14 - moderní frekvenční metody - polyx · automatické řízení - kybernetika a robotika pro...
TRANSCRIPT
14 - Moderní frekvenční metody
Michael ŠebekAutomatické řízení 2021
30-03-20
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro odchylku platí
a z toho (použitím trojúhelníkové nerovnosti)
Přitom jsme pro (každou) jednu frekvenci vázání omezením
které nás nutí si vybrat! Zřejmě nemůže být současně a
Zvolíme-li hodně malé (tzv. přesné řízení), bude zřejmě !Zvolíme-li naopak (robustní řešení, odolné šumům), pak !Co máme dělat? Rozhodujeme se podle jednotlivých frekvenčních pásem!
Pozor: jsou komplexní čísla, takže naopak úvahy neplatí
Loop shaping v uzavřené smyčce
Michael Šebek 2ARI-14-2019
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e j S j r j S j d j T j n jω ω ω ω ω ω ω= − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e j S j r j S j d j T j n jω ω ω ω ω ω ω≤ + +
0 0( ) ( ) 1S j T jω ω+ =
0( ) 1S jω 0( ) 1T jω ≅
0( ) 1S jω 0( ) 1T jω
0( ) 1T jω 0( ) 1S jω ≅
0 0 0 0( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1T j T j S j S jω ω ω ω= − → = ⇒ = →
0 0( ), ( )S j T jω ω
u( )K s ( )G s
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro nízké frekvence je typicky a proto musíme zajistit
Z toho plyne hranice pro velmi nízké frekvence:• Pro přijatelnou regulační odchylku musíme stanovit
dolní mez pro zesílení při velmi nízkých frekvencích
• pak
Loop shaping: Chování pro nízké frekvence
Michael Šebek 3ARI-14-2018
0, 0, 0( ) ( ) ( )r j d j n jω ω ω≥ ≥ ≈
0 1( ) ( )S j L jω ω≈ ⇒ >>
0
10 0) ( ))( ( ( )r j d je j j nω ωω ω=
≤ × × ++
1( )L jω >> 1, 0( ) ( )T j S jω ω≅ ≅ Hranice ustálené odchylky
1cω
( )L jω
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e j S j r j S j d j T j n jω ω ω ω ω ω ω≤ + +
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro vysoké frekvence
• šumy mívají vyšší frekvence
Návrh pro potlačení vlivu šumu senzorů • stanovení horní meze pro zesílení
při vysokých frekvencích
Loop Shaping - Chování pro vysoké frekvence
Michael Šebek 4ARI-14-2018
0, 0( ) ( )r j n jω ω≈ ≥
Hranice šumusenzorů
1cω
( )L jω
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e j S j r j S j d j T j n jω ω ω ω ω ω ω≤ + +
0
1 1 0( ) ( ) ( ) ( )e j r j d j n jω ω ω ω≤ × + × + ×
1( )L jω << 0, 1( ) ( )T j S jω ω≅ ≅
Když má i porucha vysoké frekvence, je to problém
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Další hranice pro vysoké frekvence
Potlačení vlivu neurčitosti v soustavě = stanovení horní meze vf zesílení
Neurčitost je typicky větší na vf. typicky zanedbáním dynamiky vyšších řádů
Kdybychom s dynamikou vyšších řádů počítali, bude návrh složitýRaději ji zahrneme do neurčitosti a detaily ignorujeme!
Návrh musí zajistit, aby pro vf. nepřekročila hranici 1 = 0dB pak nezáleží na fázi
Jinak bychom s ní museli počítat a návrh by byl složitý
Loop Shaping - Neurčitost
Michael Šebek 5ARI-14-2018
f=1/s; bode(tf(f),tf(f/(1+s)),tf(f/(1+.5*s)),...tf(f/(1+.5*s)*(1+.1*s)),...tf(f/(1+.5*s)*(1+.01*s)^2));
nyquist(tf(f),tf(f/(1+s)),tf(f/(1+.5*s)), ...tf(f/(1+.5*s)*(1+.1*s)),tf(f/(1+.5*s)*(1+.01*s)^2));
( )L jω
cω
( )L jω
Hranice neurčitosti modelu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
A teď obojí současněDolní mez pro vf
Př.: Když požadujeme, aby výstup sledoval sinusový vstupní signál s frekvencí s odchylkou ne větší než 1% , volíme W1 = 100
Horní mez zesílení pro vfPř.: pro přijatelné potlačení šumů
a robustní stabilitu při rozumné chybě modeluPro střední frekvence se snažíme dosáhnout • ωc blízko požadované šířky pásma• v okolí ωc směrnici -1 (-20dB/dek) pro dobré PM (≈ 90º) a tedy tlumení
Loop Shaping - shrnutí
Michael Šebek 6ARI-14-20 12
Hran
ice
ustá
lené
odc
hylk
y
1cω
( )L jω
Hran
ice
šum
u se
nzor
ů a
neur
čito
sti s
oust
avy
1W
21 W
1
1
0,( )1( ) , ( ) 1
nfWL j
S j T jW
ω ωω
ω ω
> ∈
⇒ < ≅
0, nfω ω∈
)2
2
1 ,( )
1( ) 1, ( )
vfL jW
S j T jW
ω ωω
ω ω
> ∈ ∞
⇒ ≅ >
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• pro pevnou frekvenci ω0 je vzdálenost bodu L(jω0) na Nyquistově grafuod kritického bodu -1 rovna převrácené hodnotě velikosti citlivosti v ω0
• Vzdálenost celého grafu L(jω) od bodu -1 je
tedy rovna převrácené hodnotě špičky citlivosti MS
• čím větší je špička citlivost, tím blíže je L(jω) bodu nestability
Citlivost v Nyquistově grafu
Michael Šebek 7ARI-14-2018
1( )1 ( )
S sL s
=+
( )L jω
1−
( ( ))d L jω
0 0 0
0 0
( ) 1 ( ) 1 ( )1 1
1 1 ( ) ( )
d L j L j
L j S j
ω ω ω
ω ω
= − − = +
= =+
( )[ )
[ )0,
0,
1 1min ( )( )max ( ) S
d dL jMS jω
ω
ωωω∈ ∞
∈ ∞
= = =
( )L jω
0( )L jω
1−
0( )d ω
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Typicky požadujeme:• MS < 2 (6 dB)• MT < 1.25 (2 dB)
• větší hodnoty ( > 4 ) znamenají špatné chování i robustnost
• Liší se nejvýše o 1:|MS –MT| ≤ 1
• Souvislost s GM a PM je vidětze vzorečků
Špičky citlivostí
Michael Šebek 8ARI-14-2015
>> G=3*(1-2*s)/((5*s+1)*(10*s+1))G = 0.06 - 0.12s / 0.02 + 0.3s + s^2>> D=1.136*(1+1/(12.7*s))D = 0.089 + 1.1s / s>> L=D*G,S=1/(1+L),T=L*SL =
0.0054+0.057s-0.14s^2 / 0.02s+0.3s^2+s^3S =
0.02s+0.3s^2+s^3 / 0.0054+0.077s+0.16s^2+s^3T =
0.0054+0.057s-0.14s^2 / 0.0054+0.077s+0.16s^2+s^3>> bode(tf(L),tf(S),tf(T))
max ( )SM S jω
ω=max ( )TM T jω
ω=
SMωTMω
( )T jω
( )S jω
( )L jω
11 , 11
11 , 11
S
S T
S
S T
MGM GM GMM M
MGM GM GMM M
> ⇒ ≥ ≥ +−
< ⇒ ≤ ≤ −+
1 12arcsin2
1 12arcsin2
S S
T T
PMM M
PMM M
≥ ≥
≥ ≥
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Geometrické vysvětlení vzorečků: Ms a GM
9
Re
Im
min1 GM
max1 GM1
SM
1−
( )L jω
11
S
S
MM
−
11
S
S
MM
+
Michael Šebek 9ARI-14-2018
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Geometrické vysvětlení vzorečků: Ms a PM
1sin2 2
12arcsin2
S
S
M
M
α
α
= ⇒
=
10Michael Šebek 10ARI-14-2018
max
min
PM
PM
α
α
≥
≥
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
MS vs. gain plus phase margin
11
Tradičně buď
nebo
Teď (inverzní neurčitost)
min max
( ) ( )L s kL sGM k GM
→< <
min max
( ) ( )jL s e L sPM PM
ϕ
ϕ
−→< <
( )( )1 ( )
10 , ( ) 1S
L jL jr j
r jM
ωωω
ω
→+ ∆
≤ < ∆ ≤
maxPM
minPM
Im
Re
max1 GM
min1 GM
( )L jω
11Michael Šebek ARI-14-2018
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Požadavek na chování: Velikost odchylky menší než hodnota eb pro všechny referenční sinusovky s frekvencí 0 ≤ ω0 ≤ ω1 a amplitudou |r(jω0)|
vyjádříme jako , protože
Abychom pokaždé nemuseli definovat zvlášť spektrum referenčního signálu a požadavek na odchylku, normalizujeme problém zavedením váhové funkce chování (performance frequency function), která vyjadřuje, jak jsou naše požadavky na chování systému rozložené podle frekvencí - je to reálná funkce frekvence
S její pomocí můžeme požadavek přepsat do elegantního tvaru
• Pro návrh často užíváme
Požadavky na chování frekvenčně
Michael Šebek 12ARI-14-2018
( ) ( ) ( )e j S j r jω ω ω=( ) ( ) ( ) bee j S j r jω ω ω= ≤
1( )
( )b
r jW
eω
ω =
1: ( ) ( ) 1S j Wω ω ω∀ ≤
1 1( ) ( )W W jω ω=
( )r jω
1ω
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Protože
• Můžeme požadavek na chování interpretovat graficky:Pro žádné ω nesmí bod OL frekvenční charakteristiky L(jω) ležet v kruhu o poloměru W1(ω) se středem v kritickém bodu -1
• Pozor: platí to zvlášť po jednotlivých frekvencích ω
Grafická interpretace
Michael Šebek 13ARI-14-2013
[ ] 1 1: ( ) ( ) 1 ( ) |1 ( ) |0, S j W W L jω ω ω ω ω∀ ∈ ≤ ⇔ < +∞
1poloměr | ( ) |W ω=
|1 ( ) |d L jω= + ( )L jω
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Δ(jω) komplexní funkce, jakákoli, jediné omezeníreprezentuje amplitudu a fázi neurčitosti
• W2(ω) pevná váhová funkce• G0(s) nominální model
Abychom mohli použít Nyquistovo kritérium předpokládáme, že všechny soustavy v G(jω) mají stejný počet nestabilních pólů, neboli také, žeG(s) a G0(s) mají stejný počet nestabilních pólů pro všechny Δ(jω)
Že v tomto smyslu mají všechny soustavy stejný charakter. Možná trochu umělý, ale kritický požadavek - bez něj většina nástrojů neplatí
Multiplikativní neurčitost
Michael Šebek 14ARI-14-2018
[ ]0 2( ) ( ) 1 ( ) ( )G j G j W jω ω ω ω= + ∆
( ) 1jω∆ ≤
0 ( )G jω21 ( ) ( )W jω ω+ ∆
( )G jω
0 ( )G jω2 ( )W ω ( )G jω( )jω∆
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Váhová funkce neurčitosti W2• popisuje rozložení neurčitosti podle frekvencí• je vlastně normalizovaná perturbace přenosu
Typicky je • malá pro nízké frekvence
(tam známe model velmi přesně)• a velká pro vyšší frekvence
(parazitní a nemodelované jevy)• typický průběh je
Váhová funkce neurčitosti
Michael Šebek 15ARI-14-20 12
[ ]0 2( ) ( ) 1 ( ) ( )
( ) 1
G j G j W j
j
ω ω ω ω
ω
= + ∆
∆ ≤
02
0 0
( ) ( )( ) 1 ( ) ( )( ) ( )
G j G jG j W jG j G j
ω ωω ω ωω ω
−− = = ∆
02
0
( ) ( )( )
( )G j G j
WG jω ω
ω ωω
−≤ ∀
1
10
100
1000
0.1
210− 110− 010 110 210
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Nyquistův graf neurčitého systému
Michael Šebek 16ARI-14-2013
g0=2.5/((s+1)^3);k=rdf(1);w=rdf(.5);omega=0:.5:2;ball(g0,k,w,1,j*omega);hold on,nyquist(ss(g0))
[ ]0 2( ) ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) 1G j G j W j jω ω ω ω ω= + ∆ ∆ ≤
0 0( )G jω
0 0 2 0( ) ( )G j Wω ω
0 ( )G jω
0 1( )G jω1( )G jω
celý kruh
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Soustava s multiplikativní neurčitostíje
nominálně stabilní je stabilní
robustně stabilní je stabilní pro každétj. když je stabilní každá z nekonečné množiny soustav
• Podobně pro otevřenou smyčku
• i pro uzavřenou smyčku
Robustní stabilita
Michael Šebek 17ARI-14-2015
[ ]0 2( ) ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) 1G j G j W j jω ω ω ω ω= + ∆ ∆ ≤
( ) 1jω∆ ≤
[ ][ ][ ]
00 0 2
0 200
0 0 2
1 1 1( ) , ( )1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )( ) ( )( ) , ( )1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )
S j S jL j L j L j W j
L j W jL j L jT j T jL j L j L j W j
ω ωω ω ω ω ω
ω ω ωω ωω ωω ω ω ω ω
= = =+ + + + ∆
+ ∆= = =
+ + + + ∆
[ ]0 0
0 2 0 0 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L j D j G jL j D j G j L j W j L j L j W j
ω ω ω
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
=
= = + ∆ = + ∆
0 ( )G jω
( )G jω
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Nutná a postačující podmínka robustní stability
• protože typicky W2 je velké pro velké ω, • musí být malé pro vysoké frekvence• Protože je , musí být pro vysoké frekvence
Přibližné vyjádření pomocí OL přenosu• pro vysoké frekvence je malé,
proto• a podmínka robustní stability se redukuje na
0 2( ) ( ) 1,T j Wω ω ω< ∀
Podmínka robustní stability
Michael Šebek 18ARI-14-2018
00
0
0 0
( )( )1 ( )
( ) ( ) ( )
L jT jL j
L j D j G j
ωωω
ω ω ω
=+
=
0 ( )T jω0 0 1S T+ = 0 ( ) 1S jω ≈
0 0( ) ( ) ( )L j D j G jω ω ω=
0 0( ) ( )T j L jω ω≈
0 2( ) ( ) 1T j Wω ω ω< ∀ 02
1( )( )
L jW
ω ωω
< ∀
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Grafická interpretace: • obálka Nyquistových grafů nesmí obsahovat kritický bod -1
Grafická interpretace
Michael Šebek 19ARI-14-2013
0
0 0
0
2 0( ) ( ) 1 ( ) ( ) / (1 ( )) 1
( ) ( ) 1 ( )
T j W W L
L j L
j
W j
L j
ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω
ω
ω
< ∀ ⇔ <
< +
+ ∀
∀⇔
g0=2.5/((s+1)^3);k=rdf(1);w=rdf(.5);omega=1:.01:2;
ball(g0,k,w,1,j*omega);hold onom=1.2;g0om=value(g0,j*om);wom=value(w,j*om);a=0:.1:2*pi;r=abs(wom*g0om);fill(r*sin(a)+real(g0om),r*cos(a)+imag(g0om),'
b')ball(g0,k,rdf(0),1,.8*j*omega);grid off
0|1 ( ) |d L jω= +
0| ( ) ( ) |r L j Wω ω=
( )L jω
0 ( )L jω
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Při návrhu může nastat efekt přelévání: abychom někdy zmenšili S(ω) , musíme ji jinde zvětšit. Toto přelévání nastává vždy.
• Když je relativní řád L(s) ≥ 2 , když tj. L(s) má aspoň o 2 póly více než nul,musí citlivost splňovat Bodeho integrální omezení ve tvaru
neboli
• Speciálně pro stabilní L(s) musí platit
• Graficky (pokud je logaritmické měřítko u amplitudy a lineární u frekvence), musí se obě plochy rovnat
• Má-li L(s) nestabilní póly, je plocha zesilování dokonce větší!
Omezení pro návrh: Efekt vodní postele I.
Michael Šebek 20ARI-14-2016
0
unstable,00ln ( ) Repn
iS j d pω ω π∞
= ∑∫
0ln ( ) 0S j dω ω
∞=∫
unstable,00log ( ) log Repn
iS j d e pω ω π∞
= ∑∫