siruri celebre
DESCRIPTION
analiza matematica - siruriTRANSCRIPT
-
Numarul e
1. Teorema (Weierstrass, 1841). (a). Daca sirul (an)n R este mono-ton crescator si marginit superior, atunci el este convergent la marginea sa
superioara, adica
limn+
an = supnN
an.
(b). Daca sirul (an)n R este monoton descrescator si marginit inferior,atunci el este convergent la marginea sa inferioara, adica
limn+
an = infnN
an.
2. Teorema (Daniel Bernoulli, 1728). Sirul (tn)n definit pentru orice
n N printn = 1 +
1
1!+
1
2!+ + 1
n!este strict crescator si marginit superior. Reamintim ca 0! = 1.
Demonstratie. Fie n N. Sirul (tn)n este strict crescator deoarecetn+1 tn = 1/(n+ 1)! > 0. Fie n N cu proprietatea n > 2. Intrucatn! > 2n1,
tn = 1 +1
1!+
1
2!+ + 1
n!< 1 + 1 +
1
2+
1
22+ + 1
2n1=
= 2 +1/2 1/2n1 1/2 = 2 + 1
2
2n< 2 + 1 = 3.
3. Definitie. Se numeste numarul e, limita sirului convergent (tn)n,
adica
e = limn+
(1 +
1
1!+
1
2!+ + 1
n!
).
4. Teorema (Jacques (Jakob) Bernoulli, 1690). Sirul (xn)n definit pen-
tru orice n N prinxn =
(1 +
1
n
)n3
-
este strict crescator, marginit superior si convergent la e, adica
e = limn+
(1 +
1
n
)n.
Demonstratie. Fie n N. Folosind formula binomului lui Isaac New-ton si regula de calcul a combinarilor deducem ca
xn = 2 +1
2!
(1 1
n
)+
1
3!
(1 1
n
)(1 2
n
)+ +
+1
k!
(1 1
n
)(1 2
n
). . .
(1 k 1
n
)+ +
+1
n!
(1 1
n
)(1 2
n
). . .
(1 n 1
n
)si ca
xn+1 = 2 +1
2!
(1 1
n+ 1
)+
1
3!
(1 1
n+ 1
)(1 2
n+ 1
)+ +
+1
k!
(1 1
n+ 1
)(1 2
n+ 1
). . .
(1 k 1
n+ 1
)+ +
+1
n!
(1 1
n+ 1
)(1 2
n+ 1
). . .
(1 n 1
n+ 1
)+
+1
(n+ 1)!
(1 1
n+ 1
)(1 2
n+ 1
). . .
(1 n
n+ 1
).
Din1
k!
(1 1
n
)(1 2
n
). . .
(1 k 1
n
) a1a2 . . . anan+1 xn+1 > xn,
iar pentru b1 = 1, b2 = = bn = bn+1 = bn+1 = 1 + 1navem ca
b1b2 . . . bnbn+1bn+2 >
n+ 21b1
+1
b2+ + 1
bn+
1
bn+1+
1
bn+2
n+2
yn+1 < yn.
In final obtinem ca zn+1 < zn+2 1/yn < 1/yn+1.
12
-
Functia logaritmica
1. Definitie. Se numeste functia logaritmica functia f : (0,+) Rdefinita pentru orice x (0,+) prin
f(x) =
x1
1
tdt.
2. Teorema. Fie x, y (0,+), n Z, r Q, a R si f : (0,+)R functia logaritmica. Sunt adevarate afirmatiile:
(a). Daca x (0, 1), atunci f(x) < 0;(b). Daca x (1,+), atunci f(x) > 0;(c). f(1) = 0, f(1/x) = f(x);(d). Functia f : (0,+) R este strict crescatoare, continua si deriva-
bila cu f (x) = 1/x;(e). f(xy) = f(x) + f(y), f(x/y) = f(x) f(y);(f). f(xn) = nf(x), f(xr) = rf(x); (g). f(xa) = af(x), f(e) = 1.
13
-
Siruri monotone
1. Propozitie. Fie t (1,+). Atuncit
1 + t ln(1 + t) t.
2. Propozitie (Costovici, 2002). Fie a (1, 0] si sirul (un)n definitpentru orice n N prin un =
(1 +
1
n+ a
)n+1. Atunci sirul (un)n este
monoton descrescator.
Demonstratie. Fie f : [1,+) (0,+) definita pentru orice x [1,+) prin f(x) =
(1 +
1
x+ a
)x+1. Fie x [1,+). Din ln f(x) =
(x+ 1) ln
(1 +
1
x+ a
)rezulta ca
f (x)f(x)
= ln
(1 +
1
x+ a
) x+ 1
(x+ a)(x+ a+ 1) 1x+ 1
1 1x+ 1
+x+ a
x(x+ 1)=
a 1x(x+ 1)
0.
17
-
Din f : [1,+) (0,+) crescatoare rezulta ca sn = f(n) f(n + 1) =sn+1 pentru orice n N.
10. Propozitie. Pentru orice x (0,+) au loc inegalitatile2
2x+ 1< ln
(1 +
1
x
) 1.
Pentru monotonia sirului (n)n consideram functia f : (0,+) (0,+)definita pentru orice x (0,+) prin f(x) =
(1 +
1
x
)x(1 +
1
2x+ 1
). Fie
x (0,+). Din ln f(x) = x ln(1 +
1
x
)+ ln
(1 +
1
2x+ 1
)rezulta ca
f (x)f(x)
= ln
(1 +
1
x
) 1x+ 1
1(x+ 1)(2x+ 1)
= ln
(1 +
1
x
) 2
1 + 2x> 0.
12. Propozitie. (Trif, 1996 ). Sirul (an)n definit pentru orice n Nprin an =
nn!/n este strict descrescator.
18
-
Demonstratie. Fie n N. Avem de aratat can+1(n+ 1)!
n+ 1 1n+ 1
+1
(n+ 1)(n+ 2)+
+1
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)+
1
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4).
Prin urmare este suficient sa aratam ca
1
n+ 1+
1
(n+ 1)(n+ 2)+
1
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)+
+1
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4)>
n+ 1
n2 + n+ 1,
adica
n+ 3
(n+ 1)(n+ 2)+
n+ 5
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4)>
n+ 1
n2 + n+ 1
20
-
sau echivalent
(n+ 3)2(n+ 4) + n+ 5
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4)>
n+ 1
n2 + n+ 1.
Dupa efectuarea calculelor constatam ca inegalitatea
(n3 + 10n2 + 34n+ 41)(n2 + n+ 1) > (n4 + 10n3 + 35n2 + 50n+ 24)(n+ 1)
este echivalenta cu inegalitatea 41 > 24.
16. Propozitie (Mihalache, 2005; Tetiva, 2005). Fie sirurile (tn)n si
(an)n definite pentru orice n N prin
tn = 1 +1
1!+
1
2!+ + 1
n!si an = tn +
n+ 1
n!(n2 + n+ 1).
Atunci sirul (an)n este strict crescator. In plus pentru orice n N,n+ 1
n!(n2 + n+ 1)< e tn < 1
n n! .
17. Propozitie. Are loc relatia
limn+
n
(e
(1 +
1
n
)n)=
e
2.
Demonstratie. Consideram f : (0,+) R definita pentru orice x (0,+) prin
f(x) = (1 + x)1/x.
Fie x (0,+). Atunci din ln f(x) = ln(1 + x)x
rezulta ca
f (x)f(x)
=
x
1 + x ln(1 + x)x2
.
Aplicand regula lui Bernoulli-LHospital obtinem ca
limx0
e (1 + x)1/xx
= limx0
f (x)1
= limx0
f(x)ln(1 + x) x
1 + xx2
=
21
-
= e limx0
ln(1 + x) x1 + x
x2= e lim
x0
1
1 + x 1
(1 + x)2
2x=
= e limx0
x
2x(1 + x)2=
e
2.
Prin urmare limx0
e f(x)x
=e
2. In baza teoremei lui Heine obtinem ca
limn+
n
(e
(1 +
1
n
)n)= lim
n+e f(1/n)
1/n=
e
2.
18. Propozitie (Mihalache, 2005; Tetiva, 2005). Functia f : (1,+)(0,+) definita pentru orice x (0,+) prin f(x) = x
(1 +
1
x
)xeste srict
crescatoare si strict convexa.
Demonstratie. Fie x (0,+). Reamintim ca2
2x+ 1< ln
(1 +
1
x
) 0
22
-
iar
f (x) =(1 +
1
x
)2 [x ln2
(1 +
1
x
)+
2
x+ 1ln
(1 +
1
x
) x+ 3
(x+ 1)2
]>
>
(1 +
1
x
)x [ 4x(2x+ 1)2
+4
(x+ 1)(2x+ 1) x+ 3
(x+ 1)2
]=
=
(1 +
1
x
)x 3x+ 1(x+ 1)2(2x+ 1)2
> 0.
19. Propozitie (Mihalache, 2005; Tetiva, 2005). Sirul (an)n definit
pentru orice n N prin
an = n
(e
(1 +
1
n
)n)este strict crescator.
Demonstratie. Fie n N si xn =(1 +
1
n
)n. Inegalitatea an < an+1
este echivalenta cu inegalitatea (n+ 1)xn+1 nxn < e. Intrucat
limn+
((n+ 1)xn+1 nxn) = limn+
[(n+ 1)(xn+1 e) n(xn e) + e] =
= e2+e
2+ e = e
rezulta ca este suficient sa demonstram ca sirul ((n+ 1)xn+1 nxn)n estestrict crescator. Inegalitatea (n+1)xn+1 nxn < (n+2)xn+2 (n+1)xn+1,adica
(n+ 1)
(1 +
1
n+ 1
)n+1 0.
26. Propozitie (Mihalache, 2005; Tetiva, 2005). Sirul (dn)n definit
pentru orice n N prin
dn = (n+ 1)
[(1 +
1
n
)n+1 e
]este strict descrescator.
Demonstratie. Fie n N si yn =(1 +
1
n
)n+1. Inegalitatea dn+1 < dn
este echivalenta cu inegalitatea (n+ 2)yn+1 (n+ 1)yn < e. Intrucat
limn+
((n+ 2)yn+1 (n+ 1)yn) =
= limn+
[(n+ 1)(yn+1 e) n(yn e) + yn+1 yn + e] = e2 e
2+ 0 + e = e
rezulta ca este suficient sa aratam ca sirul ((n+ 2)yn+1 (n+ 1)yn)n estestrict crescator. Dar
(n+ 2)yn+1 (n+ 1)yn = (n+ 1)yn+1 nyn + yn+1 yn.
Reamintim ca sirul ((n+ 1)yn+1 nyn)n este strict crescator. Deducem caeste suficient sa demonstram ca sirul (yn+1 yn)n este strict crescator. Ine-galitatea yn+1 yn < yn+2 yn+1 adica
yn+1
>
(1 +
1
n+ 2
) n+ 1n+ 2
=(n+ 2)2 1(n+ 2)2
= 1 1(n+ 2)2
.
Prin urmare
0 < 1 xnxn+1
0.
Avem ca
un+1un
=(n+ 1)!
(n+ 1)n+1 n
n
n!=
(n
n+ 1
)n=
1
(1 + 1/n)n.
Din
limn+
un+1un
= limn+
1
(1 + 1/n)n=
1
e
rezulta ca limn+
an = limn+
nun = f1/e. Fie n N. In continuare, avem
can+1(n+ 1)!nn!
=(n+ 1)an+1
nan=n+ 1
n
an+1an
si ca(n+1(n+ 1)!nn!
)n=
( n+1(n+ 1)!nn!
)n+1 nn+1 = ((n+ 1)!(n!)
n+1n
) nn+1
=
=
((n+ 1)!
n! nn!
) nn+1
=
(n+ 1nn!
) nn+1
=
(n+ 1
n
1
an
) nn+1
.
Rezulta ca
limn+
bnnn!
= limn+
(n+1(n+ 1)!nn!
1)
= limn+
(n+ 1
n
an+1an
1)= 0,
si ca
limn+
(n+1(n+ 1)!nn!
)n= lim
n+
(n+ 1
n
1
an
) nn+1
= e.
Prin urmare
e = limn+
(n+1(n+ 1)!nn!
)n= lim
n+
[(
1 +bnnn!
) nn!/bn]n/ nn!bn
= ee limn+ bn,
33
-
de unde
limn
bn = 1/e.
A doua varianta (Dumitru Batinetu Giurgiu, 1989; Marius Somodi,
1989). Fie n N. Notam
xn =
(1 +
1
n
)n=
(n+ 1
n
)nsi an =
nn!
n.
Fie v1 = 1/xn, v2 = v3 = . . . = vn+1 = an. Tinand seama de inegalitatea
dintre media aritmetica si media geometrica,
v1 + v2 + . . .+ vn+1n+ 1
n+1v1v2 . . . vn+1,
deducem ca
1
xn+nan (n+1) n+1
1
xn n!nn
= n+1
(n+ 1)n+1 n!
(n+ 1)n= n+1
(n+ 1)!.
Prin urmare
bn =n+1(n+ 1)! n
n! 1/xn.
Pe de alta parte, tinand seama de inegalitatea dintre media geometrica si
media armonica,
n+1v1v2 . . . vn+1 n+ 11
v1+
1
v2+ . . .+
1
vn+1
,
rezulta can+1(n+ 1)!
n+ 1 n+ 1
xn + n2/nn!.
Obtinem ca
bn =n+1(n+ 1)! n
n! (n+ 1)
2 nn!
nn!xn + n2
nn! =
=(n+ 1)2 n
n! xn( n
n!)2 n2 nn!
nn!xn + n2
=(2n+ 1) n
n! xn( n
n!)2
nn!xn + n2
34
-
(2 +
1
n
)
nn!
n xn
(nn!
n
)21 + xn
nn!
n2
=
(2 +
1
n
)un xnu2n
1 +xnunn
.
Am obtinut dubla inegalitate:(2 +
1
n
)un xnu2n
1 + xnun/n bn 1
xn.
Cu formula lui DAlembert-Cauchy, avem ca
limn+
an = limn+
n
n!
nn= lim
n+(n+ 1)!
(n+ 1)n+1 n
n
n!= lim
n+1(
n+ 1
n
)n = 1e .Trecand la limita n dubla inegalitate de mai sus rezulta ca
21
e e 1
e2
1 + e 1e 0 lim
n+bn 1
e.
Folosind criteriul clestelui rezulta ca limn+
bn = 1/e.
A treia varianta (Wladimir Bosko, 2004; Bogdan Suceava, 2004). Fie
n N. Putem scrie
bn =nn!
n
(n+1(n+ 1)!nn!
1)n.
Ca la prima varianta, se arata ca
limn+
nn!
n=
1
e, de unde lim
n+
n+1(n+ 1)!nn!
= 1.
Fie n N. Punandsn =
n+1(n+ 1)!nn!
1,
35
-
rezulta ca
bn =nn!
n snln(sn + 1)
lnn+1((n+ 1)!)n
n!.
Folosind formula lui DAlembert-Cauchy din
limn+
((n+ 1)!)n
(n!)n+1 ((n 1)!)
n
(n!)n1= lim
n+
(n+ 1
n
)n= e,
obtinem ca
limn+
n+1((n+ 1)!)n
n!= e.
In concluzie
limn+
bn = 1/e.
3. Teorema (Sandor, 1989). Fie sirul (bn)n definit pentru orice n Nprin
bn =n+1(n+ 1)! n
n!.
Atunci sirul (bn)n este strict descrescator. Altfel spus Sirul lui Traian
Lalescu este strict descrescator.
4. Teorema (Lupas, 2001; Nicula, 1987; Vernescu, 2011). Pentru orice
n N are loc inegalitatea1(
1 +1
n
)n+1 < n+1(n+ 1)! nn! < 1(1 +
1
n
)n .
5. Propozitie (Ioachimescu, 1895). Fie sirul (bn)n definit pentru orice
n N prinbn = 1 +
12+
13+ + 1
n 2n.
Atunci sirul (bn)n este convergent la un numar (2,1).6. Propozitie (Vernescu, 2006). Fie sirurile (an)n, (bn)n si (sn)n definite
pentru orice n N prin
sn = 1 +12+ + 1
n, an = sn 2
n+ 1, bn = sn 2
n.
36
-
Atunci
(a). Pentru orice n N, an < bn.(b). Sirul (an)n este strict crescator.
(c). Sirul (bn)n este strict descrescator.
(d). limn+
an = = limn
bn, unde (2,1).(e). Pentru orice n N, 1
2n+ 1
< an < 12n.
(f). Pentru orice n N, 12n+ 1
< bn < 12n.
(g). limn+
n( an) = 1
2= lim
n+n(bn ).
Demonstratie. Fie k, n N. Din
2(
k + 1k) 0.
Astfel am demonstrat ca
2 < sn 2n+ 1 = an < bn = sn 2
n b1 = 1,
an < an+1, bn+1 < bn si ca limn+
an = limn+
bn = (2,1), deoarece2 < a2. In continuare punem
un = an +1
2n+ 1
= sn 2n+ 1 +
1
2n+ 1
,
vn = an +1
2n= sn 2
n+ 1 +
1
2n,
37
-
wn = bn 12n+ 1
= sn 2n 1
2n+ 1
,
n = bn 12n= sn 2
n 1
2n.
Vom arata ca un < un+1, vn+1 < vn si ca wn+1 < wn, n < n+1. Evident
un+1 un > 0 12n+ 2
+1
2n+ 1
> 2(
n+ 2n+ 1)
n+ 1 +
n+ 2
n+ 1 n+ 2 >4
n+ 1 +n+ 2
(
n+ 2n+ 1)2
> 0.
Analog vn vn+1 > 0 2(
n+ 2n+ 1) > 32n+ 1
12n
2n+ 2 +
n+ 1
>3nn+ 1
2nn+ 1
4nn+ 1+n+ 1n+ 2+ n+ 1 > 3nn+ 2+ 3nn+ 1 n+ 1
(n+
n+ 1 +
n+ 2
)> 3nn+ 2
n+
n+ 1 +
n+ 2
3>
n(n+ 2)
n+ 1.
Dar
n+
n+ 1 +
n+ 2
3>
3
nn+ 1
n+ 2 iar 6
n(n+ 1)(n+ 2) >
n(n+ 2)
n+ 1 (n+1)2 > n(n+2). In continuare dupa efectuarea calculelor
se obtine ca wn wn+1 > 0 vn vn+1 > 0. In final
n+1n > 0n+ 1 +
n
2nn+ 1
>2
n+ 1 +n
(n+ 1n
)2> 0.
Ultimele afirmatii din enunt sunt imediate.
7. Propozitie. (Mihalache 2005, Tetiva, 2005). Fie sirul (bn)n definit
pentru orice n N prin
bn + 1 +12+
13+ + 1
n 2n
38
-
si = limn+
bn. Atunci sirul (n)n definit pentru orice n N prin n =n(bn ) este strict crescator.
Demonstratie. Fie n N. Atunci
n < n+1 n(bn ) 1
2x2 > 0, . . . , xn >
1
2xn1 > 0.
Rezulta ca
xn+1 >1
2xn > 0.
Din principiul inductiei matematice rezulta ca xk > 0 pentru orice k N.(b). Avem ca
x2n+1 a =1
4
(x2n + 2a+
a2
x2n
) a = 1
4
(xn a
xn
)2 0;
41
-
(c). Fie n N. Atunci
xn+2xn+1 = 12
(xn+1 +
a
xn+1
)xn+1 = 1
2
(a
xn+1 xn+1
)=a x2n+12xn+1
0.
(d). Fie n N. Atunci 0 < . . . xn+1 xn . . . x1. Sirul(xn+1)n fiind descrescator si marginit inferior este convergent. Fie b R cub = lim
n+xn. Avem ca b 0, deoarece limita unui sir convergent pozitiv este
pozitiva. In cazul de fata b = infnN
xn = limn+
xn 0. Din b = limn+
xn =
limn+
xn+1 si din relatia de recurenta
xn+1 =1
2
(xn +
a
xn
)
prin trecere la limita pentru n +, obtinem ca b = 12(b + a/b), de unde
b = a/b sau echivalent b2 = a.
14. Teorema (Newton, 1669). Fie a (0,+). Atunci sirul (xn)ndefinit pentru orice n N prin
x0 = 1, xn+1 =xn(3 x2na)
2
este convergent cu limn+
xn = 1/a.
15. Teorema (Newton, 1669). Fie a (0,+). Atunci sirul (xn)ndefinit pentru orice n N prin
x0 = 1, xn+1 = 2xn x2na
este convergent cu limn+
xn = 1/a.
16. Propozitie. Functia f : (1,+) R definita pentru orice x (1,+) prin f(x) = (1 1/x)x este strict crescatoare cu
limx+
f(x) = limx+
(1 1
x
)x=
1
e.
42
-
Demonstratie. Fie g : (1,+) R definita pentru orice x (1,+)prin g(x) = ln
(1 1
x
)+
1
x 1. Fie x (1,+). Atunci
ln f(x) = x ln
(1 1
x
),
f (x)f(x)
= g(x), g(x) = 1x(x 1)2 < 0.
Din g : (1,+) R strict descrescatoare avem ca g(x) > g(+) =lim
x+g(x) = 0. Rezulta ca f (x) > 0. Concluzionam ca f : (1,+) R
este strict crescatoare si ca
limx+
(ln f(x)) = limx+
ln(1 1/x)1/x
= limx+
1/x2
1 1/x21/x2 = 1,
de unde limx+
f(x) = e1 = 1/e.
17. Teorema (Joseph Wolstenholme (18291891), Nicolas Bourbaki
(19352000), Isac Jacob Schoenberg (19031990)). Avem ca
limn+
1n + 2n + + nnnn
=e
e 1 .
Demonstratie. Fie n N. Punem sn = 1n + 2n + + nn
nn. Atunci
sn =(nn
)n+
(n 1n
)n+ +
(2
n
)n+
(1
n
)n=
= 1 +
(1 1
n
)n+ +
(1 n 2
n
)n+
(1 n 1
n
)n=
= 1 +n1j=1
(1 j
n
)n= 1 +
n1j=1
[(1 1
n/j
)n/j]j 0 pentru orice x R. Pentru oricen N cu proprietatea ca n 2 punem
An =1
n (P (1) + P (2) + . . .+ P (n))
si
Gn =nP (1)P (2) . . . P (n) =
(P (1)P (2) . . . P (n)
)1/n.
50
-
Atunci
limn+
AnGn
=em
m+ 1.
Demonstratie. Fie a0, a1, a2, . . . , am R cu a0 = 0 astfel ncat
P = a0Xm + a1X
m1 + . . .+ am1X + am.
Atunci a0 (0,+) iar m N este par. Aceasta rezulta din P (x) > 0pentru orice x R si
limx+
P (x) = a0(+)m, limx
P (x) = a0()m.
Intr-adevar, reamintim ca orice polinom de grad impar din R[X] are cel putino radacina reala. Aceasta n combinatie cu P (x) > 0, pentru orice x R,conduce la faptul ca m N este par. Rezulta ca
limx+
P (x) = limx
P (x) = a0 (+) ={
+ , a0 > 0 , a0 < 0.
Daca am avea a0 < 0, atunci din proprietatile limitei am deduce ca exista
t R cu proprietatea P (t) < 0, care este n contradictie cu ipoteza. Acumfie k N si n N cu proprietatea n 2. Punem
sn,k = 1k + 2k + . . .+ nk.
Avem ca
P (1) = a0 1m + a1 1m1 + . . .+ am1 1 + amP (2) = a0 2m + a1 2m1 + . . .+ am1 2 + am
......
P (n) = a0 nm + a1 nm1 + . . .+ am1 n+ am.Rezulta ca
An =P (1) + P (2) + . . .+ P (n)
n=
51
-
= a0 sn,mn
+ a1 sn,m1n
+ . . .+ am1 sn,1n
+ am
si ca
lnP (1)
1m+ ln
P (2)
2m+ . . .+ ln
P (n)
nm
n=
lnP (1)P (2) . . . P (n)
(n!)m
n=
=1
nln
Gnn(n!)m
= lnGn
(n!)m/n.
Cu teorema Stolz-Cesaro avem ca
limn+
sn,knk+1
=1
k + 1.
Rezulta ca
limn+
Annm
= limn+
mk=0
aksn,mknm+1
= limn+
mk=0
aksn,mknmk+1
1
nk=
=mk=0
ak1
m k + 1(
limn+
1
nk
)=
a0m+ 1
.
Din
limn+
P (n)
nm= a0,
cu teorema Stolz-Cesaro obtinem ca
limn+
lnGn
(n!)m/n= lim
n+
lnP (1)
1m+ ln
P (2)
2m+ . . .+ ln
P (n)
nm
n= lim
n+lnP (n)
nm= ln a0.
Rezumand avem ca
limn+
AnGn
(nn!
n
)m=
a0m+ 1
1a0
=1
m+ 1,
de unde
limn+
AnGn
= limn+
AnGn
(nn!
n
)m(
nn!
n
)m =
52
-
=limn+
AnGn
(nn!
n
)m
limn+
(nn!
n
)m =1
m+ 1(1
e
)m = emm+ 1 .
53
-
Ordine de aproximare
1. Propozitie (Polya, 1978; Szego, 1978). Pentru orice n N au locinegalitatile
2n
2n+ 1 e 1 rezulta ca xn = n(a1/n 1) > 0. Vom arata
102
-
ca
xn+1 = (n+ 1)(a1/(n+1) 1
)< n
(a1/n 1
)= xn.
Evident, inegalitatea precedenta este echivalenta cu inegalitatea
a1/(n+1) 1 < n(a1/n a1/(n+1)
).
Punand b := a1/(n+1) avem ca b > 1 si ca bk bn sau echivalent bk/n b,pentru orice k = 0, 1, 2, . . . , n 1. Observam ca a1/n/a1/(n+1) = a1/n(n+1) =b1/n si ca inegalitatea de demonstrat este echivalenta cu inegalitatea b 1 1. In plus, pentru orice n N,
xn = n(na 1) = n(1/ nt 1) = n(
nt 1)nt
.
In acest caz convergenta sirului (xn)n rezulta din cele de mai sus si din
operatii cu siruri convergente.
4. Definitie. Se numeste functia logartimica naturala, functia L :
(0,+) R definita pentru orice x (0,+) prin
L(x) = limx+
n( nx 1).
5. Teorema. Functia L : (0,+) R are proprietatile:(a). L(1) = 0;
(b). Pentru orice a (1,+), L(a) 0;(c). Pentru orice a (0, 1), L(a) 0;(d). Pentru orice a, b (0,+), L(ab) = L(a) + L(b);(e). Pentru orice a (0,+), L(a) a 1;
103
-
(f). limt0
L(1 + t)
t= 1;
(g). Pentru orice a (0,+), limt0
L(a+ t) L(a)t
=1
a.
Demonstratie. (a). Evident L(1) = limn+
n( n1 1) = 0.
(b). Daca a (1,+), atunci din a1/n > 1 pentru orice n N rezultaca L(a) = lim
n+n( na 1) 0.
(c). In cazul a (0, 1) din 1/a > 1 si din (b). rezulta ca
L(a) = limn+
n( na 1) = lim
n+n( n(1/a) 1)n(1/a)
= L(1/a) 0.
(d). Fie a, b (0,+). Atunci pentru orice n N avem can(
nab 1) = n
2( na 1)( n
b+ 1) +
n
2(nb 1)( na+ 1).
Trecand la limita pentru n + obtinem ca
L(ab) = L(a) limn+
1 + nb
2+ L(b) lim
n+1 + n
a
2= L(a) + L(b).
(e). Fie a (0,+), n N si xn := n( na 1). Daca a (1,+),atunci 0 < xn+1 < xn < x1 = a 1. Trecand la limita pentru n obtinem ca 0 L(a) a 1. Acum presupunem ca a (0, 1). Atuncib = a1/n (0, 1). Prin urmare b 1 (1, 0). Din inegalitatea lui Bernoullirezulta ca
a = bn =(1 + (b 1))n > 1 + n(b 1) = 1 + xn.
Trecand la limita pentru n + obtine ca a 1 + L(a).(f). Din (e) avem ca pentru orice t (1,+) L(1 + t) t. Daca
t (0, 1), atunci rezulta ca L(1 + t)t
1, iar daca t (1, 0), atunciL(1 + t)
t 1. Evident din ultimele doua inegalitati rezulta ca
limt0
L(1 + t)
t= 1.
104
-
(g). Fie a (0,+). Pentru orice t R cu a+ t (0,+) avem ca
L(a+ t) L(a)t
=
L
(a(1 +
t
a
)) L(a)
t=
=L(a) + L
(1 +
t
a
) L(a)
t=L(1 +
t
a
)t
a
1a.
De aici rezulta ca
limt0
L(a+ t) L(a)t
=t
alimt0
L(1 + t/a
)t/a
=1
alimu0
L(1 + u)
u=
1
a.
105
-
Functia putere
1. Teorema. Fie a (0, 1) (1,+) fixat. Atunci functia exponen-tiala cu baza a, Ea : R (0,) definita pentru orice x R prin
Ea(x) := E(xL(a)
)= ax
are urmatoarele proprietati:
(a). Pentru orice x, y R, Ea(x+ y) = Ea(x)Ea(y);(b). Pentru orice x R, Ea(x) 1 + xL(a);(c). Pentru orice x, y R, Ea(xy) = Eax(y) = Eay(x);(d). lim
x0Ea(x) Ea(0)
x= L(a); (e). Ea(0) = 1 si Ea(1) = a;
(f). Pentru orice x, y R cu x < y si orice a (1,), Ea(x) < Ea(y);(g). Pentru orice x, y R cu x < y si orice a (0, 1), Ea(y) < Ea(x);(h). Pentru orice x R, Ea(x) = 1/Ea(x);
(i). limx
Ea(x) =
{+ , 0 < a < 10 , 1 < a;
(j). limx+
Ea(x) =
{0 , 0 < a < 1
+ , 1 < a;(k). Pentru orice n N si orice a (1,+), Ea(n) na;(l). Pentru orice t R, lim
xtEa(x) = Ea(t).
2. Teorema. Fie a (0, 1) (1,+) fixat. Atunci functia logarit-mica cu baza a, La : (0,+) R) definita pentru orice x (0,+)prin:
La(x) :=L(x)
L(a)= loga x
are urmatoarele proprietati:
(a). Pentru orice u, v (0,+)La(uv) = La(u) + La(v);(b). Pentru orice u, v (0,+) cu u < v si orice a (1,+),
La(u) < La(v);
106
-
(c). Pentru orice u, v (0,+) cu u < v si orice a (0, 1),La(u) > La(v);
(d). Pentru orice u (0,+) si orice b (0, 1) (1,+),La(u) = Lb(u)La(b);
(e). Pentru orice u (0,+), La(1/u) = La(u);(f). Pentru orice u (0,+), L1/a(u) = La(u);
(g). limu0
La(u) =
{+ , 0 < a < 1 , 1 < a;
(h). limu0
La(u) =
{ , 0 < a < 1+ , 1 < a;
(i). Pentru orice x R si orice b (0,+), La(Eb(x)) = xLa(b);(j). lim
u0La(1 + u)
u= La(e); (k). lim
u0Ea(u) 1
u= 1/La(e).
3. Teorema. Fie R fixat. Atunci functia putere de exponent, P : (0,+) (0,+) definita pentru orice x (0,+) prin
P(x) = E(L(x)) = x
are urmatoarele proprietati:
(a). Pentru orice x, y (0,+), P(xy) = P(x)P(y);(b). Pentru orice x (0,+), P(x) 1 + L(x);(c). P(1) = 1;
(d). limx1
P(x) P(1)x 1 = ; (e). limx0P(x) =
{+ , < 00 , > 0;
(f). limx+
P(x) =
{0 , < 0
+ , > 0;
(g). limx0
P(1 + x) 1x
= ;
107
-
(h). Pentru orice a (1,+) si orice (0,+), limx+
P(x)
Ea(x)= 0;
(i). Pentru orice (0,+), limx+
L(x)
P(x)= 0;
(j). Pentru orice (0,+), limx0
L(x)P(x) = 0.
108
-
Produsul seriilor
1. Nota. Fie+n=0
xn,+n=0
yn doua serii de numere reale si R un
scalar real. Atunci seria+n=0
(xn + yn) se numeste suma seriilor+n=0
xn
si+n=0
yn, iar seria+n=0
xn se numeste nmultirea scalarului cu seria
+n=0
xn. Reamintim ca daca seriile+n=0
xn si+n=0
yn sunt convergente, atunci
seriile+n=0
(xn + yn) si+n=0
xn sunt convergente si au loc relatiile
+n=0
(xn + yn) =+n=0
xn ++n=0
yn si+n=0
xn = +n=0
xn.
Altfel spus, n raport cu operatiile obisnuite de adunare a seriilor si de
nmultirea a seriilor cu scalari multimea seriilor convergente formeaza un
spatiu liniar real.
2. Nota. In afara de operatiile obisnuite de adunare a seriilor si de
nmultire a seriilor cu scalari se poate introduce si produsul Cauchy al seriilor
numerice.
3. Definitie. Fie+n=0
xn si+n=0
yn doua serii de numere reale. Seria
+n=0
(n
k=0
xkynk
)se numeste produsul seriilor
+n=0
xn si+n=0
yn.
4. Teorema (Mertens, 1875). Daca seriile de numere reale+n=0
xn si
+n=0
yn sunt convergente si au sumele x respectiv y si cel putin una din ele este
absolut convergenta, atunci seria produs+n=0
(n
k=0
xkynk
)este convergenta
109
-
si are suma w = xy.
Demonstratie. Presupunem ca seria+n=0
xn este absolut convergenta si
punem a :=+n=0
|xn|. Fie n N. Cu notatiile sn = x0 + x1 + + xn, tn =
y0 + y1 + + yn, wn =n
k=0
xkynk, zn = w0 + w1 + + wn, rn = y tn si
x =+n=0
xn, y =+n=0
yn avem ca
zn = (x0y0) + (x0y1 + x1y0) + + (x0yn + x1yn1 + + xny0) =
= x0(y0 + y1 + ...+ yn) + x1(y0 + y1 + ...+ yn1) + ...+ xny0 =
= x0tn+x1tn1+ +xnt0 =n
k=0
xktnk =n
k=0
xk(yrnk) = ysnn
k=0
xkrnk.
Rezulta ca |zn xy| |y| |x sn| +n
k=0
|xk| |rnk|. Prin urmare este sufi-
cient sa aratam ca limn+
nk=0
|xk||rnk| = 0. Din limn+
tn = y, deducem ca
limn+
rn = 0. Fie > 0. Exista j N astfel ncat pentru orice n N cu pro-
prietatea n j avem ca |rn| /2a. Din convergenta seriei+n=0
xn rezulta
ca limn+
xn = 0. Prin urmare exista p N astfel ncat pentru orice n Ncu proprietatea n p avem ca
|xn| < 2(|r0|+ |r1|+ . . . |rj|) .
Considerand n N cu proprietatea n > j + p avem can
k=0
|xk| |rnk| =n
k=0
|rk| |xnk| =j1k=0
|rk| |xnk|+
110
-
+n
k=j
|rk| |xnk| 0 si n N. Punem tn = xn
n |b|.
Exista r > 0 astfel ncat |b| r si |bn| r, pentru orice n N. Din
112
-
limn+
an = a = 0, deducem ca exista j N astfel ncat, pentru orice k Ncu proprietatea k > j avem ca |ak| < /4r. De asemenea putem alege m jastfel ncat, pentru orice n N cu proprietatea n > m avem ca |tn| < |b| sica
r(|a1|+ + |aj|)n
< /2. Rezulta ca daca n N este astfel ncat n > m,atunci
|a1bn + a2bn1 + + ajbn+1j + a1+jbnj + + anb1|n
|a1| |bn|+ + |aj| |bn+1j|n
+|a1+j| |bnj|+ + |an| |b1|
n
rn(|a1|+ + |aj|) +
4r
|b1|+ + |bnj|n
p rezulta ca |tk| < /2x,unde x =
+n=1
|xn|. Punand a =p
m=1
|tm|, putem determina q N astfel ncatpentru orice j N cu proprietatea j > q avem ca |xj| < /2a. Rezulta cadaca n N este astfel ncat n > q + p 1, atunci
|yn| = |t1xn + t2xn1 + + tpxn+1p + t1+pxnp + + tnx1| |t1| |xn|+ + |tp| |xn+1p|+ |t1+p| |xnp|+ + |tn| |x1| q + p 1 avem ca |yn| < . De aici putem concluziona ca lim
n+yn = 0.
10. Exercitiu. Aratati ca produsul seriilor divergente
1+n=1
(3
2
)nsi 1 +
+n=1
(3
2
)n1(2n +
1
2n+1
)este o serie absolut convergenta.
114
-
Functia exponentiala
1. Propozitie. Pentru orice x R seria numerica+n=0
xn
n!= 1 +
x
1!+x2
2!+ ...+
xn
n!+ ...
este absolut convergenta.
Demonstratie. Pentru x = 0 convergenta absoluta a seriei este ime-
diata. Fie x R. Evident
limn+
|xn+1/(n+ 1)!||xn/n!| = limn+
|x|n+ 1
= 0 < 1.
Din criteriului raportului al lui DAlembert obtinem ca seria data este absolutconvergenta pentru orice x R.
2. Definitie. Se numeste functia exponentiala functia exp : R Rdefinita pentru orice x R prin
exp(x) := 1 +x
1!+x2
2!+ ...+
xn
n!+ ... .
Uneori n loc de exp(x) vom scrie ex, pentru orice x R.3. Propozitie. Fie x, y R. Sunt adevarate afirmatiile:(a). e0 = 1, ex+y = exey, ex > 0;
(b). Daca x, y R sunt astfel ncat x < y, atunci ex < ey.
Demonstratie. Pentru x = 0, avem ca e0 = 1. Fie x, y R. Seriile
ex =+n=0
xn
n!si ey =
+n=0
yn
n!
fiind absolut convergente, produsul lor este o serie absolut convergenta. Prin
urmare
exey =
(+n=0
xn
n!
)(+n=0
yn
n!
)=
+n=0
(n
k=0
xkynk
k!(n k)!
)=
115
-
=+n=0
(1
n!
nk=0
n!
k!
xkynk
(n k)!
)=
+n=0
(1
n!
nk=0
Cknxkynk
)=
+n=0
1
n!(x+ y)n = ex+y.
Este evident faptul ca ex > e0 = 1 pentru orice x > 0. Fie x R. Din1 = e0 = ex+(x) = exex, deducem ca ex = 1/ex. Daca x < 0, atuncix > 0, de unde ex 1 si prin urmare ex = 1/ex > 0. In final fie x, y Rastfel ncat x < y. Din y x > 0 rezulta ca 1 < eyx = eyex = ey/ex, deunde ex < ey.
4. Propozitie. Functia exponentiala este continua pe R.
Demonstratie. Fie t R si n N. Scriem
et =n
j=0
tj
j!+
+j=n+1
tj
j!= sn(t) + rn(t).
Pentru |t| < 1 avem ca
|et sn(t)| = |rn(t)| |t|n+1
(n+ 1)!
(1 +
|t|n+ 2
+|t|2
(n+ 2)(n+ 3)+ . . .
)
1(n+ 1)!
(1 +
1
n+ 2+
1
(n+ 2)2+ . . .
)=n+ 2
n+ 1
1
(n+ 1)!.
Fie > 0. Din cele de mai sus deducem ca exista k N astfel ncat pentruorice n N cu proprietatea n k si orice t R cu |t| < 1 avem ca
|et sn(t)| = |rn(t)| n+ 2n+ 1
1
(n+ 1)!< /2.
Punem Qk(t) :=t
1!+t2
2!+ . . .+
tk
k!pentru orice t R. Daca |t| < 1, atunci
avem ca
|et 1| = |Qk(t) + rk(t)| |Qk(t)|+ |rk(t)| < |Qk(t)|+ /2.
Fiind o functie polinomiala, functia Qk : R R este continua n 0. Prinurmare exista 1 > 0 astfel ncat pentru orice t R, cu |t| < 1 avem ca
|Qk(t)Qk(0)| = |Qk(t)| < /2.
116
-
Rezumand cele de mai sus obtinem ca pentru orice > 0 exista :=
min{1, 1} astfel ncat pentru orice t R cu |t| < avem ca |et 1| < ,continuitatea functiei exponentiale n 0. Continuitatea functiei exponentiale
ntr-un punct arbitrar a R rezulta din egalitatea ex ea = ea(exa 1).5. Teorema. Functia exponentiala exp : R R are proprietatile(a). e0 = 1; lim
x0ex = 1;
(b). Pentru orice x, y R, ex+y = exey;(c). Pentru orice x R, ex = 1/ex;(d). Pentru orice x R, ex > 0;(e). Pentru orice x R, ex > 1 + x;(f). Pentru orice x (, 1), 1 + x ex 1
1 x ;
(g). Pentru orice x (0, 1), 1 ex 1x
11 x ;
(h). Pentru orice x (1, 0), 11 x
ex 1x
1;
(i). limx0
ex 1x
= 1; (j). Pentru orice a R, limxa
ex = a;
(k). Pentru orice x, y R cu x < y, ex < ey;(l). Pentru orice a R, lim
xaex eax a = e
a;
(m). limx
ex = +; limx
ex = 0; limx+
ex
x= +.
6. Consecinta. Functia exponentiala exp : (R,+) ((0,+), ) esteun izomorfism de grupuri strict crescator si derivabil cu exp (x) = exp(x),pentru orice x R.
7. Propozitie. Fie f : R R o functie derivabila si g : R R definitapentru orice x R prin
g(x) = (exp f)(x) = ef(x).
Atunci g : R R este derivabila si g(x) = f (x) ef(x) = f (x) g(x), pentruorice x R.
117
-
Functia logaritmica
1. Propozitie. Pentru orice x (0,+), seria numerica+n=0
2
2n+ 1
(x 1x+ 1
)2n+1este absolut convergenta.
2. Definitie. Se numeste functia logaritmica functia ln : (0,+) R definita pentru orice x (0,+) prin
ln x :=+n=0
2
2n+ 1
(x 1x+ 1
)2n+1.
3. Lema. (a). Fie G = (1, 1). In raport cu legea de compozitie definita pentru orice x, y G prin x y = x+ y
1 + xyperechea (G, ) este grup
abelian.
(b). Aplicata f : ((0,+), ) (G, ) definita pentru orice x (0,+) prin f(x) = x 1
x+ 1este un izomorfism de grupuri.
4. Lema. Fie h : (0,+) R definita pentru orice x (0,+) prin
h(x) =
x1
1
tdt.
Atunci pentru orice x, y (0,+) sunt adevarate relatiile h(1/x) = h(x)si h(xy) = h(x) + h(y).
5. Propozitia. Functia logaritmica ln : (0,+) R este derivabila culn (x) = 1/x, pentru orice x (0,+).
6. Consecinta. Daca g : R (0,+) este o functie derivabila atuncifunctia ln g : R R este o functie derivabila cu (ln g)(x) = g
(x)g(x)
pentru
orice x R.7. Propozitie. Sunt adevarate afirmatiile:
(a). Daca 0 < t < 1 < x, atunci < ln t < ln 1 = 0 < ln x < +;(b). Pentru orice x, y (0,+), ln(xy) = ln x+ ln y;
118
-
(c). Pentru orice x (0,+), ln(1/x) = ln x;(d). Pentru orice x (0,+), elnx = x;(e). Pentru orice x R, ln ex = x.
Demonstratie. (a) si (c). Afirmatiile sunt imediate.
(b). Fie x, y (0,+). Exista si sunt unice u, v (1, 1) astfel ncatx =
1 + u
1 u si y =1 + v
1 v . Intrucat u =x 1x+ 1
si v =y 1y + 1
rezulta ca
ln x+ ln y = ln1 + u
1 u + ln1 + v
1 v =+n=0
2
2n+ 1u2n+1 +
+n=0
2
2n+ 1v2n+1 =
= 2+n=0
( u0
t2ndt
)+ 2
+n=0
( v0
t2ndt
)=
= 2
u0
(+n=0
t2n)dt+2
v0
(+n=0
t2n)dt = 2
u0
1
1 t2dt+2 v0
1
1 t2dt =
=
u0
(1
1 + t+
1
1 t)dt+
v0
(1
1 + t+
1
1 t)dt =
= h(1+u)h(1u)+h(1+v)h(1v) = h ((1 + u)(1 + v))h ((1 u)(1 v)) =
= h ((1 + u)(1 + v)) + h
(1
(1 u)(1 v))= h
((1 + u)(1 + v)
(1 u)(1 v))=
= h
1 +u+ v
1 + uv
1 u+ v1 + uv
= h(1 + u v1 u v
)= h(1 + u v) + h
(1
1 u v)=
= h(1 + u v) h(1 u v) = 1+uv1
1
tdt
1uv1
1
tdt =
=
uv0
1
1 + sds
uv0
1
1 sds = 2 uv0
1
1 s2ds.Pe de alta parte
ln(xy) = ln
(1 + u
1 u 1 + v
1 v)= ln
(1 + u v1 u v
)=
119
-
=+n=0
2
2n+ 1(u v)2n+1 = 2
+n=0
( uv0
t2ndt
)=
= 2
uv0
(+n=0
t2n)dt = 2
uv0
1
1 t2dt.
In concluzie
ln x+ ln y = 2
uv0
1
1 s2ds = 2 uv0
1
1 t2dt = ln(xy).
(d). Urmeaza sa determinam functia g : (0,+) (0,+) definitapentru orice x (0,+) prin g(x) = elnx. Fie x (0,+). Atuncig(x) = (ln x)elnx =
1
xg(x) de unde
g(x)g(x)
=1
x. Aceasta arata ca functiile
ln g, ln : (0,+) R au aceeasi derivata. Deducem ca exista c Rastfel ncat ln(g(x)) = c + ln x. Rezulta ca c = ln g(x) ln x = ln g(x)
x. In
particular c = lng(1)
1= ln 1 = 0. Concluzionam ca ln g(x) = ln x, de unde
g(x) = x, deoarece functia logaritmica fiind strict crescatoare este injectiva.
(e). Urmeaza sa determinam functia w : R R definita pentruorice x R prin w(x) = ln ex. Fie x R. Avem ca
w(x) = (ln exp)(x) = exp(x)
exp(x)=
exp(x)
exp(x)= 1.
Deducem ca exista c R astfel ncat w(x) = x + c, de unde c = w(x) x.In particular c = w(0) 0 = ln 1 = 0. In concluzie ln ex = w(x) = x.
8. Definitie. Fie a (0, 1) (1,+) fixat. Se numeste functiaexponentiala cu baza a, functia Ea : R (0,+) definita pentru orice x R prin
Ea(x) = ax := ex ln a.
9. Definitie. Fie a (0, 1)(1,+) fixat. Se numeste functia logarit-mica cu baza a functia La : (0,+) R definita pentru orice x (0,+)prin
La(x) = loga x := (ln x)/(ln a)
120
-
Fie x (0,+). Numarul La(x) se numeste logaritmul lui x n baza a.10. Propozitie. (a). Functia exponentiala exp : R (0,+) este o
bijectie continua strict crescatoare.
(b). Functia logaritmica ln : (0,+) R este o bijectie strict crescatoare.Demonstratie. Functia exponentiala f : R (0,+) definita pentru
orice x R prin f(x) = ex, este continua si strict crescatoare. Fiind strictcrescatoare, ea este injectiva. Intrucat f : R (0,+) are proprietatea luiDarboux, f(R) este un interval. Din ex > 1 + x pentru orice x > 0 avem ca
supxR
ex = limx+
ex = +.
Din ex = 1/ex pentru orice x R rezulta ca
infxR
ex = limx
ex = limx
1/ex = 0.
Obtinem ca f(R) = (0,+). Prin urmare functia exponentiala f : R (0,+), definita pentru orice x R prin f(x) = ex este o bijectie continuastrict crescatoare ntre intervalele R si (0,+).
11. Exercitiu. Sa se arate ca:
(a). limx
ln x
x= 0; (b). lim
x0ln x
x= ;
(c). limx+
(1 +
1
x
)x= e; (d). lim
x
(1 +
1
x
)x= e.
121
-
Functiile trigonometrice sinus si cosinus
1. Propozitie. Pentru orice x R, seriile numerice:+n=0
(1)n x2n+1
(2n+ 1)!:= x x
3
3!+x5
5! x
7
7!+ ...
si+n=0
(1)n x2n
(2n)!:= 1 x
2
2!+x4
4! x
6
6!+ ...
sunt absolut convergente.
Demonstratie. Convergenta absoluta n 0 beste imediata. Faptul ca
cele doua serii sunt absolut convergente pe R rezulta din criteriul raportuluia lui DAlembert, deoarece pentru orice x R,
limn+
( x2n+3(2n+ 3)! / x2n+1(2n+ 1)!
) = limn+ x2(2n+ 2)(2n+ 3) = 0,lim
n+
( x2n+2(2n+ 2)! / x2n(2n)!
) = limn+ x2(2n+ 1)(2n+ 2) = 0.2. Definitie. Se numeste functia sinus, functia sin : R R definita
pentru orice x R prin
sin x :=+n=0
(1)n x2n+1
(2n+ 1)!= x x
3
3!+x5
5! x
7
7!+ . . . .
3. Definitie. Se numeste functia cosinus, functia cos : R R definitapentru orice x R prin
cos x :=+n=0
(1)n x2n
(2n)!= 1 x
2
2!+x4
4! x
6
6!+ . . . .
4. Propozitie. Fie x, y R. Sunt adevarate afirmatiile:
122
-
(a). sin 0 = 0; cos 0 = 1; cos(x) = cosx; sin(x) = sin x;(b). sin(x y) = sin x cos y sin y cos x;(c). cos(x y) = cos x cos y sin x sin y;(d). Au loc relatiile:
sin2 x+ cos2 x = 1; sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = cos2 x sin2 x.
Demonstratie. Fie x, y R. Relatiile
sin 0 = 0; cos 0 = 1; sin(x) = sin x; cos(x) = cos x
rezulta direct din definitie. In continuare avem ca
sin x cos y + sin y cosx =
(+n=0
(1)n x2n+1
(2n+ 1)!
)(+n=0
(1)n y2n
(2n)!
)+
+
(+n=0
(1)n y2n+1
(2n+ 1)!
)(+n=0
(1)n x2n
(2n)!
)=
=+n=0
(n
k=0
(1)k x2k+1
(2k + 1)!(1)nk y
2n2k
(2n 2k)!
)+
++n=0
(n
k=0
(1)k y2k1
(2k + 1)!(1)nk x
2n2k
(2n 2k)!
)=
=+n=0
nk=0
(1)nx2k+1y2n2k + y2k+1x2n2k
(2k + 1)!(2n 2k)! =
=+n=0
(1)n (x+ y)2n+1
(2n+ 1)!= sin(x+ y).
Rezulta ca
sin(xy) = sin(x+(y)) = sin x cos(y)+sin(y) cos x = sin x cos ysin y cos x.
Analog avem ca,
cosx cos y sin x sin y =(
+n=0
(1)n x2n
(2n)!
)(+n=0
(1)n y2n
(2n)!
)
123
-
(
+n=0
(1)n x2n+1
(2n+ 1)!
)(+n=0
(1)n y2n+1
(2n+ 1)!
)=
=+n=0
(n
k=0
(1)k x2k
(2k)!(1)nk y
2n2k
(2n 2k)!
)
+n=0
(n
k=0
(1)k x2k+1
(2k + 1)!(1)nk y
2n2k+1
(2n 2k + 1)!
)=
= 1 ++n=1
nk=0
(1)n x2ky2n2k
(2k)!(2n 2k)!+
++n=0
nk=0
(1)n+1 x2k+1y2n2k+1
(2k + 1)!(2n 2k + 1)! = 1++n=1
nk=0
(1)n x2ky2n2k
(2k)!(2n 2k)!+
++n=1
n1k=0
(1)n x2k+1y2n2k1
(2k + 1)!(2n 2k 1)! =
= 1 ++n=1
(1)n(
nk=0
x2ky2n2k
(2k)!(2n 2k)! +n1k=0
x2k+1
(2k + 1)!
y2n2k1
(2n 2k 1)!
)=
= 1 ++n=1
(1)n (x+ y)2n
(2n)!=
+n=0
(1)n (x+ y)2n
(2n)!= cos(x+ y).
Rezulta ca,
cos(x y) = cos(x+ (y)) = cosx cos(y) sin x sin(y) =
= cosx cos y sin x( sin y) = cosx cos y + sin x sin y.Avem ca
1 = cos 0 = cos(x x) = cos x cos x+ sin x sin x = cos2 x+ sin2 x
cos 2x = cos(x+ x) = cosx cosx sin x sin x = cos2 x sin2 xsi ca
sin 2x = sin(x+ x) = sin x cos x+ sin x cos x = 2 sin x cosx.
124
-
5. Consecinta. Fie x, y R. Sunt adevarate afirmatiile:(a). sin x+ sin y = 2 sin
x+ y
2cos
x y2
;
(b). sin x sin y = 2 sin x y2
cosx+ y
2;
(c). cosx+ cos y = 2 cosx+ y
2cos
x y2
;
(d). cos x cos y = 2 sin x+ y2
sinx y2
.
6. Consecinta. Fie x R. Au loc inegalitatile(a). 1 sin x 1; (b). 1 cos x 1.Altfel spus, au loc inegalitatile | sin x| 1 si | cosx| 1.7. Propozitie. Sunt adevarate afirmatiile:
(a). Din 0 x 6 rezulta ca 0 sin x x si ca
1 x2/2! cos x 1 x2/2! + x4/4!;
(b). Din |x| 6 rezulta ca | sin x| |x|;(c). Din 0 x 2 rezulta ca 0 < cosx;(d). Are loc inegalitatea 0 > cos 2.
Demonstratie. Pentru orice x [0,6] si orice n N avem caxn
n! x
n+2
(n+ 2)!=xn
n!
(1 x
2
(n+ 1)(n+ 2)
)> 0.
Prin urmare din x [0,6] rezulta ca
sin x =
(x x
3
3!
)+
(x5
5! x
7
7!
)+ ...+
(x4k+1
(4k + 1)! x
4k+3
(4k + 3)!
)+ ... 0;
sin x = x(x3
3! x
5
5!
) ...
(x4k+3
(4k + 3)! x
4k+5
(4k + 5)!
) ... x;
cos x = 1 x2
2!+
(x4
4! x
6
6!
)+ ...+
(x4k
(4k)! x
4k+2
(4k + 2)!
)+ ... 1 x
2
2!;
cosx = 1 x2
(2!)+x4
4!(x6
6! x
8
8!
) ...
(x4k+2
(4k + 2)! x
4k+4
(4k + 4)!
) ...
125
-
1 x2
2!+x4
4!.
Concluzionam ca din 0 x 6 rezulta ca 0 sin x x si ca 1 x2
2!
cos x 1 x2
2!+x4
4!. In plus, de aici deducem ca, daca |x| 6, atunci
| sin x| |x| si ca, daca 0 x 2, atunci cosx > 0. Din 0 < 2 > 6rezulta ca,
cos 2 1 22
2!+
24
4!= 1
3< 0.
8. Propozitie. Functiile trigonometrice sinus si cosinus sunt continue
pe R.
Demonstratie. Deoarece pentru orice x R cu |x| 2 avem ca| sin x| |x|, din lim
nxn = 0 rezulta ca lim
n+sin xn = 0. Fie a R un
punct arbitrar fixat. Daca limn+
xn = a, atunci limn+
sin(a xn) = 0. Inplus
limn+
sina xn
2= 0.
Aceasta combinata cu
limn+
| sin xn sin a| = limn+
2
cos xn + a2 sin xn a2
lim
n+2
sin xn a2 = 0
si
limn+
| cosxn cos a| = limn+
2
sin a+ xn2 sin a xn2
lim
n+2
sin a xn2 = 0,
ne asigura continuitatea functiilor sinus si cosinus n punctul a.
9. Consecinta. Pentru orice x R avem ca
| sin x| |x|,
126
-
cu egalitate daca si numai dcaa x = 0.
10. Remarca. Functiile trigonometrice sinus si cosinus permit introdu-
cerea corecta si riguroasa a numarului .
11. Propozitie. Exista un numar real cu proprietatile:
(a). 2 < < 4; cos(/2) = 0; sin(/2) = 1; sin = 0; cos = 1;sin(3/2) = 1; cos(3/2) = 0; sin 2 = 0; cos 2 = 1;
(b). Pentru orice x R,
sin(x+ 2) = sin x; cos(x+ 2) = cosx;
sin(/2 + x) = cosx; sin(/2 x) = cosx;cos(/2 + x) = sin x; cos(/2 x) = sin x;
sin( + x) = sin x; sin( x) = sin x;cos( + x) = cosx; cos( x) = cos x;
(c). Din 0 x < /2 rezulta ca cosx > 0.Demonstratie. Din cele de mai sus deducem ca daca t (0,6), atunci
0 < sin t < t si 1 t2
2< cos t < 1 t
2
2+
t4
24. In plus, deoarece 0 0 pentru orice x (0, ) si din continu-itatea functiilor sinus si cosinus rezulta continuitatea functiei cotangenta.
Relatiile limx
cos x = 1, limx
sin x = 0 si limx0
sin x = 0, limx0
cosx = 1
combinate cu sin x > 0 pentru orice x (0, ) dau limx0
ctg x = + silimx
ctg x = . Prin urmare ctg : (0, ) R este o surjectie continua.Daca 0 < x < y < atunci y x (0, ) si
ctgy ctgx = sin(y x)sin x sin y
< 0,
de unde deducem ca functia cotangenta este strict descrescatoare pe (0, ).
130
-
16. Teorema. (a). Functia arcsinus, inversa functiei sinus, arcsin :
[1, 1] [/2, /2] este o bijectie continua strict crescatoare.(b). Functia arccosinus, inversa functiei cosinus, arccos : [1, 1]
[0, ] este o bijectie continua strict descrescatoare.
(c). Pentru orice x (1, 1),
arcsin (x) =1
1 x2 , arccos(x) = 1
1 x2 .
(d). Functia arctangenta, inversa functiei tangenta, arctg : R (/2, /2)este o bijectie continua strict crescatoare.
(e). Functia arccotangenta, inversa functiei cotangenta, arcctg : R(0, ) este o bijectie continua strict descrescatoare.
(f). Pentru orice x R,
arctg (x) =1
1 + x2, arcctg (x) = 1
1 + x2.
131
-
Functii hiperbolice
1. Definitie. Se numeste sinus hiperbolic, functia sh : R R definitapentru orice x R prin
sh x =ex ex
2=
+n=0
x2n+1
(2n+ 1)!= x+
x3
3!+x5
5!+ + x
2n+1
(2n+ 1)+ . . . .
2. Definitie. Se numeste cosinus hiperbolic, functia ch : R Rdefinita pentru orice x R prin
ch x =ex + ex
2=
+n=0
x2n
(2n)!= 1 +
x2
2!+x4
4!+ + x
2n
(2n)!+ . . . .
3. Definitie. Se numeste tangenta hiperbolica, functia th : R Rdefinita pentru orice x R prin
thx =sh x
ch x=ex exex + ex
=e2x 1e2x + 1
.
4. Definitie. Se numeste cotangenta hiperbolica functia cth : R R definita pentru orice x R prin
cth x =ch x
sh x=ex + ex
ex ex =e2x + 1
e2x 1 .
5. Propozitie. Fie x, y R. Sunt adevarate afirmatiile(a). sh 0 = 0; ch 0 = 1; sh (x) = sh x, ch (x) = ch x;(b). sh (x) = ch x; ch (x) = sh x; (c). ch 2x sh 2x = 1;(d). ch (x y) = chx ch y sh x sh y;(e). sh (x y) = sh x ch y ch x sh y.6. Propoztie. (a). Functia sinus hiperbolic sh : R R este o bijectie
continua strict crescatoare.
132
-
(b). Functia arcsinus hiperbolic, inversa functiei sinus hiperbolic,
arcsh : R R este o bijectie continua strict crescatoare. In plus pentruorice x R,
arcsh x = ln(x+
x2 + 1
).
7. Propozitie. (a). Functia cosinus hiperbolic ch : (, 0) (1,+) este o bijectie continua strict descrescatoare.
(b). Functia arccosinus hiperbolic, inversa functiei cosinus hiper-
bolic, arcch : (1,+) (, 0) este o bijectie continua strict descrescatoare.In plus pentru orice x (1,+),
arcch x = ln(x+
x2 1
).
8. Propozitie. (a). Functia cosinus hiperbolic ch : (0,+) (1,+) este o bijectie continua strict crescatoare.
(b). Functia arccosinus hiperbolic, inversa functiei cosinus hiper-
bolic, arcch : (1,+) (0,) este o bijectie continua strict crescatoare.In plus pentru orice x (1,+),
arcch x = ln(x+
x2 1
).
9. Propozitie. Fie x, y R. Sunt adevarate afirmatiile:(a). th 0 = 0; th (x) = thx; th (x) = 1
ch 2x;
(b). th (x+ y) =th x+ th y
1 + th xth y; (c). th (x y) = th x th y
1 th xth y .(d). Functia tangenta hiperbolica th : R (1, 1) este o bijectie
continua strict crescatoare;
(e). Functia arctangenta hiperbolica, inversa functiei tangenta
hiperbolica, arcth : (1, 1) R este o bijectie continua strict crescatoare.In plus pentru orice x (1, 1),
arcthx =1
2ln
1 + x
1 x.
133
-
(f). Functia cotangenta hiperbolica cth : (, 0) (,1) este obijectie continua strict descrescatoare;
(g). Functia arccotangenta hiperbolica, inversa functiei cotangenta
hiperbolica, arccth : (,1) (, 0) este o bijectie continua strictdescrescatoare. In plus pentru orice x (,1)
arccth x =1
2lnx+ 1
x 1(h). Functia cotangenta hiperbolica cth : (0,+) (1,+) este o
bijectie continua strict descrescatoare;
(i). Functia arccotangenta hiperbolica, inversa functiei cotangenta
hiperbolica, arccth : (1,+) (0,+) este o bijectie continua strict de-screscatoare. In plus pentru orice x (1,+)
arccth x =1
2lnx+ 1
x 1
134
-
Completari
1. Propozitie. Pentru orice x [1, 1] seria numerica
x++n=1
1 3 5 ... (2n 1)2n(2n+ 1)n!
x2n+1
este absolut convergenta.
2. Definitie. Se numeste functia arcsinus, functia arcsin : [1, 1] Rdefinita pentru orice x [1, 1] prin
arcsin x = x++n=1
1 3 5 ... (2n 1)2n(2n+ 1)n!
x2n+1.
3. Propozitie. Pentru orice x (1, 1) si orice R seria bino-miala
+n=1
( 1)...( n+ 1)n!
xn
este absolut convergenta.
4. Definitie. Fie R. Se numeste binomul lui Newton general-izat, functia N : (1, 1) R definita pentru orice x (1, 1) prin
N(x) = (1 + x) :=
+n=1
( 1)...( n+ 1)n!
xn.
135