UPeU - JuliacaInterpolacin polinomial

La aproximacin funcionalTres enfoques:

InterpolacinMtodos Numricosg(x0) = f(x0) g(x1) = f(x1) g(xn) = f(xn)

InterpolacinMtodos Numricosg(x0) = f(x0) g(x1) = f(x1) g(xn) = f(xn)

GeomtricamenteMtodos Numricos

GeomtricamenteMtodos NumricosxFuncin interpoladora g(x)

GeomtricamenteMtodos NumricosxError de interpolacin

Por qu interpolar?Mtodos Numricos

EjemploMtodos NumricosLa aceleracin gravitacional (g) vara con la latitud geogrfica.

EjemploMtodos Numricos10203040506070809002,04,06,08,010,0Concentracin del H2SO4 (%)Resistividad (ohm/cm)

Mtodos NumricosEjemplopara a > 0Funcin Gamma (Euler)

Interpolacin polinomialMtodos NumricosCuando la funcin interpoladora es un polinomio, la interpolacin se llama polinomial o simplemente interpolacin.

Tres problemasMtodos NumricosSe conocen {x0, x1,..., xn} y {f(x0), f(x1),..., f(xn)} Existe algn polinomio p(x) tal que p(xi) = f(xi) para i = 0, 1,..., n?

Mtodos NumricosTres problemasSi tal polinomio existe, ser nico?Se conocen {x0, x1,..., xn} y {f(x0), f(x1),..., f(xn)}

Mtodos NumricosTres problemasSi existe el polinomio y es nico, cmo hallarlo?Se conocen {x0, x1,..., xn} y {f(x0), f(x1),..., f(xn)}

Existencia y unicidadMtodos Numricosp(x0) = y0, p(x1) = y1, ... p(xn) = yn

DemostracinMtodos Numricosp(x0) = a0 + a1x0 + ...+ anx0n = y0p(x1) = a0 + a1x1 + ...+ anx1n = y1p(xn) = a0 + a1xn + ...+ anxnn = yn

Mtodos NumricosDemostracinDeterminante de Vandermonde

EjemplosMtodos NumricosUna rectaUna parbola o una recta

Error de interpolacinMtodos Numricosf(x): funcin interpoladax0, x1,..., xn: nodos de interpolacin p(x): polinomio de interpolacin

TeoremaMtodos Numricosentonces existe en I al menos un nmero c tal que el error de interpolacin es:

Mtodos NumricosEjemplof(x) = sen x Nodos de interpolacin: 0, /4, /2Polinomio interpolador:p(x) = -0,335749 x2 + 1,164013 x

Mtodos NumricosEjemplof(x) = sen x Nodos de interpolacin: 0, /4, /2Polinomio interpolador:p(x) = -0,335749 x2 + 1,164013 x

Mtodos NumricosEjemplof(x) = sen x Nodos de interpolacin: 0, /4, /2Polinomio interpolador:p(x) = -0,335749 x2 + 1,164013 xError de interpolacin

Ejemplop(x) = -0,335749 x2 + 1,164013 xsen(1) p(1) = 0,828264

*