1ade su historia - dialnet · 2013-07-11 · javier de lorenzo 1. notas ca:racterizadoras del hacer...

EN TORNO AL HACER MATEMÁTICO Y ALPROBLE1\1ADE SU HISTORIA

Javier de Lorenzo

1. Notas ca:racterizadoras del hacer matemático

1. Hablar de la Matemática, especular en torno a laMatemática supone un haz de compromisos. Enfrentado conel contexto matemático se observa que se habla 'acerca de',no se construye o hace aquello en torno a lo cual se habla.Esta afirmación de carácter trivial entraña, al menos, y enprimer lugar, la aparente admisión de 'algo' acerca de lo cualhablar; en segundo término, el peligro de desvirtuar y extra-polar ese 'algo', no determinado con univocidad. Ambospuntos parecen o se muestran como inevitables, como noindependientes entre sí. Pero esta inevitabilidad y la trivia-lidad de su afirmación no implica que ambos no sean con-trovertibles, por admitirlos o suponerlos ingenuamente claros.

Cabría contrastar la dicotomía 'hablar acerca de - cons-truir', admitida, ya, como nota caracterizadora de la Mate-mática, con alguna otra materia de pensamiento; observarsi la mencionada inevitabilidad entre el 'hablar' y el 'hacer'es una limitación interna a sólo alguna de entre dichas mate-rias, y si tal dicotomía basta para caracterizar el contextomatemático; de lo contrario, tratar de encontrar algún otrorasgo que, unido a tal dicotomía, permita caracterizar eltrabajo matemático.

2. Materia que versa con proposiciones no fácticas, conmétodos no experimentales, al modo de la Matemática, elhacer filosófico se presenta como terreno ideal para compa-ración, para contraste. En búsqueda de esto último, permí-taseme ejemplificar la posible diferencia entre el hacer de un

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matemático y el hacer de un filósofo. Xavier Zubiri, en 1963,dio unas charlas, unas lecciones 'acerca de' la filosofía. Sepublicaron el mismo año con el título Cinco lecciones defilosofía. En la declaración de motivaciones y justificaciónde dar lo hablado a la imprenta, Zubiri, modestamente,señala: "Tienen un carácter elemental, meramente exposi-tivo y docente" (p. 5). Las lecciones presentaban un objetivoexplícito: decir "lo que algunos grandes filósofos han pen-sado acerca de la filosofía" (p. 9); no la exposición de susfilosofías, de sus sistemas, sino qué entendieron por filosofía,por aquello a lo que se dedicaron, por aquello que preten-dieron hacer, e hicieron según nuestro actual conocimiento.Pero este no es más que el objetivo aparente. envuelto enuna previa declaración de modestia y que implícitamentecomporta algunos compromisos tan aporéticos como los quehe apuntado respecto al hacer matemático. En primera apro-ximación cabría señalar que el objetivo final se centra enponer de relieve un conflicto: la disparidad de opinionesen torno al objeto al cual dedicaron su hacer las figuraselegidas; puesto de relieve el conflicto, el problema, se plan-tea finalmente la solución posible, el camino para obtenerla:"un conflicto del que no puede salirse por combinacionesdialécticas, sino poniendo en marcha, cada uno dentro de símismo, el penoso, el penosísimo esfuerzo de la labor filosó-fica" (p. 284).

Hay, a pesar de la modestia en la declaración de partida,de la orgullosa reivindicación final, varios puntos controver-tibles: a) Se elige un tema: plantear como conflicto cuálsea el objeto de la filosofía, lo que supone una previa tomade postura en el penoso esfuerzo del pensar filosófico, posturaque se ha de contrastar crítica, en el fondo dialécticamente,con lo que piensa que han pensado los demás; b) Tratandode -nueva aparente contradicción- "omitir en absolutotoda reflexión personal" (p. 9), se elige dicho tema en variasfiguras, Aristóteles, Kant, Comte, Bergson, Husserl, Dilthey,Heidegger, a lo largo de la historia, pretendiendo que talelección es "absolutamente arbitraria" (p. 9), a pesar de locual se justifica la misma con el clásico argumento de laimposibilidad de hablar de todos los pensadores, por lo cual

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los elegidos lo son "sin más razón que el ser -entre otros-lo bastante importantes para referirme a ellos" (p. 10); c) Sepretende mostrar finalmente una posible superación, de ca-rácter radicalmente subjetivo, implícita la tesis de que lamisma sólo será alcanzable por una exigua minoría de indi-viduos especialmente dotados para resistir la penosa, la peno-sísima labor pensadora filosófica, convertida en ejercicio deascesis. Se titula, de hecho, la exposición de tal cúmulode compromisos -algunos muy contradictorios-, Cinco lec-ciones de filosofía. En otras palabras, se intenta una descrip-ción que se pretende objetiva mediante la lectura crítica deuna temática conflictiva con enfoque histórico desde unaperspectiva actual; descripción que se quiere, de raíz,filosófica~

Si se hubiera limitado a exponer las doctrinas, los siste-mas filosóficos de los autores mencionados, hubiera realizado'historia de la filosofía' en su acepción común, historia delhacer filosófico especulativo, aunque dicha exposición histó-rica, por supuesto, no quedaría exenta del cúmulo de com-promisos anteriores.

Quiero retener, por modo exclusivo, no ya los puntosaporéticos esbozados, que cabría ampliar sistemáticamentejunto a otros no mencionados, sino el hecho que resulta deesta ejemplificación : Se hace filosofía hablando acercade, especulando en torno a la filosofía.

3. Este hecho es el que no ocurre, y ello de modo radi-cal, en el contexto matemático. Si se dieran Cinco leccionesde matenzática podría optarse por un enfoque paralelo al deZubiri. Exponer, o tratar de exponer, lo que algunos grandesmatemáticos han' pensado acerca de la matemática, acercade lo que constituía su hacer, su saber matemático. Elecciónarbitraria, motivada únicamente por la imposibilidad dehablar de todos los matemáticos, podrían elegirse a figurascomo Euclides, Pascal, Leibniz, Gauss, Cantor, Poincaré,Hilbert, en función de ser lo bastante importantes como parareferirse a ellos. Quizá encontráramos frases -y no muynumerosas si, primero, van atribuidas a matemáticos califi-cables de puros, siempre que esta especie exista, y segundo,

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si nos remontamos a épocas anteriores al siglo XIX-, frasescomo "las matemáticas son el arte de dar el mismo nombrea cosas diferentes", "la esencia de la matemática reside ensu libertad", "la matemática es la ciencia del infinito", "lamatemática es la disciplina de lo necesario"... Frases enalgún caso afortunadas, en general meras boutades, pero queen ninguno constituyen o forman parte de la Matemática. Sonfrases para estar hablando acerca de, sin estar por ellohaciendo aquello en torno a lo cual se habla.

Si abandonamos esta elección de frases y pretendemoscaptar lo que de su hacer pensó auténticamente, por encimade manifestaciones explícitas, un EucIides, por ejemplo, me-diante la lectura crítica de su obra, nos encontramos con laimprescindible necesidad de extrapolar. Relectura que nopodría ser al estilo de Hilbert en sus Fundamentos de laGeometría, obra que constituye el resultado, el producto deuna reconstrucción matemática, la plasmación de un haceren el cual desaparece EucIides y lo que pensamos que pu-diera pensar Euclides. Relectura al estilo de N. Hartmannal comentar el comentario al primer libro de los Elementosde ProcIo. En ella se pondría de manifiesto, pongamos porcaso, que el hacer matemático no era, para EucIides, sino unmedio para obtener la perfección individual, un medio depurificación y catarsis, un medio para alcanzar el conocimien-to, un medio por el cual el alma conoce su poder autocons-tituyente que la conduce a la razón dianoética que es la quedará plena conciencia de sí a esa alma agonizante... Secontinuará hablando acerca del pensar, del especular, perono se hará matemática.

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4. Podrá optarse por un segundo enfoque: Exponer, noya lo que algún matemático afirmó que era, según él, lamatemática, o lo que interpretamos con mayor o menor plau-sibilidad que pensó acerca de su hacer, sino exponer ciertasparcelas de dicho hacer. Este enfoque supone situarse no enla posición del filósofo que expone el sistema filosófico o loque piensa que pensaron autores como los mencionados enlas lecciones de Zubiri, sino el situarse, como indicara haceaños García Morente parafraseando a Bergson, en pleno

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corazón de una ciudad a visitar, recorriéndola en sus barriosmás típicos y característicos, único medio de vivir dichaciudad sintiéndola en una dimensión que no puede dar lavisión de un simple plano, por muy detallado que el mismosea. Visita breve, habría que elegir cinco barrios, cinco luga-res. En este enfoque -salvo en el punto electivo de barrios.siempre de carácter subjetivo, influido por las modas- nohabría opiniones de matemáticos acerca de la Matemática,no habría especulación ni historia; habría una descripciónmatemática.

Puesto a elegir, una lección podría ser titulada "Estruc-tura sintáctica de un cálculo formal", por ejemplo. Podríacomenzarse por una serie de definiciones del tipo:

La n-tupla ordenada de conjuntos (A, A', F, P, Rh Rz,..., Rn 4) se denomina 'sistema formal' si y sólo si Aes un conjunto a lo sumo numerable de signos-clasellamado en lo sucesivo vocabulario o alfabeto del sis-tema; A' es el conjunto de fórmulas o palabras cons-truidas a partir de A; F es un subconjunto de A' quese denominará conjunto de fórmulas bien formadaso simplemente fórmulas; P es un subconjunto de Fdenominado conjunto de postulados del sistema; R¡son las relaciones en A de orden i.

Se podría continuar indicando cómo se construyen y cómo seeligen cada uno de los conjuntos componentes de la n-tupla,caracterizando en esta elección uno u otro sistema formalen función de adoptar criterios como los de derivabilidad oconsecuencia; se elaborarían las propiedades de los mismosen una cadena de proposiciones, corolarios, nuevas definicio-nes; se ejemplificaría la teoría general con algún sistemaformal particular, etc.

Al finalizar la lección quinta de un ciclo de este tipopodría concluirse con una frase equivalente a la siguiente:el que pacientemente ha seguido estas lecciones está en con-diciones de seguir personalmente, individualmente, la penosa,la penosísima labor matemática.

S. Sólo en este segundo enfoque se habría manipulado,se habría hecho matemática. Caben, sin embargo, ciertas

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reservas. Obsérvese la petición de Bergson, de García Mo-rente. No es nueva, ni inédita si la extrapolamos al contextomatemático, dado que fue enunciada para el contexto delfilosofar. Es, por así decir, un tópico en el contexto mate-mático especulativo. En lugar de responder con una defini-ción real de la matemática, el matemático profesionalresponde con un recorrido por algunos temas de 10 que con-sidera su hacer, negándose aparentemente a especular acercade ese hacer. Modelos de este tipo de respuesta se tienenmuchos. Entre los más conocidos, Courant- Robbins prefie-ren que el lector haga un recorrido por lo que ambos profe-sionales consideraban que era el pórtico de la matemática.Más recientemente Kac-Ulam responden con otro recorrido,mientras que Newmann hacía antología de 132 textos. Añosantes, este enfoque fue el dado por Rey Pastor en un muyfamoso ciclo de conferencias, de lecciones en el Ateneo deMadrid.

Se ha insi~tido, se ha reiterado este enfoque, que puedeser considerado, incluso, como propio del profesional de lamatemática.

El matiz diferenciador de la petición explícita al estilode García Morente se encuentra en el hecho de ser una visitaa una ciudad. Ciertamente la ciudad parece independientedel viajero; está ahí, reificada. Pero lo está como una cons-trucción nunca acabada hacia el futuro y sí hacia el pasado;lo está como realizada por otros hombres. Tipos de viajeroshay muchos; admitamos que tipos de sensaciones, tantascomo viajeros. Sólo aprehendiendo los planes, los métodos,los motivos de las nuevas construcciones y de las demoli-ciones que lleven aparejadas, alguno de los viajeros alregresar de su visita podrá, también él, convertirse en mate-mático. Una ciudad -comparación que tiene tantas reminis-cencias y a la vez oposiciones por su apertura, su inacaba-miento, su rechazo de identidad con fortaleza para siempreacabada, perfecta, con otras ciudades- es con quien com-parará N. Bourbaki, años después de García Morente, de ReyPastor, la Matemática.

El compromiso ontológico que esta metáfora, al parecerbrillante y afortunada, encierra es claro y muy distinto de

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aquella que comparara la matemática a un continente o laemparentara con la zoología. Esta última metáfora tambiénha sido hecha, por el mismo que admitiera que la labor delmatemático podría compararse a la de un descubridor o ex-plorador geográfico como Colón. El compromiso ontológicoes, aquí, de cuño radicalmente diferente.

En otras palabras, enfrentados con una lección como ladel sistema formal, existen compromisos opuestos, algunomás realista platónico, alguno más nominalista. En estepunto una de las reservas a realizar ante una lección, anteun enfoque como el que he calificado de propio del matemá-

_ tico, se encontraría en el hecho de que habría que precisarcon nitidez cuál de tales compromisos se encuentra implícitoen quien habla. Precisión que, para algunos matemáticos quese consideran como únicamente profesionales de la matemá-tica no se hace necesaria, salvo en muy contadas excepcio-nes, por lo que como profesional negará la cuestión demarcar precisiones como problemática inherente al hacerobjetivable matemático, cuestión enfocada como una previatoma de postura realmente especulativa; como si ya estemismo rechazo no fuera debido, igualmente, a una previatoma de postura, acrítica y pragmática ingenua. En lo cualcreo que hay un profundo error, dado que el compromisoinicial -aunque no sea inherente o interior al propio hacermatemático- obliga a la realización de uno u otro hacer, ala aceptación o no de determinados métodos o a la creaciónincluso de éstos. Naturalmente los compromisos los hansentido, los han formulado, los han aceptado o rechazadocon abandono de su propio hacer, de su propia profesión dematemáticos, no ya los profesionales puros sino los creadoresdel hacer matemático.

La reserva mencionada da paso a una posible objeciónfrente a quien adoptara un compromiso no realista, el másdifundido quizá por más cómodo. Aquella que establecieraque lo que en tal lección se ha hecho, realmente, es manipu-lar con un lenguaje, con unos signos y reglas para su manejo;que tales signos y reglas no constituyen el hacer matemá-tico; que en tal manipulación material de signos y reglas seha hecho referencia a una construcción abstracta conceptual,

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describiéndola por modo único. La metáfora de la visita ala ciudad se cumpliría estrictamente: el visitante no inter-viene, no actúa, no manipula; observa y, si llega a conver-tirse en matemático al regresar de su visita, no hará otracosa que describir lo que ha visto. Al igual que un geólogodescribe cómo se produce una fal1a en un terreno sin produ-cir, por ello mismo, la fal1a ante quienes habla, en la leccióndel sistema formal se habría descrito tal sistema, es decir,se habría seguido hablando acerca de, describiendo, no ha-ciendo. Es objeción consecuente -por supuesto que no parael geólogo, sí para el matemático- pero que se dirige, real-mente, a un proceso de comunicación al cual se ligan, tam-bién hay que reconocerlo, fuertes dificultades en cuanto a lasinterpretaciones del discurso teórico.

He manejado el término 'manipulación' al referirme almodo de exposición tanto en unas como en otras lecciones.Naturalmente toda comunicación entraña una manipulaciónsígnica material, bien de signos fonéticos como en la lecciónfilosófica; bien fonéticos y gráficos simultáneamente comohubiera ocurrido en la charla acerca de sistema formal o encualquier lección matemática; bien gráficos por modo exclu-sivo en la edición de alguna de las lecciones mencionadas.Como manipulación material sígnica, con trazado de figuras,flechas, diagramas, etc., se estaría realizando un trabajo ex-clusivamente manual en los últimos casos; trabajo manualel trazado de las figuras en la pizarra que, extrapolando elpensamiento de Sartre, sólo expresaría conocimiento sinté-tico si fuera acompañado de trabajo laríngeo.1

En otras palabras, nos movemos, en el plano de lacomunicación, en el juego de los polos subjetivación-objeti-vación, y el10 a través de unas inevitables manipulacionessígnicas materiales -ya fonéticas, ya gráficas-o Lo que esmanipulación sígnica subjetiva en un sujeto emisor se obje-tiviza materialmente ante otro y ante él mismo al manipularmaterialmente unos signos que permiten describir o darcuenta de tal subjetividad; el sujeto receptor subjetiviza el

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1 Puede verse, a este respecto, Crítica de la razón dialéctica ylos comentarios de Lévi-Strauss en El pensamiento salvaje, cap. IX.

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mensaje mediante una manipulación material fisio]ÓglC~j-para él inconsciente y de momento no absolutamenteconocida- y en esta fase se encuentra el reconocimento deque la primera construcción o manipulación sígnica material.es objetiva. La fase expositiva, de estricta manipulación síg-nica material, se muestra ineludible porque sin ella no habríacomunicación, al menos en el sentido más general que cabeadmitir hasta ahora.

En la sucesión 'manipulación sígnica subjetiva -manipu-lación sígnica material objetiva- manipulación sígnica subje-tiva', se observa que lo subjetivable en el caso del sistemaformal -quiero decir, la información dada por la comuni-cación- presenta una coherencia objetiva y por mucho quese potencie el factor de crítica racional individual, tal cohe-rencia es objetiva en cuanto común por necesaria y no con-tingen te en un momento histórico determinado. (En ningúncaso me refiero a las sensaciones o a las imágenes particula-res que en cada sujeto puede revestir tal coherencia, sensa-ciones o imágenes individuales que admito intransmisibles).Necesidad o contingencia que se muestran en la dialéctica dela sucesión mencionada en el sentido de que la certidumbresubjetivizada en un sujeto puede expresarse de forma quequepa realizar su verificación, ya desubjetivizada, por partede otros sujetos, convirtiéndose así en una manipulaciónobjetiva en la cual el yo individual subjetivo queda relegadoal yo colectivo. Verificación o falsabilidad no factible en eldiscurso de contexto especulativo, contingente, frente a lafactibilidad de tal verificación en la manipulación sígnica delhacer matemático, representado aquí, para ejemplificación, enel sistema formal.

Aceptada la distinción de niveles manipuladores con sucorrespondiente movimiento dialéctico de subjetivación-ob-jetivación para su asunción en el yo o conciencia colectiva,la diferencia entre los ejemplos anteriores de una lecciónacerca del sistema formal y una lección acerca de lo que secree que Aristótles pensó de su saber filosófico, en torno asu hacer, estriba en que esta última puede reiterarse perma-neciendo lo obtenido en la reiteración dentro de su contextoespeculativo, mientras que si se reitera el proceso acerca del

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sistema formal se pasa del contexto del hacer manipuladora un contexto especulativo sobre dicho hacer. Es distinción,claramente, de carácter semántico. (En términos de carácteralgebraico podría apuntarse que la especulación, o el hablaracerca de, en el contexto especulativo es una operación oley de composición interna, uniforme; en el hacer matemá-tico, se provoca una operación interna en el primer nivel, peroabandona la uniformidad, se convierte en ley externa encuanto se abandona ese nivel, pasando al contexto es-peculativo.)

6. Si la diferencia de niveles entre el hacer manipuladorsígnico, material, y el hablar acerca de ese mismo hacerafecta al contexto matemático y no a una materia como lafilosofía, la distinción no se muestra, sin embargo, comopropia por modo exclusivo del hacer matemático. Si dico-tomía necesaria, no se muestra suficiente para la caracteriza-ción del mismo. Hay otras materias que igualmente se venafectadas por la distinción, pudiendo pensarse incluso quees la filosofía uno de los pocos ejercicios mentales en loscuales tal indistinción se manifiesta. Y precisamente en estepunto incide la reserva y la objeción mencionadas que haríael defensor de una posición realista frente a quien adoptaraotro compromiso.

Hay que observar, sin embargo, que junto a este rasgonecesario existe otro igualmente apoyado en el hecho de lamanipulación material sígnica. Cualquier disciplina -térmi-nos que constituyen un abuso de lenguaje- realiza la mani-pulación material sígnica con una finalidad extracontextualde la misma; en otros términos, s,e manipulan signos comosignificados con referencial o sentido. Pero el hacer matemá-tico constituye una manipulación, una construcción sígnicamaterial con una finalidad intrínseca al contexto manipula-dor. En el hacer matemático se manipulan o se construyensignos como significados sin referencial; en otros términos,se usan signos sin denotación. Requiere, por ello, un hacerrenovado, no un simple describir.

Si la matemática se muestra en el mero plano manipula-dor sígnico, en el de la estructuración formal sintáctica, tal

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estructuración formal sin referencial implica una abstracciónque no produce conocimiento alguno por sí de lo concreto.El hacer se convierte, en este caso, en una forma del trabajo.creadora de otra naturaleza junto a la naturaleza a la queno refleja especularmente ni imita para dar conocimiento dela misma, sino que da lugar a una creación específicamentehumana por la que el hombre contribuye a su transforma-ción. De obtener algún conocimiento, a través de este hacer,sería -y es fundamental- el de la estructuración fisiológicadel individuo, pero ello en un contexto no perteneciente yaal hacer matemático sino a alguno de los contextos califica-bles de científicos y, a su través, a los especulativos. (Igual-mente se tendría conocimiento, secundario, de situacionessociales como el obtenido en los enunciados aritméticos hin-dúes, enunciados en los que pidiendo la resolución deecuaciones lineales se informa, por ejemplo, del precio de losdistintos tipos de esclavas, lo que simultáneamente da in-formación de la sociedad esclavista en la que se manifestabao desarrollaba el hacer matemático de un determinadoinstan te.)

Frente a este hecho, las restantes disciplinas entre lascuales puede establecerse la distinción entre el hacer y elhablar acerca de ese hacer, sí producen conocimiento de loconcreto objetivable en su mismo nivel, quiero decir, en elnivel del hacer manipulador y no en el de la especulaciónacerca del mismo. Y este conocimiento depende, con totalclaridad, de unas condiciones históricas determinadas. Sinembargo, al enfrentarse con la ausencia de lo concreto objeti-vable, con la estructuración formal sintáctica, matemática,obtenida como resultado o producto de una manipulaciónmaterial sígnica, se tiene el riesgo de enfocar dicho producto,objeto de una actividad mental, conformadora y confor-mada a la vez por la misma, como ahistórica, como inde-pendiente de las condiciones concretas en cuyo marco tieneplena validez; ahistoricidad que conlleva a la consideraciónde un compromiso cuasiplatónico, identificando el sistemaformal a una entidad real que se muestra independiente deaquel que la construye, independiente del hombre, que hade limitarse a descubrirla.

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Curiosa aporía, en esta limitación del individuo -que seadmite como axioma sin más discusión sobre lo que el térmi-no 'limitación' puede denotar en este contexto- se quierejustificar la introducción de la historia, en el sentido de queel descubrimiento del objeto matemático ha de realizarseetapa tras etapa, a lo largo del continuo temporal -queimplícitamente se admite lineal-, porque el hombre poseeuna capacidad intelectual limitada que le impide captarde una sola mirada todo el edificio matemático -y se vuelvea las metáforas arquitectónicas-o Lo cual supone admitirun proceso difusionista acrítico, incompatible, en el fondo,con la mencionada trasposición realista; incompatible, en elfondo, con el propio carácter histórico justificad al' del des-cubrimiento de una entidad dada de antemano con vaJidezatemporal.

7. Si la determinación interna de los marcos de validezdel contexto matemático puede mostrar su interés, ésteaumenta al observar las extrapolaciones que se han hechoy se hacen de dicho contexto. Extrapolación provocada,entre otras circunstancias, por la capacidad instrumentaliza-dora que del hacer matemático ha podido y puede hacerse.Hoy se llega hasta extremos de aceptar un pitagorismo radi-cal bañado en términos como los de 'matematización de loreal', tan insistentemente reiterados, como fin exclusivo delhacer matemático. Insistencia que conduce a que los domi-nios de 10 concreto objetivable, característico de las restantesmaterias tanto científicas como sociales y humanas, se en-foquen en terrenos cuya validez queda dentro de los marcosde validez de lo formal abstracto por modo exclusivo. Alrealizar tal extrapolación se hace que dichas materias aban-donen su objetivo final propio convirtiéndose en meras abs-tracciones de lo abstracto, limitándose a dar una simpledescripción formal de los fenómenos que deberían serIescaracterísticos, fenómenos a los que despojan de su referen-cial concreto, y que pierden así la atribución de ser formasdel conocimiento concreto objetivable.

Fenómeno de extrapolación que se ha producido en al-gunos sectores como el de la física -especialmente de la

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física de partículas- y se viene produciendo en otrosterrenos como los de las ciencias sociales y humanas quevan 'matematizándose' en el plano estructural formal. Y sibien esta instrumentalización del hacer matemático puedemostrarse como una conquista del saber, en cuanto se sepao se quiera delimitar con precisión los aspectos o marcosde validez de dicha instrumentalización, encierra el peligro dequedar aprisionada en una manifestación puramente formalsi, además de tomarse el hacer matemático como instru-mento, se le adopta como pretendido modelo-a-imitar alcual subordinarse estrictamente. Esta última adopción dis-torsiona la imagen de ese mismo hacer, ya que adopta delmismo únicamente una de sus facetas -la menos recomen-dable, además, dado que acepta no el hacer o la construcciónmanipuladora en sÍ, y ello por imposible identidad de con-textos, sino el producto reificado del mismo- cometiendola falacia de tomar la parte por el todo o el montón de tizaque queda en la pizarra como el todo de la lección dadaen el aula en la que dicha pizarra se encuentre.

En esta distorsión se encuentra una inconsecuencia -enalgunos consciente y por tanto no tan inconsecuente-,aquella que consiste en tomar el hacer matemático como unarma, como un instrumento más en la pugna por el sosteni-miento de unas determinadas estructuras socioeconómicas,al querer suprimir el conocimiento concreto objetivable dealgunas materias reemplazándolo por el de estructuras forma-les sintácticas al pretender encerrarlas en marcos formalesen los cuales carecen de validez. Es el peligro de extrapola-ción ya señalado -bien que en otro plano- por Kant r:e-firiéndose a ciertas desviaciones de la filosofía, desviacionesconsistentes en adoptar para ellas como modelo el geométricopuro. y si bien el método crítico trascendental kantianosurgió, en parte no pequeña, de la crítica del método y de lanaturaleza de la construcción sintética matemática, Kantreconoció y pretendió delimitar con precisión los marcos devalidez tanto de la Matemática como de la Metafísica, ne-gando la legitimidad de las extrapolaciones tanto en unocomo en otro sentido. Legitimidad aceptada por el contrariopor quienes caen en el vicio que Manuel Sacristán indicara

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con toda claridad: "El formalismo es camino tradicional deescamoteo de contenidos sociales". 2

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2. Historicidad del hacer matemátÜ;o y problemas de la his-toria de tal hacer

1. Se han obtenido, hasta ahora, dos notas como rasgosdistintivos o característicos del hacer matemático:

a) Diferencia entre el hacer manipulador sígnico y elhablar acerca de ese hacer.

b) El hacer matemático, como trabajo, se objetiviza enuna mera manipulación sígnica con significado perosin referencial; no proporciona, por tanto, conoci-miento alguno de lo concreto objetivable.

En este uso manipulador sígnico intrínseco sin denota-ción se encuentra una de las razones de la abstracciónformal, dado que se presenta dicha manipulación como formade trabajo y no de conocimiento. Por causa de tal naturalezaabstracta, se da razón de su validez objetivable mediante lafalsabilidad realizable en la sujetivación de los otros sujetos,a la vez que se da razón de la consideración de la necesidadde la construcción matemática frente a la contingencia quecaracteriza la manipulación sígnica con referencial, propia delas materias calificables de científicas, que proporcionan co-nocimiento, variable y con gradaciones consiguientes. Simul-táneamente, en dicha naturaleza abstracta sin referencial setiene una de las claves de la instrumentalización matemática,una de las claves por las que una misma estructura sintácticapuede 'aplicarse' a dominios muy diversos mediante el em-pleo de modelos o interpretaciones de los mismos, mediantela asignación de un referencial a sus herramientas sígnicas,que no tienen por qué ser isomorfos entre sí e incluso puedenno ser canónicos respecto a alguna interpretación convertidaen usual. En cuanto a la validez objetivable, se puede quererpara todas las épocas, al igual que la validez de toda cate-

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2 Presentación de la ed. española de la antología de NewmannSigma. El mundo de las matemáticas, vol. 1, p. XVII. Ed. Grijalbo.

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goría abstracta. Sin embargo, por esta igualdad puede atri-buirse a ella lo mismo que Marx atribuyó a todas las cate-gorías abstractas, que "son (..) no obstante, asimismo en loque hay de determinado en esta abstracción, el producto decondiciones históricas, y no poseen plena validez sino paraestas condiciones y dentro del marco de las mismas". 3

La admisión de estas últimas palabras indica, explícita-mente, la admisión de un postulado: la radical historicidaddel hacer matemático. Postulado que, aceptado, hace cuestio-nables a los dos rasgos caracterizadores antes señalados, almenos como rasgos válidos para el hacer matemático detodo tiempo y lugar. Es decir, si se admite la historicidaddel hacer matemático, entonces puede no admitirse la validezpara todo marco histórico-geográfico de dichos rasgos. Am-bos muestran su validez para el hacer matemático actual enalguna de sus facetas; quizá no lo sean para el hacer mate-mático de un período del pasado o del futuro o de un presentecontextualmente distinto.

2. A pesar de lo cual ambos rasgos o notas caracteriza-doras del hacer matemático actual permiten explicar la ausen-cia de interés que para el matemático presenta la posiblehistoria de lo que él considera como su terreno de trabajopropio. Igualmente permiten explicar que el matemático en-foque tal historia -si es que acepta la existencia de lamisma- como un hacer no matemático, como una disciplinapertenecien te al nivel de la especulación o, en todo caso, delconocimiento. Por el contrario, la ausencia de ambos rasgosquizá explique la necesidad que el filósofo tiene del conoci-miento de la historia de su saber, a la vez que admita a talhistoria interna como una materia propia o, en todo caso,como un hacer que cae bajo el ámbito de su contexto es-peculativo.

En otros lugares me he referido a la especial configura-ción del matemático como constructor de estructuras sígni-cas, abocado a la superación histórica, proyectado hacia un

3 "Prefacio inédito" a Contribución a la crítica de la economíapolítica. Ed. esp. en Comunicación, pp. 274-5.

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futuro y, sin embargo, integrador de la cultura pasada quees, en él, presente. Igualmente, de las limitaciones que ensu aparente libertad constructiva tiene, tanto internas comoexternas. Únicamente destacaría aquí el hecho de que elmatemático parte de un cierto bagaje -en métodos y pro-blemas- con un cierto nivel de estructuración fiisiológica yen un ambiente socioeconómico particular. Elementos todosellos objetivos en el sentido de que, en particular, aunquedicho bagaje haya sido construido por otros hombres, porotros matemáticos, en otras circunstancias, en otras épocas,dicha construcción se ha reificado como producto, se ha des-personalizado por decido así, importando por modo exclu-sivo las condiciones o postulados que caracterizan cadaproducto construido, cada estructuración formal sígnica, y eljuego de proposiciones o teoremas y definiciones que lo cor-tejan, y que constituyen lo concreto objetivable sobre locual, una vez incorporado por el sujeto, realizar nueva cons-trucción o manipulación sígnica mediante esa interiorizaciónsubjetiva que permitirá la puesta en marcha de la actividad,del trabajo que supone el hacer matemático.

Frente a esta despreocupación o extrañamiento del mate-mático ante lo que pudiera ser la historia de su hacer,muestra el filósofo una actitud radicalmente opuesta. Comofilósofo construirá su sistema, si es que lo tiene, en pugnacrítica con lo que otros filósofos han mantenido o cree élque han mantenido. Dará razón de su especulación en contra-posición, a veces forzada, con la especulación realizada porotros. Ello es lo que permite, a la vez, dar una interpretaciónmuy diversa de lo expuesto por cada uno de los distintospensadores. Permite sugerir, igualmente, que en la no rupturade su reiteración especulativa el hacer filosófico siga sinentrar, en frase kan tiana, en el seguro camino de la ciencia,teniendo que partir siempre del nivel de subjetividad indi-vidual, nivel que no trasciende, encerrado por siempre ensu contexto especulativo. (Aunque ello no signifique, ysubrayo, que dicho contexto especulativo no implique, alpretender ser una cosmovisión, una faceta pragmática; enotros términos, no debe olvidarse que ninguna teoría -o laaparente ausencia de la misma- es mera teoría o ideolo-


gía; es, quizá y fundamentalmente, una praxis, dado quetodo juicio supone o implica un acto.) Incluso cuando elfilósofo pretende la objetividad crítica y aconseja la rupturacon el pasado, con lo dicho por filósofos anteriores, nopuede olvidar tal pasado y ha de reconocer que su peticiónsurge, precisamente, de ese pasado, de lo encarado con loexpuesto por los filósofos anteriores a los que niega validez.Así, Kant, en el Prefacio de los Prolegómenos pide la subje-tivización y el abandono de la lectura de obras anteriores ala suya en beneficio de una crítica interna, individual, únicavía superadora del griterío -de la diafonía doxón perma-nente, del 'griterío de los beocios' como apostillaría poste-riormente Gauss- que en torno a la metafísica ha existido.Vía de subjetivización en la que, como he indicado, insisteZubiri, porque no tiene otra salida, reiterando el mismopunto de cierre especulativo, negándose a admitir que laverdad para cada sujeto depende de los otros sujetos, negán-dose a admitir -por preconizar la vía de subjetividad puracomo camino de ascesis- que el sujeto individual lo es porcontraposición actual y en presencia de otros sujetos, en loscuales se objetiviza mediante la falsabilidad, la verificabilidadde su propia subjetivización. Con lo cual, lo único que sereitera y se pide es el mantenimiento de la diafonía doxón,por prevalencia del sujeto individual, tomado en abstracto,entelequia pura de la razón que, en su vertiente pragmáticasocial, implica el individualismo anarquizante.

El matemático no realiza tal ju~go de contraposicionesinteriorizadoras respecto al pasado. Comprueba como máxi-mo, reconstruye las demostraciones e intenta, englobándolasen sÍ, superarlas, ampliarlas, pero manteniéndose en el terre-no de la objetividad del yo colectivo, mediante un hacerque exige, como trabajo, tiempo; pero un tiempo presente.Por ello, si acude a lo expuesto por los demás, es a un 'losdemás' coetáneo suyo: acude a lo que en el momento enque vive, se hace, para trascenderlo -con las dificulta-des que este acudir tiene en momentos como los actuales quepresentan inunda~ión de publicaciones por lo que la facultadcrítica electiva parece estar siendo aniquilada, al igual que

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el sentido musical, en general, el auditivo, en peligro por lacontaminación 'del ruido-o

Si el matemático pretende sugerir paternidades en elenunciado o formulación de proposiciones, teorÍas o méto-dos, puede ocurrir que cometa errores de atribución histórica.Errores que, por otro lado, no le afectarán en modo alguno,dado que tal proposición, teoría o método se ha objetivizado-por la íalsabilidad que comporta- al ser enunciada. Erro-res como la atribución del principio de inducción completaa Maurolico y no a Pascal, de la fórmula del desarrollo delbinomio a Newton y no a toda la gama que culmina en Abelde n1atemáticos que fueron completando ese desarrollo, dellema maximal a Zorn, del método de cortaduras en el cuerpode los racionales para construir el cuerpo de los númerosreales a Kronecker en lugar de a Dedekind, etc., revelan ladespreocupación y el extrañamiento mencionados. Aunquesean reflejo, igualmente, de que una misma proposición,teoría, método, puedan construirse por vez primera simultá-neamente por matemáticos distintos, en ocasiones ajenosentre sí. Las condiciones históricas han pennitido que tenganvalidez dentro de un marco determinado tales construccio-nes, por lo que las mismas pueden aparecer a la vez realiza-das por varios matemáticos, provocando la elección de unou otro nombre el mencionado error de atribución en algunoscasos.

Despreocupación, extrañamiento del matemático ante lahistoria de su hacer se reflejan en la ausencia de cátedrasde Historia de la Matemática o, de existir, en que talescátedras se liguen a los Departamentos de Metodología yDidáctica de la matemática. Es decir, de existir, se considereconveniente su conocimiento para quien se va a ocupar dela transmisión no para quien, al menos de manera oficial, vaa ocuparse de la manipulación sígnica en sí, deseablementecreadora. Lo mismo puede indicarse de la ausencia de cáte-dras de Fundamentos de la matemática, materia especulativapara el matemático, demasiado técnica para el filósofo, a ca-ballo entre dos terrenos, sin caballo y sin terreno aquí, apesar de que se señale el hecho de que el compromiso onto-lógico en el que cada matemático se incluya deba ser expli-

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citado, delimitado con precisión y no admitido Ingenua,acríticamente, como viene ocurriendo hasta ahora.

Ello no es reproche alguno, es una realidad. Al igual queel extrañamiento del matemático respecto a los autores ni si-quiera cien años anteriores a él. Los cambios en el reflejodel hacer parecen tan absolutos que la lectura de un autorconsiderado clásico puede entorpecer la labor creadora, apesar de que se llegue a opinar que en dicha lectura podránobtenerse ideas enriquecedoras, mantenidas en dicho autoren estado latente, en potencia por decirlo así o, con palabrasalgo simplificadoras de E. Galois, "A menudo parece quelas mismas ideas se les presentan a varios a la vez como unarevelación; si se busca la causa es fácil hallarla en la obrade quienes nos han precedido, en la que tales ideas quedanprescritas sin que sus autores lo sepan". Palabras que secitan como válidas para todo tiempo y lugar cuando se olvi-da que los autores leídos por Galois eran sus coetáneos, nolos anteriores en más de un siglo a su presente.

3. Si admito, en contraposición con el hacer especula-tivo, que el hacer matemático engloba el pasado, mostrán-dose como un hacer presente, actualizado, proyectado en lapantalla de lo posible, debo consignar que tal presente noengloba todo el hacer matemático, no hace presente todo loque en un período determinado fue, a su vez, presente. Aquíencuentro una de las razones para aceptar el postulado dehistoriéidad del hacer matemático; mientras que otra de lasrazones se centra en el hecho de ser un trabajo y, como tal,requerir del tiempo, pero de un tiempo diferente del 'tiempode comprender' en términos de Lacan. De aquí el rechazoque hago de las metáforas que identifican el 'ente' matemá-tico con una obra arquitectónica o con un cuadro en el cualse van acumulando en un orden y tiempo espacial, por asídecir, las distintas partes de una imagen previamente apre-hendida en su totalidad. Si ambas razones conducen a la

aceptación del postulado de historicidad, el solo enunciadode las mismas, su dificultad intrínseca en cuanto a la exis-tencia que suponen de distintos tiempos, ya indica que es

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un postulado que conviene precisar en la medida de loposible.

La historicidad por la que abogo no es evolucionista,difusionista o cíclica. Se enfoca como sustentada en untiempo no lineal, no continuo, sino a base de saltos y rup-turas. Quiero decir, no se considera el hacer matemáticocomo un hacer nacido en Grecia, o en otro lugar, por ejem-plo, desarrollado y mantenido a lo largo de un flujo que vapresentando su culminación en cada instante posterior, en elcual alcanza pleno sentido. Este último enfoque histórico esel predominante. Pero ello se debe al deseo de justificar elpresente a partir del pasado y a la falta de perspectiva tantopara situar nuestro presente como para situarse, realmente, encualquier otro presente. Por el contrario, lo que admito es laexistencia de distintos tipos de hacer matemático, tipos quepueden coexistir en un período histórico y que si puedenpresentar interrelaciones e influencias mutuas, no implicaque deban identificarse, como no se identifican con el hacerdel físico, por ejemplo, a pesar de que entre ambos existano hayan existido influencias e interrelaciones mutuas.

Admitir este tipo de historicidad discreta en el hacermatemático supone, por exclusión, el rechazo del hacer ma-temático como reflejo de una evolución continua y constantedel hombre hacia una perfección progresivamente alcanzaday alcanzable con uniformidad. En otras palabras, supone re-chazar el historicismo como mesianismo mítico de la especiehumana; mesianismo refugio de algunas ideologías que reem-plazan el mesianismo religioso por este otro tipo bajo laetiqueta de 'humanismo', como si con ello no se cayera enel mismo defecto que se pretende desterrar.

En este punto se presenta un peligro en cuanto al usodel lenguaje. Hegel, al indicar los tipos de historiografía queobserva, señalará, junto a la original y la reflexiva, la filosó-fica. Como fin asigna en La razón en la historia: "La únicatarea de la historia es la pura comprensión de lo que ha sidoy lo que es, de acontecimientos y acciones" (p. 43), 4 agre-

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4 Cito por ed. Seminarios y Ediciones M. 1972, versión de CésarA~mando Gómez.

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gando inmediatamente, "debemos buscar en la historia unfin universal, la meta final del mundo..." (p. 46), y, con mayorprecisión, "Del estudio de la historia universal resulta, pues,y debe resultar que todo en ella ha ocurrido racionalmente,que ha sido la marcha racional y necesaria del Espíritu uni-versal, espíritu que constituye la sustancia de la historia, quees siempre uno e idéntico a sí mismo y que únicamente ex-plícita su ser en la vida del universo" (p. 47). Si esto es loque hay que buscar, y lo único que puede encontrarse, Hegelreconoce que el método histórico debe ser empírico, lo cualsupone que para captar el Espíritu hay que efectuar calassincrónicas realizadas con dicho método empírico, aunquetal método, naturalmente, no quiera decir que sea intrínseca-mente objetivo. Lo obtenido en tales calas sincrónicas tendrásu razón de ser en el develamiento de la razón en funciónde la diacronía, de un proceso o marcha lineal, con "nece-sidad histórica", que posibilitará que en las calas sincrónicasse obtenga la esencia de los fenómenos considerados. Enesta concepción se muestra con radical claridad la admisiónde un continuo histórico que ha de ser revelado mediantela historia enfocada, bajo el telón de fondo de dicha necesi-dad histórica de la razón, como un instrumento para la cap-tación del progreso de esa razón, explicitada en la vida delunIverso.

Hablar, entonces, del estudio del hacer matemático me-diante el método de calas sincrónicas que se ligan en unadiacronía, podría dar a entender una concepción del tiposeñalado en Hegel y que explícitamente rechazo. A pesar deeste peligro de equivocidad interpretativa mantendré esostérminos dado que este peligro se desvanece para quien tienepresente el tipo de historicidad señalado: a base de rupturasy saltos, por una parte; por otra, coexistencia de distintostipos de hacer matemático en un mismo período, y coexis-tencia de distintos tipos de tiempo, siendo alguno un tiempofuturo imbricado en un presente que parece desconocerlo;finalmente, utilización de calas en función del contexto pre-sente y no en función de captación de esencias para loobtenido en las mismas referentes a ningún tipo de Espírituo razón hegeliano. Si precisáramos más este tercer punto,


agregando los dos rasgos distintivos de la manipulación síg-nica sin referencia] o denotación, carecería de sentido elpreguntarse por dicha captación de referenciales que no seadmiten como elementos propios del ~ontexto manipuladormatemático.

4. Podría ejemplificarse el hecho de las rupturas y dela coexistencia acudiendo al hacer matemático cartesiano,por ejemplo, como un dato para la falsabilidad de la con-cepción adoptada. Descartes tuvo plena conciencia de quela búsqueda del hacer matemático que él había emprendidoera la búsqueda de un hacer radicalmente distinto al de losaritméticos y geómetras renacentistas. Y llegó al ,extremo deun posible cambio de nombre para ese nuevo hacer, aunquese limitara en principio a designarlo como 'matemática uni-versal' y, finalmente, mantuviera el término 'geometría' comotítulo para la exposición de sólo alguno de los resultadosobtenidos por él en ese nuevo hacer, dejando para la poste-ridad el trabajo de obtener nuevas proposiciones con elmismo 'método'. Pero si tenía plena conciencia de la rupturacon el hacer matemático renacentista, también la tuvo conrespecto al hacer matemático de alguno de sus contemporá-neos, concretamente al hacer que en otro lugar he bau-tizado con el nombre de 'estilo de los indivisibles'. Hacer,este último, que ha quedado incorporado en el Cálculointegral funcional. Coexistencia, ruptura, insisto, de treshaceres matemáticos: cósico, analítico-cartesiano, indivisi-bles. Las verificaciones podrían continuarse.

Sin embargo quisiera destacar, en este mismo caso, el he-cho antes señalado de la integración de lo que fue presente enun presente posterior. El hacer en el 'estilo de los indivisibles'ha pasado, acabo de escribir, a lo que hoy se califica comoCálculo integral funcional. Pero tales palabras no son, real-mente, correctas. En el hacer matemático de Pascal, tal comolo plasmó en sus escritos, el lenguaje de los indivisibles eraparte sustancial, imprescindible de ese hacer matemático pas-caliano. Y, sin embargo, tal parte sustancial, por la que;pascal organizaba polémica o tenía que defenderse de laque a él le organizaban, llegó a constituirse en lo que du-

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rante el siglo XVIII se calificó de "metafísica del cálculo".Términos que alcanzaron el siglo XIX,para ser sucesivamentesuprimidos por el matiz peyorativo que paulatinamente fue-ron adquiriendo, matiz ausente en los primeros momentos.Hoy tal metafísica se encuentra desterrada de lo que, desdenuestro hacer, es lo 'esencial' del Cálculo. Pero este destierroentraña una elección, supeditada a unas condiciones histó-ricas que marcan su grado de validez. Con lo cual lo que seretiene, en el fondo, es únicamente aquello que en otrohacer, en otra matemática, cabe integrar. A pesar de lo cualno puede olvidarse que la aparición del lenguaje de los in-divisibles, con el método razonador cuasi-aritmético que im-plicaba -opuesto a un enfoque conjuntista, por ejemplo-supuso una ruptura con el hacer matemático atribuible alhacer renacentista. Sólo otra ruptura, con la aparición dela transformación finitista representada por el empleo delconcepto de límite -también de razonar cuasi-aritmético-pudo suprimir tanto dicho lenguaje como los procesos de-mostrativos a él ligados, procesos demostrativos para Pasca!,Barrow, Fermat, Roberval, Huygens, Leibniz..., que nopara el matemático actual interiorizado en otro contexto,aunque en tal interior carezca de sentido incluso dichosupuesto. Y si hoy algún matemático como A. Robinsonpretende resucitar el Cálculo a partir de la teoría de losindivisibles, ha de hacerla en cuerpos que son extensionesdel cuerpo de los números reales calificadas de no canónicas,y ello con el mismo método empleado en el hacer manipu-lador sígnico formal actual, aunque se enfoque como parte dela teoría de modelos, de matiz semántica, como prolongación,en ella, de la teoría de los productos directos y ultraproduc-tos. El intento de Robinson muestra, nuevamente, la falta de

sentido que tendría el intento de captación del presente delhacer de Cavalieri o de Pascal desde otro presente, en suintegridad total.

5. Admitir la radical historicidad del hacer matemáticono resuelve, sin embargo, todos los problemas. Muy al con-trario, hace surgir nuevo haz de cuestiones que pueden

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centrarse en cómo llevar a cabo la exposición de esa histo-ricidad.

En este punto, la repercusión metodológica de los presu-puestos y los compromisos que he señalado es clara; única-mente calas sincrónicas permitirán barruntar el tipo de hacerde cada período para el cual tenga sentido dicha cala; a lavez, supone el claro reconocimiento de que 10 captable en lasmismas va a depender, esencialmente, del contexto de quienrealiza las calas sincrónicas en las cuales no podrá captarlo que de auténtico hacer objetivable se tenía en el presentepara el cual se realiza la cala sincrónica. En otras palabras.únicamente tendrá carácter de hacer matemático aquel hacerque cobre sentido, que pueda subjetivarse en el yo colectivodesde el presente en el cual se enfoque el pasado. Ello entra-ña una extrapolación en cuanto a intervención del experi-mentador en el experimento, para fijar con términos deciencia experimental la imposibilidad de una cuestión porel ser de un objeto puro sin intervención de quien trata deaprehenderlo.

Con ello estoy indicando que sólo tiene sentido o caberealizar una historia de los haceres matemáticos mediantelo que cabría calificar de previo replanteamiento de proble-mas. En el mismo, a su vez, dos enfoques que cabría com-patibilizar: Por un lado, replanteamiento en lectura crítica,actual, de los temas que se suponen centrales de cada hacer;relectura interna de los mismos, durante la cual podránvariarse las hipótesis iniciales de dichos temas, de la elecciónde los mismos. No es lectura de su nacimiento como pro-blema o de búsqueda de aquellos autores y textos quepodrían considerarse como precursores, por ejemplo --quees 10 realizado en algunos temas por N. Bourbaki en susElementos de historia de las matemáticas-, sino búsquedade la trabazón interna de los mismos, así como búsqueda delas razones por las cuales tales temas pudieron llegar a plan-tearse en determinado hacer y las limitaciones que desdenuestra perspectiva actual se encontraban en el mismo.(Posibles paradigmas de este tipo de análisis son los breves.pero lúcidos comentarios de Dedekind en sus cartas a Lips-chitz respecto a los números reales y el método de exhaución

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contenido en los Elementos de Euc1ides, e igualmente eltrabajo de Cavaillés sobre la historia de la teoría de con-juntos.)

Por otro lado, y va implícito en el aspecto anterior, semuestra necesario determinar los marcos de validez de cadahacer matemático, marcos a delimitar mediante el estudiode factores sociales, los fines, métodos y formas de razona-miento utilizados, estilo expresivo en el que se manifiestandichos haceres...

En ambos enfoques no debería olvidarse un hecho queya ha sido indicado y que igualmente se desprende de lasconsideraciones anteriores: el de que la historia del hacermatemático no es, no puede ser, un hacer del mismo tipoque el hacer manipulador sígnico matemático. (Lo cual im-plicaría, a su vez, una cuestión a plantear: las relaciones einfluencias mutuas que ambos haceres, de niveles contextua-les manipuladores diferentes, pueden tener entre sí).

6. Precisamente por pertenecer al nivel del hacer especu-lativo se presenta nueva cuestión, ya implícita al citar laspalabras de Hegel "debemos buscar en la historia.. .", y queno debería olvidarse nunca como propia de todo hacerespeculativo. La historia no se muestra como materia deconocimiento en la que quepa distinguir una faceta orientadahacia una finalidad determinada; toda ella es esta faceta.Quiero decir, en su elaboración sufre la contextura de unasprevias concepciones del mismo carácter especulativo delcontexto en el cual se hace. Lo que Hegel indica no es unaexcepción: aplica a la historia los rasgos característicos detoda disciplina empírica, que tiene que delimitar previo alexperimento lo que en éste va a buscar. Aún más, la historiase hace, en su totalidad, 'en función de' una vez precisado,delimitado lo que en ella se va a buscar.

Esto último puede ser ejemplificado precisando, porejemplo, lo dicho respecto al extrañamiento del matemáticofrente a la historia de su hacer, extrañamiento que quizáexplicara el hecho de la ausencia de cátedras de historia dela matemática, de fundamentos de la misma. Ausencia opresencia, adscripción a uno u otro Departamento o inde-

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I 404 En torno al hacer matemático

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pendencia, no se deben por modo exclusivo a la despreocu-pación del matemático individual. Inciden, en este punto,otras consideraciones y otros factores de los que ese mate-mático individual, en general, suele encontrarse marginadoo, en el mejor de los casos, subordinado por inmerso enellos. Ausencia o no, independencia o no, finalidad y objetivode lo que en ellas se imparta, son elementos que van a de-pender en gran medida de factores socioeconómicos y teóri-cos mostrando de una clara manera los compromisos a quehe ido haciendo referencia de extrapolación, de desvirtuacióndel hacer matemático, de su adopción como instrumento parajustificación de otras finalidades en cuyo marco no se ade-cúa... El hecho no es nuevo, precisamente por esa depen-dencia. Pero precisamente por ella se tiene aquí una de lasmás claras razones de la propia historicidad del hacermatemático a la vez que la muestra de cómo el hacer especu-lativo en torno al mismo se hace 'en función de'.

Como ejemplo puede presentarse la creación de la pri-mera cátedra de Historia de la Ciencia en el Colegio deFrancia lograda por Comte. Logro de mérito indiscutible enel plano individual, pero que revela con toda claridad unaprevia posición filosófica en la creación: el positivismo. Elmismo impregna la creación de la cátedra en función delcontenido que de dicha historia se ha de impartir. Se quiereesa Historia como un arma más para legitimar una concep-ción previa: aquella que considera la ciencia como meroreflejo -aunque en ocasiones se diga 'y motor'- del pro-greso humano, característico en aquel marco de una burgue-sía dominante. Reflejo de algo dado de antemano, que elindividuo y la sociedad de la que forma parte ha de irdescubriendo, a retazos, para colocar los mismos en su lugaradecuado, como el pintor ha de ir cubriendo el lienzo apinceladas. Evolución y progreso se identifican. Con lo cualla ciencia no mostrará ruptura alguna en su desenvolvimien-to, que se enfocará lineal en el sentido de un continuotemporal, admitido tácitamente como necesario telón defondo. Versión de este enfoque lo constituye la posicióndifusionista que quiere que todo salga de una cultura y épocadeterminadas, mientras que otras culturas de ámbitos geo-

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gráficos distintos, de tempos diferentes, se limitan a tomado,desarrollado y, fundamentalmente, transmitido. Esta últimaha tenido y tiene en las historias de la Matemática escritashasta ahora un predominio casi absoluto. Es la que insisteen el nacimiento de la Matemática en Grecia. Nacimiento,evolución progresiva, aunque con estancamientos, son tér-minos que se han hecho lugar común, tópico, y problema aexplicar mediante atribución de especiales geist al pueblogriego, por ejemplo, como puede observarse en Spengler yen todos aquellos que, tras él, se han dejado arrastrar porel 'finitismo' heleno. s

Si Comte puede ser paradigma respecto a la historia dela ciencia considerada como la explicación de la unidadde las ciencias experimentales particulares, historia quepermitirá develar la unidad subyacente a las diversas ramaso parcelas en que la misma ha de ser descompuesta, por la'limitación' del ser humano, impotente de captar la esenciade la ciencia en una sola visión, paradigma respecto a lahistoria particular de las matemáticas podría considerarsela figura de Félix Klein. Y si elijo a Klein es por la influenciaque ejerciera en Rey Pastor, quien transportaría este tipode preocupaciones históricas al ámbito español, llegando aescribir, también él, una Historia de las matemáticas en cola-boración con Babini. Para el gran matemático alemán la his-toria, orientada fundamentalmente como conocimiento queha de tener el buen profesor de matemáticas, presenta unobjetivo: dar razón última de la génesis de los conceptos ymétodos matemáticos, génesis de carácter no epistemológico,como ocurrirá en Poincaré, sino de carácter profundamentehistórico. Por ello, tal génesis conlleva las dos ideas implíci-tas ya señaladas en Comte: la de una evolución y progresocon posibles estancamientos y aceleraciones, nunca rupturas,y la mencionada unidad de las ciencias en el sentido deenfocar la matemática, realmente, como una disciplina de lanaturaleza más, reflejo y, ahora sí -por algo escribe un

5 Puede verse, para toda la problemática aquí expuesta, el ensayode Michel Fichant, Idea de una historia de las ciencias. Siglo XXI,1971.

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matemático- motor de las mismas. Por esta idea, Kleinplanteaba batal1a análoga a la de Comte en favor de la His-toria de las matemáticas considerándola imprescindible comoconocimiento, fundamentalmente en el terreno pedagógico.

Pero, en realidad, se la tomaba como un arma en dosterrenos. Por un lado -aparentemente el más visible, inclusoexplícito en algunos escritos de Klein, y que no considerocomo el fundamental- contra un enfoque que en aquellosmomentos estaba surgiendo y que era antitético a lo que elmatemático alemán consideraba que debía ser la matemá-tica: el enfoque formalista inscripcionista apoyado en lostrabajos de Hankel, Heine, Thomae, Poincaré, que culminarátras Hilbert -y que es un ejemplo más de la coexistencia dedos haceres, y de dos tiempos coexistentes, uno de cierre, elkleineano, otro de futuro, el formalista-o Este último enfo-que supone una ruptura del enlace pretendido de la Mate-mática con las Ciencias naturales, que hace que se convierta,por vez primera quizá, en un hacer independiente y unitario,que se convierta en el hacer denominado la Matemática,como orgul1osamente proclamara Bourbaki en 1948. Kleinadoptaba la historia como defensa de una concepción delhacer matemático que estaba, realmente, desvaneciéndose,pasando sus marcos de validez histórica.

Por otro lado, y este sí lo estimo fundamental, era uninstrumen to para defensa de una concepción de vida, de ahíel tomarla con un carácter predominante de formación delbuen profesor, y no sólo del creador matemático, y ello por-que la matemática debía servir principalmente para preparara los futuros ingenieros, arquitectos, técnicos, base y funda-mento del progreso imperial de la nación alemana. Y enfunción de esta futura preparación Klein dirigirá --como'bonzo supremo' según llegó a ser ~alificado por alguno desus alumnos- toda la reforma educativa alemana de las

matemáticas en los primeros veinte años de este siglo.

7. Si cabe tomar a Klein como ejemplo, no puedeolvidarse -hecho quizá curioso- que las matemáticasconstituyen un trabajo del que primero se hace historia,


permanente, continuada incluso por los propios matemáticos,como Charles, van der Waerden, E. T. Bell, Bourbaki, losmencionados Klein y Rey Pastor...; pero, permanente, his-toria 'en función de'. Si Platón recomendaba o exigía la com-posición de Elementos a algunos miembros de su Academia,Aristóteles parecía indicar la necesidad de componer historiasde dichos elementos. Y bajo su indicación Eudemo será elprimero en realizar una obra de este tipo, la más antiguade la que se tiene noticia, transmitida por Proclo. Peticiónconsecuente con lo dicho hasta aquí, dado que en tal historiase plasmará la afirmación del nacimiento en Grecia no sólopor chauvinismo heleno, sino porque la misma se enfocacomo reflejo del concepto de 'ciencia por elementos' queformulara explícitamente Arisfóteles. Formulación que, des-de nuestra perspectiva actual, procede precisamente a lainversa, como mera explicitación de un hacer matemáticoprevio, dado que la composición en Elementos se realizabaya desde los tiempos de Hipócrates y Demócrito.

Si Proclo realiza nueva enumeración de matemáticos, lohace por una finalidad pitagórico-platónica, que considerabacomo expresión culmen de la Matemática su plasmaciónexpositiva en Elementos como pediría Platón, exposición deun hacer y de una construcción con finalidad mística. Ylo es porque al ser Euclides platónico en sus planes -y secita textualmente a Proclo- se propuso "como fin de lacompilación entera de los Elementos la coordinación siste-mática de las llamadas figuras platónicas". De aquí queProclo pueda referirse a la obra de Euclides con palabrastan claras como "Es, pues, este libro purificación y ejercita-torio". Palabras en las cuales puede pensarse que se refleja,no ya el fin del mismo Euclides, sino la proyección en elmismo de la finalidad de la Matemática para el neoplatónicoProcIo.

En otros términos, se toma a la historia del hacer mate-mático como arma especulativa que dé justificación de unasconcepciones de las que no puede dar justificación directala manipulación sígnica en sí, el propio hacer matemático.

1ade su historia - dialnet · 2013-07-11 · javier de lorenzo 1. notas ca:racterizadoras del hacer...

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