt

dt

d⌧= �(t)vi(t)

a stad uµ ! (�c, �vi). W ukladze CW obserwatora nieinercjalnego u0µ ! (c, 0). Kawadratrelatywistyczny czteropredkosci jest niezmiennikiem Lorentza i wynosi

uµuµ = c2.

Czteroped z definicji jest nastepujacym wyrazeniem

pµ = muµ ! (�mc, �mvi).

skad pµpµ = m2c2. Skladowe przestrzenne czteropedu sa uogolnieniem pedu nierelatywisty-cznego. Interpretacja skladowej zerowej p0 moze byc przeprowadzona poprzez analize przy-padku granicznego. Rozwiniecie w szereg Taylora prowadzi do wyrazenia

p0 = mc

1 +

1

2

v2

c2+ . . .

�=

1

c

mc2 +

1

2

mv2 + . . .

�⌘ E

c

gdzie pojawiajacy sie czlon kinetyczny sugeruje, ze wyrazenie to nalezy traktowac jako energiepodzielona przez predkosc swiatla. Czlon mc2 ma interpretacje energii spoczynkowej czastki.Jest on nieobecny w mechanice klasycznej gdyz Lagrangian ukladu mechanicznego jest okres-lony z dokladnoscia do stalej. Kwadrat relatywistyczny czteropedu prowadzi do wyrazenia

E2 = m2c4 + c2p2,

ktore wiaze kwadrat energii z kwadratem pedu. Teorie kwantowe relatywistyczne opisujace4030czastki elementarne powinny zawierac ten zwiazek.4031

12.2.11.5 Czteroprzyspieszenie4032

Czteroprzyspieszenie jest wektorem o skladowych4033

aµ :=d2xµ

d⌧2=

duµ

d⌧. (12.2.83)

gdzie uµ ! (�c, �v).4034

duµ

d⌧!✓cd�

d⌧,d�

d⌧v + �

dv

d⌧

◆(12.2.84)

302

12.3 Znaczenie Szczegolnej Teorii Wzglednosci

Obliczajac pochodne4035

dv

d⌧=

dt

d⌧

dv

dt= �v̇

d�

d⌧=

dt

d⌧

d�

dt= �

"�12

�2� · d�dt(

p1� �2)3

#=

1

c�4� · d�

dt⌘ 1

c�4� · v̇

otrzymujemy ostatecznie4036

aµ !��4(� · v̇), �2v̇ + �4(� · v̇)�

�(12.2.85)

=

��4(� · v̇), �4(1� �2)v̇ + �4(� · v̇)�

�= �4 (� · v̇, v̇ � � ⇥ (v̇ ⇥ �)) (12.2.86)

W ukladzie CW obserwatora przyspieszanego z definicji � = 0 (� = 1) chociaz przyspieszenie4037v̇ nie jest zerem, co prowadzi do wyrazenia4038

a0µ ! (0, v̇). (12.2.87)

Stad znajdujemy postac niezmiennika lorentzowskiego (kwadratu czterowektora przyspiesze-4039nia)4040

a0µa0µ = aµaµ = �v̇2 < 0 (12.2.88)

prowadzacego do wniosku, ze czteroprzestrzenie jest wektorem przestrzennym.4041

12.3 Znaczenie Szczegolnej Teorii Wzglednosci4042Szczegolna Teoria Wzglednosci stanowi niezwykle istotne dokonanie w ramach fizyki teore-4043tycznej. Po pierwsze, teoria ta zreformowala poglady na czas i przestrzen. Czas przestal byc4044parametrem a zmiast tego zostal utozsamiony z jedna ze wspolrzednych. W tym sensie nie posi-4045ada on charakteru absolutnego. W konsekwencji pojecie rownoczesnosci stalo sie zalezne od4046obserwatora. Po drugie, teoria wzglednosci zunifikowala zasady zachowania energii i pedu w4047jedno prawo - zasade zachowania czteropedu. Po trzecie, formalizm Szczegolnej Teorii Wz-4048glednosci pozwolil na pelna unifikacje elektrycznosci z magnetyzmem. Zjawiaska elektryczne4049i magnetyczne staly sie czescia jednej struktury - pola elektromagnetycznego. Wreszcie po4050czwarte teoria ta pozwolila zrozumiec jaka role w rownaniach fizyki odgrywa predkosc swiatla.4051Nie jest ona jedynie parametrem, ktory moze sie zmieniac w zaleznosci od sytuacji fizycznej4052lecz wprost przeciwnie - jest ona uniwersalna stala przyrody.4053

303

12 szczególna teoria wzgle¸dnosci´3517 z zadan jakiego podjeli sie ﬁzycy tamtego okresu bylo...

Documents