16 ilmiy-ommabop bo'limuzfizika.uz/source/library/library_1469453932.pdfbo'lganligi sababl...

16 ILMIY-OMMABOP BO'LIM

YER SHARINING GRAVITATSION PARAMETRLARI

F.I.Jo'rayev, H.Sodiqova, A.Shukurov, O'zbekiston MU qoshidagi S.H.Sirojiddinov nomli

akademik litsey fizika fani o'qituvchilari

Ushbu maqolada Yerning ba'zi fizik parametrlarini hisoblashning maxsus usullari keltirilgan.

Tayanch so'zlar: tortishish kuchi, og'irlik kuchi, potensial kuch, tezlanish, massa, bosim, tezlik.

In given article described calculation other physical parameters by special method. Keywords: Force de gravitation, gravity, potential, force, acceleration, mass,

pressure, velocity. В данной статье описаны некоторые физическт параметры и их вычислент

специальными методами. Ключевые слова: сила тяготения (гравитация), сила тяжести, потенциал,

сила, ускорение, масса, давление, скорость.

1. Yer ichida, sirtida va sirtidan biror balandlikdagi gravitatsion maydon kuchlanganligi, shu nuqtalarda turgan jismga Yer tomonidan ta'sir etuvchi tortishish kuchi

Yer — Quyosh sistemasidagi Quyoshdan uzoqligi jihatidan uchinchi (Merkuriy, Venera sayyoralaridan keyin) sayyora. U o'z o'qi atrofida va aylanaga juda yaqin bo'lgan elliptik orbitabo'yicha Quyosh atrofida aylanib turadi . Hajmi vamassasi jihatidan Yer katta sayyoralar ichida (Yupiter, Saturn, Uran, Neptundan keyin) beshinchi o'rindadir. Yerda hayot borligi bilan u Quyosh sistemasidagi boshqa sayyoralardan farq qiladi. Biroq hayot materiya taraqqiyotining tabiiy bosqichi bo'lganligi sababli Yerni koinotning hayot mavjud bo'lgan yagona kosmik jismi, hayotning Yerdagi shakllarini esa mavjudotning yagona shakllari deb bo'lmaydi. Hozirgi zamon kosmogoniya nazariyalariga ko'ra, Yer Quyosh atrofidagi fazoda gaz-chang holatda bo'lgan kimyoviy elementlarning gravitatsion kondensatlanishi (bir-biriga qo'shilishi) yo'li bilan 4,7 mlrd. yil muqaddam paydo bo'lgan. Yer tarkib topib borayotgan vaqtda radioaktiv elementlarning parchalanishi natijasida ajralib chiqadigan issiqlik hisobiga Yerning ichki qismi asta-sekin qizib, Yer moddasining differensiyalanishiga olib kelgan, oqibatda, Yerning konsentrik joylashgan turli qatlamlari — kimyoviy tarkibi, agregat holati va fizik xossalari jihatidan bir-biridan farq qiladigan geosferalari hosil bo'lgan. Yer ichki qismining tuzilishi, seysmik to'lqinlarning yer sirti va butun hajmi bo'yicha tarqalishini

^ л К 1 2 0 1 4 / 3 FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA

Ч д г 1

F.I.Jo'rayev, H.Sodiqova, A.Shukurov. Yer sharining gravitatsion parametrlari 17

tadqiq etish asosida aniqlangan. Bu to'lqinlar bo'ylama va ko'ndalang to'lqinlar bo'lib, ularning Yer ichki qismini tashkil etgan qattiq, suyuq qatlamlarida tarqalishi turlicha ko'rinish kasb etadi. Bu zamonaviy metodlar asosida Yer ichki qatlamlarini o'rganish quyidagi natijalarni berdi.

Yerni bir jinsli shar deb olamiz. Gauss teoremasini elektrostatik maydonga o'xshatib, gravitatsion maydon uchun quyidagi ko'rinishda yozamiz:

0 g-dS) = -4ПОт (1 .1)

Yer markazidan r (r HR) masofadagi gr-gravitatsion maydon kuchlanganligi (ya'ni, erkin tushish tezlanishi)ni topamiz (1-rasm):

r-radiusli shar sirti uchun (1.1) ifodani quyidagicha

yoza olamiz ((~gr HdS) = g r HdS ttosn ekanligini hisobga olamiz):

g r ИП 2cosO = Q4ПОт (1.2) Yerning r-radiusli sharsimon sohasining massasi:

m = П—П3

3 (1.3)

Yerning massasi esa: M = а 3 Д 3 (1.4)

1-rasm.

U holda (1.3) va (1.4) ifodalardan: m = M b - d (1.5) V / v / n R n V /

(1.5) ifodani (1.2) ga qo'yib, quyidagini hosil qilamiz:

gr о 2 = G M В Т Й yoki g r = G M r (1.6) • R •

r • R da g r ~ r ya'ni, g r = const ИГ. (1.4) ifodani (1.6) ga qo'yib gravitatsion maydon kuchlanganligini g r-zichlikka va soha radiusi r ga bog'liqligini quyidagicha yoza olamiz:

gr = 3 ПОР (1.7) Yer sirtidagi gravitatsion maydon kuchlanganligini (1.1) ifodadan foydalanib

quyidagicha yoza olamiz: g r И4П2 cosn = -4ПОМ . U holda Yer sirtidagi gravitatsion maydon kuchlanganligi (erkin tushish

tezlanishi):

I HFMK FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA 2 0 1 4 / 3

1


M = G M (1.8)

Umumiy holda esa ixtiyoriy r • R da

(1.8)ifodani (1.6) ga qo'yamiz: gr

n M , . = G— ya'ni const

r R (1.9)

Yuqoridagilardan foydalanib, gravitatsion maydon kuchlanganligi (erkin tushish tezlanishi)ni Yer markazidan ixtiyoriy masofaga bog'liqlik grafigini chiza olamiz:

Yer sirtida uning markaziga tomon h chuqurlikda gravitatsion maydon kuchlanganligi:

R • h R (1.10)

Yer sirtidan H-balandlikda esa gravitatsion maydon kuchlanganligi:

gn = gE R (1.11)

• R + H •

Yer markazidan r masofada turgan mo - jismga Yer markazi tomonga tortishish kuchi:

F = mogr = oMm r (1.12) yoki Fr = R

mogR (1.13)

r • R da Fr ~ r ya'ni Fr = const ИТ U holda Yer sirtida turgan jismga ta'sir etuvchi tortishish kuchi (2-rasm):

M cm F = G yoki F = m0g (1.14)

(markazdan qochma kuch va boshqa shu kabi kuchlarni hisobga olmaymiz).

M Cm Umumiy holda esa ixtiyoriy r • R da Fr = G—

, . ^ const ya'ni = ——. r

Yuqoridagilardan foydalanib, jismning Yerga tortishish kuchini Yer markazidan ixtiyoriy masofaga bog'liqlik grafigini chiza olamiz:

2 0 1 4 / 3 FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA W J


Yer sirtidan uning markaziga tomon h-chuqurlikda esa:

(1.15) R D h л п R R

Yer sirtidan biror H- balandlikda esa:

F = m„ R (1.16) 2-grafik • R + H •

2. Shahta ichida turgan jismga ta'sir etuvchi kuch Jism sferaning ichidagi A nuqtada turgan bo'lsin (3-rasm). Uchlari jism

turgan A nuqtadan boshlanuvchi tor konus sohasini kesib olingan, deb faraz qilaylik.

Ularning sfera sirtidagi sohalarining yuzalari •S1 va •S 2 bo'lsin (bu yuzalar juda kichik). A nuqtadan bu ikki sohalar bir xil fazoviy burchakda ko'rinadi. Bu fazoviy burchak quyidagiga teng:

^ •S, • S 2 i № D = = (2.1) • S J | r, r 2

A nuqtada turgan jismga birinchi soha (yuza) tomonidan ta'sir etuvchi (tortishish) kuch:

GQ^S!m ^ ^ 3-rasm. F = (2.2)

A nuqtada turgan jismga ikkinchi soha(yuza) tomonidan ta'sir etuvchi (tortishish) kuch:

^ GfflS 2 m F2 = - 7 2 ^ (2.3) '2 (2.1) ifodani (2.2) va (2.3) formulalarga eltib qo'yamiz:

(2.4) va F2 = G P D r 2 ^ = GDDm (2.5) GDDr.2 m ^

F, = j1— = GDDm

Demak, F, = ПF2, ya'ni sferaning •Sjva •S2 sohalari (yuzalari) tomonidan jismga ta'sir etuvchi kuchlar bir-birovini kompensatsiyalaydi. Shunga o'xshash sferani mayda sohachalarga ajratsak, ularning jismga ta'sir etuvchi kuchlarning yig'indisi nolga teng.

3. Yer markazidan r ( r CR )-masofada gravitatsion maydon potensiali Yer markazidan r-masofada gravitatsion maydon potensialini quyidagicha

yoza olamiz:

1 FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA 2 0 1 4 / 3

1


D R M a M О = Ggrdr = [ G R T rdr + dr ( 3 . 1 )

r r R

Bu integralni hisoblab, quyidagiga ega bo'lamiz:

O = G2R(3 (3-2) Potensial maydonning kuch(g) va energetik(O) xarakteristikalari orasida

quyidagicha bog'liqlik mavjud:

g, - f (3.3) Shunday qilib, berilgan nuqtadagi gravitatsion maydon kuchlanganligi

potensial minusi gradiyentiga teng: g r = -grad О (3.4)

U holda (3.2) ifodani differensiallab, gravitatsion maydon kuchlanganligi uchun quyidagi ko'rinishini topamiz:

gr = G : M r r (3.5) yoki g r = g^ (3.6)

R R Bu ifodalar gravitatsion maydon kuchlanganligini yuqorida keltirib chiqarilgan

(1.6) va (1.9) ifodalarning aynan o'zidir. Bu Yer ichidagi ixtiyoriy masofadagi gravitatsion maydon kuchlanganligining ikkinchi xil usulda keltirib chiqarilishidir.

Yer markazidagi (r=0) gravitatsion maydon potensialini (3.2) formula bo'yicha hisoblaymiz:

3 [6,6 7 [10D11 ^ ^ [6 Q024 kg O o =

3 G M = k g ! • 9,4 [107 J o 2 R 2 [6400 [103 m kg

Shuningdek, (3.2)ga asosan Yer sirtidan r = V3R masofada gravitatsion maydon potensiali O = 0 ga teng.

4. Yer markazidan r ( r HR )-masofadagi gravitatsion bosim Yer markazidan uning sirtigacha bo'lgan ixtiyoriy r-masofada faqat

gravitatsion siqilishni hisobga olgan holda bosimni hisoblash uchun r-radiusli shar ustidagi yupqa dr- qalinlikdagi qatlamga ta'sir etuvchi dF kuchni aniqlaymiz va u quyidagiga teng:

dF = dp И П 2 (4.1)

2 0 1 4 / 3 FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA


Boshqa tomondan: dF = G mdm

(4.2).

Bunda m = D 3C3 ga teng bo'lib, Yer ichidagi r-radiusli shar massasi(4-

rasm). U holda dm = 4П2 dr Ш (4.3). Bu yerda О-Yer sharining o'rtacha zichligi. Demak, yuqoridagilardan foydalanib, (4.1) ifodani quyidagicha yoza olamiz:

dp = -OGO2 rdr 3

(4.4)

Shunday qilib, P = Qfc = 3°°°2 (R2 - r2) (4.5)

Yer sharini bir jinsli deb olib, uning zichligi quyidagicha yoza olamiz:

r, 3M ° = 2 (4.6)

4Ш3 V '

(4.6) ifodani (4.5) ifodaga qo'yib, quyidagini hosil qilamiz:

4-rasm.

3GM2 п r2

P = ( 1 П ^ )

8DR4 R (4.7)

Yer markazida (r=0 bo'lgandagi) bosimni hisoblaymiz:

2 3 C6,67 п о П11 с(б E1024 kg ) 2 2

P = A = ^ . • 1,73 E1011 Pa = 1,72 E106 atm 0 8Ш4 8 E3,14 E(6400 E103 m)4

U holda (4.7) ifodani quyidagicha soddaroq ko'rinishda yozish mumkin:

P = P (1 п ^ г ) R (4.8)

Yer sirtida, ya'ni r = R bo'lganda esa bosim P = 0 ga teng. Demak, Yer markazidan uning sirtigacha bo'lgan ixtiyoriy masofada faqat gravitatsion

siqilishni hisobga olgan holdagi bosimining grafigini quyidagicha chizish mumkin:

5. Yer ichida jismning harakati Faraz qilaylik, Kaliningrad va Moskva viloyatlari orasida Yer ichidan uzunligi

1000 kmdan iborat to'g'ri chiziqli temir yo'l tunneli o'tkazildi. Moskva viloyatidan

1 FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA 2 0 1 4 / 3

1 y j s i f


vagon boshlang'ich tezliksiz qo'yib yuborildi. 1) qancha vaqtdan so'ng vagon Kaliningradga » yetib boradi? 2) Vagonning maksimal tezligini toping. Yerning aylanishi, havoning qarshiligi va harakat davomidagi barcha turdagi 0

ishqalanishlarni hisobga olmang. Yechilishi: 1) Rasmda ko'rsatilgandek, m

massali vagon KL tunnel bo 'y icha harakatlansin(5-rasm). Qandaydir vaqtdan so'ng uning koordinatasi x bo'lganda Yer tomonidan unga ta'sir etuvchi og'irlik kuchini quyidagicha yoza olamiz:

R

3-grafik.

F = mg R

Bunda R- Yer radiusi, r-vagondan yer markazigacha bo'lgan masofa, m-vagonning massasi va g- Yer sirtidagi erkin tushish tezlanishi.

Bu F-kuchning X o'qidagi proyeksiyasi: Fx = DF cosO ga teng.

X Rasmdan ko'rinib turibdiki: cosO = —. U hol-R

da Fx = Dmg R Demak, vagonning harakat tenglamasini

quyidagicha yozish mumkin: и i—I x

mx = Dmg — R

yoki x" + ^ x = 0 R

5-rasm.

Bu bir jinsli 2-tartibli differensial tenglama bo'lib, uninig yechimi sinus g

yoki kosinus ko'rinishida bo'ladi. Bu tenglama = О yoki о = R

siklik chastotani

ifodalaydi. Shunday qilib Moskvadan Kaliningradgacha bo'lgan masofani vagon

R t = — vaqtda bosib o'tadi. Ya'ni: t = n

g

2014 /3 FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA


„ , „ 6400000m m „„ . t = 3,14 • 42mm Bu vaqt | 10 ni tashkil qiladi.

2) Vagonning tezligini topish uchun garmonik tebranish tenglamasining yechimi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

x(t) = B cosOt

l Boshlang'ich shartlardan foydalanamiz: x(t) = 0 ва п = x1 (0) = 0, B = ^ .

U holda: x = l- cosOt 2

Demak, vagon tezligining vaqt o'tishi bilan o'zgarish qonuni quyidagiga

t e n g : O(t) = x1 (t) = • l2-sinDt

Bunda vagonning maksimal tezligining absolyut qiymati: omax =1-0 = - J g 2 2 V R

1 0 — Hisoblasak: п = 1 0 0 0 0 0 0 mJ s2

• 6 0 0 m ekanligi kelib chiqadi. max 2 V 6400000m s

Shunga o'xshash masalani mustaqil yechish uchun tavsiya qilamiz: Faraz qilamiz, Yerning diametri bo'ylab shaxta qazildi. Jism Yer sirtidan

shaxtaga tashlanganida:1) uning harakatini tavsiflang; 2)shaxtaning tubiga jism qancha vaqtda yetib boradi; 3) jismning harakati davomidagi maksimal tezligini toping. Yerning aylanishi, havoning qarshiligi va harakat davomidagi barcha turdagi ishqalanishlarni hisobga olmang.

Adabiyotlar: 1. Abhay Kumar Singh, Solutions to I.E. Irodov's Problems in General

Physics, Volume 1, New Delhi 1998 y. 2.Kvant jurnali: 2003. №6, 49, 60-betlar. 3. В.Ф. Дмитриева ва В.Л. npoK^beB, OCHOBH физики, MocKBa «Выс-

шая штала» 2001. 4. HHTepHeT. Википeдия.

1 FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA 2014/3

1 ^jgy

16 ilmiy-ommabop bo'limuzfizika.uz/source/library/library_1469453932.pdfbo'lganligi sababl...

Documents