1409-ket-serisi-11-matematik-defter-kitap...12 mu ba yayınları 1. Ünİte trİgonometrİ 3. ders...

8

1.H A F TA

1. DERS 1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

11.1.1.1ÖĞRENME ALANI

Yönlü Açılar

OA

B

Pozitif yönO

D

C

Negatif yön

• Yukarıdaki şekilde AOB%

açısı, [OA ışınından [OB ışınına doğru yönlendirilmiş olup, saatin dönme yönünün tersi olan bu yöne pozitif yön denir.

COD%

açısı, [OC ışınından [OD ışınına doğru yönlendirilmiş olup, saatin dönme yönü ile aynı olan bu yöne negatif yön denir.

• Pozitif yönlü AOB%

açısının başlangıç kolu OA ışını, bitim kolu OB ışınıdır.

• Negatif yönlü COD%

açısının başlangıç kolu OC ışını, bitim kolu OD ışınıdır.

UYGULAMA ALANI

1.

O

A

B

C

D

Şekle göre , ,AOB O O OBC A B D ve C% % %%

açılarından han-gilerinin pozitif yönlü olduğunu bulunuz.

AO∑B ve BO∑D pozitif, CO∑A ve CO∑B negatif yönlü açılardır.

,AOB BOD` j% %

2. 1. soruda verilen şekle göre , ,AOC AOD COD% % %

ve DOB%

dar açılarının yönlerini sırasıyla bulunuz.

AO∑C , CO∑D ve AO∑D pozitif,

DO∑B negatif yönlü açılardır.

(+, +, + –)

3.

B

Pozitif yön

A

C

Şekildeki açı pozitif yönde yönlendirilirse okunuşunu ifade ediniz.

Verilen açının ,Başlangıç kolu : [BCKöşesi : BBitim kolu : [BA

Okunuşu : CBA% dır.

CBA_ i%

4.

B D

A

C

Şekilde verilen CBD ve DBA% %

açılarına göre

CBD DBA+% %

kümesini bulunuz.

.CBD DBA BD dir+ = 6% %

([BD)

5. B

D O A

C

Şekilde verilen açılara göre ,DOB BOC ve AOC% % %

açıla-rının yönlerini sırasıyla belirleyiniz.

–, +, + dir.

(–. +, +)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

9

1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

2. DERS

1.

B

DC

A

E

Şekilde verilenlere göre aşağıdaki açılardan hangisi pozitif yönde yönlendirilmiştir?

A) EBC%

B) DBA%

C) EBA%

D) DBC%

E) CBD%

2.

B D

O

C

A E

Şekilde verilenlere göre ,EOC BOD ve AOC% % %

açıları-nın yönleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) +, –, – B) –, +, – C) –, +, + D) –, –, + E) +, –, +

3.

D

C

A

B E

Şekilde DBA%

yönlü açısının başlangıç kolu aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) [BE B) [BD C) [BA D) [DB E) [BC

1. E 2. C 3. B


Açı Ölçü Birimleri – 1

O 1°B

A

• Bir tam çember yayının 360 eşit parçasından biri AB%

yayı olmak üzere, AB

% yayını gören merkez açının ölçüsü 1 de-

rece olarak adlandırılır, 1° biçiminde gösterilir.

• 1 derecenin 60 ta biri 1 dakika olarak adlandırılır, 1´ biçi-minde gösterilir.

• 1 dakikanın 60 ta biri 1 saniye olarak adlandırılır, 1´´ biçi-minde gösterilir.

• 1 derece 60 dakika, 1 dakika 60 saniye, 1 derece 3600 saniyedir.

UYGULAMA ALANI

1. 35 40

55 38

a

b

=

=

c l

c l

olduğuna göre, a b+ toplamı bulunuz.

35 40

55 38

90 78 91 18$a b

+

+

c l

c l

c l c l

(91°18´)

2. 45 27

30 45

a

b

=

=

c l

c l

olduğuna göre, -a b farkını bulunuz.

45 27 44 87

30 45

14 42

-

-

$

a b =

c l c l

c l

c l (14°42´)

3. 37a = colduğuna göre, 3a kaç derece, kaç dakikadır?

37 36 60

3 336 60 12 20

a

a

= =

= =

c c l

c lc l (12°20´)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

10

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

2. DERS2. DERS

4.

O

B

C

A

AOB ve BOC% %

tümler açılardır.

m AOB 42 15= c l^ h%

olduğuna göre,

m BOC^ h%

değerini bulunuz.

m BOC

90 89 60

42 15

47 45

47 45

-

$

=

c c l

c l

c l

c l^ h%

(47°45´)

5. AOB%

açısının bütünleyeni BOC%

açısıdır.

m BOC 75 30= c l^ h% olduğuna göre, m AOB^ h

% değerini

bulunuz.

m AOB

180 179 60

75 30

104 30

104 30

-

$

=

c c l

c c

c c

c l^ h%

(104°30´)

6. 3 50

5 43

a

b

=

=

c

c

olduğuna göre, a b+ toplamını bulunuz.

3 48 120 16 40

5 40 180 8 36

24 76

25 16

&

&

a a

b b

a b

a b

= =

= =

+ =

+ =

c l c l

c l c l

c l

c c (25°16´)

1. m A 42 15= c l^ hW m B 13 14= c l^ hW olduğuna göre, m A m B2-^ ^h hW W ifadesinin değeri aşa-

ğıdakilerden hangisidir?

A) 29 01c l B) 25 14c l C) 16 47c l D) 15 57c l E) 15 47c l

2. 34 12

21 35

a

b

=

=

c l

c l

olduğuna göre, 6 5a b

+ toplamının sonucu kaçtır?

A) 9 36c l B) 9 42c l C) 9 49c l D) 10 01c l E) 11 12c l

3. l k67 19 ›c l açının tümleri ile bütünlerinin toplamı aşağı-dakilerden hangisidir?

A) 135 52c l B) 135 22c l C) 134 36c l

D) 134 08c l E) 134 02c l

1. E 2. D 3. B

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

11

MU

BA

Yay

ınla

rı

1.ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

3. DERS3. DERS


Açı Ölçü Birimleri – 2

UYGULAMA ALANI

1. 14325ll lik açının kaç derece, kaç dakika ve kaç saniye olduğunu bulunuz.

14325

14325´́ = 3°58´45´́

35253600 60

– –3 5810800 3480

3525 45

(3°58´45´´ )

2. 36 52 43

13 24 32

a

b

=

=

c l ll

c l ll

olduğuna göre, a b+ toplamı bulunuz.

36 52 43

13 24 32

49 76 75 50 17 15

+

=

c l ll

c l ll

c l ll c l ll (50°17´15´´)

3. 35 20 32

15 14 45

a

b

=

=

c l ll

c l ll

olduğuna göre, -a b farkını bulunuz.

35°20´32´´$ 35 19 92

15 14 45

20 05 47

-

c l ll

c l ll

c l ll

(20°05´47´´)

4. Bir ABC üçgeninde

m A 36 35 42= c l ll^ hW , m B 58 43 27= c l ll^ hW olduğuna göre, m C_ iW değerini bulunuz.

36 35 42

58 43 27

94 78 69

+

c l ll

c l ll

c l ll

m C

180 179 59 60

95 19 09

84 40 51

-

$

=

c c l ll

c l ll

c l ll_ iX(84°40´51˝)

5. 47 39 43a = c l ll

olduğuna göre, n n›a tümleyeninin ölçüsünü bulu-nuz.90 89 59 60

47 39 43

42 20 17

-

$c c l ll

c l ll

c l ll(42°20´17´´)

6. 35 4142a = c l ll

olduğuna göre, 3a değerini bulunuz.

35 41 42 33 159 162

311 53 54

$

a =

c l ll c l ll

c l ll(11°53´54´´)

7. 43 32 20a = c l ll

olduğuna göre, 5a değerini bulunuz.

43 32 20 40 210 140

58 42 28

$

a =

c l ll c l ll

c l ll(8°42´28´´)

8. 11236 lık açı x derece, y dakika ve z saniye olduğuna göre, x + y + z toplamını bulunuz.

11236

x + y + z = 3 + 7 + 16 = 26

4363600 60

– –3 710800 420

436 16

(26)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

12

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

4. DERS3. DERS

1. 51 20 35c l^ h işleminin sonucu kaçtır?

A) 4°07´ B) 4°17´ C) 4°21´ D) 4°25´ E) 5°11´

2. 21 33 17c l^ h işleminin sonucu kaçtır?

A) 15°27´30´´ B) 15°29´30´´ C) 15°32´30´´

D) 16°38´30´´ E) 16°42´30´´

3. a b c3782 =ll c l ll olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4.

B

C

D

A

m BAC

m ABC

m BCD

43 15 23

37 42 52

142 18 36

=

=

=

c l ll

c l ll

c l ll^

^

^

h

h

h

%

%

%

Yukarıda verilenlere göre, m ADC^ h%

değeri kaçtır?

A) 59°52´42´´ B) 59°45´21´´ C) 60°20´42´´

D) 60°32´21´´ E) 61°20´21´´

1. A 2. D 3. C 4. E


Açı Ölçü Birimleri

•

r1R A

B

O

r r

Bir tam çemberin yarıçap uzunluğu-na eşit uzunluktaki yayını gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

• Bir açının derece cinsinden ölçüsü D, radyan cinsinden öl-çüsü R ise bir tam çemberin yayı 360° veya 2r radyandır. Buna göre,

D R360 2r

= veya D R180 r

= dir.

UYGULAMA ALANI

1. Ölçüleri 30°, 45°, 60° olan açıların ölçülerini radyan cinsinden sırasıyla yazınız.

D R180 r

= formülüne göre,

°° °R R

18030

630

6( (

rr r= = =

°° °R R

18045

445

4( (

rr r= = =

°° °R R

18060

360

3( (

rr r= = =

, ,6 4 3r r rb l

2. Ölçüleri 0°, 90°, 180° olan açıların ölçülerini radyan cinsinden sırasıyla yazınız.

0° ≅ 0 , 90° ≅ 2r , 180° = ∏ olarak bulunur.

(0, 2r , r)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

13

MU

BA

Yay

ınla

rı

1.ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

4. DERS4. DERS

3. 210°, 225°, 240° lik açıların ölçülerini sırasıyla radyan cinsinden bulunuz.

R R180210

67

(r

r= =

R R180225

45

(r

r= =

R R180240

34

(r

r= =

, ,6

74

53

4r r rb l

4. Radyan cinsinden verilen bir açı ölçüsünü dereceye çevirmek için formülde p yerine 180° yazarak sonuç ko-layca bulunur.

Ölçüsü 12r radyan olan açının ölçüsü kaç derecedir?

12r için ∏, 180° alınırsa

°12

180 = 15° olur. (15°)

5. Ölçüsü 2

3r radyan olan açının ölçüsü kaç derecedir?

23r için ∏, 180° alınırsa

°2

3 180$ = 3·90° = 270° olur.

(270°)

6. Ölçüsü 6


65r için ∏ , 180° alınırsa

°6

5 180$ = 5·30° = 150° olur.

(150)

7. Ölçüleri 120°, 135°, 150° olan açılarının ölçülerini sıra-sıyla radyan cinsinden bulunuz.

R R180120

32

(r

r= =

R R180135

43

(r

r= =

R R180150

65

(r

r= =

, ,3

24

36

5r r rb l

1. Ölçüsü 3

25r radyan olan bir açının ölçüsü kaç dakika-dır?

A) 25 B) 900 C) 1500 D) 9000 E) 90000

2. Ölçüleri 300°, 315° ve 330° olan açıların ölçülerinin radyan cinsinden toplamı aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) 5

11r B) 4

21r C) 12

65r D) 3

22r E) 4

25r

3. Ölçüsü 3


A) 420 B) 430 C) 440 D) 460 E) 480

4. Ölçüsü 2700 dakika olan açının ölçüsü kaç radyan-dır?

A) 2r B)

125r C)

3r D)

4r E)

6r

1. E 2. B 3. A 4. D

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

14

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

5. DERS5. DERS


Bir Açının Esas Ölçüsü – 1

• Bir açının ölçüsü [0°, 360°] aralığında ise esas ölçüsü ken-

disidir. Açının ölçüsü 0° den küçük veya 360° den büyük ise

verilen sayı 360 ile bölünür ve elde edilen kalan açının esas

ölçüsüdür.

UYGULAMA ALANI

1. Ölçüsü 750° olan açının esas ölçüsünü bulunuz.

750 360

– 2720

30

750 = 30 + 2 · 360 olduğundan 750° lik açı-nın esas ölçüsü 30° dir.

(30°)

2. 250° lik açının esas ölçüsünü bulunuz.

0 250 360≤ ≤ olduğundan 250° lik açının esas ölçüsü kendisi yani 250° dir.

(250)

3. Ölçüsü 960° olan açının esas ölçüsünü bulunuz.

960 360

– 2720

240

960° lik açının esas ölçüsü 240° dir.(240)

4. Ölçüsü 1210° olan açının esas ölçüsü kaç radyandır?

1210 360

– 31080

130

R R180130

1813

rr= =

1813rb l

5. Ölçüsü 2780° olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?

2780 360

– 72520

260 2780° lik açının esas ölçüsü 260° dir.

(260°)

6. Ölçüsü 520° olan açının esas ölçüsü, negatif yönde yönlendirilirse kaç derece ile ifade edileceğini bulu-nuz.

520 360

– 1360

160 –200°ile ifade edilir.

(–200°)

7. Ölçüsü 3

11r olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?

311

311 180 660·r = = c

660 360

– 1360

300 n

311 ür esas ölçüsü 300° dir.

(300°)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

15

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

6. DERS5. DERS

1. 430° lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?

A) 40 B) 55 C) 70 D) 85 E) 100

2. Ölçüsü 1360° olan açının esas ölçüsü kaç radyandır?

A) 9

2r B) 9

4r C) 9

6r D) 9

14r E) 9

16r

3. Ölçüsü 3

13r radyan olan açının esas ölçüsünün tüm-

leyeni kaç derecedir?

A) 15 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

4. Ölçüsü 820° olan açının esas ölçüsünün bütünleri ile ölçüsü 1130° olan açının esas ölçüsünün tümleri top-lamı kaç radyandır?

A) 3

2r B) 6

5r C) r D) 2

7r E) 3

4r

1. C 2. D 3. B 4. A



UYGULAMA ALANI

1. Ölçüsü –490° olan açının esas ölçüsünü bulunuz.

– 490 360± 720 –2

230

¡ –490° = 230 + (–2)·360

olduğundan –490° lik açının esas ölçüsü 230° dir.

(230°)


–1230 360–41440

210 1230° esas ölçüsü 210° dir.

(210°)

3. Ölçüsü –1650° lik açının esas ölçüsünü radyan türün-den bulunuz.

–1650 360

– –5!1800

150 › .radyad r150

65r=c

65rb l

4. Ölçüsü –175° 42´ olan açının esas ölçüsünü bulunuz.

–175° 42´ 360

– –1!360

184° 18´ –175°42´ lık açının esas ölçüsü 184°18´ lık açıdır.

(184° 18´)

!

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

16

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

6. DERS6. DERS


–105 360

– –1!360

255 ö çü ünin esas l s105 255- c c

(255°)

6. Ölçüsü –2340° olan açının esas ölçüsünün kaç rad-yan olduğunu bulunuz.

–2340 360

– –7!2520

180 180° = r radyan

(r)

7. Ölçüsü 3

13- r olan açının esas ölçüsünün kaç derece

olduğunu bulunuz.

· ·3

133

13 180 780- - -r = =c c

–780 360

– –3!1080

300 ü ö çü ün esas l s

313 300- r

c

(300)

8. Ölçüleri –760° ve – 210° olan açıların esas ölçüleri toplamının esas ölçüsünü bulunuz.

–760° nin esas ölçüsü 320°

–210° nin esas ölçüsü 150°

320° + 150° = 470° 470° nin esas ölçüsü 110°(110°)

1. Ölçüsü –1750° olan açının esas ölçüsü kaç derece-dir?

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60

2. Ölçüsü –975° olan açının esas ölçüsü kaç radyandır?

A) 127r B)

32r C)

43r D)

65r E)

67r

3. Ölçüsü –637° 15´ olan açının esas ölçüsü aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) 78°55´ B) 79°15´ C) 80°25´ D) 81°35´ E) 82°45´

1. D 2. A 3. E

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

17

HAFTANIN ÖDEVİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

1.

B

xAO

y

Şekilde koordinat sistemine yerleştirilmiş AOB%

yönlü açısının ölçüsü aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 80° B) 160° C) 190° D) –120° E) –80°

(160°)

2. 42 34

36 18

a

b

=

=

c l

c l

olduğuna göre 3 2-a b işleminin sonucunu bulunuz.

(55°06´)

3.

B

AO

250°

Şekilde verilen AOB%

açısının negatif yöndeki ölçüsü-nü bulunuz.

(–110)

4. Birim çembere yerleştirilen bir açının bitim kolu II. bölge-dedir.

Buna göre, bu açının ölçüsü aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) –240° B) –220° C) –160° D) 150° E) 165°

(–160)

5. Ölçüsü 26° 11´ 55´´ olan bir açının beşte birinin ölçü-sünü derece, dakika ve saniye türünden bulunuz.

(5° 14´ 23´´)

6. Ölçüsü 103° 24´ olan bir açının üçte birinin kaç dere-ce, kaç dakika olduğunu bulunuz.

(34° 28´)

7. Ölçüsü 121° 44´ olan açının dörtte birinin ölçüsünü bulunuz.

(30° 26´)

8. Ölçüsü 20 dakika olan bir açının ölçüsünün kaç rad-yan olduğunu bulunuz?

540rb lÖRNEKTİR

• MUBA YAYIN

LARI

18

1HAFTANIN TESTİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

1. I.

O

A

B II.

0 L

K

III.

0 RP

IV.

0M

N

Yukarıda verilen açılardan hangileri negatif yönlüdür?

A) I, II ve III B) I, II ve IV C) II, III ve IV

D) I, III ve IV E) I, II, III ve IV

MON%

,KOL%

ve POR%

açıları negatif yönlüdür.

2. B

AC

D

EYandaki şekilde verilen-lere göre, aşağıdaki açılardan hangisi pozitif yönde yönlendirilmiştir?

A) DBC%

B) EBC%

C) CBA%

D) ABD%

E) DBA%

ö ü ç› › .ABD pozitif y nl a d r%

3.

B A

C

a

Yandaki şekilde ölçüsü a olan açı negatif yönlü olduğuna göre, oku-nuşu aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

A) ABC%

B) ACB%

C) CBA%

D) CAB%

E) BCA%

Negatif yönde okunuşu CBA%

4. 4276' aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

A) 70°26' B) 71°16' C) 73°12'

D) 74°10' E) 75°28'

71°16'

60

71

4276420

0076 60

16

-

-

5. Ölçüsü 53°12' olan bir açının ölçüsü kaç dakikadır?A) 2972 B) 2986 C) 2994

D) 3076 E) 3192

53 60 3180

3180 12 3192

$ =

+ =

l

l

6.

O B

A C( ) 'm COA 72 43= c%

( ) 'm BOA 136 21= c%

olduğuna göre, m BOC^ h%

nin değerini bulunuz.

A) 63°38’ B) 62°28’ C) 62°12’

D) 61°56’ E) 61°25’

136 21 72 43

135 81 72 43 63 38

-

- =

c l c l

c l c l c l

7. a, b ve c pozitif tam sayı 49 51 53a = c l ll, 15 34 45b = c l ll

a b ca b+ = c l ll olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) 129 B) 139 C) 142 D) 188 E) 247

olup65 26 38

65 26 38 129

a b+ =

+ + =

c l ll

8. ( ) 'm A 32 29= cW olduğuna göre, A açısının tümlerinin ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 56°41’ B) 56°21’ C) 56°31’ D) 57°31’ E) 58°21’

90 =c

'

'

'

89 60

32 29

57 31

c

c

c

-

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

19

1HAFTANIN TESTİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

9. A

B C

ABC üçgen

( ) 'm A 53 27= cW

( ) 'm B 67 58= cW

olduğuna göre, ( )m CW aşağıdakilerden hangisidir?

A) 59°25' B) 58°35' C) 58°25'

D) 57°45' E) 57°35'

' '120 85 121 25&

'

'

53 27

67 58

c

c

c c+

180 =c '

'

'

179 60

121 25

58 35

c

c

c

-

10.

'

( ) ° '

( ) °

m A

m B

34 43

25 51

=

=

WW

olduğuna göre, ( ) ( )m A m B3 2-W W işleminin sonucu aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) 52°27' B) 53°17' C) 53°27'

D) 54°07' E) 55°47'

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

m A m A

m B m B

m A m B

34 43 3 102 129

25 51 2 50 102

3 2 52 27

° °

° °

- °

&

&

= =

= =

=

l l

l l

l

W

W WWW

11. Ölçüsü 2995c olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?

A) 85 B) 95 C) 105 D) 110 E) 115

3608

2995o

2880

115o-

12. Ölçüsü 15 35 42a = c l ll olan açının tümleyeninin ölçü-sü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 73 18 24c l ll B) 73 24 18c l ll C) 74 18 22c l ll

D) 74 22 18c l m E) 74 24 18c l m

89 59 60

15 35 42

74 24 18

-

c l m

c l m

c l m

13. Ölçüsü -2017° olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?

A) 134 B) 137 C) 139 D) 143 E) 147

360-6

-2017-2160

143o-

14. Ölçüsü -1060o olan açının esas ölçüsü kaç radyandır?

A) 9r B)

7r C)

92r D)

72r E)

73r

360-3

-1060±1080

20o

- 18020 R

r=cc

15. ( ) ( )m A ve m B4

245r= = cW W olduğuna göre, ( ) ( )m A m B-W W farkının esas ölçüsü kaç

derecedir?

A) 140 B) 150 C) 160 D) 170 E) 180

m A ve m B45 245

45 245 200

200 360 160

- -

-

= =

=

+ =

c c

c c c

c c c

^ ^h hW W

16. Ölçüsü 24´ olan açının ölçüsü kaç radyandır?

A) 380r B)

390r C)

400r D)

420r E)

450r

° °' R R246024

52

18052

450& &

rr= = = =b bl lÖRNEKTİR

• MUBA YAYIN

LARI

20

H A F TA1. DERS 1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

2.11.1.1.2ÖĞRENME ALANI

Bir Açının Esas Ölçüsü – 3Ölçüsü 0 ≤ a < 2r aralığında olan bir açının esas ölçüsü a dır. Ölçüsü 2r den büyük olan açının ölçüsü bulunurken pay-dada verilen sayı iki ile çarpılır ve payda verilen sayı çarpımda elde edilen sayıya bölünür ve kalan esas ölçüdür.

UYGULAMA ALANI

1. Ölçüsü 5

52r radyan olan açının esas ölçüsünü bulu-nuz.

ve5 2 10

552

550

52 5 2

52

·

·r r r r r

=

= + = +

52rb l

2. 3

28r radyan olan açının esas ölçüsünü bulunuz.

·

ü ö çü ü

ve

n esas l s

3 2 6

328

34r r

=64

28244

-

34rb l

3. Ölçüsü 7


·

ö çü ü

ve

nin esas l s

7 2 14

793

784

79

793

79

r r r

r r

=

= +

146

93849

-

79rb l

4. 6

29r radyanlık açının esas ölçüsünü bulunuz.

ve

n n esas l s

6 2 12

629

624

65

629

65

·

› ö çü ü

r r r

r r

=

= +

122

29245

-

65rb l

5. Ölçüsü 4


·

’ü ö çü ü

ve

n esas l s

4 2 8

447

440

47

447

47

r r r

r r

=

= +

85

47407

-

47rb l

6. Ölçüsü 3

32r radyan olan açının esas ölçüsünü dere-

ce türünden bulunuz.

332

330

32

32 120

r r r

r

= +

= c

120c^ h

7. Ölçüsü 9

42r radyan olan açının esas ölçüsünü dere-ce türünden bulunuz.

942

936

96

96

32 120

r r r

r r

= +

= = c

120c^ h

8. Ölçüsü 11


ö çü üin esas l s

1178

1166

1112

1178

1112

r r r

r r

= +

1112rb l

105

5250

2-

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

21

1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

2. DERS

1. Ölçüsü 3

41r radyan olan açının esas ölçüsü kaç rad-yandır?

A) 3

2r B) 4

3r C) 3

5r D) 3

4r E) r

2. Ölçüsü 5

79r radyan olan açının esas ölçüsü kaç rad-yandır?

A) r B) 5

6r C) 5

7r D) 5

8r E) 5

9r

3. Ölçüsü 7

31r radyan olan açının esas ölçüsü kaç dere-cedir?

A) 75° B) 76° C) 7

540c D) 9

460c E) 78c

4. Ölçüsü 5

23r olan açının bütünleri ile ölçüsü 3

37r olan

açının tümlerinin farkının esas ölçüsü kaç derecedir?

A) 42° B) 55° C) 60° D) 72° E) 90°

1. C 2. E 3. C 4. A



UYGULAMA ALANI

1. Ölçüsü 3

19- r radyan olan açının esas ölçüsünü bulu-nuz.

– 19 6± 24 –4

5

¡

·

319

324

35

4 23

5

- -

-

r r r

r r

= +

= +

35rb l

2. Ölçüsü 7


– 76 14± 84 –6

8

¡

·

776

784

78

6 27

8

- -

-

r r r

r r

= +

= +

78rb l

3. Ölçüsü 3


– 20 6

4± 24 –4

( )3

203

4 4 2- - $r r r= +

34rb l

4. Ölçüsü 5


– 29 10

1± 30 –3

( )5

295

1 3 2- - $r r r= +

5rb l

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

22

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

2. DERS2. DERS

5. Ölçüsü 3


–67 6±

5–72 –12

( )3

673

5 12 2- - $r r r= + ise

367- r radyanlık açının esas ölçüsü

35r radyandır.

35rb l

6. Ölçüsü 12

- r radyan olan açının esas ölçüsünü bulu-nuz.

ö çü ünin esas l s

212 12

23

12 1223

-

-

r r r

r r

=

1223rb l

7. Ölçüsü 2537- r radyan olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?

2538 2537 180-r r r= = c

180c^ h

8. Ölçüsü 7


ö çü ünin esas l s

759

770

759

711

759

711

- -

-

r r r r

r r

= =

711rb l

1. Ölçüsü 4

43- r radyan olan açının ölçüsü kaç radyan-dır?

A) 4

5r B) 4

2r C) 3

2r D) 4r E)

8r

2. Ölçüsü 3

37- r radyan olan açının esas ölçüsü kaç rad-yandır?

A) 3r B)

32r C) r D)

34r E)

35r

3. I. ölçüsü 5

78r radyan olan açının esas ölçüsü 5

3r tir.

II. ölçüsü 7

65- r radyan olan açının esas ölçüsü 7r dir.

III. ölçüsü 2

17- r radyan olan açının esas ölçüsü 2

3r tir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II

D) I ve III E) II ve III

4. Ölçüsü 3

41- r radyan olan açının esas ölçüsünün bü-

tünleyeni kaç derecedir?

A) 120° B) 110° C) 100° D) 90° E) 80°

1. A 2. E 3. B 4. A

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

23

MU

BA

Yay

ınla

rı

1.ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

3. DERS3. DERS



UYGULAMA ALANI

1. Ölçüsü 4


–51 8–7!56

5 ·

451

456

45

7 24

5

- -

-

r r r

r r

= +

= +

45rb l


–2842 360

– –8!2880

38

(38°)

3. ve12

770a r b= = c

olduğuna göre a + b toplamının esas ölçüsünün kaç derece olduğunu bulunuz.

a + b = 15° + 770° = 785° 785 360

– 2720

65 (65°)

4. Ölçüsü 4

1745r radyan olan açının esas ölçüsünü bu-lunuz.

1745 8– 2181744

1 ·

41745

41744

4

218 24

r r r

r r

= +

= +4ra k

5. Ölçüsü 2018° olan açının esas ölçüsü a, –2023° olan açının esas ölçüsü b olduğuna göre, a + b toplamının esas ölçüsünü bulunuz.

2018 360

– 51800

218

–2023 360

– –6!2160

137

218 137 355a b+ = + = c(355°)

6. Ölçüsü –3220° olan açının esas ölçüsü a ise –a nın esas ölçüsünü bulunuz.

–3220 360

– –9!3240

20 ° °ise nin20 20- -a a= =

esas ölçüsü 340° dir.

(340°)

7. 5

273

23r r+ toplamının esas ölçüsünü derece türün-

den bulunuz.

527

520

57

57 252

323

318

35

35 300

552 360 192-

&

&

r r r r

r r r r

= + =

= + =

=

c

c

c c c(192°)

8. 3360° olan açının esas ölçüsü kaç radyandır?

3360 360

– 93240

120

1203

2r=c

32rb l

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

24

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

4. DERS3. DERS

1. Ölçüsü a derece olan açının esas ölçüsü 40° olduğu-na göre a aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 1480° B) –1400° C) –1040° D) 1160° E) –1760°

2. a esas ölçüsü 20° olan bir açıdır. 160° < a < 2760° ko-şulunu sağlayan kaç farklı a açısı bulunabilir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

3. Ölçüsü –190° olan bir açının esas ölçüsü a radyan ve ölçüsü 21r olan açının esas ölçüsü b radyan olduğuna göre, a + b toplamının esas ölçüsü kaç derecedir?

A) 350 B) 340 C) 330 D) 320 E) 310

4. ve52

417– –a

rb

r= =

olduğuna göre, ölçüsü a + b olan bir açının esas ölçü-sü kaç radyandır?

A) 207r B) 20

17r C) 209r D) 20

27r E) 57r

1. D 2. E 3. A 4. D



UYGULAMA ALANI

A) Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerlere uygun ifa-deler yazınız.

1. Ölçüsü 120° olan bir açının ölçüsü .......................... radyandır.

32rb l

2. Ölçüsü 125r radyan olan bir açının ölçüsü .......................

derecedir.

(75)

3. Yönlü açılarda pozitif yön saatin dönme yönüyle .......................... olan yöndür.

(ters)

4. Ölçüsü –2310° olan bir açının esas ölçüsü ...................... dir.

(210°)

5. Ölçüsü 427– r radyan olan bir açının esas ölçüsü

................... dır.

45rb l

6. Ölçüsü 542r radyan olan açının esas ölçüsü ................

derecedir.

(72)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

25

MU

BA

Yay

ınla

rı

1.ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

4. DERS4. DERS

7. Ölçüsü 7

47r radyan olan bir açının esas ölçüsü .......................... derecedir.

7900b l

8. Ölçüsü 42°15´38´´ olan bir açının tümleyeninin ölçüsü ....................... dır.

47 44 22c l m^ h

9. Bir üçgenin dış açılarından ikisinin ölçüsü 102°15´ ve 136°55´ olduğuna göre, üçüncü köşedeki dış açının ölçüsü .......................... dır.

(120°50′)

B) Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların solundaki ku-tuya (D), yanlış olanlarına (Y) yazınız.

1. ( ) Ölçüsü 1215° olan bir açının esas ölçüsü 135° dir.

(D)

2. ( ) Ölçüsü 3

57r radyan olan bir açının esas ölçüsü

3r tür.

(Y)

3. ( ) Ölçüsü –2565° olan bir açının esas ölçüsü 45° dir.

(Y)

4. ( ) Ölçüsü 6

5- r radyan olan bir açının esas ölçüsü

210° dir.

(D)

1. Ölçüsü 3

47r radyan olan bir açının esas ölçüsü a, öl-

çüsü –1000° olan bir açının esas ölçüsü b olduğuna göre, ölçüsü a + b toplamı olan bir açının esas ölçü-sü kaç radyandır?

A) 18r B)

9r C)

6r D)

4r E)

3r

2.

B C

A ABC üçgen

m BAC

m ACB

125

6011

r

r

=

=

^

^

h

h

%

%

m ABC^ h%

kaç radyan-dır?

A) 4r B)

5r C)

52r D)

53r E)

54r

3. Aşağıda verilen açılardan hangilerinin esas ölçüsü dar açıdır?

I. 4

23r II. 5

53- r III. 1860° IV. –1050°

A) Yalnız III B) Yalnız IV C) II ve III

D) III ve IV E) I, III ve IV

4. I. Ölçüsü 2180° olan bir açının esas ölçüsü 20° dir.

II. Ölçüsü –1342° olan bir açının esas ölçüsü 98° dir.

III. Esas ölçüsü 7

2r olan bir açının ölçüsü 7

58r olabilir.

İfadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve III E) I, II ve III

1. B 2. C 3. D 4. E

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

26

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

5. DERS5. DERS


Trigonometrik Fonksiyonlar

Birim Çember – 1

1O

1

–1

–1

x

y Merkezi koordinat sisteminin baş-

langıç noktası ve yarıçapı 1 birim

olan çembere birim çember denir.

•

1O

P(x,y)1

y

H

1

x–1

–1

x

y Birim çember üzerinde bir

P(x,y) noktası seçilirse

OPH&

dik üçgenine göre

x y 12 2+ = olur.

Bu denklem aynı zamanda bi-

rim çemberin denklemidir.

UYGULAMA ALANI

1. ,A a54b l noktası birim çember üzerinde olduğuna gö-

re, A noktasının ordinatını bulunuz.

Birim çemberin denklemix2 + y2 = 1 dir.

,A a54b l ∈ birim çember ¡

54 2b l + a2 = 1

a = 53 veya a =

53- bulunur.

v53

53-b l

2. ,A a23

c m noktası birim çember üzerinde ise a nın ala-

bileceği değerleri bulunuz.

23

2

c m + a2 = 1 ¡ 43 + a2 = 1 ¡ a2 =

41

a = 21 , a =

21- olur.

v21

21-b l

3. ,B a2 4

1b l noktası birim çember üzerinde ise a nın alabi-

leceği değerlerin farkının mutlak değerini bulunuz.

a2 4

1 12 2

+ =a bk l ¡ a4 16

152= ⇒ a2 =

415

a = 215± ⇒

215

215 15- - = tir.

15^ h

4. ,cA31

c m noktası birim çember üzerinde ve koordinat

düzleminin II. bölgesinde olduğuna göre, c değerini

bulunuz.

c c31 1

36-2

2&+ = =c m

36-

d n

5. ,A b21-b l noktası birim çember üzerinde olduğuna gö-

re, b’nin alabileceği değerlerin çarpımını bulunuz.

21-

2b l + b2 = 1 ¡ b41 12+ = ¡ b2 =

43

b = 23 veya b =

23-

23

23

43- -$ =c m bulunur.

43-b l

6. Analitik düzlemin IV. bölgesinde bulunan ,a23c m noktası

birim çember üzerindedir.

Buna göre, a değerini bulunuz.

a a23 1

21-

22 &+ = =c m

21-b l

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

27

MU

BA

Yay

ınla

rı

1.ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

6. DERS5. DERS

1. Aşağıdaki noktalardan hangisi analitik düzlemin III. bölgesinde ve birim çember üzerindedir?

A) ,21

23-c m B) ,

22

21- -c m C) ,

103

101- -c m

D) ,22

21-c m E) ,

53

52- -b l

2. A(m – n, m + n) birim çember üzerinde bir nokta oldu-ğuna göre, K(n, m) noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

A) 2 B) 2 2 C) §2

D) 22 E) 1

3. Aşağıdaki noktalardan hangisi birim çember üzerin-dedir?

A) ,21

21b l B) ,

22

21c m C) ,

21

23-c m

D) (1, –1) E) ,041b l

4.

1

12

O

P( ,s)

1

–1

–1

x

y Şekilde x y 12 2+ = denkle-

mi ile verilen birim çember

üzerindeki ,P s21b l noktası

için s kaçtır?

A) 23 B)

21 C)

41- D)

21- E)

23-

1. C 2. D 3. C 4. E


Birim Çember – 2

UYGULAMA ALANI

1.

O

P(c, d)

A(a, b) x

y Yandaki O merkezli yarım bi-rim çember üzerinde A(a, b) ve P(c, d) noktaları verilmiş-tir.

Buna göre, a b c d2 2 2 2+ + + toplamını bulunuz.

a b

c da b c d

1

12

2 2

2 22 2 2 2

+ =

+ =+ + + =4

(2)

2. A(a – 2, b) noktası birim çember üzerinde olduğuna göre, a’nın kaç farklı tam sayı değeri alabileceğini bu-lunuz.

–1 ≤ a – 2 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ a ≤ 3

a; 1, 2 ve 3 değerlerini alabilir.(3)

3.

O

B(e, f)

A(a, b) C(c, d) x

yA, B ve C noktaları şekildeki birim çemberin üzerindedir.

Buna göre, 3a2 + 3b2 + 2e2 + d – c + 2f2 ifadesinin de-ğerini bulunuz.

a b a b

e f e f

c ve d

1 3 3 3

1 2 2 2

1 0

3 2 0 1 4-

2 2 2 2

2 2 2 2

&

&

+ = + =

+ = + =

= =

+ + =

(4)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

28

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

6. DERS6. DERS

4. Birim çember üzerinde apsisi ordinatının iki katına eşit olan noktaların koordinatlarını bulunuz.

, .

, ,

A x x olun

x x x

x A veya x A

2

2 151

51

52

51

51

52

51- - -

2 2 2 2&

& &

+ = =

= = l

^

^

c c

h

h

m m

, ,v52

51

52

51- -

cc cm mm

5.

O

C

B

AD x

yYanda verilen O merkezli birim çembere göre,

AB CD+ toplamını bulunuz.

OA OB AB

OC OD CD

1 2

1 2

&

&

= = =

= = =

2 2^ h

6.

O

BCA

D x

y Yanda verilen O merkezli birim çemberde

,OC AB AB birim1= =6 6@ @ olduğuna göre, m DOA^ h

%

kaç radyandır?

ABO eşkenar üçgendir.

m COA m BOC

m DOA

306

2 6 32

r

r r r

= = =

= + =

c^

^

^h

h

h% %

% 32rb l

1. O merkezli birim çember üzerindeki iki nokta M ve N dir. MN 1= olduğuna göre,

I. M noktası y ekseni üzerindedir.

II. m MON 60= c^ h%

III. MON üçgeninin çevresi 3 birimdir.

İfadelerinden hangileri daima doğrudur?

A) Yalnız II B) I ve II C) I ve III

D) II ve III E) I, II ve III

2. A(m, n – 3) noktası birim çember üzerinde olduğuna göre, m + n toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. mkr açısının esas ölçüsü

75r dir. m nin en küçük pozitif

tam sayı değeri için k nin alabileceği en büyük iki basa-maklı tam sayı değeri p dir.

Buna göre, ölçüsü mpr olan açının bitim noktası birim

çember üzerinde nerede bulunur?

A) I. bölgede B) II. bölgede C) III. bölgede

D) IV. bölgede E) y ekseninde

4. a ve b aralarında asal pozitif tam sayılardır.

,EKOK 72a b =^ h ve a b 732· ·a b+ = olduğuna göre,

ölçüsü a bb a

+c mr radyan olan bir açının esas ölçüsü-

nün birim çemberde bitim noktasının apsisi kaçtır?

A) 23 B)

22 C)

43

D) 21 E)

43

1. D 2. E 3. B 4. A

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

29

HAFTANIN ÖDEVİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

1. Ölçüsü 3260° olan bir açının esas ölçüsünü bulunuz.

3260 360– 93240

20 (20°)

2. Ölçüsü –810° olan bir açının esas ölçüsünü bulunuz.

–810 360± 31080

270 (270°)

3. Ölçüsü 3

5r radyan olan bir açı ile ölçüsü 2050° olan

bir açının toplamının esas ölçüsü kaç derecedir?

2350 360– 62160

190 (190°)

4. Ölçüsü 6

183- r radyan olan bir açının esas ölçüsünün

kaç radyan olduğunu bulunuz.

6 · 2 = 12 –183 12

± 161929

6183

6192

69

69

23

- -r r r

r r

= +

=

23rb l

5. • Ölçüsü 2018° olan bir açının esas ölçüsü x derecedir. • Ölçüsü –2018° olan bir açının esas ölçüsü y derecedir. Buna göre, ölçüsü x + y derece olan bir açının esas

ölçüsünün kaç radyan olduğunu bulunuz.

2018 360± 51800

218

–2018 360± 62160

142 .esas l d r360 0ö çü ›&a b+ = c c

0° = 0 radyandır.

2018° + (–2018°) = 0(0)

6. Ölçüsü 3

35r radyan olan bir açının esas ölçüsü x rad-

yan olduğuna göre, ölçüsü –x radyan olan bir açının esas ölçüsünün kaç derece olduğunu bulunuz.

3 · 2 = 635 6

– 5305

x

x

335

330

35

35 300

35 300

300 360 60

- - -

-

&r r r r

r

= + = =

= =

+ =

c

c

c c c (60°)

7. Ölçüsü 3

434

73r r+ radyan olan bir açının esas ölçü-

sünü bulunuz.

43 6

– 7421

73 8– 972

1 3 4 127r r r+ =

127rb l

8. A(2a – 3, 3b – 8) noktası birim çember üzerinde ol-duğuna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

a

b

1 2 3 1

1 3 8 1

- ≤ - ≤

- ≤ - ≤

&

& a

b

a b

1 2

37 3

310 5

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

+

+(5)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

30

HAFTANIN TESTİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ2

1. Ölçüsü 547r olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?

A) 252 B) 245 C) 232 D) 227 E) 215

545

540

57&

r r r= + Esas Ölçü 5

7r=

57

57 180 252· °r = =

2. 3

37- r radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?

A) 3r B)

32r C) r D)

34r E)

35r

–37 6± –742

5

337

342

35- -r r r= +

3. 7

53- r radyanlık açının esas ölçüsü a olduğuna göre,

–a nın esas ölçüsü kaç radyandır?

A) 7

11r B) 7

10r C) 7

9r D) 7

8r E) r

753

756 3

73

73 2

711

- -

-

r r r r

r r r

= + =

+ =

4. a radyanlık açının esas ölçüsü 5r olduğuna göre, a

aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 5

19- r B) 5

29- r C) 59- r

D) 5

19r E) 5

21r

.in esas l s tir5

195

9ö çü ür r

5. ,A b53b l noktası birim çember üzerinde olduğuna gö-

re, b nin pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 21 B)

32 C)

43 D)

54 E)

65

Birim çemberin denklemi: x y 12 2+ =

A d Birim çember b b53 1

542

2& & "+ = =b l

6. ,A a31-b l noktası birim çember üzerinde bulunduğu-

na göre, a nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

A) 3

2 3- B) 87- C)

98-

D) 98 E)

119

a a a

a a

31 1

98

32 2

98

-

· -

22

2

1 2

& & "+ = = =

=

b lÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

31

HAFTANIN TESTİ

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

2

7. ( ) ( )m x n y3 1 12 2- + + = denkleminin birim çember

denklemi olması için m n· çarpımı kaç olmalıdır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

m m

n nm n

3 1 4

1 1 00

- &

&$

= =

+ = ==3

8. Aşağıda koordinatları verilen noktalardan hangisi bi-rim çember üzerinde bulunur?

A) (–1, 1) B) (1, –1) C) ,21

21b l

D) ,31

38b l E) ,

51

52 6-c m

, .i in dir51

52 6

251

2524 1- ç + =c m

9. Birim çember üzerinde apsisi, ordinatına eşit olan kaç nokta vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

x x x1212 2 & "+ = =

, ,ve21

21

21

21- -c cm m

olmak üzere 2 nokta vardır.

10. A(2m + 1, 4n – 23) noktası birim çember üzerinde ol-duğuna göre, m + n toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 419- B) 9

2 C) 5 D)

211 E) 6

m

n

1 2 1 1

1 4 23 1

- ≤ ≤

- ≤ - ≤

&

&

+ m

n

m n

1 0

211 6

29 6

- ≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

+

+

11.

O

P

AA´ x

y O merkezli yarım birim çemberde verilenlere göre

A P AP OP-2 2 2+l işle-minin sonucu kaçtır?

A) 2 B) 2 2 C) 3 D) 3 2 E) 4

AO OP OA m APA

A P AP

OP

90

4

1

4 1 3-

2 2

2

&= = =

+ =

=

=

l l c

l

_ i%

12.

O

BC D

AA´ x

y O merkezli yarım birim çemberde

I. OA OC OB= =

II. OA OA OB< <l

III. OB OC OD>=

ifadelerinden hangileri doğrudur?A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve III E) II ve III

I. ve III. ifadeler doğrudur.ÖRNEKTİR

• MUBA YAYIN

LARI

32

H A F TA1. DERS 1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

3.11.1.2.1ÖĞRENME ALANI

Trigonometrik FonksiyonlarSinüs ve Kosinüs Fonksiyonları – 1

Oa

xAT

1P(x,y)

y

y

x

Birim çembere yerleştirilen AOP%

açısının ölçüsü a ol-sun.

AOP%

açısının bitim kolunun çemberi kestiği nokta P(x,y) olsun.

P(x,y) noktasının apsisine a açısının kosinüsü denir ve cosa biçiminde gösterilir.

P(x,y) noktasının ordinatına a açısının sinüsü denir ve sina biçiminde gösterilir.

cos OT xa = =

sin PT ya = =

a gerçek sayısını, cosa ya dönüştüren fonksiyona kosi-nüs fonksiyonu, sina ya dönüştüren fonksiyona sinüs fonksi-yonu denir.

Birim çembere yerleştirilen açının bitim kolunun çemberi kestiği noktanın apsisi o açının kosinüsü olduğundan x ekse-nine kosinüs ekseni, ordinatı o açının sinüsü olduğundan y ek-senine sinüs ekseni, birim çembere de trigonometrik çember denir.

Oa

cosekseni

AT

K P(x,y)

sin ekseni

y

cosa

sina

Birim çember üzerindeki herhangi bir noktanın ap-sis ve ordinatları [–1,1] aralığındadır. Buna göre sinüs ve kosinüs fonksi-yonlarının tanım kümesi R, görüntü kümesi [–1,1] dir.

cos

sin

1 1

1 1

- ≤ ≤

- ≤ ≤

a

a

Kosinüs fonksiyonu

: , , ƒcos cosx x1 1-R$ =^ h6 @

Sinüs fonksiyonu

: , , ƒsin sinx x1 1-R$ =^ h6 @ şeklinde ifade edilir.

UYGULAMA ALANI

1.

Oa

A

P( , )12

32

Şekilde birim çembere yerleştirilen AO∑P açısının bitim ke-

narı çemberi ,21

23c m noktasında kestiğine göre cosα ve

sinα değerlerini sırasıyla bulunuz.

m(AO∑P) = α olup cosα = 21 ve sinα =

23 dir.

ve21

23

c m

2. Birim çember üzerinde 75° lik açının sinüs ve kosinüs değerlerini uzunluk olarak ifade ediniz.

OcosA

B

75º

P

sin

cos

sin

OA

OB

75

75

=

=

c

c

OB ve OA^ h

3. Ölçüsü ,90 180c ch6 arasında olan bir açının sinüs ve kosinüs değerlerini birim çemberde gösteriniz.

asina

cosa

sin

cos

P cos

sin

m AOP olsun

OB

OC

a

a

a

=

=

=

^ h%

,OC OB^ h

4. 5

7r radyanlık açının sinüs ve kosinüs değerlerini tri-gonometrik çember üzerinde gösteriniz.

O A

C

B

P

sin5

7r

cos5

7r5

7r cos

sin

OB

OC

57

57

r

r

=

=. lgIII B eö^ hÖRNEKTİR

• MUBA YAYIN

LARI

33

1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

2. DERS

1.

O Aa

P( ,y)15

m AOP a=^ h%

olan açının

bitim kolu çemberi ,P y51b l

noktasında kestiğine gö-

re, sina kaçtır?

A) 52 B)

54 C)

52 5 D)

52 6 E)

52 3

2.

O A x

y

a

P(– , )12

–§32

m AOP a=^ h%

olduğuna gö-

re, sincos

aa kaçtır?

A) 33 B)

21 C)

32 D)

41 E)

43

3.

O AA´

B´

B

x

yBirim çemberin eksenleri kestiği noktalar A, B, A´ ve B´ dür.

Yukarıda verilenlere göre, sin cos cos sin0 90 180 270+ + +c c c c toplamı kaçtır?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2

1. D 2. A 3. B


Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları – 2

UYGULAMA ALANI

1. ƒ(x) = 3cosx + 2 fonksiyonunun tanım kümesini bulu-nuz.

cosx:R"[–1,1] tanımlı bir fonksiyon olduğundan ƒ(x) in

tanım kümesi R dir.

R^ h

2. ƒ(x) = 2sinx – 3 fonksiyonunun değer kümesini bulu-nuz.

,

sin

sin

sin

x

x

x

x in de er k mesi

1 1

2 2 2

5 2 3 1

5 1

- ≤ ≤

- ≤ ≤

- ≤ - ≤ -

ƒ € ü - -^ h 6 @,5 1- -^ h6 @

3. sin cos25a a+ = eşitliğini sağlayan kaç farklı a açısı

olduğunu bulunuz.

sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının değeri en fazla 1 olabil-

diğine göre, iki fonksiyonun toplamı 25 olamaz. Buna göre

verilen eşitliği sağlayan a değeri yoktur.de eri yok€a^ h

4. ≠a b olmak üzere A = (2 + sina) (1 + cos2b) dır. A nın alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin top-lamını bulunuz.

sin sin

cos cos

sin cos

sin cos

1 1 1 2 3

0 1 1 1 2

2 1 1

2 1 6

1 6 7

- ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤

min

max

2 2

2

2

&

&

a a

b b

a b

a b

+

+

+ + =

+ + =

+ =

^^

^^hh

hh

77

AA

7^ h

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

34

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

2. DERS2. DERS

5. sin cosA 2 3-a b= dır. A nın alabileceği en büyük de-ğer ile en küçük değerin çarpımı kaçtır?

en büyük A = 2 · 1 –3 · (–1) = 5

en küçük A = 2 · (–1) –3 · 1 = –5

çarpımı: 5 · (–5) = –25 tir.

25-^ h

ƒ(x) = a · sina + b · cosa fonksiyonununen büyük değeri : a b2 2+en küçük değeri : .a b dir- 2 2+

6. sin cosx 3 4ƒ -a a=^ h fonksiyonunun alabileceği en büyük ve en küçük değerin farkının mutlak değerini bulunuz.

:

:

en b y k

en k k

3 4 5

3 4 5

5 5 10

ü ü -

üçü - - -

- -

2 2

2 2

+ =

+ =

=

^^^

hhh

10^ h

7. cos sin cos1 4-a b a+ + + işleminin sonucunu bu-lunuz.

.

.

≥cos

sin cos

cos sin cos sin

d r

d r

1 0

4 0

1 4 5

- ›

- - - ›

<

a

b a

a b a b

+

+

+ + =

sin5 - b^ h

8. f örten bir fonksiyon olmak üzere, f : R " A, f(x) = –2sinx + 5 olduğuna göre, A kümesini bulunuz.

f(R) = A dır. –1 ≤ sinx ≤ 12 ≥ –2sinx ≥ –27 ≥ –2sinx + 5 ≥ 33 ≤ f(R) ≤ 7A = [3,7] bulunur.

,3 7^ h6 @

1. sina4 5

13- a =

eşitliğine göre, a nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 42 B) 46 C) 48 D) 52 E) 56

2. cosa x245 11+ =

eşitliğine göre, a nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

3. sinx m2 6-=

olduğuna göre, m nin alabileceği tam sayı değerleri-nin toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1. E 2. B 3. CÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

35

MU

BA

Yay

ınla

rı

1.ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

3. DERS3. DERS


Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

Oa

A(1,0)

tanjant ekseni

T(1, tana)

x

y

Trigonometrik çembere A noktasında teğet olan x = 1 doğ-rusuna tanjant ekseni, çembere yerleştirilen açının bitim kolunun tanjant eksenini kestiği noktanın ordinatına ölçü-sü α olan açının tanjantı denir, tan α ile gösterilir.

tanα = karşı dik kenar uzunluğu

komşu dik kenar uzunluğu dur.

k ∈ Z olmak üzere k2

$a r r= + sayılarının tanjantı tanım-

sızdır. Buna göre α gerçek sayısını tanα ile eşleyen tanjant fonksiyonu:

f : R – ,k k Z2

$ !r r+& 0 ⇒ R , f(x) = tanα şeklinde gösteri-

lir.

Oa

B(0,1)kotanjant ekseniK(cota, 1)

x

y

Trigonometrik çembere B noktasında teğet olan y = 1 doğ-rusuna kotanjant ekseni , çembere yerleştirilen açının bitim kolunun kotanjant eksenini kestiği noktanın apsisine ölçüsü α olan açının kotanjantı denir, cot α ile gösterilir.

cot α = komşu dik kenar uzunluğu

karşı dik kenar uzunluğu dur.

k ∈ Z olmak üzere α = k·r sayılarının kotanjantı tanımsız-dır. Buna göre, α gerçek sayısını cotα ile eşleyen kotanjant fonksiyonu:

f : R – {k·r , k ∈ Z} " R , f(x) = cot α şeklinde gösterilir.

UYGULAMA ALANI

1. : , tanA B x 1ƒ ƒ 2$ a= +^ h fonksiyonu için en geniş B kümesini bulunuz.

,

tan

tan

buna g re B

0

1

-

≤

ö

< <

<2

3 3

3

3

a

a

= h6

,1 3h6

2. Bitim kolu trigonometrik çemberin II. bölgesinde olan bir açının tanjant ve kotanjant değerlerini gösteriniz.

O

a A

K

T

cotatan

cot

tana

B

cos

sin

tan

cot

AT

BK

a

a

=

=

3. Bitim kolu birim çemberin III. bölgesinde olan bir açı-nın tanjant ve kotanjant değerlerini gösteriniz.

O A

P

tan

cotB K T

cos

sin

a

tan

cot

AT

BK

a

a

=

=

4. 300° lik açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant de-ğerlerini trigonometrik çember üzerinde gösteriniz.

OAC

ST

cotatan

cot

tana

BK

cos

sin

a

sina

cosa

cos

sin

tan

cot

OC

OS

AT

BK

a

a

a

a

=

=

=

=ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

36

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

TRİG

ON

OM

ETR

İ

4. DERS3. DERS

1. Değer aralığı en geniş olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

A) ƒ(a) = sina

B) ƒ(a) = 3cos (a + r)

C) ƒ(a) = 2sin 5

3 1-ab lD) ƒ(a) = tana

E) ƒ(a) = cosa + sina

2. tanA ve3 02

≤ <2a a r= +^ h olduğuna göre, A gerçek sayısının en küçük değeri

kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

3.

O A

By=1 C

x

y

a

O merkezli birim çemberde verilenlere göre, boyalı böl-genin alanı kaç birimkaredir?

A) 1 B) tana C) cota D) sina E) cot21 a

4. cotA 121 2a= +

eşitliğini sağlayan A gerçek sayılarının en geniş de-ğer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) ,0 3h6 B) ,5 3h6 C) ,7 3h6 D) ,11 3h6 E) ,11 11-6 @

1. D 2. C 3. E 4. D


Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

Oa x

y

A

B

A›

B›

F

E

P

Birim çembere yerleştirilen ölçüsü α olan açının bitim kena-rının çemberi kestiği P noktasından çembere çizilen teğet x eksenini E, y eksenini de F noktasında kessin. E noktasının apsisine α açısının sekantı denir ve secα şeklinde gösteri-lir. F noktasının ordinatına da α açısının kosekantı denir ve cosecα ile gösterilir.

B ve Bı noktalarında sekant değeri tanımsız olacağından α gerçek sayısını secα ile eşleyen sekant fonksiyonu:

f : R – ,k k Z2

$ !r r+& 0 " R, f(x) = sec α =

cos1a

A ve Aı noktalarında kosekant değeri tanımsız olacağından α gerçek sayısını cosecα ile eşleyen kosekant fonksiyonu:

f : R – {k·r , k ∈ Z} " R , f(x) = cosecα = sin

1a

şeklinde gösterilir.

UYGULAMA ALANI

1. [0,360°) aralığında sekantı tanımsız olan açıların ölçü-lerini bulunuz.

seccos

1aa

= olduğundan ve90 270a a= =c c değerleri

için seca tanımsızdır.(90°, 270°)

2. ,0 360ch6 aralığında kosekantı tanımsız olan açıların öl-çülerini bulunuz.

cosecsin

1aa

= olduğundan ve0 180a a= = c değerleri

için coceca tanımsızdır.(0°, 180°)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

37

MU

BA

Yay

ınla

rı

1.ÜN

İTE / TR

İGO

NO

ME

TRİ

4. DERS4. DERS

3. Sekant fonksiyonu, kosinüs fonksiyonunun çarpma işlemine göre tersi olduğuna göre, ƒ(a) = seca fonk-siyonunun değer aralığını bulunuz.

: , ,

cos

sec

sec n n de er aral

1 1

1 1 1

1 1

- ≤ ≤

- ≤ ≤

› € ›€› - - ,3 3

a

a

a ^ h6@, ,1 1- - ,3 3^^ hh6@

4. Kosekant fonksiyonu, sinüs fonksiyonunun çarp-ma işlemine göre tersi olduğuna göre, g(x) = coseca fonksiyonunun değer aralığını bulunuz.

: , ,

sin

sec

sec

co

co n n de er aral

1 1

1 1 1

1 1

- ≤ ≤

- ≤ ≤

› € ›€› - - ,3 3

a

a

a ^ h6@, ,1 1- - ,3 3^^ hh6@

5. sec53a =

eşitliğini sağlayan kaç farklı a değeri olduğunu bulunuz.

, , .secoldu undan olamaz

53 1 1

53- - €,3 3g a =^ h6@

(yoktur)

6. Tanımlı olduğu değerler için

A = 1 + sec2a ifadesinin alabileceği en küçük değerini bulunuz.

,sec secen k k

en k k A

1 1

1 1 2

üçü

üçü

2a a= =

= + =

(2)

1. cosec51a = denkleminin çözüm kümesinin eleman

sayısı kaçtır?

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

2. Coseca aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?

A) –13 B) 23- C)

54 D)

27 E) 21

3. Tanımlı olduğu değerler için,

secA 4 25

2 a r= + +a k ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 5 B) 2

11 C) 6 D) 2

13 E) 7

4.

O

P

E

F

x

y

a

m EOP a=^ h% ve EF6 @, O merkezli birim çembere P nokta-

sında teğettir.

Buna göre, boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) sec21 a B) cosec

21 a C) sec cos·a a

D) sin cos·a a E) sec cosec21 ·a a

1. E 2. C 3. C 4. E

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

1409-ket-serisi-11-matematik-defter-kitap...12 mu ba yayınları 1. Ünİte trİgonometrİ 3. ders...

Documents