1

11. Geometriai transzformációk

I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció a 푷 ponthoz a 푷′ pontot rendeli, akkor a 푷′ pontot a 푷 pont képének nevezzük.

Az alábbiakban a geometriai transzformációk értelmezési tartománya és az értékkészlete is a sík vagy a tér pontjainak halmaza és a hozzárendelési szabály kölcsönösen egyértelmű.

Identitás:

Olyan geometriai transzformáció, amely minden ponthoz önmagát rendeli.

Tengelyes tükrözés

Adott a síkban a 푡 egyenes, ezt a tükrözés tengelyének nevezzük. A 푡 egyenes minden pontjának a képe önmaga. Ha a 푡 egyenesre nem illeszkedő 푃 pont képe 푃′, akkor a 푃푃′ szakasz felező merőlegese a 푡 egyenes.

Síkra vonatkozó tükrözés

Adott a térben az 푆 sík. Az 푆 sík minden pontjának a képe önmaga. Ha az 푆 síkra nem illeszkedő 푃 pont képe 푃′, akkor a 푃푃′ szakasz felező merőleges síkja az 푆 sík.

2

Középpontos tükrözés

Adott a síkban (térben) az 푂 pont, ezt a tükrözés középpontjának nevezzük. Az 푂 pont képe önmaga. Ha az 푂 ponttól különböző 푃 pont képe a 푃′, akkor a 푃푃′ szakasz felezőpontja az 푂 pont.

Pont körüli forgatás

Adott a síkban az 푂 pont és az 훼 irányított szög. Az 푂 pontot a forgatás középpontjának, az 훼 szöget az elforgatás szögének nevezzük. Az 푂 pont képe önmaga. Ha az 푂 ponttól különböző 푃 pont képe a 푃′, akkor 푂푃 = 푂푃′ és 푃푂푃 ∡ = 훼.

Ha 훼 = 180° akkor ez a transzformáció az 푂 középpontú középpontos tükrözéssel egyezik meg.

Egyenes körüli forgatás

Adott a térben a 푡 egyenes és egy 훼 irányított szög. A 푡 egyenest a forgatás tengelyének, az 훼 szöget az elforgatás szögének nevezzük. A 푡 egyenes minden pontjának a képe önmaga. A 푡 egyenesre nem illeszkedő pont esetében meghatározzuk azt az 푆 síkot, amely merőleges a 푡 egyenesre és tartalmazza a 푃 pontot. Az 푆 sík és a 푡 egyenes metszéspontja az 푂 pont. A 푃 pont képe az a 푃′ pont, amelyre 푂푃 = 푂푃′ és 푃푂푃 ∡ = 훼.

3

Eltolás

Adott a síkban (térben) a 풗 vektor, amit az eltolás vektorának nevezünk. A sík (tér) bármely 푃 pontjának a képe az a 푃′ pont, amelyre 푃푃′⃗ = 풗.

Csúsztatva tükrözés (síkban)

Adott a síkban a 푡 egyenes és az egyenessel párhuzamos 풗 vektor. A 푡 egyenesre vonatkozó tükrözés és a 풗 vektorral való eltolás egymás utáni alkalmazását csúsztatva tükrözésnek nevezzük. A két transzformáció sorrendje felcserélhető. Az ábrán a 푃 pont képe a 푃′′ pont.

Csúsztatva tükrözés (térben)

Adott a térben az 푆 sík és az 푆 síkkal párhuzamos 풗 vektor. Az 푆 síkra vonatkozó tükrözés és a 풗 vektorral való eltolás egymás utáni alkalmazását (térbeli) csúsztatva tükrözésnek nevezzük. A két transzformáció sorrendje felcserélhető. Az ábrán a 푃 pont képe a 푃′′ pont.

4

Forgatva tükrözés

Adott a térben az 푆 sík, az 푆 síkra merőleges 푡 egyenes és egy 훼 irányított szög. Az 푆 síkra vonatkozó tükrözés és a 푡 egyenes körüli 훼 szöggel való elforgatás egymás utáni alkalmazását forgatva tükrözésnek nevezzük. A két transzformáció sorrendje felcserélhető. Az ábrán a 푃 pont képe a 푃′′ pont.

Csavarmozgás:

Adott a térben a 푡 egyenes, az egyenessel párhuzamos 풗 vektor és egy 훼 irányított szög. Az 푡 egyenes körüli 훼 szöggel való elforgatás és a 풗 vektorral való eltolás egymás utáni alkalmazását csavarmozgásnak nevezzük. A két transzformáció sorrendje felcserélhető. Az ábrán a 푃 pont képe a 푃′′ pont.

Középpontos hasonlóság

5

Adott a síkban (térben) az 푂 pont, és egy 휆 ≠ 0 valós szám. Az 푂 pontot a hasonlóság középpontjának, a 휆 valós számot a hasonlóság arányának nevezzük. Az 푂 pont képe önmaga. Az 푂-tól különböző 푃 ponthoz azt a 푃′ pontot rendeljük, amely az 푂푃 egyenesen van, 푂푃 = |휆| ∙ 푂푃, és 휆 > 0esetén a 푃′ az 푂푃 félegyenesen van, 휆 < 0esetén 푂 elválasztja a 푃 és 푃′ pontokat.

Egy geometriai transzformációnak

fixpontja az a pont, amelynek a képe önmaga. fixegyenese az az egyenes, amelynek a képe önmaga. Ha egy egyenes képe önmaga, de nem

minden pontja fixpont, akkor szokták invariáns egyenesnek is nevezni.

Egy geometriai transzformáció:

szimmetrikus, ha a 푃 pont képe 푃′ és 푃′ képe 푃. távolságtartó, ha bármely szakasz képe vele azonos hosszúságú szakasz. aránytartó, ha két szakasz hosszának aránya egyenlő a képszakaszok hosszának arányával. szögtartó, ha bármely szög képe vele azonos nagyságú szög. irányítástartó, ha bármely síkidom és a képének a körüljárása azonos. irányításváltó, ha bármely síkidom és a képének a körüljárása ellentétes.

Ha egy geometriai transzformáció távolságtartó, akkor egybevágósági transzformációnak nevezzük. Minden síkbeli egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebb három tengelyes tükrözés egymás utáni alkalmazásával. Minden térbeli egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebb négy síkra való tükrözés egymás utáni alkalmazásával.

Ha egy geometriai transzformáció aránytartó, akkor hasonlósági transzformációnak nevezzük. Minden hasonlósági transzformáció előállítható egy középpontos hasonlóság és egy egybevágósági transzformáció egymás utáni alkalmazásával.

Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi.

Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi.

Háromszögek egybevágóságának alapesetei:

Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlőek. két-két oldaluk páronként egyenlő, és az általuk bezárt szög egyenlő. egy-egy oldaluk és az oldalon fekvő két szögük egyenlő. két-két oldaluk páronként egyenlő és a nagyobb oldallal szemben lévő szögek egyenlő.

Háromszögek hasonlóságának alapesetei:

Két háromszög hasonló, ha oldalaik aránya páronként egyenlő. két-két oldal aránya egyenlő, és az általuk bezárt szög egyenlő. két-két szögük páronként egyenlő. két-két oldaluk aránya egyenlő és a nagyobb oldallal szemben lévő szögek egyenlő.

6

Tengelyesen szimmetrikus alakzatok

Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli egyenes, amelyre tükrözve az alakzat képe önmaga:

tengelyesen szimmetrikus háromszög: egyenlő szárú háromszög, egyenlő oldalú háromszög; tengelyesen szimmetrikus négyszög: szimmetrikus trapéz, deltoid, téglalap, rombusz, négyzet; szabályos sokszögek; kör.

Középpontosan szimmetrikus alakzatok

Egy síkbeli alakzat középpontosan szimmetrikus, ha van olyan pont, amelyre tükrözve az alakzatot kapjuk:

középpontosan szimmetrikus négyszög: paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet; páros oldalszámú szabályos sokszögek; kör.

Forgásszimmetrikus alakzatok

Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha van olyan 푂 pont a síkban és olyan 훼 szög, hogy ha az alakzatot az 푂 pont körül 훼 szöggel elforgatjuk, az alakzatot kapjuk:

forgásszimmetrikus háromszög: egyenlő oldalú háromszög; forgásszimmetrikus négyszög: négyzet; szabályos sokszögek; kör.

Párhuzamos szelők tétele

Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik szögszárakon keletkező szakaszok arányával:

ABCD

=A BC D

.

7

A tétel akkor is igaz, ha a szakaszok esetleg egymásba nyúlnak vagy a szögszáraknak a csúcson túli meghosszabbításán helyezkedik el valamelyik szakasz vagy annak egy része. A szakaszokat mérhetjük a szög csúcsától is.

Párhuzamos szelők tételének megfordítása

A tétel megfordítása csak speciális esetben igaz. Ha két egyenes egy szög száraiból a csúcstól számítva olyan szakaszokat metsz ki, amelyeknek az aránya a két szögszáron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.

Betűkkel kifejezve:

Ha푂퐴푂퐵

=푂퐴푂퐵

⇒ 퐴퐴 ∥ 퐵퐵 .

Párhuzamos szelőszakaszok tétele

Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metsszük, akkor a párhuzamosokból kimetszett szakaszok aránya egyenlő a szög száraiból kimetszett szakaszok arányával. (A szögszárakon a szakaszokat a szög csúcsától mérjük.)

A fenti ábrát használva betűkkel kifejezve:

Ha퐴퐴 ∥ 퐵퐵 ⇒퐴퐴퐵퐵

= 푂퐴푂퐵

=푂퐴푂퐵

.

A középpontos hasonlóság tulajdonságai a párhuzamos szelők tételének, a párhuzamos szelőszakaszok tételének segítségével igazolhatóak.

8

Szögfelezőtétel

A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szög melletti oldalak arányában osztja. Ha a külső szögfelező metszi a szemközti oldalegyenest (nem egyenlőszárú a háromszög), akkor a külső szögfelező a szemközti oldalegyenesből olyan szakaszokat metsz ki, amelyek aránya a szög melletti oldalak arányával egyezik meg.

퐴퐶퐶 퐵

=퐴퐶퐶 퐵

=푏푎

Magasságtétel

A derékszögű háromszög átfogóhoz tatozó magassága mértani közepe annak a két szakasznak, amelyre a magasság az átfogót osztja:

푚 = 푝 ∙ 푞.

Befogótétel

A derékszögű háromszög befogója mértani közepe az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének:

푏 = 푐 ∙ 푝

9

Körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele

A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe a pontból a körhöz húzott szelők szeleteinek.

푃퐸 = √푃퐴 ∙ 푃퐵

A körhöz egy külső pontból a körhöz húzott szelők szeleteinek szorzata állandó:

푃퐴 ∙ 푃퐵 = 푃퐴 ∙ 푃퐵

Tétel:

Hasonló síkidomok kerületének aránya egyenlő a hasonlóság arányával. Hasonló síkidomok területének aránya egyenlő a hasonlóság arányának a négyzetével. Hasonló testek felszínének aránya egyenlő a hasonlóság arányának a négyzetével. Hasonló testek térfogatának aránya egyenlő a hasonlóság arányának a köbével.

Megjegyzés:

A vektorok alkalmazásával a 14. témakörben, a vektorok koordináta-geometriai megközelítésével a 15. témakörben foglalkozunk részletesebben.

10

II. Kidolgozott feladatok 1. Adott a síkban egy 푡 egyenes és két kör: 푘 és 푘 . Szerkesszünk olyan egyenlő oldalú

háromszöget, amelynek a szimmetria tengelye a 푡 egyenes és két csúcsa a 푘 és 푘 körökön van!

Megoldás:

Az 퐴퐵퐶 háromszög szimmetria tengelye a 푡 egyenes, ezért az 퐴 pont 푡-re vonatkozó tükörképe a 퐵 pont. Az 퐴 pont a 푘 kör egyik pontja, ezért a 퐵 pont rajta van a 푘 kör 푡 tengelyre vonatkozó tükörképén, a 푘 körön. A 퐵 pont ennek megfelelően a 푘 és 푘 körök metszéspontja. A 퐵 pontot tükrözzük a 푡 egyenesre, így megkapjuk az 퐴 pontot. Az 퐴퐵 oldalra megszerkesztjük az 퐴퐵퐶 szabályos háromszöget.

Diszkusszió:

A 푘 és 푘 köröknek 0, 1 vagy 2 közös pontja lehet, esetleg a két kör egybeeshet, továbbá az 퐴퐵 szakasz mindkét oldalára szerkeszthetünk szabályos háromszöget.

Ha a 푘 és 푘 köröknek valamely közös pontja a 푡 tengelyre esik, akkor ehhez nem létezik megfelelő háromszög. Ezt figyelembe véve elemezzük a megoldások számát:

ha a 푘 és 푘 köröknek nincs metszéspontja, vagy a közös pontok a tengelyre esnek, akkor a feladatnak nincs megoldása,

ha a 푘 és 푘 köröknek 1 olyan metszéspontja van, amely nem esik a tengelyre, akkor a feladatnak 2 megoldása van,

ha a 푘 és 푘 köröknek 2 olyan metszéspontja van, amelyek nem illeszkednek a tengelyre, akkor a feladatnak 4 megoldása van,

ha 푘 ≡ 푘 , akkor a körök bármely, a tengelyre nem illeszkedő pontja lehet a퐵 pont, ilyenkor végtelen sok megoldás van.

2. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenlőszárú háromszögben összeadjuk az alap bármely pontjának a két szár egyenesétől mért távolságát, mindig ugyanazt az értéket kapjuk!

11

Megoldás:

A háromszöget és a 푃푄 szakaszt tükrözzük az 퐴퐵 alapra. Az így keletkező 퐴퐶′퐵퐶 négyszög rombusz. Az 퐴푃푄 és 푃퐵푅 háromszögek derékszögűek, másik szögük az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szöge, tehát ezek a szögek egyenlőek, így a harmadik szögük is egyenlő. A tengelyes tükrözés szögtartó, az ábrán azonosan jelölt szögek egyenlőek. A szögek egyenlőségéből következik, hogy a 푄 , 푃, 푅 pontok egy egyenesre esnek. A tengelyes tükrözés távolságtartó, ezért 푄푃 + 푃푅 = 푄’푃 + 푃푅 = 푄’푅. A 푄’푅 szakasz a rombusz magassága, ami egyenlő az 퐴퐵퐶 háromszög szárához tartozó magasságával. Így beláttuk, hogy ha a 푃 pontot az 퐴퐵 alapon tetszőlegesen választjuk, akkor a két szártól mért távolság összege mindig ezzel a magassággal egyenlő.

3. Igazoljuk, hogy két merőleges egyenesre való tükrözés egymásutánja helyettesíthető a metszéspontjukra való tükrözéssel!

Megoldás:

12

A tengelyes tükrözés miatt 푂푃 = 푂푃 = 푂푃′′ és az azonosan jelölt szögek is egyenlőek. A két tengely szöge 90°, ezért 훼 + 훽 = 90°, tehát 푃푂푃 ∢ = 2 ∙ (훼 + 훽) = 180°. Ez azt jelenti, hogy a 푃 pontból a 푃′′ pontot az tengelyek metszéspontjára való középpontos tükrözéssel is megkaphatjuk. Könnyen megmutatható, hogy ez akkor is igaz, ha a 푃 pont valamelyik tengelyen helyezkedik el. Tehát igaz a feladat állítása.

Megjegyzés:

A megoldásból látható, hogy ha a két tengely 휑 szöget zár be, akkor a két tengelyre való tükrözés egymás utáni alkalmazása a metszéspont körüli 2휑 szögű elforgatással egyenértékű. Ha a tengelyek sorrendjét megcseréljük, akkor az elforgatás iránya ellentétes lesz.

4. Tűzzünk ki egy körön két pontot, 퐴-t és 퐵-t. Fussa be az 푋 pont a kört, és szerkesszük meg minden helyzetben azt az 푌 pontot, amellyel az 푌 az 퐴푋퐵푌 paralelogrammában az 푋-szel szemközti csúcs lesz. Milyen halmazt alkotnak az 푌 pontok?

Megoldás:

A paralelogramma az átlók metszéspontjára középpontosan szimmetrikus alakzat, ezért ha az 푋 pontot az 퐴퐵 szakasz 퐹 felezőpontjára tükrözzük, akkor az 푌 pontot kapjuk. Az 푋 pont a 푘 körvonalon mozog, ezért az 푌pont rajta van a 푘 körvonal 퐹 pontra vonatkozó tükörképén, a 푘′ körvonalon. Ha az 푋 pont egybeesik az 퐴 vagy 퐵 pontokkal, akkor nincs megfelelő paralelogramma. Ha a 푘′ kör tetszőleges 퐴-tól és 퐵-től különböző 푌pontját kiválasztjuk, akkor az 퐹 pontra tükrözve találunk olyan 푋 pontot, amellyel a feladat feltételei szerint paralelogrammát alkot. Így a keresett ponthalmaz a 푘′ körvonal, kivéve az 퐴 és 퐵 pontokat.

5. Anna és Béla a következő játékot játssza: egy kör alakú asztalra felváltva egy pénzérmét tesznek. Anna kezd. Az nyer, aki utoljára tud tenni. Kinek van nyerő stratégiája? (Az érmék azonos méretűek, a letett érmék nem fedhetik egymást, elegendő számú érme van.)

Megoldás:

Anna nyer, ha a következő stratégiát követi: Az első érmét az asztal közepére teszi, majd minden további lépésében a Béla által letett pénzérmének az asztal középpontjára vonatkozó tükörképét választja.

6. Összehajtható, téglalap alakú asztalt akarunk készíteni úgy, hogy az asztallap összehajtva az 퐴퐵퐶퐷, derékszöggel elforgatva az 퐴′퐵′퐶′퐷′ és szétnyitva a 퐵 퐵′퐶′퐶 helyzetet foglalja el. Hová kell elhelyezni a forgástengelyül szolgáló csapszeget?

13

Megoldás:

Az elforgatás során az 퐴 pont az 퐴′ pontba kerül, ezért a forgatás 푂 középpontja egyenlő távol van az 퐴 és 퐴′ pontoktól, tehát az 푂 pont rajta van az 퐴퐴′ szakasz 푒 felezőmerőlegesén. Hasonlóan a 퐵퐵′ szakasz 푓 felezőmerőlegese is tartalmazza az 푂 pontot, amelyet így az 푒 és 푓 egyenesek metszéspontjaként kapunk meg.

퐴퐴′ és 퐵퐵′ szakaszok nem párhuzamosak, így az 푒 és 푓 egyeneseknek egy közös pontja van. Az is meggondolható, hogy az 푂 pont az 퐴퐵퐶퐷 téglalap belsejébe esik, tehát ott a „gyakorlatban” is elhelyezhetjük a forgástengelyt.

7. Szerkesszük meg az 퐴퐵퐶 hegyesszögű háromszög belsejében azt a P pontot, amelynek a háromszög csúcsaitól mért távolságösszege a legkisebb!

Megoldás:

14

Megpróbáljuk egymás után felmérni a 푃퐴, 푃퐵, 푃퐶 szakaszokat. Forgassuk el 60°-kal az 퐴 pont körül az 퐴푃퐶 háromszöget, így az 퐴푃′퐶′ háromszöget kapjuk. 퐴푃 = 퐴푃′ és a bezárt szögük 60°, ezért az 퐴푃푃′ háromszög szabályos, tehát 퐴푃 = 푃푃′ is teljesül. Szintén az elforgatás miatt 푃퐶 = 푃′퐶′. Az 퐴푃 + 퐵푃 + 퐶푃 hosszúságot előállítottuk a 퐵 és 퐶′ pontok közötti törött vonalként: 퐵푃 + 푃푃 + 푃′퐶′. A 푃 pont választásától függetlenül a kezdő és a végpont, 퐵 és 퐶′, azonos, ezért akkor kapjuk a legrövidebb utat, ha a 퐵퐶′ szakaszra illeszkedik a 푃 és 푃′ pont. Ekkor az ábra szerinti 휀 és 휑 szögek 120°-kal egyenlők. Tehát olyan pontot kell szerkesztenünk, amelyből a háromszög oldalai 120°-os szögben látszanak.

Forgassuk el a 퐶 pontot az ábra szerint a 퐵 pont körüli 60°-al. Az előzőek szerint a keresett 푃 pont az 퐴퐶′′ szakaszon is rajta van. Tehát a P pontot az 퐴퐶′′ és 퐵퐶′ szakaszok metszéspontja adja.

Megjegyzés:

A 푃pontot megszerkeszthetjük látókörök segítségével is: az 퐴퐵 és 퐴퐶 szakaszok 120°-os látóköreinek metszéspontját kell megszerkesztenünk.

8. Igazoljuk, hogy a háromszög súlyvonalait alkalmasan eltolva, azokból háromszög alkotható!

Megoldás:

15

Az 퐴퐵퐶 háromszög oldalafelező pontjai 퐹 ;퐹 ;퐹 . A háromszöget tükrözzük az 퐹 pontra. A 퐶퐴′ szakasz felezőpontja 퐺. 퐹 퐺 az 퐴퐴 퐶 háromszög középvonala, ezért 퐹 퐺 = 퐴퐴 = 퐴퐹 . és

퐹 퐺 ∥ 퐴퐴′. Ezek alapján, ha az 퐴퐹 súlyvonalat az 퐴퐹⃗ vektorral eltoljuk, akkor az 퐹 퐺 szakaszt kapjuk. A középpontos tükrözés miatt az 퐹 퐵퐺퐶 négyszög paralelogramma, ezért, ha az 퐹 퐶 súlyvonalat 퐹 퐵⃗ vektorral eltoljuk, akkor a 퐵퐺 szakaszt kapjuk. A 퐵퐺퐹 háromszög egy a feladatnak megfelelő háromszög.

9. Adott két kör és egy 푒 egyenes. Húzzunk az 푒-vel párhuzamos egyenest olyan módon, hogy a körök által kivágott húrok összege egyenlő legyen egy adott 푑 hosszúsággal!

Megoldás:

Az 푒 egyenessel párhuzamos 퐴퐵 és 퐶퐷 húrokat akarjuk megszerkeszteni. Ha a 푘 kört eltoljuk úgy, hogy ezek a szakaszok a 퐵 pontban csatlakozzanak (푘 ), akkor az 퐴퐷 hossza egyenlő az adott 푑 szakasz hoszával. Ezt a 푘 kört meg tudjuk szerkeszteni. Ha a körök középpontjain keresztül merőlegeseke bocsátunk az 푒 egyenesre, akkor az 푚 és 푚 egyenesek távolsága 푑/2, az így megszerkesztett 푚 egyenesen van az 푂 középpont. Az 푂 középponton keresztül az 푒 egyenesssel húzott egyenesen is rajta van az 푂 . E két egyenes metszéspontja meghatározza a 푘 kör középpontját. A 푘 kör sugarával az 푂 középponttal megrajzoljuk a 푘 kört. A 푘 és 푘 kör közös pontja lesz a 퐵pont.A 퐵 ponton keresztül párhuzamost húzunk az 푒 egyenessel, így megkapjuk a keresett szelőt. Az így kapott 퐴퐷 szakasz hossza 푑. 퐵퐷 -et a 퐶퐷-ből az 푂 푂⃗-ral eltolva kapjuk, így teljesül a feladat feltétele: 퐴퐵 + 퐶퐷 = 푑.

Diszkusszió:

A megoldások száma attól függ, hogy a 푘 és 푘 körnek hány közös pontja van. Lehet 0, 1, 2, sőt ha 푘 és 푘 egybeesik, akkor végtelen sok is. A fenti ábrán két megfelelő szelőt kaptunk.

10. Adott szakaszt osszunk fel olyan részekre, amelyeknek az aránya 1 : 2 !

Megoldás:

1 : 2 = : = : = 2: 3, tehát a szakaszt 5 egyenlő részre kell osztanunk és a második osztóponttal tudjuk a kívánt arányban felosztani a szakaszt.

16

A szakaszhoz egy segédegyenest illesztünk, az 퐴 pontból a segédegyenesre 5 egyenlő szakaszt mérünk fel. Az ötödik pontot, 퐸-t összekötjük a 퐵 ponttal. Az osztópontokon keresztül párhuzamosokat húzunk 퐸퐵-vel. A párhuzamos szelők tételének alapján az 퐴퐵 szakaszt öt egyenlő részre osztottuk. Az ábra szerinti 푃 pont 2: 3 = 1 : 2 arányban osztja a szakaszt.

11. Szerkesszünk adott háromszögbe négyzetet úgy, hogy a négyzet csúcsai a háromszög oldalegyenesein legyenek!

Megoldás:

A 푃푄푅푆 négyzetet akarjuk megszerkeszteni. Először egy ehhez hasonló 푃 푄 푅 푆 négyzetet szerkesztünk úgy, hogy az 푆 , 푃 és 푄 pontok a háromszög megfelelő oldalaira kerüljenek. Az 퐴 pontból addig nagyítjuk ezt a négyzetet, amíg a negyedik csúcs is a háromszög oldalára kerül. Az 푅 pontot az 퐴푅 egyenes metszi ki a 퐵퐶 oldalból.

12. Az 퐴퐵퐶 háromszög oldalainak a hossza 푎 = 13 cm, 푏 = 7 cm, 푐 = 9 cm. Mekkora részekre osztja a 푐 oldalt a 퐶 csúcsból induló belső szögfelező? Hol metszi a 푐 oldal egyenesét a 퐶 csúcsból induló külső szögfelező!

Megoldás:

A belső szögfelező a 푐 oldalt a 퐶 pontban, a külső szögfelező a 푐 oldal egyenesét a 퐶 pontban metszi. A szögfelezőtétel alapján:

퐴퐶퐶 퐵

=푏푎=

713⟹ 퐴퐶 =

720

∙ 9 = 3,15(푐푚);퐶 퐵 =1320

∙ 9 = 5,85(푐푚).

A külső szögfelezőre hasonló állítás igaz. A 퐶 pont az 퐴퐵 szakasz 퐴-n túli meghosszabbításán van:

17

= = ⟹ 퐴퐶 = ∙ 9 = 10,5(푐푚);퐶 퐵 = ∙ 9 = 19,5(푐푚).

13. A hegyesszögű 퐴퐵퐶 háromszög mindegyik magasságvonala mint átmérő fölé rajzoljunk félkört, s mindegyik félkört metsszük el a háromszög 푀 magasságpontján átmenő és a félkör átmérőjére merőleges egyenessel, a metszéspontok legyenek 푃; 푄; 푅. Bizonyítsuk be, hogy az 푀푃;푀푄;푀푅 szakaszok egyenlőek!

(Érettségi-felvételi feladat; 1976.)

Megoldás:

Megoldás:

Az 퐴푃푇 háromszögben Thalész tétele alapján a 푃 csúcsnál derékszög van, ezért a magasságtétel értelmében 푀푃 = 퐴푀 ∙ 푀푇. Hasonlóan 푀푄 = 퐵푀 ∙ 푀푈 és 푀푅 = 퐶푀 ∙ 푀푉. Így elég azt bizonyítanunk, hogy 퐴푀 ∙ 푀푇 = 퐵푀 ∙ 푀푈 = 퐶푀 ∙ 푀푉.

Az 퐴푀푈 háromszög hasonló a 퐵푀푇 háromszöghöz, mert derékszögűek és az 푀 csúcsnál lévő szögük egyenlő, hiszen ezek csúcsszögek. Hasonló háromszögekben a megfelelő oldalak aránya

18

megegyezik: = ⇒ 퐴푀 ∙ 푀푇 = 퐵푀 ∙ 푀푈, amit bizonyítani akartunk. Hasonlóan kapjuk a 퐵푀 ∙ 푀푈 = 퐶푀 ∙ 푀푉 egyenlőséget. Ezzel a feladat állítását beláttuk.

14. Az 푥 szakaszt az 푎 szakasz aranymetszetének nevezzük, ha 푎: 푥 = 푥: (푎 − 푥). Szerkesszük meg egy adott szakasz aranymetszetét!

I. Megoldás:

Átrendezzük az összefüggést:

푎 − 푎푥 = 푥 ⇒ 푎 = 푥 ∙ (푥 + 푎).

Rajzoljunk egy 푎 átmérőjű 푘 kört. A körvonal egy 퐸 pontjában szerkesszünk érintőt a körhöz és mérjük rá az 푎 szakaszt. Az érintőszakasz 푃 végpontjából a kör 푂 középpontján át rajzolunk szelőt és jelöljük meg a körrel való metszéspontokat. A szelőtétel értelmében:푎 = 푃퐴 ∙ (푃퐴 + 푎), így a 푃퐴 a keresett 푥 szakasz.

II. Megoldás:

Az összefüggést átrendezve 푥-re a következő másodfokú egyenletet kapjuk: 푥 + 푎푥 − 푎 = 0.

Ennek az egyenletnek a pozitív gyöke:

푥 =−푎 + √푎 + 4푎

2=√5푎 − 푎

2=√5푎2

−푎2,

és ez a szakasz megszerkeszthető.√ az átfogója annak a derékszögű háromszögnek, amelynek a

két befogója 푎 és . Ebből az átfogóból kivonjuk –t és az eredmény leforgatjuk az 푎 szakaszra. Ezzel a szakaszt az aranymetszésnek megfelelően felosztottuk:

19

Megjegyzés: Az aranymetszéssel a természetben és a művészetekben is gyakran találkozunk. A

fenti számításból az 푥: (푎 − 푥) arány √ √ = √ ≈ 1,618. Ezt az úgy nevezett aranyarányt szokás 휙-vel jelölni.

15. Az 퐴퐵퐶 háromszög 퐴퐵 oldalának egy belső pontján át párhuzamosakat húzunk az 퐴퐶 és 퐵퐶 oldalakkal. A két párhuzamos a háromszöget két háromszögre és egy paralelogrammára bontja. A két háromszög területe 푡 és 푡 . Határozzuk meg az 퐴퐵퐶 háromszögnek és a keletkezett paralelogrammának a területét!

Megoldás:

Jelöljük az 퐴퐵퐶 háromszög területét 푇-vel. Legyen 퐴퐷 = 푘 ∙ 퐴퐵, ahol 0 < 푘 < 1 valós szám, ekkor 퐷퐵 = (1 − 푘) ∙ 퐴퐵. A párhuzamosság miatt az egyformán jelzett szögek egyállásúak, ezért egyenlőek. A szögek egyenlősége miatt az 퐴퐵퐶; 퐴퐷퐸; 퐷퐵퐹 háromszögek hasonlóak, a hasonlóság arány 푘 illetve 1 − 푘. Hasonló alakzatok területének aránya amegegyezik a hasonlóság arányának négyzetével, ezt felhasználva:

푡 = 푘 ∙ 푇és푡 = (1 − 푘) ∙ 푇.

Ebből kifejezve:

푘 ∙ √푇 + (1 − 푘) ∙ √푇 = √푇 = 푡 + 푡 .

Az 퐴퐵퐶 háromszög területe:

푇 = 푡 + 푡 = 푡 + 푡 + 2 ∙ 푡 ∙ 푡 .

Innen látható, hogy az 퐸퐷퐹퐶 paralelogramma területe 2 ∙ √푡 ∙ 푡 . Érdemes észrevenni, hogy az 퐸퐹퐶 háromszög területe a paralelogramma területének a fele, √푡 ∙ 푡 , azaz az 퐴퐷퐸 és 퐷퐵퐹 háromszögek területének mértani közepe.

20

III. Ajánlott feladatok 1. Szerkesszünk két koncentrikus kört metsző egyenest, amelyből a két kör három egyenlő szakaszt

metsz ki!

2. Egy hegyesszög szárai között adott egy pont. Szerkesszük meg a ponttól kiinduló és oda visszatérő legrövidebb utat, amely érinti a szögszárakat!

3. Bizonyítsuk be, hogy egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb! (A talpponti háromszög csúcsai a magasságok talppontjai.)

4. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának egyik végpontjától kezdve mérjünk fel az egyik szárra egy távolságot. A másik szárat hosszabbítsuk meg az alapon túl egy ugyanakkora darabbal. Igazoljuk, hogy az alap felezi az így kapott két pontot összekötő szakaszt!

5. Bizonyítsuk be, hogy egy négyzet két szemközti oldalegyenese közé eső tetszőleges szakasz ugyanakkora, mint a rá bárhol emelt merőlegesnek a másik két oldalegyenes közé eső szakasza!

6. Igazoljuk, hogy két párhuzamos egyenesre való tükrözés egymásutánja helyettesíthető egy eltolással!

7. Tükrözzünk végig egy tetszőleges 푃 pontot egy ötszög oldalfelező pontjaira. Jelöljük a végeredményt 푃 -tel. Bizonyítsuk be, hogy az ötszög egyik csúcsa felezi a 푃푃 szakaszt!

8. Az 퐴퐵퐶 háromszög oldalfelező pontjai a szokásos jelölések szerint 퐴 , 퐵 , 퐶 . Mutassuk meg, hogy az 퐴퐵 퐶 , 퐵퐶 퐴 és퐶퐴 퐵 háromszögek beírt- illetve körülírt köreinek a középpontjai által alkotott két háromszög egybevágó! (Középiskolai Matematikai Lapok 1992, Gy.2762 gyakorlat)

9. Állítsunk merőlegeseket a háromszög egyik csúcsából a másik két csúcshoz tartozó szögfelezőkre. Bizonyítsuk be, hogy a négy merőleges talppontja egy egyenesen van!

10. Adott háromszöghöz szerkesszünk hasonlót úgy, hogy a kerülete adott szakasszal legyen egyenlő!

11. Az 퐴퐵퐶퐷 trapéz alapjai 퐴퐵 = 12 cm; 퐶퐷 = 7 cm, a szárak hossza 퐵퐶 = 6cm, 퐴퐷 = 5 cm. A szárakat meghosszabbítjuk, így keletkezik a 퐷퐶퐸 háromszög. Számítsuk ki a trapéz kiegészítő háromszögének ismeretlen oldalait!

12. Az 퐴퐵퐶 háromszög 퐶퐶 súlyvonalának 퐶 végpontjából szögfelezőket húzunk, melyek a másik két oldalt 퐷 illetve 퐸 pontban metszik. Bizonyítsuk be, hogy 퐷퐸 párhuzamos az 퐴퐵-vel!

13. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenlő szárú háromszög szárszöge 36°, akkor az alap a szárnak aranymetszete!

14. Toljuk el egy húrtrapéz egyik átlóját a párhuzamos oldalak mentén az ábra szerint. Bizonyítsuk be, hogy 퐴푃 = 퐶푄!

21

15. Bizonyítsuk be, hogy ha egy derékszögű háromszög súlyvonalaiból – mint oldalakból – derékszögű háromszög szerkeszthető, akkor ez a háromszög hasonló az eredetihez! (Arany Dániel Matematika Verseny 2003-2004, haladók verseny, I. kategória)

Az ajánlott feladatok megoldásai 1. Szerkesszünk két koncentrikus kört metsző egyenest, amelyből a két kör három egyenlő szakaszt

metsz ki!

Megoldás:

A húr egy pontja tetszőlegesen megválasztható, legyen ez a pont a 푘 körön lévő 푃 pont. A 푃-n átmenő 퐴퐵 húrt a 푃 és 푄 pontok harmadolják. Ha 푃-re tükrözzük az 퐴 pontot, akkor a 푄 pontot kapjuk. Az 퐴 pont a 푘 körön van, ezért ha tükrözzük a 푘 kört a 푃 pontra, akkor a 푘 kör átmegy a 푄 ponton, tehát 푘 és 푘 metszéspontjaként megkapjuk a 푄 pontot. A 푃푄egyenes kimetszi a 푘 körből az 퐴 és 퐵 pontokat. Az ábra szimmetrikus az 푂ponton átmenő, a szelőre merőleges egyenesre, ezért 퐴푃 = 푄퐵 is teljesül, tehát az 퐴퐵 szakaszt a 푃 és 푄 pontok valóban harmadolják. Ha az ábrát tetszőlegesen elforgatjuk az 푂 pont körül, akkor a feladatnak megfelelő szelőket kapunk.

Diszkusszió:

Ha a 푃 pontot rögzítettük, akkor a megoldások száma attól függ, hogy 푘 -nek és 푘 -nek hány közös pontja van. Ennek megfelelően lehet 0, 1 vagy 2 megoldás. A fenti ábra esetében két megoldást kaptunk. Az alábbi két esetben pedig 0 illetve 1 megoldás van.

22

2. Egy hegyesszög szárai között adott egy pont. Szerkesszük meg a ponttól kiinduló és oda visszatérő legrövidebb utat, amely érinti a szögszárakat!

Megoldás:

Az 퐴푃푄퐴 útvonalat szeretnénk minél rövidebbé tenni. Ha az 퐴 pontot tükrözzük az 푓 és 푒 szögszárakra, akkor az 퐴′푃푄퐴′′ útvonal hossza a tükrözés miatt megegyezik az előző útvonal hosszával. Az 퐴′ és 퐴′′ pontok között a legrövidebb út az egyenes szakasz, ezért meghatározzuk az 퐴′퐴′′ szakasz és a szögszárak közös pontjait, az ábra szerinti 퐴푃 푄 퐴 útvonal a legrövidebb.

3. Bizonyítsuk be, hogy egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb! (A talpponti háromszög csúcsai a magasságok talppontjai.)

Megoldás:

Ha az 퐴퐵 oldalon kiválasztunk egy 푃 pontot, akkor a 2. ajánlott feladat szerint meg tudjuk szerkeszteni a 푃 ponthoz tartozó legrövidebb kerületű háromszöget, a 푃′푃′′ szakasz egyenlő ezzel a kerülettel. A tengelyes tükrözés miatt az ábrán jelölt szögek egyenlőek és 퐶푃 = 퐶푃 = 퐶푃′′. Így 푃′푃′′ egy olyan egyenlő szárú háromszög alapja, amelynek a szárszöge 푃 퐶푃 ∡ = 2 ∙ (휀 + 휑), tehát a 퐶 csúcsánál lévő szög kétszerese, tehát állandó. A 푃′푃′′ akkor lesz a legkisebb, amikor az egyenlőszárú háromszög szára, 퐶푃 a legkisebb. Ez akkor valósul meg, ha a 푃 pont a 퐶-ből induló magasságvonal talppontja. A másik két oldalra ugyanígy tudjuk belátni, hogy a pontot a magasság talppontjának kell választanunk. Ezzel beláttuk, hogy a talpponti háromszög lesz a legkisebb kerületű beírt háromszög.

23

4. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának egyik végpontjától kezdve mérjünk fel az egyik szárra egy távolságot. A másik szárat hosszabbítsuk meg az alapon túl egy ugyanakkora darabbal. Igazoljuk, hogy az alap felezi az így kapott két pontot összekötő szakaszt!

I. Megoldás:

Az 퐴퐵퐶 egyenlőszárú háromszög száraira az 퐴퐸 és 퐵퐷 egyenlő szakaszokat mértük fel. Párhuzamost húzunk az 퐴퐶 oldallal a 퐷 ponton keresztül, így kapjuk az alapon a 퐺 pontot. Az egyenlőszárú háromszög alapján fekvő szögek egyenlőek, az 퐴 és 퐺 pontoknál lévő szögek pedig egyállású szögek, így szintén egyenlőek. Az ábrán azonosan jelölt szögek egyenlősége miatt a 퐺퐵퐷 háromszög egyenlőszárú, tehát 퐺퐷 = 퐵퐷 = 퐴퐸, továbbá 퐺퐷 ∥ 퐴퐸. Ezek alapján 퐴퐸퐺퐷 négyszög paralelogramma, tehát az átlók metszéspontjára középpontosan szimmetrikus, azaz 퐸퐹 = 퐹퐷.

II. Megoldás:

24

A 퐷 ponton keresztül párhuzamost húzunk az 퐴퐵 alappal, ami a háromszög másik szárát az 푀 pontban metszi. Az egyenlő szárú háromszög szimmetriája miatt 퐴푀 = 퐵퐷 = 퐴퐸. Az 퐴 pont az 퐸푀 szakasz felezőpontja, 퐴퐹 ∥ 푀퐷, így a párhuzamos szelők tétele értelmében az 퐹 pont felezi az 퐸퐷 szakaszt.

5. Bizonyítsuk be, hogy egy négyzet két szemközti oldalegyenese közé eső tetszőleges szakasz ugyanakkora, mint a rá bárhol emelt merőlegesnek a másik két oldalegyenes közé eső szakasza!

Megoldás:

A 푃푄 és 푅푆 egymásra merőleges szakaszok. Ezeket a szakaszokat az ábra szerint eltoljuk a négyzet 퐴 csúcsába, így az 퐴퐸 illetve 퐴퐺 szakaszokat kapjuk, amelyek szintén merőlegesek egymásra. . Az 퐸 pont az 퐴퐸 és 퐶퐵 egyenesek metszéspontja. Ha az 퐴퐸 egyenest az 퐴 pont körül +90°-kal elforgatjuk, akkor az 퐴퐺 egyenest, ha a 퐶퐵 egyenest forgatjuk el ugyanígy, akkor a 퐶퐷 egyenest kapjuk. Így a forgatás során az 퐸 pont képe a 퐺 pont lesz. Ez azt jelenti, hogy az 퐴퐸 szakasz képe 퐴퐺, tehát egyenlő hosszúak.

6. Igazoljuk, hogy két párhuzamos egyenesre való tükrözés egymásutánja helyettesíthető egy eltolással!

Megoldás:

Ha a 푃 pontot tükrözzük a 푡 majd a 푡 egyenesekre, akkor a tükrözés távolságtartó tulajdonsága miatt az azonos betűvel jelölt szakaszok egyenlőek, így 푃푃 = 2 ∙ (푎 + 푏). Az 푎 + 푏 távolság egyenlő a két tengely távolságával. 푃푃 iránya merőleges a tengelyekre. Az ábrán jelölt 풗 vektor merőleges a tengelyekre, hossza a tengelyek távolságával egyezik meg, iránya 푡 -től 푡 felé mutat.

25

Ekkor 푃푃′′⃗ = 2풗. Ha a 푄 pont a két tengely között van, akkor 푄푄′′⃗ = 2 ∙ (푏 − 푎) = 2풗 szintén teljesül. Meggondolható, ha a pont a 푡 túloldalán található, akkor is igaz, hogy a képpont 2풗 vektornak megfelelő távolsága van az eredeti ponttól. Így kimondhatjuk, hogy a két párhuzamos tengelyre való tükrözés egymás utáni alkalmazása egy a tengelyek irányára merőleges, a tengelyek távolságának kétszeresével történő eltolással egyenértékű.

7. Tükrözzünk végig egy tetszőleges 푃 pontot egy ötszög oldalfelező pontjaira. Jelöljük a végeredményt 푃 -tel. Bizonyítsuk be, hogy az ötszög egyik csúcsa felezi a 푃푃 szakaszt!

Megoldás:

Az ötszög oldalfelező pontjai 퐹 ;퐹 ;퐹 ;퐹 ;퐹 . Az 퐴푃 szakaszt az oldalfelező pontokra tükrözve a 퐵푃 ; 퐶푃 ;퐷푃 ; 퐸푃 ; 퐴푃 szakaszokat kapjuk. A középpontos tükrözés tulajdonságai miatt ezek a szakaszok párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Az egymás után következő szakaszok ellentétes irányúak (퐴푃⃗ = −퐵푃⃗…), így az 퐴푃 és az 퐴푃 szakaszok egy egyenesre esnek, de ellentétes irányúak. Ez éppen azt jelenti, hogy az 퐴 pont felezi a 푃푃 szakaszt.

8. Az 퐴퐵퐶 háromszög oldalfelező pontjai a szokásos jelölések szerint 퐴 , 퐵 , 퐶 . Mutassuk meg, hogy az 퐴퐵 퐶 , 퐵퐶 퐴 és퐶퐴 퐵 háromszögek beírt- illetve körülírt köreinek a középpontjai által alkotott két háromszög egybevágó! (Középiskolai Matematikai Lapok 1992, Gy.2762 gyakorlat)

Megoldás:

Az 퐴퐵 퐶 , 퐵퐶 퐴 és퐶퐴 퐵 háromszögek egyállású, egybevágó háromszögek, ezért a beírt körök középpontjaiból a körülírt körök középpontjaiba mutató vektorok megegyeznek. Ez azt jelenti, hogy a beírt körök középpontjai által alkotott 푂 푂 푂 háromszögből a körülírt körök középpontjai által alkotott 퐾 퐾 퐾 háromszöget az 푂 퐾⃗ = 푂 퐾⃗ = 푂 퐾⃗ vektorral eltolva kapjuk meg, tehát a két háromszög egybevágó.

26

9. Állítsunk merőlegeseket a háromszög egyik csúcsából a másik két csúcshoz tartozó szögfelezőkre. Bizonyítsuk be, hogy a négy merőleges talppontja egy egyenesen van!

Megoldás:

Az 퐴 pontot tükrözzük az 푓 , 푓 , 푓 , 푓 szögfelezőkre. Ekkor a 푃 , 푅 , 푄 , 푆 pontokat kapjuk. A szögfelező tulajdonsága miatt, ha az 퐴퐵 egyenest az 푓 , 푓 szögfelezőkre tükrözzük, akkor a 퐵퐶 egyenest kapjuk, így a 푃 és 푅 pontok a 퐵퐶 egyenes pontjai. Ha az 퐴퐶 egyenest az 푓 , 푓 szögfelezőkre tükrözzük, akkor is a 퐵퐶 egyenest kapjuk, tehát a 푄 ,푆 pontok is 퐵퐶 egyenesre illeszkednek. A szögfelezőkre bocsátott merőlegesek talppontjai a 푃, 푄, 푅, 푆 pontok. Ezeket a 푃 , 푅 , 푄 , 푆 pontokból 퐴 középpontú, 1 2⁄ arányú kicsinyítéssel kapjuk meg. A középpontos hasonlóság alkalmazásakor egyenes képe egyenes, így a 푃, 푄, 푅, 푆 pontok is egy egyenesen vannak. Ezzel beláttuk a feladat állítását.

27

10. Adott háromszöghöz szerkesszünk hasonlót úgy, hogy a kerülete adott szakasszal legyen egyenlő!

Megoldás:

Hasonló háromszögekben a megfelelő oldalak aránya megegyezik, ezért az adott kerületet az adott oldalak arányában kell felosztanunk. Egy szög egyik szárára felmérjük az adott kerületet, a másik szárára az adott háromszög 푎, 푏, 푐 oldalát. A 푃és 푄 pontokat összekötjük, az osztópontokon keresztül párhuzamosokat húzunk a 푃푄 egyenessel. A párhuzamos szelők tétele szerint:

푎 : 푏 : 푐 = 푎: 푏: 푐.

Ennek megfelelően a keresett háromszög oldalai 푎 , 푏 , 푐 , ezekkel az oldalakkal megszerkesztjük a háromszöget.

11. Az ABCD trapéz alapjai AB=12 cm; CD=7 cm, a szárak hossza BC=6 cm, AD=5 cm. A szárakat meghosszabbítjuk, így keletkezik a DCE háromszög. Számítsuk ki a trapéz kiegészítő háromszögének ismeretlen oldalait!

Megoldás:

A párhuzamos szelőszakaszok tétele szerint:

푥푥 + 6

=712

푦

푦 + 5=

712

12푥 = 7푥 + 42 12푦 = 7푦 + 35

푥 = 8,4푐푚 푦 = 7푐푚

12. Az ABC háromszög 퐶퐶 súlyvonalának 퐶 végpontjából szögfelezőket húzunk, melyek a másik két oldalt D illetve E pontban metszik. Bizonyítsuk be, hogy DE párhuzamos az AB-vel!

28

Megoldás:

퐶 az 퐴퐵 oldal felezőpontja, így a szögfelezőtétel alapján 퐴퐸: 퐸퐶 = 퐴퐶 : 퐶퐶 = 퐶 퐵:퐶퐶 =퐵퐷:퐷퐶. Ekkor 퐶퐸: 퐶퐴 = 퐶퐷: 퐶퐵 is teljesül, így a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján 퐴퐵 ∥ 퐸퐷.

13. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenlő szárú háromszög szárszöge 36°, akkor az alap a szárnak aranymetszete!

Megoldás:

Az adott háromszög alapon fekvő szögei 72°-osak. Megrajzoljuk az 퐴 csúcsnál lévő szög szögfelezőjét, amely a szemben lévő oldalt a 퐷pontban metszi. 퐴퐵퐶∆~퐴퐵퐷∆ , mert szögeik egyenlőek, ezért a megfelelő oldalak aránya 퐴퐶: 퐴퐵 = 퐴퐵: 퐵퐷,azaz 푎: 푥 = 푥: (푎 − 푥), ami a feladat állítását jelenti.

14. Toljuk el egy húrtrapéz egyik átlóját a párhuzamos oldalak mentén az ábra szerint. Bizonyítsuk be, hogy 퐴푃 = 퐶푄!

29

Megoldás:

A trapéz szimmetrikus, ezért 퐴퐷 = 퐵퐶 és 퐴퐷푃∡ = 퐶퐵푄∡. Az eltolás miatt 퐷푃 = 퐵푄. Az 퐴퐷푃 és 퐶퐵푄 háromszögnek két oldalpárja és a közbezárt szöge megegyezik, ezért a két háromszög egybevágó, így a harmadik oldaluk is egyenlő, 퐴푃 = 퐶푄.

15. Bizonyítsuk be, hogy ha egy derékszögű háromszög súlyvonalaiból – mint oldalakból – derékszögű háromszög szerkeszthető, akkor ez a háromszög hasonló az eredetihez! (Arany Dániel Matematika Verseny 2003-2004, haladók verseny, I. kategória)

Megoldás:

Pitagorasz tétele alapján:

푠 =푎2

+ 푏 =푎 + 4푏

4, 푠 =

푏2

+ 푎 =4푎 + 푏

4.

Thalész és Pitagorasz tétele miatt:

푠 =푐2

=푐4=푎 + 푏

4.

Ha 푎 ≥ 푏, akkor 푠 ≥ 푠 > 푠 . Ha a súlyvonalakból derékszögű háromszög szerkeszthető, akkor a háromszögnek van legnagyobb oldala, így 푎 = 푏 nem lehetséges, tehát 푠 > 푠 > 푠 . Felírjuk a súlyvonalakra a Pitagorasz tételt:

푠 = 푠 + 푠 ⇒ 4푎 + 푏 = 푎 + 4푏 + 푎 + 푏 .

Rendezés után: 푎 = 푏√2 , 푐 = 푏√3.

A 푏 oldallal kifejezzük a súlyvonalakat:

푠 =푏√62

, 푠 =3푏2,푠 =

푏√32.

A megfelelő oldalak aránya:

푠푎=√62:√2 =

√32,

푠푏=√32,

푠푐=32: √3 =

√32.

Az oldalak aránya egyenlő, ezért a súlyvonalakból alkotott háromszög hasonló az eredeti háromszöghöz.

30

IV. Ellenőrző feladatok 1. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott három (egy ponton átmenő) oldalfelező merőlegese és

az egyik oldalegyenes egy pontja!

2. Egy téglalap átlóinak metszéspontján át fektessünk egy tetszőleges egyenest. Ez az 퐴퐵,illetve 퐶퐷 oldalt a 푃, illetve 푄 pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a legrövidebb út, amely 푃-től az egyik szomszédos oldalig és onnan 푄-ba vezet, egyenlő a téglalap átlójával!

3. Az ábra szerint négyzetet rajzoltunk egy derékszögű háromszögbe, majd meghosszabbítottuk a négyzet átlóját és a háromszög átfogóját, metszéspontjukat pedig összekötöttük a derékszögű csúccsal. Igazoljuk, hogy a jelölt szögek egyenlőek!

4. Legyen 퐴 és 퐵 két tetszőleges pont. Tükrözzük a sík egy 푃 pontját az 퐴-ra, majd az eredményt a 퐵-re. Az így nyert pontot 푃′′- vel jelöljük. Milyen kapcsolat van a 푃 és 푃′′ pontok között?

5. Adott egy pont, egy a ponton átmenő kör és egy egyenes. Forgassuk a pont körül a kört és minden helyzetben szerkesszük meg az egyenessel párhuzamos érintőit. Milyen ponthalmazt alkotnak az érintési pontok?

6. Szerkesszünk adott hegyesszögű háromszögbe téglalapot az ábra szerint, melyben az oldalak aránya 3:4! Mekkorák a beírt téglalap oldalai, ha 퐴퐵 = 12 cm és a hozzá tartozó magasság 6 cm?

7. Egy derékszögű háromszögben az egyik befogó 10 cm, ennek a vetülete az átfogón 3 cm. Mekkora az átfogó és a másik befogó?

31

8. Húzzunk két párhuzamos egyenest egy négyzet két átellenes csúcsán, és emeljünk ezekre merőlegeseket a másik két csúcsból. Igazoljuk, hogy az így szerkesztett négy egyenes négyzetet határoz meg!

9. Az 퐴퐵 átmérőjű félkörbe az 푂퐴 sugár, mint átmérő fölé újabb félkört írunk. Az 푂퐴 sugár tetszőleges 푃 pontjában merőlegest állítunk az átmérőre. Ez az egyenes a kisebb félkört 퐾-ban, a nagyobbat 퐿-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy 퐴퐿 = 2퐴퐾 !

10. Az 퐴퐵퐶 egyenlő szárú háromszög alapja 27 egység, beírt körének sugara 9 egység. Mekkora annak a körnek a sugara, amely érinti a beírt kört és a háromszög szárait?

(Pótírásbeli érettségi-felvételi feladat; 1999.)

Az ellenőrző feladatok megoldásai 1. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott három (egy ponton átmenő) oldalfelező merőlegese és

az egyik oldalegyenes egy pontja!

Megoldás:

Az oldalfelező merőlegesek 푓 , 푓 , 푓 , az 퐴퐵 oldal adott pontja 푃. Ha a 푃 pontot tükrözzük az 푓 egyenesre, akkor a 푃′ pont is az 퐴퐵 egyenesen lesz. Összekötjük a 푃푃′ pontokat, ezzel megkapjuk a háromszög 푐 oldalegyenesét. Az 퐴 pontnak az 푓 egyenesre vonatkozó tükörképe a 퐶 pont. Az 퐴 pont rajta van a 푐 egyenesen, ezért ha a 푐 egyenest tükrözzük 푓 -re, a 푐′ tükörkép-egyenes tartalmazza a 퐶 pontot. Hasonlóan a 퐵 pontnak az 푓 egyenesre vonatkozó tükörképe a 퐶 pont, így a 푐 egyenest tükrözzük 푓 -ra. A tükörkép 푐′′ egyenesen is rajta van a 퐶 pont, tehát a 푐′ és 푐′′ egyenesek metszéspontja 퐶. Ha a 퐶 pontot tükrözzük 푓 -re, akkor az 퐴 pontot, ha az 푓 -ra, akkor a 퐵 pontot kapjuk. Az 퐴, 퐵, 퐶 pontokat összekötve megrajzoljuk a háromszöget. Még két további megoldást kaphatunk, ha az 퐴퐵 oldal szakaszfelező merőlegesének a másik két adott egyenest választjuk.

32

2. Egy téglalap átlóinak metszéspontján át fektessünk egy tetszőleges egyenest. Ez az 퐴퐵, illetve 퐶퐷 oldalt a 푃, illetve 푄 pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a legrövidebb út, amely 푃-től az egyik szomszédos oldalig és onnan 푄-ba vezet, egyenlő a téglalap átlójával!

Megoldás:

A 2. ajánlott feladatban leírt módszer alapján a 퐵퐶 oldalt érintő 푃-ből 푄-ba vezető legrövidebb utat így szerkesztjük meg: 푃-t tükrözzük a 퐵퐶 oldalra. 푃′t összekötjük 푄-val. A 퐵퐶 oldal és 푃′푄 metszéspontja 푅. A 푃푅푄 útvonal a keresett legrövidebb távolság. A tengelyes tükrözés miatt ez az útvonal egyenlő hosszú a 푃′푄 szakasszal.

Tengelyesen tükröztünk, ezért 푃퐵 = 퐵푃′. Az 푀 pont a téglalap középpontja, ezért a 퐷푄 szakasz 푀-re vonatkozó középpontos tükörképe 푃퐵, tehát 퐷푄 = 푃퐵 = 퐵푃′. A téglalap szemben lévő oldalai párhuzamosak. Ezekből következik, hogy 퐷푄 és 퐵푃 párhuzamos és egyenlő, így 퐵푃 푄퐷 négyszög paralelogramma. A paralelogramma szemben lévő oldalai, 퐷퐵 és 푄푃′ egyenlőek, ebből következik a bizonyítandó állítás.

3. Az ábra szerint négyzetet rajzoltunk egy derékszögű háromszögbe, majd meghosszabbítottuk a négyzet átlóját és a háromszög átfogóját, metszéspontjukat pedig összekötöttük a derékszögű csúccsal. Igazoljuk, hogy a jelölt szögek egyenlőek!

Megoldás:

A 퐷푃 egyenes a négyzet átlójára illeszkedik, ezért a négyzet szimmetriatengelye. Az 퐴 pont és a 푄 pont egymás tükörképe. A 퐷 és 푅 pontok a szimmetriatengelyen vannak, azaz a tengelyes tükrözés fixpontjai. Ezek alapján ha az 푅푄퐷∡-et a 퐷푃 egyenesre tükrözzük, az 푅퐴퐷∡-et kapjuk. Ez

33

bizonyítja, hogy a két szög egyenlő. 푅푄퐷∡ és 푃퐵푄∡ pedig egyállású szögek, tehát szintén egyenlőek.

4. Legyen 퐴 és 퐵 két tetszőleges pont. Tükrözzük a sík egy 푃 pontját az 퐴-ra, majd az eredményt a 퐵-re. Az így nyert pontot 푃′′- vel jelöljük. Milyen kapcsolat van a 푃 és 푃′′ pontok között?

Megoldás:

A 푃푃′푃′′ háromszög középvonala az 퐴퐵 szakasz, ezért 푃푃′′ ∥ 퐴퐵 és 푃푃 = 2 ∙ 퐴퐵, tehát 푃푃′′⃗ =2 ∙ 퐴퐵⃗. Ez abban az esetben is igaz, ha a 푃 pont az 퐴퐵 egyenesre illeszkedik:

Megállapíthatjuk, hogy a két középpontos tükrözés egymás utáni alkalmazása egy eltolással helyettesíthető. Az eltolás iránya a két középpontot összekötő szakasszal párhuzamos, nagysága pedig a szakasz hosszának kétszeresével egyenlő. Ha a tükrözéseket fordított sorrendben végezzük el, akkor az eltolás ellentétes irányú lesz.

5. Adott egy pont, egy a ponton átmenő kör és egy egyenes. Forgassuk a pont körül a kört és minden helyzetben szerkesszük meg az egyenessel párhuzamos érintőit. Milyen ponthalmazt alkotnak az érintési pontok?

Megoldás:

34

A 푃 ponton átmenő, 푂 középpontú, 푟 sugarú 푘 kört forgatjuk. A 푘 körhöz az 푓 egyenessel párhuzamosan szerkesztünk érintőt. Két ilyen érintő van, 푒 és 푒 , a megfelelő érintési pontok 퐸 és 퐸 .Az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, ezért az 푂퐸⃗ = 풗 vektor merőleges az 푓 egyenesre és nagysága az 푟 sugárral egyenlő, az 푂퐸⃗ vektor ellentétes irányú, – 풗. Ha a kört a 푃 pont körül forgatjuk, akkor az 푂 pont a P középpontú, r sugarú 푘 körön mozog. Ennek a körnek a pontjait a 풗 vektorral kell eltolnunk, hogy a megkapjuk a megfelelő 퐸 érintési pontokat, így ezek a pontok a 푘 körvonalon vannak. Az 퐸 pontok halmazát akkor kapjuk meg, ha a 푘 kört –풗 vektorral toljuk el, ez a 푘 körvonal.

Megmutatható, hogy a 푘 és 푘 kör minden pontját megkapjuk érintési pontként a 푘 kör valamelyik helyzetében.

A keresett ponthalmaz 푘 ∪ 푘 .

6. Szerkesszen adott hegyesszögű háromszögbe téglalapot az ábra szerint, melyben az oldalak aránya 3:4! Mekkorák a beírt téglalap oldalai, ha 퐴퐵 = 12 cm és a hozzá tartozó magasság 6 cm?!

Megoldás:

35

Az 퐴퐵 szakaszra szerkesztünk egy olyan téglalapot, amelyben az oldalak aránya 퐴푃 :퐴퐵 = 3: 4. A téglalapot úgy kicsinyítjük a 퐶 pontból, hogy a 푃푄 szakasz az 퐴퐵 oldalra kerüljön: az 퐴퐵 és 푃 퐶 szakaszok metszéspontja a 푃 pont, az 퐴퐵 és 푄 퐶 metszéspontja 푄. A 푃 ponton keresztül párhuzamost húzunk 퐴푃 -gyel, ez kimetszi az 퐴퐶oldalból az 푆 pontot. A 푄 ponton keresztül 퐵푄 párhuzamost húzva kapjuk meg a 퐵퐶oldalon lévő az 푅 pontot. Ezekkel a lépésekkel az 퐴푃 푄 퐵 téglalapot kicsinyítettük a 퐶 pontból. A középpontos hasonlóság aránytartó, ezért a 푃푄푅푆 téglalap oldalainak aránya 3: 4, tehát ez a szerkesztendő téglalap.

(A téglalap a 11. kidolgozott feladat módszerével is megszerkeszthető.)

A téglalap oldalainak arányát figyelembe véve az oldalakat az ábra szerint 3푥-el illetve 4푥-el jelöljük. 퐴퐵퐶 △ ~푆푅퐶 △, mert szögeik egyenlőek. Hasonló háromszögekben a megfelelő szakaszok aránya megegyezik, most egy oldalt és a hozzá tartozó magasságot hasonlítjuk össze:

4푥퐴퐵

=푚 − 3푥푚

4푥12

=6 − 3푥6

4푥 = 12 − 6푥 ⇒ 푥 = 1,2 ⇒ 3푥 = 3,6; 4푥 = 4,8.

A beírt téglalap oldalainak hossza 3,6 cm és 4,8 cm.

7. Egy derékszögű háromszögben az egyik befogó 10 cm, ennek a vetülete az átfogón 3 cm. Mekkora az átfogó és a másik befogó?

Megoldás:

A befogótétel lapján:

푏 = 푝푐,

36

a feladat adataival: 100 = 3푐 ⇒ 푐 = ≈ 33,3(cm).

Az 푎 oldalt is kiszámíthatjuk a befogótétel segítségével:

푎 = 푐 ∙ (푐 − 푝) = √33,3 ∙ 30,3 = 31,8(cm).

(Az 푎 oldal a Pitagorasz-tétellel is kiszámítható.)

8. Húzzunk két párhuzamos egyenest egy négyzet két átellenes csúcsán, és emeljünk ezekre merőlegeseket a másik két csúcsból. Igazoljuk, hogy az így szerkesztett négy egyenes négyzetet határoz meg!

Megoldás:

퐵퐴푃∡ = 퐶퐵푄∡, mert merőleges szárú szögek. Az azonosan jelölt szögek ugyanezen ok miatt egyenlőek. Az 퐴푃퐵; 퐵푄퐶; 퐶푅퐷;퐷푆퐴 háromszögek egybevágóak, mert a négyzet 푎 oldalában és az ezen fekvő két szög nagyságában megegyeznek. Az egybevágó háromszögek megfelelő oldalai egyenlőek, ezeket az ábrán azonos betűkkel jelöljük: 푥; 푦. A 푃푄푅푆 négyszög minden szöge derékszög, mindegyik oldala 푥 + 푦, így valóban négyzet keletkezett a feladatban leírt szerkesztéssel.

Megjegyzés:

A feladat állítása bizonyítható azzal a gondolattal is, hogy ha az ábrát az 퐴퐵퐶퐷 négyzet középpontja körül 90°-kal elforgatjuk, akkor az ábra önmagával fedésbe kerül, tehát a 푃푄푅푆 négyszög is, így valóban négyzet.

37

9. Az 퐴퐵 átmérőjű félkörbe az 푂퐴 sugár, mint átmérő fölé újabb félkört írunk. Az 푂퐴 sugár tetszőleges 푃 pontjában merőlegest állítunk az átmérőre. Ez az egyenes a kisebb félkört 퐾-ban, a nagyobbat 퐿-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy 퐴퐿 = 2퐴퐾 !

Megoldás:

A Thalész-tétel miatt az 퐴푂퐾 háromszögben a 퐾 csúcsnál, az 퐴퐵퐿 háromszögben az 퐿 csúcsnál derékszög van, ezért alkalmazhatjuk a befogótételt:

퐴퐿 = 퐴푃 ∙ 퐴퐵

퐴퐾 = 퐴푃 ∙ 퐴푂

Az 푂 pont a félkör középpontja, ezért 퐴퐵 = 2 ∙ 퐴푂, amiből következik a feladat állítása:

퐴퐿 = 2 ∙ 퐴퐾 .

10. Az 퐴퐵퐶 egyenlő szárú háromszög alapja 27 egység, beírt körének sugara 9 egység. Mekkora annak a körnek a sugara, amely érinti a beírt kört és a háromszög szárait? (Pótírásbeli érettségi-felvételi feladat; 1999.)

Megoldás:

A 푘 és a 푘 körök az ábra szerint érintik a háromszög oldalait és egymást, 퐸 és 퐸 a 퐵퐶 oldalon lévő érintési pontok. 푇퐵퐶 △ ~푂 퐸 퐶 △, mert egy hegyes szögük közös és derékszögszögűek. Erre a két háromszögre felírjuk a megfelelő oldalak arányát. Ha az 퐴퐵퐶 △ háromszög magasságát 푚-mel jelöljük:

913,5

=23=

푚 − 9

푚 + 13,5

38

49=푚 − 18푚 + 81푚 + 13,5

4푚 + 729 = 9푚 − 162푚 + 729

5푚 − 162푚 = 0

Innen 푚 = 0 vagy 푚 = 32,4. 푚 csak pozitív lehet, ezért푚 = 32,4.

퐶푂 퐸 △ ~퐶푂 퐸 △, mert a 퐶 csúcsnál lévő szögük közös és mindkettő derékszögű. A megfelelő oldalak aránya:

푟9=푚 − 18 − 푟푚 − 9

.

푟푚 − 9푟 = 9푚 − 162 − 9푟

Az 푚-re kapott értéket behelyettesítve:

32,4푟 = 129,6 ⇒ 푟 = 4,

tehát a 푘 kör sugara 4 egység.