15.3 收敛定理的证明Dini 定理 设以 为周期的函数 在区间 上按段光滑,则在每一点 ,

的 Fouri er 级数收敛于 在点 的左、右

极限的算术平均值 ,  即

其中 和 为 的 Fouri er 系数.

证明思路: 设 ～

对每个 , 我们要证明

.

.

即证明 .

方法是把该极限表达式化为积分 , 利用

R—L 定理证明相应积分的极限为零 .

1 写出 的简缩形式.

称这一简缩形式为 的积分形式 , 或称为Di ri chlet积分, 2 利用该表示式, 式 可化为

+ ,

于是把问题归结为证明

,

.

这两式的证明是相同的 , 只证第一式 .

3 为证上述第一式 , 先利用三角公式

建立所谓 Dirichlet 积分

利用该式把 表示为积分,即把 表示

为 Di ri chlet积分

.

于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为

.

4     利用所谓 Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零 . 为此 , 先证明 Bessel 不等式 , 再建立 Riemann — Lebesgue 定理 , 然后把以上最后的式子化为

.

5     把上式化为应用 R — L 定理的形式 , 即令

则

为使最后这一极限等于零, 由 R — L定理, 只要

函数 在区间 上可积. 因此希望 存在.

由函数 在区间 上按段光滑, 可以验证

存在.

预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数 在区间

上可积, 则有 Bessel 不等式

其中 和 为函数 的 Fouri er 系数. 推论 1 ( Ri emann— Lebesgue定理 )

若函数 在区间 上可积, 则有

推论 2若函数 在区间 上可积, 则有

预备定理 2 若 是以 为周期的周期函数,

且在区间 上可积, 则函数 的

Fouri er 级数部分和 有积分表示式

当 时, 被积函数中的不定式由极限

来确定 .

Dirichlet 积分 : 

证   由三角公式

.

三维空间中 则 (1)

将此结论推广到 维空间, 即为

,

则

若

对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数

自然应有

这就是有名的 Bessel 不等式 , 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样 ,  都是利用坐标系的正交性 .

Parseval 等式 ( 或称 Ляпинов 等式 )

设可积函数 的 Fouri e级数在区间

上一致收敛于 , 则成立 Parseval 等式

.

证明 注意到此时函数 在区间

可积 , 由 Bessel 不等式, 有

.

现证对 , 有

.

事实上, 令

由 一致收敛于 ,

对 对 ,

有 , 因此 ,

即当 时有

.

令 , .

由 的任意性, 有

.

综上即得所证 .

Fourier 级数与三角级数的区别： Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的 Fourier 级数 .

一个三角级数是 Fourier 级数 ( 即是某个可积函数的 Fourier 级数 ) 的必要条件为 :

若三角级数 为 Fourier级数, 则数项级数 收敛.

比如正弦级数 是收敛的三角级数(利用Di ri chlet判别

法) , 由级数 发散, 正弦级数 不是 Fourier级数.

傅里叶  ( J.B.J.Fourier  1768.3.21-1830.3.16) 他从 1800 年开始研究热传导 1811 年因解答科学院提出的问题而获奖， 1822 年出版了他的名著《热的分析理论》，把数学成功地应用于物理，引入了热传导方程，并得到在各种边界条件下的解答；他开创了分析的一个重要分支 - 傅里叶级数，这在数学、物理、工程技术上有广泛应用，对现代数学产生了重大影响。

法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众， 1790年成为巴黎工科大学教授。1798年参加拿破仑的远征军，回国后当了县地方长官。拿破仑垮台后，失去职务，转向数学研究 1827年当选为法国科学院院士。