17.5 《不确定的关系》

玻恩 (M. Born. 1882-1970) 德 国 物 理 学 家 。1926 年提出波函数的统计意义。为此与博波 (W.W.G Bothe. 1891-1957)共享 1954 年诺贝尔物理学奖。　

玻 恩 M. Born.

一、德布罗意波的统计解释

1926 年，德国物理学玻恩 (Born , 1882--1972) 提出了概率波，认为个别微观粒子在何处出现有一定的偶然性，但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律。

二 .经典波动与德布罗意波 (物质波 )的区别 经典的波动 ( 如机械波、电磁波等 ) 是可以测出的、实际存在于空间的一种波动。

而德布罗意波 ( 物质波 ) 是一种概率波。简单的说，是为了描述微观粒子的波动性而引入的一种方法。

不确定度关系（ uncertainty relatoin)

经典力学：运动物体有完全确定的位置、动量、能量等。

微观粒子：位置、动量等具有不确定量（概率）。

１、电子衍射中的不确定度

一束电子以速度 v 沿 oy 轴射向狭缝。

电子在中央主极大区域出现的几率最大。

a

o

x

y

在经典力学中，粒子（质点）的运动状态用位置坐 标和动量来描述，而且这两个量都 可以同时准确地予

以测定。然而，对于具有二象性的微观粒子来说，是否也能用确定的坐标和确定的动量来描述呢？下面我们以电子通过单缝衍射为例来进行讨论。设有一束电子沿 轴射向屏 AB 上缝宽为 的狭缝，于是，在照相底片 CD 上，可以观察到如下图所示的衍射图样。如果我们仍用坐标 和动量 来描述这一电子的运动状态，那么，我们不禁要问：一个电子通过狭缝的瞬时，它是从缝上哪一点通过的呢 ? 也就是说，电子通过狭缝的瞬时，其坐标 为多少 ? 显然，这一问题，我们无法准确地回答，因为此时该电子究竟在缝上哪一点通过是无法确定的，即我们不能准确地确定该电子通过狭缝时的坐标。

Oy b

x p

x

对于第一衍射极小，

asin 1

式中 为 电子的德布罗意波长。

电子通过狭缝的瞬间，其位置在 x 方向上的不确定量为

p

1

a

o

x

y

ax

电子的位置和动量分别用 和 来表示。x p

同一时刻，由于衍射效应，粒子的速度方向有了改变，缝越小，动量的分量 Px 变化越大。

p

1

a

o

x

y

4

hpx x

分析计算可得 :

① 许多相同粒子在相同条件下实验 , 粒子在同一时刻并不处在同一位置。② 用单个粒子重复 , 粒子也不在同一位置出现。

动量不确定度位置不确定度

zyx ppp

zyx

,,

,,

不确定性关系

(1901~1976)德国物理学家 , 量子力学矩阵形式的创建人 , 1932 年获诺贝尔物理学奖。

经严格证明应为：

2xpx

这就是著名的海森伯测不准关系式

2ypy

2zpz

2

h

（约化普朗克常量）

能量与时间的不确定关系：

2tE

原子在激发态的平均寿命 相应地所处能级的能量值一定有一不确定量。

s10t 8

ev10t2

E 8

称为激发态的能级宽度。

我们知道，原子核的数量级为 10-15m ，所以，子弹位置的不确定范围是微不足道的。可见子弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观物体来说没有实际意义。

11 smkg0.2smkg20001.0 mvp

1414 smkg100.2smkg2100.1%01.0 pp

例 1. 一颗质量为 10g 的子弹，具有 200m·s-1 的速率，若其动量的不确定范围为动量的 0. 01%(这在宏观范围是十分精确的了 )，则该子弹位置的不确定量范围为多大 ?

解 : 子弹的动量

动量的不确定范围

由不确定关系式 (17-17) ，得子弹位置的不确定范围

mmp

hx 31

4

34

106.2100.214.34

1063.6

4

　我们知道原子大小的数量级为 10-10m ，电子则更小。在这种情况下，电子位置的不确定范围比原子的大小还要大几亿倍，可见企图精确地确定电子的位置和动量已是没有实际意义。

128131 smkg108.1smkg200101.9 mvp

132

1284

smkg0.18.1

smkg0.18.1100.1%01.0

pp

例 2 . 一电子具有 200 m/s的速率，动量的不确定范围为动量的 0. 01%(这已经足够精确了 )，则该电子的位置不确定范围有多大 ?解  : 电子的动量为

动量的不确定范围

由不确定关系式，得电子位置的不确定范围mm

p

hx 3

32

34

109.2108.114.34

1063.6

4

宏观物体 微观粒子具有确定的坐标和动量 没有确定的坐标和动量可用牛顿力学描述。 需用量子力学描述。

有连续可测的运动轨道，可 有概率分布特性，不可能分辨 追踪各个物体的运动轨迹。 出各个粒子的轨迹。

体系能量可以为任意的、连 能量量子化 。续变化的数值。

不确定度关系无实际意义 遵循不确定度关系

微观粒子和宏观物体的特性对比

不确定关系的物理意义和微观本质

1. 物理意义：

微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量 x 越小，动量的不确定量 Px 就越大，反之亦然。

2. 微观本质：

是微观粒子的波粒二象性及粒子空间分布遵从统计规律的必然结果。

不确定关系式表明： １．微观粒子的坐标测得愈准确 ( x0) ，动量就愈不准确 (px) ； 微观粒子的动量测得愈准确 (px0) ，坐标就愈不准确 ( x) 。 但这里要注意，不确定关系 不是说微观粒子的坐标测不准； 也不是说微观粒子的动量测不准； 更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准； 而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。

这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具有确定量。 这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。 由上讨论可知，不确定关系是自然界的一条客观规律 , 不是测量技术和主观能力的问题。 ３．不确定关系提供了一个判据： 当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可以用经典理论来研究粒子的运动。 当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那只能用量子力学理论来处理问题。

２．为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准 ?