BURULMA (Torsion)ve

BURKULMA (Buckling)

M.Feridun Dengizek

• Daha önce görmüş olduğumuz moment kavramı ile yapısal elemanları bükmeye çalışırken SKK yüzeylerine dik çekme veya basma gerilimleri oluşturan etki olduğunu görmüştük.

• Tork ise yapısal elemanlardan çok mekanik elemanları döndürmeye ve eğer dirençle karşılaşırsa onları burmaya çalışan, ve SKK elemanının yüzeylerine paralel gerilimler yaratan etkidir.

BURULMA (Torsion)

• Tork aktarımı daha çok şaftlar vasıtasıyla gerçekleştirilir.

• Şaft boyunu x koordinat eksenine yerleştirirsek şaft içindeki bir noktanın koordinatları p(x,ρ,θ) olarak tanımlanır.

• Daha önceki derslerimizde kesme gerilimini (ζxy ) kesme gerinimi (γxy)olarak tanımlanan açısal yamulmaya bağlı bir değer olak tarif etmiştik

Gerilim miktarı elastik deformasyon bölgesi dışına çıkmamış ise üç boyutlu SKKP üzerinde bu gerilimler aşağıdaki gibi formüle edildiğinden bahsetmiştik.

Burada G “modulus of rigidity” veya burulma elastikiyet modülüdür ve değeri çelik için G=80.000 N/mm2 dir

• Burulma durumunda bir şaft üzerindeki SKK elemanların x eksenine dik konumdaki yüzeyleri birbirine paralel kalacak şekilde elastik sınır içinde de γo açısı kadar da deforme olurlar.

• Şaftın merkezinde kesme gerilimi sıfır, dış çapa doğru gittikçe gerilim artar ve dış çapta maksimum olur

• Kesme gerilimi (shear stress) polar koordinartlara göre yeniden yazılırsa

• Yeniden şaftımıza dönersek yarı çapı R olan bir şaft üzerindeki

maksimum gerilimin ρ=R de, minimum gerilimin ise ρ=0 (eksende) olacağı açıktır. Bunu formülüze edersek

ve olarak ifade edilebilir.

G*G,x

maxR

maxR

• Birim alan üstünde etkin gerilimlerin oluşturduğu birim kuvvet dF=ζdA

• Bu kuvvetin oluşturduğu birim tork dT=dF*ρ dT=(ζdA)*ρ

A

dAT

A

2maxmax

A

dAR

TdA)R(T

maxR

• Daha önce atalet momenti olarak tanımlanmıştı

• Aynı şekilde polar atalet momenti olarak tanımlanır.

• Böylece

A

2dA

A

2dAyI

A

2dAJ

J

R*TJ

RT max

max

Şaftlar için polar atalet momenti

Delik şaftlar için polar atalet momenti

BURULMA AÇISI Φ (TWIST ANGLE)• Tork altındaki bir mekanik elemanın çevresinde iki uç

arasında birbirine göre kesme gerinimi (γ) olarak tanımlanan bir dönme meydana gelir. Bu dönme miktarı merkezde sıfır dış çapta ise maksimum olan dönme miktarı (BB’) na eşittir

dx

d

Rdx

d

dx*d*R

L**R'BB

max

maxBA

G

J

Tve Olduğunu daha önce

bulmuştuk

Eğer şaft üzerinde sadece tork etkin ise burulma açısı boya göre lineer değişir.

L GJ

TLdx

GJ

T

dxGJ

Td

GJ

T

dx

ddx

d

GJ

T

dx

d

G

Not: formülde belirtilen Φ açısı birimi radyandır 2π rad= 3600 dir

ÖRNEK PROBLEM 1

A noktasından sabit olan bir şafta

B noktasında 565 N-m tork uygulanmaktadır.

Şaft çapı d=50 mm

Şaft boyu L= 1300 mm olduğuna göre

a. Şaft üzerinde oluşan maksimum kesme gerilimini bulunuz

b. Şaftın kesme gerinimini bulunuz.

c. Şaft kaç derece burulur.

Not : Burulma Elastikiyet modü G=80 GPa

T=565N-mT=565,000N-mm

D=50 mm R=25 mm

G=80GPa G=80,000N/mm2

MPa23

mm/N23592,613

25*000,565

J

R*T

max

2maxmax

44

mm592,61332

50*J

rad287

radyan10X287

000,80

23

G6

086.0

rad2

derece360rad015.0

rad015.0592,613*000,80

1300*000,565

J*G

L*T

• Şaft üzerinde farklı çap ve tork değerlerinin var olması durumunda toplam burulma açısı daha önce gördüğümüz toplam boy uzaması formülüne benzer aşağıdaki formülden hesaplanır

ÖRNEK PROBLEM 2

Çelik bir şaft yandaki resimde göründüğü gibi D noktasından sabitlenmiş durumdadır.

Şaftın burulma elastik modülü G=80GPa

Çeliğin çekme dayanımı σy=200N/mm2

1.Şaftdaki maksimum burulma açısını

2.Maksimum kesme gerilimini

3.Emniyet katsayısını bulunuz.

ÇÖZÜM

Önce D noktasında ortaya çıkacak reaksiyon tork TR miktarını buluruz.

ΣT=0 TR=TA+TB+TC

TR=40-80+120

TR=80 N-m TR=80,000N-mm

POLAR ATALET MOMENTLERİ

TOPLAM BURULMA AÇISI

  1 2 3

T(N-mm) 80,000 -40,000 40,000

L(mm) 200 500 400

d(mm) 32 24 16

J(mm4) 32,768π 10,368π 2,048π

G(N/mm2) 80,000 80,000 80,000

768,3232

32

32

dJ

44

1

368,1032

24

32

dJ

44

2

048,232

16

32

dJ

44

3

048,2*000,80

400*000,40

368,10*000,80

500*000,40

32768*000,80

200*000,80

JG

LT

ii

ii

043.1

rad025.0

)048,2

400*40

368,10

500*40

32768

200*80(

000,80

1000

211 mm/N43.12

*768,32

16*000,80

222 mm/N7.14

*368,10

12*000,40

J

R*Tmax

  1 2 3

T(N-mm) 80,000 -40,000 40,000

L(mm) 200 500 400

d(mm) 32 24 16

J(mm4) 32,768π 10,368π 2,048π

G(N/mm2) 80,000 80,000 80,000

MAKSİMUM KESME GERİLİMİ

Yukarıdaki formülde gözüktüğü gibi maksimum kesme gerilimi tork ve çapa bağlı bir değerdir.

Bu nedenle maksimum kesme gerilimini bulmak için sadece maksimum torkun uygulandığı bölgeye bakmak yetmez, diğer bölgelerde incelenmelidir.

Görüldüğü gibi 1.bölgede maksimum tork olduğu halde şaft çapı büyük olduğu için minimum kesme gerilimi oluşmakta, Minimum çapın olduğu 3.bölgede ise maksimun kesme gerilimi oluşmaktadır .

Bu genel bir kural değildir. Bu nedenle her bölgedeki kesme gerilimleri ayrı ayrı hesaplanmalıdır.

EMNİYET KATSAYISINI BELİRLEME

σy=200 N/mm2 ζy=0.5*σy ζy=0.5*200=100 N/mm2

23max

233 mm/N7,49mm/N7.49

*048,2

8*000,40

2N

27.49

100N

max

y

GÜÇ-TORK İLİŞKİSİ• Şaftlarda tork genellikle motordan

gelen çevirme hareketi ve bu harekete direnen kuvvet nedeni ile ortaya çıkar.

• Motordan gelen çevirme hareketi genellikle dakikada devir sayısı (rpm), kuvvet ise tork olarak verilir

• Güç=KuvvetXHız olarak belirtilmiş idi

• Şaftı çevirme için gereken güç

P=T*w olarak formülüze edilir.• Karşımıza en sık çıkan Güç-

Devir-Tork formülleri şunlardır.

• Güç sabit ise torkun arttırılabilmesi için devrin düşürülmesi veya devrin arttırılması için torkun düşürülmesi gerekir.

• Bu nedenle motor ile şaft arasında genellikle dişli kutusu veya şanzuman kullanılır

ÖRNEK PROBLEM 3 Resimde görünen mekanizmada A noktasında

uygulanabilecek maksimum torku (T1) ve ortaya çıkacak maksimum burulma açısını emniyet katsayısı N=3 olacak şekilde hesaplayınız.

Kullanılacak malzeme SAE1020 dirÇÖZÜM: Mekanizmada farklı çaplarda iki şaft bulunmakta

ve bu şaftlara dişli oranları nedeni ile iki ayrı tork etki etmektedir.

Bu nedenle şaftların bu torklara dayanıp dayanamayacağı ayrı ayrı incelenmelidir.

Her iki şaft için T formülünü yazarsak

16

D**T

31

1

16

D**T

32

2

3

1

2

1

2

D

D

T

T

16

D**T

2/D32D*

*T

2

DR,

32

D*J

R

J*T

J

R*T

3

4

4

375.320

30

T

T3

1

2

Yukarıda verilen sistemde dişli çaplarının oranları kadar Tork artışı gerçekleşecektir.

Dişlilerden gelen Tork artış oranının (4.28) şaft çaplarının izin verebileceği orandan (3.375) büyük olması nedeniyle dikkate alınacak tork büyük torkun etkin olduğu C-D şaftındaki tork olmalıdırr.

Eğer Tork artış oranı şaft çaplarının izin verebileceği orandan küçük veya eşit olsaydı, dikkate alınacak tork şaft çapının daha küçük olduğu A-B şaftında etkin olan tork olurdu

28.435

150

R

R

T

T

1G

2G

1G

2G Şaft çaplarının izin verebileceği tork oranı

Dişlilerden gelen tork oranı

Büyük torkun etkin olacağı C-D şaftı için tork dayanımını hesaplıyacak olursak

SAE1020 σy=240N/mm2 , G=80,000N/mm2

Emniyet kasayısı N=3

A noktasına uygulanabilecek maksimum tork

2yy

2y mm/N120240*5.0*5.0mm/N240

2y mm/N403

120

N

mN212T

mmN058,21215

79522*40T

mm152

30

2

DR

mm522,7932

30*

32

D*J

R

J*T

2

2

444

22

2

22

mmN5.49T

mmN546,4928.4

058,212T28.4

T

T

1

11G

2G

• Birici şaft üzerindeki burulma

444

11 mm708,15

32

20*

32

D*J

1

111 J*G

L*T

01

1

37.1

rad024.0708,15*000,80

600*546,49

2

222 J*G

L*T mm522,79

32

30*

32

D*J

442

2

02

2

89.1

rad033.0528,79*000,80

1000*058,212

Maksimum burulma C-D şaftında 1.890 olarak ortaya çıkar

BURULMA AÇISI Φ

ÖRNEK PROBLEM 4

• Bir önceki problemde verilen mekanizmanın A ucunda bir motor bağlı olsaydı, D ucunda 212 N-m tork ve 350 rpm devir elde edebilmek için kullanılması gereken motor devri ve gücü ne olurdu.

Kw5.79550

350*212

9550

)rpm(N*)mN(T)KW(P

rpm150035

150*350N

R

RNN

N

N

R

R

1

1G

2G21

2

1

1G

2G

BURKULMA (Buckling)• Mekanik veya yapısal bir eleman eksenel

olarak basma kuvveti altında iken, kuvvet belli bir kritik büyüklüğe ulaşınca eleman ani bir deformasyona uğrar. Bu fenomen Burkulma (buckling) olarak adlandırılır.

• Kritik yük büyüklüğü (Fcr) – mekanik elemanın yapıldığı malzemeye – geometrik ölçülerine – başlarının mafsallı olup olmadığına göre değişir.

• Burkulma fenomeni EULER formülü ile tanımlanmış bulunmaktadır

2

2

cr L*K

I*E*F

• Burkulma kesitine göre boyu çok uzun olan elemanlarda ortaya çıkar.

• Bu nedenle özellikle ince uzun malzemelerde burkulma hesabı yapılmalıdır.

• Eğer σcr< σy ise malzeme akma sınırına ulaşmadan burkulacak demektir. Bu nedenle uygulanabilecek maksimum kuvvet σcr göz önüne alınarak hesaplanmalıdır.

• Eğer σcr > σy ise malzeme akma sınırından sonra burkulacak demektir. Bu nedenle uygulanabilecek maksimum kuvvet σy göz önüne alınarak hesaplanmalıdır.

• Burkulmada esas alınacak atalet momentinde ince kesit boyunun küpü alınmalıdır.

• Burkulma için tipik örnek termal stress nedeni ile demir yollarında ortaya çıkan kıvrılmalardır.

• Bir diğer örnek elektrik direkleridir. Uzun yıllar bekleyen bir direkte yığılma (creep) veya korozyon nedeni ile kesitinde ortaya çıkan incelme direğin burkulmasına sebeb olabilir.

BURKULMADA KOLON SONLARINDA MAFSAL FAKTÖRÜ (K)

2

2

cr L

I*E*F

2

2

cr L*25.0

I*E*F

2

2

cr L*5.0

I*E*F

2

2

cr L*4

I*E*F

• ÖRNEK PROBLEM2 metre boyunda ve 200mmX300mm kesit alanı olan alumiyum bir kolon emniyet katsayısı N=2 olması şartı ile en fazla ne kadar kuvvet altında bulunabilir.

• σy=240 Mpa=240 N/mm2

• E=70 Gpa = 70,000 N/mm2

• Başlarda mafsal olmadığı için K=4

4633

mm10X20012

200*300

12

bhI

2

2

cr L*K

I*E*F

kN636,82000*4

10X200*000,70

L*K

I*E*F

2

62

2

2

cr

2crcr mm/N144

300X200

000,636,8

A

F Uygulanabilecek maksimum

kuvvetin belirlenmesinde Fcr dikkate alınmalıdır.

kN43182

8636

N

FF crmax

2cr mm/N240