統計学 2

14. 統計的検定と平均値の比較

矢内　勇生

2019年6月3日

高知工科大学　経済・マネジメント学群

今日の目標• 統計的検定の手続きを理解する

- 帰無仮説、有意水準、検定の誤り

• 2組の標本平均から母平均が異なるかどうか検定する方法を身につける

- 対応のないデータの場合

- 対応のあるデータの場合

!2

統計的検定

• 標本統計量を使い、母集団に関するある仮説が「正しい」か「正しくない」かを確率的に判断すること

!3

帰無仮説と対立仮説• 帰無仮説（null hypothesis: H0）

• 対立仮説（alternative hypothesis: H1）

- 2つの仮説をセットで考える

- 2つの仮説は相互に排他的

- 帰無仮説が棄却されたとき、対立仮説が正しいことにする

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帰無仮説と対立仮説の例

• 疑問：同じ職業の男女で年収に違いがあるか？

- 帰無仮説：「男性と女性の年収は同じ」

- 対立仮説：「男性と女性の年収は異なる」

!5

有意水準（危険率）• 有意水準（危険率）

- 統計的仮説検定に用いる確率

- 帰無仮説が正しいとき、誤って帰無仮説を棄却してしまう確率

- 大きいほど帰無仮説を棄却しやすい＝大きいほど対立仮説を採用しやすい

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臨界値と棄却域• 棄却域の面積 = 有意水準 α

• 検定に用いる統計量が棄却域

に入るとき、仮説を棄却する

• 棄却域の境界を与える値c を臨界値 (critical value)と呼ぶ

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(�1,�c), (c,1)<latexit sha1_base64="pHAj9wF/VNf637OxHlUi/K5Dm3Q=">AAACA3icbVBNS8NAEJ3Ur1q/ot70sliEFtqSiKDHohePFWwrtKFstpt26WYTdjdCKAUv/hUvHhTx6p/w5r9x2+agrQ8GHu/NMDPPjzlT2nG+rdzK6tr6Rn6zsLW9s7tn7x+0VJRIQpsk4pG897GinAna1Exzeh9LikOf07Y/up767QcqFYvEnU5j6oV4IFjACNZG6tlHpWqXiUCnFVQl5QoqkQqaC+WeXXRqzgxombgZKUKGRs/+6vYjkoRUaMKxUh3XibU3xlIzwumk0E0UjTEZ4QHtGCpwSJU3nv0wQadG6aMgkqaERjP198QYh0qloW86Q6yHatGbiv95nUQHl96YiTjRVJD5oiDhSEdoGgjqM0mJ5qkhmEhmbkVkiCUm2sRWMCG4iy8vk9ZZzXVq7u15sX6VxZGHYziBErhwAXW4gQY0gcAjPMMrvFlP1ov1bn3MW3NWNnMIf2B9/gBOhpVh</latexit><latexit sha1_base64="pHAj9wF/VNf637OxHlUi/K5Dm3Q=">AAACA3icbVBNS8NAEJ3Ur1q/ot70sliEFtqSiKDHohePFWwrtKFstpt26WYTdjdCKAUv/hUvHhTx6p/w5r9x2+agrQ8GHu/NMDPPjzlT2nG+rdzK6tr6Rn6zsLW9s7tn7x+0VJRIQpsk4pG897GinAna1Exzeh9LikOf07Y/up767QcqFYvEnU5j6oV4IFjACNZG6tlHpWqXiUCnFVQl5QoqkQqaC+WeXXRqzgxombgZKUKGRs/+6vYjkoRUaMKxUh3XibU3xlIzwumk0E0UjTEZ4QHtGCpwSJU3nv0wQadG6aMgkqaERjP198QYh0qloW86Q6yHatGbiv95nUQHl96YiTjRVJD5oiDhSEdoGgjqM0mJ5qkhmEhmbkVkiCUm2sRWMCG4iy8vk9ZZzXVq7u15sX6VxZGHYziBErhwAXW4gQY0gcAjPMMrvFlP1ov1bn3MW3NWNnMIf2B9/gBOhpVh</latexit><latexit sha1_base64="pHAj9wF/VNf637OxHlUi/K5Dm3Q=">AAACA3icbVBNS8NAEJ3Ur1q/ot70sliEFtqSiKDHohePFWwrtKFstpt26WYTdjdCKAUv/hUvHhTx6p/w5r9x2+agrQ8GHu/NMDPPjzlT2nG+rdzK6tr6Rn6zsLW9s7tn7x+0VJRIQpsk4pG897GinAna1Exzeh9LikOf07Y/up767QcqFYvEnU5j6oV4IFjACNZG6tlHpWqXiUCnFVQl5QoqkQqaC+WeXXRqzgxombgZKUKGRs/+6vYjkoRUaMKxUh3XibU3xlIzwumk0E0UjTEZ4QHtGCpwSJU3nv0wQadG6aMgkqaERjP198QYh0qloW86Q6yHatGbiv95nUQHl96YiTjRVJD5oiDhSEdoGgjqM0mJ5qkhmEhmbkVkiCUm2sRWMCG4iy8vk9ZZzXVq7u15sX6VxZGHYziBErhwAXW4gQY0gcAjPMMrvFlP1ov1bn3MW3NWNnMIf2B9/gBOhpVh</latexit><latexit sha1_base64="pHAj9wF/VNf637OxHlUi/K5Dm3Q=">AAACA3icbVBNS8NAEJ3Ur1q/ot70sliEFtqSiKDHohePFWwrtKFstpt26WYTdjdCKAUv/hUvHhTx6p/w5r9x2+agrQ8GHu/NMDPPjzlT2nG+rdzK6tr6Rn6zsLW9s7tn7x+0VJRIQpsk4pG897GinAna1Exzeh9LikOf07Y/up767QcqFYvEnU5j6oV4IFjACNZG6tlHpWqXiUCnFVQl5QoqkQqaC+WeXXRqzgxombgZKUKGRs/+6vYjkoRUaMKxUh3XibU3xlIzwumk0E0UjTEZ4QHtGCpwSJU3nv0wQadG6aMgkqaERjP198QYh0qloW86Q6yHatGbiv95nUQHl96YiTjRVJD5oiDhSEdoGgjqM0mJ5qkhmEhmbkVkiCUm2sRWMCG4iy8vk9ZZzXVq7u15sX6VxZGHYziBErhwAXW4gQY0gcAjPMMrvFlP1ov1bn3MW3NWNnMIf2B9/gBOhpVh</latexit>

臨界値と棄却域

0-c c

α

2α

2

検定の流れ1.帰無仮説と対立仮説を決める

2.有意水準を設定する

3.有意水準に応じた臨界値cを求める

4.検定統計量Tを求める

5. |T| > |c| であれば帰無仮説を棄却、そうでなければ帰無仮説を保留する（とりあえず受け容れる）

!8

統計的検定における2種類の「誤り」

• 帰無仮説が正しいのに、それを棄却してしまう（第1種の誤り、type I error）

• 帰無仮説が間違いなのに、それを受け容れてしまう（第2種の誤り、type II error）

!9

第1種の誤りと第2種の誤り標本に基づく判断

帰無仮説を 棄却しない

帰無仮説を 棄却する

真実

帰無仮説が 正しい 1- α α

帰無仮説が 間違い β 1- β

α = 第1種の誤りを犯す確率 = 危険率 = 有意水準β = 第2種の誤りを犯す確率

!10

検出力

第1種の誤り: 有意水準 α=0.05 のとき

µ0 = µ µ+1.96σµ-1.96σ

0.0250.025

第2種の誤り: 有意水準 α=0.05 のとき

µ0 µµ0+1.96σµ0-1.96σ

第2種の誤り

誤りを減らすために

• 第1種の誤りを減らためにαを小さくすると、β（第２種の誤り）が大きくなる

• 第２種の誤り（β）を小さくするためにはα（第１種の誤り）を大きくしなければならない

➡第１種の誤りと第２種の誤りのトレードオフ

‣ どうする？ → 標本サイズ（n）を大きくする

!13

母平均は異なるか• 2つの異なる母集団X、Yからそれぞれ標本を抽出し、平均値を調べる

• 2つの標本平均が異なるとき、母平均は異なるといえるか？

‣ 標本平均が異なる ≠ 母平均が異なる

➡ 検定する

!14

２つの母集団の関係 (1)確率密度

µx = µy xy

Xの母集団分布Yの母集団分布

2つの母集団の関係 (2)確率密度

µy µx xy

Xの母集団分布Yの母集団分布

2つの母平均の大小関係 を推測する

• 真の母平均を知らないので、関係1と関係2（あるいはその他の関係）のどちらが真実かはわからない

➡統計的検定を行う

!17

データに対応があるか？•対応のないデータ

‣ 2つの異なる集団から得た、独立したデータ

‣ 例：高知工科大の学生の身長と高知大の学生の身長

• 対応のあるデータ

‣ 同一の対象から得られた、2つの対応したデータ

‣ 例：同一の調査対象について、

- 1年前の所得と現在の所得を比べる

- しんじょう君と鰹猫がどれくらい好きか尋ねる!18

対応のないデータでの母平均の差の検定

• 検定を行う（ 分布でcを求める）

• 2つの母集団の分散が等しい場合と等しくない場合で検定法が異なる

✦ 分散が等しいかどうかを確かめるためにF 検定を行う（この授業では扱わない）

!19

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対応のないデータでの母平均の差の検定：等分散の場合

• 自由度 の 分布を利用

• 検定統計量Tは

nx + ny � 2<latexit sha1_base64="UcnISSgPpSUs9dmIn2yxZVH+TPg=">AAACEnicbVDLSsNAFJ3UV42vqEs3g6XQYluSIuiy6MZlBfuAtoTJdNIOnUzCzEQMod/gxl9x40IRt67c+TdO2yy09cCFwzn3cu89XsSoVLb9beTW1jc2t/Lb5s7u3v6BdXjUlmEsMGnhkIWi6yFJGOWkpahipBsJggKPkY43uZ75nXsiJA35nUoiMgjQiFOfYqS05FrlYqnap9xXSQVWcbkCS7gCF0LZ5O4DPIPcTWAV1l2rYNfsOeAqcTJSABmarvXVH4Y4DghXmCEpe44dqUGKhKKYkanZjyWJEJ6gEelpylFA5CCdvzSFRa0MoR8KXVzBufp7IkWBlEng6c4AqbFc9mbif14vVv7lIKU8ihXheLHIjxlUIZzlA4dUEKxYognCgupbIR4jgbDSKZo6BGf55VXSrtccu+bcnhcaV1kceXACTkEJOOACNMANaIIWwOARPINX8GY8GS/Gu/GxaM0Z2cwx+APj8we9c5m7</latexit><latexit sha1_base64="UcnISSgPpSUs9dmIn2yxZVH+TPg=">AAACEnicbVDLSsNAFJ3UV42vqEs3g6XQYluSIuiy6MZlBfuAtoTJdNIOnUzCzEQMod/gxl9x40IRt67c+TdO2yy09cCFwzn3cu89XsSoVLb9beTW1jc2t/Lb5s7u3v6BdXjUlmEsMGnhkIWi6yFJGOWkpahipBsJggKPkY43uZ75nXsiJA35nUoiMgjQiFOfYqS05FrlYqnap9xXSQVWcbkCS7gCF0LZ5O4DPIPcTWAV1l2rYNfsOeAqcTJSABmarvXVH4Y4DghXmCEpe44dqUGKhKKYkanZjyWJEJ6gEelpylFA5CCdvzSFRa0MoR8KXVzBufp7IkWBlEng6c4AqbFc9mbif14vVv7lIKU8ihXheLHIjxlUIZzlA4dUEKxYognCgupbIR4jgbDSKZo6BGf55VXSrtccu+bcnhcaV1kceXACTkEJOOACNMANaIIWwOARPINX8GY8GS/Gu/GxaM0Z2cwx+APj8we9c5m7</latexit><latexit sha1_base64="UcnISSgPpSUs9dmIn2yxZVH+TPg=">AAACEnicbVDLSsNAFJ3UV42vqEs3g6XQYluSIuiy6MZlBfuAtoTJdNIOnUzCzEQMod/gxl9x40IRt67c+TdO2yy09cCFwzn3cu89XsSoVLb9beTW1jc2t/Lb5s7u3v6BdXjUlmEsMGnhkIWi6yFJGOWkpahipBsJggKPkY43uZ75nXsiJA35nUoiMgjQiFOfYqS05FrlYqnap9xXSQVWcbkCS7gCF0LZ5O4DPIPcTWAV1l2rYNfsOeAqcTJSABmarvXVH4Y4DghXmCEpe44dqUGKhKKYkanZjyWJEJ6gEelpylFA5CCdvzSFRa0MoR8KXVzBufp7IkWBlEng6c4AqbFc9mbif14vVv7lIKU8ihXheLHIjxlUIZzlA4dUEKxYognCgupbIR4jgbDSKZo6BGf55VXSrtccu+bcnhcaV1kceXACTkEJOOACNMANaIIWwOARPINX8GY8GS/Gu/GxaM0Z2cwx+APj8we9c5m7</latexit><latexit sha1_base64="UcnISSgPpSUs9dmIn2yxZVH+TPg=">AAACEnicbVDLSsNAFJ3UV42vqEs3g6XQYluSIuiy6MZlBfuAtoTJdNIOnUzCzEQMod/gxl9x40IRt67c+TdO2yy09cCFwzn3cu89XsSoVLb9beTW1jc2t/Lb5s7u3v6BdXjUlmEsMGnhkIWi6yFJGOWkpahipBsJggKPkY43uZ75nXsiJA35nUoiMgjQiFOfYqS05FrlYqnap9xXSQVWcbkCS7gCF0LZ5O4DPIPcTWAV1l2rYNfsOeAqcTJSABmarvXVH4Y4DghXmCEpe44dqUGKhKKYkanZjyWJEJ6gEelpylFA5CCdvzSFRa0MoR8KXVzBufp7IkWBlEng6c4AqbFc9mbif14vVv7lIKU8ihXheLHIjxlUIZzlA4dUEKxYognCgupbIR4jgbDSKZo6BGf55VXSrtccu+bcnhcaV1kceXACTkEJOOACNMANaIIWwOARPINX8GY8GS/Gu/GxaM0Z2cwx+APj8we9c5m7</latexit>

t<latexit sha1_base64="vsAeOEJvn0+jyzsnRUmoiUxdXic=">AAACFXicbVDLSsNAFJ34rPFVdelmsBQqpiUpgi6LblxWsA9oQ5hMJzo4mYSZGzGU/oQbf8WNC0XcCu78G6ePhVYPXDiccy/33hOmgmtw3S9rYXFpeWW1sGavb2xubRd3dts6yRRlLZqIRHVDopngkrWAg2DdVDESh4J1wtvzsd+5Y0rzRF5BnjI/JteSR5wSMFJQdMqVap/LCHIHV+mhgyvUwVPh0C7L4B4fYRnkuIrrNgTFkltzJ8B/iTcjJTRDMyh+9gcJzWImgQqidc9zU/CHRAGngo3sfqZZSugtuWY9QyWJmfaHk69GuGyUAY4SZUoCnqg/J4Yk1jqPQ9MZE7jR895Y/M/rZRCd+kMu0wyYpNNFUSYwJHgcER5wxSiI3BBCFTe3YnpDFKFggrRNCN78y39Ju17z3Jp3eVxqnM3iKKB9dIAqyEMnqIEuUBO1EEUP6Am9oFfr0Xq23qz3aeuCNZvZQ79gfXwDRZ6afA==</latexit><latexit sha1_base64="vsAeOEJvn0+jyzsnRUmoiUxdXic=">AAACFXicbVDLSsNAFJ34rPFVdelmsBQqpiUpgi6LblxWsA9oQ5hMJzo4mYSZGzGU/oQbf8WNC0XcCu78G6ePhVYPXDiccy/33hOmgmtw3S9rYXFpeWW1sGavb2xubRd3dts6yRRlLZqIRHVDopngkrWAg2DdVDESh4J1wtvzsd+5Y0rzRF5BnjI/JteSR5wSMFJQdMqVap/LCHIHV+mhgyvUwVPh0C7L4B4fYRnkuIrrNgTFkltzJ8B/iTcjJTRDMyh+9gcJzWImgQqidc9zU/CHRAGngo3sfqZZSugtuWY9QyWJmfaHk69GuGyUAY4SZUoCnqg/J4Yk1jqPQ9MZE7jR895Y/M/rZRCd+kMu0wyYpNNFUSYwJHgcER5wxSiI3BBCFTe3YnpDFKFggrRNCN78y39Ju17z3Jp3eVxqnM3iKKB9dIAqyEMnqIEuUBO1EEUP6Am9oFfr0Xq23qz3aeuCNZvZQ79gfXwDRZ6afA==</latexit><latexit sha1_base64="vsAeOEJvn0+jyzsnRUmoiUxdXic=">AAACFXicbVDLSsNAFJ34rPFVdelmsBQqpiUpgi6LblxWsA9oQ5hMJzo4mYSZGzGU/oQbf8WNC0XcCu78G6ePhVYPXDiccy/33hOmgmtw3S9rYXFpeWW1sGavb2xubRd3dts6yRRlLZqIRHVDopngkrWAg2DdVDESh4J1wtvzsd+5Y0rzRF5BnjI/JteSR5wSMFJQdMqVap/LCHIHV+mhgyvUwVPh0C7L4B4fYRnkuIrrNgTFkltzJ8B/iTcjJTRDMyh+9gcJzWImgQqidc9zU/CHRAGngo3sfqZZSugtuWY9QyWJmfaHk69GuGyUAY4SZUoCnqg/J4Yk1jqPQ9MZE7jR895Y/M/rZRCd+kMu0wyYpNNFUSYwJHgcER5wxSiI3BBCFTe3YnpDFKFggrRNCN78y39Ju17z3Jp3eVxqnM3iKKB9dIAqyEMnqIEuUBO1EEUP6Am9oFfr0Xq23qz3aeuCNZvZQ79gfXwDRZ6afA==</latexit><latexit sha1_base64="vsAeOEJvn0+jyzsnRUmoiUxdXic=">AAACFXicbVDLSsNAFJ34rPFVdelmsBQqpiUpgi6LblxWsA9oQ5hMJzo4mYSZGzGU/oQbf8WNC0XcCu78G6ePhVYPXDiccy/33hOmgmtw3S9rYXFpeWW1sGavb2xubRd3dts6yRRlLZqIRHVDopngkrWAg2DdVDESh4J1wtvzsd+5Y0rzRF5BnjI/JteSR5wSMFJQdMqVap/LCHIHV+mhgyvUwVPh0C7L4B4fYRnkuIrrNgTFkltzJ8B/iTcjJTRDMyh+9gcJzWImgQqidc9zU/CHRAGngo3sfqZZSugtuWY9QyWJmfaHk69GuGyUAY4SZUoCnqg/J4Yk1jqPQ9MZE7jR895Y/M/rZRCd+kMu0wyYpNNFUSYwJHgcER5wxSiI3BBCFTe3YnpDFKFggrRNCN78y39Ju17z3Jp3eVxqnM3iKKB9dIAqyEMnqIEuUBO1EEUP6Am9oFfr0Xq23qz3aeuCNZvZQ79gfXwDRZ6afA==</latexit>

T =x� y

q1nx

+ 1ny

q(nx�1)u2

x+(ny�1)u2y

nx+ny�2<latexit sha1_base64="aUcLjsh86xGHZfJ1LT1nm5zX3hk=">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</latexit><latexit sha1_base64="aUcLjsh86xGHZfJ1LT1nm5zX3hk=">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</latexit><latexit sha1_base64="aUcLjsh86xGHZfJ1LT1nm5zX3hk=">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</latexit><latexit sha1_base64="aUcLjsh86xGHZfJ1LT1nm5zX3hk=">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</latexit>

Rで検定する• 対応のない2標本の差の検定：2つの母集団の分散が等しい場合

• 2つの標本 xとyの平均が等しいかどうか検定する

‣ 帰無仮説：xとyの母平均は等しい

‣ 対立仮説：x と y の母平均は異なる

t.test(x, y, var.equal = TRUE)

!21

対応のないデータでの母平均の差の検定：非等分散の場合• ウェルチ（Welch）の 検定を行う

• 自由度 f の 分布と検定統計量Tを使う

!22

t<latexit sha1_base64="OdNW//SOjIhgpP16uPMHEVGDyQ8=">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</latexit><latexit sha1_base64="OdNW//SOjIhgpP16uPMHEVGDyQ8=">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</latexit><latexit sha1_base64="OdNW//SOjIhgpP16uPMHEVGDyQ8=">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</latexit><latexit sha1_base64="OdNW//SOjIhgpP16uPMHEVGDyQ8=">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</latexit>

t<latexit sha1_base64="OdNW//SOjIhgpP16uPMHEVGDyQ8=">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</latexit><latexit sha1_base64="OdNW//SOjIhgpP16uPMHEVGDyQ8=">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</latexit><latexit sha1_base64="OdNW//SOjIhgpP16uPMHEVGDyQ8=">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</latexit><latexit sha1_base64="OdNW//SOjIhgpP16uPMHEVGDyQ8=">AAACbXicbZFfS9xAFMUn6T/d/ktbfKgtZegitYhLshTqS0Hsi48WXBU2a5jMTnRwMklnbophmLd+Qt/6FXzxK3g3u4Wt9kLg5HfOnSQnea2khTj+E4QPHj56/GRltff02fMXL6NXr49s1RguRrxSlTnJmRVKajECCUqc1EawMlfiOL/4PvOPfwljZaUPoa3FpGRnWhaSM0CURb83Duk3mhaGcZfmzLhLT7dpp1rvXWp/GnBzO/FOZ2hv0aV7DC1nNjGB+8ln2mSXp0PMImn/kvZ02J2BeE6H3nvoQRb140HcDb0vkoXok8UcZNFVOq14UwoNXDFrx0lcw8QxA5Ir4XtpY0XN+AU7E2OUmpXCTlzXlqcbSKa0qAxeGmhHlzccK61tyxyTJYNze9ebwf954waKnYmTum5AaD5/UNEoChWdVU+n0ggOqkXBuJH4rpSfM6wN8Af1sITk7iffF0fDQRIPkh9f+rt7izpWyDvykWyShHwlu2SfHJAR4eQ6iIK3wXpwE66F78MP82gYLHbekH8m/HQL0Mu4yA==</latexit>

T =x� yqu2x

nx+

u2y

ny

, f =1

C2

nx�1 + 1�C2

ny�1

, C =

u2x

nx

u2x

nx+

u2y

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Rで検定する• 対応のない2標本の差の検定：2つの母集団の分散が等しくない場合

• 2つの標本 xとyの平均が等しいかどうか検定する

‣ 帰無仮説：xとyの母平均は等しい

‣ 対立仮説：x と y の母平均は異なる

t.test(x, y, var.equal = FALSE)

!23

対応のあるデータ

• 例題

‣ 文房具の購入金額について、20人に大学1年生の4月（x）と大学2年生の4月（y）を比較してもらったところ、xとyの差（d）の平均は232円（不偏分散の平方根822円）だった。1年時と2年時の購入金額には差があるといえるか？（有意水準5%で検定する）

!24

例題を解く（1）

★母集団でも大学1年生の4月と大学2年生の4月で文房具の購入金額に差があるといえるか？

- 帰無仮説：大学1年時と2年時の4月の文房具購入金額には差がない（δ=0）

- 対立仮説：大学1年時と2年時の4月の文房具購入金額には差がある（δ≠0）

!25

例題を解く（2）

‣ 有意水準5%

‣ 検定を利用する：自由度は n - 1 = 19

qt(p = 0.05 / 2, df = 19, lower.tail = FALSE)

➡ 臨界値 c = 2.093

!26

t<latexit sha1_base64="jW5w3xVDzYklivYJAoZlHT/jHwc=">AAADPHicjVJNb9QwEHVCgRI+ui1HLlZXlYqAVbxCgkulir1wLKjbVtpsI8frtFYdJ9gOahT5h3HhR3DjxIUDCHHlzGyStsuWQ0ey9PzmzczLxEkhhbFh+NXzb63cvnN39V5w/8HDR2u99Y0Dk5ea8THLZa6PEmq4FIqPrbCSHxWa0yyR/DA5G83zhx+5NiJX+7Yq+DSjJ0qkglELVLzuvd/axzs4SjVldZRQXZ87/AI3qHKujswHbes2TVytYkg/wwt3EC1qtkEB9eQpLuPz4yFogakumOp42PQAumWHzjkb2ODmJpq2S0YuG4PYPcfpZS9w2ILRxWAwclWHCdy7FLgh8+LRlZHlee6GFuJePxyETeDrgHSgj7rYi3tfolnOyowryyQ1ZkLCwk5rqq1gkrsgKg0vKDujJ3wCUNGMm2nd/HyHt4CZ4TTXcJTFDbtYUdPMmCpLQJlRe2qWc3Pyf7lJadPX01qoorRcsXZQWkpsczx/SXgmNGdWVgAo0wK8YnZKYRkW3lsASyDLn3wdHAwHJByQdy/7u2+6dayiJ2gTbSOCXqFd9BbtoTFi3ifvm/fD++l/9r/7v/zfrdT3uprH6J/w//wFYwgI7w==</latexit><latexit sha1_base64="jW5w3xVDzYklivYJAoZlHT/jHwc=">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</latexit><latexit sha1_base64="jW5w3xVDzYklivYJAoZlHT/jHwc=">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</latexit><latexit sha1_base64="jW5w3xVDzYklivYJAoZlHT/jHwc=">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</latexit>

例題を解く（3）‣ 検定統計量Tは

‣ |T| = 1.26 ≤ |c| = 2.093

➡帰無仮説を保留（受容）する

➡結論：4月の文房具の購入金額に、大学1年時と2年時で差があるとは言えない

!27

T =dudpn

=232822p20

⇡ 1.26

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Rで検定する• 対応のある (paired) 2標本の差の検定

• 2つの標本 xとyの平均が等しいかどうか検定する

‣ 帰無仮説：xとyの母平均は等しい

‣ 対立仮説：x と y の母平均は異なる

t.test(x, y, paired = TRUE)

!28

今日のまとめ•仮説検定における誤り

- 第1種の誤りと第2種の誤り

- 標本サイズを大きくすることによって誤りを減らす

• 平均値の差の検定

- 2つのグループの分散は等しいか（わからないときは等しくないことにする）

- 対応のないデータか対応のあるデータか!29

期末試験について• 6月6日（木）2限：75分間（教室：A210）

• 持ち込み：以下の２点のみ可

1. チートシート1枚

2. 教科書1冊（以下のうちいずれか一方のみ）

- 『Rによる計量政治学』または Real Stats

‣ 1、2とも、試験中の貸し借りは禁止

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