2. obrada mernih informacija -...

2 - 1

2. Obrada mernih informacija

Da bi se odredila brojna vrednost {X} neke fizičke veličine X potrebno je obaviti odgovarajuće

merenje. Kako se prilikom merenja neizbežno utiče na objekat merenja i veličinu čija se brojna

vredost želi odrediti, sledi da će rezultat merenja biti, ne broj, već interval u kome se, sa

određenom verovatnoćom, nalazi nepoznata brojna vrednost {X}. Jasno je da je rezultat

merenja korisniji i pouzdaniji, što su granice intervala uže a verovatnoća veća. U užem smislu,

merenje predstavlja određivanje intervala u kome smatramo da se nalazi prava brojna vrednost

neke merene veličine. U širem smislu, pod merenjem se podrazumeva kvantifikovanje i

klasifikacija objekata ili pojava u odosu na njih definisane fizičke jedinice. Oblast nauke koja

se bavi proučavanjem teorijskih i praktičnih aspekata određivanja brojnih vrednosti fizičkih

veličina u bilo kojoj oblasti nauke ili tehnologije zove se metrologija1. Suštinki koncept

metrologije čini merna sledivost – svojstvo rezultata merenja i postpuka kojim je on dobijen,

a na osnovu koga taj rezultat može biti stavljen u odnos sa pozantom i unapred dogovorenom

referencom kroz dokumentovan neprekinut lanac kalibracija i poređenja. Merna sledivost

dozvoljava poređenje rezultata merenja sa rezultatima drugih merenja obavljenih pod istim ili

drugačijim uslovima, u istoj ili nekoj drugoj laboratoriji bilo gde u svetu, kao i sa rezultatima

dobijenim u bilo kom vremenskom razmaku (1 s ili 100 godina).

2.1. Pojmovi tačnosti i preciznosti

Svaki rezultat merenja neizostavno sadrži grešku, koju ne možemo znati, jer ne znamo koji sve

faktori (osim merene veličine) i kako utiču na dobijeni rezultat. Ako se meri dužina nekog

objekta mernom trakom, tada se mora uzeti u obzir da dužina merne trake zavisi od temperature

okoline. Temperatura okoline nije veličina koja se meri ali njene promene menjaju

karakteristika mernog instrumenta i time stvaraju uslove i da rezultat merenja sadrži veću ili

manju grešku. Ako se meri masa higroskopnog materijala vagom, tada treba znati da masa

objekta merenja zavisi od vlažnosti vazduha. Vlažnost vazduha nije merena veličina, ali njene

promene menjaju karakteristike samog objekta merenja i time stvaraju uslove i da rezultat

merenja sadrži veću ili manju grešku. Ili ako se, na primer, meri temperatura tečnosti u sudu

pomoću živinog termometra, mora se uzeti u obzir činjenica da uranjanjem termometra u

tečnost dolazi do promene temperature i tečnosti i termometra. Fizičke veličine čije brojne

vrednosti ne želimo odrediti, ali utiču na rezultat merenja, nazivaju se uticajne veličine. Pored

toga, samim postupkom merenja mi menjamo karakteristike objekta merenja i time pravimo

veću ili manju grešku. Ne postoji proces merenja toliko izolovan od delovanja faktora iz

okruženja, ili samih mernih instrumenata, da na rezultat utiče samo merena veličina.

Dakle, nije pitanje da li je merenje tačno, već, da li smo u stanju pravilno proceniti

dezinformaciono dejstvo neizbežnih grešaka merenja.

Ocena, da li neko merenje ispunjava svoju svrhu ili ne, moguća je tek ako je, pored samog

rezultata merenja, poznato i u kojim granicama oko tog rezultata se može razumno očekivati

prava vrednost merene veličine. To će se znati ako je rezultatu merenja pridružen još jedan

1 Od grčkih reči: metron (μέτρον) sa značenjem „mera“ i logos (λόγος) sa značenjem „objašnjenje“, „priča“. Ne

treba je brkati sa meteorologijom, koja označava „nauku o atmosferi“.


2 - 2

podatak – njegova merna nesigurnost, odnosno interval u kome se sa određenom

verovatnoćom nalazi prava vrednost merene veličine.

Određivanje merne nesigurnosti je u najvećoj meri standardizovano, ali nas ni u kom slučaju

ne može spasti potrebe da što je više moguće poznajemo sam proces merenja. Granice merne

nesigurnosti određene su tačnošću i preciznošću merenja. Pod tačnošću merenja

podrazumeva se bliskost slaganja rezultata merenja (ili srednje vrednosti rezultata kod

višestrukih merenja) sa stvarnom vrednošću fizičke veličine. Preciznost merenja je mera

rasipanja rezultata višestrukih merenja jedne iste veličine obavljenih pod istim uslovima (tzv.

uslovima ponovljivosti). Preciznost pojedinačnog rezultata merenja nije definisana.

Da bi se u potpunosti razumela razlika između pojmova tačnosti i preciznosti, moguće je

posmatrati slučaj gađanja u metu od strane četiri strelca različitih sposobnoti, kao na slici 2.1.

Slika 2.1. Primeri rezultata gađanja sa različitim tačnostima i preciznošću

U četiri primera na slici 2.1, prvi strelac (kranje levo) gađao je i tačno i precizno, u smislu da

je srednja vrednost njegovih pogodaka bliska centru mete (željeni rezultat) i da su pogodaci

blisko grupisani. Ovo je uvek poželjna situacija i u streljaštvu i u merenjima, ali uređaji i

postupci koji obezbeđuju i tačne i precizne rezultate merenja, su po pravilu veoma skupi. Reč

je obično o nacionalnim ili međunarodnim etalonima vrhunske izrade. Drugi strelac (drugi

sleva) gađao je precizno, ali su mu pogoci grupisani daleko od centra. Ako bismo imali ovakvo

merenje, tada bi se, uz odgovarajući etalon, ono moglo svesti na prvi slučaj, baš kao što bi se

podešavanjem nišana ili uzimanjem u obzir bočnog vetra takvo gađanje moglo korigovati. Tada

govorimo o merilima koja predstavljaju prenosne etalone. Prenosni etaloni nemaju veliku

tačnost, ali zato im je preciznost uporediva sa znatno skupljim etalonima. Njihova osnovna

namena je poređenje različitih etalona na istom hijerarhijskom nivou, npr. međunardna

konvencija na kojoj se porede nacionalni etaloni svih država. Kako se ova poređenja obavljaju

prenošenjem opredmećenih mera na istu fizičku lokaciju, a transport pravog etalona je suviše

skup i rizičan, onda se koriste posrednici u poređenju – prenosni etaloni. Treće gađanje (treća

meta sleva), odnosno treći tip merenja se najčešće sreće u praksi. Reč je o tačnom merenju, ali

ne previše preciznom. Ovde je reč o klasičnom merenju pomoću metoda i merila niže

metrološke klase, koja su jeftinija i čija upoteba je ekonomski opravdana u svakodnevnom

prometu.

Da bi se procenila preciznost višestrukog merenja obavljenog pod istim uslovima dovoljno je

posmatati statistiku samih rezultata merenja. Neka je srednja vrednost nekog višestrukog

merenja sa N ponavljanja data sa x ,

tačno i

precizno

netačno i

neprecizno

netačno i

precizno

tačno i

neprecizno


2 - 3

N

i

ixN

x1

1 (2.1)

Tada se, za procenu preciznosti merenja, može koristiti standardna devijacija σ rezultata

merenja prema izrazu

N

i

i xxN 1

2

1

1 (2.2)

Što je standardna devijacija manja, merenje se smatra preciznijim. Za preciznost merenja se

obično usvaja neki umnožak standardne devijacije k·σ, pri čemu je k neki pozitivan realan broj.

Poslednji primer sa slike 2.1 (krajnje desno) mogao bi, naizgled, označavati merenje koje nije

poželjno u metrologiji jer je ono i neprecizno i netačno. Ipak i to je nekakvo merenja, koje nam

ponešto govori o brojnoj vrednosti merene veličine. I takav rezultat je upotrebljiv, ako se

poznaju tačnost i preciznost. Zapravo, ako se dobro razmisli, ta napomena važi za svaki od

rezultata sa slike 2.1. Da bismo to pojasnili, pridružimo rezultatima sa slike 2.1 još četiri

rezultata koji su daleko netačniji i neprecizniji, i moraju se prikazati u većoj razmeri, kao na

slici 2.2. Posmatrana zasebno, četiri nova rezultata mogla bi se međusobno vrednovati slično

kao i ranije. Ali u poređenju sa ranijim rezultatima, ocena njihovog kvaliteta se drastično menja.

Čak i poslednji, najgori, rezultat iz prethodnih gađanja sa slike 2.1, u poređenju sa novim

rezultatima, deluje daleko kvalitetniji.

Slika 2.2. Dodavanje novih rezultata gađanja i prikaz u identičnoj razmeri.

Zato se pri vrednovanju bilo kog rezultata mora voditi računa o apsolutnim vrednostima

tačnosti i preciznosti. Dakle, iz samog rezultata merenja nije moguće dobiti informaciju o

njegovoj tačnosti, već je za to neophodna najbolja objektivna referenca koja nam je na

raspolaganju. Referentni etalon je referenca, koja uglavnom ima najviši metrološki kvalitet

raspoloživ u datoj laboratoriji ili geografskoj lokaciji. Iz njega se izvode sva ostala merenja koja

se tu obavljaju. Jedino poređenje sa referentnim etalonom (direktno ili preko prenosnih i radnih

etalona), omogućava objektivnu procenu tačnosti merenja.

Postupak provere tačnosti nekog merila naziva se etaloniranje. Etaloniranje je zakonom

propisano u svim državama kao obavezujuće za sva merila koja se koriste u javnom prometu.

Prethodni rezultati

Novi rezultati


2 - 4

Etalonirano merlo dobija žig o etaloniranju, čiji je izgled definisan u okviru odgovarajućih

propisa i uverenje o etaloniranju. Žigom i uverenjem se garantuju granice tačnosti merila ili

mernog postupka u odnosu na referentne etalone. Da bi određena laboratorija mogla obaljati

etaloniranje merila i izdavati žigove i uverenja, neophodno je da bude kompetentna za

obavljanje specifičnih ispitivanja i mora biti ovlašćena od strane nadležnog pravnog tela.

Ovakve ovlašćene laboratorije nazivaju se akreditovane laboratorije. Pored toga, nekim

merilima u javnom prometu mora biti izdato i uverenje o tipu merila, kojim se potvrđuje

pogodnost upotrebe tih merila u određene svrhe. Izdavanje uverenja o tipu se ne radi na osnovu

overe svakog pojedinačnog uređaja, već na osnovu određenog uzorka. Uverenje o tipu obično

se izdaje proizvođačima za celu seriju merila, ispitivanjem potebne količine novih uređaja,

zavisno od vrste i principa njihovog rada.

2.2. Greške merenja

Intuitivno, greška prdstavlja ukupno odstupanje rezultata merenja od prave vrednosti fizičke

veličine (izraz 2.3).

Greška merenja = izmerena vrednost – prava vrednost (2.3)

Međutim, ova definicija nema neki praktičan značaj, jer pravu vednost nikada ne znamo (ako

bismo je znali, čemu merenje?) i stoga, grešku iskazanu na ovakav način nikada ne bismo mogli

odrediti. Međutim, gornja definicija može se svesti na vektorski zbir tačnosti Δ i preciznosti k·σ

merenja (izraz 2.4).

kG (2.4)

Dokaz ove tvrdnje dat je na slici 2.3.

Slika 2.3. Apsolutna greška merenja

Najčešće se u savremenoj specifikaciji merila i mernih metoda uzima da je k = 1. Kasnije ćemo

pokazati da to nije uvek baš najbolji izbor. Da bi definicija 2.4. nedvosmisleno obuhvatila

Greška merenja Greška

merenja Δ

k·σ


2 - 5

najgori mogući slučaj greške2, vektori tačnosti i preciznosti merenja se uvek sabiraju algebarski

i skalarno, kao da su kolinerani. Tako se dobijaju sigurne granice greške:

kG (2.5)

Greška definisana izrazima 2.3, 2.4 i 2.5 ima istu fizičku dimenziju (jedinicu) kao i veličina

koja se meri i nazivamo je apsolutna greška. Ona je karakterisana svojom veličinom i znakom.

Atribut „apsolutna“ ovde ne treba mešati sa pojmovima „moduo“ i „apsolutna vrednost“ u

matematici.

Kada je merenje tačno, odnosno kada se smatra da je tačnosti merenja Δ jednaka nuli ili je,

zahvaljujući etaloniranju, njena vrednost „poznata“, tada se apsolutna greška može svesti na

preciznost merenja:

kG (2.6)

Ovo je najčešći slučaj u masovnim industrijskim i laboratorijskim merenjima, jer se prozvođači

merila i inženjeri koji osmišljavaju merne metode trude da razviju takva merenja koja su

inherentno tačna (teorijski dokazano) i/ili kod kojih je tačnost unapred poznatom zahvaljujući

poređenjem sa referentnim etalonom. Tada je vrednost data izrazom 2.6 tzv. rezidualna

(preostala) greška merenja.

Relativnom greškom nazivamo količnik apsolutne greške i prave (tj. srednje) vrednosti

merene veličine:

x

G (2.7)

Relativna greška je neimenovan broj, koji se može izraziti u procentima, promilima, ppm-ovima

(engl. parts per million – jedan milioniti deo ili 10-6) ili ppb-ovima (engl. parts per billion –

jedan milijarditi deo ili 10-9).

Da bi se bolje proučilo parazitno delovanje grešaka merenja, uobičajeno je da se uvedu podele

grešaka, i to prema različitim kriterijumima. Jedan od opštijih kriterijuma je da se podela obavi

prema načinu njihovog nastajanja. Prema ovom kriterijumu, greške se dele na grube,

sistematske i slučajne.

Slučajne greške

Jedan od načina da se poveća poverenje u rezultat merenja je da se, pod istim uslovima, vrše

ponovljena merenja. Bez potrebe da se potežu teorijska razmatranja, eksperimentalna činjenica

je da, kada se merenja ponavljaju, dobijeni rezultati se u manjoj ili većoj meri međusobno

rasipaju. To se objašnjava delovanjem velikog broja različitih uticajnih veličina na slučajan

način.

Na slici 2.4 prikazan je tipičan slučaj kod N ponovljenih merenja veličine x. Rezultati se

nepredvidivo i haotično raspoređuju, ali kao da se grupišu, približno simetrično, oko nekih

vrednosti (gornji grafik).

2 Tzv. Marfijev zakon u metrologiji


2 - 6

Mogli bismo formirati intervale, širine x, merene veličine x i prebrojati pojedinačne rezultate

merenja koji pripadaju odgovarajućim intervalima, kao što je to urađeno na srednjem grafiku

na slici 2.4. Dobio bi se tipičan dijagram frekvencija, dobro poznat u matematičkoj statistici.

Ako bi se neograničeno povećavao broj pojedinačnih merenja N, i, istovremeno, smanjivala

širina intervala x, moglo bi se, uz još neke blage pretpostavke, stići do funkcije, prikazane na

donjem grafiku na slici 2.4, pomoću koje je moguće, na osnovu rezultata ponovljenih merenja,

oceniti intervale u kojima se, razumno, nalazi prava vrednost merenje veličine. Na osnovu slike

2.4, može se predvideti koliko se pojedinačnih rezultata merenja nalazi u nekom intervalu

merene veličine. Rasipanje rezultata merenja dato slikom 2.4 zove se rasipanje po normalnoj

raspodeli, jer se ta respodela najčešće sreće u prirodi. Dalje, a to nas konačno i interesuje, moći

ćemo, na osnovu znanja matematičke statistike, da određujemo verovatnoće sa kojima se prava

vrednost merene veličine nalazi u nekim zadatim intervalima merene veličine.

Slika 2.4. Primer rasipanja pojedinačnih rezultata merenja na slučajan način

Ovi zaključci su sumirani u Tabeli 2.1.

Tabela 2.1. Intervali u kojima se nalaze prave vrednost merene veličine, i njima odgovarajuće

verovatnoće

p (%) Interval

68,3 x

95,4 2x

99,7 3x

x

N

x

ΔN

x

dN

Δx

dx

Δx

x

σ σ

e σ √2π

1 2σ2

(x –x)2


2 - 7

Sa verovatnoćom od preko 99 % tvrdi se da se merena veličina x nalazi u intervalu

3,3 xx oko aritmetičke sredine x . Iz ovog razloga je prvobitna konvencija među

metrolozima bila da za apsolutnu grešku sa kojom deklarišu mernu nesigurnost merila i mernih

metoda bude usvoji vrednost kod koje je k = 3 (izrazi 2.4 i 2.5), jer se na taj način garantovalo

da je iskazanom greškom obuhvaćeno preko 99 % svih rezultata merenja.

Kada raspodela po kojoj se rasipaju rezultati merenja nije poznata, može se koristiti

Čebiševljeva nejednakost za procenu granica greške. Čebiševljeva nejednakost kaže da je

najviše 1/k2 rezultata udaljeno k·σ od srednje vrednosti merenja. Vrednosti su date tabelom 2.2.

Primenom Čebiševljeve nejednakosti dobijaju se znanto nepovoljnije (šire) granice za grešku

merenja, nego što bi to bio slučaj da se koristila neka poznata raspodela rasipanja. Međutim,

njena dobra osobina je što je univerzalna i izuzetno jednostavna, pa uvek stoji na raspolaganju

kao alternativa dugim računskim procesima i fizičkom modelovanju velikog broja uticajnih

veličina.

Tabela 2.2. Procenat rezultata koju upadaju u interval k·σ za različite vrednosti parametra k

k Interval p (%)

1 x 0,0

2 2x 50,0

1,5 5,1x 55,6

2 2x 75,0

3 3x 88,9

5 5x 96,0

10 10x 99,0

Pokažimo sada jedan sasvim drugačiji primer. Pretpostavimo na trenutak da su rezultati merenja

raspoređeni kao na slici 2.5, tj. da se svi rezultati nalaze se na obodu kružnice poluprečnika r

opisane oko njihove srednje vrednosti x .

Slika 2.5. Slučaj uniformnog rasipanja rezultata merenja

Varijansa takvog merenja je

r 3r

x

x1 x2 x3

xN

xi xi + 1


2 - 8

rN

Nrr

Nxx

N

N

i

N

i

i

11

1

1

1

1

2

1

2 (2.8)

Uzimanje područja opisanog kružnicom poluprečnika 3σ > 3r, kao granice apsolutne greške,

bilo bi nerazumno veliko, jer je već kružnicom prečnika σ > r obuhvaćeno čak 100 % rezultata

merenja. Proizvođači savremene merne opreme danas se trude da razviju izuzetnu ponovljivost

rezultata merenja, koja je bliska situaciji prikazanoj na slici 2.5, a koja opravdava deklarisanje

znanto užih granica merne nesigurnosti i garantuje prestiž u odnosu na konkuranciju. Krajem

XX veka proizvođači su izlobirali da se kao standard za savremena merila ipak specificira

merna nesigurnost koja je određena vrednošću k = 1, tj. sa ±σ. To nije obavezno naučno i

inženjerski utemeljeno. Na osnovu tabela 2.1 i 2.2 jasno je da postoje mnogi slučajevi kod kojih

apsolutnom greškom datom na takav način može zavarati korisnika da pomisli kako je rezultata

merenja bolji od stvarnog. Drugim rečima, ako se greška ponaša po normalnoj raspodeli a

merna nesigurnost instrumenta je deklarisana vrednošću od svega jednog σ, i mi obavimo jedno

merenje, postoji čak 31,7 % šanse da stvarna greška tog merenja bude znatno veća od

deklarisane. Posmatrajući samo deklarisanu vrednost, mi toga nećemo biti svesni. U nekim

drugim slučajevima, čak 100 % svih merenja može imati grešku veću od deklarisane vrednosti

(tabela 2.2 za k = 1). Zato se deklarisana merna nesigurnost savremenih merila mora uzeti sa

dosta opreza i moraju se dobro proučiti principi rada uređaja, kao i priroda svih važnijih

uticajnih veličina, pre nego što se proceni doprinos merila ukupnoj grešci mernog postupka.

Sistematske greške

Sistematska greška je greška koja nastaje po nekoj zakonitosti. Ako se razume razlog njenog

nastanka, mogu se unapred predvideti njena veličina i predznak ili se, nakon merenja, mogu

izvršiti korekcije dobijenih rezultata.

Pretpostavimo da npr. imamo časovnik, koji je pogrešno podešen da žuri 5 minuta (konstantna

greška). Kad god ga pogledamo, na sistematski način, očitavamo rezultat merenja koji odstupa

za pet minuta od “tačnog” vremena. Ako razumemo način nastajanja greške merenja, možemo

uvek korigovati očitano vreme, ili, konačno, podesiti časovnik na ispravno pokazivanje

vremena. Nešto složeniji primer je, recimo, časovnik koji kasni jedan minut na dan (linearna

greška). Znajući kada je časovnik poslednji put korigovan, u stanju smo da, uprkos evidentnoj

sistematskoj greški, ne menjajući sam časovnik, uvek znamo “tačno” vreme. Iako je ovaj

postpuak matematički složeniji od onog u prethodnom primeru, on je moguć i neophodno ga je

sprovesti kako bi se dobili korigovani rezultati merenja.

Razmotrimo merenje temperature tečnosti termometrom. Znajući izmerenu temperaturu i

toplotne kapacitete termometra i tečnosti, možemo izračunati kolika je temperatura tečnosti bila

pre samog merenja (što nas je, verovatno, i interesovalo), a ne kolika je združena temperatura

tečnosti i termometra nakon što smo merenjem poremetili sistem.

Za otkrivanje sistematskih grešaka neophodno je poznavanje principa merenja, primenjene

merne metode, upotrebljenih instrumenata i uslova pod kojima se merenje izvodi. Uzrok

nastajanja sistematskih grešaka je, slično kao i kod slučajne greške, dejstvo uticajnih veličina.

Ne postoji tako izolovan proces merenja na koji ne bi delovala ni jedna uticajna veličina.

Međutim, za razliku od izvora slučajnih grešaka, koje na merenje deluju na toliko složen način


2 - 9

da ih je nemoguće tretirati algebarskim matematičkim alatima, pa ih smatramo slučajnim, ovde

je tu sistematičnost moguće matematički modelovati i ukloniti iz rezultata merenja.

U svrhu pojašnjenja, razmotrimo problem određivanja putanja kretanja nebeskih tela na

zemljinoj nebeskoj sferi. Prema ranije prihvaćenoj geocentričnoj doktrini, Zemlja je smatrana

centrom Univerzuma, oko koga su se kretala sva ostala nebeska tela. Viševekovni pokušaji da

se naprave matematički modeli, koji bi u potpunosti opisali ova kretanja na osnovu njihovih

projekcija na nebeskom svodu, su propali (slika 2.6). Nakon mnogo vekova bavljenja ovom

tematikom, matematičari geocentričke doktrine su zaključili da je reč o slučajnim procesima

koje je nemoguće modelovati analitički, tj. da su međusobni položaji Zemlje i većine planeta

sasvim izvesno, nasumični i „pod uticajem Božije volje“. Ovaj pristup se koristi i danas u

pokušajima da se opišu mnogi procesi, čije je delovanje toliko složeno, da bi vreme potrebno

za njihovo opisivanje bilo nezamislivo dugo (čak i za najbrže današnje računare), pa ih je lakše

tretirati alatima matematičke verovatnoće i statistike. To ne znači da su oni istinski slučajni po

svojoj prirodi, već ih pridev „slučajan“ zapravo, označava kao „previše komplikovan“.

Slika 2.6. Primer pokušaja da se komplikovanim matematičkim modelom opiše retrogradno

kretanje egzoplanete u geocetrničnom sistemu

Kada se za neke, naizgled veoma složene procese, ipak pronađe odgovarajući matematički

model, to se obično postiže posmatranjem tih procesa iz neke druge „perspektive“. Tako se,

npr. svi međusobni položaji planeta u sunčevom sistemu lako opsiju Keplerovim zakonima,

ukoliko se usvoji da se planete kreću oko Sunca, a ne oko Zemlje. Posmatrajući kretanja planeta

na način dat na slici 2.7, dolazi se do zaključka da taj proces, ne samo što nije slučajan, već je

krajnje jednostavan za opisivanje.

Slično je i sa greškama merenja. One greške koje su rezultat veoma složenih procesa, u kojima

je broj uticajnih veličina nezamislivo velik i pred čijim smo modelovanjem bespomoćni,

nazivamo „slučajne greške“. Sa druge strane, greške onih procesa koji se mogu analitički opisati

i predvideti, pa samim tim i njihov uticaj na rezultat merenja otkloniti, razlikovaćemo od

prethodnih tako što ćemo ih nazvati „sistematskim greškama“.


2 - 10

Slika 2.7. Posmatranjem stvari iz druge projekcije dolazi se do mnogo jednostavnijeg opisa

fizičkih pojava

Poznavajući uzroke nastajanja, može se, u zavisnosti od svrhe i zahteva u pogledu tačnosti

merenja, rezultat koji sadrži sistematsku grešku korigovati, mogu se samo utvrditi granice

greške, ili se rezultat merenja može ostaviti nekorigovan. Sistematsku grešku nikako ne treba

pobrkati sa greškom koja ima stalan predznak, jer postoje i primeri kod kojih se sistematska

greška ponaša po takvoj zakonitosti da joj se predznak menja. Npr. ako je sistematska greška

proporcionalna sinusu nekog ugla, tada će za određene vrednosti tog ugla greška biti pozitivna,

a za neke druge vrednosti, negativna.

Analiziriajući striktno definiciju sistematske greške, moglo bi se pomisliti da postoje i

sistematske greške koje su neotklonjive. U situacijama kada je, recimo, poznato kvalitativno

dejstvo (analitička zakonitost) neke uticajne veličine na postupak merenja, ali ne i kvantitativna

promena koju ta uticajna veličina izaziva (parametri te zakonitosti su neodređeni), moglo bi se

uslovno govoriti o neotklonjivim sistematskim greškama. Dobar primer za takvu grešku je

merenje otpornosti pomoću voltmetra i ampermetra, kao na slici 2.8.

Slika 2.8. Merenje otpornosti U/I metodom

Prema Omovom zakonu otpornost je jednaka količniku napona i struje na otporniku, pa se

merenjem ov dva parametra može odrditi njena vrednost. Međutim, poznato je da svaki realan

ampermetar ima malu, ali konačnu unutrašnju otpornost zbog koje će voltmetar pokazivati zbir

napona na ampermetru i na otporniku. Proizvođači ampermetara uvek deklarišu unutrašnju

R

V

A


2 - 11

otpornost i greška koju ona unosi čini se, zbog toga, poznata i otklonjiva. Međutim, kada kroz

ampermetar teče struja njegovi namotaji se greju i unutrašnja otpornost se povećava. Što je jača

struja, namotaji će se više grejati i unutrašnja otpornost će više odstupati od one koja je

deklarisana. Struja kroz ampermetar, sa druge strane, zavisi od otpornosti R koja se meri i koja

je nepoznata. Dakle, iako postoji jasna matematička zakonitost koja pokazuje kako bi se mogla

izvršiti korekcija, iako je čak jasan i predznak te greške, ipak se tačna vrednost ove sistematske

greške ne može u potpunosti znati. Drugim rečima, zbog složenosti faktora utiču na grešku

merenja, u ovom slučaju je ispravnije tretirati kao slučajnu, a ne kao sistematsku. Alterntivno,

može se napraviti kompromis, pa se od rezultata merenja može oduzeti deklarisana vrednost

unitrašnje otpornosti ampermetra, nakon čega ostaje mala greška nepoznavanja te otpornosti

zbog zagrevanja namotaja ampermetra.

Grube greške

Obično se pod grubim greškama podrazumevaju greške koje “mnogo” odstupaju od prave

vrednosti merene veličine. Ovo su greške koje nastaju iz subjektivnih razloga (nedovoljna

pažnja operatera, loši uslovi merenja, rad sa neispravnom mernom opremom, nedovoljno

poznavanje mernih metoda ili mernih instrumenata) ili objektivnih razloga (znatne smetnje u

radu instrumenata, vremenski ograničenog i/ili slučajnog karaktera). Grube greške se mogu

shvatiti i kao greške koje se ni na koji način ne mogu dovesti u vezu sa rezultatima merenja ili

postupkom merenja.

Dalji rad sa pojedinačnim rezultatom merenja koji sadrži grubu grešku može dovesti u pitanje

vrednost celokupnog merenja. Stoga je važno prisustvo grube greške otkriti, a zatim takav

rezultat eliminisati iz dalje obrade. Ponekad su grube greške očigledne (ali ih treba tražiti), ali

se češće one izdvajaju upotrebom nekog od postojećih statističkih kriterijuma. Uklanjanjem

subjektivnih razloga može se uticati na njihovo ređe pojavljivanje, ali se ne može garantovati

njihova potpuna elminacija.

Značaj otkrivanja grubih grešaka posebno raste kada se prikuplja i automatski obrađuje velik

broj pojedinačnih rezultata merenja, gde operater nema direktan uvid u pojedinosti procesa

prikupljanja i obrade rezultata. Tada je neophodno u algoritme obrade uključiti i rutine za

otkrivanje grubih grešaka.

Ovde ćemo razmotriti jednu moguću metodu za otkrivanje grubih grešaka, koja je veoma često

u upotrebi, akoja se zove „metoda 3σ“ (tri-sigma) Posmatrajući vrednosti iz tabele 2.1, uočava

se da je verovatnoća odstupanja nekog pojedinačnog rezultata merenja za više od N/3

od srednje vrednosti, manja od 0,3 %. Ako se među rezultatima merenja uoči takva vrednost,

onda je opravdano posumnjati da taj rezultat u sebi najverovatnije krije grubu grešku. Drugim

rečima, smatramo da je mnogo verovatnije da je tokom dobijanja tog očitavanja načinjena gruba

greška, nego da se pojavio neki „prirodan“ uzrok greške, koji bi merenu vrednost toliko

„udaljio“ od očekivanog rezutlata. Nakon što se u seriji od N merenja uoči K rezultata koji

najverovatnije sadrže grubu grepku, tada se moraju izračunati nova korigovana srednja vrednost

x̂ i varijansa ̂ merenja prema formulama

KN

i

ixKN

x1

1ˆ (2.9)


2 - 12

KN

i

i xxKN 1

2ˆ

1

1̂ (2.10)

Dalje se ovaj postupak ne sprovodi nad preostalim skupom od (N – K) rezultata, jer bi se moglo

destiti da upornom primenom kriterijuma 3σ iz merenja izbacimo sve rezultate, što je

besmisleno.

Ako se gruba greška shvati samo kao neipravnost koja na neki način utiče na merenje, onda se

pod njih mogu klasifikovati i greške koje ne dovode do velikih odstupanja, pa ih je kriterijumom

3σ nemoguće otkriti. Pretpostavimo da je displej instrumenta pokvaren i da se cifra jedinice ne

očitava pravilno, već stoji stalno na vrednosti 0. Prilikom očitavanja rezultata koji su reda

hiljade ili desetina hiljada na datom displeju, gruba greška može biti nekoliko redova

veličinemanja od nekih drugih oblika grešaka (npr. slučajne greške). Tada gore opisanim

postupkom nećemo uspeti eliminisati grubu grešku iz rezutlata merenja. Srećom, kada

kriterijum 3σ ne daje rezutlate, verovatno je reč o grešci koja se ne mora ni otklanjati, jer je njen

uticaj na rezultate merenja uporediv sa drugim oblicima grešaka.

Uzimajući u obzir upravo navedenu podelu, apsolutna greška neobrađenih rezultata merenja

može se napisati i kao

G = ±slučajna greška + sistematska greška + gruba greška (2.11)

Kada se obrade rezultati merenja, kada se uoče i eliminišu sve grube greške, ili preduzmu mere

da do njih ne dođe, i kada se uzmu u obzir sve otklonjive sistematske greške, tada bi krajnji

rezultat merenja trebalo da ima apsolutnu grešku koja se sastoji samo od slučajne greške

Gnakon obrade = ±slučajna greška (2.12)

2.3. Iskazivanje merne nesigurnosti mernih instrumenata

Merna nesigurnost je jedna od osnovnih metroloških karakteristika svakog mernog instrumenta

i može se deklarisati na više načina:

Granicama apsolutne greške;

Na primer:

za ampermetar, G ±0,5 A, ili, drugim rečima, proizvođač ampermetra tvrdi da prava

greška merenja, koju i dalje ne znamo, ne prelazi po veličini 0,5 A.

Granicama relativne greške;

Na primer:

za merilo otpornosti, Γ = ±0,5 %; znači, za rezultat merenja od 1000 Ω, greška merenja

nije veća od 5 Ω.

Formulom;

Na primer:

G = ±(0,1 % izmerene vrednosti + 0,02 % gornje granice mernog opsega + 10 µV)


2 - 13

Klasom tačnosti kada je apsoutna greška merenja instrumenta konstantna na celom

opsegu;

Na primer: rezultati merenja voltmetrom opsega 150 V i klase tačnosti 1, ne bi trebalo

da se razlikuju od prave vrednosti merenog napona za više od 1,5 V (ako je voltmetar

ispravan). Ako se klasa tačnosti instrumenta dometa xmax (αmax podeoka) označi sa kl

(npr. za ampermetar klA, za voltmetar klV itd.) i ako je očitana vrednost x (α podeoka),

tada se relativna greška merenja tog očitavanja dobija sledećim izrazom:

klklx

x

maxmax (2.13)

Drugim rečima, relativna greška je najmanja na kraju opsega i iznosi kl. Za sve ostale

vrednosti očitavanja, relativna greška će biti veća.

Tabelom;

Na primer:

Tabela 2.3. primer tabelarnog iskazivanja merne nesigurnosti instrumenta

α (podeoci) ±Γ (%)

1 12

2 8

3 5

4 4

5-10 3

Grafički;

Na primeru sa slike 2.9 grafički je prikazana apsolutna greška G, koju ima neki

zamišljeni ampermetar opsega 10 A, a koja se može razlikovati od vrednosti do

vrednosti unutar tog opsega. Linija kojom se spajaju vrednosti na takvom grafiku greške

nije iterpolaciona kriva, već isključivo izlomljena linija.

Slika 2.9. Primer iskazivanja greške grafički

G (mA)

I (A) 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


2 - 14

2.4. Indirektna merenja i račun greške

Merenje kod kojeg pomoću merila očitavamo brojnu vrednost nepoznate fizičke veličine ili je

određujemo direktnim poređenjem sa nekom fizičkom pojavom ili procesom nazivamo

direktno merenje. Određen broj fizičkih veličina nije moguće meriti na ovakav način, već se

njihova vrednost mora odrediti posredno, merenjem drugih fizičkih veličina i potom primenom

odgovarajuće matematičke transformacije date odgovarajućom teorijom. Takva merenja

nazivamo indirektna merenja. Ponekad se neke veličine mere indirektno čak i kada postoji

direktna metoda za određivanje njihove brojne vrednosti, ali se, recimo, ispostavlja da se

indirektnim merenjem može ostvariti manja greška. Primer indirektnog mernja je određivanje

površine nekog ravnog pravouganong objekta. Umesto da se meri direktno površina u m2, mere

se dužina i širina objekta u metrima, pa se množenjem ove dve vličine izračunava površina. Ili

npr. ako nas zanima električna otpornost nekog otpornika, možemo je odrediti propuštanjem

električne struje kroz taj otpornik i merenjem te struje i napona na krajevima otpornika. Potom

se otpornost određuje, prema Omovom zakonu, kao količnik izmerenog napona i izmerene

struje.

Postavlja se pitanje kako proceniti grešku indirektnog merenja. Ako smo direktno izmerili neke

fizičke veličine x1, x2,…, xn i poznajemo njihove greške Gx1, Gx2,…,Gxn sa kolikom greškom

zapravo poznajemo fizičku veličinu y, koja se dobija transformacijom pomoću determinističke

neprekidno diferencijabilne funkcije f:

),...,,,,...,,( 2121 mn CCCxxxfy (2.14)

gde su C1, C2,…,Cm matematičke konstante.

Totalan diferencijal dy dat je izrazom 2.15.

n

i i

mn

n

n

mn

mnmn

xx

CCCxxxf

xx

CCCxxxf

xx

CCCxxxfx

x

CCCxxxfy

1

i2121

2121

2

2

21211

1

2121

d),...,,,,...,,(

d),...,,,,...,,(

...d),...,,,,...,,(

d),...,,,,...,,(

d

(2.15)

i može se koristiti za procenu apsolutne greške merenja. Prelaskom na konačne intervale

dy → Δy = Gy i dxi → Δxi = Gxi, dobija se da je

n

i

x

i

mny G

x

CCCxxxfG

1

2121

i

),...,,,,...,,( (2.16)

S obzirom da greške Gxi nemaju poznat preznak, one se zamenjuju svojim apsolutnim

vrednostima kako ne bi došlo do njihovog međusobnog poništenja. Tada se jednakost 2.16

svodi na nejednakost 2.17.


2 - 15

n

i

x

i

mny G

x

CCCxxxfG

1

2121

i

),...,,,,...,,( (2.17)

Gornji izraz predstavlja sigurne granice apsolutne greške merenja indirektno merene veličine

y. Da bi se dobio izraz za sigurne granice relativne greške, koristi se osobina funkcije

prirodnog logaritma, da prilikom diferenciranja, „izbacuje“ svoj argument u imenilac. Tako se

dobija

n

i

xmn

i

y

y GCCCxxxfxy

G

1

2121 i),...,,,,...,,(ln (2.18)

Da bi izrazi 2.17 i 2.18 bili jasniji i da bi se pokazao njihov pun smisao, pokazaćemo njihovu

primenu na nekoliko primera.

Primer 1

Pretpostavimo da se brojna vrednost indirektno merene veličine y1 dobija množenjem direktno

izmerene vrednosti x1 sa fizičkom konstatnom C1 (konstanta koja može imati fizičku jedinicu,

poput, recimo ε0 ili μ0).

11 xCy (2.19)

Postavlja se pitanje sa kolikom greškom je poznata veličina y1, ako je poznata greška

određivanja brojne vrednosti veličine x1? Primenom formule 2.17 dobija se

111

1

1)(xxy GCG

x

xCG

(2.20)

Za relativnu grešku se dobija

1

111

1

111

x

xxy

yx

G

xC

GC

y

G

(2.21)

Dakle, sledi da množenje sa konstantom ne menja relativnu grešku merenja, ali menja apsolutnu

grešku.

□

Primer 2

U narednom prmeru razmotrimo slučaj kada se brojna vrednost indirektno merene veličina

dobija sabiranjem ili oduzimanjem dve direktno izmerene brojne vednosti.

212 xxy (2.22)

Tada je apsultna greška


2 - 16

21212

2

21

1

21 )()(xxxxy GGG

x

xxG

x

xxG

(2.23)

A relativna

21

21212

2

21

2

21

1

212

2

211

1

212

xx

xxxxy

yxx

x

xx

x

xx

G

x

x

xx

G

x

x

xx

GG

y

G

(2.24)

Sledi da se prilikom sabiranja direktno merenih veličina, apsultna greška dobija sabiranjem

apsolutnih vrednosti grešaka pojedinačnih merenja.

□

Primer 3

Veoma često se neka veličina izračunava kao količnik ili proizvod dve druge merene veličine.

213 xxy (2.25)

U slučaju množenja, iz 2.17 dobija se

21213 12

2

21

1

21 )()(xxxxy GxGxG

x

xxG

x

xxG

(2.26)

Za relativnu grešku dobija se

21

21213

3

2121

12

3

xx

xxxxy

yx

G

x

G

xx

GxGx

y

G

(2.27)

Zaključuje se da se, prilikom množenja dve veličine, njihove relativne greške sabiraju.

□

Nekoliko najvažnjijih slučajeva određivanja sigurnih granica greške indirektno merenih

veličina dati su u tabeli 2.4. Transformacija greške, data tabelom 2.4 prati osobine totalnog

diferencijala, što znači da se može primenjivati parcijalno na rešavanje problema, deo po deo.,

Na taj način se ova tablica može iskoristiti za rešavanje bilo koje složenije transformacije koja

se sastoji od kombinacije tabličnih, slično kao što se izvodi ili integrali složenih funkcija

rešavaju korišćenjem tabličnih izvoda, odnosno tabličnih integrala. Pri tome se služimo onom

kolonom iz tabele 2.4 koja je jednostavnija za primenu (lakše se pamti ili daje jednostavnije

izraze).


2 - 17

Tabela 2.4. Tablične vrednosti sigurnih granica grešaka za neke osnovne algebarske

transformacije

y Gy Γy

xC xxC GCG xxC

xC xxC GG xxCxC

x

21 xx 2121 12 xxxx GxGxG

2121 xxxx

21 / xx 2121 2

2

1

2

/

1xxxx G

x

xG

xG

2121 / xxxx

2x xxGxG 22 xx

22

x x

GG

x

x 2

1

xx

2

1

0, nxn x

n

xGxnG n 1 xx

nn

xf xxf GxfG

xxfxf

xfx

Primer 4 ilustruje upotrebu tablice 2.4 na računanje sigurnih granica grešaka veličina dobijenih

složenijim transformacijama.

Primer 4

Neka je indirektno merena veličina data izrazom 2.28, gde su x1, x2, x3 i x4 – direktno merene

veličine, a |Gx1|, |Gx2|, |Gx3| i |Gx4| - njihove apsolutne greške merenja koje su poznate. Odrediti

sigurne granice apsolutne i relativne greške veličine y.

2

4

2

3

21

xx

xxy

(2.28)

Koristeći tablicu 2.4 dobija se redom

24

23212

423

2124

23

21

24

23

21 2

1xxxxxxxxxxxx

xx

xxy

(2.29)

U slučaju transformacije zbira, lakše je preći na apsolutne greške, pa se dalje dobija

2

4

2

3

2

4

2

3

2

4

2

3

24

23

21

24

23

21 2

1

2

1

2

1

xx

G

xx

G

xx

Gxx

xx

xx

xxy

(2.30)

Sada je ponovo lakše preći na relativne greške, pa je, konačno


2 - 18

4321

24

2321

24

23

21

2

4

2

3

2

4

2

4

2

3

2

3

2

4

2

3

2

4

2

4

2

3

2

3

2

4

2

3

2

4

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

xxxx

xxxx

xx

xxy

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

G

xx

G

(2.31)

□

Primer 5 – kontraprimer kod koga je efikasnije koristiti definicioni izraz nego tablicu

Izvesti izraze za sigurne granice relativne grešake indirektno merene veličine

xAy cos (2.32)

gde su A i ω konstante, x – direktno merena veličina, a Gx njena apsolutna greška merenja.

xxx

xxxy

xxGxGxx

Gxdx

dGxA

dx

dGxA

dx

d

tgtgsincos

1

coslncoslnlncosln

(2.33)

□

2.5. Prikazivanje rezultata merenja

Izmereni interval i verovatnoća, zajedno sa podacima o uslovima i pretpostavkama pod kojima

je merenje obavljeno, čine mernu informaciju. Potpuna merna informacija sadrži sve

parametre koji na jednoznačan način opisuju rezultat i postupak merenja i omogućuje njihovo

nedvosmisleno metrološko vrednovanje. Potpuna merna informacija sadrži brojnu vrednost

(rezultat) merenja, grešku merenja, nivo pouzdanosti merenja, vrednosti svih uticajnih veličina

koje su određene, opis merne metode i korišćenih teorijskih modela i pretpostavki, kao i detaljan

prikaz toka (postupka) merenja. Primer potpune merne informacije je, recimo, rezultat merenja

efektivne vrednosti naizmenične struje iskazan u obliku:

3 A ± 0,5 A, sa pouzdanošću od 99 %, određeno pri temperaturi od 26 ºC, i nultim

spoljašnjim magnetskim poljem, uz zanemarivanje skin efekta i viših harmonika.

Prilikom prikazivanja rezultata merenja treba pravilno dozirati količinu merne informacije u

zavisnosti od njene dalje primene. Insistiranje na strogoj metrološkoj notaciji i prikazivanje

potpune merne informacije u nekim slučajevima može čak biti kontraproduktivno. Merna

informacija koja sadrži samo najneophodnije podatke prilagođene nekoj kasnijoj specifičnoj

upotrebi razultata merenja, naziva se redukovana merna informacija. Zamislimo npr.

saobraćani znak na autoputu, koji vozače obaveštava o udaljenosti od najbližeg naseljenog

mesta, na kome je iskazana potpuna merna informacija kao na slici 2.10.


2 - 19

Slika 2.10. Putokaz sa potpunom mernom informacijom

Za vozače, koji pored znaka prolaze prosečnom brzinom od, recimo, 80 km/h, ovako prikazana

merna informacija, ne samo da je neupotrebljiva, jer se u njoj ne mogu lako snaći ili je uopšte

ne mogu ni razumeti, već može predstavljati i ozbiljnu smetnju vozačima, ometati ih predugim

skretanjem pažnje i tako smanjiti opštu bezbednost u saobraćaju. Ogroman trud i troškovi

obezbeđivanja i prikazivanja ovako detaljne merne informacije su besmisleni i neopravdani u

poređenju sa uobičajenom, pojednostavljenom varijantom prikazanom na slici 2.11.

Slika 2.11. Putokaz sa redukovanom mernom informacijom

Sama brojna vrednost (rezultat merenja) uvek se iskazuje sa svim ciframa koje u sebi ne sadrže

grešku, čak i kada su te cifre nule. Veoma često se u prikazivanju rezultata merenja greši jer se

izostavljaju decimalne nule iza kojih nema drugih cifara ili se rezultati zaokružuju na dve

decimale iz nerazumljivih „estetskih” razloga. Važno je razumeti da su rezultati 12,00 μA i

12 μA suštinski različiti sa stranovišta metrologije. U prvom slučaju, iza decimalnog zareza

stoje dve nule i na taj način je ukazano da je taj rezultat određen sa greškom manjom od

±0,005 μA, odnosno da se prava vrednost merene veličine nalazi u opsegu (12,005 μA,

11,995 μA). Ako bi se taj rezultat prikazao zaokruženo, bez ijedne decimale iza decimalne

tačke, onda bi to doslovce značilo da je ta brojna vrednost određena sa greškom od ±0,5 μA,

odnosno da se prava vrednost merene veličine nalazi u intervalu (12,5 μA, 11,5 μA). Ovo bi

bila velika omaška, u smislu dezinformisanja budućih korisnika takvog rezultata merenja.

O broju decimala se posebno mora voditi računa kada se rezultati merenja prikazuju tabelarno.

Tabela 2.5. Primer prikaza nekih rezultata merenja

U (V) I (μA) R (kΩ)

230,04 0,62 7,0

230,12 12,00 3,3

229,75 0,007 6,2

229,85 531,9 0,0

230,10 15·10-3 8,9

Novi Sad

34,716721 km ± 0,001 m, sa pouzdanošću od 85,1 %;

za automobile kraće od 3,567 m; određeno pri vlažnosti vazduha od 67,231 %

Novi Sad 35 km


2 - 20

Tako npr. rezultati merenja dati u tabeli 2.5, ukazuju da su vrednosti napona U i otpornosti R

određene sa konstantnom apsolutnom greškom, jer su prikazane sa istim brojem decimala u

svakoj vrsti (i vidi se kolika je gornja granica te geške). Vrednosti struja prikazane su sa

različitim brojem decimala, ukazujući na to da je svaka od tih vrednosti određena (izmerena,

izračunata, poznata) sa različitom apsolutnom greškom.

Kada se rezultati merenja prikazuju grafički, oni se označavaju praznim kružićem ili praznom

elipsom na koordinatama koje odgovaraju izmerenim vrednostima. Ukoliko se rezultati

interpoliraju krivom, tada interpolaciona kriva (ili prava) ne sme prelaziti preko kružića ili

elipse (slika 2.12).

Slika 2.12. Uvećan grafički prikaz rezultata merenja (kružići) i interpolaciona kriva

Kada se rezultati merenja interpoliraju krivom ili pravom linijom, nije uvek moguće obuhvatiti

sve tačke na grafiku. Tada se povlači takva kriva, kod koje je zbir odstojanja tačaka ispod i

iznad krive biti isti (slika 2.13). Ponekad interpolaciona kriva ne mora proći ni kroz jedan od

rezultata merenja.

Slika 2.13. Ispravan i neispravan način interpolacije prave kroz rezultate merenja

y

x

y

x

pogrešno

ispravno


2 - 21

Na grafiku se mogu iskazati i greške merenja. To se postiže veličinom i oblikom kružića,

odnosno elipse sa kojom je predstavljen svaki pojedinačan rezultat. Horizontalan i vertikalan

prečnik elipse odgovaraju apsolutnim greškama sa kojima su određene fizičke veličine date na

osama grafika. Na slici 2.14 dat je jedan moguć primer određivanja otpornosti merenjem

napona i struje i prikazane su granice apsolutnih grešaka merenja napona i struje.

Slika 2.14. Pravilno prikazivanje rezultata merenja na grafiku iskazivanjem apsolutne greške

zavisne i nezavisne veličine.

Kada greške merenja nisu konstantne (npr. koriste se različiti opsezi instrumenta ili različite

metode), tada elipse ne moraju biti iste na celom grafiku. Ovo je ilustrovano na zamišljenom

primeru sa slike 2.15.

Slika 2.15. Elipse različitih dimenzija ukazuju na nejednaku apsolutnu grešku merenja za

različite vrednosti očitavanja.

Može se desiti da je apsolutna greška merenja toliko mala da bi se insistiranjem na

proporcionalnom prikazivanju, formirala elipsa neuočljiva golim okom. Zato se pri grafičkom

prikazivanju rezultata nikada ne uzima prečnik koji je manji od 1 mm. Najmanja elipsa koja se

koristi za prikaz rezultata i označavanje greške na grafiku je zapravo kružić prečnika 1 mm.

2.6. Ispravnost i pouzdanost merenja

Činjenica je da prilikom svakog merenja činimo grešku koja je posledica uticajnih veličina i

delovanja merila na merenu veličinu. Takođe je činjenica da su uticaji na grešku merenja

nepredvidivi (slučajni). Prilikom nekog konkretnog eksperimenta može se desiti i mnogo veća

i mnogo manja greška od procenjene za dati uređaj ili postupak. Zato, pre nego što pristupimo

y

x

y

x


2 - 22

merenju, možemo postaviti pitanje da li će odabrano merilo ili metoda dati rezultate u koje

ćemo se moći pouzdati. Čak i nakon obavljenog eksperimenta, možemo postaviti opravdano

pitanje da li dobijeni rezultat odgovara svrsi zbog koje je merenje rađeno. Da li, recimo, na

osnovu datih rezultata, možemo procenjivati ponašanje sistema u prošlosti i budućnosti, ili su

oni važili samo u toku trajanja merenja. Da bismo izašli na kraj sa neodređenošću koja je

posledica nasumičnog odabira podskupa rezultata iz skupa svih mogućih ishoda merenja, i da

bismo došli do objektivne kvalifikacije nekog mernog postupka, nezavisno do njegovog ishoda,

definisaćemo pojmove „ispravnost“ i „pouzdanost“ merenja.

Pod ispravnošću merenja ćemo podrazumevati stepen pogodnosti datog postupka ili merila

da, sa prihvatljivo malom greškom, karakterizuju ili kvantifikuju neku fizičku veličinu u datim

uslovima. Kod neispravnih merenja, najčešće se dešava da su odabrani takav postupak merenja

ili instrument, koji na fizičku veličinu utiču u tolikoj meri, da u potpunosti menjaju njena

svojstva. Nešto ređe, ali takođe moguće situacije, su one kod kojih nemamo adekvatno znanje

o stvarnom delovanju uticajnih veličina. Očigledni primeri neispravnih metoda merenja su,

recimo, merenje brzine svetlosti uključivanjem lampe i upotrebom mehaničke štoperice na

udaljenosti od nekoliko metara od lampe, ili korišćenje megaommetra za merenje veoma malih

otpornosti, ili ručno prebrojavnje zvezda na nebu radi određivanja broja objekata u našoj

galaksiji.

Sa druge strane, pouzdanost merenja je verovatnoća sa kojom se može tvrditi da će merilo ili

postupak merenja, prilikom ponavljanja merenja pod istim uslovima, dati konzistentne rezultate

(rezutate koji se neće međusobno suštinski razlikovati).

Pojmovi pouzdanosti i ispravnosti su međusobno blisko povezani, ali ih ne treba mešati. Važno

je razumeti da visoka pouzdanost merenja ne garantuje ispravnost merenja, jer neispravno

merenje može biti veoma konzistentno po pitanju dobijanja stalno istih, neispravnih rezultata

prilikom uzastopnog ponavljanja eksperimenta. Međutim, merenje ne može biti ispravno, ako

nema visoku pouzdanost. Sa malom pouzdanošću dobijaju se velike razlike u rezultatima

merenja pri svakom ponavaljanju, što znači da takvo merenje ne bi opisivalo dati fenomen na

adekvatan način, pa samim tim ne bi bilo ni ispravno. Dakle, visoka pouzdanost je potreban, ali

ne i dovoljan uslov kojim se garantuje ispravnost mernog postupka.

Od čega zavisi pouzdanost nekog postupka merenja i kako se ona može kontrolisati?

Pretpostavimo da želimo eksperimentalno proveriti verovatnoću dobijanja glavne premije na

lotou (popularna „sedmica“) u toku nečijeg života. Osmisimo trivijalan eksperiment u kome će

neka osoba uplaćivati nasumične kombinacije redom svake nedelje, sve dok ne dobije glavnu

premiju ili do kraja svog života (šta se pre dogodi). Koliko je ovakav eksperiment pouzdan?

Posmatrajmo prvo jedan od mogućih ishoda eksperimenta, kod koga nakon uplaćivanja prve

kombinacije osoba A odmah dobije glavnu premiju. Šta bismo iz takvog ishoda mogli

zaključiti? Da li je šansa dobijanja glavne premije na lotou 100 % ili je u pitanju nešto drugo?

Drugi mogući ishod je da, recimo osoba B uplati jednu kombinaciju, ali da pri tome, ne bude

izvučen nijedan njen broj. Posmatrajući samo taj slučaj, izolovano od prethodog, da li bi to

značilo da je verovatnoća dobijanja „sedmice“ na lotou ravna 0 % ili je, opet, u pitanju nešto

sasvim drugo? Dozvolimo, u slučaju nepovoljnog ishoda, da se eksperiment nastavi. Ako osoba

B premiju nikada ne dobije, da li to znači da je dobijanje „sedmice“ apsolutno nemoguće i šta

o tom zaključku misli osoba A, sa stanovišta svog iskustva? Da li nam je informacija o tome da

nikada nećemo dobiti na lotou od ikakve koristi nakon smrti? Očigledno je da nešto ne valja u

samom načinu na koji je eksperiment osmišljen, jer isti eksperiment obavljen pod istim


2 - 23

uslovima, ali upotrebom drugog merila istog tipa (osobe A i B su ljudi koji se ni po čemu ne

razlikuju), daje potpuno različite ishode.

U situacijama u kojima, nakon uzimanja malog broja uzoraka, dobijamo veoma malu grešku,

tj. izuzetno povoljan ishod eksperimenta, kažemo da smo imali sreće (slično kao i u životu).

Ovakav ishod merenja prikazan je na slici 2.16. Međutim, za razliku od realnih životnih

situacija, sa aspekta metrologije, takav eksperiment se smatra loše osmišljenim, čak iako se

vlasnik dobitnog tiketa sa time ne bi složio.

Slika 2.16. Ishod eksperimenta sa malom pouzdanošću – previše mala greška

Ako nakon malog broja ponavljanja imamo izuzetno nepovoljan ishod eksperimenta (ogromno

odstupanje od tačne vrednosti), kažemo da nismo imali sreće (slika 2.17). Metrološki gledano,

eksperiment je i dalje nepouzdan jer njegov ishod ponovo ne opisuje dobro dati sistem.

Slika 2.17. Ishod eksperimenta sa malom pouzdanošću – prevelika greška

Primetimo da ishodi eksperimenta u kojima smo imali sreće i nismo imali sreće ne čine potpun

sistem događaja. Postoji još čitav niz dugačijih ishoda koji mogu dati neku novu sliku o

posmatanoj pojavi. Prema tome, merenje sa malim brojem rezultata je inhrentno nepouzdano

(a samim tim i neispravno), jer varijacija pojedinačnog ishoda može značajno doprineti

dobijanju pogrešnih zaključaka o brojnoj vednosti ili prirodi posmatrane fizičke veličine.

Kako onda povećati pouzdanost eksperimenta i smanjiti uticaj pojedinih ekstremnih ishoda na

razultat merenja? Očigledno, jedan od mogućih načina da to ostvarimo jeste da obuhvatimo što

Greška

merenja

Sigurne granice

apsolutne greške

Rezultat

Stvarna

vrednost

Sigurne granice

apsolutne greške Rezultat Greška

merenja

Stvarna

vrednost


2 - 24

veći uzorak populacije odnosno da povećamo broj merenja. U slučaju eksperimenta sa lotom,

mogla bi se posmatrati velika populacija igrača, moglo bi se produžiti vreme posmatranja na

više godina ili uzeti u obzir slučajevi kod kojih smo „blizu“ dobijanju glavne premije itd.

Da li će povećavanje broja merenja povećati pouzdanost zavisi od toga da li je združeno dejstvo

merene fizičke veličine i uticajnih veličina na merni instrument stacionarno. Ako povećavanjem

broja merenja N varijansa σ2(N) dobijenih rezultata neograničeno raste, tada nemamo

stacionaran proces delovanja na merilo i merenje nećemo moći učiniti pouzdanim za bilo koje

N. Samim tim ono neće biti ni ispravno. Ako sa povećavanjem broja merenja varijansa merenja

teži nuli, ili nekoj konačnoj vrednosti σ2(∞), tada je merenje uz dovoljno veliko N, moguće

učiniti pouzdanim. Ukoliko bismo želeli merenje koje ima pouzdanost od 100 %, jasno je da

bismo morali meriti neograničeno dugo, tj. sve vreme postojanja objekta koji se meri (N → ∞).

To nije praktično iz bar dva razloga: ograničeni resursi koji su nam na raspolaganju (vreme,

novac, energija…) i stavljanje objekta merenja van upotrebe tokom trajanja merenja. Postoje

neki primeri koji naizgled nisu u skladu sa ovim zaključkom. Recimo, merenje parametara

elementarnih čestica u ciklortonu, odvija se sve vreme života tih čestica (10-12 s), što prividno

ne zahteva obimne resurse sa stanovišta ljudskog života. Ali i tada, maksimalna poudanost traži

neograničen broj ponavaljanja merenja unutar konačnog intervala. Fizičari su srećni ako unutar

perioda od 10-12 s uspeju obaviti ijedno merenje. Zbog toga generišu veoma velik broj čestica

od kojih će samo neke biti detektovane i kvatifikovane.

Nakon pažljive matematičke analize (koja izlazi izvan okvira ovog kursa), poznavajući

dinamiku procesa koji se analizira i pravilno modelujući dejstvo uticajnih veličina, broj

potrebnih rezultata merenja može svesti na sasvim prihvaljivu vrednost. Ako se zahtevana

pouzdanost smanji sa perfekcionističkih 100 %, na inženjerski prihvatljivih 99,99 %, 99 % ili

čak 95 %, može se odrediti minimalan broj merenja Nmin, koji će dati varijansu σ2(Nmin), koja

će biti dovoljno blizu σ2(∞) da se rezultata merenja može

Pre priključenja korisnika na ADSL liniju, obavlja se testiranje kvaliteta pretplatničke linije.

Ako bismo šum na toj liniji želeli proceniti sa pouzdanošću od 100 %, morali bismo meriti

neograničeno dugo. Korisnik nikada ne bi bio priključen na Internet i merenje bi bilo

besmisleno. Međutim, ako zahtevanu pouzdanost testa spustimo na 99 %, pokazuje se da se

merenje može skratiti na svega nekoliko minuta. U slučaju testiranja više hiljada pretplatničkih

linija odjednom, može se zahtevati još niža pouzdanost od 95 %, nakon čega će test trajati

kraće od jedne sekunde po pretplatniku (slika 2.18).

Slika 2.18. Zavisnost trajanja testa od zahtevane pouzdanosti

log N N → ∞

Pouzdanost (%)

100 99 98 97 96 95


2 - 25

Izbor nivoa pouzdanosti testa je više filozofsko pitanje, nego matematičko. Matematički alati

stupaju na snagu tek kada su ustanovljeni osnovni principi obrade i interpretacije rezultata

merenja, a koji se svode na razumevanje svih fenomena od kojih eksperiment zavisi.

Matematika ne može reći zašto je neki pristup merenju bolji (pouzdaniji) od drugog, kao ni

koliki nivo pouzdanosti treba usvojiti da bi se dobio potreban uslov za ispravno merenje. Na

primer, nivo poverenja od 95 % se veoma često koristi u eksperimantima u biologiji, ali je to

stvar konvencije ili slobodne procene. U informacionim tehnologijama neretko se sreću

slučajevi kod kojih se zahteva nivo pouzdanosti testa od 99,99 % ili veći.

2.7. Značaj merne nesigurnosti za nauku i tehniku

Zbog čega je važno poznavati greške merenja? Zašto je za nauku i tehniku, pored izmerene

brojne vrednosti, važan parametar interval koji obuhvata mernu nesigurnost? Odgovor na ova

pitanja krije se u nameni za koju je merenje osmišljeno. Svako merenje ima tačnu, unapred

definisanu svrhu, pa posledice pravljenja veće ili manje greške merenja mogu biti veoma

dalekosežne. Podizanje nivoa svesti o značaju merne nesigurnosti je ključni faktor za

fokusiranje globalne svetske idustrije na kvalitet merenja i na posledice koje neiskazivanje

merne nesigurnosti može doneti.

Veliki broj naučnih istraživanja, proizvodnih procesa, finansijskih odluka i medicinskih

dijagnoza zasniva se na izveštajima sa brojnim podacima koji su rezultat nekakvih merenja.

Bez razmatranja uticaja grešaka merenja na kvalitet kasnije odluke, povećavaju se šansa za rast

operativnih troškova i verovatnoća otkaza rada sistema. Koliko košta proizvođača da opozove

celu seriju nekih proizvoda ili da povrati poverenje potrošača nakon grešaka u proizvodnji?

Koliko tužbi u svetu se podigne svake godine zbog lošeg lečenja ili pogrešne dijagnoze? Kolike

su posledice ekonomskih kriza, kao posledica nekvalitetnih finansijskih izveštaja. Nizak

kvlaitet informacija i loše odluke stvaraju troškove koje, po pravilu, plaćaju krajnji kupci.

Različite organizacije svakodnevno donose odluke na osnovu izveštaja sa podacima

zasnovanim na nepotpunim i nepouzdanim mernim informacijama. Izbor pogrešnog dobavljača

daće nizak kvalitet konačnog proizvoda. Odabir pogrešne laboratorije, može dovesti do

pogrešnih medicinkih dijagnoza. Odabir pogrešne investicije uticaće na finansijske cijeve.

Odabir nedovoljno tačne metode ili zaključivanje na osnovu nedovoljno tačnih podataka, može

dovesti do razvoja kvazi-teorija, potpuno neutemeljenih u fizici. Zato je poznavanje merne

nesigurnosti sa kojom su rezultati merenja iskazani, ključno za smanjivanje rizika i troškova

vlikog borja ljudskih aktivnosti.

Pretpostavimo na trenutak da je potrebno proveriti neku teorijsku hipotezu. Određene teorija T,

predviđa da, pod tačno definisanim usovima, fizička veličina X ima brojnu vrednost {X}. Radi

potvrđivanja ili opovrgavanja ove teorije sprovešće se eksperiment (merenje) E, čiji je rezultat

prikazan na slici 2.19. Sa x je označena srednja vrednost dobijena eksperimentom E.


2 - 26

Slika 2.19. Provera teorijskog predviđanja brojne vrednosti X eksperimentom čiji je ishod

Xx

Zbog neizostavnog dejstva uticajnih veličina, za očekivati je da merenje nikada neće dati baš

očekivanu vrednost {X}, čak iako je teorija T u potpunosti ispravna. Prema tome, posmatranjem

samo srednje vrednosti rezultata merenja, nismo u stanju da donesemo zaključak o ispravnosti

teorije T, bog neizostavnog prisustva merne nesigurnosti. Ako bi merna nesigurnost obavljenog

merenja odgovarala intervalu datim isprekidanom crvenom linijom na slici 2.19. (slučaj veoma

male greške), zaključak bi bio da teorija T nema empirijskih osnova i da je treba odbaciti kao

neosnovanu. Međutim, ako bi granice greške bile date istačkanom plavom linijom, onda bi

eksperiment E mogao biti dokaz teorije T.

Na osnovu gornjeg primera ne treba žuriti sa zaključkom da je, po teorijsku fiziku i inženjerstvo,

povoljnije da greška merenja bude što veća. Naprotiv, prevelika greška veoma često ne govori

ništa o teoriji koja se dokazuje, jer uvek postoje alternativne teorije čija predviđanja lako mogu

upasti u prevelik interval merne nesigurnosti.

Kao drugi primer posmatrajmo više konkurentskih teorija T1, T2, T3, T4 i T5, koje predviđaju

različite vrednosti {X1}, {X2}, {X3}, {X4} i {X5} iste fizičke veličine X, kao na slici 2.20.

Obavljen je eksperiment E čiji je ishod A, označen krstićem.

Slika 2.20. Određivanje brojne vrednosti višedimenzionalne fizičke veličine radi potvrđivanja

ili opovrgavanja važenja različitih teorijskih modela koji je opisuju

Na osnovu rezultata eksperimenta E, mogući su različiti zaključci o ispravnosti pojedinih

teorija. Npr. ako je merna nesigurnost data isprekidanom crvenom linijom, tada nije ispravna

nijedna od predloženih teorija i potrebno je razviti potpuno nov matematički model datog

fenomena. Ukoliko bi merna nesigurnost bila data istačkanom plavom linijom, tada bi

eksperiment potvrdio samo teoriju T1, a isključio mogućnost važenja svih ostalih. Međutim,

ako bi greška merenja bila određena zelenom linijom, tada bi bio dokazano važenje teorije T3,

a sve ostale bi bile opovrgnute. Slično se mogu zamisliti situacije u kojima se ovaj isti rezultat

može interpetirati kao dokaz dve ili više teorija, u zavisnosti od merne nesigurnosti, ili pak kao

X x {X}

A (V)

φ (rad)

{X4}

{X3}

{X1} {X2}

{X5}

+


2 - 27

potpuno beskoristan, u slučaju prevelike greške, kada ne bi isključio nijednu od ponuđenih

mogućnosti.

Eksperimenti ponekad dovode do neočekivanih teorijskih otkrića i samo je poznavanje merne

nesigurnosti garancija njihove istinitosti. Krajem XIX veka, Lord Rejli je merio gustinu

gasovitog azota, korišćenjem dve metode. U prvoj, azot je dobijao isključivo iz atmosfere

propuštanjem vazduha kroz usijanu bakrnu cev, čime je uklanjao sav kiseonik (vazdušna

metoda). U drugoj metodi, azot je dobijao propuštanjem mehurića vazduha kroz tečni amonijak

(NH3), a zatim provođenjem te smeše kroz usijanu bakarnu cev (hemijska metoda). U ovom

drugom slučaju, azot iz vazduha je bio „zagađen“ azotom iz amonijaka, jer je kiseonik reagovao

sa vodonikom i gradio vodu. Ispostavilo se da azot dobijen hemijskom metodom ima za oko

0,1 % manju gustinu od azota dobijenog vazdušnom metodom. Uprkos relativno dobrom

slaganju obe metode, Rejli nije bio zadovoljan dobijenim rezultatima i odoleo je iskušenju da

omalovažava ili ignoriše tako malu razliku u brojnim vrednostima. Umesto toga ponovio je

eksperiment pokušavajući da dovede razliku do ekstrema, tako što je kroz amonijak propuštao

čist kiseonik, a ne vazduh. Sada je sav azot koji je bio izdvojen hemijskom metodom poticao

isključivo iz amonijaka i ispostavilo se da tada ima još manju gustinu – manju za oko 0,5 % u

odnosu na azot dobijen iz vazduha. Neizbežan zaključak ovako pažljivo sprovedenog

eksperimenta bio je da je u slučaju vazdušne metode dobijen azot pomešan sa nekim drugim

gušćim gasom. Taj novi gas koji je Rejli otkrio bio je argon, novi element u periodnom sistemu.

Za svoje otkriće Rejli je 1904. godine dobio nobelovu nagradu za fiziku. Rejlijeva originalna

merenja imala su mernu nesigurnost od 0,03 %. Veća merna nesigurnost onemogućila bi

uočavanje male sistematske razlike u gustinama smeša od svega 0,1 %, i ne bi motivisala Rejlija

da nastavi sa detaljnijim proučavanjem tog fenomena.

U industriji, poznavanje tolerancija sa kojima su iskazane određene brojne vrednosti može

značiti razliku između funkcionisanja ili nefunkcionisanja celokupnog sistema. Ako npr. dva

USB uređaja A i B imaju različite tolerancije sa kojima mogu slati ili primati naponske nivoe,

kao u tabeli 2.6, onda će komunikacija biti pouzdana samo u jednom smeru, od uređaja A koji

ima uže granice generisanja naponskih nivoa, ka uređaju B, koji ima veću toleranciju detekcije

istih. U obrnutom smeru, javiće se situacije kada uređaj A neće moći detektovati signale koje

odašilje uređaj B.

Tabela 2.6. Primer dva uređaja koji imaju različite tolerancije naponskih nivoa

Uređaj A (USB 2.0) B (?)

Maksimalan napon Umax 5 V 5 V

Gornja tolerancija za Umax +0,25 V +1,00 V

Donja tolerancija za Umax -0,60 V -1,00 V

U primeru datom tabelom 2.6, kaže se da su uređaji nekompatibilni, tj. da nisu sposobni zajedno

funkcionisati bez proizvođenja štetnih efekata. Iako predstavlja određenu neprijatnost,

nekompatibilnost dva USB uređaja usled nejednakih tolerancija nema ni izbliza tako

dalekosežne posledice kao što ih je imalo nepoznavanje kompletne merne informacije u slučaju

nesreće spejs šatla Čelendžer. Jedno od najšire prihvaćenih objašnjenja ove nesreće, bilo je da

je do eksplozije došlo zbog lošeg naleganja zaptivnih prstenova na rezervoarima sa tečnim

vodonikom. NASA-ini inženjeri nisu pažljivo iskontrolisali uslove pod kojima je bila data

tolerancija zaptivnih prstenova. Ispostavilo se da je merna nesigurnost koju su NASA-ini

inženjeri koristili u svojim proračunima važila samo za određeni opseg temperatura. Zbog loših


2 - 28

vremenskih prilika i brojnih odlaganja poletanja, zaptivni prstenovi su dugo bili izloženi

neuobičajeno niskim temperaturama. U skladu sa deklaracijom proizvođača, presetnovi su

promenili svoje dimenzije i nisu više dobro nalegali na ispuste rezervoara, o čemu niko u

NASA-i nije vodio računa. Umesto kontrolisane smeše gasova koja bi sagorevanjem izdigla

spejs šatl u orbitu, vodonik je, prilikom zakretanja letelice, iscureo u velikoj količini, sjedinio

se sa kiseonikom iz atmosfere u veoma burnoj reakciji i ostalo je istorija.

Dakle, greške merenja nikada nisu svrha same sebi, već se moraju posmatati u kontekstu daljeg

korišćenja. Samo ako se poznaje merna nesigurnost rezultata merenja i garantuje nivo

pouzdanosti merne metode, moguće je pravilno interpretirati obavljeni eksperment, doneti

valjane odluke o daljim postupcima, uporediti rezultate različitih merenja, pružiti adekvatnu

podršku teorijskom i praktičnom naučno-istraživačkom radu i garantovati nesmetan i bezbedan

rad tehnološke opreme u industrji i svakodnevnom životu ljudi.

2. obrada mernih informacija -...

Documents