18547908 siruri de numere reale progresii
TRANSCRIPT
Şiruri de numere reale
Prof: Tulvan Emilia
Obiectivele urmărite în lecţie:
• să definească noţiunea de şir de numere reale
• să facă diferenţa între un şir de numere reale şi o mulţime de numere reale
• să prezinte modalităţile de definire ale unui şir de numere reale, cu exemplificări
• să determine termenii unui şir în anumite condiţii date
Defiţie:
Un şir de numere reale reprezintă o succesiune de numere reale
realizată după o anumită regulă, fiecare număr ocupând un loc bine determinat.
Notaţia matematică utilizată este:
,...,...,, 321 naaaa
( ) 1≥nna
Numerele se numesc termenii şirului Indicele fiecărui termen al şirului arată locul pe care-l ocupă acesta în succesiune şi se numeşte rang.Termenul cu indicele n se numeşte termen general.
,...,...,, 321 naaaa
( ) 1≥nna
Exemple de şiruri:
,...5,5,5,5:)(
,...3,3,2,2,1,1:)(
,...1
)1(,...,4
1,3
1,2
1,1:)(
,...,...,3,2,1:)(
,...,...,4,3,2,1:)(2222
n
n
nn
n
n
y
xn
c
nb
na
⋅−−−
Un şir de numere reale se numeşte şir constant dacă toţi termenii săi sunt egali:
a,a,a,a,...
Un şir de numere reale nu este o mulţime de numere reale• Într-un şir elementele se pot repeta, pe
când într-o mulţime elementele sunt distincte
• Ordinea elementelor unei mulţimi nu este esenţială, pe când pentru un şir este foarte importantă
Moduri de definire a unui şir de numere reale
1. Şiruri definite descriptiv (prin descriere)
Exemplu:
Acest şir se poate descrie astfel: fiecare termen al său se scrie cu ajutorul cifrei 1 şi numărul cifrelor este egal cu rangul termenului şirului.
,...1111,111,11,1:)( nd
2. Şiruri definite cu ajutorul unei formule
Un şir poate fi definit indicând o formulă ( numită formula termenului general) din care se obţine orice termen al şirului particularizând pe n (n=1, n=2, n=3,...)
Exemplu:
Fie şirul definit prin formula
Termenul
( ) 1≥nna 25 += nan
52250210510 =+=+⋅=a
3. Şiruri definite printr-o relaţie de recurenţă
O relaţie de recurenţă este o formulă cu ajutorul căreia se exprimă orice termen al şirului, începând de la un anumit rang, în funcţie de termenii precedenţi (unul sau mai mulţi)Exemplu:Fie şirul , având primul termen 5 şi relaţia de recurenţă:Termenul
( ) 1≥nna
321 +=+ nn aa
133103522 =+=+⋅=a
Muncă independentă:
1) Să se determine primii trei termeni ai şirului cu termenul general
2) Să se determine , dacă =-1 şi
5) Să se determine formula termenului general pentru şirul definit descriptiv astfel:
53 += nan4a 1a
42
11 +=+ nn aa
,...4
6,4
5,
3
4,2
3,
1
2 −−−
Exerciţiu oral:Să se completeze cu încă 3 termeni fiecare şir:
• 1, 5, 9, 13, 17, ......, ......., .....
• 2, 12, 22, 32, ......, ......., .....• 7, 9, 11, 13, ......, ......., .....
• 19, 16, 13, 10, ......, ......., .....
• 36, 31, 26, 21, ......, ......., .....
Pro gre sia aritme tică
Obiectivele urmărite în lecţie:
• să poată identifica o progresie aritmetică
• să poată determina orice termen al unei progresii aritmetice, având anumite ipoteze
• să utilizeze legătura cu media aritmetică a termenilor unei progresii aritmetice
• să calculeze suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, în diverse ipoteze
Definiţie:
Un şir de numere reale în care orice termen, începând cu al doilea, se obţine din termenul precedent adunat cu acelaşi număr se numeşte progresie aritmetică.
Aşadar, progresia aritmetică este un şir definit prin relaţia de recurenţă
, unde r este un număr real fixat, numit raţie.
( ) 1≥nna
raa nn +=+1
Exemple de progresii aritmetice
• 1,2,3,4,5,... cu raţia r = 1
• -10,-5,0,5,10,15,... cu raţia r = 5
• 99,96,93,90,87,84,81,..., cu raţia r = -3• 19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,..., cu raţia r = -2
Proprietăţile unei progresii
aritmetice
P1) Un şir este progresie aritmetică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie aritmetică a termenilor vecini lui, adică pentru n ≥ 2 avem:
( ) 1≥nna
211 +− +
= nnn
aaa
Exemplu
Fie o progresie aritmetică pentru care avem = 17 şi = 25.
Să se afle şi raţia r.
Soluţie: Avem:
Termenii consecutivi cunoscuţi sunt:
17, 21, 25, adică r = 4.
( ) 1≥nna
8a 10a
9a
212
2517
2108
9 =+=+
=aa
a
P2) Într-o progresie aritmetică , termenul general este dat de formula:
( ) 1≥nna
rnaan ⋅−+= )1(1
Exemplu
Fie o progresie aritmetică pentru care avem = 24 şi r = -5.
Să se afle
Soluţie:
( ) 1≥nna
1a
9a
164024)5()19(249 −=−=−⋅−+=a
P3) Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice este dată de formula:
( ) 1≥nna
( )2
... 1321
naaaaaaS nnn
⋅+=++++=
Exemplu
Să se calculeze suma S = 2+4+6+8+...+24.
Soluţie: Avem o progresie aritmetică cu raţia
r = 2 şi cu numărul de termeni n = 12. Atunci:
( )156626
2
12242 =⋅=⋅+=S
Exerciţii orale
• 1) Care din următoarele şiruri este progresie aritmetică:
a) 7, 5, 3, 1, -1, -3, ...
b) 2, 3, 5, 6, 8, 9, ...
Exerciţii orale
2) Care este raţia unei progresii aritmetice cu
=10 şi = 151a 2a
Exerciţii orale
• 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 12 formează o progresie aritmetică.
Muncă independentă
1) Să se determine termenii x, y, z, t ai progresiei aritmetice: x,y,-21,z,-15,t,...
2) Să se determine termenul al unei progresii aritmetice dacă
3) Să se determine suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice dacă
10a
30,12 63 == aa
50,36,12 53 ==−= naa
Progresia geometrică
Obiectivele urmărite în lecţie:
• să poată identifica o progresie geometrică• să poată determina orice termen al unei
progresii geometrice, având anumite ipoteze
• să utilizeze legătura cu media geometrică a termenilor unei progresii geometrice• să calculeze suma primilor n termeni ai
unei progresii geometrice, în diverse ipoteze
DefiniţieUn şir de numere reale al cărui prim termen este nenul, iar fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu acelaşi număr nenul se numeşte progresie geometrică.
Aşadar progresia geometrică este un şir definit prin relaţia de recurenţă
unde q este un număr real nenul fixat, numit raţie.
qaa nn ⋅=+1
( ) 1≥nna
Exemple de progresii geometrice
• 1,3,9,27,81,243,.... cu raţia q = 3
• 16,8,4,2,1,... cu raţia q = 0,5
• 1,5,25,125,625,... cu raţia q = 5• 1,-1,1,-1,1,-1,... cu raţia q = -1
Proprietăţile unei progresii
geometrice
P1) Un şir de termeni pozitivi este o progresie geometrică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie geometrică a vecinilor săi,
adică pentru n ≥ 2 avem:
( ) 1≥nna
11 +− ⋅= nnn aaa
Exemplu
Fie o progresie geometrică pentru care avem = 4 şi = 9.
Să se afle şi raţia q.
Soluţie: Avem:
Termenii consecutivi cunoscuţi sunt: 4,6,9, adică q =
( ) 1≥nna
8a 10a
9a
6949 =⋅=a
2
3
P2) Într-o progresie geometrică termenul general este dat de formula:
( ) 1≥nna
11
−⋅= nn qaa
Exemplu
Fie o progresie geometrică pentru care avem = 24 şi q = 2.
Să se afle
Soluţie:
( ) 1≥nna
1a4a
192824224 144 =⋅=⋅= −a
P3) Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice este dată de formula:
( )1
1... 1
321 −−⋅
=++++=q
qaaaaaS
n
nn
( ) 1≥nna
Exemplu
Să se calculeze suma
S = 1+2+4+8+16+...+256.
Soluţie: Avem o progresie geometrică cu raţia
q = 2 şi cu numărul de termeni n = 9. Atunci:
( )511151212
12
121 99
=−=−=−
−⋅=S
Exerciţii orale
• 1) Care din următoarele şiruri este progresie geometrică:
a) 1, 4, 16, 64, 256, ...
b) 2, 4, 6, 8, 10, ...
Exerciţii orale
2) Care este raţia unei progresii geometrice cu
=10 şi = 301a 2a
Exerciţii orale
• 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 36 formează o progresie geometrică.
Muncă independentă
1) Să se detemine primii doi termeni ai progresiei geometrice pentru care
3) Să se determine suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice dacă:
5) Să se verifice dacă numerele
Pot fi termeni ai unei progresii geometrice?
4,2568 == qa
8,2,8 31 === naa
7,5,3
4) Să se determine x real astfel încât tripletul: x-4, x+2, 2x+2, să fie în progresie aritmetică5) Să se rezolve ecuaţia:
1+4+7+...+x = 1176) Un triunghi dreptunghic au măsurile unghiurilor în progresie aritmetică. Ce măsuri au acestea?7) O tribună a unui stadion se compune din 20 rânduri şi fiecare rând următor are cu 16 locuri mai mult decât rândul precedent. În ultimul rând sunt 404 locuri. Câţi spectatori încap în tribună?8) Suma a 10 numere în progresie aritmetică este 145. Ştiind că al patrulea, al doilea şi al nouălea termen sunt în progresie geometrică, să se determine numerele.
Spor la muncĂ!!!