제 1장 양자역학의 기초

현대물리학

-현대물리학은 양자역학과 상대론이라는 두 개의 축으로 구성

-양자역학은 원자세계를 설명하는 파동역학적 체계임

-(특수)상대론은 빛의 속도에 근접하는 물체의 운동을 기술

강의의 목적

-양자역학이 필요하게 된 역사적 과정과 개괄적 내용의 설명

-원자세계에서 일어나는 물리현상을 이해

파동의 모양

: x 방향의 1차원 파동방정식

: frequency (진동수)

횡파 (Translational wave), 전자기파

종파 (Longitudinal wave), 음파

파동의 진동에 따른 분류

종파

횡파

파동의 발생원인에 따른 분류

역학파: 역학적인 힘에 의해 발생, 파동의 전달에 매질이 반드시 필요

전자기파: 하전(charged) 물체의 진동, 파동의 전달에 매질이 필요 없음

전자기파

[예제] 파동의 속도가 300m/s이고 파장이 3m로 관찰되었다면, 이 파의 진

동수와 주기는 얼마인가?

[예제] 가시광선 중에서 사람의 눈이 가장 민감하게 반응하는 노란색(green

yellow)파인 파장은 550nm이다. 이 파의 진동수는 얼마인가?

물질 속에서 전자기파의 전파

-전자기파가 물질 속으로 전파될 때 물질의 원자들이 전자기파의 에너지를 흡수하고, 다시

방출(re-emission)하는 메커니즘으로 전파된다.

-원자는 전자기파 에너지를 흡수하고(absorption), 이 에너지에 의해 원자는 전자기파의

진동수와 동일한 진동수로 진동한다.

-그리고 짧은 시간의 진동 후에 원자는 흡수한 전자기파의 진동수와 동일한 진동수의

전자기파를 다시 방출한다.

-이렇게 방출된 전자기파 에너지를 옆의 원자가 흡수하고 다시 방출하는 과정을 반복함

으로써 전자기파가 한 지점에서 다른 지점으로 전파된다.

-이에 따라 밀도가 큰 물질일수록 전자기파의 전파속도가 늦다.

-물질 속에서도 파의 진동수는 변하지 않는다. 파의 속도가 변하므로 파장은 변한다.

물질 굴절률

기체

공기 1.000293

헬륨 1.000035

이산화탄소 1.00045

액체

물 1.33

에탄올 1.36

올리브기름 1.47

고체

얼음 1.31

크라운(crown) 유리 1.52~1.62

플린트(flint) 유리 1.58~1.75

다이아몬드 2.42

[예제] 굴절률이 1.6인 유리로 렌즈를 만들었다. 이 렌즈 속으로 전파되는 전자기파의

속도는 얼마인가?

이름 파장영역 진동수영역 에너지영역(eV)

라디오파 >1m

명칭 사용분야

감마-선 인체내부의 촬영(SPECT, PET), 암 조직의 파괴, 금속 내부의 균열 관찰

X-선 인체 내부의 촬영(CT 등), 비파괴검사, 결정구조의 분석(X-선 회절), 공항의 짐 검사

자외선비타민 D를 형성시킴, 과다 노출 때 피부와 눈에 악영향, 살균작용, 형광등에서 이용,

방범용, 자동문

가시광선 지구상의 동물들이 시각기관에 이용, 식물의 광합성, 광통신(유리섬유)

적외선 열복사(heat radiation), 미사일 열 추적, 광물 등의 원격탐사, 야간 투시경, 요리, 건조

마이크로파전리층을 투과, radar, 위성통신(라디오, TV), 거리측정, 기상관측, 비행기 착륙유도,

마이크로 오븐

라디오파모든 통신에 이용, UHF (미사일, 항공, radar, TV), VHF (FM방송),

HF (전리층 통과, 단파방송); MF, LF, VLF (전리층 통과, AM 방송)

이름 파장영역 진동수영역 특징 사용

VLF (very low) 10km~100km 3kHz~30kHz 작은 산을 통과

LF (low) 1km~10km 30kHz~300kHz 장거리 전파 가능 전신(1930년대)

MF (medium) 100m~1km 300kHz~3MHz 전리층(100km)에서 반사 라디오 방송

HF (high) 10m~100m 3MHz~30MHz 전리층(200~400km) 에서 반사국제방송.

선박, 비행기 통신

VHF

(very high)1m~10m 30MHz~300MHz 전리층에서 반사되지 않고 직진 TV, FM방송

UHF

(ultra high)10cm~1m 300MHz~3GHz 작은 산과 빌딩 뒤에만 전달할 정도로 직진

UHF TV,

모바일 통신

SHF

(super high)1cm~10cm 3GHz~30GHz 특정 방향으로 전달, 많은 정보 전달가능 위성통신, Radar, 위성방송

EHF

(extremely high)1mm~1cm 30GHz~300GHz 빛과 거의 동일하게 직진

단거리 통신,

Radar, 위성통신

용도 진동수영역

AM라디오 5.35kHz ~1.7MHz

단파라디오 5.9Mhz ~ 26.1MHz

TV (Ch. 2~6) 54Mhz ~ 88MHz

FM라디오 88MHz ~ 108MHz

TV (Ch. 7~13) 174MHz ~ 220MHz

전환시기의 물리학의 약사

1814 Fraunhofer: 태양의 흡수 스펙트럼 관찰

1831 Faraday: 전자기 유도법칙 발견, 변압기 발명

1864 Maxwell: 전자기학 확립(Maxwell Equations)

1879 Stefan: 온도에 따른 열복사 관측

1879 J.J. Thomson: 전자의 발견

1884 Boltzmann: 열복사를 가설이던 Maxwell 전자기학을 이용하여 설명

1886 열복사를 실험적으로 비교적 정확히 측정

1888 Hertz: 전자기파의 발견

1893 Wien: ‘변이칙’ 발견, 최대 파장과 온도의 곱은 일정

1895 Balmer: 수소 스펙트럼(가시광선) 공식 만듦

1895 Roentgen: X-선의 발견

1896 Becquerrel: 우라늄에서 방사선 발견

Angstrom

Faraday

1900 Planck: 에너지 양자개념 제안, 흑체 복사 설명

1905 Einstein: Planck의 양자개념을 광전효과에 적용

1913 Bohr: 수소원자 모형을 통한 수소 선스펙트럼 설명

1912 Bragg父子: X-선 회절 실험

1924 de Brogile: 물질파 개념 도입

1925 Pauli: 전자의 배타원리 발표

1926 Schrodinger: 원자세계를 기술하는 파동방정식 유도

1927 Heisenberg: 불확정성 원리 발표

1927 Davisson, Germer: 전자회절 현상 발견

Bragg, father and son Davisson and GermerHertz

Nobel 償 수상자들1901 Roentgen: X-선 발견

1903 Becquerrel, Curie부부: 방사선연구

1904 Rayleigh: 아르곤 기체 연구

1906 J.J. Thomson: 전자의 발견

1909 Marconi: 무선통신 발명

1912 Wien: 열복사 연구

1913 Onnes: 액체헬륨

1914 Laue: X-선 회절, Laue반점

1915 Bragg父子: X-선 회절, 보강간섭 조건

1918 Planck: 에너지 양자

1921 Einstein: 광전효과 설명

1922 Bohr: 수소 원자구조 설명

Roentgen, Becquerrel, Onnes

1929 de Brogile: 전자의 파동적 성질

1932 Heisenberg: 양자역학의 공헌

1933 Schroedinger, Dirac: 원자 이론

1935 Chadwick: 중성자의 발견

1936 Anderson: 양전자의 발견

1938 Fermi: 핵물리의 공헌

1945 Pauli: 배타원리

1949 Yukawa: 핵력 이론

1956 Schkley, Bardeen, Brattain: 반도체, FET

1957 C.N. Yang, T.D. Lee: 입자이론

1972 Bardeen, Cooper, Schriefer: 초전도체 이론

1976 Richter, C.C. Ting: J입자 발견

Pauli

Fermi

1. 파동의 입자성

-파동과 입자는 그 성질이 다름

-파동은 간섭과 회절 등 입자가 가질 수 없는 성질을 나타냄

-파동은 전파에서도 입자와는 다름

간섭회절

원형 구멍에 의한 회절 현상2중 슬릿(slit)에서의 파동의 간섭 현상

흑체복사

光量子說: 진동수 f인 전자기파는 hf 의 에너지 量子들의 집단

에너지의 불연속성: hf0 의 배수인 양자 즉 nhf0 의 양자만 가능

1900년, Planck: 양자개념으로 흑체복사 설명

: 단위체적 당 모드(mode)의 수

: 흑체 복사에서의 전자기파 에너지 밀도

: 모드 당 평균 에너지

고전물리학 (Rayleigh, Jeans)에 의한 설명

Planck’s idea:

[예제] 진동수 f=2.45GHz 인 마이크로파의 광자 에너지는 몇 eV인가?

Photon (광자, )光子

광전효과

1905년 Einstein에 의해 설명됨

-Planck의 양자개념을 적용함

-정지전압은 같은 파장의 빛의 경우

빛의 밝기와 무관하게 일정함이 관찰됨

-정지전압: 광전효과에 의해 발생된

전자를 모두 정지시키는데 (전류=0)

필요한 음의 전압

-정지전압은 빛의 파장에만 관련

-정지전압은 빛의 세기에 무관

-빛을 쪼여주는 즉시 전자방출

-이에 따라 빛이 입자로 구성되어있다는

광양자설을 실증됨

Einstein: 광양자설(E=hf)을 이용

정지전압:

문턱진동수:

[예제] Na금속의 일 함수(work function)는 2.5eV이다. 이 금속의 광전효과

에 대한 문턱파장은 얼마인가? 200nm의 빛을 사용했을 경우 광전효과에서

발생하는 광전자의 최대운동에너지는 얼마인가? 정지전압은 얼마인가?

(답) 광전자가 나오기 위해서는 운동에너지가 0이 되지 않아야 한다. 그러므

로 광전자가 나오지 않는 문턱진동수에서 광전자의 운동에너지는 0이 된다.

Compton Scattering (1923년 Compton이 발견)

Compton lab. in Wash. U.

산란 전자기파의 파장변화:

-광양자설을 이용

-광자의 에너지=hf

-광자의 운동량=hf/c

-에너지 보존칙과 운동량 보존칙을

사용하여 Compton 식을 유도

-Compton식이 실험을 잘 설명해 줌

빛의 이중성 (duality of Light)

-빛(모든 전자기파)은 Maxwell (파동) 방정식으로 기술

-간섭과 회절이라는 파동으로만 설명할 수 있는 현상이 존재

-반면에 광전효과, Compton 효과는 빛이 입자라야 설명 가능

-빛의 이중성

빛은 전달과 중첩(간섭, 회절)되는 경우에는 파동으로 행동

빛이 다른 물질과 상호작용을 할 때는 입자성이 발현됨

Maxwell

2. 물질의 파동성

1923년 de Brogile는 물질파 (matter wave)를 주장

[예제] 전자총에서 전자가 100V의 전압에 의해 가속된다. 전자의 de Brogile 파

장은 얼마인가?

(답) 먼저 전자의 속도를 구해야 된다. 전자가 전압에 의해 얻는 에너지는 eV

이고, 이 에너지가 전자의 운동에너지가 된다.

회절실험

Bragg Father and sonNobel prize 1915

Constructive Interference

Destructive Interference

Rosalind Frankin

(1920-1958)

1920 pioneering biochemist Rosalind Franklin, took 1st XRD photos of DNA

1927년 Davisson-Germer의 전자회절 실험

전자의 속도(V=54V):

회절실험 결과:

따라서 질량 m, 속도 v 인 물체는 de Brogile의 파장을 가지는 파동으로 행동한다.

-전자는 입자인데 파동의 성질인 회절현상을 보임.

-이는 움직이는 전자도 파동적인 성질을 보인다는 것을 확인

-또한 모든 움직이는 물질은 파동적인 성질을 나타낸다고 유추가능

Davisson-Germer의 실험결과

Bohr의 수소원자 모형

(1) 원자모형

Rutherford의 실험 (1911년)

Thompson Rutherford

Rutherford 원자모형

핵이 중앙에 있고 핵을 중심으로

전자가 회전하는 모양

원자의 안정성 문제

-가속되는 하전입자는 전자파를

발생하므로 전자는 에너지를 잃고

핵과 충돌하여 원자가 소멸함

(2) 수소의 선스펙트럼

기체방전(수소의 선 스펙트럼)

-연속적인 전자궤도이므로 연속스펙트럼을 기대

-그러나 불연속적인 선(line)스펙트럼이 관찰됨

Bohr의 가설(Postulate, 1913년)

(1) 안정궤도의 전자는 전자기파를 발생하지 않는다 (원소의 안정성 해결)

안정궤도의 조건: 각운동량의 양자화

(2) 전자는 하나의 안정궤도에서 다른 안정궤도를 전이할 때만

전자기파를 방출 또는 흡수한다

(Planck의 광양자설 이용, 선스펙트럼의 문제 해결).

평형상태:

총에너지:

양자화 조건 을 이용하면

안정궤도:

에너지준위:

Bohr의 각운동량 양자화 조건의 의미

de Brogile 물질파에양자화 조건

을 얻는다. 이는 원궤도의 정지파 조건과 동일하다.

를 대입하면

[예제] 수소 선스펙트럼 중에서 전자가 ni=10에서 nf=3으로의 전이에서 발생하

는 파의 파장은 얼마인가?

(답) 두 에너지 준위의 차이에 해당되는 빛을 발생한다. 먼저 두 에너지 준위

의 차이를 구해보자.

[예제] 수소 선스펙트럼의 Lyman계열의 빛 중에서 파장이 가장 짧은 파와 가장 긴

파의 파장을 구하라.

(답) Lyman계열의 빛은 로 전이할 때 발생한다.

파장이 가장 짧은 파의 에너지가 가장 크다.

이는 에서 로의 전이에서 발생한다.

반면에 파장이 가장 긴 파의 에너지가 가장 작다.

이는 에서 로의 전이에서 발생한다.

거시세계에서의 파동성과 에너지 준위

(1) 파동성

시속 100km/hr인 자동차

광속의 1/5인 전자

질량 1,000kg

질량 10 kg-30

자동차의 길이에 비해 무시할 수 있음

원자의 크기와 비슷함. 무시해서는 안됨

(2) 에너지 준위 (box 안에 있는 물체)

의 조건에서

의 조건에서

와 를 이용하면 을 얻는다.

따라서 box 안의 물체의 에너지 준위는

영점에너지(n=1):

100g의 당구공상자의 길이 50cm

원자 안에 갇힌 전자

영점에너지(n=1):

에너지 준위는 연속적으로 보인다.

불연속적인 에너지 준위

가운데 정지한 당구공이 벽을 치는데 걸리는 시간

억년

3. 불확정성 원리

Heisenberg

The more precisely the position is determined,

the less precisely the momentum is known

in this instant, and vice versa.

--Heisenberg, uncertainty paper, 1927

[예제] 전자가 1Å의 공간에 갇혀있다. 이 경우 전자가 가지는 에너지의 불

확실성은 몇 eV인가?

4. Schrödinger 파동방정식

Schrödinger 파동방정식의 구조

(1) 1차원 전자기 평면파: 파동방정식:

대입하면 ; 시간에 무관한 전자기파 파동방정식

(2) 전자의 경우

에서 이고 de Brogile 물질파를 이용하면

이고 을 얻는다.

이므로

물체가 폭 L인 상자 속에 갇혀있다고 하자. Schrödinger 파동방정식을 이용하여

상자 속의 물체가 가지는 에너지를 계산해 보자. 상자 속의 포텐셜 V는 0이므로

경계조건

에너지 준위

-Bohr는 연속적인 Newton 역학을 사용하면서 궤도에 대한 제한을 줌

-Schrödinger 방정식은 기본적으로 물체를 파동으로 보고 운동을 기술

-Schrödinger 방정식의 해인 파동함수는 실측 가능한 물리량은 아님

-파동함수의 절대값의 제곱이 그곳에서 물체를 발견할 확률밀도를 줌

Tunneling Electron Cloud

STM, AFM – Tunneling effect

Tunnel Diode

구면좌표를 사용하는 것이 편리

Schrödinger 방정식의 해는 좌표

각각 대응되는 세 개의 양자수로 특정됨

에

주양자수: ; 전자궤도의 핵으로부터 떨어진 평균거리

궤도양자수: ; 궤도의 모양(shape of orbital)

자기양자수: ; 궤도의 공간적 방향성 (orientation of orbital)

스핀양자수: ; Dirac 방정식에서 도입, 전자의 스핀운동, up, down

전자의 에너지 상태는 4개의 양자수에 의해 결정

1. Principal Quantum number: n-any positive integer-the larger n, the higher the energy level-max. number of electrons in energy level n is 2n2

2. Azimuthal Quantum number: l-subshell (sublevel) within each principal quantum number

-for any given l, integer in the range of 0 to (n-1)-subshells l =0,1,2,3 are known as the s,p,d subshells

3. Magnetic Quantum number: ml-specifies the particular orbital within a subshell where

an electron is highly likely to be found at a given point in time-all integer from - l to l.

4. Spin Quantum number: ms-any electron can only one of two values for the spin quantum number

Quantum Numbers

Energy Level (State)

Quantum state: (n, l, ml, ms)compare: an energy state of hydrogen atom is determined

by a quantum number n

Pauli exclusion principle: two electrons can not occupy the same state

Orbital

A subshell where an electron is highly likely to be found at a given point in time

nlx n: energy level; principal quantum number

l: sublevel; azimuthal quantum numberx : number of electrons filled (ml, ms)

Example; 2p4 : There are 4 electrons in the second (p) sublevel

of the second principal energy level (n=2)

s-Orbital

Two electron are needed to fill any s-orbital

p-Orbital

Six electron are needed to fill any p-orbital

d-Orbital

Ten electron are needed to fill any d-orbital

Filling orbitals

주기율표의 설명

1 주기: H (1s1, alkali 족, H+ 이 쉽게 됨),

He (1s2 , 완전히 찬 구각, 불활성 기체)

2주기: Li (1s2 2s1, alkali 족)

Be (1s2 2s2, alkaline earth metal 족, Be+2 이 쉽게 됨)

다음의 6개(Z=5에서 10)는 2p를 채움.

Z=9인 F는 2p에 5개 전자

(F-이 됨, Halogen 족, alkali족과 이온결합)

Ne은 2p를 모두 채워 불활성 원소 2s2 2p6

3 주기: Z=11에서 Z=18까지 8개의 원소가 2주기와 같이 3s와 3p를 채움

Z=11은 Na으로 alkali 족, Z=17인 Cl은 halogen 족. Ar은 3s2 3p6

4주기: 4s, 3d, 4p 차례로 채움.

4s의 궤도가 3d보다 궤도반경이 크다.

Z=19 (K), Z=20 (Ca)은 4s에 2개를 채움.

다음의 Z=21에서 Z=30까지는 3d를 채움.

이 원소들은 최외각 전자가 4s2로 동일. 전위원소 족.

Z=31(Ga)에서부터 4p궤도를 채워

Z=36(Kr)에서 4p궤도를 모두 채움. 4s2 4p6

5주기: 4주기와 동일. 5s, 4d, 5p 차례로 채움. Xe : 5s2 5p6

6주기: 6s, 4f, 5d 차례로 채움.

Z=55(Cs), Z=56(Ba)는 6s를 채움.

궤도반경은 4f, 5d, 6s이므로 6s는 채워져 있고 완전히 빈 5d를 두고 4f를 채움.

이 원소들을 희토류라고 하여 주기율표 외곽에 배치. Lanthanide

4f를 모두 채운 후 5d (Z=92, Hf에서 Z=80, Hg)를 채움.

Z=85(Tl)에서 Z=85(At)까지 6p를 채우고 Z=86 (Rn, 6s2 6p6 ).

7주기: 7s, 5f, 6d 차례로 채움. 5f를 채우는 Z=89(Ac)에서 Z=103(Lr)은 주기율표

외곽에 배치. Actinide

주기율표를 설명

구분 입자이름, 기호질량

[MeV]스핀 전하량 발견년도

Leptons

electron, e 0.511 1/2 -1 1887

muon, m 105.66 1/2 -1 1939

tau, t 1,784.2 1/2 -1 1975

electron's neutrino, ne 0 1/2 0 1956

muon's neutrino, nm 0 1/2 0 1961

tau's neutrino, nt 0 1/2 0 2000

Hadron

Meson

pion,

po 134.96 0 0 1951

p+ 139.57 0 +1 1946

p - 139.57 0 -1 1946

kaon, K

K+ 493.8 0 +1 1949

K- 493.8 0 -1 1949

Ko 493.8 0 0 1951

rho, r

r+ 776 1 +1 1961

r- 776 1 -1 1961

ro 776 1 0 1961

eta, h 548.8 0 0 1961

Baryon

nucleonproton, p 938.26 1/2 +1 1919

neutron, n 939.55 1/2 0 1932

sigma

S+ 1,189.4 1/2 +1 1953

So 1,192.5 1/2 0 1957

S- 1,197.4 1/2 -1 1953

Xi, XXo 1,315 1/2 0 1959

X- 1,321.3 1/2 -1 1953

omega, W- 1,673 3/2 -1 1964

lambda, Lo 1,115.6 1/2 0 1951

입자 quark 구성

meson

po

p+

p-

K+

K-

h

baryon

p

n

Lo

S+

S0

S-

상호작용상대적

강도

영역

(range)

Force mediator (힘을매개하는 입자)

이름질량

[GeV]전하량 스핀

강한상호작용

(strong interaction)1 ~1 fm gluon 0 0 1

약한상호작용

(weak interaction)10-9 ~0.001 fm

W+, W-,

Zo

80.4,

91.2±1, 0 1

전자기력

(electromagnetic)1/137 Long ( ) photon 0 0 1

중력(gravitational) 10-38 Long ( ) graviton 0 0 2

이름 스핀 전하량질량

[GeV]발견년도

Quarks

up quark, u 1/2 2/3 0.005 1968

charm quark, c 1/2 2/3 1.4 1974

top quark, t 1/2 2/3 174 1995

down quark, d 1/2 -1/3 0.009 1968

strange quark, s 1/2 -1/3 0.17 1968

bottom quark, b 1/2 -1/3 4.4 1979

이름 스핀 전하량 질량 [MeV]

Leptons

electron 1/2 -1 0.511

muon 1/2 -1 105.66

tau 1/2 -1 1984.2

electron's neutrino 1/2 0 0?

muon's neutrino 1/2 0

이름 스핀 전하량 질량 [GeV]

Force

mediator

Graviton 2 0 0 (not yet detected)

Photon 1 0 0

Gluon 1 0 0

W+ 1 +1 80

W- 1 -1 80

Zo 1 0 91

Higgs 0 0 125