1_lezione_concetti statistici di base_2°anno 2010-2011

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LA MODA


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LA MODA

La moda lindice di tendenza centrale che minimizza lperdite di informazioni.In alcune distribuzioni pu accedere che siano presentiuna o pi mode allaumentare del numero diosservazioni:distribuzioni unimodale, bimodale, plurimodale

Lamoda

un indice di tendenza centrale che individua ilgruppo o il dato che compare con maggior frequenza

Per caratteriqualitativi:

Per caratteriquantitativi:

la moda la modalit che sipresenta con maggior frequenza

la moda il valore che sipresenta con maggior frequenza


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Dove:

Nel caso di distribuzioni in classi di diversa ampiezzala classe modale quella con la pi altadensit difrequenza (la frequenza assoluta in rapporto allampiezza della class

Per le distribuzioni in classi di uguale ampiezza, sicalcola la classe modale come segue:

successivalaemodaleclassedellafrequenzalatradifferenza

precedentelaemodaleclassedellafrequenzalatradifferenza

modaleclassedellaampiezzac

modaleclassedellainferioreconfine

moda

2

1

21

1

1

1

====

++=

L

c L


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Cause di morte Frequenze assoluteTumori 315Malattie sistema circolatorio 418Malattie sistema respiratorio 82

Malattie sistema digerente 49Non definite 19Accidentali 57

La moda Malattie sistema circolatorio

1 Esempio di calcolo della moda (carattere qualitativo)


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Tab. 5 - Distribuzione dei mesi secondo le ore di straordinario effettuateda un infermiere di un ospedale

Ore di lavoro straordinario Frequenzaassoluta

Frequenzarelativa

0 1 0,0835 2 0,1677 3 0,250

10 3 0,25011 1 0,083

12 2 0,167Totale 12 1

La prima moda 7, la seconda moda 10

2 Esempio di calcolo della moda (carattere quantitativo)


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Classi peso Frequenza assoluta Valore centrale[69,5 72,5) 3 71[72,5 75,5) 4 74[75,5 78,5) 22 77[78,5 81,5) 53 80[81,5 84,5) 92 83[84,5 87,5) 71 86[87,5 90,5) 46 89[90,5 93,5) 15 92

[93,5 96,5) 4 95Totale 310

)[

( ) ( )[ ] 4,833719253925392

5,81

84,5-81,5

21

1

1 =+

+=

+ c L moda-

modaleclasse-

=

=

3 Esempio di calcolo della classe modale e della moda in unadistribuzione in classi (classi della stessa ampiezza)

4 Esempio di calcolo della classe modale in una distribuzione in


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Numero posti letto Frequenzaassoluta

Ampiezza dellaclasse

Densit difrequenza

26-50 251 25 10,0451-100 368 50 7,36101-150 288 50 5,76151-200 159 50 3,18201-300 304 100 3,04301-500 173 200 0,87501-800 99 300 0,33

La classe modale apparente 51-100

La classe modale corretta 26-50

Tab. 6

- Strutture di degenza classificate in base al numero di posti letto

30099

33,0 =

4 Esempio di calcolo della classe modale in una distribuzione inclassi (classi con ampiezze diverse)


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LA MEDIANA

La mediana per definizione occupa il valore centralein una serie ordinata di dati.

Le osservazioni vengono separate dal valoremediano in due parti numericamente uguali, il 50%con valori inferiori e il 50% con valori superiori.

La mediana non risente dei valori estremi di unaserie ordinata ed preferita in tali casi alla mediaaritmetica.


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Il procedimento di calcolo della mediana

passa per 3 fasi:

1. ordinamento dei dati in modo crescente2. calcolo della posizione della mediana

3. identificazione del valore corrispondente a taleposizione


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Per ilcalcolo della posizione mediana bisogna tener conto della numerosit delle osservazioni n

Se n dispari si avruna sola posizione mediana

Se n pari si avrannodue posizioni mediane

+

+

12

2

21

n

n

n

Lamediana data dal valore/modalit/classe corrispondealla posizione mediana (o alle posizioni mediane).


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Paziente Et Sesso Titolo di studio 1 54 M Nessun titolo 2 57 F Laurea 3 62 F Laurea 4 46 F Nessun titolo 5 39 F Diploma 6 54 M Licenza elementare 7 57 F Licenza elementare 8 60 M Nessun titolo

9 51 F Licenza media

1 Esempio di calcolo della mediana (carattere qualitativo)

dispari)numero(9n =


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Posizione Titolo di studio

1 Nessun titolo2Nessun titolo3Nessun titolo4 Licenza elementare5 Licenza elementare6 Licenza media7 Diploma8 Laurea9 Laurea

Paziente Titolo di studio

1 Nessun titolo2 Laurea3 Laurea4 Nessun titolo5 Diploma6 Licenza elementare7 Licenza elementare8 Nessun titolo9 Licenza media

"ELEMENTARELICENZA" medianaLa 52

192

1

dispari)numero(9n

=+=+

=

n

I N ORDI NE

C RE

S C E NT E


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Paziente Et Sesso Livello Creatininemia

1 54 M Basso 2 57 F Basso 3 62 F Alto 4 46 F Medio

5 39 F Medio 6 54 M Basso 7 57 F Medio 8 60 M Medio 9 51 F Alto

10 54 F Alto


pari)numero(10n =


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Posizione Livello Creatininemia

1 Basso

2 Basso3 Basso4Medio5Medio6Medio7Medio8 Alto9 Alto

10 Alto

Paziente Livello Creatininemia

1 Basso2 Basso3 Alto4 Medio5 Medio6 Basso

7 Medio8 Medio9 Alto

10 Alto

Medio"" MedianaLa

Medio""entecorrispondmodalitla 612

101

2

Medio""entecorrispondmodalitla 52

102

pari)(numero10n

=+=+

==

=

n

n

I N ORDI NE

C RE

S C E NT E

d l l d ll d ( l )


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Paziente Et Sesso Umore

1 54 M Buono 2 57 F Buono 3 62 F Ottimo 4 46 F Ottimo

5 39 F Normale 6 54 M Basso 7 57 F Discreto 8 60 M Buono 9 51 F Discreto

10 54 F Basso


pari)numero(10n =


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Posizione Umore

1 Basso

2 Basso3 Normale4 Discreto5 Discreto6 Buono7 Buono8 Buono9 Ottimo

10 Ottimo

Paziente Umore

1 Buono

2 Buono3 Ottimo4 Ottimo5 Normale6 Basso7 Discreto8 Buono9 Discreto

10 Basso

Buono""eDiscreto""sonomedianemodalitLe

Buono""entecorrispondmodalitla 612

101

2

Discreto""entecorrispondmodalitla 52

102

pari)(numero10n

=+=+

==

=

n

n

4 E i di l l d ll di ( li i ) i


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Titolo di studio Frequenza assoluta

Nessun titolo 1.862

Licenza elementare 9.903

Licenza media 4.491

Diploma 3.093

Laurea 1.160

Totale 20.509

4 Esempio di calcolo della mediana (carattere qualitativo) in unadistribuzione di frequenza

Tit l di t di F Frequenza assoluta


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Titolo di studio Frequenzaassoluta

Frequenza assolutacumulata

Nessun titolo 1.862 1.862

Licenza elementare 9.903 11.765

Licenza media 4.491 16.256

Diploma 3.093 19.349

Laurea 1.160 20.509

Totale 20.509

1.862 + 9.903

1.862 + 9.903 + 4.491

1.862

"ELEMENTARELICENZA" medianaLa 255.102

1509.202

1

dispari)numero(509.20n

=+=+

=

n

La modalit licenza elementare la mediana.La mediana della distribuzione la modalit relativa al dato statistico che

nellordinamento stabilito occupa il posto di mezzo.

LA MEDIANA PER CARATTERI QUANTITATIVI:


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LA MEDIANA PER CARATTERI QUANTITATIVI:

1. Nel caso di unaserie di misure singole e ordinate(o caratteri continui)per n dispari la medianacorrisponde al valore in posizione

per n pari la medianasi colloca tra le due posizioni centrali e(si parla di modalit mediane)

il valore mediano viene calcolato come mediaaritmetica dei valori corrispondenti a queste dueposizioni

21+n

2n

12

+n


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2. Per ledistribuzioni in classi si identifica la classemediana; nel caso di classi di uguali ampiezzasi calcola il valore mediano tra quelli compresinellintervallo di classe utilizzando la formula:

medianaclassedellafrequenza

medianaclassela precedonocheclassidellecumulatafrequenza

medianaclassedellaampiezzac

medianaclassedellainferioreconfine

2 mediana

1

1

====

+=

med

cum

med

cum

f

f

L

c f

f n L

5 E i di l l d ll di ( tt tit ti )


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Paziente Sesso Et PA diastolica(mmHg) PA sistolica(mmHg)

1 M 63 70 110

2 F 56 90 95

3 F 48 80 130

4 F 48 85 85

5 M 50 70 95

6 F 54 70 85

7 M 58 65 100

8 M 67 90 130

9 F 61 90 85

5 Esempio di calcolo della mediana (carattere quantitativo)


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Posizione PA sistolica(mmHg)

1 85

2 85

3 85

4 95

5 956 100

7 110

8 130

9 130

52

192

1 =+

=+n

95 la modalit mediana

50%

50%

I N ORDI NE

C RE

S C E NT E

6 Esempio di calcolo della mediana nel caso di


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Classi peso Valore centrale Frequenzaassoluta Frequenzacumulata[69,5 72,5) 71 3 3[72,5 75,5) 74 4 7[75,5 78,5) 77 22 29

[78,5 81,5) 80 53 82[81,5 84,5) 83 92 174[84,5 87,5) 86 71 245[87,5 90,5) 89 46 291[90,5 93,5) 92 15 306[93,5 96,5) 95 4 310

Totale 310

9,83392

821555,812 mediana 1 =

+=

+= c f

f n

Lmed

cum

6 Esempio di calcolo della mediana nel caso diuna distribuzione in classi

Esercizio 1 (e.)Corso di Statistica 3


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Foglie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lunghez. in cm 1 2 2 3 4 1 2 1 3 2

Moda = 2

Mediana: dopo aver ordinato in senso crescente le unit

calcoliamo le due posizioni mediane n/2 = 5 (n/2)+1 = 6,al posto 5 e 6 corrispondono i valori 2 e 2,Trattandosi di un carattere qualitativo si fa la media aritmeticadei due valori mediani: Me= 2

Foglie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Lunghez. in cm 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4

(e)

Nella seguente tabella sono riportate le lunghezze di 10 foglie di menta,registrate al centimetro piu prossimo. Si definisca la variabile X di interesse,

(a). si dica se equantitativa o qualitativa, discreta o continua.(b). dopo aver definito opportunamente le classi di modalita, calcolare(c) le frequenze assolute e le frequenze relative;(d) la media aritmetica di X;(e) la moda, la mediana.

I QUANTILI


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I QUANTILI

I quantili sono unestensione della mediana. Iquantili suddividono la distribuzione in q distribuzioni parziali,aventi ognuno la q-esima parte della numerosit totale.

I pi utilizzati sono sono i :

Percentili/Centili con q = 100Decili con q = 10Quartili con q = 4

Ilquartile divide la distribuzione in quattro parti, aventiognuna il 25% della numerosit


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I Quartile ripartisce la distribuzione in due distribuzioni, laprima costituita dal 25% della distribuzione complessiva,laltra dal 75%2 Quartile coincide con la Mediana

3 Quartile ripartisce la distribuzione in due distribuzioni, laprima costituita dal 75% della distribuzione complessiva,laltra dal 25%

Il procedimento di calcolo simile al calcolo della mediana:

Quartili Decili Percentili

( )14

+= N i

Qi ( )110

+= N i Di ( )110+= N

i P i

RELAZIONI TRA INDICI DI TENDENZA


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Le possibili relazioni tra i valori medi di una distribuzione dipendondalla sua forma e nel caso di una distribuzione unimodale sipresentano tre casi:

1_curva simmetrica

media = moda = mediana

2_curva obliqua a destra, con asimmetria positiva (a destra)

moda < mediana < media 3_In una curva obliqua a sinistra, con asimmetria negativa (a

sinistra)

media < mediana < moda

RELAZIONI TRA INDICI DI TENDENZACENTRALE

RELAZIONI TRA INDICI DI TENDENZA CENTRA


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RELAZIONI TRA INDICI DI TENDENZA CENTRA

INDICI DI TENDENZA CENTRALE E LORO


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UTILIZZAZIONEIN RELAZIONE ALLA SCALA DI MISURA DEI DATI

INDICI DI TENDENZACENTRALE UTILIZZABILI

Qualitativi sconnessi moda

Qualitativi ordinati indici di posizioneQuantitativi medie analitiche, indici di posizione

Corso di Statistica


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I Facolt di Medicina e ChirurgiaCORSO DI STATISTICA 2

Dott. Laura Perrotta- Lezione 3 - Gli indici di dispersione -

A.A. 2006/2007

INDICI DI DISPERSIONECorso di Statistica


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INDICI DI DISPERSIONE

Gliindici di dispersione sono indici che danno unamisura della variabilit dei termini della distribuzionerispetto ad una media.

Un indice di tendenza centrale non sufficiente, infatti,a descrivere completamente un fenomeno.

Indici di tendenza centrale e indici di dispersione

devono essere associati per fornire uninformazionecompleta.

Gli indici di dispersione sono sempre associati ad unamedia per indicare la variabilit intorno ad essa.

Tab. 1 Non c dispersione rispetto alla variabile

Corso di Statistica


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Paziente Sesso Et PA diastolica(mmHg)

PA sistolica(mmHg)

1 M 50 70 1102 F 50 90 953 F 50 80 1304 F 50 85 855 M 50 70 95


PA sistolica(mmHg)

1 M 20 70 1102 F 20 90 95

3 F 50 80 1304 F 80 85 855 M 80 70 95

ab.

Tab. 2

( ) ( ) 505

80...20 Tab.2 50

55050505050

Tab.1 1 =++==++++==

=

n

xn

i

i

C dispersione rispetto alla variabile et

Corso di Statistica


127/146

166,00

168,00

170,00

172,00

174,00

176,00

178,00

180,00c m

S A R D E G N A

S I C I L I A

C A L A B R I A

B A S I L I C A T A

P U G L I A

C A M P A N I A

M O L I S E

A B R U Z Z O

L A Z I O

M A R C H E

U M B R I A

T O S C A N A

E M I L I A R O M A G N A

L I G U R I A

F R I U L I V E N E Z I A G I U L I A

V E N E T O

T R E N T I N O

A L T O

A D I G E

L O M B A R D I A

V A L L E D ' A O S T A

P I E M O N T E

S A R D E G N A

S I C I L I A

C A L A B R I A

B A S I L I C A T A

P U G L I A

C A M P A N I A

M O L I S E

A B R U Z Z O

L A Z I O

M A R C H E

U M B R I A

T O S C A N A

E M I L I A R O M A G N A

L I G U R I A

F R I U L I V E N E Z I A G I U L I A

V E N E T O

T R E N T I N O

A L T O

A D I G E

L O M B A R D I A

V A L L E D ' A O S T A

P I E M O N T E

Media italiana

Grafico 1 - Stature degli iscritti nelle liste di leva dei nati nellanno 1969


128/146

INTERVALLO DI VARIAZIONE

Corso di Statistica


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INTERVALLO DI VARIAZIONE

(o RANGE)Lintervallo di variazione la pi elementare misura didispersione riferita ai dati quantitativi ed calcolato comedifferenza tra il valore pi alto e quello pi basso di una serie di

intervallo di variazione = valore pi alto valore pi basso(o Range)

I due valori estremi (max e min) forniscono lindicazione del domdella variabile e indicano un primo approccio descrittivo

Corso di Statistica


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PA sistolica(mmHg)

1 M 20 70 1102 F 20 90 953 F 50 80 1304 F 80 85 855 M 80 70 95

Lintervallo di variazione calcolato per la variabile PA diastolica il seguente 90 70 = 20

Min = 70Max = 90Range = 20

INDICI DI VARIABILITA ASSOLUTACorso di Statistica


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INDICI DI VARIABILITA ASSOLUTAPER MISURE QUANTITATIVE

SCARTO MEDIO SEMPLICE ASSOLUTO

DEVIANZA VARIANZA

DEVIAZIONE STANDARD

Sono gli indicatori statistici di fondamentale importanza per la statistica descrittiva

VARIABILITA COMPLESSIVACorso di Statistica


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VARIABILITA COMPLESSIVA

Lavariabilit complessiva costituita dallinsieme degliscarti di tutte le misure dalla media.Per la propriet delle medie la somma degli scarti dalla medi nulla a causa della compensazione tra scarti positivi enegativi.Utilizzando lartificio del valore assoluto, possiamoconsiderare lentit dello scarto senza tener conto del segnonegativo.La variabilit complessiva data da:

Nota:calcolare gli N(N-1) / 2 scarti tra tutte le osservazioni diventa troppolaborioso

|| m X

Corso di Statistica


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Se rapportiamo la variabilit complessiva al numero delleosservazioni otteniamo loscarto medio semplice assoluto

Che costituisce il pi elementare indice di dispersione consignificato statistico, poco considerato per via dellartifizio delvalore assoluto

N m X i i ||

SCARTO MEDIO SEMPLICE ASSOLUTO

DEVIANZA

Corso di Statistica


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DEVIANZA

In alternativa al valore assoluto si ricorre al quadrato degliscarti dalla media e si perviene alla formula delladevianza :

Definita come la somma dei quadrati degli scarti dalla media

La devianza sempre maggiore o uguale di zero e costituisce

il numeratore della varianza

( )( )2

22

N

X X m X i i

i ii i

=

( ) 0 X DEV

Corso di Statistica


135/146

Domanda:

Di fronte a due serie di misure di una stessa variabile c

medie uguali, ma devianze diverse, la devianza dellaprima serie maggiore perch i suoi dati sono pidispersi o semplicemente perch il numero degli scarti

pi elevato?


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L d i ti li f i d l di

Corso di Statistica


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VARIANZA

Definiamovarianza il rapporto tra la devianza e ilnumero delle osservazioni:

( ) N

m X i i =

22

La devianza non contiene linformazione del numero di

osservazioni N utilizzate nel calcolo

Paziente Sesso Et PA diastolica PA sistolica

Corso di Statistica


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(mmHg) (mmHg)1 M 40 70 110

2 F 40 90 953 F 50 80 130 70 M 55 70 95


PA sistolica(mmHg)

1 M 50 75 1002 F 60 90 953 F 75 88 974 F 40 86 945 M 25 84 95

050.1 50620.10 50

22

11

====

devdev

Var 1 = 151,71Var 2 = 210

La seconda distribuzione per et presenta unamaggiore dispersione intorno alla media

VARIANZA CAMPIONARIACorso di Statistica


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In campo biostatistico si preferisce utilizzare la formula dellavarianza campionaria

Per N molto grande ininfluente ai fini del risultato dellavarianza dividere per N o N-1.Per N molto piccolo se dividiamo la devianza per N-1 rispetta N otterremo una varianza campionaria maggiore rispetto aquella semplice.Le N-1 osservazioni costituiscono i gradi di libert, cio leosservazioni indipendenti nel calcolo della varianza.

( )

1

2

2

=

N

m X S i i

DEVIAZIONE STANDARDCorso di Statistica


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DEVIAZIONE STANDARD

La variabilit deve essere associata alla tendenza centrale per fornire una descrizione completa di un fenomeno.Il valore della varianza deriva dal quadrato degli scarti dalla med ha un ordine di grandezza differente dal dato originale.Per un problema di interpretazione del dato convenienteesprimere la variabilit con lo stesso ordine di grandezza dellemedie: trasformiamo la varianza sotto il segno di radice eotteniamo la

Deviazione standard oscarto quadratico medio

che rappresenta la dispersione di una serie di dati

( )

n

m X n

ii

= =1

2


141/146

i S A di li A i li ( )

1_Esempio di confronto tra variabilitCorso di Statistica


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PA sistolica (mmHg)

1 M 50 75 1002 F 47 90 953 F 74 88 974 F 40 86 945 M 61 84 95


PA sistolica (mmHg)

1 M 28 70 1102 F 45 90 953 F 50 80 1304 F 63 85 855 M 80 75 95

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )9,7

5

80758085808080908070

8,55

6,84846,84866,84886,84906,8475

805

75...70 6,84

5

4868889075

22222

2

222221

2

1

21

1

=++++

=

=++++

=

=

=++

==++++

==

=

=

n

x

n

x

n

ii

n

i

i

2_Esempio di confronto tra variabilit

Corso di Statistica


143/146

Paziente Sesso Et Glicemia(mg/100ml)

Calcemia(mg/100ml)

1 M 50 85 8

2 F 37 80 10

3 F 63 70 9

4 M 41 90 5

5 M 36 100 13

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91,2

5

913959991098

18,115

851008590857085808585

95

1359108 85

5

10090708085

22222

2

222221

2

1

21

1

=++++

=

=++++

=

=

=++++

==++++

==

=

=

n

x

n

x

n

ii

n

i

i

mg/100ml1811mg/100ml85Glicemia 11 ==

Corso di Statistica


144/146

%39,32100991,2100CV% (2)

%15,1310085

18,11100CV% (1)

mg/100ml 91,2 mg/100ml 9 Calcemia

mg/100ml18,11 mg/100ml85 Glicemia

2

2

1

1

22

11

===

===

==

Confrontando i coefficienti di variazione risulta pi variabila calcemia


145/146

codice paziente et Posizione et CENTRALETENDENZADIINDICI

Corso di Statistica


146/146

1 62 1 30

2 39 2 39

3 46 3 464 53 4 46

5 54 5 47

6 68 6 52

7 63 7 53

8 62 8 54

9 67 9 5710 30 10 60

11 66 11 61

12 46 12 62

13 67 13 62

14 70 14 62

15 60 15 6316 57 16 66

17 62 17 67

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )4,13...6,176,2620

6,5670...6,56396,5630

10,63st.deviazione

40 range70 massimo30 minimo

A'VARIABILITDIINDICI

6,56

5,60Mediana62 Moda

222

222

1

2

=+++=

=+++=

=

=

=

===

=

==

=

n

an

ii

1_lezione_concetti statistici di base_2°anno 2010-2011

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