1.3. Реални бројеви. Бројевна...

1.3. Реални бројеви. Бројевна права.

Једнакост a = a2

У претходним разредима упознали сте неке скупове бројева:

1) скуп природних бројева,

N = {1, 2, 3, ...};2) скуп целих бројева,

Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...};

3) скуп рационалних бројева,

Q x x pq

p q q= ∈ ≠

, , , .Z 0

За наведене скупове бројева важи однос:

N ⊂ Z ⊂ Q.

4) Најзад, у претходном одељку видели смо потребу за увођењем и неких ирационал-них бројева, на пример 2 , 3 , 17 итд.

Може се доказати да ирационалних бројева има веома много (неограничено мно-

го) јер ако је 2 ирационалан број, онда су ирационални и бројеви облика r + 2 ,

(r ∈ Q). Дакле, помоћу само једног ирационалног броја можемо добити бесконачно много ирационалних бројева*.

Теорема 1

Сви бројеви облика r + 2 , (r ∈ Q) су ирационални.

Доказ

Претпоставимо супротно: да је број r + 2 облика pq

, (p ∈ Z, q ∈ N), тј. рационалан.

Тада, из r + 2 = pq , следи 2 =

pq

– r (разлика рационалних бројева је рационалан

број), што значи да је 2 рационалан број, а то није тачно. Значи, претпоставка да је

број облика r + 2 рационалан је нетачна, па је онда сваки број таквог облика ираци-

оналан. На сличан начин састави још неки скуп ирационалних бројева.

* Рихард Дедекинд (1831. - 1916.) у раду „Непрекидност и ирационални бројеви“, објављен 1872. г. изнео својства ових бројева.

математикA14

Ако се са I означи скуп свих ирационалних бројева, онда је унија скупова Q и I нови, шири скуп бројева, који се назива скуп реалних* бројева и означава се са R.

Дакле,R = Q ∪ I

Скупови Q и I немају заједничких елемената,

Q ∩ I = ∅,

тј. сваки реалан број је или рационалан или ирационалан.

1) Један од начина да упознамо реалне бројеве су децимални развици (записи). По-знато нам је да сваком рационалном броју одговара коначан или бесконачан, али пе-риодичан, децималан развитак. На пример,

21 = 0,5; 4

3 = 0,75; 51 = 0,2; – 4

17 = – 4,25; 31 = 0,333... ≈ 0,3.

Изузев периодичних децималних развитака, можемо разматрати и оне бесконачне децималне развитке који нису периодични, на пример:

0,10100100010.. (број нула се увећава за један).

Такви бројеви су познати као ирационални бројеви.

Стога, било који коначан, периодичан или непериодичан децимални развитак зовемо реални број.

2) На примеру броја 5 показаћемо како се може израчунати његов децимални разви-так**, тј.

5 = 2,236...Како је 22 < 5 < 32, то је

2 < 5 < 3.

Поделимо одсечак [2, 3] на десет једнаких делова (слика 4).

Слика 4

* Појам реалног броја познат је од почетка цивилизације и потиче из практичне људске делатности. Сматра се да су два основна извора из којих је овај појам поте-као бројање и мерење величине.

** Помоћу разних машина (рачунара) децимални развитак ирационалних бројева може се добити са онолико децимала колико нам је потребно.

за VII разред основне школе 15

Рачунајући квадрат сваког броја 2; 2,1; 2,2; ... 3: добијамо

2,22 < 5 < 2,32, па је

2,2 < 5 < 2,3.

Сада одсечак [2,2; 2,3] делимо на десет једнаких делова:

[2,2; 2,21], [2,21; 2,22], ..., [2,29; 2,3].

Рачунајући квадрат сваког броја, 2,21; 2,22; 2,23; ... добијамо

2,232 < 5 < 2,242, па је 2,23 < 5 < 2,24.

Даљом деобом одсечака [2,23; 2,24] на десет једнаких делова и израчунавањем ква-драта добиће се трећа децимала, тј.

2,236 < 5 < 2,237.

Настављајући овај поступак, који је неограничен, добијаћемо све већи број децимал-ног развитка ирационалног броја 5 , који је бесконачан и непериодичан, тј.

5 = 2,236...Ако се за 5 узме 2,23, онда је то његова приближна вредност са две децимале.

За израчунавање квадратног корена ненегативних реалних бројева могу се користи-ти табеле и рачунари (калкулатори).

1) Табеле. – На крају књиге дате су табеле у којима су наведене вредности квадратних корена бројева од 1 до 1000 са две децимале. У колони N записане су десетице броја, а у реду N јединице од 0 до 9. Тако, на пример, за број 387 у колони N налазимо број 38 (38 десетица), а „удесно“ у колони 7 (7 јединица) у одговарајућем пољу (пресек

38. реда и 7. колоне) очитавамо број 19,67, квадратни корен броја 387. Дакле,

387 = 19,67 (са тачношћу на две децимале).

2) Џепни рачунар. – У рачунар (сл. 5), „унесемо број“, на пример, 387 (притиском дирке тастатуре по ре-доследу 3, 8, 7). Када се на екрану појави број 387, притиснемо дирку са ознаком x . Тада ће се на ек-рану појавити број 19,672315 (или са више децима-ла, што зависи од величине рачунара). Дакле,

387 = 19,672315..., (узимамо жељени број децимала).

Како се упоређују два реална броја?1) За бројеве, 1,414 и 1,415 биће:

1,414 < 1,415,


Слика 5

јер су целобројни делови оба броја једнаки и једнаке су им прве две децимале, док је трећа децимала првог броја мања од треће децимале другог броја.

За негативне бројеве правило је обратно. Од два негативна броја мањи је онај чија је апсолутна вредност већа. Тако је, на пример,

–1,414 > –1,415, –3,8459... < –2,9873...

2) Уопште, два реална броја х и у чије децималне развитке знамо, тј. за

x = a0, a1 a2 a3 ...*, y = b0, b1 b2 b3 ...,

где је a0, b0 ∈ Z, ai, bi ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, (i = 1, 2, 3, ...) јесу једнака, (х = у) ако и само ако је a0 = b0, а1 = b1, a2 = b2, ... ak = bk, ...

Другим речима, два реална броја су једнака ако и само ако су им једнаки целобројни делови и једнаке све одговарајуће децимале**. 3) За два реална позитивна броја х = а0, a1 a2 a3 ..., y = b0, b1 b2 b3..., биће:

– ако је а0 < b0, онда је х < у;

– уколико је а0 = b0, биће х < у, ако је а1 < b1;

– уколико је а0 = b0, и а1 = b1 онда је а2 < b2 услов за х < у итд.

Пример 1

7,213584... < 7,2135893... јер су целобројни делови једнаки, као и првих пет децимала, а за њихове шесте децимале је 4 < 9.

Од два негативна реална броја мањи је онај чија је апсолутна вредност већа.

Пример 2–7,2134894... < –7,213484...

* У запису а0 је број, а остали а1, а2, а3,... су цифре. ** Једнаки су, на пример, бројеви 0,999... и 1,000... То су само два записа истог броја.

Такве двојаке записе бројева овде не разматрамо.


Како је сваки негативан број мањи од нуле, а нула мања од сваког позитивног броја, јасно је да увек можемо одредити мањи (и већи) од два броја чији су нам децимални развици познати.

За праву х кажемо да је бројевна права, ако су на њој дате две различите тачке О и А, којима су придружени бројеви 0 и 1 (сл. 6).

Слика 6

До сада смо геометријски представљали различите бројеве (сл. 7).

Слика 7

Целим бројевима се лако, сваком од њих, придружује само једна тачка бројевне пра-ве. Поступак за рационалне бројеве упознали сте у претходним разредима. Узмимо,

примера ради, да одредимо тачку коју треба придружити броју 56

. Како је 0 < 56

<1,

то дуж ОА поделимо на шест подударних дужи, јер је именилац тог броја 6 (сл. 7).

Крајњу тачку пете дужи (рачунато од нуле), тј. пету деону тачку, придружимо броју 56

. Остале деоне тачке имају редом координате: 16

, 26

, 36

, 46

.

На сличан начин је одређена тачка коју треба придружити броју 136

. У ту сврху ко-

ристимо једнакост 136

= 2 + 16

.

Тачку коју треба придружити броју –316

због –316

= –5 16

одређујемо лево од тачке

придружене броју –5 и удаљену од ове лево за дуж подударну једној шестини дужи ОА.

На један од описаних начина сваком рационалном броју r може се придружи-ти само једна тачка М бројевне праве. Број r је, у том случају, координата та-чке М, што записујемо М(r). Ако су А, В, ... М, ... тачке бројевне праве које од-говарају рационалним бројевима, њихове координате означимо: а, b, ..., r, ... Тада је између оба ова скупа успостављено једно обострано једнозначно пре-сликавање и у њему је сачуван поредак, тј. за два рационална броја а и b, (а < b), мањем броју а одговара тачка А која је на бројевној правој лево од тачке В (придруженој већем броју b).


Да ли скуп свих тачака, које одговарају скупу рационалних бројева, садржи све тачке бројевне праве?

Не, јер постоје тачке којима се не може придружити ниједан рационалан број. И не само да тих тачака има много, већ су оне врло густо распоређене на бројевној правој.

На примеру броја 5 изложен је поступак како се израчунавају децимале тог броја, а

исто тако смо броју 5 придружили рационалне одсечке бројевне праве, тј. дужи са рационалним крајевима: [2; 3], [2,2; 2,23], [2,23; 2,24]..., где је

[2, 3] ⊃ [2, 2; 2, 3] ⊃ [2, 23; 2, 24] ⊃ ...,

а њихове дужине су:1, 1

10, 1

102, ...

аксиоматском заснивању еуклидске геометрије постоји аксиома према којој овакав низ уметнутих одсечака, чије се дужине стално смањују и теже нули, садржи једну

једину тачку Р праве. Ту тачку Р придружујемо броју 5 , и број 5 је њена коорди-ната. Овим поступком можемо сваком реалном броју придружити само једну тачку бројевне праве. Можемо закључити да уопште важи:

Сваки реалан број је координата неке тачке бројевне праве.

Такође, свакој тачки праве придружен је на једнозначан начин реалан број.

Друкчије речено, пресликавање скупа тачака бројевне праве Ох и реалних бројева R је обострано једнозначно, тј.

М ↔ а, где је а ∈ R, М ∈ Ох.

Ово пресликавање чува поредак. То значи, ако је В нека друга тачка праве са коорди-натом b, онда је

М испред В ако и само ако је а < b.

Једнакост a2 = | а | тачна је за све реалне бројеве а. Ово утврђујемо, између осталог,

на следећи начин: испитујемо вредност израза a2 и | а | у скупу реалних бројева.

1) Из дефиниције квадратног корена следи да су за а ≥ 0 вредности израза a2 и а једнаке. Заиста,

за а = 4 је a2 = 42 = 16 = 4; за а = 56

је a2 = 56

2

=

56

;

за а = 1, 2 је a2 = ( , )1 2 2 = 1, 2; за а = 0 је a2 = 02 = 0.


Уопште, за сваки реалан број а ≥ 0, биће:

a2 = | а |.

2) За а < 0, вредност израза a2 једнака је супротном броју вредности броја а. На

пример:

за а = –4 је a2 = ( )−4 2 = 16 = 4; за а = −34

је a2 = −

34

2

= 9

16 =

34

;

за а = –0,7 је a2 = ( , )−0 7 2 = 0,7.

Уопште, за сваки реалан број а < 0, биће:

a2 = – а.

Подсетимо се да је | а | = а, а > 0

0, а = 0

–а, а < 0.Имајући то у виду, примећујемо да је

a2 = | а |.тј. да је та једнакост тачна за све реалне бројеве. Графички се то може приказати као на слици 8:

Слика 8


Пример 3

Покажи да је:1) 4 9 4 9⋅ = ⋅ тј. 4 9⋅ = 2 ⋅ 3 = 6.

2) 0 25 16 0 25 16 0 25 16 0 5 4, , , ,⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ тј. 0 25 16 0 25 16 0 25 16 0 5 4, , , ,⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = 2

Уопште, важи једнакост

a b a b⋅ = ⋅ , (а ≥ 0, b ≥ 0).

Пример 4

Покажи да је:1)

254 =

254

тј. 254 =

52

= 2,5.

2) 0 360 09

0 360 09

,,

,,

= тј. 0 360 09

0 60 3

2,,

,,

= =

Уопште важи једнакост:

ab

= ab

, (а ≥ 0, b > 0).

Задаци

1. Примени наведени поступак и покажи да је

1,4 < 2 < 1,5 ; 1,41 < 2 < 1,42 ; 1,414 < 2 < 1,415 итд.

Запиши приближну вредност за 2 са две децимале.

2. Применом изложеног поступка израчунај на две децимале:

1) 3 , 2) 6 ; 3) 7 ; 4) 8 ; 5) 102.


3. Помоћу табеле и рачунара израчунај приближне вредности бројева:

1) 20 ; 2) 32 ; 3) 5 6, ; 4) 112

; 5) 8 34

.

Напомена. У табелама немамо број 5 6, , али га можемо израчунати овако:

5 6, = 560100

= ( 560 : 10). Слично, 112

= 150100

= ( 150 : 10), такође,

8 34

= 875100

= ( 875 : 10).

4. Упореди бројеве:

1) 1,73 и 1,74; 2) 3,145 и 3,1450; 3) –0,5671 и –0,56701; 4) 2 и 3 .

5. Израчунај вредност израза:

1) 102 ; 2) 0 012, ; 3) 47

2

; 4) ( )−8 2 ; 5) −( )0 05 2, ; 6) −

1 99

100

2

.

6. Израчунај вредност израза 0,2 x2 за х = –24,5.

7. Израчунај вредност израза –4,5 b2 за b = –4,5.

8. Упрости израз: 1) 144 2a ; 2) 0 81 2, x .9. За које х ∈{3, –4, 0, 10, –5} је тачна једнакост x2 = х?

10. 1) За које вредности променљиве а ∈{2,9, –6,1, –8} је тачна једнакост a2 = –а?

2) Одреди неколико вредности у за које је тачна једнакост y2 = – у.

11. Израчунај вредност израза:

1) ( , )6 5 2 ; 2) ( , )−2 3 2 ; 3) 125

2

; 4) ( , )−0 81 2 .

12. Израчунај

1) 0 49, ; 2) 0 0001, ; 3) 0 25, ; 4) 0 0081, .

13. Израчунај бројевну вредност израза:

1) 3 9; 2) 1005

; 3) –7 ⋅ 0 01, ; 4) 90015

; 5) 3649

100+ ;

6) 3600 + 1600; 7) 49

19

− ; 8) 0,1 ⋅ 400 ; 9) 16 425

+ ;

10) 1 916

916

− ; 11) 0 363,

; 12) 2 79

2 116

− ⋅ .


14. Уреди по величини бројеве (од најмањег до највећег) и представи их на бројевној

правој: 2 12

; –3; –3,01; 1,41; 2 ; –1,42; – 2 ; 3; 1,73.

15. Бројеве 5; 13

; −14

; 11,352 представи бесконачним децималним развитком.

16. Бројеве 1,23; –7,345; 0,0284 представи у облику pq

, где су p и q цели бројеви.

17. Користећи само цифре 0 и 1 напиши у децималном запису:1) два рационална броја; 2) један ирационалан број.

18. Да ли је број 0,2323323332... (број тројки се стално повећава за један) рационалан?

19. Израчунај:

1) 4 25⋅ ; 2) 16 9⋅ ; 3) 100 144⋅ ; 4) 5 9⋅ ; 5) 16 2⋅ ; 6) 121 3⋅ .

20. Израчунај:

1) 100

9; 2)

1649

; 3) 179

; 4) 12425

.

1.4. Приближна вредност реалног броја

Већ ти је познато из претходних разреда да смо рационалне бројеве са много децима-ла (и периодичан децимални запис), из практичних разлога, заокругљивали на жеље-ни број децимала.

Слично радимо и с ирационалним бројевима чији децимални развитак има бес-коначно много децимала.

Пример 1

1) Број 2 заокруглити на две децимале.

Видимо да је 1,41 < 1,4142135... < 1,42,

где је тачна вредност а = 2 = 1,4142135....

Ако уместо тачне вредности а узмемо приближну вредност а′ = 1,41, јавиће се грешка – разлика између тачне и приближне вредности.

а – а′ = 4142135... – 1,41 = 0,0042135...


1.3. Реални бројеви. Бројевна...

Documents