1.4 banach 空間と収束概念1.4{5 《注》上の(2) に関連して (i) 収束概念により,...

1.4–1

1.4 Banach空間と収束概念

1 ノルム空間と Banach空間

2 有界線型作用素

3 重要な Banach空間

1.4–2

1 ノルム空間と Banach空間

定義 K (“ C or R)上の線型空間 X に対して,

∥¨∥ : X Ñ R が X 上のノルムとは,

(1) ∥u∥ ě 0 pu P Xq, ∥u∥ “ 0 ô u “ 0

(2) ∥αu∥ “ |α|∥u∥ pα P K, u P Xq

(3) ∥u ` v∥ ď ∥u∥ ` ∥v∥ pu, v P Xq (三角不等式)

ノルムの与えられた線型空間 X “ pX, ∥¨∥Xqをノルム空間と呼ぶ.

1.4–3

ノルムを用いて, 位相 (開集合, 閉集合)や収束概念が自然に定まる.

定義 X “ pX, ∥ ¨ ∥q : ノルム空間

(1) S Ă X とする. Bεpaq “ tu P X | ∥u ´ a∥ ă εu とおいて,

• aが S の内点 defô Dε ą 0 : Bεpaq Ă S

〃　境界点 defô @ε ą 0 : Bεpaq X S ‰ H かつ Bεpaq zS ‰ H

• S :“ tS の内点全体 u (S の内部)

BS :“ tS の境界点全体 u (S の境界)

S :“ S Y BS “ S Y BS (S の閉包)

S

• S が X の開集合 defô S “ S pô BS X S “ Hq

〃　　閉集合 defô S “ S pô BS Ă Sq

〃　有界集合 defô DR ą 0 : S Ă BRp0q

1.4–4

(2) tunu Ă X, u P X のとき,

• tunu が u に収束する (un Ñ u または limun “ u と表す)defô ∥un ´ u∥ Ñ 0 pn Ñ 8q

`

ô @ε ą 0 Dn1 @n : n ě n1 ñ ∥un ´ u∥ ă ε˘

• tunu が X の Cauchy列defô ∥un ´ um∥ Ñ 0 pn,m Ñ 8q

`

ô @ε ą 0 Dn1 @n @m : n,m ě n1 ñ ∥un ´ um∥ ă ε˘

(3) X0 Ă X が X において稠密defô @u P X Dtunu Ă X0 : un Ñ u

`

ô @u P X @ε ą 0 Duε P X0 : ∥u ´ uε∥ ă ε˘

1.4–5

《注》上の (2)に関連して

(i) 収束概念により, 連続性が定義される. すなわち, ノルム空間 X,Y の部分集合 X1 Ă X, Y1 Ă Y , 写像 F : X1 Ñ Y1 に対して,

• F が u P X1 で連続とは@tunu Ă X1 : un Ñ u pin Xq ñ F punq Ñ F puq pin Y q

このとき, F plimunq “ limF punq.

• F が X1 上で連続とは, @u P X1 で連続であること.

例えば, ノルム ∥¨∥ : X Ñ R は連続である. 実際,ˇ

ˇ∥un∥ ´ ∥u∥ˇ

ˇ ď ∥un ´ u∥ (三角不等式の変形)

(ii) 収束列は Cauchy列である. 実際, un Ñ u ならば,

∥un ´ um∥ ď ∥un ´ u∥ ` ∥u ´ um∥ Ñ 0 pn,m Ñ 8q

1.4–6

定義 X 上のノルム ∥¨∥p1q と ∥¨∥p2q が同値

defô Dc0 ě 1 : c´1

0 ∥u∥p1q ď ∥u∥p2q ď c0 ∥u∥p1q pu P Xq

《注》同値なノルムの定める位相, 収束性は同一である.

定義ノルム空間 X が完備 defô X の任意の Cauchy列が収束する.

完備なノルム空間を Banach空間と呼ぶ.

1.4–7

《例》 1⃝ Euclid空間 RN (K “ R), Hermite空間 CN (K “ C)

• |u| :“ˆ Nÿ

j“1

|uj |2˙12

pu “ pujqq により Banach空間.

• |u|1 :“Nÿ

j“1

|uj |, |u|8 :“ max1ďjďN

|uj | は |u|と同値なノルム.

一般に, 有限次元線型空間の上で定義されたノルムはすべて同値であり, かつ完備である.

【問 4.1】 RN において,

(1) |¨|, |¨|1, |¨|8 がノルムとなることを確かめよ.

(2) |¨|, |¨|1, |¨|8 が互いに同値であることを示せ.

1.4–8

2⃝ 有界な連続関数の空間 CbpDq (D Ă RN : Borel集合)

• 連続関数の空間 CpDqは次の「線型演算」により線型空間

pf ` gqpxq :“ fpxq ` gpxq, pαfqpxq :“ αfpxq

• 有界な連続関数の空間

CbpDq :“

f P CpDqˇ

ˇ ∥f∥8 :“ supxPD

|fpxq| ă 8(

(D がコンパクトなら CpDq “ CbpDq)

• CbpDqはノルム ∥f∥8 により Banach空間.

∥¨∥8 による収束は一様収束に他ならない.

• ノルム ∥f∥p :“´

ż

D

|fpxq|p dx¯1p

(1 ď p ă 8) に関しては完備

でない.

1.4–9

3⃝ Lebesgue空間 LppEq (E Ă RN : 可測集合)

LppEq :“

f (可測)ˇ

ˇ ∥f∥p :“´

ż

E

|fpxq|p dx¯1p

ă 8(

p1 ď p ă 8q,

L8pEq :“

f (可測)ˇ

ˇ ∥f∥8 :“ ess supxPE

|fpxq| ă 8(

.

E 上ほとんど至るところで一致する関数を同一視して,

LppEq (1 ď p ď 8) はノルム ∥¨∥p により Banach空間となる.

《注》以下, LppEqの元はこのような同一視がなされているものとする.

1.4–11

2 有界線型作用素

定義ノルム空間 X,Y , 線型作用素 (=線型写像) T : X Ñ Y に対して,

T : X Ñ Y が有界 (線型)作用素defô DM ą 0 @u P X : ∥Tu∥Y ď M∥u∥X

このとき,

∥T∥ “ ∥T∥BpX,Y q :“ supu‰0

∥Tu∥Y∥u∥X

ă 8 (T の作用素ノルム),

BpX,Y q :“ tX から Y への有界線型作用素全体 u,

BpXq :“ BpX,Xq.

《注》 1⃝ T P BpX,Y q ñ ∥Tu∥ ď ∥T∥∥u∥ pu P Xq.

2⃝ ノルム空間の間の線型作用素においては連続性と有界性は同値.

1.4–12

《例》 f P L1pTq に対して,

|cnpfq| “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

Tfptqe´int dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

ż

T|fptq| dt “ ∥f∥1 pn P Zq.

よって, F : L1pTq Q f ÞÑ tcnpfqunPZ P ℓ8pZq は有界線型作用素となる.

【問 4.2】上の例において, ∥F∥BpL1pTq,ℓ8pZqq “ 1 を示せ.

【問 4.3】閉区間 I “ r0, 1s上で, CpIq, C1pIq は ∥f∥8 “ maxtPI

|fptq| によりノルム空間となる. このとき, 次の主張を示せ.

(1) 線型作用素 S : CpIq Q fptq ÞÑşt

0fpsq ds P CpIq は有界作用素.

(2) 線型作用素 D : C1pIq Q fptq ÞÑ f 1ptq P CpIq は有界作用素でない.

1.4–13

定理 4.1 X,Y, Z: ノルム空間

(1) BpX,Y qは作用素ノルムによりノルム空間.

(2) Y が Banach空間ならば, BpX,Y qも Banach空間.

(3) T P BpX,Y q, S P BpY, Zq ñ ST P BpX,Zq, ∥ST∥ ď ∥S∥∥T∥

［証］ (1) 三角不等式のみが問題. T1, T2 P BpX,Y q, u P X に対し,

∥pT1 ` T2qu∥ “ ∥T1u ` T2u∥ ď ∥T1u∥ ` ∥T2u∥ ď p∥T1∥ ` ∥T2∥q∥u∥

　　これより, ∥T1 ` T2∥ ď ∥T1∥ ` ∥T2∥.

(2) tTnu Ă BpX,Y q が Cauchy 列, すなわち ∥Tn ´ Tm∥ Ñ 0 pn,m Ñ 8q とする. このとき, 各 u P X に対し,

∥Tnu ´ Tmu∥ “ ∥pTn ´ Tmqu∥ ď ∥Tn ´ Tm∥∥u∥ Ñ 0

より, tTnuuは Banach空間 Y の Cauchy列. よって, Tu :“ limTnuにより

1.4–14

線型作用素 T : X Ñ Y が定まる. 一方,ˇ

ˇ∥Tn∥ ´ ∥Tm∥ˇ

ˇ ď ∥Tn ´ Tm∥ Ñ 0

より, t∥Tn∥u は R の Cauchy 列となりやはり極限が存在. 故に, ノルムの連続性から

∥Tu∥ “ ∥limTnu∥ “ lim∥Tnu∥ ď plim∥Tn∥q∥u∥

となり, T P BpX,Y qかつ ∥T∥ ď lim∥Tn∥. 更に,

∥Tn ´ T∥ ď limmÑ8

∥Tn ´ Tm∥ Ñ 0 pn Ñ 8q.

(3) u P X に対し, ∥STu∥ ď ∥S∥∥Tu∥ ď ∥S∥p∥T∥∥u∥q ď p∥S∥∥T∥q∥u∥. これより主張は明らか.

【問 4.4】定理 4.1(2)の証明の最後の部分の理解のために, 次を示せ.

1⃝ ∥Tn ´ T∥ ď limmÑ8

∥Tn ´ Tm∥(ヒント: ∥T∥ ď lim∥Tn∥ を示すのと同様な議論)

2⃝ limnÑ8

`

limmÑ8

∥Tn ´ Tm∥˘

“ 0

1.4–15

次の定理に述べられる事実はよく用いられる.

定理 4.2 X,Y : Banach空間,

X0 Ă X: 稠密な部分空間 (X のノルムでノルム空間)

S0 P BpX0, Y q ñ D! S P BpX,Y q : S|X0“ S0

さらに, ∥S0∥BpX0,Y q “ ∥S∥BpX,Y q

［証］任意の u P X に対し, un Ñ uなる tunu8n“1 Ă X0 が存在. このとき, tunuは

X の Cauchy列より,

∥S0un ´ S0um∥Y ď ∥S0∥BpX0,Y q∥un ´ um∥X Ñ 0 pn,m Ñ 8q

よって, tS0unuは Y の Cauchy列となり, (uのみに依存する)極限が存在するので,

Su :“ limS0un により線型作用素 S : X Ñ Y が定まる. ノルムの連続性により,

∥Su∥Y “ lim∥S0un∥Y ď ∥S0∥BpX0,Y q lim∥un∥X “ ∥S0∥BpX0,Y q∥u∥X .

1.4–16

これより, ∥S∥BpX,Y q ď ∥S0∥BpX0,Y q. 一方, 逆向きの不等号の成立も容易にわかり,

∥S∥BpX,Y q “ ∥S0∥BpX0,Y q ă 8. S の一意性は易しい.

【問 4.5】次の問に答えることにより, 定理 4.2(1)の証明を補完せよ.

1⃝ tS0unuの極限が tunuの選び方に依らず (uのみに依って)定まることを示せ.

2⃝ ∥S∥BpX,Y q ě ∥S0∥BpX0,Y q を示せ. 3⃝ S の一意性を示せ.

1.4–17

3 重要な Banach空間

まず R の完備性を示し, それに基づいて, CbpDq, LppEq が Banach空間であることを証明する.

定理 4.3 Rは完備. (同様に, RN , CN も完備, 従って Banach空間.)

［証］実は, Rの完備性は “Rの連続性”, すなわち

上に有界な単調増加数列 tanu8n“1 Ă R は極限 lim

nÑ8an P R をもつ

と同値である. ここでは, Rの連続性ñ完備性を示す. (逆は《注》)

Step 1 an ě 0 p@nq,mř

n“1an ď C (m に依らぬ定数) ñ

8ř

n“1an が存在

7) Am :“mř

n“1

an は有界な単調増加数列 tAmu8m“1 を定める.

1.4–22

LppEqが Banach空間となることを示すための準備として,

命題 4.5 1 ď p, q ď 8,1

p`

1

q“ 1 とする.

(1) (Holderの不等式)ˇ

ˇ

ˇ

ż

E

fpxqgpxq dxˇ

ˇ

ˇď ∥f∥p∥g∥q pf P LppEq, g P LqpEqq

(2) (Minkowskiの不等式)

∥f ` g∥p ď ∥f∥p ` ∥g∥p pf, g P LppEqq

［証］ p “ 8のときは明らかだから, 1 ă p, q ă 8に対して証明する.

(1) まず, ab ďap

p`

bq

qpa, b ě 0q が成り立つ (右下図).

1.4–25

定理 4.6 LppEqは Banach空間 p1 ď p ď 8q.

［証］(1 ď p ă 8 の場合のみ) 三角不等式は命題 4.5 で得たから, あとは完備性. tfnu8

n“1 が LppEq の Cauchy 列とすれば, 必要なら部分列を取って,

∥fn ´ fn´1∥p ă 2´n と仮定してよい. (このとき, tfnu Ă LppEq は Cauchy 列

であるから, 収束する部分列があれば, tfnu 自身がその極限に収束することに注意 ! )

gmpxq “

mÿ

n“1

|fnpxq ´ fn´1pxq| (f0pxq ” 0とする)

とおけば, Minkowskiの不等式により, ∥gm∥p ďmř

n“1∥fn ´ fn´1∥p ď 1. よっ

て, Beppo-Leviの収束定理により, gpxq “ lim gmpxqとおけば,

ż

E

gpxqp dx “ limmÑ8

ż

E

gmpxqp dx ď 1 ă 8.

1.4–27

定理 4.7 Ω Ă RN が開集合のとき, C80 pΩqは LppΩq p1 ď p ă 8qで稠密.

《注》ここでは証明を省略し, 代わりに近似列の作り方を述べておく.

Step 1. 0 ď ρnpxq ď 1, supp ρn Ă tx P RN ; |x| ď 1nu,ş

ρnpxq dx “ 1

を満たす tρnu Ă C80 pRN qが存在する. 実際, 次式で定めればよい.

φεpxq “

#

e´ 1

ε2´|x|2 p|x| ă εq

0 p|x| ě εq, ρnpxq “

φ1npxqş

φ1npyq dy

Step 2. 与えられた f P LppΩq に対して, supp fn Ă Ωn :“ tx P

Ω; dispx, BΩq ą 2n, |x| ă nu かつ ∥fn ´ f∥p Ñ 0となる tfnpxqu Ă LppΩq

がとれる. 実際, fnpxq :“ fpxqχΩnpxqとおけばよい.

Step 3. ここで, fnpxq :“ pρn ˚ fnqpxq と定めれば, tfnu Ă C80 pΩq かつ

∥fn ´ f∥p Ñ 0 を満たす.

1.4–28

【問 4.6】 N “ 1 の場合に, Step 1 に現れる ρn が C80 pRq に属するこ

とを示せ. (ヒント: φ1pxq “

"

e´ 12p1´xq e´ 1

2p1`xq p|x| ă 1q

0 p|x| ě 1qであるから,

ϕptq “

"

e´ 1t pt ą 0q

0 pt ď 0qが C8pRqの元であることを示せばよい.)

1.4 banach 空間と収束概念1.4{5 《注》 上の(2) に関連して (i) 収束概念により,...

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1.4 banach 空間と収束概念1.4{5 《注》上の(2) に関連して (i) 収束概念により,...