15 campo rotante
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Campo magnetico rotante
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 17-3-2006)
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Definizione
● Campo magnetico rotante = campo magnetico avente intensitàcostante e direzione che ruota attorno ad un asse con velocitàangolare costante ω
● Un campo magnetico rotante può essere prodotto facendo ruotare con velocità angolare costante un magnete permanente o un solenoide percorso da corrente costante
● E’ possibile generare un campo magnetico rotante anche mediante un insieme di avvolgimenti fissi, opportunamente disposti e percorsi da correnti sinusoidali opportunamente sfasate tra loro
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Campi controrotanti
● Solenoide percorso da una corrente sinusoidale
● Si considera il campo in un punto P dell’asse del solenoide
● Il campo magnetico ha direzione assiale e varia con legge sinusoidale
● Il campo magnetico può essere scomposto nella somma di due vettori di modulo HM/2 che ruotano, uno in senso opposto all’altro, con velocitàangolare ω attorno al punto P in un piano passante per l’asse del solenoide Hd = campo diretto rotazione in senso orario
Hi = campo inverso rotazione in senso antiorario
)cos()i( tIt M ω=
)cos()H( tHt M ω=
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Campi controrotanti
● Una rotazione in ritardo di un angolo α della fase della corrente produce rotazioni di un angolo α, in senso opposto tra loro, dei campi Hd e Hi
)cos()i( tIt M ω=
)cos()i( α−ω= tIt M
MH=)0H(
α= cos)0H( MH
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Campo magnetico rotanteprodotto da due correnti in quadratura
● Si considerano due solenoidi identici, posti alla stessa distanza dal punto P
● Agendo sulle fasi delle correnti e sull’orientamento dei due sole-noidi è possibile fare in modo che essi producano nel punto P
campi diretti in fase tra loro
campi inversi in opposizione
● In pratica occorre
che la corrente del secondo solenoide sia in quadratura in ritardo rispetto alla corrente del primo
che l’asse del secondo solenoide sia ruotato in senso orario di 90° rispetto all’asse del primo
I campi inversi si elidono, mentre i campi diretti si sommano
Viene generato un campo magnetico rotante
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Campo magnetico rotanteprodotto da due correnti in quadratura
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ω=
ω=
2cos)(i
)cos()(i
2
1
tIt
tIt
M
M
021 =+ ii ΗΗ
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Campo magnetico rotante prodotto da un sistema di correnti trifase
● In alternativa si può ottenere un campo rotante mediante tre solenoidi identici
ciascuno avente l’asse ruotato di 120° in senso orario rispetto al precedente
percorsi da una terna equilibrata diretta di correnti trifase
● Per i campi diretti, gli effetti della rotazione del solenoide e della rotazione della fase si compensano
I campi diretti si sommano
● I campi inversi formano una terna simmetrica
i campi inversi si elidono
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Campo magnetico rotante prodotto da un sistema di correnti trifase
( )( )π+ω=
π−ω=
ω=
32
3
32
2
1
cos)(i
cos)(i
)cos()(i
tIt
tIt
tIt
M
M
M
9
Struttura di una macchina rotante
δ>>δ>>
R
S
R
R
2RS
RS
RRRRR
+=≅≅
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Struttura di una macchina rotante
● Lo statore e il rotore sono costituiti da lamierini di materiale ferroma-gnetico sovrapposti
● I lamierini hanno forma di corona circolare e recano una serie di cave nelle quali hanno sede gli avvolgimenti
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Avvolgimenti di statore
● La corona di statore viene divisa in un numero pari 2p di settori polip = numero di coppie polari
= lunghezza del tratto di traferro corrispondente ad un polopasso polare
● Ciascun settore è suddiviso a sua volta in m parti corrispondenti alle fasi dell’avvolgimento (m = 3 per una macchina trifase)
● Ciascuno di questi settori contiene q cave
q = numero di cave per polo per fase
● L’avvolgimento è formato da spire aventi due lati rettilinei (lati attivi) paralleli all’asse della macchina
● I lati attivi di una spira attraversano due cave poste alla distanza di un passo polare
● Attraverso ciascuna cava viene fatto passare uno dei lati attivi di n spire
n = numero di conduttori per cava
p
R
2
2π=τ
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Avvolgimenti di statore
● L’avvolgimento è formato da matasse costituite da n spire
● Ciascuna matassa viene collocata inserendo i suoi lati attivi in due cave che occupano la stessa posizione in due poli adiacenti
● Tutte le matasse che costituiscono l’avvolgimento di una fase vengono collegate in serie tra loro
● Numero di spire per fase:NS = pqn
● Numero di conduttori per fase:N = 2pqn
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Avvolgimenti di statore
p = 2
m = 3
q = 4
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Avvolgimenti di statore
Avvolgimento della prima fase
Rotore
Statore
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Avvolgimenti di statore
Avvolgimento completo
Statore
Rotore
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Ipotesi sul campo magnetico
● La permeabilità del ferro può essere considerata infinita
H può essere considerato nullo all’interno del ferro
Per la condizione di interfaccia, la componete tangente di H sulle superfici che delimitano il traferro deve essere nulla
● La distribuzione del campo magnetico è identica in tutti i piani perpendi-colari all’asse della macchina
Si trascurano gli effetti di bordo in prossimitàdelle estremità assiali dello statore e del rotore
● Nel traferro l’andamento delle linee di campo è radiale
Si ritengono trascurabili gli effetti dovuti alladeformazione delle linee di campo in pros-simità delle cave
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Campo generato da una fase con una cava per polo
● Si considerano inizialmente solo i conduttori che occupano la prima cava sotto ogni polo
● Dato che lo spessore del traferro è molto piccolo si può trascurare la curvatura delle superfici dello statore e del rotore
● L’insieme dei conduttori di una cava viene rappresentato come un unico conduttore percorso da una corrente ni(i = corrente nell’avvolgimento)
Statore
Rotore
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Campo generato da una fase con una cava per polo
● Si applica la legge della circuitazione magnetica alle linee Γ1 Γ2 Γ3 Γ4
● Sia assume come verso positivo per H quello diretto dal rotore allo statore
● I tratti all’interno del ferro danno contributo nullo
● Dato che δ è molto piccolo si può ritenere H costante nei tratti di linea che attraversano il traferro
Statore
Rotore
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Campo generato da una fase con una cava per polo
Sotto ogni polo il campo è costante
Il campo assume a poli alterni i due valori e H′ e H″
niHH
HH
niHH
HH
=δ−δΓ
=δ−δΓ=δ−δΓ
=δ−δΓ
EA
DA
CA2
BA
:
0:
:
0:
4
3
1
δ=−
=====
niH"H'
H"HH
H'HHH
EC
DBA
Statore
Rotore
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Campo generato da una fase con una cava per polo
● Per determinare i valori di H′ e H″ occorre un ulteriore vincolo
● Si utilizza la legge della solenoidalità dell’induzione magnetica
● Si considera una superficie cilindrica che racchiude il rotore
● Il flusso attraverso le basi del cilindro è nullo se si trascurano gli effetti di bordo
Deve essere nullo il flusso attraverso la superficie laterale
000 =τμ+τμ H"plH'pl
δ=−
−=ni
H"H'
H"H'
δ−=
δ=
2
2ni
H"
niH'
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Campo generato da una fase con una cava per polo
Andamento del campo magnetico
22
Campo generato da una fase
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Campo generato da una fase
● I conduttori nelle altre cave generano campi con andamento identico a parte uno spostamento pari a τC (passo di cava)
● Sovrapponendo i contributi si ottiene un andamento a gradini che, se il numero di cave è abbastanza grande, si può approssimare con una sinusoide, cioè
avendo posto l’origine in uno dei punti in cui H(x) è massima (punto centrale della fase)
● L’ampiezza della sinusoide vale
= ampiezza della prima armonica del campoprodotto da una fase con una cava per polo
ka = fattore di avvolgimento (ka < 1) che tiene conto degli sfasamenti tra i contributi dei conduttori posti in cave diverse
δπ=
niHM
21
1MaMT qHkH =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τπ
=x
Hx MT cos)H(
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Campo magnetico pulsante
● Si assume che la corrente nella fase sia sinusoidale
● Espressione del campo
● In ogni punto del traferro il campo varia nel tempo con legge sinusoidale
● L’ampiezza dell’oscillazione varia a sua volta con legge sinusoidale al variare del punto lungo il traferro
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τπ
ω=x
tHtx MM cos)cos(),H(
)cos()i( tIt M ω=
MaMM Inq
kHδπ
=2
25
Campo magnetico pulsante
● L’ampiezza dell’oscillazione è nulla per x = (2k + 1) τ/2
● L’ampiezza è massima (pari ad HMM) per x = kτ
,1,0=k
(k intero)
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Campi controrotanti
● Il campo pulsante può essere scomposto nella somma di due campi controrotanti
● Il primo termine (campo diretto) si muove nel senso delle x crescenti
● Il secondo (campo inverso) si muove nel senso delle x decrescenti
● Per entrambi la velocità è
444 3444 21444 3444 21),(H
cos2
1
),(H
cos2
1
cos2
1cos
2
1
cos)cos(),H(
tx
v
xtH
tx
v
xtH
xtH
xtH
xtHtx
i
MM
d
MM
MMMM
MM
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +ω+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ω=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τπ
+ω+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τπ
−ω=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τπ
ω=
πωτ
=v
27
Campi controrotanti
28
Campi controrotanti
● La velocità angolare dei campi controrotanti è legata alla pulsazione della corrente dalla relazione
● Quindi il numero di giri al minuto è
f = frequenza della corrente =
pRR
vC
ω=
πωτ
==ω
fp
n CC
60
2
60=ω
π=
6005
7504
10003
15002
30001
Giri al minuto
Coppiepolari
f = 50 Hz
πω2
29
Campo generato da un avvolgimento trifase
● Si assume che le correnti nelle tre fasi costituiscano una terna diretta equilibrata
● Tenendo conto delle fasi delle correnti introducendo in H2 e H3 gli sfasamenti necessari per spostare l’origine nel centro della prima fase, i campi delle tre fasi diventano
( )( )π+ω=
π−ω=
ω=
32
3
32
2
1
cos)(i
cos)(i
)cos()(i
tIt
tIt
tIt
M
M
M
( )( ) ( )( ) ( )π+π+ω=
π−π−ω=
ω=
τπ
τπ
τπ
32
32
3
32
32
2
1
coscos),(H
coscos),(H
cos)cos(),(H
xtHtx
xtHtx
xtHtx
MM
MM
MM
30
Campo generato da un avvolgimento trifase
● Si scompone ciascuno dei campi delle tre fasi nella somma di un campo diretto e un campo inverso
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
4444 34444 21444 3444 21
4444 34444 21444 3444 21
444 3444 21444 3444 21
),(H
cos
),(H
cos
coscos),(H
),(H
cos
),(H
cos
coscos),(H
),(H
cos
),(H
cos
cos)cos(),(H
3
34
21
3
21
32
32
3
2
34
21
2
21
32
32
2
1
21
1
21
1
tx
xtH
tx
xtH
xtHtx
tx
xtH
tx
xtH
xtHtx
tx
xtH
tx
xtH
xtHtx
i
MM
d
MM
MM
i
MM
d
MM
MM
i
MM
d
MM
MM
π++ω+−ω=
=π+π+ω=
π−+ω+−ω=
=π−π−ω=
+ω+−ω=
=ω=
τπ
τπ
τπ
τπ
τπ
τπ
τπ
τπ
τπ
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Campo generato da un avvolgimento trifase
● I campi inversi formano una terna simmetrica
hanno risultante nullo
● I campi diretti sono in fase tra loro
Il campo risultante è dato dalla somma dei tre campi diretti
0),(H),(H),(H 321 =++ txtxtx iii
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τπ
−ω=++= xtHtxtxtxtx Mddd cos),(H),(H),(H),H( 321
Inq
kInq
kHH aMaMMM δπ=
δπ==
233
2
3
(I = valore efficace delle correnti)
32
F.E.M. indotta in una fase dal campo rotante
● Si considera una spira di larghezza pari al passo polare collocata sullo statore
● Il flusso dovuto al campo rotante concatenato con la spira varia con legge sinusoidale
● Il valore massimo coincide con il flusso del campo magnetico attraverso la superficie di un polo (flusso per polo ΦP)
33
F.E.M. indotta in una fase dal campo rotante
● Il flusso per polo vale
valore medio di B in un polo
τμπ
=τπ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τπ
πτ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τπ
=Φτ
τ−
τ
τ−∫ lHlBxBlldxxB MMMMP 0
2/
2/
2/
2/
22sencos
=π MB2
34
F.E.M. indotta in una fase dal campo rotante
● La forza elettromotrice indotta in una spira (ideale) avente il centro coincidente con il centro della fase (spira centrale) vale
● La forza elettromotrice indotta nelle spire di una fase che occupano una coppia di poli adiacenti vale
Ep è in fase con la f.e.m. indotta nella spira centralela sua ampiezza è inferiore alla somma delle ampiezze delle f.e.m.indotte nelle spire perché le f.e.m. di spire poste in cave diverse non sono in fase tra loro
il fattore di avvolgimento ka è lo stesso che compare nell’espressione del campo magnetico
● La forza elettromotrice totale indotta in una fase si ottiene sommando i contributi di tutte le coppie polari (che sono in fase tra loro)
PΦω−= je
PP Φω−== qnkjqnk aa eΕ
PP Φω−=Φω−== SaaP NkjpqnkjpEΕ