§2. 磁感应强度毕奥 - 萨伐尔定律

第二章 恒磁场

磁场的描述 -- 磁矩载流线圈的 磁矩 mn 法线方向与电流方向成右手螺旋关系

m I Sn m

n

I

S

磁场的描述—实验磁矩

I

n

将实验线圈放入到磁场中 , 考察受力情况 .

F=0 ;

L 力矩与线圈位置有关 ;

存在 Lmin =0 平衡位置 ;存在 Lmax 位置 .

磁场的描述

I

maxL min 0L

zB

y

xmax

max

4

T G

10T=

s

1 Gs

n

L

m

LB

m

B

在恒定磁场中空间某一点处:

定值

引入新的物理量

的方向为线圈处于平衡位置时

单位：特斯拉 、高斯

磁场的描述—磁力线 磁力线 : 磁感应强度 B 线

B 线总结 :每一条磁力线都是环绕电流的 ;无头无尾的闭合曲线 ;闭合电流相互套合 ;磁力线方向与电流方向成右手螺旋关系 .

I I I

毕奥 - 萨伐尔 定律

1

00 2 2 1 1 12

12 212

12 2 2

00 1 1 12

212

00 1 1 12

21

02

2

0

d ( )

4

d d

d

d

4

d

4

4

p

L

L

I l I dl rdF

r

dF I l B

I

I l

l rdB

r

I l rB

rB

r

r

1 1dI l

2 2dI l

12r

12dF

I

L

dI l

r

P

毕奥 - 萨伐尔 定律应用有限长载流 I 直导线

IP

a

r0r

a

l

o

dI l 2

1

0

2

00

2

0 dd

4

d

4 L

I l rB

I l rB

r

r

有限长载流 I 直导线

2

1

02

22

2

2 2

0 02

01 2

1 2

0

d sin

4

sin

cot( ) cot

1d ( )d d

sin sin

d sinsin d

4 4

(cos cos )4

0

2

L

L

I lB

r

ar

l a a

al a

II lB

r

IB

IB

a

讨论： 无限长载流直导线

方向与电流右手关系

r0r

a

l

o

dI l 2

1

载流平面的 B 计算

Z

Y

X

I

X

Y

dyr

载流平面的 B 计算

X

Y

dyr

00

0

0

2 2 2

0 02 2

2

0 0

0

d

d

dd d

2 2

cos cos2

2

d

2 2 1 ( )

arcta

2

d

n

d

( ) ar2

2

a

y a

a

a

a a

a a

a

a

lB B

r ri x

B Br r

i x

IB

a

Br r

r x y

yi

lI

y

y

y ix xByx y

i

x

i iy

a

Bx

线电流产生的场

ctan( )a

x

载流平面的 B 讨论

0

0

0

arctan( )

2:

2

i aB

xa

iB

B

E

当载流平面无限宽

方向 平面两边相反与电流成右手关系

无限大的带电平面

B

E

I

×

推广 平面电流，平板电流，无限大平面电流， 无限大平板电流 圆弧面电流，圆弧体电流，圆柱面电流， 圆柱体电流

↑I

x

y

　平面电流

I

x

y

z

　　圆弧电流

毕奥 - 萨伐尔 定律应用半径为 R 的环形电流 I

R

o

dI l

r

x

dB

半径为 R 的环形电流 I

0 02 3

20 0

33

d d cos d

dd

4 4

24 2

x

x

B B

RB B B B

rIRI l R

B lr r r

IRB

IR

rR

r

R

o

dI l

r

x

dB

环形电流 磁场 讨论

o

I

B

o

0

2

I

R

x

20

32 2 2

20

3

0

0

20

3

20

3

20

3

3

2

:

2(

2

2

)

:

4

4

2

o

I

IR

r

IRx R

x

I

R

m

m

B

IRB

x R

B

B

I RB

x

Br

R

x

讨论

轴线上

中心处

环形电 流 看作磁矩

亥姆霍兹线圈 中心位置磁场最均匀

的条件为：

两个线圈的间距 a线圈的半径 R

a R

载流螺线管的 B 计算

2

1

2

1

20

3

2

2

03

20

3

20

3

2

0 01 2

d

d

s

d

si

d2

2

2( )

(cos

d d cot

sin si

in

si

n

cos )

n

2 2n d

2

b

a

R x l

I Rn lNn B

l r

In RB

r

R

I

lr

l

InRB

In In

R R

l

R

RB

r

B

环形电流产生的场

为变量

xO l

dl

1 2

X

ba

载流螺线管的讨论

B 0nI

0

2

nI

O X

01 2

1 2

0 0

1 2

0 0

(cos cos )2

1. 0

2. 0 2

2 2

InB

B In i

In iB

讨论：无限长

半无限

所有磁力线全部被拘束

长

在内部

0B

I

×I

0B i 0B i

0B

I I

0B i 0B

Z

YI

X

B

0 0 B NI B i

无限大载流平面的 B 讨论

S

dlI

电流元与电荷

低速运动电荷的磁场设电流元 Idl 的截面积为 s ，其

载流子浓度 n ，电量 q ，平均速度 ，则电流元中载流子数

激发之磁场

20 dsin

4d

r

lθI

π

μB 0

2

d sin

4

μ qn s l θ

π r

lnsN dd ( 1 )

( 2 )

02

d sin

d 4

μB q θB

N π r

或 0

34

μ q rB

π r

由式 (1) 和式 (2) 可得，平均每个载流子激发的磁场

I qn s

rr

qE

3

04

　　　低速运动电荷的电场和磁场

0 0 ( )B E

2

1( )E

c

00

1

c —— 真空中的光速

如图所示，电荷 q 以速度 υ 沿 x 轴运动，则在空间 P 点的电场

　　　　　电荷的电场和磁场

q

x

y

z

B

E

P

显然

静电： ， ，

rr

qqF

2

21

04

1

EqF

0 r

r

dqE

204

1

静磁： ， ，2

12

121122012

)(

4 r

rldIldIFd

BldIFd

00

L r

rldIB

20

4

两个常数： ， 212

0 1085.8mN

C

27

0 104A

N

静电场与恒磁场比较

Thanks