12. trigonometria 10.31 -...
TRANSCRIPT
1
12. Trigonometria I.
I. Elméleti összefoglaló Szögmérés
A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk.
A teljesszög °360 , ennek a 360-ad része az °1 . A szög nagyságát mérhetjük az egységsugarú kör kerületén is. Az α szög ívmértéke egyen-
lő az egységsugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körív hosszával. Az ívmérték egysége az 1 radián. A teljesszöghöz az egységsugarú körben tartozó körív hossza π2 , így a teljesszög ívmértéke π2 .
Tehát a π2 és a °360 ugyanazt a szöget méri, az első esetben radiánban, a második esetben fokban mértünk. Így °= 360)(2 radπ , °= 180)(radπ .
Ha fokban mért szöget váltunk át radiánra, akkor elegendő azt tudnunk, hogy ez a szög a °180 -nak hányszorosa, mert ugyanennyiszerese lesz a π -nek is (radiánban). Például a °18 a
°180 -nak tizedrésze, ezért )(10
18 radπ
=° . Ha a szög radiánban mérve 9
π, ez a π -nek kilen-
cede, így fokban mérve a szög a °180 kilenced része: °= 20)(9rad
π.
Az átváltások képlete: ( ) πα
α ⋅°°
=180
rad és ( )
°⋅=° 180π
αα
rad.
Legyünk figyelemmel a fok és a radián használatára. Nem ugyanazt jelenti a 180sin és a °180sin .
Hegyesszögek szögfüggvényei Ha két derékszögű háromszögnek ugyanakkora az egyik hegyesszöge, akkor a háromszögek
hasonlók. (Hiszen mindkét háromszögnek van még egy derékszöge, így a harmadik szögük-ben is megegyeznek.) Ezért ha két derékszögű háromszögnek ugyanakkora az egyik hegyes-szöge, akkor a két háromszögben bármely két megfelelő oldal aránya ugyanakkora, mindegy, mekkorák az oldalak. Derékszögű háromszögben az oldalak aránya csak a háromszög hegyes-szögétől függ.
Ezek az arányok csak az α szögtől függenek, ezért nevezzük ezeket az α szög szögfügg-vényeinek. A lehetséges hat arányból négy arányt használunk, ezek az α szög szinusz, koszi-nusz, tangens és kotangens függvényei.
2
átfogó
befogószemköztiszöggelsin ==
c
aα
befogómellettiszög
befogószemköztiszöggeltg ==
b
aα
átfogó
befogómellettiszögcos ==
c
bα
befogószemköztiszöggel
befogómellettiszögctg ==
a
bα
A pótszögek szögfüggvényeit könnyű leolvasni az ábráról ( )αβ −°= 90 :
( ) αα cos90sin =−° ( ) αα sin90cos =−° ( ) αα ctg90tg =−° ( ) αα tg90ctg =−°
Nevezetes szögek szögfüggvényei
Tekintsük a 2 egység oldalú szabályos háromszöget. Az ábráról leolvashatók a °30 és a °60 szögfüggvényei:
2
160cos30sin =°=°
2
330cos60sin =°=°
3
3
3
160ctg30tg ==°=° 330ctg60tg =°=°
3
Vegyünk egy derékszögű háromszöget, melynek a befogói 1 egység hosszúak, az átfogó hosz-
sza ekkor 2 hosszú. Az ábráról leolvashatjuk a °45 szögfüggvényeit:
2
2
2
145cos45sin ==°=° 145ctg45tg =°=°
Gyakran használt kapcsolatok a szögfüggvények között:
1cossin 22 =+ αα αα
αcos
sintg =
α
αctg
1tg =
αα
αsin
cosctg =
Szögfüggvények értelmezése forgásszögre
A koordinátarendszer origója körül forgatott egységvektornak az x tengellyel bezárt szögét jelölje α . A αsin és αcos szögfüggvényeket ennek az egységvektornak a koordinátáival azonosítjuk, és ezzel a derékszögű háromszögben definiált αsin , αcos szögfüggvényeket hegyesszögnél nagyobb szögekre is értelmezzük, összhangban az eddigi definíciókkal. Az α szög koszinusza az egységvektor első koordinátája; az α szög szinusza az egységvektor má-sodik koordinátája.
4
Tetszőleges szögekre a tangens és kotangens függvényeket kétféle módon is definiálhatjuk, mely definíciók ekvivalensek.
Az α szög tangense a koordinátasíkon annak a pontnak a második koordinátája, amelyet az
α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör ( )0;1 pontjá-
hoz húzott érintőből kimetsz – ezt látjuk az előző oldalon levő ábrán. (A metszéspont akkor létezik, ha Zkk ∈°⋅+°≠ ,18090α .)
Az α szög kotangense a koordinátasíkon annak a pontnak az első koordinátája, amelyet az
α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör ( )1;0 pontjá-
hoz húzott érintőből kimetsz – ezt látjuk az előző oldalon levő ábrán. (A metszéspont akkor létezik, ha Zkk ∈°⋅+°≠ ,1800α .)
A másik értelmezés:
αα
αcos
sintg = , ahol 0cos ≠α , azaz Zkk ∈°⋅+°≠ ,18090α .
αα
αsin
cosctg = , ahol 0sin ≠α , azaz Zkk ∈°⋅+°≠ ,1800α .
Ha ismerjük a szögfüggvények értékeit az első síknegyedben, abból ki tudjuk számolni a
szögfüggvények értékét más síknegyedben is. Az α szög helyett vegyük azt az 'α hegyes-szöget, amelyet az α szög az x tengellyel bezár. Az 'α szöghöz tartozó függvényérték, vagy annak az ellentettje lesz az α szöghöz tartozó függvényérték.
Negyed Szög Hegyesszög αsin αcos αtg αctg
I. °<<° 900 α αα =' 'sinα 'cosα 'αtg 'αctg
II. °<<° 18090 α αα −°= 180' 'sinα 'cosα− 'αtg− 'αctg−
III. °<<° 270180 α °−= 180' αα 'sinα− 'cosα− 'αtg 'αctg
IV. °<<° 360270 α αα −°= 360' 'sinα− 'cosα 'αtg− 'αctg−
Példa: Mennyi °210sin értéke? A °210 a III. síknegyedben van, ez a szög az x tengellyel
°−°=° 18021030 -os hegyesszöget zár be, így a táblázat szerint 2
130sin210sin −=°−=° .
A szögfüggvények értékeit °°°° 270,180,90,0 szögekre a táblázat mutatja. ( °360 -hoz ugyanolyan függvényértékek tartoznak, mint a °0 -hoz.)
αsin αcos αtg αctg
°= 0α 0 1 0 Nincs értelmezve.
°= 90α 1 0 Nincs értelmezve. 0
°= 180α 0 1− 0 Nincs értelmezve.
°= 270α 1− 0 Nincs értelmezve. 0
5
Összefüggések a szögfüggvények között Az egységvektor °90 -kal való elforgatása felcseréli a koordinátákat és az egyiknek megvál-toztatja az előjelét. Ezt használva láthatóak a következő összefüggések:
( ) αα cos90sin =°+ ( ) αα sin90cos −=°+
( ) αα cos90sin −=°− ( ) αα sin90cos =°−
( ) αα ctg90tg −=°+ ( ) αα tg90ctg −=°+
( ) αα ctg90tg −=°− ( ) αα tg90ctg −=°−
Az egységvektor °180 -kal való elforgatása megváltoztatja a koordináták előjelét. Erre gon-dolva kapjuk a következő összefüggéseket:
( ) αα sin180sin −=°+ ( ) αα cos180cos −=°+
( ) αα tg180tg =°+ ( ) αα ctg180ctg =°+
A hegyesszögekre megismert összefüggések (például 1cossin 22 =+ αα , vagy a pótszögek szögfüggvényei) érvényesek a hegyesszögnél nagyobb szögekre is.
Geometriai feladatokban nagy segítséget nyújthatnak a szögfüggvények. Két hasznos össze-függés:
• Ha egy háromszög két oldala a és b, a közbezárt szög γ , akkor a háromszög területe
2
sin γabt = .
• Ha egy háromszög a oldalával szemközti szöge α , a köré írt kör sugara R, akkor fennáll az αsin2 ⋅= Ra összefüggés.
II. Kidolgozott feladatok
1. Töltse ki a táblázatot! Egy-egy szögnek a nagyságát megadtuk fokban, határozza meg a nagyságát radiánban, illetve fordítva: adott a szög nagysága radiánban, határozza meg, hogy az hány fokos szög!
Fok Radián Fok Radián Fok Radián Fok Radián
°0 °330 6
5π
2
3π
°300 °225 6
7π π
°27 °90 4
π
4
3π
°315 °132 3
π
6
π
6
Megoldás: °300 a °180 -nak 3
5-szorosa, így a °300 radiánban mérve a π -nek
3
5-
szorosa. Arányosság helyett kényelmesen számolhatunk az átváltó képletekkel is:
( ) πα
α ⋅°°
=180
rad és ( )
°⋅=° 180π
αα
rad. Például )(39,2
180
137137 rad≈⋅
°°
=° π , illet-
ve °≈°⋅= 47,7018023,1
)(23,1π
rad . A kitöltött táblázat:
Fok Radián Fok Radián Fok Radián Fok Radián
°0 0 °330 760,56
11≈
π °150
6
5π °270
2
3π
°300 236,53
5≈
π °225 927,3
4
5≈
π °210
6
7π °180 π
°27 471,015,0 ≈⋅π °90 571,12≈
π °45
4
π °135
4
3π
°315 498,54
7≈
π °132
304,2
733,0
≈
≈⋅π °60
3
π °30
6
π
2. Mennyi az alábbi kifejezések értéke?
a) °++°+°+°°++°+°+°
90cos2cos1cos0cos
90sin2sin1sin0sin
K
K
b) °⋅⋅°⋅°⋅° 89tg3tg2tg1tg K
c) ( ) ( ) ( ) ( )°−⋅⋅°−⋅°−⋅°− 89tg13tg12tg11tg1 K
d) °++°+°+° 90sin30sin20sin10sin 2222K
e) 2
3cos
3
4cos
4
5cos
πππ⋅⋅
Megoldás:
a) ( )αα −°= 90cossin , így K,88cos2sin,89cos1sin,90cos0sin °=°°=°°=°
A számlálóban és a nevezőben ugyanazon számok összege áll, ezért a tört értéke 1.
b) ( ) ( )( )
1sin
cos
cos
sin
90cos
90sin
cos
sin90tgtg =⋅=
−°−°
⋅=−°⋅αα
αα
αα
αα
αα , ezért 189tg1tg =°⋅° ,
188tg2tg =°⋅° , 187tg3tg =°⋅° ,..., 146tg44tg =°⋅° és 145tg =° , a szorzat értéke 1.
c) 045tg1 =°− , tehát a szorzat értéke 0 lesz.
d) ( )αα −°= 90cossin és 1cossin 22 =+ αα miatt
110cos10sin80sin10sin 2222 =°+°=°+° ,
120cos20sin70sin20sin 2222 =°+°=°+° ,
130cos30sin60sin30sin 2222 =°+°=°+° ,
140cos40sin50sin40sin 2222 =°+°=°+° és 190sin 2 =° . Ezért az összeg 511111 =++++ .
e) 02
3cos =
π, ezért a szorzat értéke 0.
7
3. Mekkora lehet αsin értéke, ha 3ctg =α ?
I. Megoldás: 3sin
cosctg ==
αα
α , azaz αα sin3cos = . Mivel 1cossin 22 =+ αα , így
( ) 1sin3sin 22 =+ αα , innen 10
1sin 2 =α ,
10
1sin ±=α .
II. Megoldás: Tegyük fel, hogy α hegyesszög, majd vegyünk fel egy 1 és 3 egység befogójú, α hegyesszögű derékszögű háromszöget. Ennek átfogója a Pitagorasz-tétel
alapján 10 , innen definíció alapján leolvashatók a keresett szögfüggvényérték,
10
1sin =α .
A ( )°+= 180ctgctg αα tulajdonság miatt még a III. síknegyedben is van egy megol-
dás, ekkor 10
1sin −=α .
4. Mekkora annak a rombusznak a nagyobbik belső szöge, amelynek rövidebb átlója 4 egység, oldala 5 egység hosszúságú?
Megoldás. A nagyobbik belső szög a rombusz nagyobbik átlójával szemben fekszik.
5
2cos =α , ezért °= 42,66α .
A rombusz legnagyobb szöge: °= 84,1322α .
8
5. Az ABCD egyenlő szárú trapéz hosszabbik alapján fekvő szögei °60 -osak, a trapézba
írt, az oldalakat érintő kör sugara 33 cm. Mekkora a trapéz kerülete?
Megoldás: A trapéz oldalait a beírt kör négy pontban érinti, közülük hármat megne-veztünk az ábrán, ezek a K, M, N pontok.
A BKO derékszögű háromszögben 933330ctg =⋅=°⋅=OKBK cm.
A CKO derékszögű háromszögben 33
13360ctg =⋅=°⋅= OKCK cm.
1239 =+== BCAD cm. Az ABCD négyszög érintőnégyszög, ezért a szemközti oldalak összege egyenlő:
241212 =+=+=+ BCADCDAB cm, a trapéz kerülete 482424 =+ cm.
6. Egy háromszög legkisebb oldala 1 egység. Szögeinek nagysága .75,60,45 °°°
a) Mekkora a háromszög köré írt körének sugara? b) Mekkora a háromszög területe? c) Mekkora a háromszög kerülete?
Megoldás: a) A °45 -os szöggel szemben van az 1 egység hosszúságú oldal, hiszen a legkisebb oldal a legkisebb szöggel szemben van.
Az αsin2 ⋅= Ra összefüggésből (ahol a a háromszög egyik oldala, R a köré írt kör
sugara, α az a-val szemközti szög) °⋅= 45sin21 R adódik. 707,02
1≈=R egység.
9
Ugyanezt a képletet használva a °60 -os szöggel szemközti oldal
2
360sin
2
12 =°⋅⋅ egység hosszú.
Ismét az előbbi képletet használjuk, így a °75 -os szöggel szemközti oldal hossza
( )2
133045sin
2
1275sin
2
12
+=°+°⋅⋅=°⋅⋅ egység. ( °75sin értékét számolhat-
juk a megfelelő addíciós képlettel, vagy úgy, ahogyan ezt a 7. ajánlott feladatban tesz-szük. Választhatjuk az egyszerűbb utat is: használjunk számológépet!)
b) A háromszög területe:
( )592,0
8
33
2
3045sin
2
3
2
75sin
2
31
2
sin≈
+=
°+°⋅=
°⋅⋅=
⋅=
γabT területegység.
c) A kerület 59,32
633
2
1362
2
13
2
31 ≈
++=
+++=
+++=K egység.
7. Egy négyzet egyik csúcsát és a szemközti oldalak felezőpontjait összekötöttük, így kaptunk egy egyenlő szárú háromszöget. Mekkora a háromszög szárszöge?
I. Megoldás: Válasszuk a négyzet oldalát 2 egységnek. A Pitagorasz-tétel segít ki-
számolni az egyenlő szárú háromszög szárának hosszát: 5 .
A háromszög területe: 2
sin5
2
sin55 αα ⋅=
⋅⋅=t . A háromszög területét megkap-
hatjuk úgy is, hogy a négyzet területéből elhagyjuk a felesleges területrészeket:
2
3
2
1114 =
++−=t .
Ezekből: 2
3
2
sin5=
⋅=
αt , így
5
3sin =α és °= 86,36α (közelítőleg).
10
II. Megoldás: Ha a négyzet oldala 2 egység, akkor (Pitagorasz tétellel számolva) a há-
romszög oldalai: 2,5,5 .
A háromszöget az alaphoz tartozó magassággal két derékszögű háromszögre bontjuk:
3162,05
2
2
2sin ≈=
α, így °= 43,18
2
α (közelítőleg), és °= 86,36α .
III. Ajánlott feladatok
1. Melyik a legnagyobb a °°
°°°15cos
1,
15sin
1,15tg,15cos,15sin számok közül? Vá-
laszát számológép segítsége nélkül indokolja!
2. Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül.)
a)
6sin
3cos
6sin
3cos
ππ
ππ
+
− b)
4tg
4sin4 32 ππ
−⋅
c) 4
5ctg
4tg2
2
3sin
2cos
ππππ⋅⋅+− d)
6
5sin
4
3ctg
3
4cos
πππ−⋅
e) °⋅° 20ctg20tg f) °°
70sin
20cos
g) °−°+°+° 300sin135sin315sin150cos
h) °+°+°+°+° 170cos130cos90cos50cos10cos
11
3. Az állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! a) 189sin1sin >°+°
b) 5
2cos
5
2sin
ππ<
c)
<
2
coscos2
sinsinππ
d) °<°⋅° 40sin20cos10sin
4. Számológép segítsége nélkül döntse el, melyik szám a nagyobb:
a) °50sin vagy °50cos ? b) °35cos vagy °55sin ?
5. Számológép segítsége nélkül mutassa meg, hogy
a) 140cos40sin >°+° b) 140cos40sin >°+°
6. Mekkora szöget zár be egymással a kocka két különböző testátlója?
7. Igazoljuk a α
αα
2cos1
2sintg
+= azonosságot, ahol °<<° 450 α .
8. Mennyi °75sin pontos értéke? Számológép nélkül számoljon!
9. Mutassa meg, hogy igazak a következő azonosságok, ahol α hegyesszög.
αα
αα
22 ctg1
1
tg1
tgsin
+=
+=
αα
αα
22 tg1
1
ctg1
ctgcos
+=
+=
10. Mutassa meg, hogy az r sugarú körbe írt szabályos 12-szög területe 23r .
11. Egy templomtorony magasságának meghatározása céljából egy, a torony alappontján átmenő vízszintes egyenes A pontjából a torony α , egy másik B pontjából β szög-
ben látszik. Ha az A és B pontok távolsága x méter, akkor milyen magas a torony?
12
12. Az ABC háromszög A csúcsánál levő szög °30 , az innen induló szögfelező a szem-közti oldalt az E pontban metszi. Mekkora az AEC háromszög területe, ha
4,6 == ACAB ?
13. Mutassa meg, hogy az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezőjének hossza
cb
bc
fa +
⋅= 2
cos2α
.
13
Az ajánlott feladatok megoldásai
1. Melyik a legnagyobb a °°
°°°15cos
1,
15sin
1,15tg,15cos,15sin számok közül? Vá-
laszát számológép segítsége nélkül indokolja! Megoldás: Ha °<<° 450 α , akkor αα cossin < , így 115cos15sin <°<° , és innen
°<
°<
15sin
1
15cos
11 , továbbá 1
15cos
15sin15tg <
°°
=° .
Tehát az öt szám közül a legnagyobb szám: °15sin
1.
2. Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül.)
a)
6sin
3cos
6sin
3cos
ππ
ππ
+
− b)
4tg
4sin4 32 ππ
−⋅
c) 4
5ctg
4tg2
2
3sin
2cos
ππππ⋅⋅+− d)
6
5sin
4
3ctg
3
4cos
πππ−⋅
e) °⋅° 20ctg20tg f) °°
70sin
20cos
g) °−°+°+° 300sin135sin315sin150cos
h) °+°+°+°+° 170cos130cos90cos50cos10cos Megoldás:
a) 6
sin3
cosππ
= , így a tört értéke 0.
b) 112
24 3
2
=−
⋅ .
c) ( ) 311210 =⋅⋅+−− .
d) ( ) 02
11
2
1=−−⋅
− .
e) 1ctgtg =⋅ αα .
f) ( ) °=°−°=° 70sin2090sin20cos , így a tört értéke 1.
g) 02
3
2
2
2
2
2
3=
−−+
−+− .
h) 0170cos10cos =°+° , 0130cos50cos =°+° , 090cos =° , ezért az összeg értéke 0.
14
3. Az állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja!
a) 189sin1sin >°+° b) 5
2cos
5
2sin
ππ<
c)
<
2
coscos2
sinsinππ
d) °<°⋅° 40sin20cos10sin
Megoldás: a) IGAZ. A baloldali összeg két tagja egy 1 egység átfogójú derékszögű háromszög két befogójának hossza (ahol az egyik hegyesszög °89 ), így azok összege nagyobb 1-nél.
Másképp: 11cos1sin1cos1sin89sin1sin 22 =°+°>°+°=°+° .
(Felhasználtuk, hogy 0sin1 >> α , így αα 2sinsin > .)
b) HAMIS. Ugyanis αα cossin > , ha 24
πα
π<< .
c) IGAZ.
==<
2
coscos0cos12
sinsinππ
.
d) IGAZ. °<°<°⋅° 40sin10sin20cos10sin .
4. Számológép segítsége nélkül döntse el, melyik szám a nagyobb: a) °50sin vagy °50cos ? b) °35cos vagy °55sin ? Megoldás: a) °=°>° 50cos40sin50sin . b) °=° 55sin35cos .
5. Számológép segítsége nélkül mutassa meg, hogy a) 140cos40sin >°+°
b) 140cos40sin >°+°
Megoldás: Ha 1sin0 << x , akkor 1sinsinsin 2 <<< xxx , ugyanígy ha
1cos0 << x , akkor 1coscoscos2 <<< xxx .
Továbbá 1cossin 22 =+ xx . Ezeket használjuk a bizonyításban.
a) 140cos40sin40cos40sin 22 =°+°>°+° .
b) 140cos40sin40cos40sin40cos40sin 22 =°+°>°+°>°+° .
15
6. Mekkora szöget zár be egymással a kocka két különböző testátlója?
Megoldás: Vegyük a kockának azt a síkmetszetét, melyen rajta van két testátló. Ez a síkmetszet egy téglalap, a téglalap rövidebb oldala a kocka éle, hosszabb oldala a koc-ka lapátlója, átlója a kocka testátlója.
Ha a kocka éle 2 egység, akkor a lapátlója 22 , a testátlója 32 hosszú. A síkmet-
szet, a téglalap két szomszédos csúcsát és középpontját összekötve (lásd az ábrát) ka-punk egy hegyesszögű, egyenlő szárú háromszöget. Ennek területe a téglalap területé-
nek negyede: 2=t , másrészt 2
sin3
2
sin33 αα ⋅=
⋅⋅=t ,
így °≈⋅
=⋅⋅
= 53,70,2
sin3
2
sin332 α
αα.
Megjegyzés: Kényelmesen számolhatunk a szinusz definícióját felhasználva:
3
1
2sin =
α, °≈ 264,35α , így °≈ 53,70α .
7. Igazoljuk a α
αα
2cos1
2sintg
+= azonosságot, ahol °<<° 450 α .
Megoldás: Vegyünk fel egy egységsugarú kört, majd egyik átmérőjén a középpontból mérjünk fel α2 nagyságú szöget. Az ábráról leolvasható az összefüggés.
16
8. Mennyi °75sin pontos értéke? Számológép nélkül számoljon! Megoldás: A °15 -os szöget tartalmazó derékszögű háromszög átfogója a Pitagorasz-
tétel alapján: ( ) 322348132 22+=+=++ .
Ebben a derékszögű háromszögben számolhatjuk a keresett szögfüggvényértéket:
( )4
6231
4
2324
4
232
2
1
322
3215cos
2 +=+⋅=+⋅=+=
+
+=° ,
és °=° 15cos75sin , így 4
6275sin
+=° .
9. Mutassa meg, hogy igazak a következő azonosságok, ahol α hegyesszög.
αα
αα
22 ctg1
1
tg1
tgsin
+=
+=
αα
αα
22 tg1
1
ctg1
ctgcos
+=
+=
I. Megoldás: Vegyünk fel egy olyan derékszögű háromszöget, ahol az α hegyesszög melletti befogó 1 egység. Ekkor a szemközti befogó αtg , az átfogó a Pitagorasz-tétel
szerint α2tg1+ . Innen α
αα
2tg1
tgsin
+= ,
αα
2tg1
1cos
+= .
Majd vegyünk fel egy olyan derékszögű háromszöget, ahol az α hegyesszöggel szemközti befogó 1 egység. Ekkor a szög melletti befogó αctg , az átfogó a
Pitagorasz-tétel szerint α2ctg1+ .
Innen α
α2ctg1
1sin
+= ,
α
αα
2ctg1
ctgcos
+= .
17
II. Megoldás: Használjuk a αα
αcos
sintg = azonosságot.
α
α
αα
α
αα
ααα
αα
αα
αα
α
αsin
cos
1cos
sin
cos
1cos
sin
cos
sincos
cos
sin
cos
sin1
cos
sin
tg1
tg
22
22
2
22===
+=
+
=+
Hasonló átalakítással megkapjuk a másik, igazolásra váró összefüggést is.
10. Mutassa meg, hogy az r-sugarú körbe írt szabályos 12-szög területe 23r .
Megoldás: A sokszög területe 12-szerese az OAB egyenlő szárú háromszög területé-
nek. A háromszög szárszöge °=°
= 3012
360γ .
A háromszög területe 422
30sin 2212
rrrr=
⋅=
°⋅⋅. A 12-szög területe: 2
2
34
12 rr
=⋅ .
Megjegyzés: Kürschák József (1864–1933) ezt az állítást egy elegáns átdarabolással bizonyította.
11. Egy templomtorony magasságának meghatározása céljából egy, a torony alappontján átmenő vízszintes egyenes A pontjából a torony α , egy másik B pontjából β szög-
ben látszik. Ha az A és B pontok távolsága x méter, akkor milyen magas a torony?
18
Megoldás: ax
m
+=αtg és
a
m=βtg .
Ezekből: ( ) βα tgtg ⋅=⋅+= aaxm , így αβ
αtgtg
tg
−⋅
=x
a .
A torony magassága: αββα
βtgtg
tgtgtg
−⋅⋅
=⋅=x
am .
12. Az ABC háromszög A csúcsánál levő szög °30 , az innen induló szögfelező a szem-közti oldalt az E pontban metszi. Mekkora az AEC háromszög területe, ha
4,6 == ACAB ?
Megoldás. AECABEABC ttt += , azaz
°⋅⋅⋅+°⋅⋅⋅=°⋅⋅⋅ 15sin42
115sin6
2
130sin46
2
1AEAE . Ezért
°⋅=
15sin5
6AE .
4,215sin415sin5
6
2
115sin4
2
1=°⋅⋅
°⋅⋅=°⋅⋅⋅= AEtAEC egység.
19
13. Mutassa meg, hogy az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezőjének hossza
cb
bc
fa +
⋅= 2
cos2α
.
Megoldás. A háromszöget a szögfelező két kisebb háromszögre vágja. Ezek területé-nek összege egyenlő a háromszög területével, azaz
2sin
2
1
2sin
2
1sin
2
1 ααα ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ aa cfbfbc , azaz
2sin
2sinsin
ααα ⋅+⋅=⋅ aa cfbfbc .
A 2
cos2
sin2sinαα
α ⋅= összefüggést használva, rendezés után kapjuk az
cb
bc
fa +
⋅= 2
cos2α
összefüggést.
IV. Ellenőrző feladatok
1. Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül.)
a) °−°⋅ 45tg60cos2 b) °+° 60cos30sin
c) °⋅°
°−45cos45sin
45tg2 d) °−
°−°+
45tg90sin2
90cos1
e) °
+°
+°⋅°360cos
1
180cos
1270cos270sin f) °+°−°+° 120tg135tg2330cos120sin
g) 6
sin6
cos 22 ππ+ h)
4cos
6cos 22 ππ
−
20
2. Töltse ki a táblázatot számológép segítsége nélkül, ha °<<° 900 α .
αsin αcos αtg αctg
5
4
3
8
13
12
3. Egy háromszög két szöge °30 és °45 . A °45 -os szöggel szemközti oldal hossza 12 egység. Mekkora a °30 -os szöggel szemközti oldal?
4. Az ABC egyenlő szárú háromszög BC szárához tartozó súlyvonal 6 egység, az AB
alaphoz tartozó magasság 3 egység. Mekkora a háromszög szárszöge?
5. Egy 5 egység sugarú kör kerületének egyik felén az A, B és C pontok ebben a sor-rendben helyezkednek el. 4,6 == BCAB . Milyen hosszú az AC szakasz?
Az ellenőrző feladatok megoldásai
1. Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül.)
a) °−°⋅ 45tg60cos2 b) °+° 60cos30sin
c) °⋅°
°−45cos45sin
45tg2 d) °−
°−°+
45tg90sin2
90cos1
e) °
+°
+°⋅°360cos
1
180cos
1270cos270sin f) °+°−°+° 120tg135tg2330cos120sin
g) 6
sin6
cos 22 ππ+ h)
4cos
6cos 22 ππ
−
Megoldás:
a) 012
12 =−⋅ .
b) 12
1
2
1=+ .
21
c) 212
22
22
=⋅
−.
d) 0112
01=−
−+
.
e) ( ) 01
1
1
101 =+
−+⋅− .
f) ( ) 23122
3
2
3=−−⋅−+ .
g) 1cossin 22 =+ αα .
h) 4
1
2
2
2
322
=
−
.
2. Töltse ki a táblázatot számológép segítsége nélkül, ha °<<° 900 α .
αsin αcos αtg αctg
5
4
3
8
13
12
Megoldás:
αsin αcos αtg αctg
5
4
5
3
3
4
4
3
2
3
2
1 3
3
1
3
1
3
8
8
1 8
13
5
13
12
12
5
5
12
22
3. Egy háromszög két szöge °30 és °45 . A °45 -os szöggel szemközti oldal hossza 12 egység. Mekkora a °30 -os szöggel szemközti oldal?
Megoldás: Az ábra alapján 12
30sinm
=° , így 6=m .
x
m=°45sin , tehát 26
6
22==x .
4. Az ABC egyenlő szárú háromszög BC szárához tartozó súlyvonal 6 egység, az AB alaphoz tartozó magasság 3 egység. Mekkora a háromszög szárszöge?
Megoldás. Az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága egyben súlyvonal is, a súlyvonalak harmadolják egymást. Így 1,4 == SEAS .
A Pitagorasz-tétel alapján 15=AE .
°=∠=∠ 76,37,15
3tg CAECAE .
A szárszög °48,104 .
23
5. Egy 5 egység sugarú kör kerületének egyik felén az A, B és C pontok ebben a sor-rendben helyezkednek el. 4,6 == BCAB . Milyen hosszú az AC szakasz?
Megoldás. 5
3sin =α , így °= 87,36α és
5
2sin =β , így °= 58,23β .
Az AOC háromszög O-nál lévő szöge βα 22 + .
Az AC húr felezőpontja D, ( )CO
CD=+ βαsin .
Mivel °=+ 45,60βα , így 5
87,045,60sinCD
==° , tehát 7,82 =⋅= CDAC .