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16장 Fourier 해석

16.1 사인함수를 이용한 곡선접합16.2 연속 Fourier 급수16.3 주파수 영역과 시간 영역16.4 Fourier 적분과 변환16.5 이산 Fourier 변환(DFT)16.6 파워스펙트럼

Applied Numerical Methods

주기가 T인 주기함수

→

주기운동의 가장 기본: 원운동(코사인, 사인)

장 해석

16.1 사인함수를 이용한 곡선접합 (1/5)

( ) ( )f t f t T= +

0tω θ+

x

y

(1,0)

(0,1)

0cos( )tω θ+

0sin( )tω θ+

16 Fourier


일반적인 주기함수의 표현

→

-평균 높이 A0, 진폭 C1

-각주파수 ω0, 위상각 θ

주파수 f, 주기 관계 T:

→

곡선접합을 위한 Eq. (16.2) 형태 변환

장 해석


0 1 0( ) A cos( ) (16.2)f t C tω θ= + +

0 2 , 1/ Tf fω π= =

0 1 0 1 0( ) A A cos( ) B sin( ) (16.6)f t t tω ω= + +

1 1 1 1

1

1

A cos( ) & B sin( ) (16.7)

Barctan (16.8)A

C Cθ θ

θ

= = −

= −

여기서

16 Fourier


사인 선형 최고제곱 모델

→

오차의 제곱의 최소화 (MLS)

ω0에 대응하는 주기 T를 N등분한 시간간격에서 계산하면

장 해석


0 1 0 1 0( ) A A cos( ) B sin( ) (16.11)f t t t eω ω= + + +

[ ]{ }20 1 0 1 0

1cos( ) sin( )

n

r ii

S y A A t B tω ω=

= − + +∑0 0 0

20 0 0 0 1 0

20 0 0 0 1 0

cos( ) sin( )cos( ) cos ( ) cos( )sin( ) cos( ) (16.12)sin( ) cos( )sin( ) sin ( ) sin( )

N t t A yt t t t A y tt t t t B y t

ω ωω ω ω ω ωω ω ω ω ω

→ =

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

0 0

1 0 1 0

1 0 1 0

0 0 1/ 0 00 / 2 0 cos( ) 0 2 / 0 cos( )0 0 / 2 sin( ) 0 0 2 / sin( )

N A y A N yN A y t A N y t

N B y t B N y tω ωω ω

= → =

∑ ∑∑ ∑∑ ∑

16 Fourier



장 해석

Q. 곡선 y=1.7+cos(4.189t+1.0472)에 대하여 t=0에서 1.35 사이의 범위에

대하여 △t=0.15 의 간격을 사용하여 10개의 이산값을 생성하고 이 정보 및

최소제곱 접합을 이용하여 식 (16.11)의 계수값들을 구하라.

t y ycos(ω0t) ysin(ω0t)0 2.200 2.200 0.000

0.15 1.595 1.291 0.938

0.30 1.031 0.319 0.980

0.45 0.722 -0.223 0.687

0.60 0.786 -0.636 0.462

0.75 1.200 -1.200 0.000

0.90 1.805 -1.460 -1.061

1.05 2.369 -0.732 -2.253

1.20 2.678 0.829 -2.547

1.35 2.614 2.114 -1.536

∑= 17.000 2.502 -4.330

16 Fourier



이 결과는 식(16.14-16)까지를 구하기 위하여 사용할 수 있다.

따라서 최소제곱접합은

식 (16.2)의 형식으로 바꾸면

장 해석

0 1 117.000 2 21.7, 2.502 0.5000, ( 4.330) 0.866

10 10 10A A B= = = = = − = −

0 0( ) 1.7 0.500cos( ) 0.866sin( )f t t tω ω= + −

0( ) 1.7 cos( 1.0472)f t tω= + +

앞서의해석은다음과같은일반적인모델로확장할수있다.

여기서등각격의데이터에대하여계수는다음과같다.

0 1 0 1 0 2 0 2 0

0 2 0

( ) cos( ) sin( ) cos(2 ) sin(2 )cos( ) sin( )m

f t A A t B t A t B tA m t B m t

ω ω ω ωω ω

= + + + + +

+ +

0 0 02 2, cos( ), sin( ), 1, 2,...,n n

yA A y n B y n n m

N N Nω ω= = = =∑ ∑ ∑

#이들 관계식은 회귀분석(N>2m+1) 뿐만 아니라 보간법이나 콜로케이션 방법(N=2m+1) 에도 적용

16 Fourier

Applied Numerical Methods 장 해석

16.2 연속 Fourier 급수 (1/3)

주기 T의 함수에 대하여 연속 Fourier 급수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 첫번째 모드의 각 주파수(ω0=2π/T)는기본주파수라하며,이주파수의정수배 2ω0, 3ω0 등을고조파(harmonics)라한다.식 (16.17)의 계수는 k=1. 2, …, 에 대하여 다음 식을 통하여 계산할

수 있다.

그리고 a0는 다음과 같다.

0 00 0

2 2( )cos( ) , ( )sin( )T T

k ka f t k t dt b f t k t dtT T

ω ω= =∫ ∫

0 0 01

( ) [ cos( ) sin( )] (16.17)k kk

f t a a k t b k tω ω∞

=

= + +∑

0 0

1 ( )T

a f t dtT

= ∫

16 Fourier



Q. 연속 Fourier 급수를 이용하여 높이가 2이고, 주기 T=2π/ω0 인 사각파를

근사하라.

사각파의평균높이는 0이므로 a0=0. 나머지계수들은:

이 적분을계산하면,

1 / 2 / 4( ) 1 / 4 / 4

1 / 4 / 2

T t Tf t T t T

T t T

− − < < −= − < < − < <

/2 /4 /4 /2

0 0 0 0/2 /2 /4 /4

2 2( )cos( ) cos( ) cos( ) cos( )T T T T

k T T T Ta f t k t dt k t dt k t dt k t dt

T Tω ω ω ω

−

− − −

= = − + − ∫ ∫ ∫ ∫

4 / ( ) 1,5,9,...4 / ( ) 3,7,11,...

0 even integersk

k for ka k for k

for k

ππ

== − = =

16 Fourier



같은방법으로 bk=0따라서 Fourier 급수근사는다음과같다.

Euler 공식에기초한복소수표현법

여기서

복소지수함수를이용한 Fourier 급수

그림 16.4사각파에 대한 Fourier 급수 근사

0 0 0 04 4 4 4( ) cos( ) cos(3 ) cos(5 ) cos(7 )

3 5 7f t t t t tω ω ω ω

π π π π= − + − +

cos( ) sin( )ixe x i x± = ±

1i = −

0

0/2

/2

( )

1 ( )

ik tk

k

T ik tk T

f t c e

c f t e dtT

ω

ω

∞

=−∞

−

−

=

=

∑

∫

16 Fourier


16.3 주파수 영역과 시간 영역 (1/3)

1( ) cos( )2

f t C t π= +

그림 16.6 시간영역/주파수영역(진폭,위상)

16 Fourier



그림 16.7 사인곡선의 여러위상들과 관련위상 스펙트럼들

16 Fourier



그림 16.8 사각파에 대한 (a)진폭 선스펙트럼 (b) 위상 선스펙트럼

16 Fourier


16.4 Fourier 적분과 변환

주기함수 비주기함수

-T/2 T/2 -T/2 -∞ T/2 ∞

T∞

Fourier 급수 Fourier 적분

0

0/2

/2

( )

1 ( )

ik tk

k

T ik tk T

f t c e

c f t e dtT

ω

ω

∞

=−∞

−

−

=

=

∑

∫

1( ) ( )2

( ) ( )

i t

i t

f t F e d

F f t e dt

ω

ω

ω ωπ

ω

∞

−∞

∞ −

−∞

=

=

∫

∫

16 Fourier


16.5 이산 Fourier 변환 (1/4)

공학에서 함수는 종종 한정된 개수의 이산값들의 집합으로 표현된다.

0

0

1

0

1

0

0 : 1 (16.26)

1 0 : 1 (16.27)

nik j

k jj

nik j

j kk

F f e for k n

f F e for j nn

ω

ω

−−

=

−

=

= = −

= = −

∑

∑

16 Fourier



DFT의 다른 특징:

Nyquist 주파수: 신호에서 측정할 수 있는 가장 높은 주파수, 샘

플링주파수의 절반

측정 가능한 가장 낮은 주파수: 총 샘플길의 역수

Ex) fs=1000 Hz (1초에 1000개의 샘플들)로 약 n=100개의 데이터

max

min

1 1 0.001s/sample1000 samples/s100 samplest 0.1

1000 samples/s1000 samples/s 10100 samples

0.5 0.5 1000 500

1 100.1

s

ns

s

or Nyquist s

tfn sfff Hzn

f f Hz Hz

f Hzs

∆ = = =

= = =

∆ = = =

= = × =

= =

16 Fourier



고속 Fourier 변환 (FFT, J.W. Cooley & J.W. Tukey, 1965)

그림 16.10 표준 DFT와 FFT에 대한 연산횟수 대 샘플 크기의 그림

16 Fourier



MATLAB 함수: fft

F = fft(f,n)

여기서

F=DFT를 포함하는 벡터이며

f= 신호를 포함하는 벡터

n = 데이터 개수

* f가 n점보다 작으면 0으로 채움

* F의 원소는 역순환 순서

(n=8이면 순서가 0, 1, 2, 3, 4, -3, -2, -1)

16 Fourier


예제 16.3 (MATLAB을 이용한 단순 사인 함수의 DFT 계산 (1/4)

Q. MATLAB의 fft함수를 이용하여 단순 사인함수에 대한 이산

Fourier 변환을 계산하라.

∆t=0.02초인 8개의 등간격 점을 생성하고 결과를 주파수에 대하여 그려

라.풀이)

샘플링 주파수: fs = 1/∆t = 1/0.02s = 50 Hz

총 샘플길이: tn = n/fs = 8 samples/(50samples/s)=0.16 s

Nyquist 주파수: fmax = 0.5fs=0.5×50Hz=25Hz

최소 측정가능 주파수: fmin=1/0.16s=6.25 Hz

( ) 5 cos(2 12.5 ) sin(2 18.75 )f t t tπ π= + × × + × ×

16 Fourier



>> n=8; dt=0.02; fs=1/dt; T=0.16;

>> tspan=(0:n-1)/fs;

>> y=5+cos(2*pi*12.5*tspan)+sin(2*pi*31.25*tspan);

>> subplot(3,1,1);

>> plot(tspan,y,'-ok','linewidth',2,'MarkerFaceColor','black');

>> grid on

>> title('(a) f(t) versus time (s)');

16 Fourier



장 해석

>> Y=fft(y)/n;

>> Y‘

ans =

5.0000

0.0000 - 0.0000i

0.5000 - 0.0000i

-0.0000 - 0.5000i

0

-0.0000 + 0.5000i

0.5000 + 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

16 Fourier



>> nyquist=fs/2;fmin=1/T;

>> f=linspace(fmin, nyquist, n/2);

>> Y(1)=[];YP=Y(1:n/2);

>> subplot(3,1,2)

>> stem(f,real(YP),'linewidt',2,'MarkerFaceColor','blue');

>> grid on;title('(b) Real component versus frequency')

>>subplot(3,1,3);stem(f,imag(YP),'linewidt',2,'MarkerFaceColor','bl

ue');

>> grid on;title('(c) Imaginary component versus frequency')

>> xlabel('frequency (Hz)')

16 Fourier


16.6 파워스펙트럼

파워는 Fourier 계수들의 제곱을 합함으로써 계산할

수 있다: Parseval Theorem

( )022

0 02 *

2

0

2

( )

(note : for real function ( ) )1 ( )

T T ik tk

k k k

T

k

k k

f t dt c e dt

T c c c f t

f t dt PT

where P c

ω

−

=

= =

∴ =

=

∑∫ ∫∑

∑∫

16 Fourier


예제 16.4 (MATLAB을 이용한 파워스펙트럼의 계산 계산 (1/2)

Q. 예제 16.3에서 DFT를 계산한 단순 사인함수에 대하여 파워 스펙

트럼을 계산하라.

풀이) %compute the DFT

clc;clf

n=8; dt=0.02; fs=1/dt; tspan=(0:n-1)/fs;

y=5+cos(2*pi*12.5*tspan)+sin(2*pi*18.75*tspan);

Y=fft(y)/n; f=(0:n-1)*fs/n;

Y(1)=[]; f(1)=[];

%compute and display the power spectrum

nyquist=fs/2; f=(1:n/2)/(n/2)*nyquist;

Pyy=abs(Y(1:n/2)).^2;

stem(f,Pyy,'linewidth',2,'MarkerFaceColor','blue')

title('Power Spectrum')

xlabel('Frequency (Hz)'); ylim([0 0.3]); grid on;

16 Fourier


예제 16.4 (MATLAB을 이용한 파워스펙트럼의 계산 계산 (2/2)

Q. 예제 16.3에서 DFT를 계산한 단순 사인함수에 대하여 파워 스펙

트럼을 계산하라.

풀이)

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 260

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Power Spectrum

Frequency (Hz)

16 Fourier

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