1.4.1 流体的粘性和牛顿粘性定律（ 1 ）牛顿粘性定律

1.4 流体流动阻力

速度分布（速度侧形）：速度沿距离的变化关系。

uF

0x

u=0y

Y

du

dy

平板间的流体剪应力与速度梯度

平板间的流体剪应力与速度梯度

dy

du 牛顿粘性定律：

实测发现：Y

u

A

F

意义：剪应力的大小与速度梯度成正比。 描述了任意两层流体间剪应力大小的关系。

（ 2 ） 流体的粘度

① 　物理意义

dydu

—— 动力粘度，简称粘度

② 　单位

SI 单位制 ： Pa· s ( N · s /m2)

物理单位制 ： P( 泊 ), 达因 · 秒 / 厘米 2

cP( 厘泊 )

换算关系： 1cp=0.01 P=10-3 Pa · s=1 mPa · s

单位： 1St = 1cm2/s = 100cSt = 10-4m2/s

③ 　运动粘度

m2/s

(3) 影响因素

① 液体

粘度随温度升高而降低，压力影响很小。

② 气体

粘度随温度升高而增大，压力影响很小。

但在极高压力下，随压力增加有所增加；而在压力极低情况

下也要考虑压力的影响。 （ 4 ） 数据来源

各种流体的粘度数据，主要由实验测得。

在缺少粘度实验数据时，可按理论公式或经验公式估算粘度。对于压力不太高的气体，估算结果较准，对于液体则较差。

(5) 混合物的粘度

按一定混合规则进行加和

对于分子不聚合的混合液可用下式计算

iim x loglog

常压下气体混合物的粘度，可用下式计算

5.0

5.0

My

My

i

iim

说明：不同流体的粘度差别很大。例如： 在压强为 101.325kPa 、温度为 20℃的条件下，空气、水和甘油的动力粘度和运动粘度分别为： 空气 ＝ 17.9×10-6 Pa s ， ν ＝ 14.8×10 -6 m2/s

水 ＝ 1.01×10 -3 Pa s ， ν ＝ 1.01×10 -6 m2/s

甘油 ＝ 1.499Pa s ， ν ＝ 1.19×10 -3 m2/s

dy

du

dy

dua

（ 6 ）流体类型

① 　牛顿型流体：符合牛顿粘性定律的流体。

气体及大多数低分子量液体是牛顿型流体。

② 非牛顿型流体

a—— 表观粘度，非纯物性 , 是剪应力的函数。

Ⅰ 假塑性流体：表观粘度随速度梯度的增大而减小。 几乎所有高分子溶液或溶体属于假塑性流体。 Ⅱ 胀塑性流体：表观粘度随速度梯度的增大而增大。 淀粉、硅酸盐等悬浮液属于胀塑性流体。

Ⅲ 粘塑性流体：当应力低于 τ0 时，不流动；当应力高于 τ0 时，流动与牛顿型流体一样。 τ0 称为屈服应力。

如纸浆、牙膏、污水泥浆等。

Ⅳ 触变性流体：表观粘度随时间的延长而减小，如油漆等。

Ⅴ 粘弹性流体：既有粘性，又有弹性。当从大容器口挤出时，　挤出物会自动胀大。

如塑料和纤维生产中都存在这种现象。

0 d u /d y

τ粘塑料流体

假塑料流体

胀塑料流体

C

B

A

D

A - 牛顿流体； B - 假塑性流体；C - 宾汉塑性流体； D - 胀塑性流体；

牛顿流体与非牛顿流体剪应力与速度梯度的关系

1.4.2 流体流动的类型 --- 层流及湍流（ 1 ）雷诺实验 1883 年 , 英国物理学家 Osbone Reynolds 作了如下实验。

DB

A

C

墨水流线

玻璃管

雷诺实验

（ 2 ）雷诺实验现象

两种稳定的流动状态：层流、湍流。

用红墨水观察管中水的流动状态

(a)

层流

(b)

过渡流

(c)

湍流

湍流： 主体做轴向运动，同时有径向脉动； 特征：流体质点的脉动 。

层流： * 流体质点做直线运动； * 流体分层流动，层间不相混合、不碰撞；

* 流动阻力来源于层间粘性摩擦力。

过渡流： 不是独立流型（层流 + 湍流）， 流体处于不稳定状态（易发生流型转变）。

（ 3 ）实验分析

dGdu

ud Re、、、

0003

Re TML

LT

ML

M

T

LL

du

① 　影响状态的因素：

Re 是量纲为一数群

② 　圆形直管中 Re≤2000 稳定的层流

Re ≥4000 稳定的湍流

2000＜ Re ＜ 4000 不稳定的过渡流

（ 1 ）剪应力分布

rlrprp 222

21

)(2 21 ppl

r

1.4.3 直圆管内流体的流动

稳态流动 :

整理得： —— 适用于层流或湍流

l

d

rR

uy τ

流体在圆管中速度分布曲线的推导

p1 p2

h1 h2

)(2 21max ppl

R

管中心）(0r

管壁）(Rr

0

剪应力分布

τmax

)(2 21 ppl

r

dr

dur rdrppl

dur )(2

121

0, ruRr )(4

2221 rRl

ppur

（ 2 ） 层流的速度分布

流体在圆管内分层流动示意图

可见，层流流动的速度分布为一抛物线；

壁面处速度最小， 0

管中心处速度最大

)1(4 2

2221

R

rR

l

ppur

221max 4

Rl

ppu

或

Re ≤2000

u

umax d

层流时流体在圆管中的速度分布

rdruR

dAuA

u rrav

211

2

max2

1uuav

221

8R

l

pp

0.2218

3

0

2

23

3

rdrR

r

RSu

dsu R

av

r

](1[ 2max ）

R

ruur

因此

动能校正因子：

max ① uuav和

说明：圆管内层流流动时的几个重要关系

② 壁面剪应力与平均流速间的关系

dl

pppp

l

Rw 4

)(2

2121

d

u

R

u avavw

84

221

8R

l

ppuav

故：

（ 3 ） 湍流时的速度分布和剪应力 ① 湍流描述 主要特征：质点的脉动

瞬时速度 = 时均速度 + 脉动速度

'AAA uuu

dy

due )(

—— 涡流粘度，与流动状态有关 。

湍流时 Au

'Auu

Ot

tC

点 A处流体质点的速度脉动曲线示意图

e

Re≥4000umax

ur

u

r

R

d

湍流时流体在圆管中的速度分布

nr

R

r

u

u)1(

max

)( eRfn

82.0max

u

uav

较常见的情况，当 Re处于 1.1×105~3.2×106之间时，

指数

7

1n

此时 1动能校正因子

获得方法：实测、经验公式② 速度分布

u/u m

ax

Re

Remax

106105104103102 107

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

106105104103102 107

通常可取 8.0max

u

uav 精确计算时，利用下图。

横坐标：maxu

u

ee RR 或max,纵坐标：

求平均流速的方法 :

① 　速度分布未知S

qu V

（层流）max5.0 uu

（湍流）max8.0 uu

② 　速度分布已知

1.4.4 边界层概念（ 1 ）流动边界层　①　边界层的形成条件

流动；实际流体；流过固体表面。

　② 形成过程流体流经固体表面；由于粘性，接触固体表面流体的流速为零 ；附着在固体表面的流体对相邻流层流动起阻碍作用，使其流速下降；对相邻流层的影响，在离开壁的方向上传递，并逐渐减小。 最终影响减小至零，当流速接近或达到主流的流速时，速度梯度减少至零。

u ∞ u ∞ u ∞

层流边界层 湍流边界层

层流内层

A

x0

δ

平板上的流动边界层

u ∞ u ∞ u ∞

层流边界层 湍流边界层

层流内层

A

x 0

δ

平板上的流动边界层

③ 　流动边界层

流体的速度梯度主要集中在边界层内，边界层外，

向壁靠近，速度梯度增大；

湍流边界层中，速度梯度集中在层流底层。

0dy

du

④ 　流动边界层的发展

平板上：流体最初接触平板时， x=0 处， u0=0;δ=0 ；随流体流动， x 增加， δ增加（层流段）；随边界层发展， x 增加， δ增加。质点脉动，由层流向湍流过渡，转折点距端点处为 x0 ；

充分发展： x ＞ x0 ，发展为稳定湍流。

u ∞ u ∞ u ∞

层流边界层 湍流边界层

层流内层

A

x 0

δ

平板上的流动边界层

5.0)(Re

64.4

xx

5.0x

)(Re

376.02.0

xx

8.0x

65 102~105Re

xu

x

层流：

湍流：

转折点：

边界层厚度 δ 随 x 增加而增加

u∞ u∞ u∞

层流边界层 湍流边界层

层流内层

A

x0

δ

平板上的流动边界层

u∞u u∞ ∞u u∞

x0δ δ δ

d

圆管进口处层流边界层的发展

圆形管中：

测量点必须选在进口段 x0 以后，通常取 x0 =（ 50-100） d0

Re0575.00 d

x

x0以后为充分发展的流动。

层流时

湍流时

不管层流还是湍流，边界层厚度等于圆管半径。

完全发展了的流动：

(a ）当流速较小时

流体贴着固体壁缓慢流过 (爬流 ) 。

⑤ 　流动边界层的分离

流体绕固体表面的流动。

(b) 流速不断提高，达到某一程度时，边界层分离 。

BA 0/ xpppuu BAB 、减小至、增加至

0/ xpppuu CBCB 、增加至、减小至CB

流体流过单球体

(c) 边界层分离的条件

▲ 逆压梯度 ▲ 壁面附近的粘性摩擦

(d) 边界层分离对流动的影响

边界层分离→大量旋涡→消耗能量→增大阻力。 由于边界层分离造成的能量损失，称为形体阻力损失。 边界层分离使系统阻力增大。

(e) 减小或避免边界层分离的措施改变表面的形状，如汽车、飞机、桥墩都是流线型。

时，发生分离12~10

x

x

p

1.4.5 流体流动阻力计算（ 1 ）流体阻力的表示方法

对应于机械能衡算的三种形式，流体阻力损失亦有三种表达形式：

R

g

Rh f

Rp f

阻力损失与压力差的区别：

△pf —— 流体流经两截面间的机械能损失；

△p —— 任意两点间的压力差。

kJ/kg

m

Pa

二者之间的关系：

fe pu

zgWp 2

2

fpp

管路中的流动阻力 = 直管阻力 + 局部阻力

直管阻力：由于流体和管壁之间的摩擦而产生；

局部阻力：由于速度的大小或方向的改变而引起。

时：当 000 uzWe

即：水平、等径直管，无外功加入时，两截面间的阻力损失

与两截面间的压力差在数值上相等。

（ 2 ） 圆形直管内的阻力损失

在 1-1 和 2-2截面之间列机械能衡算式：

u p1 p2

1

1

2

2

F

Fd

d

直圆管内阻力公式的推导

fpu

pgzu

pgz 22

22

22

21

11

① 直圆管内阻力计算公式推导

2121 uuzz 因 fppp 21所以

流体柱受到的与流动方向一致的推动力：

221 4)( dpp

流体柱受到的与流动方向相反的阻力：

dl流体恒速流动时：

dldpp 2

21 4)(

又：

fppp 21

g

u

d

lh f 2

2

2

2u

d

lp f

J/kg

m

Pa

2

2u

d

lR 范宁公式：

② 范宁公式

计算流体流动阻力的一般公式

所以d

lp f 4

　　 ①　层流时的摩擦系数及 Hangen-Poiseuille方程

eRdu

u

u

6464822

d

u 8

2

32

d

lup f

2

8

u 摩擦系数：

（ 3 ） 摩擦系数

—— Hangen-Poiseuille方程

② 湍流条件下的摩擦系数 影响因素复杂，一般由实验确定。影响因素： 几何尺寸及形状； 表面情况 ； 流体的物性，如 密度，粘度等； 流速的大小。 利用量纲分析法可以得到：

),(d

Re

粗糙度—式中：

相对粗糙度—d

摩擦系数 λ 与 Re、 ε/l 关系图

0.1

0.01

0.03

0.02

0.07

0.06

0.05

0.04

0.09

0.08

0.008

0.009

102 104 107106105103

0.01

0.05

0.02

0.015

0.03

0.04

0.008

0.0045

0.002

0.0008

0.006

0.0006

0.001

0.0004

0.0002

0.0001

0.00005

0.00001

λ

Re

e/l

根据实验，得到莫狄（Moody）摩擦系数图。

③ 摩擦系数与雷诺数和相对粗糙度的关系

层流区 Re≤2000

过渡区 2000＜ Re≤4000

)( eR

)(d

),(d

Re

),(d

Re

22

2u

u

d

lR

（阻力平方区）

不完全湍流区

完全湍流区

湍流区 Re＞ 4000

④ 摩擦因子变化规律分析 粗糙度对 λ 的影响： 层流时：绕过突出物，对 λ无影响。 湍流时： ◆ 当 Re 较小时，层流底层厚，形体阻力小，突出物对 λ 的 影响小； ◆ 当高度湍流时，层流底层薄，突出物充分暴露，形成 较大的形体阻力，突出物对 λ 的影响大。

⑥　非圆直管中流动阻力

润湿周边长度流通截面积

4

edL

S4 )(4 水力半径Hr

几种常见非圆管的当量直径 1）矩形流道

ba

ab

ba

abde

2

)(24

dDdD

dDde

)(

)()4(4

22

例如： Blasuis 公式 25.0Re

3164.0

⑤ ⑤ 用公式求取摩擦系数用公式求取摩擦系数610Re2500 光滑管条件：

a

b

矩形流道

D

d

环形流道

2）环形流道

（ 4 ） 局部阻力 流体流经管件、阀门、测量接口、管进出口段的阻力

产生原因：形体阻力；

确定方法：实验，归纳出经验公式。

3）三角形流道的当量直径

d

dtde

21

)84

3(4 22

d

dt

2232

de

t

式中 ： le —— 当量长度

Le 及的获得：实验，见有关资料。

2

2u

d

lR e

2

2uR

0.1

5.0

式中 ： ----局部阻力系数

1 ）当量长度法

2 ）局部阻力系数法

突然缩小

特例：突然扩大

① 等径管总阻力计算

2)(

2u

d

llR e

g

u

d

llh e

f 2)(

2

2)(

2u

d

llp e

f

（ 5 ）系统的总阻力

系统总阻力 = 系统各直管阻力 +局部阻力

FIC

P1

P2

1 1

2 2

0 Cucc 选在管口外，

管道内流速选在管口内， Cucc

② 变径管总阻力计算

变径管 d 、 u 、 λ不同，需分段计算阻力例：

BCABAC RRR其中，

2

2A

A

ABAAC

u

d

lR

25.0

2Cu

2

)(2

21C

C

BCC

u

d

l

ACCC

CeAA

A Rup

gzWup

gz 22

2

1

2

1

2

2A

A

ABAAC

u

d

lR

2)0.1(

2

21C

C

BCC

u

d

l

A

A

B

BCC

1.4.6 量纲分析

流动阻力 ),,,,,( dlufp f

量纲分析方法：减少实验工作量、实验结果推广应用。

一般实验方法：实验量大、实验结果不能推广应用；

（ 1 ）量纲分析的理论基础：物理方程中的各项都具有相同的量纲

即量纲一致的原则。（ 2 ）定理 mnN

N — 量纲为一数群的个数；

n — 物理量的个数；

m — 表达物理量的基本量纲数。

LdlL

M

LT

M

T

Lu

LT

M

m

smkg

m

Np f

;;

;;/.

3

22

2

2

流动阻力 ),,,,,( dlufp f

表示成为幂函数 qjicbaf dlKup

（ 3 ）量纲分析方法

;LLLL

M

LT

M

T

L

LT

M qji

c

3

ba

2

n=7 m =3 则 N =4

若设b、 q、 i为已知，则：

欧拉数

；；

dd

lfEu

d

du

d

lK

u

p

udd

lduKp

dlKup

qibjbcba

qbif

qib

f

qqibibbbf

Re,,

12

2

2

12

ba2:T

;qjic3ba1:L

;cb1:M

Re 和 Eu 的物理意义：

剪切力惯性力

du

Re惯性力摩擦力

2

f

u

pEu

关于量纲分析法的几点说明：

* 无量纲数群的组合不唯一；

* 建立在对过程的基本分析基础上；

* 目的在于确定过程与哪些无量纲数群相关，

具体函数关系由实验获得；

* 减少了影响过程的变量数， 减少了实验工作量。