15.1 Silindirik Çubuklarda Burulma 243 15.2 Kayma Gerilmesi Birim Dönme Açısı 244 15.3 Boyutlandırma 246 Örnekler 247 15.4 Şekil Değiştirme Enerjisi 249 15.5 Güç Aktarım (Transmisyon) Milleri 249 Örnek 250 15.6 Kapalı ve Açık, İnce Halka Kesitler 251 Örnek 253 PROBLEMLER 255

15.1 SİLİNDİRİK ÇUBUKLARDA BURULMA

Burulma momentinin etkidiği bir çubukta gerilme hesabı tamamen kesit geometrisine bağlıdır. Bu bölümde sadece gibi silindirik çubukların burulması incelenecek. Dairesel kesitli olmayan çubuklarda oluşan çar-pılma olayı bu kitabın kapsamı dışındadır. Burulma momenti etkisiyle kesitlerde kayma gerilmeleri oluşur.

BİRİM DÖNME VE KAYMA AÇISI: Silindirik burulma çubuğunda oluşa-cak şekil değiştirmeyi ifade etmek için kullanılan BernouilliEuler varsa-yımına göre, çubuk eksenine dik kesitler, burulma sonrası hem düzlem kalırlar, hem de rijit bir levha gibi çubuk ekseni etrafında dönerler. Ayrı-ca kesitin dönme açısı zΩ , z koordinatının doğrusal bir fonksiyonudur. Şekil değiştirme öncesi çubuk eksenine paralel duran Şekil (15.1a) daki

ab ipçiği, burulma momentinin etkisiyle bir yay elemanı biçimi alarak ab¢ olur. O zaman birim dönme açısı,

d

dz sabit

z

= = (15.1)

olur. Birim olarak genellikle [1/cm] kullanılır. Bu durumda Şekil (15.1b) den yararlanarak, açı değişimi yaklaşık olarak,

dbb

dab

zr

z

¢@ = r = (15.2)

Burada birim kayma açısıdır.

KAYMA GERİLMESİ DAĞILIMI: Şekil (15.2) deki burulma çubuğunda çubuk ekseni ile z ekseni aynı olup, tüm kesitlerde burulma momenti,

z bM M sabit= = (15.3)

tir. Daire kesitli burulma çubuğunun kesiti Şekil (15.3) de görülmektedir. Kesite etkiyen burulma momenti bM ile, ),(O yx başlangıcına r kadar

uzaklıktaki bir diferansiyel alan elemanı Ad da bunun sebep olacağı kay-ma gerilmesi arasındaki ilişki, çubuk ekseni doğrultusunda yazılacak moment denge denkleminden,

dbA

M r A=ò (15.4)

olur. Şekil (15.3) de görüldüğü gibi kayma gerilmesi kesit düzlemi içinde olup, radyal doğrultuya diktir. O nedenle sınırlarda kayma gerilmesi kesit çevresine teğettir.

15. BURULMA 245

Kesit Dönmesi: Şekil (15.5) de görüldüğü gibi, birbirlerinden L kadar uzaklıkta olan A ve B kesitlerinden birinin öbürüne göre dönmesi

dAB zΩ Ω= ò yi bulmak için, (15.1) de (15.9) yerleştirilirse,

0

d

L

bAB

o

MΩ z

GI= ò b

ABo

M LΩ

GI= (15.11)

olur. Şekil (15.5) de görüldüğü gibi sağ el baş parmağı kesit düzlemine normal doğrultu n yi gösterilirken diğer dört parmak uçunun işaret ettiği kavisli yön, pozitif dönme açısını işaret eder. Buna sağ el kuralı denir.

KAYMA GERİLMESİ: Şu halde (15.7) de (15.9) yerleştirilirse, burulma momentiyle ilişkilendirilmiş kayma gerilmesi,

b

o

Mr

I = , ( )0 r R£ £ (15.12)

olur. Daire ve halka kesitlerde en büyük ve en küçük kayma gerilmeleri:

( )

( )

min max

min max

Daire : 0 , , 0

Halka : , ,

b

o

b bi d i d

o o

MR r R

I

M MR R R r R

I I

üïï= = £ £ ïïïýïï= = £ £ ïïïþ

(15.13)