2. ElőadásKettősviszony, homogén koordináták

Ismétlés

Projektív tér ( kibővítése ideális pontokkal, párhuzamos egyenesek „lezárása” ugyanazzal az ideális ponttal, nem párhuzamosakhoz különböző ideális pont tartozik „irányok – ideális pontok”)

Centrális vetítés ( képsík centrum )Centrális vetítés tulajdonságai

Egyenes és illeszkedés tartóNem tartja meg a szöget, hosszt, arányokat

Kellene valami amit megőriz

Kettősviszony

Definíció: Legyenek A, B, C, D különböző pontok e egy egyenesen és O egy e-re nem illeszkedő pont. Legyenek az a,b,c,d vektorok párhuzamosak az , vektorokkal. Mivel ezek a vektorok egysíkúak léteznek olyan számok, melyekre

c=, d=

Ekkor az (ABCD) kettősviszonyon az

(ABDC)==

értéket érjük

Kérdés: Jó ez a definíció?

Állítás: Az előbbi állítás független az O pont és az a, b, c, d vektorok megválasztásától.

Bizonyítás: Először az a, b, c, d vektoroktól való függetlenséget bizonyítjuk közvetlen a definíciót felírva és kihasználva, hogy … Majd az O ponttól való függetlenséget, ahol az előző rész miatt feltehetjük, hogy a=, b=…, és kihasználjuk, hogy (ABCD)-ben, ha permutáljuk a betűket, akkor ki tudjuk számolni az értéket (ABCD) segítségével.

Tétel (Papposz): A centrális vetítés kettősviszony tartó

Bizonyítás: Eset szétválasztással a kettősviszony definíciója alapján.

Definíció: Legyenek az a, b, c, d egysíkú egyenesek a projektív térben, melyek átmennek egy O ponton, természetesen ideális térelemeket is megengedünk. Vegyünk fel egy tetszőleges e, Oe egyenest és legyenek . Ekkor az a, b, c, d egyenesek kettősviszonyán az (abcd) := (ABCD) értéket értjük.

A tétel miatt független az fenti (abcd) érték az O pont és az e egyenes választásától.

Állítás: Négy pont kettősviszonya 0 és 1 kivételével bármely értéket felveheti. Ha -{0,1}, és A,B,C három különböző pont egy egyenesen, akkor egyértelműen létezik olyan D ezen az egyenesen, melyre (ABCD) = .

A Papposz tétel és a fenti állítás miatt a „hajós feladatot” már meg is tudjuk oldani (gyakorlaton megnézzük pontosan hogyan)

Definíció Az egy egyenesen lévő A, B, C, D pontokat harmónikus négyesnek mondjuk, ha (ABCD) = -1.

Hogy miért pont -1, annak speciális geometria jelentése van• Ha D ideális és (ABCD)= -1, akkor C az AB szakasz

felező pontja• Teljes 4 oldal tétel ami a következő:

Definíció Teljes négyoldalnak a síkon 4 különböző egyenest hívunk, melyek közül semelyik 3 nem megy át egy ponton. Legyenek ezek a, b, c, d. Ezen egyenesek metszés pontjait csúcspontoknak nevezzük (6 db), és a szemközti csúcsokat összekötő egyeneseket azaz az egyeneseket pedig átló egyeneseknek. Az átló egyenesek metszéspontjait átlóspontoknak nevezzük (3 db).

Tétel (teljes 4 oldal) Egy teljes négyoldalban, ha egy egyenesen vannak az A, B csúcspontok és a C, D átlóspontok, akkor (ABCD) = -1. Azaz az egy egyenesre eső csúcspontok és átlóspontok harmónikusan választják el egymást.

Ahhoz, hogy a fénykép rekonstrukciókhoz a matematikai megfigyeléseket alkalmazhassuk, szükségünk lesz egy koordináta rendszerre, hogy „programozhatóvá” váljanak a dolgok

A projektív sík koordinátázása

Legyen egy projektív sík (a projektív térben) és egy O pontot. Egy P közönséges ponthoz rendeljük hozzá az OP egyenes egy irányvektorát (ez nem egyértelmű).

Rendeljük hozzá egy v vektorhoz az O ponton átmenő v irányú egyenesnek és a projektív síknak a metszetét. Jelölje [v] ezt a pontot. (ez a hozzárendelés szürjektív, de nem injektív) Ezért:

[v]=[w] v=w, R-{0}

Homogén koordináták

Legyen , , egy ortonormált bázis egy v=, nem nulla vektor ekkor, ha

P=[v]

Akkor (::) a P pont homogén koordinátája, ahol

(::)~ (::), R-{0}

azaz ekvivalensnek tekintünk két, csak nem nulla számszorzóban eltérő, hármast (ezért a homogén elnevezés).

Hasonlóan Egy e egyenesre legyen az O és e síkjának (mely közönséges) egyik normálvektora v. Illetve ha v egy vektor, akkor jelölje az O ponton átmenő v normálvektorú sík és metszetét . (ez a hozzárendelés szürjektív, de nem injektív) Ezért:

= v=w, R-{0}Ezért, ha v=, akkor jelölje a egyenes homogén koordinátáját.

A homogén koordinátázás tulajdonságai

[v] v w a [v] és [w] pontok egyenese [vxw] [vxw] az [u], [v], [w] pontok kollineárisak, ha uvw=0 az , , egenesk 1 ponton mennek át, ha uvw=0

Dualitás elve

Legyen adva egy állítás, mely a projektív sík egyeneseinek és pontjainak illeszkedésről szól. Ha felcseréljük ebben az állításban az egyenesek és pontok szerepét, akkor az így kapott állítás is igaz.

Szemléletesen ez az előbbi tulajdonságokból adódik.

Ez csak projektívben esetben igaz euklideszi nem!

Speciális esetben nagyon jól használható a homogén koordinátázás: Legyen O=(0,0,0) és a z=1 egyenletű sík. (gyakorlaton ezt fogjuk használni sokszor)

Most megpróbáljuk a homogén koordináták segítségével leírni, hogy a fényképezésnél mi az eredeti és a kép pontok közötti kapcsolat.

Definíció Projektív transzformációnak nevezünk egy bijektív leképezést két projektív sík között, ha egyenest egyenesbe visz és kettősviszony tartó.