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1. En un determinado mes se produjeron 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles. En el mesanterior hubo solo cuatro domingos. Entonces, el próximo mes incluiránecesariamente
A) 5 domingos. B) 5 miércoles.C) exactamente 4 viernes. D) exactamente 4 sábados.E) exactamente 4 jueves.
Resolución:
1) El mes determinado es la que se muestra (marzo). Observe que el mes anteriores febrero.
Lu Ma Mi Ju Vi Sa Do
2) El próximo mes es la que se muestra (abril).
Lu Ma Mi Ju Vi Sa Do
3) Por tanto el próximo mes incluirá necesariamente: exactamente 4 sábados
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2. En un año bisiesto se cuentan los días de la semana y se observa que hay más jueves y viernes que los demás días. ¿Qué día de la semana es el 15 de junio deese año?
A) martes B) jueves C) lunes D) miércoles E) domingo
Resolución:
Dado que un año bisiesto tiene 366 días =52 semanas y 2 días. Debemos empezar
con jueves y viernes:1 de enero es jueves2 de enero es viernes Así sucesivamente hasta llegar al 15 de junio.Total =30+29+31+30+31+15 = 166 = múltiplo(7) + 5 = martesPor lo tanto es martes 15 de junio
Clave: A
3. Considerando que hoy es lunes y que (2 )1n n días atrás, fue miércoles, ¿qué día
será luego de 1(2 )n n días?
A) martes B) jueves C) lunes D) viernes E) miércoles
Resolución:
Retrocediendo desde lunes, hasta miércoles:0
(2 )1 7 5n n
Entonces:0
120 1 7 5n 4n
Luego, debe de pasar:0
184 7 2
Será miércoles.Clave: E
4. La fiesta de HLM se realizó el día 14 de junio, un sábado del año bisiesto 2008.¿Cuántos años tienen que pasar, a partir de ese momento, para que el 14 de juniosea nuevamente sábado?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Resolución:1) Tenemos el siguiente proceso consecutivo:
Año Tipo de año Día 14 de junio:
2008 Bisiesto Sábado2009 Normal Domingo2010 Normal Lunes
2011 Normal Martes2012 Bisiesto Jueves2013 Normal Viernes2014 Normal Sábado
2) Por tanto pasarán 6 años para que el 14 de junio sea sábado nuevamente.
Clave: C
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5. Juan, el martes 11 de marzo de 1975, cumplió una edad que es igual a la suma delos dígitos del año en que nació. ¿Qué día de la semana nació?
A) jueves B) viernes C) sábado D) domingo E) lunes
Resolución:
a=5 y b=5Nació en 1955del 11 de marzo 1975 a 11 marzo 1955años transcurridos = 20años bisiestos = 5
d.t = 20 + 5= 25 =0
7 4 martes – 3 = viernes
Clave: B
6. Otto von Bismarck-Schönhausen fue político prusiano, artífice y primer canciller delsegundo Imperio Alemán o Segundo Reich. Bismarck nació en Schönhausen, alnoroeste de Berlín, el 1 de abril de 1815. ¿Qué día de la semana nació Bismarck, siel 1 de abril de 2012 fue domingo?
A) sábado B) jueves C) lunes D) viernes E) martes
Resolución:
Contaremos días transcurridos hasta abril del 2012 Años transcurridos = 2012 - 1815 = 197
Años bisiestos = 494
18162012
Días transcurridos serán: 197 + 49 = 246 =0
7 1 Luego el 1 de octubre de 1815 es sábado.
Clave: A
7. Sir Andrew John Wiles nació en Cambridge, Inglaterra, el 11 de abril de 1953; es unmatemático británico que alcanzó fama mundial en 1993 por la demostración delúltimo teorema de Fermat. Si el 11 de marzo de 2012 fue domingo, ¿qué día de lasemana nació Sir Andrew John Wiles?
A) sábado B) domingo C) lunes D) martes E) miércoles
Resolución:
11 de marzo de 2012 domingo entonces + 31 días transc.=0
7 3
11 de abril 2012 miércolesdel 11 de abril 2012 al 11 de abril 1953años transcurridos = 59bisiestos transcurridos = 15
d.t = 59 + 15 = 74 =0
7 4 miércoles – 3 = Sábado
Clave: A
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8. Alejandro Romualdo, reconocido poeta peruano de la generación del 50, nació el 19de diciembre de 1926. Entre sus publicaciones destaca “Canto coral de Túpac
Amaru” con su famoso verso que dice: “Y no podrán matarlo”. El 29 de febrero de2012 fue miércoles; halle qué día nació, si murió el 27 de mayo 2008.
A) martes B) lunes C) domingo D) jueves E) viernes
Resolución:
Nació: Día/19/12/1926El 29/02/2012 fue miércoles veamos que día fue 19/12/2011:
Días trascurridos:0
72 7 2 , entonces fue un día lunes. Ahora veamos del 19/12/1926 al 19/12/2011: Años trascurridos: 85 Años bisiestos (1928,…., 2008) = 21
Días trascurridos:0
85 21 106 7 1 Romualdo nació un día domingo.
Clave: C9. Un capataz tiene por orden realizar una obra en 30 días. Al iniciar la obra con 10
obreros trabajando 6 horas diarias, en 20 días realizan el 50% de la obra. ¿Cuántosobreros debe contratar adicionalmente, si aumenta la jornada a 8 horas diarias paraterminar la obra a tiempo?
A) 5 B) 6 C) 58 D) 15 E) 10
Resolución:
Obreros h/d días obra
10 6 20 50%
10 + x 8 10 50%
%50
%50x
20
10x
6
8
x10
10
luego x = 5
Clave: A
10. Una obra se comenzó con n obreros y a partir del segundo día se despide un obrerocada día, hasta que quedó solo 1 obrero con quien se concluyó la obra. Si el primerdía se hizo un noveno de la obra, ¿en cuántos días se terminó la obra?
A) 17 B) 16 C) 18 D) 19 E) 20
Resolución:
n obreros hicieron9
1 de la obra en 1 día, entonces los n obreros realizarán toda la
obra en 9 días.
Método: todo – parte
9(n) = 1(n) + 1(n – 1) + 1(n – 2) + …. + 1(1)
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9n =2
)1n(n luego n = 17
concluyeron la obra en 17 días.
Clave: A
11. ¿De cuantas maneras se pueden ubicar en un tablero de ajedrez que consta de 8x8
cuadriculas una ficha blanca en un casillero blanco y una ficha negra en un casilleronegro que no estén en una misma línea horizontal ni vertical?
A) 780 B) 712 C) 815 D) 768 E) 1024
Resolución:
En un tablero de ajedrez hay 32 casilleros blancos y 32 casilleros negros.En cada fila vertical u horizontal hay 4 casilleros blancos y 4 casilleros negros. Al colocar una ficha blanca en cualquier casillero blanco (32 posibilidades)
eliminamos todos los casilleros negros que estén en línea vertical y horizontal, esdecir eliminamos 4 casilleros negros verticales y 4 casilleros negros horizontalesquedando solo 32 – 8 = 24 casilleros negros.Por tanto: (32)(24) = 768
Clave: D
12. En el concurso de matemáticas organizado por el CEPUSM en un salón rindieron elexamen un total de 24 alumnos y no pasaron a la siguiente fase (fase final) tantosalumnos como la mitad de los que sí pasaron. ¿Cuántas opciones distintas se tiene
para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate? Indique como respuesta lasuma de cifras del resultado obtenido.
A) 7 B) 12 C) 15 D) 18 E) 11
Resolución: Del problema se tiene:Pasaron: 16No pasaron: 8
Luego el # de formas es: 16x15x14 = 3360
Clave: B
13. El siguiente recipiente de base cuadrangular contiene 16 m3 de agua. Luego sevierte al recipiente una cierta cantidad de agua, de tal forma que el recipiente quedatotalmente lleno. Se pide calcular el volumen del agua añadido.
A) 26 m
3
B) 30 m3
C) 35 m3
D) 36 m3
E) 38 m3
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Resolución:
Vo = volumen inicialV = volumen de agua añadidoVr = volumen del recipientePor semejanza de pirámides:
3 3
3 3
2 16 254
3 3
or
r r
V V
V V
Por tanto: V = Vr - Vo = 54 – 16 = 38
Clave: E
14. En la figura mostrada, ABCD-EFGH es un prisma recto cuyas bases son regionescuadradas. Si M es punto medio, calcule la razón entre los volúmenes de lapirámide H – BMN y el prisma.
A)1
18
B)1
9
C) 1
6
D)1
14
E)1
20
Resolución:
pirámide(2U)h
V
3
prismaV (12U)h
Por tanto: pirámide
prisma
V 1
V 18
1. En enero de un cierto año hubo 4 martes y 4 sábados. ¿Qué día de la semana fue el9 de enero de ese año?
A) lunes B) martes C) miércoles D) jueves E) viernes
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Resolución:
1) Se tiene el mes de enero:
Lu Ma Mi Ju Vi Sa Do
1 2 3 4 5
12
19
26
31
6
13
20
27
7 8 9 10 11
14 15 16 17 18
21 22 23 24 25
28 29 30
Enero
2) Por tanto 9 de enero fue Jueves.
Clave: D
2. Si el ayer de n días después del pasado mañana de mañana, coincide con elmañana de 2n días después de ayer, ¿qué día de la semana fue nn días antes de
ayer, si pasado mañana es domingo?
A) lunes B) martes C) domingo D) jueves E) sábado
Resolución:
...Hoy
2n
n
Del gráfico: 2n + 1 = n + 4 → n = 2Si pasado mañana es domingo, el día de ayer fue jueves y 4 días antes fuedomingo.
Clave: C
3. El viernes 7 de diciembre del 2012 se celebrará una misa muy especial, la familia deDiego se reunirá en la iglesia para conmemorar 110 años de la muerte de sutatarabuelo. ¿Qué día de la semana falleció el tatarabuelo de Diego?
A) viernes B) sábado C) lunes D) domingo E) martes
Resolución:
2012 – 110 =19021902, 1903, 1904, ……, 2012 # de bisiestos = (2012-1904)/4 + 1=28# de días transcurridos = 110+28=138=7(19)+5Día pedido = viernes – 5 = domingo
Clave: D
4. Charles Darwin, llamado padre de la teoría de evolución, nació el 12 febrero de1809. En 1859 publico su libro “El origen de las especies” donde formuló que todaslas especies de seres vivos, han evolucionado mediante un proceso de selecciónnatural que consiste que miembros de una población con características másadaptables sobreviven,….Murió el 19 de abril de 1882. Hallar el día que murió si el29 de febrero de 2012 fue miércoles.
A) Sábado B) jueves C) domingo D) viernes E) miércoles
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Resolución:
Como por dato tenemos que: miércoles 29/02/2012
Días transcurridos para 19/04/2012:0
50 7 1 y debe ser juevesMurió: día 19/04/1882 y es jueves 19/04/2012 Años trascurridos: 130 Años bisiestos: 33 – 1 = 32
Días trascurridos:0
130 32 162 7 1
C. Darwin murió un día miércoles.Clave: E
5. Una cuadrilla de 12 obreros puede terminar una obra en 15 días, trabajando 10horas diarias. Al cabo de 7 días de labor se enferman 5 de los obreros, 3 días mástarde, se comunica al contratista que termine la obra a tiempo. ¿Cuántos obrerosadicionales tendrá que contratar para cumplir en el plazo fijado?
A) 8 B) 10 C) 9 D) 11 E) 7
Resolución:
Método: todo – parte
15 x 12 x 10 = 7 x 12 x 10 + 3 x 7 x 10 + 5 (7 + x) 10
Luego x = 8
Contrata adicionalmente 8 obreros.
Clave: A
6. Un grupo de obreros pueden terminar una obra en 13 días, trabajando 6 horasdiarias. Después de 3 días de trabajo se determinó que la obra quedase terminada 4días antes del plazo inicial y para lo cual se contrata 5 obreros más y todos trabajan8 horas diarias; terminando la obra en el nuevo plazo fijado, ¿con cuántos obrerosse inició dicha obra?
A) 20 B) 18 C) 21 D) 22 E) 24
Resolución:
Método: todo – parte, X = Nro. De obreros al inicio.
13(x) (6) = 3 (x) (6) + 6 (x + 5) (8)
x = 20
Clave: A
7. Víctor invita al cine a su novia y a tres de sus amigas al cine, si los asientos son filasde 5 butacas cada una y todos se deben sentar en la misma fila; entonces las
afirmaciones siguientes son:- Los 5 podrán ubicarse de 25 maneras diferentes- Si Víctor se sienta siempre en el medio, se podrán ubicar de 24
maneras diferentes- Podrán ubicarse de 48 formas diferentes, si Víctor se sienta junto a su novia.
A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) FFV
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Resolución:
Como son 5 personas, el 1º 5 posibilidades, el 2º 4 posibilidades,el 3º 3 posibilidades, el 4º 2 posibilidades, el 5º 1 posibilidad. Es decir
5x4x3x2x1=120. Así la afirmación 1 es falsa.
Al ubicarse en el medio Víctor quedan 4 disponibles 4x3x2x1=24 por tanto laafirmación 2 es verdadera.
Víctor y su novia, se pueden contar como uno solo, luego 4x3x2x1=24 y entreVíctor y su novia pueden intercambiar posiciones. Es decir 2x24=48. Así la
afirmación 3 es verdadera.
Clave: D
8. Una familia que se encuentra en Lima desea visitar a unos parientes que seencuentran en Puno, se dan cuenta que tienen dos formas de llegar:
A) Lima –(6 carreteras) – Junín –(5 carreteras) – Cusco –(3 carreteras) – Madre de
Dios –(4 carreteras) – Puno.
B) Lima –(4 carreteras) – Huancavelica –(5 carreteras) – Ayacucho –(9 carreteras) – Apurímac –(5 carreteras) – Cusco –(5 carreteras) – Puno.
¿De cuantas maneras diferentes la familia se puede trasladar para llegar a Punotomando cualquiera de las dos rutas propuestas? Indique como respuesta la sumade cifras de dicho resultado.
A) 18 B) 15 C) 21 D) 22 E) 16
Resolución:
El número de formas en cada caso es:
A) 6x5x3x4=360
B) 4x5x9x5x5 = 4500
Luego el total es = 4860 Clave: A
9. Un profesor de matemática de una Institución Educativa asigna un problema deGeometría a Perico para que calcule el volumen del prisma recto que se muestra enla figura. Si la arista lateral mide 20cm y Perico resolvió el problema, ¿cuál es elvolumen del prisma?
A) 35320cm
B) 35400cm
C) 34440cm
D) 33910cm
E) 34980cm
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Resolución:
BC 39 AB
ANM ABC: BC 15 y AB 365 13 12
Volumen=
36 15
( )(20) 54002
Clave: B
10. Se funde una bola de plomo de 3 cm de radio para obtener luego bolitas del mismomaterial, con radio de 1 cm cada una. ¿Cuántas bolitas, como máximo seobtendrán?
A) 27 B) 30 C) 35 D) 26 E) 28
Resolución:
Sea n el número de bolitas obtenidas.Como los volúmenes de la esfera original y la suma de las n pequeñas, deben seriguales tenemos:
27n)1(3
4n)3(
3
4 33
Clave: A
Aritmética
1. Si35
132
2)!(2x
2)!(xx!
1)!(x1)!(x
(2x)!
-, halle (x – 1)!
A) 120 B) 720 C) 24 D) 6 E) 2
SOLUCION:
(2x)(2x 1)(2x 2)! x(x 1)!(x 2)! 132
(x 1)!(x 2)!(x 1)x(x+1) (2x 2)! 35
x(2x 1) 66x = 6 (x 1)! = (6 1)! =120
(x 1)(x +1) 35
CLAVE: A
2. De un juego de 52 naipes se extrae al azar tres de ellas. Halle la cantidad demaneras de extraer al menos un as
A) 4 804 B) 4 200 C) 4 400 D) 4 800 E) 4 600
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SOLUCIONX = # de ases 4 48 4 48 4 481 2 2 1 3 0x 1 C C C C C C 4804
CLAVE: A
3. En una reunión hay 4 estudiantes y 10 profesores. ¿Cuántas comisiones de 5personas pueden formarse, si en cada una de ellas participan a lo más 2alumnos?
A) 1 800 B) 1 812 C) 1 821 D) 1 802 E) 1 281
SOLUCION#E = 4; #P = 10 4 10 4 10 4 100 5 1 4 2 3C C C C C C 1812
252 + 840 + 720CLAVE: B
4. Un estudiante debe responder obligatoriamente 8 de 10 preguntas enumeradasde un examen. Si tiene que elegir al menos 4 de las cinco primeras, halle la
cantidad de maneras, como podría responder dicho examen
A) 25 B) 38 C) 30 D) 36 E) 35
SOLUCION
_ _ _ _ _
n = 8 5 5 5 54 4 5 3C C C C 25 10 35
CLAVE: E
5. Con las letras de la palabra “MATEMATICO” ¿Cuántas permutaciones sepueden formar con la condición de que las letras iguales estén equidistantesde los extremos?
A) 1440 B) 1220 C) 1430 D) 1600 E) 1340
SOLUCION
MATEMATICO MAT_ _ _ _ TAM # formas = 5.4.3.4! = 1440CLAVE: A
6. El capataz de un grupo de 20 obreros que construyen el tren eléctrico, pidealeatoriamente, la opinión a tres de ellos sobre las nuevas disposiciones deseguridad en la construcción. Si 12 están a favor y 8 están en contra, ¿cuántosresultados posibles obtendrá el capataz de dicho sondeo?
A) 1 140 B) 1 104 C) 1 100 D) 1 401 E) 1 144
SOLUCION# FAVOR = 12 # CONTRA = 8 12 8 12 8 12 8 12 83 0 2 1 1 2 0 3C C C C C C C C 1140
CLAVE: A
_ _ _ _ _
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7. Benito solo puede jugar a la ruleta 5 veces donde ganará o perderá S/. 1 000 encada juego. Si empieza a jugar con S/. 2 000 y dejará de jugar a la quinta vez ósi pierde todo su dinero ó si gana S/. 3 000, esto es si completa los S/. 5 000.Halle el número de formas como puede suceder el juego
A) 30 B) 20 C) 40 D) 50 E) 25
SOLUCION
Total de casos: 25
Casos que culminan: FaltaGGG 4GPPP 2PGPP 2PP 8 16 juegos TOTAL: 32 – 16 + 4 = 20
CLAVE: B
8. En el número capicúa de 15 cifras ATINAANITALAVAL . ¿Cuántas
permutaciones se pueden hacer con sus dígitos, teniendo en cuenta que todaslas vocales siempre deben estar juntas, lo mismo que las consonantes?
A) 35 200 B) 35 208 C) 35 820 D) 35 280 E) 35 802
SOLUCION
# permutaciones = 2!. 8 76;2 2;2;2P .P =8! 7!
2 . 352807!2! 2!2!2!
CLAVE: D
9. ¿Cuántos productos diferentes se pueden obtener con los números naturalesdel 33 al 41, ambos inclusive, tomándolos de tres en tres?
A) 84 B) 648 C) 5 040 D) 48 E) 468
SOLUCION9
3C 84
CLAVE: A
10. Willy, Lucho, José, Pedro, Sandra y Karina van al teatro y deben ubicarse enuna fila de seis asientos. Si Sandra y Karina deben ubicarse en los dosasientos del centro, ¿de cuántas maneras diferentes podrán acomodarse?
A) 120 B) 24 C) 48 D) 12 E) 6
SOLUCION _ _ S K _ _ 4!2! = 48
CLAVE: C
11. Una grupo de turistas debe realizar un viaje de excursión, para el cual cuentancon tres vías para poder hacerlo; partiendo en tren, continuando en ómnibus ypara llegar a su destino en avión. Si hay 5 rutas para el tren, 3 para el ómnibusy 2 para el avión, ¿de cuántas maneras diferentes podrán decidir el viaje?
A) 30 B) 10 C) 12 D) 24 E) 48
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SOLUCION
TREN OMNIBUS AVIONA MB X # FORMAS: 5.3.2 = 30C ND YE P
CLAVE: A
12. ¿Cuántos números mayores de 5 000 pueden formarse con los dígitos 1, 2, 4 y 5?
A) 24 B) 12 C) 6 D) 120 E) 240
SOLUCION
5 _ _ _ = 63.2.1
CLAVE: C
A) 924 B) 936 C) 926 D) 928 E) 920
SOLUCION
2 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 6 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 12 1210 9;2 10P P P 924
CLAVE: A
2. De cuántas maneras se pueden sentar tres hombres y tres mujeres alrededorde una mesa circular de seis asientos, sino debe haber dos mujeres juntas nidos hombres juntos?
A) 6 B) 12 C) 10 D) 4 E) 16
SOLUCIONC3 3P .P 2!3! 12
CLAVE: B
3. ¿Cuántos números de tres cifras menores que 436 pueden obtenerse con losdígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7?
A) 187 B) 197 C) 166 D) 162 E) 192
1. ¿Cuántos números de 12 cifras tienen como productos de cifras a 12?.
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SOLUCION
______
abc
1 1 1
2 2 2
. .
. .
3 7 7 entonces 3.7.7 = 147
4 1 7 = 7
4 2 7 = 7
4 3 5 = 5 Por lo tanto 147 + 7 + 7 + 5 = 166
CLAVE: C
4. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden obtener permutando, tres asteriscos,tres puntos y cuatro líneas verticales?
A) 2100 B) 4800 C) 10400 D) 4200 E) 720
SOLUCION
* * * . . . | | | | 104;3;3P 4200
CLAVE: D
5. Se quiere pintar una bandera que tiene cinco franjas horizontales y para ellodispone de cuatro colores diferentes. Si dos franjas contiguas no puedenpintarse de un mismo color, ¿de cuantas maneras diferentes se puede pintar labandera?
A) 360 B) 512 C) 340 D) 1024 E) 324
SOLUCION
Total = 4.34 = 324
C13333
CLAVE: E
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6. Tres parejas de esposos que asisten al teatro desean sentarse en una fila conocho asientos desocupados ¿de cuantas maneras pueden sentarse si cadapareja quieren estar juntos?
A) 480 B) 960 C) 360 D) 420 E) 512
SOLUCION
_ _ _ _ _ _ _ _ 5 325.4.3.2!
P .2 .8 4802!
CLAVE: A
7. Con las letras de la palabra “MARACUYA” ¿Cuántas permutaciones puedenrealizar si las vocales deben estar juntas?
A) 620 B) 480 C) 720 D) 600 E) 512
SOLUCION
AAAUMRCY 5! 43P = 120.4 = 480
CLAVE: B
8. De cinco hombres y ocho mujeres cuantas parejas mixtas se pueden formar siJuan se niega a formar pareja con María y Rosa
A) 60 B) 48 C) 38 D) 124 E) 96
SOLUCION
H = 5; M = 8# Parejas = 8.5 – 2 = 38
CLAVE: C
9. Si las consonantes de la palabra “UNIVERSITARIA” ocupan la mismaposiciones, de ¿Cuántas maneras pueden permutar las vocales?
A) 960 B) 840 C) 780 D) 420 E) 920
SOLUCIONIIIAAUE 73;2P 420
CLAVE: D
10. Se tiene cuatro libros diferentes de física y tres libros diferentes de matemática¿de cuántas maneras se podrá ubicar en un estante para cinco libros y deben
estar en forma alternada?
A) 256 B) 240 C) 144 D) 320 E) 216
-
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SOLUCION
F = 4; M = 3
F M F M F
M M M F M 4.3.2.3.2 + 3.2.1.4.3 = 144 + 72 = 216
CLAVE: E
Álgebra
1. Si a,2,b,4,b,2a,3,a,4,2f es una función, hallar
6f .
A) – 1 B) – 2 C) – 3 D) – 4 E) – 5
Solución:
36f
3bb4f ,34f
4aa2f y42f
a,2,b,4,b,2a,3,a,4,2f
Clave: C
2. Hallar el rango de la función 2,2xsi,1xxxf .
A) 0,3 B) 2,3 C) 1,3 D) 1,3 E) 1,0
Solución:
1,311,3f RanLuego
1y3
11x23
0x240x2Como
2,0xSi,1
0,2xSi,1x2xf
2,2x,1xxxf
Clave: D
-
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3. Hallar el mínimo valor de la función f tal que 9x12x3xf 2 .
A) 3 B) – 3 C) – 4 D) – 6 E) – 2
Solución:
3esf devalor mínimo
3y
312x3
112x
02x
12x3
3x4x3
9x12x3xf
2
2
2
2
2
2
Clave: B
4. Determine la suma de los cuadrados de los elementos enteros del dominio de
la función 1xx164x2xxf 22 .
A) 36 B) 16 C) 29 D) 30 E) 8
Solución:
30169414321
4,1,14,4f Dom
,1x
1x01x)iii
4,4x
04x4x
016x
0x16)ii
x
031x
04x2x)i
01x0x1604x2x:iominDo
1xx164x2xxf
2222
2
2
2
2
22
22
R
R
Clave: D
-
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5. Si f Ranf Domhalle,5x
x5xf
.
A) ,0 B) ,0 C) 5,0
D)
5,0 E)
5,0
Solución:
5,05,0,05,f Ranf Dom
Luego
5y5y
y5x
5x
x5y
0y05x
x5
y:Rango)ii
,05,x
05x
x5:iominDo)i
5x
x5xf
2
22
Clave: D
6. Sean1x
2xxgy
1x
2xxf
funciones reales de variable real.
Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i) Las funciones f y g tienen el mismo dominio.
ii) Si ,1hDom,xgxf xh .
iii) 2,fgDom
A) FVF B) FFF C) FVV D) FFV E) VVF
–5 0
-
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Solución:
,1,1,201x02xxgDom
,12,01x
2x /xf Dom
1x
2xxgy
1x
2xxf
/R
R
F)iii
V)ii
F)i
,1fgDom
,1,1,12,gf Dom
Clave: A
7. Si f :
es una función tal que 3xxxf 2 , hallar el máximo de f en
1,0 .
A)4
5 B) –
4
11 C)
4
13 D) 12 E) – 3
Solución:
4
11esf demáximoelLuego
4
11xf 3
4
1
4
1
2
1x0
04
1
2
1x
4
1
4
1
2
1x0
21
21x
21
1x01,0xComo
34
1
2
1xxf
1,0xsi,3xxxf
2
2
2
2
2
Clave: B
-
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8. ¿Cuáles de las siguientes funciones son pares?
4,4xsi,11xxf )IV
4,3xsi,1xxf )III
2,2xsi,1xxf )II
1,1xsi,1xxf )I
A) Todas B) I y II C) I , II y III D) II y IV E) I , II y IV
Solución:
paresfuncionesson)IVy)II,)ILuegof Domxf DomxSi)b
f Domx,xf 1x1xxf )a
1xxf
Clave: E
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Si f es una función definida por bxbaxf , ba tal que
10,2,7,1f , hallar el valor de f (a + b).
A) – 8 B) – 11 C) 10 D) 0 E) – 6
Solución:
1141545415f Luego
5ba1a;4b4b
10b3a2
14b4a2
10b3a2
7b2a
:solviendoRe
10b3a210bb2a210bba2102f
7b2a7bba71f
bxbaxf
Clave: B
2. Determine el conjunto de valores de x de modo que la función3x2xf sea no negativa.
A) 1,2 B) 8,2 C) 6,1 D) 5,1 E) 8,5
-
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Solución:
5,1x
5x1
23x2
23x
03x2y
3x2xf
Clave: D
3. Dada la función cuadrática bxaxxf 2 tal que
x,x1xf xf . Hallar a – b.
A) – 2 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
Solución:
0ba
2
1b
2
1a0ba
2
1a
xbaax2
xbbxaax2axbxax
x1xb1xabxax
x1xf xf bxaxxf
22
22
2
Clave: B
4. Dada la función 4x36xf 2
. Hallar la suma de los elementos del
conjunto f Ranf Dom .
A) 5 B) 11 C) 9 D) 15 E) – 7
-
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Solución:
6,6x
06x6x
0x36:iominDo 2
72101234
2;1;0;1;2;3;4Z2,46,6f Ranf Dom
2,4y
2y1064y6
364y
04y36
4y36x
x364y
4y0x364y
4x36y:Rango
2
2
22
22
2
2
Z
Clave: E
5. Hallar el dominio de la función2xx
1xxf
2
.
A)
,11,2 B) ,62,3 C) ,10,2
D) ,10,3 E) ,31,2
Solución:
;11;2f Dom
01x2x
1x
2xx
1x:iominDo
2xx
1x
xf
2
2
Clave: A
-
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6. Si RR :f es una función tal que 2x1002xf , hallar
f Ranf Dom .
A) 10,8 B) 8,0 C) 10,2 D) 10,2 E) 10,0
Solución:
10,10x
010x10x
0x100:iominDo
x1002xf
2
2
10,212,210,10f Ranf Dom
12,212,8,2f Ran
12,8y
012y8y
0y8y12
02y102y10
02y100x
x1002y
2y0x100
x1002y:Rango
22
22
2
2
Clave: C
7. Dada la función cuadrática 5x4xxf 2 . Indicar que puntos de f cumplenque su diferencia de coordenadas es 9 y su abscisa no sea un número primopositivo.
A) 7,2 B) 5,4,8,1
C)
5,4,7,2 D)
5,4,8,1,7,2
E) 1,8,4,5
-
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Solución:
f 8,1f 5,45y,4x;8y,1x
1x4x01x4x95x4xx9yxsiAhora
f 7,2
7y,2x2x7x
02x7x
014x5x
95x5x9x5x4x9xyf y,xSea
5x4xxf
2
2
22
2
Clave: D
8. ¿Cuáles de las siguientes resultan de la suma de una función par y una
función impar?
I) g(x)= x2senx3cos
II) h(x)= 1x2x
III) xf xf 2
1xf xf
2
1xf
A) Solo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I , II y III
Solución:
Sea f (x) una función
xf xf 2
1xf xf
2
1xf
par impar
Luego toda función es la suma de una función par e imparClave: E
Tr igonometría
1. La función real f definida por f(x) = tg5x ctg5x + 10. Hallar el complemento deldominio de f.
A)
Zn/5
n B)
Zn/10
n C) Z n/n
D)
Zn/6
n E)
Zn/2
n
-
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Solución:
5x (2n + 1)2
5x n
x (2n + 1)10
x
5
n x
10
n
(Domf)c =
Zn/10
n
Clave: B
2. Hallar el complemento del dominio de la función f definida por
f(x) 12 ctg cosx 5 .
A)
Zn/2
)1n2( B) Z n/n C)
Zn/2
n
D)
Zn/4
n E)
Zn/3
)1n2(
Solución:
cosx n
cosx n
cosx 1
x n
(Domf)c = Z n/n
Clave: B
3. Hallar el complemento del dominio de la función real f definida por
ctg4xf(x)
sec 4x 1
.
A)
Zn/
2
n3 B) Z n/n C)
Zn/
2
n
D) ,4 2
E)
Zn/4
n
Solución:
f(x) =1x4sec
x4ctg
está definida si sec4x 1 sen4x 0
entonces 4x 2n 4x n
x 2
n x
4
n
x 4
n
-
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4. Sea la función real f definida por f(x) = 2 ctg csc6x4
, x
5,
12 36
. Hallar el
rango de f.
A) 2,3 B) 1,3 C) 0,2 D) 1,2 E) 0,1
Solución:
Como12
x
36
5, entonces
2
6x
6
5
1 csc6x 2
4
4
csc6x
2
0 ctg
x6csc
4 1
2 f(x) 3
Ran(f) = 2,3
Clave: A5. Hallar el rango de la función real f definida por f(x) =
2sec x csc x 1 .
A) [1, B) [9, C) 1, D) 9 , E) [2,
Solución:
f(x) = (secxcscx + 1)2 = (2csc2x + 1)2
csc2x – 1 csc2x 1
2csc2x – 2 2csc2x 2
2csc2x + 1 – 1 2csc2x + 1 3
(2csc2x + 1)2 1 (2csc2x + 1)
2 9
Ran(f) = [1,
Clave: A
6. Sea la función real f definida por f(x) = 2csc x 10csc x 20 , x 5
,4 6
.Si el rango
de f es a,b , calcularab 4
10
.
A)5
2 B)
5
7 C) 4 D) 5 E) 10
-
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Solución:
f(x) = (cscx – 5)2 – 5
tenemos4
x
6
5, entonces
1 cscx 2
– 4 cscx – 5
– 3
9 (cscx – 5)2 16
4 (cscx – 5)2 – 5 11
Ran(f) = [4,11]
ab 4
10
= 4
Clave: D
7. Si el rango de la función real f definida por f(x) = tgx sec x csc x , x 2 5
,3 6
es a,b , calcular a + 3b.
A) 2 2 B) 3 3 C) 3 2 D) 2 3 E) 3 2 Solución:
f(x) = – tgx + secxcscx = – xcossenx
1
xcos
senx
= – xcossenx
1xsen2 =
xcossenx
xcos2 = ctgx
Luego6
5x
3
2
–
3
3)x(f 3
a + 3b = – 2 3
Clave: D
8. La función real f está definida por f(x) = 3cscx ,5
x , ,4 4
. Si el rango
de f es ,b a, , hallar2a b .
A) 20 B) 30 C) 21 D) 22 E) 39
-
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Solución:
Si x
,4
, entonces cscx 1
Si x 4
5,
, entonces cscx – 2
Luego
3cscx 3 3cscx – 3 2 Ran(f) = [3, , – 3 2 ]
a = 3, b = – 3 2
a + b2 = 3 + 18 = 21Clave: C
9. Sea f la función real definida por f(x) =sec x
2, 4 6x 7 . ¿En cuánto excede
el valor máximo de f a su valor mínimo?
A)2
1 B) 1 C)
4
1 D)
3
1 E) 2
Solución:
Como 4 6x 7 , entonces
3
2 x <
6
7
– 2 secx – 1
– 1 2
1secx –
2
1
Exceso =
2
1 – ( – 1) =
2
1
Clave: A
10. Hallar el periodo de la función real f definida por f(x) = 2 2sec x ctg x .
A) B) 2 C)4
D)
2
E)
3
Solución:
f(x) = sec2x + ctg2x + 1 – 1
f(x) = sec2x + csc2x – 1
f(x) = 4csc22x – 1
T =2
Clave: D
-
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1. Halle el dominio de la función real f definida por f(x) = 2ctg2x sec 2x .
A) R –
Zn/2
)1n2( B) R –
Zn/2
n C) R –
Zn/3
n
D)R
– Z
n/n E)R
–
Zn/4
n
Solución:
f(x) = ctg2x + sec22x
Dom(f) : 2x n 2x (2n + 1)2
, n Z
x
2
n x (2n + 1)
4
x 4
n
Dom(f) = R –
Zn/4
n
Clave: E
2. Hallar el rango de la función real f definida por f(x) = 4 4sec 4x tg 4x 4 .
A) [2, B) [0, C) [4, D) [5, E) 5 ,
Solución:
Tenemos
f(x) = 2sec24x – 2sec24x + 5 = 2(sec24x – 1)2 +2
9
Pero sec24x 1 sec24x – 2
1
2
1
2
22
1x4sec
4
1
2
2
2
2
1x4sec
+
2
9 5
Ran(f) = [5,
Clave: D
3. Halle el rango de la función real f definida por f(x) = 2 2x x xcsc c tg 4csc 32 2 2
,
x 7
2 ,3
.
A) 2 2,
B) 1 , C) 1 , D) 2,
E) 2,
-
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Solución:
f(x) = 22
xcsc4
4
xcsc2 2
f(x) =
1
2
xcsc2
2
xcsc2 2
f(x) = 12xcsc2
como x 7
2 ,3
, entonces csc
2
x – 2
1 12
xcsc
2 f(x)
Ran(f) = 2,
Clave: D
4. Sea f una función real definida por f(x) = 2csc 2x 2 csc2x 25 . Hallar el valor
mínimo de f.
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28
Solución:
f(x) = 21x2csc + 24
como x2csc 1 21x2csc 4
2
1x2csc + 24 28
f(x) 28Clave: E
5. Sea f una función real definida por f(x) = (ctg2x csc2x) tgx sec2x . Hallar el
periodo de f.
A) B) 2 C)2
D)
4
E)
3
Solución:
f(x) = ctgxtgx + sec2x
f(x) = 1 + sec2x
T =
Clave: A
-
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Geometría
1. En la figura, L es la directriz de la parábola P de foco F. Halle la ecuación de L.
A) 3x – 4y + 12 = 0
B) 4x – 3y + 12 = 0
C) 3x + 4y – 12 = 0
D) 4x – 3y – 12 = 0
E) 3x – 4y + 3 = 0
Solución: Trazar PQ L
PQ = PF = 3 (Propiedad)
Trazar RP (bisectriz)
Sea la ecuación de L
y = mx + b m = tg37° =43
b = 3
3x – 4y + 12 = 0Clave: A
2. En la figura, se muestra una parábola P de vértice V( – 6,0) y cuyo eje focal es eleje X. Si la parábola pasa por los puntos A(2, 8) y B( – 3, – k), halle k.
A) 6
B) 2 6
C) 26
D) 32
E) 52
143°
Y
XR F
Q
O
P(5,3)3
3
L
37°/2
54
P
-
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32/137
Solución:
Eje focal // eje x (p > 0)
(y – k)2 = 4p(x – h)
V = ( – 6,0) y2 = 4p(x + 6)
A = (2,8) 64 = 4p(8) 4p = 8
y2 = 8(x + 6)
Reemp. B( – 3, – k)
k2 = 8(3) k = 2 6
Clave: B
3. Si P( – 2, – 4) es punto medio de una cuerda de la parábola: y2 + 6x + 10y + 19 = 0,
halle la ecuación de la recta que contiene a dicha cuerda.
A) x + 2y + 10 = 0 B) x + 3y + 14 = 0 C) 3x + y + 10 = 0
D) 2x + y + 8 = 0 E) x + 3y – 10 = 0
Solución:
Ec. de P : (y + 5)2 = – 6(x + 1)
eje focal // eje X (p < 0)
V = ( – 1, – 5)
x1 + x2 = – 4 y1 + y2 = – 8
Reemp:
y 21 + 6x1 + 10y1 + 19 = 0
y 22 + 6x2 + 10y2 + 19 = 0
8(y2 – y1) + 6 (x2 – x1) 10(y2 – y1) = 0
3xx
yy
12
12
3
2x
4y
3x + y + 10 = 0
Clave: C
4. Una parábola contiene al punto R( – 1, – 2), su lado recto tiene como longitud 4 m, sueje focal es paralelo al eje X y su vértice cuya ordenada es positiva pertenece a larecta x – 3 = 0. Halle la ecuación de la parábola.
A) (y – 6)2 = 4(x – 3) B) (y + 6)
2 = – 4(x – 3) C) (x – 2)2 = – 4(y – 2)
D) (y – 2)2 = – 4(x – 3) E) (x – 3)
2 = – 4(y – 2)
)(
Y
X
P
V
B
A
Y
X
(x ,y )2 2
(x ,y )1 1
(x,y)
P( 2, 4)
-
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33/137
Solución:
Eje focal // eje X (p < 0)
(y – k)2 = 4p(x – h)
V = (3,k) (y – k)2 = 4p(x – 3)
p4 = 4 4p = – 4 p = – 1
(y – k)2 = – 4(x – 3)
Reemp. R( – 1, – 2)
( – 2 – k)2 = – 4( – 1 – 3) k = 4 – 2 k = 2
Ec. P : (y – 2)2 = – 4(x – 3)
Clave: D
5. La ecuación de una parábola es y2 – 4x – 2y – 11 = 0. Halle la distancia en metrosdel foco a la directriz.
A) 3 m B) 3,5 m C) 2,5 m D) 1 m E) 2 m
Solución:
Ec. P : y2 – 2y + 1 = 4x – 12
(y – 1)2 = 4(x – 3)
d(F,L ) = p2
p4 = 4 p2 = 2
Clave: E
6. Halle la ecuación de una parábola cuyo vértice es el punto V(2, – 3), pasa por elpunto A(4, –1) y su eje focal es la recta x – 2 = 0.
A) )3y(2)2x( 2 B) )3y(4)2x( 2 C) )3y(2)2x( 2 D) )3y(4)2x( 2 E) )3y(8)2x( 2
Solución:
Eje focal // eje Y
(x – h)2 = 4p(y – k) p > 0
(x – 2)2 = 4p(y + 3)
Para x = 4 y = – 1
Reemp. 4 = 4p(2) 4p = 2
(x – 2)2 = 2(y + 3)Clave: A
Y
X
V = (3,k)
R( 1, 2)
3
Y
X
P
V
eje focal
Y
X
V(2, 3)
eje focal
-
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7. El agua que fluye de un grifo horizontal que está a 25 m del piso, describe una curvaparabólica con vértice en el grifo. Si a 21 m del piso, el flujo del agua se ha alejado10 m de la recta vertical que pasa por el grifo, halle a qué distancia de esta rectavertical tocará el agua el suelo.
A) 20 m B) 25 m C) 26 m D) 21 m E) 28 m
Solución:
Eje focal // eje Y
x2 = 4py y p < 0
Para x = 10 y = – 4
Reemp.:
100 = 4p( – 4) 4p = – 25
x2 = – 25y
x2 = – 25( – 25)
x = 25Clave: B
8. En la figura, CM es el lado recto de la parábola P de vértice V (1,0) y el área de la
región sombreada es8
9 m2. Halle la ecuación de la parábola.
A) y2 = 3(x – 1)
B) (x – 1)2 = 3y
C) (x – 1)2 = 2y
D) (y – 1)2 = 3x
E) (x – 1)2 = 6y
Solución:
Asomb =2
pp4 2p2
4
8
9
p =4
3
Eje focal // eje Y
V = (1,0) y p > 0
(x – 1)2 = 3y
Clave: B
X
Y
2125
410
x
C
O V
M
Peje focal
p
4p
F
Y
X
-
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9. En la figura, OA es diámetro, A y V son puntos de tangencia y el área del
semicírculo es 50. Si el eje X es directriz de la parábola P y 2AB = 3AO, halle la
ecuación de dicha parábola.
A) (x + 2)2 = 24(y + 6)
B) (x – 2)2 = –12(y + 6)
C) (y – 6)2 = 12(x – 2)
D) (x – 2)2 = 24(y – 6)
E) (x – 2)2 = 12(y – 6)
Solución:
A =
8
OA2= 50 OA = 20
V = (2,6) y p > 0
Eje focal // eje Y
(x – 2)2 = 4p(y – 6)
Si eje X es directriz
p = 6Reemp:
(x – 2)2 = 24(y – 6)
Clave: D
10. Un arco parabólico tiene 18 m de altura y 24 m de ancho. Si la parte superior del arcoes el vértice de la parábola. Halle la altura donde la parábola tiene un ancho de 16 m.
A) 14 m B) 9 m C) 12 m D) 8 m E) 10 m
Solución:
Eje focal // eje Y
V = (0,0) y p < 0
x2 = 4py
Para x = 12 y = – 18
122 = 4p( – 18) 4p = – 8
x2 = – 8y
Para x = 8 y = – (18 – h)
64 = 8(18 – h) h = 10Clave: E
eje focal
P
O
V
Q A X
Y
B
2
6
8 10
10
37°30
24
16
h
18
X
Y
V
-
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11. Una parábola cuya ecuación es y2 = 20x, pasa por el punto M de abscisa igual a 7.Halle el radio focal del punto M.
A) 10 m B) 12 m C) 8 m D) 9 m E) 14 m
Solución: Si y
2 = 20x
Eje focal // eje X
V = (0,0) y p > 0
p = 5
Para x = 7 y = b
b2 = 20 7 b = 2 35
d = 22 )0352()57(
d = 12
Clave: B
12. Halle la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro el lado recto de laparábola cuya ecuación es y2 = 16x.
A) (x + 3)2 + (y – 1)
2 = 8 B) (x – 2)
2 + y
2 = 25 C) x
2 + (y – 3)
2= 32
D) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25 E) (x – 4)2 + y2 = 64
Solución: Si y2 = 16x
Eje focal // eje X
V = (0,0) y p > 0
4p = 16 p = 4
Ec. circunf.
(x – 4)2 + y
2 = 64
Clave: E
13. En la figura, F y V son foco y vértice de la parábola P: Si VO = 10 m y ON = 12 m,halle la ecuación de la parábola.
A) (x – 10)2 = 25y/6
B) (x + 5)2 = 15y/2
C) (x – 10)2 = 25y/3
D) (x – 5)2 = 25y/3
E) (x – 10)2 = 50y/3
Y
XF(5,0)
M(7,b)
d
Y
XF(4,0)
8
8
-
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Solución:
Eje focal // eje Y
V = (10,0)
(x – 10)2 = 4py
Para N = (0,12)
100 = 4p(12) 4p =3
25
(x – 10)2 =3
25y
Clave: C
14. Se tiene una parábola P : y = x2, en la cual se traza la recta L paralela a
L1 : y = 2x – 7, y que pasa por el punto (0,3). Halle la longitud del segmento que
tiene como extremos los puntos de intersección de L y P:
A) 4 2 B) 5 2 C) 4 5
D) 3 2 E) 2 3
Solución:
L : y = mx + b
Si L // L1 mL = 2
Reemp:
y = 2x + 3
L P
x2 = 2x + 3
x2 – 2x + 1 = 3 + 1
(x – 1)2 = 4 x = 1 2
x = 3 y = 9
x = – 1 y = 1
d = 4 5
Clave: C
O V
eje focal
Y
X
NF
12
10
Y
X
( 1,1)
(3,9)d
-
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-
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Solución:
d(C,L) =22 52
18)1(5)3(2
= 29
R2 = ( 29 )2 + 32 = 38
Ec. de C :(x-3)2 + (y+1)2 = 38
Clave: D
3. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(3,5) y es tangente a la
recta L : 3x + y + 2 = 0 en el punto B(-1 ,1).
A) (x – 2)2 + (y + 2)2 = 10 B) ) (x + 2)2 + (y - 2)2 = 10C) (x – 2)2 + (y - 2)2 = 9 D) (x – 2)2 + (y - 2)2 = 10E) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9
Solución:
mBC .mL = -1
mL
= -3
mBC =1h
1k
3
1
. . .I
mCM = 11h
3k
. . . II
De I y II
(x -2)2 +(y – 2)2 = 10Clave: D
4. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene
su centro en el punto común de las rectas L1: x + 3y – 6 = 0 y L2: x – 2y – 1 = 0.
A) (x - 2)2 + (y+2)2 = 10 B) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 10C) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10 D) x2 + (y-1)2 = 15
E) (x-3)2 + y2 = 15
3
3d
C(3,-1) R
L : 2x-5y+18=0
L : 3x+y+2=0
B(-1,1)
A(3,5)
C(h,k)
R
M(1,3)
-
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Solución:
x + 3y = 6 . . . I
x – 2y = 1 . . . II
De I y II : x = 3 y y = 1
R2=(3-0)2 +(1-0)2=10
(x – 3)2 + (y – 1)
2 = 10
Clave: C
5. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje Y, la cual pasa por
los puntos A( 0,62 ) y B(3, 5).
A) x2 + (y + 1)2 = 25 B) x2 + (y – 1)2 = 25C) x2 + (y – 2)2 = 18 D) x2 + (y + 2)2 = 58E) x2 + (y –3)2 = 13
Solución:
R2 =24 + h2 = 9+(5-h)2
h = 1 y R2 = 25
Ec. de C :x2 + (y-1)2 = 25
Clave: B
6. Una pelota describe una curva parabólica alrededor de un punto F, siendo este elfoco de la parábola. Cuando la pelota está a 10 m de F, el segmento de recta de F a
la pelota hace un ángulo de 60° con el eje de la parábola. Halle la ecuación de laparábola.
A) y2
= 10x B) y2
= 4x
C) y = 10x
2
D) y2
= 5x
E) x2
= 10y
Solución:
Eje focal // eje X
V = (0,0) y p > 0
y2 = 4px p =2
5
y2 = 10x
Clave: A X
YL
V F H552
10
10
60°
P
Y
XO
C(h,k)
Y
XO
C(0,k)
( ,0)
(3,5)
62
-
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1. El avestruz Alwi está entrenando para la Competencia de Cabeza en Arena de lasOlimpíadas de los Animales. Él saca la cabeza de la arena a las 8:15 en la mañanadel día lunes y así alcanza un récord al permanecer por 98 horas y 56 minutos.
¿Cuándo metió Alwi su cabeza en la arena?
A) Viernes a las 11:11 a.m.B) Jueves a las 5:41 a.m.C) Jueves a las 11:11 a.m.
D) Viernes a las 5:19 a.m.E) Jueves a las 5:19 a.m.
Solución:
1) Como 98h 56min = 4d 2h 56min2) Retrocediendo 4d, será: jueves 8:15 a.m.3) Luego retrocediendo 2h 56min, será: 5.19 a.m.4) Por tanto Alfonso metió su cabeza. Jueves 5:19 a.m.
Clave: E
2. Elisa dobla una hoja de papel cinco veces. Luego, ella hace un agujero al papeldoblado antes de desdoblarlo. ¿Cuántos agujeros tiene el papel desdoblado?
A) 64 B) 20 C) 32 D) 24 E) 16
Solución:
1) El papel con cinco dobleces, produce 32 pliegues paralelas.2) Por tanto se producen 32 agujeros.
Clave: C
3. Julio tiene dos hijos. Él es 25 años mayor que su hijo menor. Se puede determinarla edad de Julio si:
(1) Entre sus dos hijos suman la edad de él.(2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 años.
A) Ambas juntas, (1) y (2) B) (2) por sí solaC) Se requiere información adicional D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) (1) por sí sola
-
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PartidosJugados
PartidosGanados
Goles encontra
PartidosPerdidos
PartidosEmpatado
Goles a Favor
Union
Alianza
Sporting
2 0
1
2
4
Solución:
Con el primer dato se obtiene:Padre: x + 25H. menor: xH. mayor: yx + y = x + 25y = 25No se puede determinar la edad de Julio
Con el segundo dato se obtiene: y – x = 5No se puede determinar la edad de JulioPero usando los dos datos juntos se obtiene: x = 20Julio tiene 20 + 25 = 45
Clave: A
4. Alianza, Unión y Sporting, disputan un torneo de una sola ronda (cada equipo juegauna vez con los otros). Aparece una tabla de posiciones con solo algunos datos delos partidos jugados. ¿Cuál fue el resultado del partido entre Unión y Alianza, en eseorden?
A) 2-0 B) 3-0 C) 1-0 D) 2-1 E) 3-1
Solución:
De los datos observados se deduce
unión 2alianza 0
alianza 2
sporting 2unión le gana a sporting x-0
Clave:
5. Se verifican las siguientes operaciones 2 + 3 = 10, 7 + 2 = 63, 6 + 5 = 66, 8 + 4 = 96.Halle el valor de 9 + 7.
A) 16 B) 144 C) 69 D) 46 E) 247
Solución:2 x ( 2 + 3 ) = 107 x ( 7 + 2 ) = 636 x ( 6 + 5 ) = 668 x ( 8 + 4 ) = 96Luego 9 x ( 9 + 7 ) = 144
Clave: B
-
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-
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Solución:
Sea V = litros de 36º que se utiliza V +10 litros de 20º que se utilizaX = litro de 18º que se utiliza.Se tiene por dato: x + (V + 10) + V = 80 (I)
La mezcla: ()
Se tiene: 700 = 9x + 28V (II)(II) – (I): 280 = 5x entonces x = 56.
Clave: E
10. Hallar la cifra terminal del desarrollo siguiente: ().
A) 1 B) 3 C) 7 D) 9 E) 6
Solución:
Se tiene que 4567 = ̇ + 3Luego () ̇ ( ) ̇ () ( ) ( )
Clave: C
11. Hay 5 administradores y 4 ingenieros, se desea formar un directorio que consta deun gerente, un subgerente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas formasdiferentes se puede formar el directorio si allí debe haber por lo menos 2administradores y por lo menos 1 ingeniero?
A) 6400 B) 4800 C) 2400 D) 7200 E) 1200
Solución:
5 4 5 4
2 2 3 1C ×C C ×C 4!
10 6 10 4 24
2400
Clave: C
12. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular; Gerson y Carlos son dos deellos, que por ningún motivo se sientan juntos. ¿De cuántas formas diferentes sepueden sentar?
A) 4610 B) 8310 C) 3600 D) 5320 E) 4320
Solución:
Todas las formas de sentarse – las formas que están juntos7! 6!
6!(7
2
2
3600
)
Clave: C
13. En un triedro tri-rectángulo M-ABC se cumple que 2 2 2
1 1 1 1
81(MA ) (MB) (MC).
Si el área de la región triangular ABC es 20 m2, calcule el volumen de dicho sólido(en m3).
A) 60 m3 B) 50 m3 C) 63 m3 D) 66 m3 E) 57 m3
-
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Solución:
. 2b A 20m
. Dato: 2 2 2
1 1 1 1
81(MA) (MB) (MC)
. 2 2 2
1 1 1 AMHxR.M. : ......(1)
x (MA) (MH)
. 2 2 2
1 1 1BMCxR.M. : ....(2)
(MH) (MB) (MC)
. Sustituyendo (2) en (1): 2 2 2 2
1 1 1 1
x (MA) (MB) (MC)
. Por tanto: x 9
. Luego: 3V 60m
Clave: A
14. En la figura se muestra dos conos de revolución cuyas generatrices miden 8m y 4m.
Si BP es bisectriz del ABQ, calcule el volumen del cono menor.
A) 349 15 πm24
B) 356 15 πm15
C) 349 15 πm23
D) 349 15 πm26
E) 349 15 πm29
Solución:
. PBQ :Isósceles m 8
. n 8
PFQ BHQ r 4
. Luego: n 2r
. 2 2 2PBQ : 4 8 8 2(8)(n)
n=7, 7
r 2
, 15
QH2
. Por tanto: 349 15
V πm24
Clave: A
A CB
P
Q
F
A
C
B
H
Px
M
m
r A CB
P
Q
8
H
F
n
4
-
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dice 21, el cuarto dice 28, el quinto dice 35, el primero dice 42, el segundo dice 49 ysiguen contando de 7 en 7. Jesús dice 77, María dice 119, Ana dice140, Elena dice161 y Danilo dice 133. ¿Quién dice 259?
A) Jesús B) María C) Ana D) Elena E) Danilo
Solución:
1) Dicen los números:
1º:0
5 1 7
Jesús
2º:0
5 2 7
María
3º:0
5 3 7
Elena
4º:0
5 4 7
Danilo
5º:0
5 7 Ana
2) Como 259 5 7 2 7 . Por tanto 259 dijo María.
Clave: B
2. En el siguiente arreglo numérico determine la suma de las cifras de la suma de los
números de las 15 primeras filas.
Fila 1 1Fila 2 2 2Fil a 3 5 3 5Fila 4 7 3 3 7Fila 5 9 3 3 3 9
. .
. .
. . . . . . .
A) 8 B) 10 C) 9 D) 5 E) 11
Solución:
N° de filas Suma1 12 1+2(2)3 1+3(1)+2(2+5)4 1+3(1)+3(2)+2(2+5+7). .
. .
. .
15 1+3(1)+3(2)+…3(13)+2(2+5+7+…+29)=720
Suma de cifras = 9Clave: C
1. Cinco hermanos se ubican en fila, el primero dice 7, el segundo dice 14, el tercero
-
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3. El costo de una excursión es de $ 300. Si hubieran ido 3 estudiantes menos
entonces el costo por estudiante habría sido de $ 5 más. Si todos los estudiantespagaron igual costo, ¿cuántos estudiantes fueron a la excursión?
A) 15 B) 16 C) 12 D) 14 E) 20
Solución:
Sea: w el número de estudiantes.
A cada estudiante le tocaría pagar un pasaje de300
w, pero debido a que en el
supuesto fueron w – 3 estudiantes, cada uno tendría que pagar 5 dólares más de
pasaje osea300
5w
, para lograr cubrir el paquete de viaje de $ 300.
Algebraicamente tenemos la ecuación:
300
5 3 300ww
300 5 300
3
w
w w
De aquí: 2 3 180 0w w , entonces w= – 12 , w = 15 Clave: A
4. El PBI de un país está proyectado en t2 + 2t + 50 miles de millones de dólares,donde “t” se mide en años a partir del año en curso. Determine el instante a partir delcual el PBI sea igual o exceda a $58 mil millones.
A) 5 años B) 6 años C) 2 años D) 4 años E) 10 años
Solución:2
2 50 58t t 4 2 0t t t = 2
Clave: C
5. Con seis niños y cuatro niñas se desea formar un equipo mixto de fulbito. Si Patriciaesta enemistada con Raúl y José, ¿de cuantas formas diferentes se podrá formar elequipo de fulbito, si patricia no puede estar con Raúl ni con José en el mismoequipo? (no deben estar las cuatro niñas en el equipo)
A) 102 B) 110 C) 112 D) 98 E) 115
Solución:
N° de equipos a formar = 6 35 1
C C (no va Patricia)
+ 6 34 2
C C (no va Patricia)
+ 6 33 3C C (no va Patricia)+ 6 3
3 3C C (no va Patricia)
+ 4 34 1
C C (no van Raúl y José, si va Patricia)
+ 4 33 2
C C (no van Raúl y José, si va Patricia)
= 6x3 + 15x3 + 20x1 + 1x3 + 4x3 = 98Clave: D
-
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6. Se tiene 23 pares ordenados distribuidos en el plano cartesiano de la siguiente
manera, 12 pares en el primer cuadrante, 10 pares en el segundo cuadrante y el par(0,0) con la propiedad de que tres pares o más no pueden estar en línea recta.
i) ¿Cuántas rectas se pueden formar con los pares del primer cuadrante?ii) ¿Cuántas rectas se pueden formar tal que contengan el par (0,0)?
A) 66 y 22 B) 88 y 20 C) 23 y 40 D) 60 y 20 E) 68 y 24
Solución:
I) 66!2!10
!12122
C
II) 22 rectas.Clave: A
7. En una reunión se encuentran 4 parejas de esposos (4 varones y 4 mujeres) ydesean sentarse en una mesa circular de ocho asientos. ¿De cuantas manerasdiferentes se sientan las parejas de esposos si ellos siempre se sientan juntos?
A) 96 B) 225 C) 48 D) 192 E) 384
Solución:
La respuesta es 43! 2 96
Clave: A
8. En un torneo de ajedrez se jugaron en total 218 partidos, habiendo dos ruedas. En laprimera rueda jugaron todos contra todos y en la segunda jugaron los 8 mejores.
¿Cuántos participaron en el torneo de ajedrez? A) 20 B) 24 C) 22 D) 18 E) 16
Solución:
( )
()
()
() ( )
Clave: A
9. En el gráfico se muestra un paralelepípedo rectangular. Si la pirámide cuya base esla región sombreada y cuyo vértice es P, tiene volumen igual a 36 , calcule elvolumen del paralelepípedo.
A) 216
B) 220
C) 235
D) 360
E) 380 Solución:
-
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=
( . a ) =
(
. a )
36(6) = a.b.h abh =216
= a.b.h = 216
Clave: A
10. En el gráfico, la superficie lateral del cilindro de revolución y la superficiesemiesférica son equivalentes. Si R = 2u, calcule el volumen del cono de revoluciónde vértice V.
A)
3u
B)
3
u
C)
3u
D)
3u
E)
3u
Solución:
Sea la altura del cilindro: h
Por la igualdad de superficies: 2(4) = 2(2)h h = 2
=
(4).4 =
u3
Clave: C
-
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5. Si alguien hablara de la fuerza mística de los cerros y de los ríos, sería considerado
por Comte como
A) metafísico. B) fetichista.* C) positivista. D) politeísta. E) monoteísta.
Solución B: El fetichismo consiste en personificar los objetos y dotarlos de un podermágico.
Aritmética
1. La probabilidad de que Ana desapruebe el examen de Aritmética es 0, 5, laprobabilidad de que Juan desapruebe el mismo examen es 0,2 y laprobabilidad de que Ana y Juan desaprueben el examen es 0,1. ¿Cuál es laprobabilidad de que ni Ana ni Juan desaprueben el examen?
A) 0,2 B) 0,6 C) 0,5 D) 0,4 E) 0,8
SOLUCIÓN:
P A B P A P B P A B P A B 0,5 0.2 0,1 0,6 P A´ B́ 0,4 Clave: D
2. Sean A y B dos sucesos con 1 1
P(A) y P(B)3 2
. Si A está contenido en B,
halle la probabilidad de que ocurra B pero no A.
A)5
6 B)
3
8 C)
1
6 D)
1
8 E)
5
24
SOLUCIÓN:
Si A está contenido en B, 1
P B A´6
Clave: C
3. Sean A y B dos sucesos con P A 0,4 y P(B) 0,7 . Halle el mayor valor
posible de P A B .
A) 0,3 B) 0,7 C)0,1 D) 0,1 E) 0,4
SOLUCIÓN:
mayorP A B 0,4 en el caso que A B
Clave: E4. En un estudio para determinar la agudeza visual se presentan al sujeto cuatro
matices de un color que varían ligeramente en su brillo. ¿Cuál es laprobabilidad de que la persona, por simple azar, coloque los matices de mayora menor brillo?
A)3
8 B)
1
2 C)
1
8 D)
1
4 E)
1
24
-
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SOLUCIÓN:
A: “La persona coloca por simple azar los matices de mayor a menor brillo”
1
# A 1 # 24 P A24
Clave: E
5. Tres personas juegan disparejos, para lo cual cada uno lanza al airesimultáneamente una moneda; si uno de los resultados es diferente de losotros dos, la persona que obtiene el resultado diferente pierde. ¿Cuál es laprobabilidad de que uno de ellos pierda, en una tirada, si las tres monedas noestán cargadas?
A)1
4 B)
1
8 C)
3
4 D)
3
32 E)
5
24
SOLUCIÓN:
ccc,ccs,csc,css,sss,ssc,scs,scc
A ccs,csc,css,ssc,scs,scc
6 3P A
8 4
Clave: C
6. Tres atletas del equipo A y tres del equipo B participan en una carrera. Si losseis tienen las mismas aptitudes y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad deque los atletas del equipo A lleguen en los tres primeros lugares y los delequipo B lleguen en los tres últimos lugares?
A)1
720 B)
1
20 C)
1
360 D)
3
10 E)
4
5
SOLUCIÓN:
A:” Los atletas del equipo A llegan en los tres primeros lugares y los delequipo B en los tres llegan en los tres últimos lugares”
1
# 720 # A 6X6 36 P A20
Clave: B
7. Una urna contiene 10 canicas numeradas del 1 al 10. Se extraen 4 canicas y sedefine a x como el segundo en orden ascendente de magnitud de los cuatronúmeros extraídos. ¿Cuál es la probabilidad de que x=3?
A)1
6 B)
1
5 C)
2
5 D)
8
15 E)
1
10
-
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SOLUCIÓN:
10 2 74 1 27X6 1
# C # A C X1XC P A7X3X10 5
Clave: B
8. Seis parejas de casados se encuentran en una habitación. Si se elige cuatropersonas al azar, hallar la probabilidad de que ninguna pareja sean casadosentre los cuatro.
A)37
66 B)
16
33 C)
4
11 D)
15
22 E)
17
44
SOLUCIÓN:
A:” Ninguna de las 6 posibles parejas que se pueden formar con las 4personas elegidas son casados entre ellos”
12 6 2 2 2 24 4 1 1 1 116
# C 495 # A C XC XC XC XC P A
33
Clave: B
9. La probabilidad de que la construcción de un edificio se termine a tiempo es17
20 , la probabilidad de que no haya huelga es
3
4 y la probabilidad de que la
construcción se termine a tiempo dado que no hubo huelga es14
15. ¿Cuál es la
probabilidad de que no haya huelga dado que la construcción se terminó atiempo?
A)1
3 B)
1
5 C)
2
5 D)
14
17 E)
7
10
SOLUCIÓN:
T:” La construcción se termina a tiempo” 17
P T20
H: “No hubo huelga” 3 14
P H P T /H4 15
3 14XP H T P H P T/H 144 15P H/T17P T P T 17
20
Clave: D
10. Los porcentajes de votantes del candidato X en tres distritos electorales
diferentes se reparten como sigue: En el primer distrito, 21%; en el segundodistrito, 45% y en el tercero, 75%. Si un distrito se selecciona al azar y unvotante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad quevote por el candidato X?
A)21
100 B)
45
100 C)
47
100 D)
1
4 E)
11
50
-
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SOLUCIÓN:
Ai:” Se selecciona el i -ésimo distrito” i1
P A3
B:”La persona seleccionada vota por el candidato X”
3
i i
i 1
1 21 45 75 47P B P A P B/ A P B x
3 100 100 100 100
Clave: C
11. En una ciudad determinada los simpatizantes de los candidatos A, B y C son30%,50% y 20% respectivamente. En las últimas elecciones votaron el 65% delos simpatizantes de A, el 82% de B y el 50% de C. Si se selecciona al azar unapersona de la ciudad y se sabe que no votó en las elecciones pasadas, ¿cuáles la probabilidad que sea simpatizante de B?
A)295
1000 B)
90
1000 C)
20
59 D)
18
79 E)
18
59
SOLUCIÓN:Ei:” Se selecciona un simpatizante del i -ésimo candidato”N:”El candidato no votó en las últimas elecciones”
2 2 2
2
50 18XP E N P E P N / E 18100 100P E / N
30 35 50 18 20 50P N P N 59x x x
100 100 100 100 100 100
Clave: D
12. Javier lanza repetidas veces dos dados y gana si obtiene 8 puntos antes deobtener 7.¿Cuál es la probabilidad que Javier gane?
A)11
25 B)
11
36 C)
5
36 D)
25
36 E)
5
11
SOLUCIÓN:
A:”Se obtiene 8 como suma de los puntos en las caras que caen hacia arriba” B:”No se obtiene 7 ó 8 como suma de los puntos en las caras que caen hacia
arriba”
E:”Se obtiene 8 antes de 7”
5 25
36 36 P A P B
... ... P E P A BA BBA P A P BA P BBA
2
5 25 25 51 .... 1 ...
36 36 36 11
P E P A P B
Clave: E
-
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1. Un sistema detector de humo usa dos dispositivos, A y B. Si el humo está presente, laprobabilidad de que el humo sea detectado por el dispositivo A es 0,95; por eldispositivo B, 0,98; y por ambos dispositivos 0,94. Si hay humo, encuentre laprobabilidad de que sea detectado por el dispositivo A, por el dispositivo B o porambos.
A) 98100
B) 95100
C) 97100
D) 96100
E) 99100
SOLUCIÓN:
A:”El humo es detectado por el dispositivo A” B:”El humo es detectado por el dispositivo B” se colocan en un estante en
99
P A B 0,95 0,98 0,94 0,99100
Clave: E2. Si se colocan en un estante en orden aleatorio cuatro volúmenes de una cierta
obra, ¿cuál es la probabilidad de que el orden sea perfecto?
A)1
4 B)
1
36 C)
1
12 D)
1
16 E)
1
24
SOLUCIÓN:
A:”Los libros quedan ordenados así: Volumen 1, 2,3 y4” #(A) = 1
1# 4! 24 P A
24
Clave: E
3. Sean A y B dos sucesos con P A 0,4 y P B 0,7 1. Halle el mínimo valor
posible de P A B .
A) 110 B) 15 C) 310 D) 0 E) 25
SOLUCIÓN:
1
minimoP A B 0,110
Clave: A
4. Un centro educativo tiene estudiantes desde primero hasta sexto grado. Los
grados 2º, 3º, 4º, 5º, y 6ºtienen el mismo número de estudiantes, pero el primergrado tiene el doble. Si un estudiante es seleccionado al azar de una lista quecontiene a todos los estudiantes del centro, ¿cuál es la probabilidad de que elestudiante seleccionado pertenezca a un grado impar?
A)2
3 B)
1
6 C)
1
2 D)
3
4 E)
4
7
-
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SOLUCIÓN: Se p: Probabilidad que un estudiante pertenezca a segundo grado
1
P 7p 7p 1 p7
A: “El estudiante seleccionado pertenece a un grado impar”
4
P A 4p7
Clave: E
5. Un director técnico de vóley dispone de diez jugadoras, de las cuales cuatroson armadoras. Si selecciona al azar un equipo de seis jugadoras, ¿cuál es laprobabilidad de que entre ellas haya seleccionado exactamente dosarmadoras?
A)3
5 B)
3
7 C)
4
7 D)
2
5 E)
1
7
SOLUCIÓN:
A:”Se selecciona exactamente dos armadoras”
106# C 210 colocan en un estante en orden aleatorio cuatro volúmenes de
una cierta obra, ¿cuál es la probabilidad de que el orden sea perfecto?
4 6
2 4C xC 6x15 3
P A210 210 7
Clave: B
6. En una Cooperativa de Servicios hay cinco hombres y seis mujeres comocandidatos para formar una comisión. Si se elige al azar cuatro personas,¿cuál es la probabilidad de formar con ellas una comisión mixta?
A)31
33 B)
310
333 C)
210
331 D)
160
357 E)
5
16
SOLUCIÓN:
A:”Se forma una comisión mixta de 4 miembros”
5 6 5 6 5 6
1 3 2 2 3 1
11
4
C xC C xC C xC 31P A
C 33
Clave: A
7. Una empresa de productos de consumo transmite publicidad por televisiónpara uno de sus jabones. De acuerdo a una encuesta realizada, se asignaron
probabilidades a los sucesos siguientes: B:”Una persona compra el producto”S:”Una persona recuerda haber visto la publicidad”. Las probabilidades fueron
P(B) = 0,20 , P(S) = 0,40 y P A B 0,12 . ¿Cuál es la probabilidad de que una
persona compre el producto, dado que recuerda haber visto la publicidad?
A)3
5 B)
2
5 C)
3
10 D)
3
25 E)
1
5
-
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SOLUCIÓN:
P B S 0,12 3P B/S
P S 0,40 10 Clave: C
8. Considere el experimento que consiste en lanzar un par de dados equilibrados.¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre los dos números que
aparecen sea menor que 3?
A)4
9 B)
7
18 C)
5
12 D)
5
36 E)
2
3
SOLUCIÓN:
A:” La diferencia entre los 2 números que aparecen en las caras que caenhacia arriba es 3”
24 2
P A
36 3
Clave: E
9. Una máquina produce un artículo defectuoso con probabilidad p y produce unartículo no defectuoso con probabilidad q. Se selecciona aleatoriamente parasu control seis de los artículos producidos, siendo los resultados de controlindependientes para estos seis artículos. ¿Cuál es la probabilidad de queexactamente dos de los seis artículos sean defectuosos?
A) 30 p2 q4 B) 72p2 q2 C) 10p6 q4 D) 24 p2 q4 E) 15p2 q4
SOLUCIÓN:A :”Exactamente 2 de los 6 artículos seleccionados son defectuosos”
6 4 2 2 42P A C p q 15p q Clave: E
10. En la tabla siguiente se presentan datos muestrales de la cantidad de personasque cuentan con seguro médico según edades.
SEGURO MÉDICOEDAD SI NO
18 a 34 750 17035 o mayor 950 130
Si se elige al azar una persona y no tiene seguro médico, ¿cuál es laprobabilidad de que tenga entre 18 y 34 años?
A)13
95 B)
17
92 C)
1
18 D)
3
20 E)
17
30
SOLUCIÓN:A: “La persona elegida tiene entre 18 y 34 años” B:”La persona elegida no tiene seguro médico”
P A B 170 17P A/B
P B 300 30
Clave: E
-
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Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. 3x
2xxf quetalb
3
5,
2
a33,1:f Si
es una función sobreyectiva,
halle22
ba .
A) 5 B) 2 C) 1 D)2
1 E)
4
1
Solución:
2
1
4
1
4
1ba
21bb
35
65
2
1aa
2
3
4
3
b3
5,a
2
3f Ranvasobreyectiesf Además)II
6
5,
4
3f Ran
6
5
3x
11
4
3
6
1
3x
1
4
1
63x43x13,1xSi
3x
11
3x
2xxf )I
22
Clave: D
2. Halle la suma de los tres mayores valores enteros del dominio de la función
2,1f Dom:f para que la función sea sobreyectiva si
2x
2x2xf
.
A) – 3 B) – 2 C) 0 D) – 4 E) 3
Solución:
0101:enteroselementosmayorestres
3
4,f Dom
3
4x
3
22x
0
2x
232
2x
221
2x
22
2x
2x2xf )I
Clave: C
-
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3. Halle un intervalo para que la función 2xx21xf
sea inyectiva y
decreciente.
A) 1,0 B) 0, C) 1,12
D) 5,1 E)
,0
Solución:
0x;1x2
0x;1x2xf
0x;xx21
0x;xx21xf
2
2
2
2
Del gráfico:
f es inyectiva y decreciente en 5,1
Clave: D
4. Dada la función mx4
1xf
si se cumple 0m;1mf m4f 2 .
Determine el valor de 4f 4f .
A) 13 B) 2 C) 8 D) 3 E) 11
Solución:
114f 4f
82444f
324
44f
2m
1m2
2m02m3m2m1m4m4
m4
1mf m4f Si)II
mx4xf
my4xmx4
1xf ySea)I
22
2
Clave: E
Y
2
– 1 1x
-
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5. Determine la función inversa de 14xxf por definida4,1:f 2 R .
A) 8,1x;1x1xf B) 8,1x;1x4xf
C) 8,0x;1x4xf
D) 8,1x;11xxf
E) 8,1x;41xxf
Solución:
1x4xf
1y4x
1y4x
4x1y
14xxf ySea)II
8,1f Dom
8xf 1
814x194x0
04x34x14,1x)I
2
2
22
Clave: B
6. Si f Domhalle,32xf x .
A)
,2 B)+ C) 2, D) 2,2 E) ,2
Solución:
2,f Dom
2xf 232
x03xx
32xf
x
x
x
RRR
Clave: C
7 Si 13f halle,8x;8xlog10xf 22
A) 4 B) 8 C) 2 D) 8 E) 62
Solución:
Sea 8x,8xlog10xf y 22
10y2
222
28x
8x,10y8xlog
-
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48213f
82xf
82x
1013
10x
10y
Clave: A
8. Determine el rango de la función 4
5,
2
1x,exf 1x1ln2
.
A)2
e,0 B)
2
1,0 C) 2
2
e,2
e D) 22 e2,e E)
22
e,2
e
Solución:
2
2
22
21x1ln22
1ln21x1ln22
1ln2
1x1ln2
e,2
ef Ran
exf 2
e
ee2
e
eee
1ln1x1ln
2
1ln
11x12
1
2
11x0
4
11x
2
1
4
5x
2
1
4
5,2
1x,exf
Clave: E
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Dada la función ba0;b5
a3xf
a3x2
, indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I) f es creciente II) f es inyectiva III)b5
a3
2
a3f
A) VVV B) VFF C) VFV D) FFF E) VVF
-
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Solución:
F1b5
a3
b5
a3
2
a3f )III
Vinyectivaesf xxa3x2a3x2
b5
a3
b5
a3xf xf /xyx)II
Vcrecienteesf xf xf
b5
a3
b5
a31
b5
a3b5b3a30Como
a3x2a3x2xx /xyxSea
f Dom)I
ba0;b5
a3xf
0a32
a32
2121
a32x2a3x2
2121
21
a32x2a31x2
212121
a3x2
R
R
R
Clave: E
2. Dada la función 11,23,0f Dom:f
definida por baxxf
, 0a
es creciente y suryectiva, halle el valor de 11f f .
A) – 4 B) 4 C) 5 D)3
1
E)3
1
Solución:
3
13f 11f f
3
2xxf
3
2yx
2x3ySea)II
2x3xf
3a11ba3113f
2b20f
11,23f ,10f f Ransuryectivaycrecienteesf )I
Clave: E
-
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3. Si 1x
3x2xf quetalb
2
3,a
5
114,0f Dom:f
es una función
biyectiva, halle baf
.
A) 1 B) 0 C)2
1
D) 2 E) – 1
Solución:
0113f baf
2x
11xf
2y
11x
2y
11x
1x
12y)II
2bb2
33
1aa511
511
b2
3,a
5
113,
5
11f Ran3
1x
12
5
11
11x
1
5
151x14x04,0x
1x
12
1x
3x2xf )I
Clave: B
4. Si b,axf Domy1,1x,x1
xxf
, halle el valor de
ab8a4b2 .
A) 3 B) 9 C)21 D) 2 E) 1
Solución:
x1
11
1x0,x1
xxf Sea
0x1,x1
x
1x0,
x1
x
xf
1,1x,x1
xxf
1
-
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9a4b2
2
1b;
2
1af Dom
2
1,
2
1f Ranf Ranf Ran
0,2
1f Ran
0x1
112
11x1
1
2
11x0
0x1,x1
11
x1
xxf Sea
2
1,0f Ran
2
1
1x
110
2
1
1x
1121x11x0
ab8
21
2
2
1
Clave: B
5. Si 4,3x,63x
1
3x
1xxf
2
, halle el valor de 15f .
A)2
7 B)
2
5 C)
2
1 D)
7
2 E)
7
5
Solución:
2
7
1615
1315f
16x
13xf
16y
13x
16y
13x
16y3x
16y
3x
11
3x
11
3x
2x6y
63x
13x1x6
3x
1
3x
1xxf y
22
22
Clave: A
6. Si 3,1 pertenece a la gráfica de la función f definida por x22xaxf , halle
el rango de f.
A) 3,0 B) 3, C) 3,3 D) 3,0 E) 3,
-
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64/137
Solución:
3,0f Ran
3xf 03
1
3
10
111x01xx
3
1
3
1xf
3
1aa31f
f degráfica3,1
1121x
22
121xx22x
21
R
Clave: A
7. Halle el dominio de la función f definida por21
xx2lnxf
.
A) 12,0 B) 1,0 C) 2,1
D)2
3,
2
1 E) 2,0
Solución:
12,0f Dom
1x2,0x
1xx202xx
0xx2ln0xx2
f Domx;xx2lnxf
1x
2
22
21
Clave: A
8. Si
2x1x
10loglnxf , halle la suma de los elementos enteros
del dominio de f.
A) 4 B) 2 C) – 1 D) 5 E) – 5
Solución:
02x1x
100
2x1x
10log
2x1x
10loglnxf Si
-
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123:f Domdelenterosvalores
3,12,4f Dom
02x1x02x1x3x4x
02x1x
xx12
012x1x
10
2
Clave: C
Geometría
1. Dada la ecuación de la elipse 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0. Halle las coordenadas
de su centro.
A) (1; – 4) B) (3; – 7) C) (3; – 1) D) (4; – 3) E) (1; – 1)
Solución:
Completando cuadrados:
5(x2 – 6x + 9 – 9) + 9(y2 + 2y + 1 – 1) + 9 = 0
5(x – 3)2 – 45 + 9(y + 1)2 – 9 + 9 = 0
5(x –
3)2 + 9(y + 1)2 = 45
5
)1y(
9
)3x( 22
= 1
C = (3; –1)Clave: C
2. Halle la ecuación de una elipse cuyos focos son los puntos F1(3;2) y F2(3; –4), si se
sabe además que la longitud de su eje mayor es 10 unidades.
A) 16(x – 3)2 + 25(y – 5)2 = 400 B) 25(x – 3)2 + 16(y + 1)2 = 400
C) 16(x – 5)2 + 25(y – 3)2 = 400 D) 9(x – 5)2 + 25(y – 3)2 = 400
E) 25(x – 3)2 + 9(y – 5)2 = 400
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5. En la figura, la elipse tiene por ecuación 16x2 + 25y2 – 400 = 0. Si F1 y F2 son sus
focos y además F2 es centro de la circunferencia de radio 4 m, halle la abscisa del
punto P.
A) 3 m B) 4 m