1.3 Relációk1

Def. (rendezett pár)

(a1 , a2 ) := {{a1} , {a1 , a2 }} .

Def. (rendezett n-es)

(a1 , ..., an ) := ((a1 , ..., an-1 ), an ) .

Def. (Descartes (direkt) szorzat )

A1 A2 ... An := {(a1 , ..., an ) | ai Ai } ,

ahol A1, A2 , ... , An tetszőleges halmazok .

Def. (n-ér reláció (n-változós))

R A1 A2 ... An .

jelölés binér relációknál: ( a, b ) R , vagy a R b .

Javítva!!!!!!!

2 Def. (Homogén reláció)

i, j { 1, 2, ...,n } : Ai = Aj .

Def. (R XY reláció értelmezési tartománya )

dmn(R) := { a X | b Y : (a, b) R } .

Def. (R XY reláció értékkészlete )

rng(R) := { b Y | a X : (a, b) R } .

3

Def. Az R reláció X halmazra való leszűkítése

R|X := { (a, b) R | a X } .

Def. Ha S R , akkor S az R leszűkítése, R az S kiterjesztése.

Def. Az R XY reláció inverze:

R-1 = {(b, a) Y X | (a, b) R } .

Észrevételek:

4Def. Az A halmaz képe

inverz (ős)képe

Észrevétel: R(A) = A dmn(R) = .

Def. Az S és R binér relációk kompozíciója

Észrevétel: rng(S) dmn(R) = R o S = .

5

A

B

C

yx

RS

rng(S)

dmn(R)

z

Tehát R o S A C

6Legyen A = { 1, 2 , 3, 4, 5},

B = { 6, 8 , 10, 12, 14}, C = { 30, 36 , 42, 48, 54} , D = { 2, 3 },

S A B, ahol (a, b) S, ha b = 2a ,

R B C, ahol (a, b) R, ha b = 3a .

Ekkor

S = { (3, 6) , (4, 8) , (5, 10) }, R = { (10, 30) , (12, 36) , (14, 42) },

S(D) = { 6 }, S-1(S(D)) = { 3 },

R o S = { (5, 30) }.

dmn(S) = {3, 4, 5}, rng(S) = {6, 8, 10}, dmn(R) = {10, 12, 14}, rng(R) = {30, 36, 42},

7

A

B

C

yx

RS

rng(S)dmn(R)z

rng(R)

1.3.27.

1.3.28.

8Homogén binér relációk tulajdonságai

1. reflexív :a A (a R a)

Legyen R A A alakú, ekkor R

2. irreflexív :

a A ¬(a R a)

3. szimmetrikus :

a, b A (a R b b R a)

4. antiszimmetrikus :

a, b A (a R b b R a b = a)

95. szigorúan antiszimmetrikus (asszimmetrikus):

a, b A (a R b ¬(b R a))

6. tranzitív :

a, b, c A (a R b b R c a R c)

7. intranzitív :

a, b, c A (a R b b R c ¬(a R c))

8. trichotom :

a, b A ( 1! áll fenn a R b, b R a, a=b közül )

9. dichotom :

a, b A (a R b b R a)

10Def. ~ ekvivalenciareláció ha reflexív, tranzitív, szimmetrikus.

Def. ( halmaz osztályfelbontása )

A tetszőleges X halmazt osztályozzuk (osztályokra bontjuk), ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak úniójaként állítjuk elő.

Az x X elem ekvivalencia osztálya:

11

Biz. 1. , azaz tfh ~ ekvivalenciareláció X –n.

reflexivitás x x osztályok nem üresek~

Mi újság két osztály metszetével ?

tfh van nem üres: z x y tranz.+szimm. x ~ y , továbbá~ ~

tranz.+szimm. w x w y és ~ ~ w y w x . ~ ~

Kaptuk: x y

~ ~ x = y~ ~

1.3.38..

12Tehát a következő halmaz X –nek egy osztáyfelbontását adja:

2. , tfh X –nek osztályfelbontása:

X1 X2 ... Xn = X

Legyen a relációnk:

ρ := { (a, b) X X | a, b Xi valamely 1 i n –re } .

reflexív ? tranzitív ? szimmetrikus ?

13Def. Az R X X reláció részbenrendezés ( ), ha - reflexív,- tranzitív,- antiszimmetrikus,

szigorú részbenrendezés ( < ), ha

- irreflexív,- tranzitív.

(X, ) részbenrendezett vagy rendezett struktúra, ha részbenrendezés vagy rendezés.

Def. Tetszőleges részbenrendezett halmaz esetén, ha bármely két elem relációban van, rendezésről (teljes rendezés) beszélünk .

14

Tetszőleges X, a relációval részbenrendezett halmaz bármely Y részhalmaza részbenrendezett a YY relációval. Ha (Y, YY ) struktúra rendezés, akkor lánc.

Tfh R X –beli reláció. Ha S X –beli reláció olyan, hogy xSy akkor áll fenn, ha xRy és x y, akkor S az R –nek megfelelő szigorú reláció.

Tfh R X –beli reláció. Ha T X –beli reláció olyan, hogy xTy akkor áll fenn, ha xRy vagy x = y, akkor T az R –nek megfelelő gyenge reláció.

< szigorú részbenrendzés

irreflexív, tranzitív, szigorúan antiszimmetrikus .

rendezés < trichotóm

15

Zárt intervallum:

[x, y] = { z X | x z y } .

Nyílt intervallum:

(x, y) = { z X | x < z < y } .

Jel: ] , x [

16

nem létezik olyan (m ) x X, amelyre m ≥ x ,

az X minimális eleme, ha

legkisebb eleme, ha

Legyen (X, ) részbenrendezett struktúra, ekkor

minden x X – re m x .

m X

maximális és legnagyobb elem hasonlóan

Észrevételek:

legkisebb és legnagyobb elem legfeljebb egy van

minimális és maximális elem több is lehet

rendezett halmazban legkisebb és minimális egybeesik

17

a B alsó korlátja, ha

minden x B – re a x ,

felső korlátja, ha

minden x B – re x a .

a A

Legyen B A (A részbenrendezett), ekkor

Észrevételek: lehet 0, vagy több korlát

a korlát nem biztos, hogy B eleme

ha egy korlát B –ben van, akkor 1! (legkisebb, vagy legnagyobb elem)

18

B infinuma (inf B), ha létezik, B legnagyobb alsó korlátja,

B supremuma (sup B), ha létezik, B legkisebbb felső korlátja.

Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme.

Észrevétel: jólrendezett rendezett

pontos felső/alsó korlát, felső/alsó határ

191.4 Függvények

Def. Az f reláció függvény, ha(x, y) f (x, y’) f y = y’

Kapcsolódó jelölések, fogalmak:

Az összes olyan függvény halmaza, amelynek értelmezési tartománya X – nek, értékkészlete pedig Y – nak része.

rng(f) Y

dmn(f) = X dmn(f) X

parciális függvény

20

Mikor egyenlő két függvény?

f = g ( dmn(f) = dmn(g) ) ( x dmn(f) f(x) = g(x)).

Def. Az f : A B függvény

szürjektív, ha B = rng(f) ,

injektív, ha a, b dmn(f) : (a b) f(a) f(b),

bijektív, ha injektív és szürjektív is.

ráképezés

kölcsönösen egyértelmű

21

Ha adott egy X halmazon értelmezett ekvivalenciareláció, akkor az X elemeihez saját ekvivalenciaosztályukat rendelő leképezést (függvényt) kanonikus leképezésnek (függvénynek) nevezzük.

Fordítva: ha f : X Y függvény, akkor ~ X X ekvivalenciareláció, ahol (x, y) ~ , ha f(x) = f(y)

Észrevétel: injektív függvény inverze is függvény.

1.4.11.

22Legyen (A, 1 ) , (B, 2 ) részbenrendezett struktúra.

Ekkor az f : A B függvény

monoton növő, ha

x, y dmn(f) : x 1 y f(x) 2 f(y) ,

szigorúan monoton növő, ha

x, y dmn(f) : x <1 y f(x) <2 f(y) .

Csökkenő hasonlóan!

Észrevételek: ha A és B rendezettek, akkor

f szigorúan monoton f injektív

f injektív monoton szigorúan monoton és f inverze is monoton .

23

Családok

Legyen x függvény, dmn(x) = I és x(i) = y helyett írjunk x(i) = xi –t. Ekkor

I indexhalmaz, rng(x) indexelt halmaz, x indexelt család.

Ha rng(x) elemei halmazok, akkor halmazcsaládról beszélünk és egy Xi , i I halmazcsalád unióját így definiáljuk:

I esetén halmazcsalád metszetét így definiáljuk:

24

1.4.22.

1.4.24.

25Descartes – szorzat

Def. Az Xi , i I halmazcsaládhoz tartozó kiválasztási függvénynek nevezzük azokat az

alakú függvényeket, ahol iI -re xi Xi .

Def. Az Xi , i I halmazcsalád Descartes – szorzata a hozzá tartozó összes kiválasztási függvény halmaza.

Jel: vagy

Észrevételek: ha i I : Xi =

I =

Def.

26Példa (relációs adatbázis)

I = {személyi_szám, név, lakcím, végzettség}

attribútumok (mezőnevek)

Xszemélyi_szám ={11 jegyű decimális számok}

olyan függvény, ahol iI -re xi Xi .

Xi indexelt családhoz tartozó rekordxi a rekord i nevű mezője.

Adattábla : Xi indexelt családhoz tartozó rekordok egy halmaza.

Általánosítva:

rekord: egy Xi indexelt családhoz tartozó kiválasztási függvény.

Xi indexelt családhoz tartozó reláció: kiválasztási függvények egy halmaza.

f : An A az A-n értelmezet n-váltotós (n-ér) művelet.

Jel: f (a1, a2, ..., an)

operandusok

Műveleti tábla

a1 ... ai ... an

a1 a1 a1 a1 ai a1 an

aj aj a1 aj ai aj an

an an a1 an ai an an

binér művelet

jobboldali

baloldali

eredmény

27

Függvénytér (műveletek függvényekkel)

Ha X, Y tetszőleges halmaz és binér művelet Y-on, akkor legyen

tehát binér művelet az X-et az Y-ra képező függvények halmazán, azaz

: (X Y) (X Y) (X Y)

Művelettató leképezés (homomorfizmus)

Legyen  · az A, a B halmazon értelmezett binér művelet.A : A B függvényt homomorfizmusnak nevezzük, ha művelettartó, vagyis minden a1, a2 A esetén (a1a2) = (a1) (a2).

injektív és művelettartó

Mindkét fogalom értelmezhető nullér és unér műveletre is!

28