2º SIMPÓSIO BRASILEIRO DE AUTOMAÇÃO INTELIGENTE CEFET-PR, 13 a 15 de Setembro de 1995 Curitiba Paraná

lJnl algoritnl0nebuJoso p~lI~a estinlação pal~anlét .. ica de sistel113S variantes no tCI11pO

L. V. R. Arruda

CPGEI / CEFET - PR

A\'. Sete de Setenlbro, 3165

80230-901 / Curitiba - Pr

Fax: (041)-2245170

e-Inail: arrudatá!cpgei.cefetpr. br

Resumo

Este artigo descreve um algoritmo nebuloso para estimação paramétric<I ele slstemCtS variantes no tempo. () algoritmo proposto é composto de 2 sub-sistemas: uma estratégia nebulosa para detetar variação de parâmet.ros, e um procedimento nebuloso para ajuste do ganho de adaptaç~Jo de um algoritmo b<lseado nos Mínimos Quadrados Ponderados Recursivos (MQPR"l. A partir do conhecimento heurístico de especialistas, algumas fimções de pertinência expressando <I ocorrência de variações paramétricas s~o constnlÍdas, e um conjm110 de regras linguísticas de controle são desenvolvidas para monitorar os estirnadores. Estas regras modelam () compromisso entIe a habilidade destes estirnadores em acompanh:u variações paramétTicas e sua sensibilidade ao ruído de medição. Finalmente. o algoritmo nebuloso proposto e comparado com um algoritmo clássico panl estimação de sistemas variantes no tempo.

Palavras-chaves: lógica nebulosa, sistemàs baseados em conhecimento, controle adaptativo. estimação paramétrica, deteção de falhas

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1 - Introdução

~2_.1.~1 2' SIMPÓSIO BRASILEIRO DE AUTOMAÇAO INTELIGENTE

Falhas, modificaçoes 1Jll ellciol\,1h cl;:; confif.-71.lTê:Jç,'ltl. mudanças de s e1-p(YiJl! e Olltr,1;-; iW0C:S simihIJt: ~ podeIll causar variações nos pariimetros de Utn processo controlado. sob condiçócs n01T11His de opCri1y:HI . Esté1S v~ lrüu,;óe"

sâo denominadas n:1()-est.·lciol\.uida(i-; .... . ~ qmmc!o OCOITelll podem levar () control,I<!Ol (I UIlI estado Ulst,1vd OI)

ulaceitáve1 . Para evitai e-; tç lipo <1,.; ' comportamento do controjador. tomél-Se necessóno lllOTllrOlilr algunlél :-­hmções na malha de conlroL. :1 IIIll c\ ;:: pennitir i1 dcteç,II). ;)valiC:tçún (; localJz,J(; i1() (bs 1l,,()-~st(Jci ollari(hldes ll ("

processo. Na última decacta . varias tecnicas parll aJuste de algoritmos clt:! estiTlll1çúo quando OCOITelTl varjaçôe <.., nos parâmetros do prnces" ~ J . 10<1,1S h(tsead"s em metodo'\ probahilisticos de cleleç<'to. te1ll sido apresentadas 11" literaturCl [1-:1]. No entanln desenvolvimentos atuais destes métodos tem apontado píHd ,I introdllç~IO de uni tratamento orientado <10 conhec1mento nu constmç~o de modelos contendo n;i( l-estacioJlaJidadcs. () oh.ietivn c transferir o conhecimento de engenheiros e operadores para 111ll sistema especialista , operando '·ol1-hne-- com () processo, capaz de realizar éI de1eç~l() ele fahas e a sintonia l1utormiüca dos algoritJlloS da malha (k controle . Nesk caso, heurísticas adiciomlis e procedimentos de auto-sintonia elevem ser inclllidos nos algoritmos ch'lssicos de: controle e estimaç~lo 141 .

Neste contexto, desenvolveu-se uma estratégia nehuJosa para decidir se o processo tem apresentado variaçôes de parâmetros. Para isso. fUTlçóes de perünêncij·J expressando a possibilidad~ desti! nllldaJl~~ iIS ocorrcrem S~I O

construídas, a partir 'do conllecimento heurístico de especialistas em teoriel de cstimaçóo . Um procedimen10 nebuloso para ajustar o ganho de adaptaç~o de um algoritmo de estimaçiio bé1seado no método dos lvlinirnos Quadrados Ponderados Recursivo (MPQR) foi tamhem desenvolvido; onde a cl1da instante de amostragem, os parâmetros de sintonia do a1goriTIlIo de estiJllac~o si'H) monitorados por UIll conjunto (k re~'TilS liJl fnJlsliciI :-", Esta-; re~as modelam () compromisso entre: ~l capacidade ele adaptuçi10 do algoritmo e a sensibilidade dos estimadore~,

ao nüdo presente no proce::,s( \ A seguir são apresentados na seçrlO 2, o algoritmo do traço adaptativo ,I pmtir do qual desenvolveu-se u

estimador nebuloso; J1i1 seçi:1() :1 ,1 estratégia nebulosa para deteção de n~o-estacionaridades e o procedimento nebuloso haseado em regras para sintonia automática do algoritmo de cstimação. Finalmente na seção 3 alguns resultados simulados sâo discutidos. e as conclusões do trabalho sào apresentadas na seção . .::; .

2 - Algoritmo clássico de estimação adaptati"a

Durante a supenrisão de um algoritmo de identificaç~o, hipóteses a priori sobre o processo e os estima dores devem ser validadas a fim de se conseguir uma boa f;intonia dos parâmetros do algoritmo, fvIais especificamentc .. a presença de não-estacionaridades no processo c il descriçi;o estatistica dl1s peT111rbé1çóes presentes devem ser consideradas. De fato, em presença de variações paramétricas, toméi-se necessário manter íI capacidade (k adaptação do algoritmo de estimaç;jo. Quando utiliza-se um algoritmo do tipo tv1QPIC como TTlostrado na tabehl L esta capacidade é conseguida se impede-se a convergência do ganho G(k) para zero . Por outro lado. se o ganho é grande, o estimador pode oscilar devidt) ri influência d'·1 pcrtllrbaçüo. Paril o algoritmo lliJ tabela 1. esL~

compromisso entre capacidade de adaptação e sensibilidade ,iO ruíd(1 c controlfHlo pelo valor do fí.llor cL: esquecimento í...ll) escolhido no mtervê:J.ln ]0 . 1] . Em cada instante de amOSTragem "l ·~ - · . o valor numélicn de j.( k ) pode ser calcuJado como

r 1 setr~co[P'(kjl tro(k; '.lk) = < . . . .

I. traco [P' (k)] / tro( k ) do contrario (1 )

onde o escalar "tro(k}" expressa li capacidade de rastreamento de nâo-estacionaridades do algoritmo. Quando tro(k) » traçorP'(k)l, esta capacidade e reforçada , Em presença de variações abruptas de parâmetros, um tesk de deteção de nâo-estacionaridades pode ser incorporado para melhorar esta capacidade de rastrcamento. O algoritmo resultantc. denominado rugoritmo do traço adaptativo [3], é composto de trés passo:-; :

e(k)= e(k -1)+ G(k)~(k)

~(k) = y(k)-<p'(k)e(k-1)

G(k) = P(k)<P{k)

1 P(k) = -P'(k)

Mk)

. P(k -l)<P(k)qI'(k)P(k -1) P'(k)=P(k-1) + l+tp' (k)P(\';-l)tp(\.;)

Tabela 1: Algorinno dos l\1ínimos Quadrados Pondcrados Rccursivo

2! SIMPÓSIO BRASILEIRO DE AUTOMAÇAO INTELIGENTE

• PASSO 1: Calculo do criterio de deteçào de n~o-estlJcionaridades J1[e(ki] .

87

• PASSO 2: Ajuste dn capacidade de adapti1çiW do algoritmo atraves da sintonii1 do valor dê trO! k) na equação 11 i

2.1 - Caso de deteçâocert,J: Se J I r ef!:; 11 .. Jnwx então h011ve variaçflo pi.lram~llica e fíl7.-se troll:! = troma.'\ . 2.2 - Caso de deteçâo incerta : Se Jmin · J 1 [e(k)] :..::. Jmax então pode ter ocorrido variação parametrici1 e laz-sc trod; ) -:- lroin I 23 - Caso de ni'i o-deleçüC( S(> J l[e(k)) ~ Jmin então o proceso e estacionário (nenhuma variaç~lo foi detetada) c taz-se tro(~: ) = tromin .

onde Jmin c Jm3X 5i;0 respectivamente O~ hmik~ mínimo e máxjmo para a de1eç{lo de niJo-estacionaridades, e tromin > troint ;.- tromax S~IO os mveis de adaptaç~lo mínimo, médio e máximo desejados para o algoritmo .

• PASSO 3: Aplique o alf!oritmo l\·1QPR da tabela I com íikl calculado pela equaçüo (l i.

Entretanto, os valores ótimos de "Jmin", "Jmax", "tromax", "troinf' e "'tromin" dependem de condiçôes ambientais tai~ qUê intensidade do núdu, presença e tipo (rápida, lent,l , abnlphl, pequellCl) de nào­estacionaridades, estnltura do modelo, criterios de desempenho, etc. Alem disso, o resultado do teste de deteçâo pode influenciar o comportamento cios parâmetro::\ estimados: em presença de alanne falso, o uso do nível máximo de adaptação (tromaxl pode dar origem a fortes oscilações nos estimadores_ c para uma taxa de nâo­deteção acentuada, os estimadores podem tomar-se polarizados.

Para contornar estes problemas, desenvolveu-se um sistema nebuloso baseado em regras para controlar () compromisso entre II capacidade de adaptação e i·1 baixa sensibilidade ao nlÍdo para o al!WritnlO do traço adaptativo_ Este sistema baseado em regras é formado de dois sub-sistemas: • lIDla estratef!Ía nebulosa para decidir sobre ti ocon~ncia de nào-estacionaridade:-, _ • um proceclimento nebuloso p~ua ajustar o ganho G(k) do algoritmo elo traço adaptativo.

3 - Implementação do si~1ema nebuloso baseados em regras

A introdução de lógica nebulosa num sistema de controle é uma tentativa de conferir a estes sistemas características do raciocinio humano tais que imprecisão e indecisão. A lógica nebulosa pennite li representação de conceitos imprecisos como rápido, lento, pequeno, grande, etc . . além de possibilitar através de um conjunto de princípios matemáticos bem definidos. a utilização destes conceitos na dedução de fatos a respeito do sistema em estudo[5-6]. .

Um subconjunto nebuloso F de um universo de discurso U é caracterizado pela função de pertinência {)lF(X) :

x E U ~ [O,]] } que represent.a o grau de pertinência de x ao subconjunto F. Dados dois conjlmtos A e B, três operações básicas podem ser aplicadas a estes conjuntos: • complemento aI : J.lt,(X) = 1 - J.lpJX L =:::> (NÃO-NEBULOSO) • interseção: J.li'J- )B(X) = Min(J.lJ.. (X), )lB(X) I, = (E-NEBULOSO) • uTÚão: /J..t. \·J PJX) = Max (J.l ;.! x I, J.l~. (X.lL = {OU-NEBULOSO)

Um sistema de decÍs[1O nebulos3 baseado em regras pode ser formado por um conjunto de regras de produção que usam implicaçoes nebulos(js escrih1s com as operaçôes precedentes. Um regra nebulosa típic'l descrevendo o conhecimento heuristico de um especialista é do tipo:

Se A é baixo e B e ('erto então C é pequeno onde A e B são as variáveis de entrada, C é a variável de saída, baixo. certo e pequeno são termos linguisticos (predicados) assumidos por A, B e C respectivamente .

Assim a partir dos conceitos de lógica nebulosa apresentados em [5] e das idéias propostas em [6], desenvolveu-se o procedimento geral para implementação de sistemas nebulosos de decisão baseados em regras: • PASSO 1: O grau de pertinência de cada variável de entrada a cada um dos predicados nebulosos é calculado

usando-se funções trapezoidais . • PASSO 2: Avaliação das regras de decisão através do uso da regra de inferência de composição[5]:

2.1 - Para todas as regras na base de conhecimento, calcule o valor de veracidade de suas premissas através da operação E-NEBULOSO.

2_2 - Para cada predicado de saída, constrói-se a funçào nebulosa ele saída através de uma operação E-NEBULOSO entre os graus de pertinência obtidos no passo 2.] e as funções nebulosas de gabarito da saída que são do tipo trapezoidal.

2.3 - A fimção de saida final é composta pela umão de todas as funçôes obtidas no passo anterior (operação OU-NEBULOSO).

• PASSO 3: O valor determiJÚstico da variável de saída é obtido aplicando o método do centro de gravidade à função de saída final .

88 ~2'~/ 1 21 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE AUTOMAÇAO INTELIGENTE

Este procedimento geral foi usado para implementar a estratégia de deteção de não-esta.cionaridades e também o procedimento de sintonia automaticrl do valor de --tro<kf' no algoritmo nebuloso do traço adaptativo.

3.1 - Estratégia nebulosa de decisão para deteção de variações paramétricas

.As variáveis de entrada consideradas na estratégia nebulosa de decisão sào dois critérios baseados mmlt"!

estimação a curto termo e a longo termo da variáncia do erro previsto a; (k .1, e do valor médio dos parárnetros

estimados e (k). o princípio de cálculo destes critérios é ilustrado na figura 1.

k-Ns-N}- 't K-Ns-'t k-Ns k ~ __________ ~ __________ ~ ________ +--fune

window of size N} for

Jong-tenn estimator

computation

time intervaI

ofsize 't

window of size

Ns for short-tenn

estimator computation

Fig. 1: Janelas para cálculo dos critérios

Dado um escalar variante no tempo a(k), define-se a fimção f( a,N I ,N2) como:

1 N 2

f(a,N1,N z) = La(il N 2 - N 1 + 1 i=N 1

Os critérios podem ser expressos em termos da fimção fiK) como segue. e O critério baseado na variáncia do erro previsto é definido como:

J (k) = cr;(k) 1 crr(k)

onde cr;(k)=f(ez(k),k-Ns,k) e crf(k)=f(ez(k),k-Ns-'t-Nl,k-Ns-'t)

e .O critério baseado no valor médio dos parâmetros estimados é definido como:

onde 11.11 é uma norma Euclideana, e para cada componente i = 1,2, ... , n de e(k), calcula-se:

e:(k) = f(ez(k) ,k - Ns, k) e ej (k") = fI' e2 (k),k - Ns- 't - Nl,k - Ns - 't)

(2)

(3)

(4)

(5)

Os predicados nebulosos para as variáveis de entrada são pequeno, médio e grande. As fimções de pertinência de entrada são trapezoidais, e tem-se apenas uma variável de saída representando a possibilidade de ocorrência de variações paramétricas. Esta variável de saída c(k) tem quatro predicados: nenhuma possibilidade, talvez, possivelmente, e alta possibilidade. Existem 16 regras na base de regras que podem ser expressas linguisticamente como: e Se J 1 é grande e J2 é grande então há alta possibilidade de ter ocorrido uma variação de parâmetros

e Se J 1 é grande e J2 é médio então possivelmente houve uma variação de parâmetros

e Se J 1 é grande e 12 é pequeno então talvez tenha ocorrido uma variação de parâmetros

eSe 1 I é pequeno e J2 é pequeno então não há nenhuma possibilidade de ter ocorrido tm1a variação de

parâmetros. O procedimento geral para implementação de sistemas nebulosos baseados em regras é usado para

calcular o valor da variável de saída c(k), dentro do intervalo [0,1]. A decisão a respeito da presença de não estacionaridades é tomada através de um teste binário:

> c(k) l;,(k)

<

f processo nftO - estacionario

l processo estacionario (6)

onde a variável ç(k) depende das características do núdo presente no processo: se o processo é ruidoso então os

valores de ç(k) são próximos de 1.

21 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE AUTOMAÇAO INTELIGENTE

3.2 - Sintonia automática do ganho do algoritmo do traço adaptativo

89

Considerando as · seguinte variaveis de entrada, um procedimento nebuloso foi desenvolvido para sintonizar automaticamente o valor da variável tro(k) no algoritmo do traço adaptativo: • A distância paramétrica é definida como:

dist(k) = J~ t 8,2 (k j "n ,=1

para (7)

onde "n" é a ordem do modelo, 8Jk) uma approximação do erro de estimação, e 8Jk) é o valor médio do

estimador calculado numa janela maior que "n". • A razão sinal-ruído estimada é definida como:

Gy(k) / SN(k) = /'cr (k)

e ' (8)

onde (Jy(k) é o desvio padrão estimado do sinal de saída e (Je(k) é o desvio padrão do erro previsto .

A distância paramétrica representa as propriedades de convergéncia do algoritmo. e a razão smal/ruido estimada modela a influéncia das perturbações. A variável de saída tro(k) é obtida com o procedimento nebuloso descrito anteriormente, Neste caso, construiu-se duas bases de regras associadas as situações de processo estacionário ou não-estacionário. Estas bases de regras são mostradas na tabela 2. onde os predicados de entrada e saída são: pequeno, médio e grande. De fato, quando o processo é estacionário, desela-se um valor de tro{k) que minimize a distância paramétrica. Ao contrário, quando o processo é não-estacionário, permite-se grandes valores de tro(k) que possibilitam um rastreamento eficiente das variações paramétricas. A decisão sobre o comportamento do processo, estacionário ou não-estacionário, é tomada pela estratégia nebulosa apresentada na seção 3.1.

ande Qfande médio médio

(a) Processo não-estacionário (b) Processo .estacionário

Tabela 2: Bases de regras para cálculo de "tro(k)"

4 - Resultados simulados

Nesta seção apresenta-se alguns resultados simulados, permitindo uma comparação de desempenho entre o algoritmo nebuloso proposto e o algoritmo do traço adaptativo, na estimação do seguinte modelo de segunda ordem com variações rápidas de parâmetros:

y(k) + al(k) y(k-l) + a2(k) yCk-2) = bo{k) u(k-I) + b1(k) u(k-2) + v(k)

onde f -0.91 k E [0,50] a (k)-

1 - l-l.2O k E (51 ,200]

f 2.14 k E [0,50] b(k)- , · -110 k E [51 ,200]

f 0.67 k E [0,50] , a (k)-

, - 10.70 k E [51 ,200]

f -138 k E [0,50] b (k) = . , l-O.s k E [51,200]

A entrada u(k) é uma sequência binária pseudo-aleatória com média zero e distribuição uniforme no intervalo [-1,1], a perturbação não-mesurável v(k) é um ruído branco com média zero e variância Gv = 0.25. As condições

iniciais para os algoritmos são eCO) = O, P(O) = 100 In. O algoritmo do traço adaptativo tem lO parámetros a ser sintonizados. O teste de deteção incorporado a este algoritmo, utiliza o critério J 1 baseado na variância do erro previsto, dado por (3), para decidir se houve variação de parâmetros. Os resultados apresentados aqui são os melliores obtidos com este algoritmo para o exemplo simulado.

A figura 2 mostra a evolução dos parâmetros estimados dos polinômios A e B para ambos os algoritmos, Nesta figur~ as curvas assinaladas com a letra "a" correspondem aos estimadores calculados com o algoritmo

. nebuloso, e as curvas marcadas com um "b" são os estimadores obtidos com o algoritmo do traço adaptativo. A partir destes resultados, conclui-se que: • Durante o período estacionário ~K < 50), ambos os algoritmos apresentam o mesmo comportamento.

2' SIMPÓSIO BRASILEIRO DE AUTOMAÇAO INTELIGENTE ~

I~

• Em presença de não-estacionaridades, ambos os algoritmos podem detetar e rastrear as variações paramétricas, no entanto o algoritmo nebuloso apresenta um maior atraso na deteção .

• Após a deteção, a convergência dos estimadores para os novos valores dos parâmetros real!;) é mais rápida para o estimador nebulo~o .

Em conclusão. o algoritmo nebuloso proposto comporta-se como um algoritmo adaptativo nas situaçõe~ estudadas. Nos vários casos testados, seu desempenho é semelliante ou mellior que o do algoritmo do traço adaptativo. Além disso, o atraso na deteção pode ser reduzido, se um nUmero pequeno de predicados de saída é considerado na estratégia de decisão. No entanto, a taxa de alarme falso no teste (6) pode aumentar com a redução dos predicados de saída.

5 - Conclusões

Neste artigo foi apresentado um procedimento nebuloso capaz de detetar variações paramétricas no modelo de um processo, e de sintonizar automaticamente o ganho de um algoritmo de estimação baseado nos mínimos quadrados. Este procedimento foi integrado num sistema baseado em conhecimento para supeIVisão de controladores adaptativos e tem apresentado resultados bastante promissores [5] . Atualmente a aplicação deste proce9imento nebuloso em outras situações comuns em supervisão de sistemas de controle está sendo estudada.

1.0 -:

·:l_:~~ b

~A-~ • . z-; tf'~

Z.o ~ , .... , .... , .... , .... , .... , .... , .... , .... , .... , .... , ISS" .

l.O ~

Z.J 1 +-.,.g...c::;~

1.I..§

0.71

0.0 ~ , .... , .... , ... " .... , .... , .... , .... , .... , .... , .... ,

curvas a: algoritmo nebuloso proposto

O"U. ar;.:·

Z.o ~

1.Z ~

=r

1.0 ~

0.2..§

.5 ~

.2 ~ ---";r,o-=--J ~

2.0 ~ , .... , .... , .... , ......... , .... , ........ " .... , .... .

cUn"as b: algoritmo do traço adaptativo

Fig. 2: Parâmetros estimados

6 - Referências Bibliográficas [1] S. Abu eI Ata and P . Ponty. " Supervision of controlled process in non-stationary conditions"; in PrOC. IFAC Identification and System Parameter Estimation. York, UK, pp 351-356, 1985. [2] T. Hagghmd. ''New estimation tecluúques for adaptive controI", Ph.D. Thesis, Lund University, Sweden, 1983. [3] G. Favier, C. Rougerie, J.P. Bariani, W. Amaral. L. Gimeno, L.V.R. Arruda, "A Comparison of fault detection methods and adaptive identification algorithms", 8th IF AC / IFORS on Identification and System Parameter Estim.ation, Beijing, Chine, pp 757 - 762, 1988. [4] R. Isenn.an. ''Process fault diagnosis based on process modeIlmowIedge",Proc. of AIPAC'89, France, pp 20 -28, 1989. [5] L.A. Zadeh. "Outline of a new approach to the analysis of compIex systems and decision process", IEEE Trans. Systems, Man and Cybemetics, voI. 3, pp 28 - 44, january 1973. [6] P.J. King and E.H. Mandani, "The application of fuzzy controI systems to industrial process", Automatica, voI. 13, pp 235 - 242, 1977. [7] L.V.R. Arruda, V. Sclunidlin and G. Favier, "Fuzzy parameter tuning in expert supeIVision of estimation algorithms", Brazil-Japan Joint Symposimn in Fuzzy Systems, Campinas, Brazil, pp 175 - 181, july 1994.