회 로 이 론

직각삼각형과 페이저

18-1 사인파 Vc 는 ic 보다 90˚ 늦다

회 로 이 론

그림 18-1 용량성전류 ic 는 Vc 보다 90˚ 앞선다 . (a) C 양 단에 사인파 VA 가 연결된 회로 (b) ic 의 파형은 Vc 보다 90˚ 앞선다 . (c) 페이저도 , ic 가 수평 기준 Vc 보다 반시계방향으로 90˚ 앞선다 . (d) 페이저도 , ic 를 기준 페이저로 하여 Vc 가 ic 보다 -90˚ 늦다 .

Vc 가 최대값에 있을 때 ic 의 순시값은 0.

(+) 나 (-) 피크인 순간에 전압은 정적인 값을 가질 것이다 . V 는 변하지 않고 C 는 충전도 방전도 하지 않게

된다 . 이결과로 전류는 이 순간에 0 이 된다 .

Vc 가 영인 점을 지날 때 전압 변화가 가장 빠르기 때문에 ic 는 최대값을 갖는다 .

ic 와 Vc 는 90˚ 위상차를 가지며 이는 한쪽의 최대값이 다른 쪽의 0 값에 해당하기 때문 .

18-1 사인파 Vc 는 ic 보다 90˚ 늦다

회 로 이 론

ic 는 vc 의 변화율에 의해 결정되기 때문에 90˚ 의 위상차가 나타난다 . 다른말로 , ic 는 v 의 위상이

아닌

dv/dt 의 위상을 갖는다 .

사인파 교류회로에서 vc 와 ic 의 90˚ 위상 관계는 항상 일어난다 .

C 가 직렬연결이든 병렬연결이든 또는 C 가 단독으로 존재하거나 다른 소자와 결합되어 있거나는

관계없다 .

임이의 Xc 에 대해서 전류와 전압은 항상 90˚ 의 위상차를 갖는다고 할 수 있다 .

어느 순간에서나 교류전원 양 단의 전압이 어떤 값일지라도 C 양 단의 전압과 같다 .

직렬 전류에 대해서는 va 와 vc 모두 ic 와 90˚ 의 위상차를 갖는다 .

주파수는 vc 와 ic 에서 같다

vc 가 ic 보다 90˚ 위상이 뒤진다고 하더라도 vc 와 ic 는 같은 주파수를 가진다 .

< 그림 18-1b> 에서 사인파 vc 의 주파수가 100Hz 이면 ic 의 주파수도 역시 100Hz 가 된다 .

18-2 Xc 와 R 의 직렬연결

회 로 이 론

그림 18-2 Xc 와 R 의 직렬연결 회로 (a) 회로도 (b) 전류와 전압 파형 (c) 페이저도

캐패시터와 저항이 직렬로 연결될 때 전류 I 는 Xc 와 R 모두에 의해 제한된다 .

회 로 이 론

18-2 Xc 와 R 의 직렬연결

전류 I 는 Xc 와 R 이 직렬로 연결되기 때문에 Xc 와 R 에서 같다 .

각 소자는 각각의 전압강하를 가지게 되며 , 이는 저항에서는 IR 이고 용량성 리액턴스에서는 IXc 와

같다 .

Xc 와 R 두 성분이 직렬로 연결된 회로에서 다음 사항을 주목하라 .

1. 전류는 모든 직렬로 연결된 소자를 통해 흐르기 때문에 Ic 가 아닌 I 로 표시 된다 .

2. VR 로 IR 전압강하를 나타내는 것처럼 Xc 양 단의 전압 Vc 로 IXc 전압강하를 나타낸다 .

3. Xc 를 통한 전류 I 는 Vc 보다 90˚ 위상이 앞서게 되며 이는 커패시터에서 전압과 전류 사이의

위상차 때문이다 .

4. R 을 통한 전류 I 와 전압강하 IR 은 동상이다 . 저항에서는 사인파 교류전류에 대한 리액턴스가 없다 .

따라서 I 와 IR 은 0˚ 의 위상각을 가진다 .

I 와 V 의 값이 전체 회로에서 동일하게 사용된다면 실효값 , 피크값 , 피크대 피크값 , 순시값 중 어느

값이어도 된다 .

18-2 Xc 와 R 의 직렬연결

회 로 이 론

위상비교 직렬 저항과 리액턴스를 포함하는 회로에서 다음 사항을 주의 .

1. 전압 Vc 는 I 와 90˚ 위상차를 가진다 .

2. VR 과 I 는 동상이다 .

3. I 가 기준으로 사용되면 Vc 는 VR 와 90˚ 위상차를 가진다 .

Vc 가 전류 I 보다 위상이 90˚ 뒤지는 것처럼 Vc 는 VR 보다 위상이 90˚ 뒤지게 된다 .

VR 과 Vc 의 합성 : 페이저 전압 삼각형 · 전압 VR 을 전압 VC 와 합성하면 인가전압 VT 가 된다 .

· 직각삼각형의 기하학에서 피타고라스 정리를 이용하면 빗변의 길이는 나머지 두 변의 제곱을 더한 합의 제곱근이 된다 .

· VT 는 90˚ 위상차를 가지는 두 전압 VR 과 Vc 의 페이저 합이다 .

회 로 이 론

그림 18-3 90˚ 위상차를 갖는 두 전압의 합 (a) Vc 와 VR 페이저는 90˚ 위상차를 갖는다 . (b) 두 페이저의 합 VT 는 직각 삼각형의 빗변이다 .

18-2 Xc 와 R 의 직렬연결

위 공식은 90˚ 위상차를 가지는 VR 과 Vc 가 직렬로 연결될 때 적용할 수 있다 .

이때 모든 전압은 같은 단위로 표현되어야 한다 .

< 그림 18-3b> 의 전압 삼각형에 대한 VT 는 다음과 같다 .

회 로 이 론

18-3 임피던스 Z 삼각형

임피던스 Z 는 R 과 Xc 사이의 90˚ 위상 관계를 고려하여 구해진다 .

용량성 리액턴스 Xc 와 저항 R 을 갖는 직렬회로의 힘피던스 삼각형에 대해 다음을 구할 수 있다 .

여기서 R, Xc, ZT 모두 단위는 옴 (Ω) 이다 .

그림 18-4 직렬 RC 회로에서 총 임피던스 ZT 를 구하기 위한 90˚ 위상차인 R 과 Xc 의 합

< 그림 18-4> 의 총 임피던스 구하기

회 로 이 론

18-3 임피던스 Z 삼각형

직렬 RC 회로에서 전압과 임피던스에 대한 페이저 삼각형을 요약하면 다음과 같다 .

1. R, IR, VR 의 페이저는 0˚ 가 기준으로 사용된다 .

2. Xc, IXc, Vc 의 페이저는 -90˚ 에 있다 .

3. ZT, IZT, VT 의 페이저는 위상각 θ 를 가지고 있다 .

직렬 Xc 와 R 회로의 위상각 인가 전압 VT 와 직렬전류 I 사이의 각이 회로의 위상각이 되며 그 기호는 θ(theta) 이다 .

위상각은 직렬 RC 회로의 임피던스 삼각형으로부터 다음 식에 의해 계산될 수 있다 .

탄젠트 (tangent) 는 각의 삼각함수로 그 값은 삼각형의 높이와 밑변의 비와 같다 .

임피던스 삼각형에서 Xc 가 높이이고 R 이 밑변이 된다 .

회 로 이 론

18-3 임피던스 Z 삼각형

Xc 와 R 의 직렬 조합 직렬회로에서 R 에 비해 Xc 가 클수록 회로는 더 용량성이 된다 .

용량성 리액턴스 Xc 양 단에 더 많은 전압강하가 걸리고 위상각은 -90˚ 를 향해 증가한다 .

< Xc 와 R 조합에 대해 임피던스 값과 위상각을 표에 나타내었다 . >

회 로 이 론

18-4 RC 위상 이동 회로

위상각을 변화시키기 위해 R 은 100KΩ 까지 변할 수 있다 .

커패시터는 위상 이동을 위해 적절한 리액턴스 값을 가져야 한다 .

이러한 회로는 전압의 위상을 변화시켜 반도체의 도통 시간을 조정하는 데 실제로 응용 된다 .

그림 18-5 RC 위상 이동 회로 (a) 회로도 (b) 페이저 삼각형 , IR 또는 VR 이 수평 기준이고 R 을 50kΩ 으로 설정할 때 VR 은 VT 보다 46.7˚ 앞선다 .(c) VT 를 수평 기준으로 보인 페이저

회 로 이 론

18-5 Xc 와 R 의 병렬연결

페이저 전류 삼각형 VA 와 IR 이 동상이기 때문에 저항성 가지전류 IR 이

기준 페이지로 사용되는 것을 주목

용량성 가지전류 Ic 는 +90˚ 의 위상각으로 위의

방향으로 그려져 있는데 이는 Ic 가 VA 를 , 또한 IR 을

90˚ 앞서기 때문이다 .

피타고라스 정리를 이용하여 전체전류 IT 가 각 변의

제곱을 더 한 합의 제곱근을 취함으로써 계산할 수 있다 .

그림 18-7 전체전류 IT 를 구하기 위해 병렬회로에서 90˚ 의 위상차인 용량성과 저항성 가지전류의 페이저 삼각형

회 로 이 론

18-5 Xc 와 R 의 병렬연결

병렬회로에서 Xc 와 R 의 임피던스 Xc 와 R 의 병렬회로에서 전체 또는 등가 임피던스를 계산하는 실질적인 방법은 전체 선전류 IT 를

계산하고 이 값으로 인가 전압 VA 를 다음 식과 같이 나누는 것이다 .

병렬회로의 위상각 < 그림 18-7> 의 전류 삼각형으로 부터 다음과 같이 θ 를 구하기 위해 탄젠트 식을 사용하면 다음을 구할

수

있다 .

tan I = 10/10 = 1 I = tan-1 (1) I = 45°

( 그림 18-7 풀이 )

회 로 이 론

18-5 Xc 와 R 의 병렬연결

Xc 와 R 의 병렬조합

직렬 RC 회로와 병렬 RC 회로를 비교하면 다음과 같다 .

1. 직렬 전압강하 VR 과 Vc 의 위상차는 90˚ 이다 . 따라서 VR 과 Vc 는 페이저에 의해서 더해지고 그

크기 는 인가전압 VT 와 같다 . 음의 위상각 – θZ 는 VT 와 공통의 직렬전류 I 사이의 각이다 . 직렬

Xc 가 커질수록 Vc 가 커지며 회로는 더욱 용량성이 되고 I 대해 VT 는 더 큰 음의 위상각을 갖는다 .

2. 병렬 가지전류 IR 과 Ic 의 위상차는 90˚ 이다 . 따라서 IR 과 Ic 는 페이저에 의해서 더해지고 그

크기

는 본선전류 IT 와 같다 . 양의 위상각 θI 는 선전류 IT 와 공통의 병렬 전압 VA 사이에 있다 . 병렬

Xc 가 작을수록 Ic 가 커지며 회로는 더욱 용량성이 되고 VA 에 대해 IT 는 더 큰 양의 위상각을

갖는다 .

회 로 이 론

18-6 RF 및 AF 결합 커패시터

Cc 는 결합 커패시터의 용도로

사용된다 .

낮은 리액턴스로 인해

교류전원의 거의 모든 교류 신호

전압이 R 양 단에 나타나게 된

다 .

Cc 양 단에 걸리는 교류전압의

크기는 매우 작다 .

그림 18-7 Rc 결합 직렬회로 , R 에 비해 Xc 가 작을 때 전원전압은 거의 전부가 출력 R 양 단에 걸리고 C 양 단에는 거의 걸리지 않는다 .

Cc 가 특정 주파수에서 결합 커패시터가 되기 위해 Xc 는 직렬 R 의 1/10 이하가 되어야 한다 .

교류발전기의 모든 전압강하는 R 양 단에 나타나고 C 양 단에는 거의 전압이 걸리지 않는다 .

또한 위상각은 거의 0˚ 이다 .

회 로 이 론

18-7 용량성 전압분배기

여러 커패시터가 전압원의 양 단에 직렬로 연결될 때 직렬 커패시터는 전압분배기로 동작 .

각각의 커패시터는 인가전압의 일부분을 가지고 있고 모든 직렬전압강하의 합은 전원전압과 같다 .

각각의 커패시터 양 단의 전압의 크기는 자신의 커패시턴스에 반비례한다 .

그림 18-9 직렬 커패시터가 각 C 에 반비례하여 VT 를 분배한다 . 작은 C 가 더 큰 V 를 갖는다 . (a) 교류분배기 . 작은 C 가 더 큰 Xc를 갖는다 .(b) 직류 분배기 .

회 로 이 론

18-8 용량성 전류 ic 의 일반적인 경우

용량성 충전전류와 방전전류 ic 는 항상 C(dv/dt) 와 같다 .

Vc 의 사인파 전압 변화는 코사인파형의 전류 I 를 발생한다 .

Vc 와 ic 가 같은 파형을 갖고 있지만 90˚ 위상차를 갖는다는 것을 의미한다 .

톱니파형 전압 Vc 는 사각파형의 전류와 관계됨을 주목할 필요가있다 .

톱니파형 전압의 선형 변화가 일정한 양의 충전전류 ic 를 발생하는데 이는 충전 전압의 변화율이 일정

하기 때문이다 .

커패시터가 방전할 때 Vc 는 매우 빠른속도로 떨어지며 방전전류는 충전전류와 반대방향으로 흐른다 .

그림 18-10 C(dv/dt) 와 같은 ic 파형 (a) 톱니파형 Vc (b) 톱니파형 전압의 일정한 변화율로부터 발생한 ic 의 사각파 전류 파형