2. fourier dÖnÜŞÜmÜ

7/30/2019 2. FOURIER DNM

1/62

BLM II

2. FOURIER DNM

2.1 Giri

Yer kremizde gzlenen jeofizik olaylar zamana yada uzakl a bal olarak geliir.

Gzlenen jeofizik olay zaman n bir fonksiyonu ise zaman ortam (Time Domain),uzunluun bir fonksiyonu iseuzakl k ortam (Space Domain) szkonusudur.ayet olayfrekansa bal olarak gzlenmi, yani frekans n bir fonksiyonu ise frekans ortam (Frequency Domain)ndan sz edilir.

Herhangi bir ortamda kaydedilmi jeofizik sinyaldeki bilgilerin tamam n bu ortamda a k

seik grp, ileyip sonular deerlendirmek kolay hatta olanakl olmayabilir. Bu gibi

durumlarda veri gzlendii ortamdan baka bir ortama aktar larak incelenip irdelendikten

sonra bir sonuca var l r. Gerekir ise ikinci bir aktarma ile verinin gzlendii ilk ortama geridnlebilir. rnein; zaman ortam nda kaydedilmi bir sismik sinyal frekans ortam na

aktar larak istenmeyen bileenleri ay kland ktan sonra tekrar zaman ortam na geri

dnlebilir. Frekans ortam nda yap lan bu ay klama ilemi zaman ortam nda yap lmak

istenseydi bir tak m sorunlarla kar la labilinirdi. Bunun gibi, herhangi bir ortamda

gzlenmi bir sinyalin baka bir ortama aktar lmas na dnm ve aktarma tekniklerine dednm yntemleri denir. Fourier, Laplace, Hankel, Hilbert, Z dnm gibi eitli

dnm yntemleri gelitirilmitir.

ortam ve dnm kavramlar n n daha iyi anla lmas iin frekans zmlemesiyapan k prizmas n n gzden geirilmesi daha yararl olacakt r (ekil 2.1). Beyaz n

optik prizmaya verildii tarafa A, farkl frekansta yedi ayr renk eklindeki bileenlerinin

elde edildii tarafa da B diyelim. Tersine, prizman n B taraf ndan bu yedi renk verilirse A

taraf ndan beyaz k elde edileceini biliyoruz. Burada gerek A blgesi gerekse B blgesi

ayn bilgiyi tan mlamakta ancak olaya bak a s farkl d r.


2/62

8

Yukar daki rnekte, sadece beyaz n incelenmesi, kaynak hakk nda hi bir bilgi

vermeyebilir. Buna kar l k prizmadan geirilip ayr t r larak farkl frekanstaki bileenleri

dier bir deyile spektrumu elde edilirse, bileenlerinin dalga boyu veya frekanslar ,

miktarlar ve birbirlerine oranlar incelenerek beyaz veren kayna n bileimi, s s veonu meydana getiren malzemenin yap s hakk nda ok ayr nt l bilgiler elde edilebilir.

Bunun gibi, zaman serilerinin zaman veya g spektrumlar n n incelenmesi onun yap s

veya orijini hak nda nemli bilgiler verebilir. Dier yollarla bu bilgilerin salanmas

olanakl olmayabilir.

ekil 2.1 Beyaz n optik spektrumu Logaritma ilemi asl nda bir dm ileminden baka bir ey deildir. rnein, arpma

ilemini yapmak iin arpanlar nceLog ortam na dntrlr. Hesaplamalar buortamda yap l r (Bilindii gibi, arpma ilemi Log ortam nda toplama ilemine dnr).Daha sonra ters dnm ilemi (Anti Logaritmik Ortam) ile orijinal ortama dnlr (ekil

2.2).

Orjinal Ortamr- Ortam

f(r)'yiieren ortam

r- Ortam ndaProbleminzm

UygunDn m

lemi

TersDn m

lemi

FonksiyonF(s) olur.

s- Ortam ndazm

maj Oram s- Ortam

ekil 2.2 Logaritmik dnm ak emas


3/62

9

rnein;

(3 )

6561

8 Log 3

3.816970038

8

Dnm yntemleri veri ilemciye byk kolayl klar salar. Dnm ileminde; verinin

zellikleri deitirilmeden zaman ortam ndan frekans ortam na veya uzakl k ortam ndan

dalga say s ortam gibi baka bir ortama geilmektedir. Iyi bir dnm ynteminin geri

dnm de olmal d r (ekil 2.3). rnein; zaman ortam ndan frekans ortam na geilmi

ise, frekans ortam ndan tekrar zaman ortam na dnlebilmelidir.

X ORTAMI Y ORTAMI ekil 2.3 Iyi bir dnm yntemi ift ynl olmal d r.

2.1.1 Spektrum Kavram

Zaman ortam nda gzlenmi verilerin frekans ortam na aktar lmas ile elde edilen verilere

spektrum ad verilir. Zaman ortam ndaki enerji veya genlik gibi byklklerin frekans

ortam nda, frekans veya dalga say s gibi parametrelere gre deiimini belirtmek iinkullan l r. Matematik olarak, f(t)eklinde gsterilen bir sinyalin spektrumu F( ) ile

verilir. Buradaki a sal frekanst r. Spektrumu ifade eden F( ) fonksiyonu karma k

(complex) olup aa daki ikiekilden birisi ile gsterilebilir (Al Sadi, 1980, s. 107).

1) Gerel ve sanal k s mlar n toplam olarak

)()()( iba F =

2) Gerel ve sanal k s mlar n arp m eklinde( ) ( ) ie F F .)( =

Burada;( ) ( ) ( )[ ]2122 / ba F +=

( ) ( )( )

n

ab 21 += tan n = 0, 1, 2, ...

olup ( ) F modlgenlik, ( ) argman ise faz spektrumu olarak adland r l r.


4/62


5/62

11

ok geni bir uygulama alan n n oluu ve eitli konulardaki bir ok problemin zmnde

kullan lmakta olmas nedeniyle Fourier dnm zerinde olduka ayr nt l biimde

durulacakt r. Bu dnm, genlik ve faz deerleri gibi iki nemli fiziksel byklkten

oluup karma k bir say ile ifade edilir.

2.2.1 Fourier Kuram

Frans z matematikisi Joseph Fourierin 1807de ortaya koyduu ve kendi ad yla bilinen

Fourier kuram na gre, baz kuullar salayan herhangi bir f(t) fonksiyonu sonsuz say da

trigonometrik fonksiyonlar n toplam olarak gsterilebilir (ekil 2.5). Fourier kuram baz

kuullarda geerlidir. Drichlet kuullar olarak bilinen bu k s tlamalar aa dazetlenmitir (Drichlet 1829).

1- f(t) fonksiyonu peryodiktir. Yani f(t) = f(t+nT) olup buradaki T peryod ve n = 0,1,

2, ... dir. f(t) fonksiyonu peryodik deil fakat s n rl bir aral kta tan mlanm ise,

sonsuz say daki sinsoidal deiimlerin toplam belirlenen aral kta yine f(t)ye

yaklamal d r. Bu aral n d nda, toplam f(t)nin tekrarlar n gsterecektir.

ekil 2.5 Herhangi bir fonksiyon belirliartlarda sonsuz say da sinsoidin toplam toplam eklinde gsterilebilir.


6/62

12

2- f(t) fonksiyonu srekli, en az ndan belirli aral klarda srekli olmal ve sreksizliklerin

say s s n rl olmal d r.

3- f(t) fonksiyonunun bir peryod iindeki maksimum ve minimum say s sonlu olmal d r.

4- f(t) fonksiyonu bir peryod aral nda sonlu yani,

( )


7/62

13

ve n faz a s ( )nnn ab /tan = 1

olarak ifade edilir.

Fourier katsay lar n bulmak iin (2.1) denkleminin her iki taraf s ras ile 1, t m 0cos ve

t m 0sin ile arp l p sins ve kosins fonksiyonlar n n,

( ) ( ) ( ) ( )sin sin cos cos/

mt nt dt mt nt dt T

T

T

T

T

= =

2

2

2

2 2 m = n0 m n

ve

( ) ( )sin cosmt nt dt T

T

=22

0 Btn m ve n deerleri iinortogonalite (diklik) zellii gz nne al narak tam bir peryod aral nda integre edilirse

a an0, ve bn

dt t f T

a

T

T

=

2

2

02 )(

( )dt t nt f T

a

T

T n 0

2

2

2 cos)(

=

( )

=2

2

02

T

T n dt t nt f T

b sin)( (2.2)

Fourier katsay lar bulunur. Buradaki m ve n tamsay lard r. Grld gibi a 0 /2 katsay s

f(t) fonksiyonunun aritmetik ortalamas d r.

Peryodik bir fonksiyonun Fourier serisi ile gsterilmesi, bu fonksiyonun deiik frekanslardaki sinzoidlerin toplam olarak gstermektir. ( ) n n= 0 frekans ndaki

sinoidal bileene, seriye a lan fonksiyonun ninci harmonii denilir. Ilk harmoniinfrekans

00 22

f T

== cps (devir/saniye) veya Hz (Hertz)

olup temel a sal frekans denir. T peryodu ise fonksiyonun peryoduna eittir ve temel

peryod olarak adland r l r.


8/62

14

Denklem (2.1) ile verilen Fourier serileri, sonsuz say da terim al nd zaman, yani ne

birden sonsuza kadar deerler verildiinde, ancak f(t) fonksiyonu tam olarak gsterilebilir.

Sonlu say da terim al n rsa bulunan toplam, f(t) nin bir sreksizlik civar ndaki

deerlerinden byk deerler gsterir. Bu deerler, genlii sreksizlikten uzaklat ka

f(t)

KatlanmaGenli i

Fourier Serisininlk 3 TerimininToplam

Fourier Serisininlk 9 TerimininToplam

t

ekil 2.6 Testere az fonksiyonunun Fourier serisine a l m nda sonlu say da terimin al nmas GIBSSolay n dourur (Al Sadi, 1980)

azalan sal n mlar gsterir. Terim say s n n artt r lmas sreksizlikteki hatan n bykln

azaltmaz fakat f(t)nin srekli k s mlar iin daha iyi bir yakla m salar. Bu ekilde,

hatalar n sal n mlar gstermesinegibss olay denir (ekil 2.6).

2.2.3 Tek ve ift Fonksiyonlar n Fourier Serileri

Fourier serisine a lacak olan f(t) fonksiyonunun ift yani, f(-t) = f(t) veya

=2

2

2

2

2T

T

T

T

dt t f dt t f )(.)(

olmas halinde byle bir fonksiyonu Fourier serisi;

=+=

1002

1n

n t naat f cos)( (2.3)

olup btn n deerleri iin bn =0 d r.


9/62

15

ayet seriye a lacak fonksiyon tek yani f(-t) = -f(t) veya

=2

2

0T

T

dt t f )(

ise byle bir fonksiyonun Fourier serisi

==

10

nn t nbt f sin)( (2.4)

olup btn n deerleri iin an = 0 ve a0 = 0d r.

ift fonksiyonlar n Fourier serisine a l m nda yaln zca kosinsl terimler olduundan

denklem (2.3) ile verilen a l ma kosins serisi denilir. Tek fonksiyonlar n a l m ndayaln zca sinsl terimler bulunduundan (2.4) a l m na sins serisi denilir.

2.3 Fourier Serilerinin Karma k (complex)ekli

Fourier serilerinde trigonometrik fonksiyonlar yerine karma k (kompleks) ifadeler

kullan larak seri ile ilgili hesaplar basitletirilebilir. Denklem (2.1) ile verilen seride

trigonometrik ifadeler yerine Euler forml ile verilen

( ) 200

0

t int in eet n

+=cos

( )iee

t nt int in

2

00

0

=sin

stel kar l klar konularak (2.1) denklemi aa daki

=

+++=1

0

222

0000

n

t int in

n

t int in

n iee

bee

aa

t f

)(

eklinde yaz labilir. Burada 1/i = -i ve i = (-1)1/2 olduu dikkate al narak yeni bir

dzenleme ile yukar daki denklem

( ) ( )

=

+++=1

0 00

222 nt innnt innn e

ibae

ibaat f )( (2.5)

eklinde yaz l r. Burada

20

0a

C =

n 0 iin

( )nnn ibac = 21


10/62

16

ve n 0 iin

( )c a ibn n n = +12

konularak,( ) [ ]

=

++=

10

n

t inn

t inn ececct f

(2.6)

karma k Fourier serisi elde edilir. Son olarak yukar daki (2.6) denklemi aa daki ekilde

( )

=++=

1

10

t inn

n

t inn ececct f

yaz larak, karma k Fourier serisi

==

n

t inn ect f

)( (2.7)

eklinde elde edilir. Bu ifade aa daki ekilde de yaz labilir (bir ok yay nda bu ifadekullan l r).

( ) ( )

=++=

10

nnn t ncct f cos (2.8)

Burada cn cos(nt+n) terimine f(t) fonksiyonununninci harmonii cn katsay s naharmonik genlii ve n a s na iseharmoniin faz a s denir.

dev: 2.7 veya edeeri olan 2.1 ba nt s ndan 2.8 ba nt s na gei ilemini gsteriniz.

cn ile an ve bn katsay lar aras ndaki iliki aa daki ekilde elde edilir. (1.6) ba nt lar ndan

n>0 iin

2nn

n

ibac

=

bu ba nt da an ve bn deerlerini koyarsak

=

dt nt t f idt nt t f c n 21 21 sin)(cos)(

[ ]= 12

f t nt i nt dt ( ) cos sin

c f t e dt n =12

( ) int (2.9)

ilikisi elde edilir. Benzer ekilde

( )

=+=

21

21

dt et f ibac nnnint

)( (2.10)


11/62

17

bulunur. Her ikisini (2.9 ve 2.10) birlikte n=0,1, 2,........ tamsay olmak zere

( )

=

dt et f cn

int

21 (2.11)

tek forml ile gsterebiliriz.

Uygulamada gerek olaylar gzlenip llr. Bu bak mdan, jeofizik verilerin ilenip

problemlerin zmnde kullan lan hesaplamalar gerek byklerle ilgili olduundan

karma k olarak bulunan sonular gerek byklklere evrilmelidir.

Eer f(t) bir gerel fonksiyon ise (2.6) denkleminde c-n katsay s , cn in karma k elenii

(complex conjugate) c*n = c-n dir. Bu durumda (2.7) denkleminn i

ni

nnn ececcc === nc ve* (2.12)

eklinde yaz l r. Burada,

[ ] 212221

nnn bac += (2.13)

)/(tan nnn ab= 1 dir. Bu ba nt lar n=0 d nda btn n deerleri iin dorudur cn katsay s na harmonik

genlii ve n a s na ise harmonik faz a s denildii daha belirtilmiti. Bu cn Fourier

katsay

lar

n

n a

sal frekansya kar

grafik izimi f(t) fonksiyonunungenlik spektrumu ve ayn ekilde n faz a lar n n izimine ise faz spektrumunu ad verelir. Buspektrumlar n gerel (real) ve sanal (imaginer) bileenlerle ifadesi:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nmnnnnn

nennnnn

c I cciccib

c Rcciccia

ca

22

2 00

====+=+=

=

*

* (2.14)

olduuda gz nne al narak (2.3) denkleminden kar labilir. Burada R e ve Im

notasyonlar cn in gerel ve sanal k s mlar n belirtmektedir.

2.4 Fourier Integrali ve Fourier Dnm

Buraya kadar olan incelemelerde f(t) fonksiyonu peryodik kabul edildi. Oysa uygulamada

kar la lan problemlerde ou kez peryodik fonksiyon bulunmaz. Bu tr olaylar bir kez

meydana gelir ve bir daha tekrarlanmaz. Peryodik olmayan bu tr fonksiyonlar iin Fourier

serisi kullan lmaz. Bu durumda incelenen T boyundaki veri sonsuzda peryodikmi gibi

dnlerek uygun bir a l m elde edilebilir. Bu tr problemlerin zm yani peryodik

olmayan fonksiyonlar n Fourier serileri ile gsterilebilmesini Fourier integrali salar.


12/62

18

Her sonlu (-T/2, T/2) aral nda Dirichlet koullar n salamayan ve (-, +) aral nda

yak nsayan f(t) fonksiyonunun karma k (complex) Fourier serisinin,

== nt in

n ect f 0

)( T

2

0 = (2.7)ve yine

dt et f T

c t inT

T n

0

2

2

1 =/

/

)( (2.11)

olduunu biliyoruz.

Son ba nt da geici olarak t=x deiken dnm yapal m ve cnin deerini ilk

ba nt daki yerine T=2/0 koyal m.

=

=n

t inT

T

xin edxe x f T

t f o 02

2

1 /

/

)()( (2.15)

ve burada T yerine koyarak

0

2

2

0

21

=

=n

t inT

T

xin edxe x f t f o/

/

)()( (2.16)

eklinde yazal

m. Tolurken temel frekans0=2/T sonsuz kk deer al

r. n=n0 srekli bir deikene dnr. Yani birbirini izleyen ard k iki frekans aras ndaki fark

T n

n

2=

T n

n

)( 121

+=+

T T n

T n

nn

2212

1 =+== +

)(

ok kk olur. Bu durumdan n=narp m srekli bir deikenine

yakla r. (2.16) ba nt s nda 0=al n rsa

=

=

t inn

xin edxe x f t f )()(21 (2.17)

olur. T sonsuz vedya gittii limit durumunda nda ya giderek n0 harmonik frekanslar na gre hesaplanan cn katsay lar n n izimi sreklilik kazan r ve (2.17)

ba nt s ndaki toplam integrale dnr:

=

d edxe x f t f t in xin

)()( 21

(2.18)


13/62

19

Bu ba nt ya peryodik olamayan fonksiyonlar iin Fourier integrali denir. Iteki integralde

x yerine t koyarsak

= dt et f F t i

)()( (2.19)

=

d e F t f t i)()(

21 (2.20)

olur. Bu son iki ba nt peryodik fonksiyonlar iin olmayan zaman ve frekans (veya

Fourier) ortam tan mlamalar d r. (2.19) ba nt s f(t) fonksiyonununFourier dnm,

(2.20) ba nt s da F()n n ters Fourier dn mdr . F() ve f(t)ye Fourier ifti denir.

(2.18) ba nt s ile verilen Fourier integralinin, geici verilerin Fourier ifti (2.19) ve 2.20)

integrallerinin geerli olmas iin


14/62

20

F() ya f(t)nin genlik spektrumu, ()ya faz spektrumu denir. () yerine bazen-() kullan l r. Buna da faz-gecikme spektrumu denir.

nemli tan m ve irdelemeler yap l rken kullan lan a sal frekans yerine uygulamada f frekans kullan l r. Bu nedenle (2.19) ve (2.20) ba nt lar nda =2f ve d=2df deiimiyap l rsa

= dt et f f F ft i 2)()( (2.24)

= df e f F t f ft i 2)()( (2.25)

biimleri elde edilir.

F(f) karma k olduundan

)()()( f ib f a f F = (2.26) )()( f ie f F = (2.27)

yaz labilir. a(f) ve b(f), F(f)in gerel ve sanal bileenleridir. f(t)nin genlik spektrumu

)()()( f b f a f F 22 += (2.28)ve faz spektrumu

=

)()(tan)(

f a f b

f 1 (2.29)

ba nt lar ile verilir.

Fourier dnmnde dikkat edilmesi gereken bir konu F(f)nin birimidir. (2.24)

ba nt s ndan grlecei gibi, F(f)nin birimi f(t) verisinin birimi ile tnin birimininarp m na eittir. rnein, f(t)nin Volt((V), tnin ise saniye(s) olmas durumunda F(f)nin

birimi (Vs) olacakt r. Eer (s) yerine (1/Hz) yaz lacak olursa F(f)nin birimi (V/Hz) olarak

verilebilir. Bu birim frekans ba na den genlik younluu olarak bilinir ve zellikle

F(f) genlik younluu spektrumu olarak da adland r l r. F(f)nin faz n veren (2.29)

ba nt s nda (f) birimsiz (yani radyan) olmas na kar n yukar da a klanan F(f) nin biimine ar m yapmas iin (f) faz younluu spektrumu olarak da

adland r l rmaktad r.


15/62

21

f(t) gerel bir fonksiyon olduunda F(f)nin gerel ve sanal bileenleri a(f) ve b(f),

s ras yla, kosins ve sins dnmlerinden elde edilir. Ayr ca a(f)=a(-(f)) yani a(f) bir ift

fonksiyon, b(f)= -b(-f) yani b(f) bir tek fonksiyondur. Bunlar (2.24) ba nt s nda

ft i ft e ft i 222 sincos = (2.30)konularak gsterilebilir:

= dt et f f F ft i 2)()(

= ftdt t f i ftdt t f 22 sin)(cos)(

)()( f ib f a = olur. Yani

= ftdt t f f a 2cos)()( (2.31)

= ftdt t f f b 2sin)()( (2.32)

dir. Son iki ba nt da f yerine -f konulduunda

)(cos)()cos()()( f a ftdt t f dt ft t f f a ===

22 (2.33)

)(sin)()sin()()( f b fdt t f dt ft t f f b ===

22 (2.34)

olur. a(f)=a(-f) ve b(-f)= -b(f) olduundan)()()()()()( f F f ib f a f ib f a f F =+== (2.35)

olur. Burada * simgesi karma k elenii gstermek iin kullan lm t r. (2.35) ba nt s bir

gerel fonksiyonun Fourier dnmnn elenik simetrik olduunu gsterir. Bunun tersi

de dorudur. Yani Fourier dnm elenik simetri gsteren bir gerel fonksiyondur.

Gerel fonksiyonlar n genlik younluu spektrumu F(f) ift fonksiyon, faz younluu

spektrumu ise tek fonksiyondur. (2.27) ba nt s ndan)()()( f ie f F f F = (2.36)

)()()( f ie f F f F = (2.37)

olur. f(t) gerel fonksiyonu iin F(-f)=F*(f) olduundan son iki ba nt dan)()( )()( f i f i e f F e f F = (2.38)

olur. Mod ve faz bileenleri eitlendiinde


16/62

22

( ) ( ) f F f F = ( ) ( ) f f =

olur.

Fourier dnm ile elde edilen F(f)nin biimi f(t) fonksiyonunun tek fonksiyon veya

ift fonksiyon olmas durumuna gre zel biim al r. Her f(t) fonksiyonu

( ) ( ) ( )t f t f t f e 0+= (2.39)

( ) ( ) ( )( )t f t f t f e += 21 (2.40)

( ) ( ) ( )( )t f t f t f =2

10 (4.41)

biiminde ift f e(t) ve tek f o(t) fonksiyonlar n n toplam olarak yaz labilir. (2.39)

denkleminin Fourier dnm al nacak olursa F(f)

( ) ( ) ( ) f F f F f F e 0+= (2.42) biiminde, ift ve tek fonksiyonlar n Fourier dnmlerinin toplam olarak yazabiliriz.Burada

( ) ( ) dt et f f F ft iee 2

= (2.43)

( ) ( ) dt et f f F ft i 200

= (2.44)

dir. (2.30) ile verilen Euler eitlii kullan larak f e(t), f 0(t) ve e-i2pft nin tye gre

( ) ft t f 22 coscos = (2.45) ( ) ft t f 22 sinsin = (2.46)

( ) ft it f i ee 22 = (2.47) biimindeki simetri zellikleri gznne al nd nda (2.43) ve (2.44) denklemleri aa daki biimde yaz labilir.

( ) ( ) ftdt t f f F ee 220

cos

= (2.48)

( ) ( ) ftdt t f f F 220

00 sin

= (2.49)

Fourier dnmnn tek ve ift fonksiyonlara uyguland nda oluan bu denklemler

kosins ve sins dnm olarak bilinirler. Yukar daki denklemlerden a ka

grlmektedir ki, Fe(f) ift fonksiyon, F0(f) tek fonksiyondur. Peryodik veriler iin


17/62

23

gsterilen Parseval kuram Fourier dizilerinden Fourier dnmne geerken yap ld

gibi T , a = , n gei ilemleri yap ld nda

( ) ( )df f F dt t f 2

2

= (2.50)

olur. Grld gibi, peryodik olmayan verinin zaman ve frekans ortam ndaki enerjileri

eittir. Verinin enerjisi s n rl byklkte olduundan, sonsuz aral ktaki ortalama enerji

veya g ok kk olur. Sonsuz say da peryodik bileenlerin her birinin katk s ok kk

olmas gerekir. nk sonsuz say da peryodik bileenden oluan peryodik olmayan

fonksiyonun toplam enerjisi s n rl d r. F(f) 2 ye f(t) fonksiyonununenerji younluu

spektrumu denir. F(f) 2 nin enerji younluu olduu Parseval eitlii kullan larak

a klanabilir. f(t) gerilim verisi olsun. Bir direncin tkettii enerji (V2s)dir ve (2.50)

ba nt s n n sol taraf nda verilmitir. Ayn ba nt n n sa taraf nda frekans fye gre al nan

integralin ayn birimi vermesi iin F(f) 2 nin biriminin (V2s/Hz) = (V2s2) olmas gerekir.

Yani F(f) 2 birim frekanstaki enerji, yani enerji younluudur. Gerekte yukar da

deinildii gibi, bir tek frekanstaki enerji s f rd r. Bir ok veri gerilime evrilip

alg land ndan F(f) 2 ye enerji younluu denilmesi al lagelmi bir adland rmad r.

F(f) 2 birim frekanstaki enerji younluu yani g olduundan, F(f) 2 ye g spektrumu

demek btn ortamlarda llen veriler iin geerli bir adland rmad r.


18/62

24

Tablo 2.1 Baz fonksiyonlar n Fourier dnmleri.Fonksiyon Fourier dnm

a) Dikdrtgen

=

1 1 2

0 1 2

, /

, /

t

t

sin( / )

/

2

2 2= snc

b) Fourier entiisin sinat

t a at

= w

a2

c) ( ) cost w t 0 sin(( ) / ) sin(( ) / )

(sin sin )

w ww w

w ww w

w wc

w w

+

++

= + +

0

0

0

0

0 0

2 2

12 2 2

d) gen fonksiyon

A t t t ( ) ,,

= >

1 110, t

sin c w2

2

e)sgn t =

1 , t > 0,-1 , t < 0,

iw2

f) Dirak delta fonksiyonu

( )

( )

t

t dt

=

=

0 ,

1

t 0,

-

1

g) 1 2 (w)h)

u t t

( ),= 1 0

0 ,,

t < 0 , ( )w - i

1w

i) cos w0 t ( ( ) ( ))w w w w+ 0 0+ j) sin w0t i((w+w0) - (w-w0)k) u(t) cos w0 t

2 0 0 0

2 2( ( ) ( ))w w w wiw

w w+

+

l) u(t) sin w0 t iw w w w

w

w w

2 0 0

0

02 2( ( ) ( ))+

-

m) |t| 22w n) u(t)e-at a iw

a w

+2 2

o) Laplace Fonksiyonue-a|t| 2

2 2a

a w+

p) Gauss Fonksiyonue at

2

a

e w a2 4/


19/62

25

ekil 2.8Tablo 2.1de verilen fonksiyonlar ve Fourier dnmleri


20/62

26

ekil 2.8(Devam ) Tablo 2.1de verilen fonksiyonlar ve Fourier dnmleri


21/62

27

2.5 Fourier Serisine A l m rnek Problemler

rnek 1

( )


22/62

28

( ) ( )( ) ( ) )cos(cos coscos == n-nnn2n1 bn

( )( ) ( ) ( )nn 1nn1n

2 b =

= cos cos

n=ift say lar iin bn=0

n=tek say lar iin bn= n4

olacakt r. Buna gre sonu;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+++==

=.....5sin

513sin

31sin4sin4 000

10 t t t t nn

t f n

olacakt r.

Harmonik genliklerinin hesaplanmas :

22

21

nnn bac += 0=na olduu iin 221

nn bc = olarak hesaplan r.

Buna gre:

4

21

1 =c 34

21

3 =c 54

21

5 =c ...

Harmonik fazlar n n hesaplanmas :

=

n

n

n ab1

tan 0=na olduu iin ( )nn b=1

tan olarak hesaplan

r.

( ) 411 tan = ( ) 3413 tan = ( ) 5415 tan = ...

rnek 2

(-,) aral nda tan mlanm olan 2 peryodlu f(t)=t fonksiyonunu Fourier serisine a n z.F(t)

t

-2 -

2

zm 2

( )( )

=

=ttf

ttf olduu iin f(t) fonksiyonu tek fonksiyondur.


23/62

29

Buradaki rneimiz bu zellie sahip olduundan dolay tek fonksiyondur. Yani; (Tek

fonksiyonlarda a0, an=0 olmaktad r.)

f(t)=t -


24/62

30

rnek 4

(-, ) aral nda tan mlanm 2 peryodlu aa daki fonksiyonunu Fourier serisine a n z.

==


25/62

31

T

0t00

00

tnttnn

1n

1

=

= )cos()sin(

= )cos(.)sin()cos()sin( 000n1TT2nTTT2nn1n1TA2 b 0002n

= )cos()sin( n2Tn2n1

n1

TA2 b

002n

)cos( n2T

T2n

1TA2 b 2n =

)cos( n2nA

bn = A=2 genlik deeri yerine konur ise;

)cos( n2n2 bn =

elde edilir. Bu durumda tm n deerleri iin = n2 bn olur.

Sins serisi

==

1n0n tn btf )sin()(

olduundan

== 1n 0

tnn2tf )sin()(

)...sin()sin()sin()sin()( t442t3

32t2

22t2tf 0000 =

verilen n deerleri iin elde edilen genlik ve fazlar fonksiyonun harmoniklerini verir.

rnein;

N=1 iin; )sin( t2 0 1.ci harmonik,

N=2 iin )sin( t222

0 2.ci harmonik,

N=3 iin )sin( t3

3

20

3.ci harmoniktir.

Harmoniin genlik ve fazlar an ve bn katsay lar ndan hesaplan r.


26/62

32

( )21

22nnn bac +=

ve n faz a s

( )nnn ab /tan = 1 S f r nc harmonik genlii a0 katsay s n n mutlak deeridir

rnein 3. Harmoniin genlii

( )21

23

233 bac +=

faz a s

( )3313 a b /tan =

Bu rnek zmde an=0 olduundan genlik yaln zca bn katsay s n n mutlak deeridir:

=

= 32

32c

2

3

faz a s

2032

113

==

= )(tantan

olur.

rnek 7

Tt0 )(


27/62

33

= =

=

T

0t

tin20

2

T

0t

tin

02n

00 ein

1tein

1TAc

T

2

0 =

[ ]= 1e

n1e

inT

TAc 2in2

02

2in

02n

Not= saytamn sincos === 1n2in2e 2in

==== n2Ai

2inA

T2in1

TA

in1

TAc

0n )/(

iin / 2=

2i2e 2i /sin/cos/ += ie 2i =/ bulunur.

Bu durumda

2in en2

An2Aic /== yaz

labilir.

Yani

2in en2

Ac

/

= dir.

===T

0

T

00 2

AtdtTA

T1dttf

T1c )( olarak bulunur.

Fourier serisi ise;

=

+=n

tinn0

0ecctf )( olduuna gre

=

+=

n

tin2i 0een2

A

2

Atf /)(

=

+

+= ntn2i 0e

n1

2A

2Atf )/()( olarak elde edilir.

Bu sonucu Fourier dnmnn trigonometrik ekline dntrmek istersek;

00 a21c = )( nnn iba2

1c = )( nnn iba21c += olduuna gre

2Ac0 = 2

Aa21

0 = Aa0 =


28/62

34

2in en2

Ac /= Aa n=

2in e

n2

Aib2

1 /)(

= 2iei /= olduundan

2in

2i en2A be

21 //

= =nA bn

[ ]

=++=

1n0n000 tn btnaa2

1tf sincos)(

=+= 1n 0

tnnAA

21tf sin)(

= = 1n 0tnn1A

A21

tf sin)(

+++= ...sinsinsin)( t331t2

21tA

2Atf 000

2.6 Fourier Dnm rnek zmleri

rnek 1


29/62

35

bulunur. Sa taraf )/()(2dn

2dn 00 ile arparsak;

0

0

0

0

0

0

0

0

n n2

dn

2dn 2

dn2

TA

2dn 2

dn

n 2

dn2

TAC

=

=)sin()sin(

2dn

2dn

TAdC

0

0

n

=)sin(

T2

0= olduundan

Tdn

2dn 0

= olur. Bylece,

TdnT

dn

TAdCn

=

)sin(

Grld gibi Cn gerel bir fonksiyondur ve faz (spektrumu) s f rd r. Bu fonksiyonsincfonksiyonu olarak bilinir.

)(sincT

dnT

AdCn=

F(t) zaman fonksiyonunun karma k Fourier serisine a l m ;

= )exp()(sinc)( tin

Tdn

TAdtf 0

olarak yaz labilir.

Ayr k frekans spektrumunu elde etmek iin d ve T ye deer vermek gerekir. rnein

d=1/20s, T=1/4s olsun.

==== 8n41

2nT

2nn 0n/

5n

41201n

Tdn ==

//

5A

TAd =

olarak bulunur.

5n

5n

5

A

TdnT

dn

T

AdCn

=

=

)sin()sin(


30/62

36

son ba nt da n=0,1,2,.k deerler verilerek n0 frekanslar iin genlik spektrumlar hesaplan r. Spektrum ortam ndaki rnekleme aral == 821 dir. 0m =)sin(

olduundan == m51

nTd

n yani m=1,2,3,.. deerleri iin n=5,10,15,20. Deerleri

iin genlik spektrumu s f r olur.

Tablo 2.2: Verilen n deerleri iin genlik deerleri

-n Genlik n Genlik 0 0.600

-1 0.561 1 0.561-2 0.454 2 0.454-3 0.303 3 0.303

-4 0.140 4 0.140-5 0.000 5 0.000-6 -0.094 6 -0.094-7 -0.130 7 -0.130-8 -0.114 8 -0.114

C

f

n

-10 -8 -6 -4

-5 5

-2 0 2 4 6 8 10 12

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

0.00

-0.10

-0.20 -9 -0.062 9 -0.062ekil ..Genlik spektrumu 10


31/62

37

x(t) ve y(t)nin Fourier dnm X(f) ve Y(f) olsun. x(t)+y(t)nin Fourier dnm

X(f)+Y(f)dir;

( ) ( )( ) ( ) ( ) dt et ydt et xdt et yt xft i ft i ft i

+=+ 222

(2.51)K saca;

)()()()( f Y f X t yt x ++ (2.52)yaz labilir. iareti solundaki ve sa ndaki fonksiyonun bir Fourier ifti oluturduunusimgeler. Dorusall k zellii ikiden fazla fonksiyon iin de geerlidir. Bu zellik Fourier

dnmnn dorusal dzeneklere uygulanabileceini gsterir. Gerekte x(t), y(t) ve

varsa toplanan dier dzenek fonksiyonlar n n kendileri birer dorusal olmayan dzenek

fonksiyonlar

da olabilirler.

2.7.2 Bak ml l k zellii

)()( f X t x (2.53)olsun

X(t)x(f) (2.54)dir. Ters Fourier dnm ba nt s nda t yerine -t konulduunda

( ) ( ) x t X f e df i ft

=

2

(2.55)olur. t ve f deikenleri aralar nda deitirildiinde

( ) ( ) x f X t e dt i ft =

2 (2.56)

elde edilir, yani (2.54) dorulan r. Bak ml l k zellii birok kuramsal al malarda

ilemleri kolaylat r r.

2.7.3 Zaman Kaymas zellii

x(t)yi t0 kadar kayd rmakla elde edilen x(t-t0) n Fourier dnm ( )e X f i ft 2 0 olur:

( ) f X e ft i 020 )t-x(t (2.57)s = t-t0 al narak (2.57) zellii dorulanabilir:


32/62

38

x(t)

x(t - T/8)

x(t - T/4)

x(t - T/2)

f

f

f

f

R(f)A

R(f)

-A

R(f)A2

R(f)

f

f

f

f

I(f)

A

-A

I(f)

R(f)I(f)A

A-

2

2

I(f)

ekil 2.9Zaman kaymas zellii.

( ) ( ) ( )

+

= dse s xdt et t x t s f i ft i 0220 (2.58)

( ) dse s xe fsi ft i 22 0=

( ) f X e ft i 02=

ekil 2.9de kosins fonksiyonu kayd r larak Fourier dnmnn zaman kaymas

zellii irdelenmitir. Bak ml ve gerek bir fonksiyon olan x(t)=cos2ftnin Fourier dnm gerek bir fonksiyondur. Kaymayla bak ml l k kaybolduundan Fourier

dnm kaybolduundan Fourier dnm gerel ve sanal bileenler ierir. Kayma

genlii etkilemez, sadece faz deiir. Kosins fonksiyonu iin t0 kaymadaki Fourier

dnm

( ) ( )( )002 22f X 0 ft i ft f X e ft i sincos = (2.59)olduundan genlik

( ) ( )( ) ( ) ( ) f X f X ft ft f X e ft i ==+= 21

221

02

0222 22f X 0 sincos (2.60)


33/62

39

olur. Faz a s (f)=arctan(-b(f)/a(f)) kaymaya bal olarak deiir. (2.57) ba nt s ndaverilen kayma zelliine gre her frekanstaki bileen kendi frekans yla orant l faz

gecikmesine urar, byyen frekansla faz a s da byr.

2.7.4 Frekans Kaymas zellii

X(f) frekans ekseninde f 0 sabiti kadar kayd r ld nda elde edilen X(f-f 0) n ters Fourier

dnm x t ei f t ( ) 2 0 olur:

( ) ( )02 0 f f X et x t f i (2.61)Bu zellik ters Fourier dnm ba nt s nda s = f-f

0al narak dorulanabilir.

( ) ( ) ( )dse s X df e f f X f st i ft i 0220 +

= (2.62)

( ) dse s X e st it f i 22 0

=

)(t xe t f i 02 =

X(f) gerel olduunda X(f-f 0)

n ters Fourier dnm x(t)cos2f 0t olur. Yani frekansortam nda cos 2f 0t ile arpmaya denktir. Bunamodlasyon denir.

2.7.5 Zaman leklenmesi zellii

x(t)nin Fourier dnm X(f) olsun. k s f rdan farkl gerek bir sabit olmas kouluyla,

x(kt) nin Fourier dnm (1 / |k|) X(f/k) olur:

( ) k f

X k 1

ktx (2.63)

Bu zellik s=kt al narak dorulanabilir:

==k f

X k k

dse s xdt ekt x k s si ft i

122 )/()()( (2.64)

(2.63) dnm iftinde |k| al nm t r. nk k


34/62

40

enerji eit olduundan, daralan frekans fonksiyonunun s f r frekans yresinde genlii

bymektedir.

2.7.6 Frekans leklenmesi zellii

X(f) in ters Fourier dnm x(t) olsun. kn n gerek bir sabit olmas kouluyla, X(kf)

nin ters Fourier dnm (1 / |k|) x(t/k) d r.

)(kf X k t

xk

1 (2.65)

ters Fourier dnm ba nt s nda s=kf al narak bu zellik dorulanabilir:

=

=k t x

k k dsk sie s X df ft iekf X 122 )/()()( (2.66)

Zaman leklenmesine benzer biimde, frekans ortam daralt lmas zaman ortam

genilemesine, genilemesi de zaman ortam daralmas na yol aar. ekil 2.11de yine

dikdrtgen dalga biimi kullan larak bu zellik a klanm t r. Frekans ve zaman ortamlar

enerjilerinin eitliinin salanmas iin, frekans leklemesi byynce zaman ortam

fonksiyonu (dikdrtgen dalga) genlii bymektedir.


35/62

41

ekil 2.10Zaman leklenmesi zelliine rnek.

2.7.7 Fourier iftinin Ortak Ba nt zellii

Say sal Fourier dnm hesaplamalar n h zland rmada yararlan lan bir zellikte Fourier

dnm ve ters Fourier dnmnn ayn ba nt kullan larak hesaplanabilmesidir.

Gsterilebilirki

= *))(*()( df ft ie f X t x 2 (2.67)

dir. Burada * karma k elenii simgelemektedir.

e-i2ft ekirdei Fourier dnmnde olduu gibi, gerekli karma k elenek evirmeleri

yap larak x(t) ve X(f) ayn bilgisayar program yla hesaplanabilir.


36/62

42

ekil 2.11 Frekans leklenmesi zelliine rnek .

2.7.8 Zaman ve Fourier Trevleri zellikleri

Ters Fourier dnm ba nt s n n iki yan n n ninci trevleri al n rsa

)()()( f X f idt

t xd nn

n 2 (2.68)

olur. Burada x(f)nin trevlerinin var olduu varsay lm t r. Fourier dnm ba nt s n n

iki yan n n n inci trevlerinden

n

nn

)f 2()f (Xd )t(x)it( (2.69)

Fourier ifti elde edilir. x(t)nin trevinin al nmas ile oluan sinyalin spektrumu X(f)

spektrumunun f ye orant l oalan bir deerle arp lmas na edeerdir.


37/62

43

2.7.9 Zaman ve Frekans ntegralleri zellii

Yukar daki trev zelliinden hareketle x(t)nin integrali olan sinyalin Fourier dnm

aa daki ekilde bulunur:

)()()( f X f idt t x 12 (2.70)

Benzer ekilde X(f) spektrumunun frekans ortam nda integrali ile elde edilen spektrumun

ters Fourier dnm ile x(t) aras ndaki iliki aa daki gibidir:

f

f

df f X t xit )()()( 1 (2.71)

Grld gibi, x(f)nin integrali al nmas ile oluan sinyalin spektrumu X(f) spektrumun

1/f ye orant l bir deiken ile arp lmas na edeerdir.

2.7.10 Elenik zellii

x(t)=a(t)-ib(t) karma k fonksiyonunun elenii x*(t)=a(t)+ib(t) nin Fourier dnm

X*(-f) dir:

)()( ** f X t x (2.72)

= dt et ibt a f x ft i 2))()(()( (2.73)

= dt et ibt a f X ft i 2))()(()( (2.74)

+= dt et ibt a f X ft i 2))()(()(* (2.75)

olur.

2.7.11 Evriim (Konvolsyon) zellii

Gerek kuramsal tretmelerde ve gerekse gzlemsel verilerin analiz ve ilenmesinde

yararlan lan ok nemli bir olanak evriim kuram d r. Bu kurama gre zaman veya frekans

ortam ndaki evriim, frekans veya zaman ortam nda arp m yaparak gerekletirilebilir.

.H(f)X(f)h(t)* )(t x (2.76)H(f)*X(f)h(t). )(t x (2.77)

* evriimi (konvolsyon) simgeler. Yukar daki Fourier iftini dorulamak iin


38/62

44

== d t h xt ht xt y )()()(*)()( (2.78)

evriim ileminin her iki taraf n n Fourier dnm al ns n:

= dt ed t h xdt et y ft i ft i 22 ))()(()( (2.79)

y(t)y(f) al narak ve sa tarafta integralin s ras deitirilerek

= d dt et h x f Y ft i ))()(()( 2 (2.80)

elde edilir. s = t- al nd nda ayralar n ii

+ == )()()( )( f H edse shedse sh f i fsi f i s f i 2222 (2.81)

olur. Bu sonu (2.80) ba nt s na konulduunda

== )()()()()( f X f H d e x f H f Y f i 2 (2.82)

elde edilir. Buna zaman evriim kuram denir. Bu zellik izleyen biimde zetlenebilir:

)()(*)( t yt ht x = (2.83) )()()( f Y f H f X = (2.84)(2.77) Fourier ifti frekans evriim zelliidir ve yukar da verilen zaman evriim kuram na

benzer biimde veya (2.76) iftini bak ml l k ba nt s (2.56)ya koyarak dorulanabilir.

Sismik uygulamalarda olduu gibi, uzun ve ok say da verinin bilgisayarlarda

ilenmesinde evriim kuram ndan yararlanarak ilemler nemli lde h zland r l r. Daha

sonra deinilecek h zl Fourier dnm yntemiyle Fourier dnm ilemi

abuklat r ld ndan, nce veri ve uygulanacak ilecin Fourier dnmleri al narak

arp l r. Daha sonra bu arp m n ters Fourier dnm al narak k verisi elde edilir.

2.7.12liki (Korelasyon) zellii

Uygulamada nemli bir Fourier iftide iliki fonksiyonu ve onun Fourier dnmdr.

x(t) ve h(t) fonksiyonlar n n ilikisi

+= dt t ht xc xh )()()( (2.85)

ba nt s yla verilir. Bunun her iki taraf n n Fourier dnm

+= d edt t ht xd ec f i ft i xh 22 ))()(()( (2.86)

al

n

p ve sa taraftaki integrallerin s

ras

deitirilirse


39/62

45

+= dt d et ht x f c f i xh ))()(()( 2 (2.87)

olur. s = t+ al n rsa ayralar n ii

== )()()( )( f H edse shedse sh ft i fsi ft it s f i 2222 (2.88)

olur. Bu sonu (2.87) ba nt s na konulduunda

= dt f H et x f c ft i xh )()()(

2

+=

ftdt t xi ftdt t x f h 22 sin)(cos)()(

)()()( f i f R f H += (2.90)olur. x(t)nin Fourier dnm

(f)i-R(f)=

ftdtx(t)sin2i-ftdtx(t)cos2= - -

2

= dt et x f x ft i)()(

olduundan, (2.90) ve (2.91) ba nt lar ndan

)()()( * f X f H f c xh = (2.92)olur. K saca

)()( f cc xh xh (2.93)yaz l r. Bu sonuca apraz-iliki zellii denir. Bu sonu ilikiye giren ikinci fonksiyonunFourier dnmnn eleniinin al nmas d nda evriim zelliinin ay ns d r. Evriim

ileminin iliki ileminden fark n n fonksiyonlardan birinin katlanmas olduu an msan rsa

bu benzerlik kolayca anla l r. Yukar da x(t) bir ift fonksiyon olduunda X(f) gerel

olaca ndan X(f)=X*(f) olur. Bu durumda evriim ve iliki ilemleri yukar da deinilen

zelliklerde edeer olur. Eer x(t)=h(t), yani her iki fonksiyon zde ise, (2.85) ba nt s

ziliki ba nt s na dnr. (2.93) iliki zelliide

)()()()()( * f c f X f X f X c xx xx ==2 (2.94)

olur. Bunaziliki zellii denir. ki verinin apraz ilikisinin veya bir verinin zilikisinin

hesaplanmas

nda evriim zelliinde olduu gibi h

zl

Fourier dnmndenyaralan larak ve iliki kuram kullan larak ilemler h zland r labilir. Dier nemli bir


40/62

46

kullan m geici verilerin g ve apraz g younluu spektrumlar n n hesaplanmas d r.

Geici verilerin g younluu spektrumlar verilerin Fourier dnm kullan larak

gsterilebilir.

2.7.13 ift fonksiyonlar (Even Functions)

Eer f e(t)=f e(-t) ise f e(t)nin Fourier dnm bal ml (simetrik) ve gereldir:

= dtft2tf f tf ee )cos()()Re()( (2.95)

Yine 2.24 ba nt s ndan yararlanarak

= dtetf f F ft2iee )()(

= dtft2tf idtft2tf ee )sin()()cos()(

== )Re()cos()( f dtft2tf e (2.96)

olur. Sanal terim s f rd r, nk integralin ii bir tek fonksiyondur. )cos( ft2 bir iftfonksiyon )cos( ft2 bir ift fonksiyon olduundan [ ]tf 2tf ft2tf ee )(cos)()cos()( = ve

Fe(f)=Fe(-f); yani Fourier dnm de bir ift fonksiyondur.Bu zelliin tersi de dorudur. Yani Gerek ve itf fonksiyonun ters Fourier dmm de bir ift fonksiyondur.

Ayr k fonksiyonlar iin ift fonksiyon zellii;

f e(k)=f e(-k) ise:

1-0,1,2,...Nk N

nk 2k f nk f 1 N

0nee =

=

=)cos()()Re()( (2.97)

2.7.14 Tek fonksiyonlar (Odd Functions)

Eer f o(t)= -f o(-t) ise, f o(t)nin Fourier dnm de ters bak ml ve sanal bir fonksiyondur. Bu, 2.24 ba nt s ndan yararlan larak kan tlanabilir.

= dtetf f F ft2oo )()(

= dtft2tf idtft2tf oo )sin()()cos()(


41/62

47

== )Im()sin()( f idtft2tf i o (2.98)

Gerel k sm n integrali s f rd r. nk bir ift fonksiyon ile tek fonksiyonun arp m yine bir tek fonksiyondur. )sin( ft2 bir tek fonksiyon olduundan,

[ ]tf 2tf ft2tf oo )(sin)()sin()( = ; Fourier dnm tek fonksiyondur.

Ayr k fonksiyonlar iin tek fonksiyon zellii;f o(k)= -f o(-k) ise:

1-0,1,2,...Nk N

nk 2k f inik f 1 N

0noo =

=

=)sin()()Im()( (2.99)

ekil 2.12: Fourier dnm ile Fourier dizisi aras ndaki ilikiye ematik bir rnek.

2.7.15 Dalgaekli Ay r m (Waveform Decomposition)

Herhangibir fonksiyon tek ve ift fonksiyonlar n toplam olarak ay r labilir;

2tf

2tf tf )()()( +=

+

+= 2

tf 2tf

2tf

2tf )()()()(


42/62

48

)()( tf tf oe += (2.100)nk, byk parantezlerin ii ift ve tek fonksiyon tan m n dorular. 2.96 ve 2.98 ba nt lar ndan, 2.100 ba nt s n n Fourier dnm,

)()()Im()Re()( f Ff Ff if f F oe +=+= (2.101)Burada Fe(f)=Re(f) ve Fo(f)=iIm(f) dir. Fourier dnmnn bu zellii ayr k Fourier dnm hesaplamalar n h zland rmada kullan lan zelliklerden biridir.

Ayr k fonksiyonlar iin dalga biimi ay r m zellii:

2k f

2k f k f )()()( +=

++=2k f

2k f

2k f

2k f )()()()(

)()( k f k f oe += ve)()()Im()Re()( nFnFninnF oe +=+=

burada,)Im()()Re()( ninF vennF oe ==

Tablo 2.3 :Fourier dnmnn baz zellikleri )()( f X t x )()( f Y t y

Dorusall k )()()()( f Y f X t yt x ++ Bak ml l k )()( t X f x Zaman Kaymas )()( f xet t x ft i 020

Frekans Kaymas )()( 0

2 0 f f X t xe t f i

Zaman leklenmesi 01

k k f

X k

kt x ,)(

Frekans leklenmesi 01

k kf X k t

xk

),(

Ortak Ba nt ** ))(()( f X t x

Zaman Integrali

t f X f idt t x )()()( 12

Frekans Integrali

f

f

df f X t xit

&&&

)()()( 1

Zaman Trevi )()(/)( f X f idt t xd nnn 2 Frekans Trevi nnn df f X d t xit /)()()( Elenek )()( ** f X t x

Evriim)(*)()().(

)().()(*)(

f Y f X t yt x

f Y f X t yt x


43/62

49

Iliki )().()(*)()( * f Y f X t yt xc yx =

2.8 Fourier Spektrumu

Buraya kadar olan incelemelerde frekans ortam na geerken verilerin periyodik veya geici

olduu varsay larak Fourie dizileri veya Fourie dnm kullan ld . Ayr ca yine buraya

kadar olan incelemelerde verilerin srekli olduu ve srekli verilerle ilem

yapabileceimiz varsay ld . Ancak uygulamada kar la lan durum yukar daki varsay mlar

gereklemez. Her eyden nce eldeki veri s n rl bir gzlemin sonucudur. Ayr ca veri ya

ayr k olarak gzlenmi veya bilgisayarda ileme sokmak iin srekli verit rneklemearal ile ayr k ekle dntrlmtr. Her iki nedenle verinin frekans ortam na

geirilmesinde sorunlarla kar la lmaktad r. Bu sorunlar n incelenmesinden nce s n rl ve

ayr k verilerin frekans ortam na geirilmesinde kullan lan hesaplamay yeniden

tan mlamak gerekmektedir. Eer elimizdeki T s n rl uzunluundaki veriyi xT(t) ile

gsterecek olursak, bu veriye deitirilmi bir Fourier dnm uygulanarak frekans

ortam nda xT( )y elde ederiz:

=

2

21

T

T

t iT T dt et xT

x )()( (2.102)

veya =2f ile

=2

2

21T

T

ft iT T dt et xT

f x )()( (2.103)

Bu denklemle tan mlanan xT(f) ye uygulamada Fourier Spektrumu ad verilir.Grld gibi, bu denklem Fourier dnmnden (Denklem 2.19) farkl d r. Integral

s

n

rlar

doal olarak sonlu uzunlukta veri iin - ve yerine -T/2 ve T/2 olmu ve dahanemlisi integral nne 1/T arpan eklenmitir. Bu nedenle xT(f) den | xT(f)|hesapland nda birim veri genlik birimi ile eit olup Fourier dnmndeki gibi genlik

younluu deildir. Asl nda Fourier spektrumu xT(f) denklemindeki Fourier dizisi ile elde

edilen spektruma benzemektedir, yaln z gzlem uzunluu Tnin ana peryod Taya eit

olmas ve srekli frekanslar yerine zel frekanslar f n=n/Ta kullan lmas durumunda Fourier

dizileri ile elde edilen izgi spektrumuna eit olacakt r. Yukar daki nedenlerle Fourier

spektrumu tan m geerli bir tan md r ve (2.96) denklemi gerek izgi spektrumu gerekse

Fourier dnm iin kullan labilir. Ayr ca belirtmek gerekirki, nceki blmde konu


44/62

50

edilen tm Fourier dnm zellikleri Fourier spektrumu iin geerlidir. Bu Fourier

dnm iin tm denklemlerde X(f) yerine XT(f) kullan larak kan tlanabilir.

Fourier spektrumu ayr ca tan mlaman n ve Fourier dizisi ve dnm ile ba n incelemenin yarar uygulamadaki adland rma kar kl n gidermek iindir. Gerektende

Fourier izgi spektrumu X(f n)yi veren Fourier dnm ile bulunan ve X(f) yi veren

(2.19) denklemi ve sonrada Fourier spektrumu olarak adland r lan XT(f) yi veren (2.96)

denklemi farkl d r. Bu denklemlerle verilen frekans ortam gsterimler ierdikleri

varsay mlar ve stelik fiziksel birimler a s ndan da farkl d rlar ve uygulamada kullan lan

denklem ile ilgili kavramlara ve adland rmaya zen gsterilmelidir.

2.8.1 Ayr k Veriler

Sonlu uzunlukta xT(t) verisi iint rnekleme aral kullan larak xn=x(nt), n=0,1,2,..,N-1ile t=nt zamanlar nda rneklenmi veri elde edilir. Veri boyu T olduuna gre T/t=Ntoplam veri say s n verecektir. rneklenmi veri ile Fourier spektrumu

( ) t fni N

nnT e x N

f X

== 2

1

0

1 (2.104)

eklini al r. Bu yaz l m dorudan programlama iin kullan labilir ve herhangi bir f frekans

iin geerlidir. Ancak hesaplamada srekli frekans kullan lam yaca na gre srekli

frekans nda rneklenmesi gerekmektedir. Eer frekans rneklemesi f seilerek olursaf k f = frekanslar nda ( ) f k X T veya k salt lm olarak xk hesaplanabilir,

( )

=

==1

0

n21 N

n

t f k ink e x N

x f k X (2.105)

n son hesaplanacak frekans Nyquist frekans t f N = 21 olduuna gre k=0,1,2,....,K,iin hesaplanan spektrumda t f K f N == 21 dolay s yla f t K = 21 olacakt r. Eer

frekans rnekleme aral t N T f == 11 seilecek olursa 2 N K = olacak, yani veri

say s n n yar s say da frekansda spektrum elde edilecektir. T f 1= seiminin Fourier spektrumunu dorudan Fourier izgi spektrumuna eit k ld na, yani gzlem uzunluu N

iindeki gzlemin peryodik bir verinin ana peryoduna eit olduu varsay lm olaca na

nceden deinilmiti. Eer veri asl

nda sonsuz ise ve t N T = sadece gzlem uzunluunaeitse doal frekans seilebilirlii 1/T olacakt r. Bu nedenle birbirlerine uzakl 1/T olan


45/62

51

iki frekans bileeninin grlebilmesi iin frekans rnekleme aral 1/T den daha kk ve

en az 1/2T olmal d r.

Son olarak frekans ortam nda tan m verilmi bir verinin zaman ortam nda tekrar kurulmas konusunda baz zellikleri k saca belirtmek yerinde olacakt r. Fourier kuram na gre

zaman ortam ndaki veri, spektrumun ters Fourier dnm ile verilir:

( ) ( ) df f X t x fti2e

= (2.106)

Eer elimizde Fourier spektrumu ( ) f X T varsa T ( ) f X T in s n rl Fourier dnmne

eittir. Ayr ca bu spektrum f aral klar ile rneklenmi yani f k f = ise yukar dakidenklemde X(f) yerine TXk yaz labilir. Spektrumun Nyquist frekans f K f N = ile s n rl olduu gz nne al n rsa aa daki forml ile zaman ortam na geilebilir.

( ) f e X T t x f t f k i K

K k k =

= 2 (2.107)

Zaman ortam nda srekli t yerinet n t= zamanlar nda hesaplama yap lacak olduunda,

( )t n f k i

K

K k k n e X t N t n x x

=== 2

f (2.108)

olacakt r veya K t f =1 2 kullan larak,

( ) K nk i K

K k k n e X K

N t n x x 22

2

=== (2.109)

ile zaman ortam nda elde edilecektir. Zaman ortam nda en nemli konu elde edilen verinin

peryodik olma zorunluluudur. Hat rlanaca gibi, t aral klar ile rneklenmi bir verinin

spektrumu peryodik olur. Yani t f N =12 de bir kendini tekrarlar. Ayn

biimde f frekans aral ile rneklenmi bir spektrumun zaman ortam ndaki verisi 1/f aral klakendini tekrarlayacakt r. Bu nedenle T N t= uzunluundaki bir verinin spektrumu

hesaplan rken frekans aral f serbest olmakla birlikte, eer zaman ortam na tekrar geridnldnde T aral nda ayn veri elde edilmek isteniyorsa dnte

1 T f = al nmal d r.

2.8.2 ok Boyutlu Fourier Dnm ve Fourier Spektrumu


46/62

52

Bir ok gzlemsel veri uzamsal ortamda ok boyutlu olarak gzlenir. Yeralt jeoloj k

yap lar n n arat r lmas iin yeryznde veya havadan yap lan gravite alan , manyetik alan

ve benzeri jeofizik lmeler, uzaktan alg lama verileri, optik yntemlerle yap langzlemler, x- nlar grntleri 2-boyutlu (2B) uzamsal verilere rneklerdir. Zaman ve

uzamsal ortamlarda alg lanan ve k saca zaman uzakl k verileri denilen gzlemlerde

uygulamada ok s k 3 boyutlu (3B) verileri olutururlar. Yeryznde bir dorultu boyunca

birden fazla konumda alg lanan sismik yans ma ve k r lma verileri, deprem sismogramlar

2B zaman uzakl k verileridir. Yeryznde 2B uzamsal ortamda serili al c dizinlerle

alg lanan sismik veriler,ultrasonik veriler, 3B zaman uzakl k verilerine rneklerdir.

Yeryznde 2B al c dzenler ve yer iinde kurulu al c lardan oluan yani 3B al c

dzenlerle alg lanan veriler 4 boyutlu (4B) zaman-uzakl k verileridir. Zaman drdnc

boyutu oluturur. Yukar da deinilen verilerin alg lanmas nda kullan lan al c dizinlerin ve

nokta kaynak d nda kalan benzer verici dzenlerin frekans ve dalga say s ortamlar ndaki

davran lar n n irdelenmesi iinde ok boyutlu Fourier dnm kuram na gereksinme

vard r. Fourier dnm ile ok boyutlu verilerin analizlerinin yap lmas yan nda, bu

verilerle ilgili uygulamalarda da yaralan l r. rnein ok boyutlu verilere szgeuygulamalar frekans ortam nda 1B verilerdeki gibi h zl Fourier dnm olana ndan

yararlan l r.

Uygulamada kar la lan veriler en fazla 3B ve bazende drt boyutlu olabilirler. Aa da

verilen N-boyutlu Fourier dnm iftleri iin doada kar la lan veri boyutlar n n bir

s n rlay c etkisi yoktur, yani N>4 olabilir. N say da t1,t2,.,t N srekli deikenlerine bal

(N-boyutlu) x(t1,t2,....,t N) fonksiyonunun (verisinin) Fourier dnm X(f 1,f 2,.,f N)def 1,f 2,..,f N srekli deikenlerine bal bir N-boyutlu Fourier iftidir ve izleyen biimde

yaz l r:

+++= N t f t f t f i N N dt dt dt et t t x f f f X N N ...),....,(...),...,( )...( 2122121 2211 (2.110)

+++= N t f t f t f i N N df df df e f f f X t t t x N N ...),...,(...),...,,( )...( 2122121 2211 (2.111)

Ayr

k veriler iin N-boyutlu Fourier ifti


47/62

53

= =

=

+++=

1

0 0

1

0

2

2121

1

1

1

2

2

22

1

11 M

n

M

n

M

n

M nk

M nk

M nk

i

N N

N

N

N

N N

ennn xk k k x)...(

),...,,(...),...,,(

(2.112)

=

=

+++=

1

0

1

0

1 2

2121

21

1

1

2

2

2

22

1

111 M

k

M

k

M

k

M nk

M nk

M nk i

N N

N

N

N

N

N N

ek k k X M M M

nnn x)...(

),...,,(......

),...,,(

(2.113)

dir. Yukar da (2.105) ba nt s nda k 1=0.1,...,M1 ve k N=0.1,...,M N; (2.106) ba nt s nda

n1=0.1,...,M1 ve n N=0.1,...,M Ndir. Uygulamada en ok 3B ve 2B Fourier dnmnden

yararlan l r. 3B sismik rlerinin tepki spektrumlar n n hesaplanmas nda, 3B szge

dzenlemede ve 3B g ilelerinin hesaplanmas nda Fourier dnmnden yararlan l r.

3B verilerinin frekans ortam analizleri yap ld ktan sonra bu verilerin szgelenmesi iin

dzenlenen ok izli szge tepki yan tlar frekans ortan mda incelenir. 3B Fourier iftleri(2.103) (2.106) ba nt lar nda N=3 al narak kolayca yaz labilir.

Uygulamada 2B verilerle daha ok kar la ld nda 2B Fourier dnmnn benzer

ancak daha yayg n kullan m alanlar vard r. Iki boyutlu verilerin spektrumlar n n

hesaplamnas ve uygun s n rl boyda szgelerin dzenlenmesi, sismik veriler iin ok izli

szge dzenlemede kuramsal ilkelerin gelitirilmesi, bu szgelerin frekans yan tlar n n

hesaplanmas ve sismik verilerin g ilemleri baz uygulama alanlar d r. Bu yaz n nizleyen blmleri daha ok 2B verilerle ilgili tart malar iermektedir. 2B Fourier ifti

+= dydt e yt xvu X vyut i 2 )(),(),( (2.114)

( ) ( ) ( ) dvduevu X yt x vyut i 2 +

= ,, (2.115)

dir. Yukar daki ift yaz l rken (2.103) ve (2.104) ba nt lar nda N=2 konulmas yerine

kolayl k iin alt tak s olmayan u, v ve t,y deikenleri kullan lm t r. 2B ayr k Fourier ifti

=

=

+=

1

0

1

0

2

2121

1

1

2

2

2

22

1

11 M

n

M

n

M nk

M nk

i

enn xk k X )(

),(),(

(2.116)

=

=

+=

1

0

1

0

2

2121

21

1

1

2

2

2

22

1

111 M

k

M

k

M nk

M nk

i

ek k x M M

nn x)(

),(),(

(2.117)

dir. Boyu uzun 1B gzlemsel verilerin Fourier dnmlerinin ve ters Fourier

dnmlerinin hesaplanmas nda h zl Fourier dnm yntemlerinden yararlan l r. H zl

Fourier dnmnden s n rl boyda 1B ve ok boyutlu szge dzenlemede ve


48/62

54

uygulamada da yararlan l r. ok boyutlu Fourier dnmleri hesaplan rken ilemler 1B

Fourier dnmne indirgenerek 1B h zl Fourier yntemi kullan labilir. rnein (2.109)

ba nt nt s yla verilen 2B Fourier dnm (2.111) ba nt s ndaki gibi yaz larak ilemler,

iteki toplamdan d a doru yap labilir:

)()(),(),( 1

111

1

1

2

2

22 21

0

1

0

2

2121 M

k ni M

n

M

n

M k n

eenn xk k X

=

=

= (2.118)

Bu ba nt da n1 sabit tutulduunda keli ayralar iindeki toplam 1B olur. nce bu iteki

toplam hesaplanarak buna s(n1, k 2) denilsin. s(n1, k 2) zaman ve frekans n fonksiyonudur.

Daha sonra k 2 sabit tutularak d taki toplam hesaplanarak X(k 1, k 2) elde edilir.

2B x(n1, n2) verisi ve Fourier dnm X(k 1, k 2) karma k olabilir. x(n1, n2)nin genlik

spektrumu;

),(),(

)),(()),((),(*

2121

221

22121

k k X k k X

k k X sanal k k X gerel k k x

=

+= (2.119)

ve faz spektrumu;)),(/),(arctan(),( 212121 k k X gerel k k X sanal k k = (2.120)

dir. * karma

k elenei gstermektedir. Dairesel bak

ml

ve

nsal bak

ml

l

k gsteren2B fonksiyonlar n (verilerin) faz spektrumlar btn frekanslarda s f rd r. Bu zellik

(2.107) ve (2.108) ba nt lar nda stel terim yerine edeer sins ve kosins fonksiyonlar

yaz larak, yani

))(sin())(cos()( uyut iuyut e uyut i ++=+ 222 (2.121)Euler ba nt s kullan larak kolayca dorulanabilir. x(t, y) ve X(u, v) bak ml olduundan

sin(2(ut+vy)) ile arp mlar tek fonksiyonlar olutururlar. Tek fonksiyonun (-, )

aral nda integrali s f r olduundan (2.113) ba nt s nda sanal X(k 1, k 2)=0 olur.

2B Fourier dnmnn 1B Fourier dnmne benzer zellikleri vard r. Tablo 2.4de

uygulamada kar la lan zellikler sunulmutur. Bu zelliklerin varl 1B Fourier

dnm zellikleri gibi dorulanabilir. Tablo 2.4de verilen zelliklerden uygulamada

geni biimde yararlan l r. rnein evriim zellii 2B szgelemede bilgisayar zaman nda

byk kazanlar salar. Szge katsay lar ve verinin daha nce deinildii gibi 2B h zl

Fourier dnm ynteminden yararlan larak Fourier dnmleri al n r. 2Bfrekans

ortam nda arp mlar gerekletirilerek bu arp m n 2B h zl Fourier dnmden


49/62

55

yararlan larak ters Fourier dnm, yani zaman ortam 2B szge k elde edilir. 2B

Fourier dnmnn ikinci trev zellii, gzlemsel verilerin ilenmesinde kullan lagelen

bir zaman ortam yntemi olan ikinci trev ileminin frekans ortam nda -42(u2+v2)ileciyle arpmaya edeer olduunu gstermektedir. Bu ile yksek frekanskar geiren

dairesel bak ml bir szge zellii gsterdiinden grnt ve uzaktan alg lama

verilerinde sinyallerin s n rlar n n belirginletirilmesinde kullan l r. Burada vurgulanmak

istenilen trev zelliinin uygulanan ileci, analizi ve frekans yan t n n belirlemesidir.

Tablo 2.4 2B Fourier dnmnn baz zellikleri

x(t,y) X(u,v)

lekleme ),(),( bv

au

X abbyat x1

Dorusall k ),(),(),(),( vuGvu X yt g yt x ++ Kayma ),(),( )( vu X eb yat x bvaui + 2 Evriim ),().,(),(*),( vuGvu X yt g yt x ziliki

221 ),(),( vu X c xx

Parseval

= dvduvu X dydt yt x

41 22

2 ),(),(

Trev ),()()(),()()( vu X viui yt x yt nmnm

22 ),(),(),( vuuX i yt x yt x

t

t 2=

),(),(),( vuvX i yt x yt x y

y 2=

),(),(),( vu X u yt x yt xt

tt 22

2

2

4 =

),(),(),( vu xv yt x yt x y

yy22

2

2

4 =

),(),(),( vuuvX yt x yt x yt

ty2

24

=

),()(),()( vu X vu yt x yt

2222

2

2

2

4 ++


50/62

56

rnek

t=1.0s ve N=10 olan;f(nt)=(1,2,3,2,0,-0.5,-1,0,1,0.5) olan ayr k zamanfonksiyonunu 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Zaman(ndt)

G

e n l i k ( c m

)

-1

0

1

2

3

a) Fourier serisine a n z,

b) Fourier katsay lar n iziniz,

c) Fourier katsay lar ndan genlik ve faz spektrumlar n iziniz,

d)

Fonksiyonun 0 ile 10 aras

ndaki deerini hesaplayarak iziniz,e) Fourier katsay lar n M=2N iin hesaplay n z ve iziniz,

f) Fourier katsay lar ndan genlik ve faz spektrumlar n M=2N iin hesaplay n z iziniz.

Bu rnek Fourier serilerinin ayr k veriler iin verilen trigonometrik ifadeleri kullan larak

zlecektir.

A klama

Srekli fonksiyonunun boyu T iset eit aral klar ile rneklenmi (say sallat r lm )

fonksiyonun veri boyu (nokta say s ) N=T/t olacakt r. Buna gre 00 tf 2t N2

T2 =

==

olur. Ayr k (say sallat r lm ) fonksiyonu f(t)=f(Nt)=f r eklinde gsterebiliriz. Budurumda ayr k fonksiyonlar iin Fourier seriye a l m ifadesi

( ) )tMr f 2cos(2

atkr f 2sin btkr f 2cosaa21)tr (f f 0M

1M

1k 0k 0k 0r +++==

=

Burada M=N/2 dir. Yukar daki ba nt veri ift (N=2M) say da noktadan oluan

fonksiyonlar iin kullan l r. Grld gibi seri M-1e kadar a l r ve aM katsay s na ait

son terim sonradan eklenlenir. Bu durumda a katsay s Me kadar hesaplan rken, b

katsay s (M-1)e kadar hesaplan r.

M0,1,2,...,k tkr f 2tr f t N

2a1 N

0r 0k ==

=)cos()(

1-M1,2,...,k tkr f 2tr f t N

2 b1 N

0r 0k =

=

=)sin()(


51/62

57

Nokta say s n n (N=2M+1) tek olmas durumunda son terim kullan lmaz. nk a ve b

katsay lar M say dad r. Bu durumda trigonometrik toplam M-1 deil Me kadar al n r.

Buna gre seriye a l m ifadesi;

( )=

++==M

1k 0k 0k 0r tkr f 2sin btkr f 2cosaa2

1)tr (f f

eklini al r. Fourier katsay lar

M0,1,2,...,k tkr f 2tr f t N

2a1 N

0r 0k ==

=)cos()(

M1,2,...,k tkr f 2tr f t N

2 b1 N

0r 0k ==

=)sin()(

Not: Her iki durumda da b0 katsay

s

olmad

iin bk iin kn

n 1den, ak iin s

f

rdan balad na dikkat ediniz.

1. Aama: Fourier katsay lar n n hesaplanmas

t =1s, N=10 olduuna gre temel frekans f 0=1/Nt=1/10=0.1Hz dir. Nokta say s ift olduundan N=2M=10 M=5 olarak bulunur.

a katsay lar

k=0 iin;

))1901.02cos()9( )1801.02cos()8()1701.02cos()7()1601.02cos()6( )1501.02cos()5()1401.02cos()4()1301.02cos()3(

)1201.02cos()2()1101.02cos()1()1001.02cos()0((102

0

+++++++

++=

f

f f f

f f f

f f f a

0500100 01050000203020120a

0))cos(.)cos()cos(

)cos()cos(.)cos()cos()cos()cos()cos((.+++

++++=

cos(0)=1 olduundan

600150101500232120a0 .)..(. =+++++++=

k=1 iin;

))9*1*2.0cos(5.0)8*1*2.0cos(1 )7*1*2.0cos(0)6*1*2.0cos(1)5*1*2.0cos(5.0)4*1*2.0cos(0

)3*1*2.0cos(2)2*1*2.0cos(3)1*1*2.0cos(2)0*1*2.0cos(1(2.01

++++

+++=a

a1=0.990


52/62

58

k=2 iin;

))9*2*2.0cos(5.0)8*2*2.0cos(1

)7*2*2.0cos(0)6*2*2.0cos(1)5*2*2.0cos(5.0)4*2*2.0cos(0 )3*2*2.0cos(2)2*2*2.0cos(3)1*2*2.0cos(2)0*2*2.0cos(1(2.02

++

+++++=a

a2=-0.778

benzer ekilde;

a3=-0.240 a4= 0.228 a5= 0.000

hesaplan r.

b katsay lar

k=1 iin;

))9*1*2.0sin(5.0)8*1*2.0sin(1 )7*1*2.0sin(0)6*1*2.0sin(1)5*1*2.0sin(5.0)4*1*2.0sin(0

)3*1*2.0sin(2)2*1*2.0sin(3)1*1*2.0sin(2)0*1*2.0sin(1(2.01

++++

+++=b

b1=1.055 b2=0.095 b3=0.005 b4=0.059

seriye a l m ba nt s nda bu deerleri yerine koyarsak;

( ) )cos(sincos)( trMf 22atrk f 2 btkr f 2aa21tr f f 0M

1M

1k 0k 0k 0r +++==

=

)*.cos(

.sin..cos..sin..cos.

.sin..cos..sin..cos..)(

52020

4r 2005904r 2022803r 2000503r 202400

2r 209502r 207780r 200551r 209900261r f f r

+

+++

+++==

burada rye 0dan 10a kadar deerler verildiinde fr fonksiyonunun deerleri elde edilir.

rnin deeri art

r

ld

nda fonksiyonun kendisini tekrarlad

grlecektir. Bu da ayr

k fonksiyonunaral nda peryodik olduu varsay m ndan kaynaklanmaktad r.

Harmonik genlikleri;

( )212k 2k k bac /+= ba nt s ndan

c0=1.600 c1=1.447 c2=0.784 c3=0.240 c4=0.236


53/62

59

Harmonik faz a lar ;

=

k

k 1n a

btan

ba nt s ndan

0= 0.000 1= -0.817 2= 0.122 3= 0.022 4= -0.252

Harmonik genlik ve fazlar n n frekans n fonksiyonu olarak izilmesi ile genlik ve faz

spektrumlar elde edilir.

Hesaplamalar T/2


54/62

60

-0 .5 -0 .4 -0 .3 -0 .2 -0 .1 0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5

-1

0

2

-0 .5 0 0 .00 0 .5 0

-3.14

0.00

3.14

frekans (Hz)

frekans (Hz)

ekil 13: 0.5


55/62

61

0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0fre kan s(Hz )

0

1

2

g e n

l i k

0 .0 0 0 .50 1 .0 0 1 .50 2 .0 0

-3.14

0 .00

3 .14

f a z

ekil 15: 0


56/62

62

do 15 k=0,MMak=0.do 10 i=0,N

10 ak=ak+x(i)*cos(2.*pi*f0*i*k)a(k)=2.0*ak/(NN*dt)

15 write(*,*) a(k)write(*,*) 'b katsayilari'do 25 k=1,MMbk=0.do 20 i=0,N

20 bk=bk+x(i)*sin(2.*pi*f0*i*k)b(k)=2.0*bk/(NN*dt)

25 write(*,*) b(k)C spektrum hesaplan yor.

do 30 i=0,MMamp(i)=sqrt(a(i)**2+b(i)**2)phase(i)=atan(-b(i)/A(I))

30 CONTINUEDO 45 I=0,NYY=0.LL=Mif(2*M.eq.NN)LL=m-1DO 40 K=1,LLYY=YY+A(K)*COS((2.0*pi*f0*K*I))+B(K)*SIN(2.0*pi*f0*K*I)

40 CONTINUEY(I)=(A(0)/2.0)+yyif(2*M.eq.NN)y(i)=y(i)+(a(m)/2.0)*cos(2.0*pi*f0*M*i)

45 CONTINUEWRITE(*,*)'FOURIER ACILIMI'WRITE(*,36)(Y(I),I=0,N)

36 FORMAT(F8.3)DO 50 I=0,MMC1=IC2=NN

50 F(I)=C1/C2write(6,35)(F(I),a(i),b(i), amp(i),phase(i), i=0,MM)

35 format(5f8.3)stopend

Ayr k Fourier Dnm

t=1.0s ve N=10 olanf(nt)=(1, 2, 3, 2, 0, -0.5, -1, 0, 1, 0.5)olan ayr k zaman fonksiyonun Fourier ve

ters Fourier dnmlerini hesaplay n z.

f =1/N=1/10=0.1Hzf N=1/2t=0.5Hz dir. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Zaman(ndt)

G e n

l i k ( c )

-1

0

1

2

3


57/62

63

A klamaAyr k Fourier dnmleri

)f kr 2iexp(f N1

f

1 N

0r r k =

= Fourier dnm

)f kr 2iexp(f N1f

1 N

0k k r =

=Ters Fourier dnm

ba nt lar ile hesaplan r.

r=0 iin;

))1.0092iexp(5.0 )1.0082iexp(1)1.0072iexp(0)1.0062iexp(1

)1.0052iexp(5.0)1.0042iexp(0)1.0032iexp(2

)1.0022iexp(3)1.0012iexp(2)1.0002iexp(1(1.0f 0

+++

++

++=

))0exp(5.0)0exp(1)0exp(0 )0exp(1)0exp(5.0)0exp(0)0exp(2)0exp(3)0exp(2)0exp(1(1.0f 0

+++++++=

exp(0)=1 olduundan

80501010500232110f 0 .)..(. =++++++++=

f 1,f 2,f 3,f 4,f 5 benzer ekilde hesaplan r. Aa daki tabloda 0


58/62

64

0.0 0 .5 1 .0fre kan s(Hz)

0

1

g e n

l i k

0 .0 0 0 .5 0 1 .00

0.00

3.14

6.28

f a z

ekil 16:0


59/62

65

AMP(i)=CABS(Y(I))phase(i)=atan2(-AIMAG(Y(I)),REAL(Y(I)))write (*,*) AMP(i),phase(i)

30 CONTINUEdo 35 i=0,NN

35 if(phase(i).lt.0)phase(i)=phase(i)+2*piWRITE(6,*)NNDO 25 I=0,NNR=REAL(Y(I))AIM=AIMAG(Y(I))

25 WRITE(6,15)FRQ(I),R,AIM,AMP(I),PHASE(I)15 FORMAT(5F10.3)

stopend

Ayr k Ters Fourier Dn m

nceki rnekte bir f(t) fonksiyonunun ayr k Fourier dnm hesaplanm t r. imdi

hesaplanan Fourier dnmnn tersini, yani ters Fourier dnmn hesaplayal m.

Ayr k ters Fourier dnm ba nt s aa daki gibidir.

)exp( f rk 2if N1f

1 N

0k k r =

=

Bu ba nt dan da grlecei gibi yap lacak ilem AFD ile ok benzerdir, yaln zca stel

ifadenin iareti deimitir.C Bu program Ters Fourier Dn m hesaplarC y(i)=giri verisi(spektral veri)(karma k)C df=frekans art m C dt= zaman rneklemesiC y(i)= k (zaman fonksiyonu)C

COMPLEX Y(0:100),XX,XCdimension x(0:100)DATA PI/3.1415927/open(5,file='fourier.DAT',status='old')

open(6,file='Tfourier.dat')read(5,*) NNN=NN-1DO 12 I=0,NNread(5,13)FRQ,XR,XI,AX,PXWRITE(*,13)FRQ,XR,XI,AX,PX

12 Y(I)=CMPLX(XR,XI)13 FORMAT(5F10.3)

DF=1./NNDT=1.DO 10 I=0,NXX=0.

DO 11 K=0,NXC=CMPLX(0,2.*PI*K*DF*I*DT)


60/62

66

11 X(I)=X(I)+Y(K)*CEXP(XC)WRITE(*,18)X(I)WRITE(6,18)X(I)

18 FORMAT(F8.4)10 CONTINUE

stopend

C ************************ CXFOUR.FOR *****************************C JFZ VER - LEM II DERS N YAZILMI TIRC Bu program ayr k Fourier dn m ifadesini kullanarakC Fourier spekrtumu hesaplarC x(i)=giri verisi(fk-ayr k zaman fonksiyonu)C frq(i)=frekansC amp(i)=genlik spektrumuC phase(i)= faz spektrumu(0-2pi aras nda tan mlanm t r)C y(i)= ik (fr-spektral de er)C xsp(i)=fourier katsay lar ndan hesaplanan spektrumC df=freakns (art m ) rneklemesiC dt=rnekleme aral C ******************** MAYIS-2000 MF *********************

COMPLEX Y(0:100),YCdimension x(0:100),AMP(0:100),phase(0:100),FRQ(0:100)DATA PI/3.1415927/open(5,file='CXFOUR.VER',status='old')open(6,file='CXFOUR.SON')read(5,*) NNN=NN-1read(5,*)(x(i),i=0,N)write(*,9)(I,x(i),i=0,N)

9 FORMAT(I3,F8.3)DF=1./nnDT=1.0DO 10 K=0,NNDO 11 I=0,NYC=CMPLX(0,-2*PI*K*DF*I)

11 Y(K)=Y(K)+X(I)*EXP(YC)Y(K)=Y(K)/NNWRITE(*,*)Y(K)

10 CONTINUEC spektrum hesaplan yor.

do 30 i=0,NNFRQ(I)=I*DFAMP(i)=CABS(Y(I))phase(i)=atan2(-AIMAG(Y(I)),REAL(Y(I)))write (*,*) AMP(i),phase(i)

30 CONTINUEWRITE(6,24)do 35 i=0,NN

35 if(phase(i).lt.0)phase(i)=phase(i)+2*piDO 25 I=0,NNR=REAL(Y(I))AIM=AIMAG(Y(I))


61/62

67

25 WRITE(6,15)FRQ(I),R,AIM,AMP(I),PHASE(I)24 FORMAT(5x,'FREKANS',2x,'GEREL B L',2x,'SANAL B L',2x,'GENL K',3x,

& 'FAZ')15 FORMAT(5F10.3)

stopend

CXFOUR.VER (VER DOSYASI)4

1 2 3 2

CXFOUR.SON (SONU DOSYASI)

FREKANS GEREL B LEEN SANAL B LEEN GENL K FAZ.000 2.000 .000 2.000 .000.250 -.500 .000 .500 3.142.500 .000 .000 .000 1.571.750 -.500 .000 .500 3.142

1.000 2.000 .000 2.000 .000

C ************************* FOURIER.FOR ****************************C JFZ-VER - LEM-II DERS N YAZILMI TIR.CC

Bu program Fourier katsay lar n trigonometrik ba nt lardanhesaplar,

C bu katsay lardan Fourier spekrtumu hesaplar.C Bu program nokta say s n n tek ve itf olmas durumlar al r.C x(i)=giri verisiC a(i)= a katsay lar C b(i)= b katsay lar

C dt= ornekleme aral g C f0= temel frekansC y(i)= fouerier serisiC amp(i)=fourier katsay lar ndan hesaplanan genlik spektrumuC phase(i)=fourier katsay lar ndan hesaplanan faz spektrumuC (N.CANITAZ,)-JFZ VER LEM-I,C (H.ZDEM R,)-JFZ VER LEM-II,C (M.F. ZER,2000)-JFZ VER LEM-II,C (M. BATH,1974) SPECTRAL ANALYSIS IN GEOPHYSICSC mfo-may s/2000C *****************************************************************

dimension x(0:100),a(0:100),b(0:100),y(0:100),

& amp(0:100),phase(0:100),F(0:100)open(unit=5,file='fourier.ver',status='old')open(unit=6,file='fourier.SON')data pi,dt/3.1415927,1.0/read(5,*) NNN=NN-1read(5,*)(x(i),i=0,N)write(*,9)(I,x(i),i=0,N)

9 FORMAT(I3,F8.3)M=NN/2MM=MWRITE(*,*)'M=',M

f0=1./(NN*dt)C fourier katsay lar hesaplan yor


62/62

write(*,*) 'a katsayilari'do 15 k=0,MMak=0.do 10 i=0,N

10 ak=ak+x(i)*cos(2.*pi*f0*i*k)a(k)=2.0*ak/(NN*dt)

15 write(*,*) a(k)write(*,*) 'b katsayilari'do 25 k=1,MMbk=0.do 20 i=0,N

20 bk=bk+x(i)*sin(2.*pi*f0*i*k)b(k)=2.0*bk/(NN*dt)

25 write(*,*) b(k)C spektrum hesaplan yor.

do 30 i=0,MMamp(i)=sqrt(a(i)**2+b(i)**2)phase(i)=atan(-b(i)/A(I))

30 CONTINUEDO 45 I=0,NYY=0.LL=Mif(2*M.eq.NN)LL=m-1DO 40 K=1,LLYY=YY+A(K)*COS((2.0*pi*f0*K*I))+B(K)*SIN(2.0*pi*f0*K*I)

40 CONTINUEY(I)=(A(0)/2.0)+yyif(2*M.eq.NN)y(i)=y(i)+(a(m)/2.0)*cos(2.0*pi*f0*M*i)

45 CONTINUEWRITE(*,*)'FOURIER ACILIMI'WRITE(*,36)(Y(I),I=0,N)

36 FORMAT(F8.3)DO 50 I=0,MMC1=IC2=NN

50 F(I)=C1/C2write(6,34)

34 format(2x,'Frekans',1x,'a-katsay',1x,'b-katsay',1x,'genlik',3x,'fa& z')

write(6,35)(F(I),a(i),b(i), amp(i),phase(i), i=0,MM)35 format(5f8.3)

stopend

FOURIER.VER (VERI DOSYASI)4

1 2 3 2

FOURIER.SON (SONU DOSYASI)

2. fourier dÖnÜŞÜmÜ

Documents